analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel

Facoltà di IngegneriaDipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni

Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel risonante mediate il formalismo di Wigner

Laboratorio di Microelettronica

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Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel intrabanda mediante il formalismo di Wignerintrabanda mediante il formalismo di Wigner

Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel intrabanda mediante il formalismo di Wignerintrabanda mediante il formalismo di Wigner

Relatori:

Prof. G. Manes Prof. G. FrosaliDipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Dipartimento di Elettronica e TelecomunicazioniUniversitá di Firenze Universitá di Firenze

Ing. A. Cidronali Ing. M. CampriniDipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni” Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Universitá di Firenze Universitá di Firenze

Candidato: Omar Morandi

Anno Accademico 1999 - 2000




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x pcoll

f fv p / f q f

t tE

Meccanica classica: equazione di BoltzmannMeccanica classica: equazione di Boltzmann

Equazione di Wigner

Simulare un dispositivo a semiconduttore equivale a determinare il moto di N particelle interagenti

Equazione di Schrödinger

{ i Ht

Meccanica quantistica:Meccanica quantistica:




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Funzione di Wigner :Funzione di Wigner :

Equazione di Wigner :Equazione di Wigner :

Operatore pseudo-differenziale :Operatore pseudo-differenziale :

wx w w

f pf U f 0

t m

3N 3Np '

i p p 'w3N

R R

iU x t U x t f x,p ', t e dp 'd

2 22

3N

ipw 3N

R

1f x,p, t x t x t e d

2 22

wU f x,p, t




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Meccanica classica e formalismo di Wigner

Analogie:Analogie:

Calcolo dei momenti della distribuzione

Momento di ordine zeroMomento di ordine zero

Momento del primo ordineMomento del primo ordine quant w

qJ x, t f x,p, t pdp

m

quant wn x, t f x,p, t dp

Equazione di Wigner Equazione di Boltzmann

Limite classico

0




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L’ ambientazione nel piano delle fasi suggerisce la definizione di traiettorie quantistiche

Possibile interpretazione dei fenomeni quantistici alla luce del moto di una quasi-particella con posizione e quantità di moto ben definiti che risente dell’ effetto dei campi tramite l’azione di una “forza quantistica”

1

disp

d U x1F

! 2i p dx

Analogie: Analogie:




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la quasi-particella risente in generale dell’azione esercitata dai campi in ogni punto dello spazio

La forza quantistica è non locale:

La funzione di Wigner non è definita positiva :

Funzione di Wigner relativa allo stato risonante dell’RTD

Non può essere interpretata come una densità di probabilità

{Differenze: Differenze:




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Un dispositivo elettronico è un sistema aperto contenente al proprio interno svariati gradi di libertà che rendono il moto dei portatori tipicamente irreversibile

Modellizzazione di dispositivi a semiconduttore : Modellizzazione di dispositivi a semiconduttore :

Una formulazione cinetica fornisce strumenti semplici ed efficaci per includere l’irreversibilità di moto

Apertura :Apertura : BusDispositivoBus

Caratteristica di corpo nero

Reservoirs

Distribuzione termodinamica di portatori

Gli elettroni escono senza essere riflessi




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Collisioni :Collisioni : Approssimazione “a tempo di rilassamento” dell’operatore collisionale di Boltzmann

Risultati analitici applicabili ai casi pratici :

Descrizione di moto incoerente e impiego di Condizioni al Contorno non reversibili per inversione temporale

ffww limitata

p ' p p p 'coll

0 00

fW f x,p ' W f x,p

t

1x f x,p ' x f x,p

x




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Differenze modellistiche fra la formulazione wigneriana della meccanica quantistica e quella standardDifferenze modellistiche fra la formulazione wigneriana della meccanica quantistica e quella standard

Semplicità nella descrizione degli stati “mixed”

Semplicità nella simulazione di fenomeni quantistici transitori Descrizione dell’irreversibilità di moto senza violazione dell’equazione di continuità della carica

Perdita comprensione intuitiva e di interpretabilità nelle soluzioni Mancanza di soluzioni analitiche se non per casi banali Necessità di utilizzo di tecniche di calcolo non standard per la risoluzione numerica n x

J 0t

DifettiDifettiPregi Pregi




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Tecniche di calcolo :Tecniche di calcolo : Gli algoritmi di calcolo si adattano alla complessità del problema trattato

Soluzione stazionaria Soluzione evolutiva

Soluzione auto-consistente Soluzione non auto-consistemte

Schema differenziale di Eulerodel secondo ordine up-dounwind

w UDS if f

Approssimazione dell’operatore pseudo-differenziale

p x

N N / 2p x

w i i ' i i ' i, j'j' 1 i ' 1p

2 j j' i '1 2U f sin U U f

N

Soluzione stazionaria :E’ possibile ricondurre la determinazione di una soluzione dell’equazione di Wigner al seguente sistema lineare

f0

t

wf bL wf bL x w w

pf U f 0

m x w w

pf U f 0

m




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Soluzione evolutiva Soluzione evolutiva

Una soluzione formale dell’equazione di Wigner tempo-dipendente si scrive

In generale si implementano schemi iterativi del tipo

0

t

0

t

f t exp t ' dt ' f t

L

df t t f t L

Schema Eulero esplicito :

Schema Eulero implicito :

Schema Cayley : Schema Cayley :

00

t t

tt ' tt

exp t ' dt ' 1 t '

L L

tt

t

1 t ' / 2exp t '

1 t ' / 2

L

LL

tt

t

1 t ' / 2exp t '

1 t ' / 2

L

LL

00

t t1

tt ' tt

exp t ' dt ' 1 t '

L L

Sia per la stabilità dell’algoritmo che per la sua precisione si dimostra critica la scelta di una congrua metodologia di calcolo dell’esponenziale

Algoritmo numerico stabile La soluzione analitica è limitata




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Soluzione evolutiva: algoritmo Gummel Soluzione evolutiva: algoritmo Gummel

Soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson Soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson Ricercare una soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson significa determinare il profilo del minimo della banda di conduzione del dispositivoche sia coerente con la distribuzione di carica al suo interno

Sistema Wigner-PoissonSistema Wigner-Poisson{{ 2

22

d u xq C x n x

dx

wx w w

f pf U f 0

t m

quant wn x, t f x, p, t dp

Soluzione stazionaria: algoritmo Newton Soluzione stazionaria: algoritmo Newton Possiede un meccanismo di controllo sulle soluzioni che impedisce loro di oscillare indefinitamente

n

u




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TIpologia costruttiva dell’RTD simulatoTIpologia costruttiva dell’RTD simulato

Substrato

Pozzo quantisticoBarrieraSpacers

SpacersBarriera

Catodo

Anodo

Materiale Spessore ( Ǻ ) Drogaggio ( cm-3 ) Funzione

GaAs -- 2 1018 Substrato

GaAs 30 Undoped Spacers

Al0.3Ga0.7As 30 Undoped Barriera

GaAs 50 Undoped Pozzo quantistico

Al0.3Ga0.7As 30 Undoped Barriera

GaAs 30 Undoped Spacers




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Caratteristiche RTD Caratteristiche RTD Presenza di una regione di funzionamento

a resistenza differenziale negativa (N.D.R.).

Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente

utili in numerose applicazioni sia analogiche che

digitali.

Misure statiche dell’RTD simulatoMisure statiche dell’RTD simulato

Simulazioni e misure

si riferiscono

alla temperatura di 77 ºK




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digitali.

Presenza di cicli d’isteresi Presenza di punti di polarizzazione

instabili con conseguente formazione

di oscillazioni intrinseche ad alta

frequenza.

Problematiche di utilizzoProblematiche di utilizzo



si riferiscono





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digitali.

Presenza di cicli d’isteresi Presenza di punti di polarizzazione

instabili con conseguente formazione

di oscillazioni intrinseche ad alta

frequenza.

Problematiche di utilizzoProblematiche di utilizzo



si riferiscono





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Simulazioni effettuateSimulazioni effettuate

Termini di paragone per testare dell’affidabilità dell’algoritmo

Simulazioni FerrySimulazioni FerryCaratteristica statica: soluzione stazionaria non auto-consistente

Il nostro metodo mostra un buon accordo sia con i dati sperimentali

che con i risultati ottenuti da altri autori




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Variazione della densità di carica all’interno

del semiconduttore ottenuta integrando

la funzione di Wigner

Tempi di switchTempi di switch

T = 77 K T = 300 K

Dalle simulazioni appare

il seguente fenomeno

paradossale, ovvero che le

collisioni possano diminuire

i tempi di switch. Una

spiegazione fisica plausibile

segue dall’analisi delle

quasi-traiettorie




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Simulazioni auto-consistenti Simulazioni auto-consistenti

Nelle simulazioni

auto-consistenti

si impiega il “vero”

profilo di potenziale

del diodo

Presenza del ciclo d’isteresi La spiegazione fisica della presenza del ciclo

d’isteresi segue dall’analisi dell’intrappolamento

della carica all’interno del pozzo quantistico




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Simulazioni delle oscillazioni intrinseche Simulazioni delle oscillazioni intrinseche Le oscillazioni intrinseche sono il fenomeno più complesso mostrato dai diodi risonanti

e solo con le simulazioni Wigner si è, fino ad oggi, riuscito a riprodurlo e studiarlo:Transizioni stabili Transizioni instabili

Le oscillazioni si

auto-innescano

nel range di

tensione 0.24 0.26 V.

La loro spiegazione fisica

dovrebbe derivare

dalla creazione di livelli discreti

nella regione catodica e del

loro conseguente sparpagliamento

in una distribuzione continua




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Ambiente di lavoro C++

Costi computazionali Costi computazionali

La presente stima dei tempi di calcolo è relativa all’utilizzo di un normale PC che

impiega 30 secondi nella risoluzione di un’iterazione di calcolo Wigner-Poisson: come

si nota i tempi di calcolo sono molto vari e se le simulazioni più semplici impiegano

tempi minimi e si prestano alla progettazione di circuiti, quelle più sofisticate sono

troppo lente e risultano utili più in fase di verifica: si ha così uno strumento adattabile

ai vari casi d’impiego




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Applicazione a nuovi materiali

nella modellizzazione di strutture “Lattice-matched”

Dispositivi interbanda su substrato InP

che mostrano una buona caratteristica

anche a temperatura ambiente

Impiego della tecnologia Si-Ge

In cui si utilizzano substrati virtuali

e “layers strained”

Conclusioni Conclusioni

Sviluppi futuri Sviluppi futuri

Buoni risultati

Applicazione a dispositivi circuitalmente più complessi

Formalismo doppia banda

Inclusione formale dell’interazione e--fonone

analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel

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