1
ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)
เมื่อ xp คือพหุนาม axaxaxaxan
n
n
n
n
nxp
01
21...
โดยที่ n เป็น
จ านวนเต็มบวก aaaa n» 011,,...,,
เป็นจ านวนจริงซึ่ง 0an
พหุนาม xp นี้จะมี
cx เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ 0cp
การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ จะต้องแสดงว่า
1. ส าหรับพหุนาม xp ถ้า cx เป็นตัวประกอบ แล้ว จะได้ 0cp
2. ส าหรับพหุนาม xp ถ้า 0cp แล้ว cx จะเป็นตัวประกอบของพหุนาม xp
พิสูจน์ 1. cx เป็นตัวประกอบของ xp
cx หาร xp ลงตัว
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ cp คือเศษที่ได้จากการหารด้วย cx
นั่นคือ 0cp
2. 0 cp
ให้ xp หารด้วย cx แล้วได้ผลหารเป็น xq เศษ R
จะได้ Rqxcxxp
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ cpR
ดังนั้น 0R
qxcxxp นั่นคือ cx เป็นตัวประกอบของ xp
จาก (1) และ (2) สรุปได้ว่า พหุนาม xp มี cx เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ 0cp
ใบความรู้ที่ 4
เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
2
ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม เราจะใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และทฤษฎีบทตัวประกอบ ซึ่งทฤษฎีบท
ดังกล่าวใช้ไดในกรณีท่ีสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจ านวนจริงใดๆ แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหุ
นามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจ านวนเต็มเท่านั้นโดยพิจารณาเป็น 2 กรณีคือ
กรณีท่ี 1na และ 1na
กรณีท่ี 1na จากตัวอย่างท่ี 1 เมื่อพิจารณาจาก 223 xxx ซึ่งเป็นตัวประกอบของ
12823 xxx จะเห็นว่า 2,2,3 เป็นตัวประกอบของ 12 ซึ่งเป็นค่าคงตัวของพหุนาม 12823 xxx
ตัวอย่างท่ี 1
จงแสดงว่า เป็นตัวประกอบของ
วิธีท า ให้
นั่นคือ หาร p(x) ลงตัว
เป็นตัวประกอบของ
จากตัวอย่างที่ 1 หาร ลงตัว เมื่อน า ไปหาร
ได้ผลลัพธ์
และ
3
ในกรณีทั่วไป ถ้า cx เป็นตัวประกอบของพหุนาม 01
1
1 ... axaxax n
n
n
โดยที่ c และ
สัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เป็นจ านวนเต็ม แล้ว c จะเป็นตัวประกอบของ 0a ดังนั้นในการพิจารณาหา c ดังกล่าว
จึงพิจารณาจากตัวประกอบที่เป็นจ านวนเต็มของ 0a
การแยกตัวประกอบของพหุมาน xp โดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือในกรณีนี้ท าได้ดังนี้
1. หาตัวประกอบของ c ของ 0a ที่ท าให้ 0cp
2. น า cx ที่หาได้ไปหาร xp ผลหารจะเป็นพหุนามดกรีสองของ xp อยู่ 1
3. ถ้าผลหารในข้อ 2 ยังมีดีกรีสูงกว่าสอง และสามารถแยกเป็นตัวประกอบได้อีกให้แยกต่อไป โดยวิธี
ตามข้อ 1 และ 2 แต่ถ้าผลลัพธ์ที่ได้เป็นพหุนามดีกรีสอง ก็ให้แยกตัวประกอบตามท่ีได้เรียนมาแล้ว
ตัวอย่างท่ี 2
จงแยกตัวประกอบของ
วิธีท า ให้
พจน์คงตัวคือ มีตัวประกอบเป็น
ลองแทน ใน ได้
หาร ลงตัว และ เป็นตัวประกอบของ
นั่นคือ
4
ตัวอย่างท่ี 3
จงแยกตัวประกอบของ
วิธีท า ให้
พจน์คงตัวคือ -24 มีตัวประกอบเป็น
ลองแทน ใน ได ้
ลองแทน ใน ได้
ลองแทน ใน ได้
หาร ลงตัว และ เป็นตัวประกอบของ
∴
5
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ
วิธีท า ให้
พจน์คงตัวคือ มีตัวประกอบเป็น
ลองแทน ใน ได ้
ลองแทน ใน ได้
หาร ลงตัว และ เป็นตัวประกอบของ
ให้
x-2 หาร ลงตัว
6
ในกรณีที่ 1na การแยกตัวประกอบของพหุนาม xp เราจะหาตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่อยู่
ในรูป m
kx เมือ่k และ m เป็นจ านวนเต็ม ซึ่ง 0m จากที่กล่าวมาแล้วพหุนาม xp จะมี
m
kx เป็นตัวประ
กอยก็ต่อเมื่อ 0
m
kp การพิจารณาหาค่า k และ m ที่เป็นจ านวนเต็มของพหุนาม
m
kx ดังกล่าวอาจใช้
ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ดังนั้น การแยกตัวประกอบของพหุนาม xp ในกรณีนี้สรุปได้ดังนี้
1. หาm
k โดยพิจารณา k และ m จากตัวประกอยของ 0a และ na ตามล าดับห.ร.ม.ของ k และ m เท่ากับ 1
2. ทดสอบว่า 0
m
kp หรือไม่ถ้า 0
m
kp จะได้
m
kx เป็นตัวประกอบของ xp ในกรณีที่ไม่มี
m
k ท า
ให้ 0xp แสดงว่าพหุนาม xp ไม่มีตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่งในรูป m
k ซึ่งจะเรียกว่าเป็นตัว
ประกอบจ านวนตรรกยะ
3. น าm
kx ซึ่งเป็นตัวประกอบของพหุนาม xp ไปหารพหุนาม xp ผลหารจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ ากว่า
ดีกรีของพหุนาม xp
4. ถ้าผลหารในข้อ 3 ยังมีดกรีสองกว่าสอง และสามารถแยกตัวประกอบไปได้อีกก็แยกตัวประกอบของผลหาร
ตามข้ันตอน 1, 2 และ 3 แต่ถ้าผลหารเป็นดีกรีสองก็แยกตัวประกอบตามวิธีที่เรียนมา
ทฤษฎีบทตัวประกอบจ านวนตรรกยะ
เมื่อ xp คือพหุนามในรูป axaxaxaxan
n
n
n
n
nxp
01
21...
โดยที่ n เป็น
จ านวนเต็มบวก aaaa n» 011,,...,,
เป็นจ านวนจริงซึ่ง 0an
ถ้าm
kx เป็นตัวประกอบของพหุนาม xp โดยที่ k และ m เป็นจ านวนเต็มซึ่ง 0m และ ห.ร.ม.ของ k
และ m เท่ากับ 1 แล้ว k จะเป็นตัวประกอบของa0 m จะเป็นตัวประกอบของa0
7
ตัวอย่างท่ี 5
จงแยกตัวประกอบของ
วิธีท า ให้
จ านวนเต็มที่หาร ลงตัวคือ
และ จ านวนเต็มที่หาร ลงตัวคือ
ดังนั้นจ านวนตรรกยะ ที่ท าให้
จะเป็นจ านวนต่อไปนี้
พิจารณา ได ้
หาร ลงตัว และ เป็นตัวประกอบของ
8
ค าชี้แจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยชนิดเลือกตอบจ านวน 10 ข้อ 2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย x ลงในกระดาษค าตอบที่ตรงกับข้อที่ถูกต้อง *****************************************************************************************************
1. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตัวประกอบของ 1892 23 xxx
1. 1x
2. 1x
3. 2x
4. 2x
2. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตัวประกอบของ 29103 23 xxx
1. 1x
2. 3x
3. 2x
4. 13 x
3. 1577 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 3x 1x 5x
2. 3x 1x 5x
3. 3x 1x 5x
4. 3x 1x 5x
4. 1892 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 2x 23x
2. 22x 3x
3. 2x 3x 3x
4. 2x 3x 3x
แบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
9
5. 3232 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 1x 32 x
2. 1x 1x 32 x
3. 1x 32 x 1x
4 1x 32 x 1x
6. 23 24603 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. x3 2x 10x
2. x3 2x 10x
3. x3 2x 10x
4. x3 2x 10x
7. 5353 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 1x 53 x
2. 1x 1x 53 x
3. 1x 1x 53 x
4 1x 1x 53 x
8. 276 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 12 x 23 x
2. 1x 23 x 13 x
3. 1x 12 x 23 x
4 1x 23 x 12 x
9. 4883 234 xxxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 1x 2x 23 x
2. 1x 1x 2x 23 x
3. 1x 1x 2x 23 x
4. 1x 1x 2x 23 x
10
10. 1240319164 2345 xxxxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 2x 2x 12 x 32 x
2. 1x 2x 2x 12 x 32 x
3. 1x 1x 2x 12 x 23 x
4. 1x 1x 2x 12 x 23 x
11
1. 123 xxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. 22 23 xxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. 6116 23 xxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
ค าชี้แจง
แบบฝึกทักษะชุดที่ 4
เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
12
4. 252 23 xxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. 416196 23 xxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. 1243 23 xxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7. 30193 xx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
13
8. 6114 23 xxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9. 241423 xxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10. 3612112 234 xxxx
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
14
ค าชี้แจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยชนิดเลือกตอบจ านวน 10 ข้อ 2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย x ลงในกระดาษค าตอบที่ตรงกับข้อที่ถูกต้อง *****************************************************************************************************
1. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตัวประกอบของ 1892 23 xxx
1. 1x
2. 1x
3. 2x
4. 2x
2. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตัวประกอบของ 29103 23 xxx
1. 1x
2. 3x
3. 2x
4. 13 x
3. 1577 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 3x 1x 5x
2. 3x 1x 5x
3. 3x 1x 5x
4. 3x 1x 5x
4. 1892 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 2x 23x
2. 22x 3x
3. 2x 3x 3x
4. 2x 3x 3x
แบบทดสอบหลังเรียน
ชุดที่ 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
15
5. 3232 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 1x 32 x
2. 1x 1x 32 x
3. 1x 32 x 1x
4 1x 32 x 1x
6. 23 24603 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. x3 2x 10x
2. x3 2x 10x
3. x3 2x 10x
4. x3 2x 10x
7. 5353 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 1x 53 x
2. 1x 1x 53 x
3. 1x 1x 53 x
4 1x 1x 53 x
8. 276 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 12 x 23 x
2. 1x 23 x 13 x
3. 1x 12 x 23 x
4 1x 23 x 12 x
9. 4883 234 xxxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 1x 2x 23 x
2. 1x 1x 2x 23 x
3. 1x 1x 2x 23 x
4. 1x 1x 2x 23 x
16
10. 1240319164 2345 xxxxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด
1. 1x 2x 2x 12 x 32 x
2. 1x 2x 2x 12 x 32 x
3. 1x 1x 2x 12 x 23 x
4. 1x 1x 2x 12 x 23 x
17
1. 123 xxx
ให้ xp 123 xxx
11111 p 0 1x ท าให้ 0xp 1x เป็นตัวประกอบของ xp
1x
xp ลงตัว
121
1 223
xx
x
xxx
123 xxx 121 2 xxx
111 xxx
2. 22 23 xxx ให้ xp 22 23 xxx
21211 p 0 1x ท าให้ 0xp 1x เป็นตัวประกอบของ xp
1x
xp ลงตัว
21
22 223
xx
x
xxx
211
22 223
xxx
x
xxx
211 xxx
เฉลยแบบฝึกทักษะชุดที่ 4
เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
18
3. 6116 23 xxx
ให้ 6116 23 xxxxp
611611 p 0
1x ท าให้ 0xp
1x เป็นตัวประกอบของ xp
1
6116 23
x
xxx652 xx
6116 23 xxx 651 2 xxx 321 xxx
4. 252 23 xxx ให้ 252 23 xxxxp
25121 p 0 1x ท าให้ 0xp 1x เป็นตัวประกอบของ xp
2321
252 323
xx
x
xxx
252 23 xxx 2321 3 xxx 2121 xxx
5. 416196 23 xxx
ให้ 416196 23 xxxxp
43276482 p 0 2x ท าให้ 0xp 2x เป็นตัวประกอบของ xp
2762
416196 223
xx
x
xxx
416196 23 xxx 2762 2 xxx 23122 xxx
19
6. 1243 23 xxx ให้ xp 1243 23 xxx
1281282 p 0 2x ท าให้ 0xp 2x เป็นตัวประกอบของ xp
62
1243 223
xx
x
xxx
1243 23 xxx 622
xx x
322 xxx 7. 30193 xx
ให้ xp 30193 xx
303882 p 0 2x ท าให้ 0xp 2x เป็นตัวประกอบของ xp
1522
3019 23
xx
x
xx
30193 xx 15222
xx x
532 xxx
8. 6114 23 xxx
ให้ xp 6114 23 xxx
611411 p 0 1x ท าให้ 0xp 1x เป็นตัวประกอบของ xp
651
6114 223
xx
x
xxx
6114 23 xxx 651 2 xxx 611 xxx
20
9. 241423 xxx ให้ xp 241423 xxx
24429273 p 0 3x ท าให้ 0xp 3x เป็นตัวประกอบของ xp
822
2414 223
xx
x
xxx
241423 xxx 822 2 xxx 432 xxx
10. 3612112 234 xxxx ให้ xp 3612112 234 xxxx
36244416162 p 0 2x ท าให้ 0xp 2x เป็นตัวประกอบของ xp
18342
3612112 23234
xxx
x
xxxx
3612112 234 xxxx 18342 23 xxxx ให้ 1834 23 xxxxq
1834 23 xxxxq 0 3x ท าให้ 0xq 3x เป็นตัวประกอบของ xq
623
1834 223
xxx
x
xxx
1834 23 xxx 6322
xxx x
3232 xxxx