1

ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)

เมื่อ xp คือพหุนาม axaxaxaxan

n

n

n

n

nxp

01

21...

โดยที่ n เป็น

จ านวนเต็มบวก aaaa n» 011,,...,,

เป็นจ านวนจริงซึ่ง 0an

พหุนาม xp นี้จะมี

cx เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ 0cp

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ จะต้องแสดงว่า

1. ส าหรับพหุนาม xp ถ้า cx เป็นตัวประกอบ แล้ว จะได้ 0cp

2. ส าหรับพหุนาม xp ถ้า 0cp แล้ว cx จะเป็นตัวประกอบของพหุนาม xp

พิสูจน์ 1. cx เป็นตัวประกอบของ xp

cx หาร xp ลงตัว

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ cp คือเศษที่ได้จากการหารด้วย cx

นั่นคือ 0cp

2. 0 cp

ให้ xp หารด้วย cx แล้วได้ผลหารเป็น xq เศษ R

จะได้ Rqxcxxp

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ cpR

ดังนั้น 0R

qxcxxp นั่นคือ cx เป็นตัวประกอบของ xp

จาก (1) และ (2) สรุปได้ว่า พหุนาม xp มี cx เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ 0cp

ใบความรู้ที่ 4

เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

2

ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม เราจะใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และทฤษฎีบทตัวประกอบ ซึ่งทฤษฎีบท

ดังกล่าวใช้ไดในกรณีท่ีสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจ านวนจริงใดๆ แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหุ

นามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจ านวนเต็มเท่านั้นโดยพิจารณาเป็น 2 กรณีคือ

กรณีท่ี 1na และ 1na

กรณีท่ี 1na จากตัวอย่างท่ี 1 เมื่อพิจารณาจาก 223 xxx ซึ่งเป็นตัวประกอบของ

12823 xxx จะเห็นว่า 2,2,3 เป็นตัวประกอบของ 12 ซึ่งเป็นค่าคงตัวของพหุนาม 12823 xxx

ตัวอย่างท่ี 1

จงแสดงว่า เป็นตัวประกอบของ

วิธีท า ให้

นั่นคือ หาร p(x) ลงตัว

เป็นตัวประกอบของ

จากตัวอย่างที่ 1 หาร ลงตัว เมื่อน า ไปหาร

ได้ผลลัพธ์

และ

3

ในกรณีทั่วไป ถ้า cx เป็นตัวประกอบของพหุนาม 01

1

1 ... axaxax n

n

n

โดยที่ c และ

สัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เป็นจ านวนเต็ม แล้ว c จะเป็นตัวประกอบของ 0a ดังนั้นในการพิจารณาหา c ดังกล่าว

จึงพิจารณาจากตัวประกอบที่เป็นจ านวนเต็มของ 0a

การแยกตัวประกอบของพหุมาน xp โดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือในกรณีนี้ท าได้ดังนี้

1. หาตัวประกอบของ c ของ 0a ที่ท าให้ 0cp

2. น า cx ที่หาได้ไปหาร xp ผลหารจะเป็นพหุนามดกรีสองของ xp อยู่ 1

3. ถ้าผลหารในข้อ 2 ยังมีดีกรีสูงกว่าสอง และสามารถแยกเป็นตัวประกอบได้อีกให้แยกต่อไป โดยวิธี

ตามข้อ 1 และ 2 แต่ถ้าผลลัพธ์ที่ได้เป็นพหุนามดีกรีสอง ก็ให้แยกตัวประกอบตามท่ีได้เรียนมาแล้ว

ตัวอย่างท่ี 2

จงแยกตัวประกอบของ

วิธีท า ให้

พจน์คงตัวคือ มีตัวประกอบเป็น

ลองแทน ใน ได้

หาร ลงตัว และ เป็นตัวประกอบของ

นั่นคือ

4

ตัวอย่างท่ี 3

จงแยกตัวประกอบของ

วิธีท า ให้

พจน์คงตัวคือ -24 มีตัวประกอบเป็น

ลองแทน ใน ได ้

ลองแทน ใน ได้

ลองแทน ใน ได้

หาร ลงตัว และ เป็นตัวประกอบของ

∴

5

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ

วิธีท า ให้

พจน์คงตัวคือ มีตัวประกอบเป็น

ลองแทน ใน ได ้

ลองแทน ใน ได้

หาร ลงตัว และ เป็นตัวประกอบของ

ให้

x-2 หาร ลงตัว

6

ในกรณีที่ 1na การแยกตัวประกอบของพหุนาม xp เราจะหาตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่อยู่

ในรูป m

kx เมือ่k และ m เป็นจ านวนเต็ม ซึ่ง 0m จากที่กล่าวมาแล้วพหุนาม xp จะมี

m

kx เป็นตัวประ

กอยก็ต่อเมื่อ 0

m

kp การพิจารณาหาค่า k และ m ที่เป็นจ านวนเต็มของพหุนาม

m

kx ดังกล่าวอาจใช้

ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ดังนั้น การแยกตัวประกอบของพหุนาม xp ในกรณีนี้สรุปได้ดังนี้

1. หาm

k โดยพิจารณา k และ m จากตัวประกอยของ 0a และ na ตามล าดับห.ร.ม.ของ k และ m เท่ากับ 1

2. ทดสอบว่า 0

m

kp หรือไม่ถ้า 0

m

kp จะได้

m

kx เป็นตัวประกอบของ xp ในกรณีที่ไม่มี

m

k ท า

ให้ 0xp แสดงว่าพหุนาม xp ไม่มีตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่งในรูป m

k ซึ่งจะเรียกว่าเป็นตัว

ประกอบจ านวนตรรกยะ

3. น าm

kx ซึ่งเป็นตัวประกอบของพหุนาม xp ไปหารพหุนาม xp ผลหารจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ ากว่า

ดีกรีของพหุนาม xp

4. ถ้าผลหารในข้อ 3 ยังมีดกรีสองกว่าสอง และสามารถแยกตัวประกอบไปได้อีกก็แยกตัวประกอบของผลหาร

ตามข้ันตอน 1, 2 และ 3 แต่ถ้าผลหารเป็นดีกรีสองก็แยกตัวประกอบตามวิธีที่เรียนมา

ทฤษฎีบทตัวประกอบจ านวนตรรกยะ

เมื่อ xp คือพหุนามในรูป axaxaxaxan

n

n

n

n

nxp

01

21...

โดยที่ n เป็น

จ านวนเต็มบวก aaaa n» 011,,...,,

เป็นจ านวนจริงซึ่ง 0an

ถ้าm

kx เป็นตัวประกอบของพหุนาม xp โดยที่ k และ m เป็นจ านวนเต็มซึ่ง 0m และ ห.ร.ม.ของ k

และ m เท่ากับ 1 แล้ว k จะเป็นตัวประกอบของa0 m จะเป็นตัวประกอบของa0

7

ตัวอย่างท่ี 5

จงแยกตัวประกอบของ

วิธีท า ให้

จ านวนเต็มที่หาร ลงตัวคือ

และ จ านวนเต็มที่หาร ลงตัวคือ

ดังนั้นจ านวนตรรกยะ ที่ท าให้

จะเป็นจ านวนต่อไปนี้

พิจารณา ได ้

หาร ลงตัว และ เป็นตัวประกอบของ

8

ค าชี้แจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยชนิดเลือกตอบจ านวน 10 ข้อ 2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย x ลงในกระดาษค าตอบที่ตรงกับข้อที่ถูกต้อง *****************************************************************************************************

1. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตัวประกอบของ 1892 23 xxx

1. 1x

2. 1x

3. 2x

4. 2x

2. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตัวประกอบของ 29103 23 xxx

1. 1x

2. 3x

3. 2x

4. 13 x

3. 1577 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 3x 1x 5x

2. 3x 1x 5x

3. 3x 1x 5x

4. 3x 1x 5x

4. 1892 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 2x 23x

2. 22x 3x

3. 2x 3x 3x

4. 2x 3x 3x

แบบทดสอบก่อนเรียน

ชุดที่ 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

9

5. 3232 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 1x 32 x

2. 1x 1x 32 x

3. 1x 32 x 1x

4 1x 32 x 1x

6. 23 24603 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. x3 2x 10x

2. x3 2x 10x

3. x3 2x 10x

4. x3 2x 10x

7. 5353 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 1x 53 x

2. 1x 1x 53 x

3. 1x 1x 53 x

4 1x 1x 53 x

8. 276 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 12 x 23 x

2. 1x 23 x 13 x

3. 1x 12 x 23 x

4 1x 23 x 12 x

9. 4883 234 xxxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 1x 2x 23 x

2. 1x 1x 2x 23 x

3. 1x 1x 2x 23 x

4. 1x 1x 2x 23 x

10

10. 1240319164 2345 xxxxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 2x 2x 12 x 32 x

2. 1x 2x 2x 12 x 32 x

3. 1x 1x 2x 12 x 23 x

4. 1x 1x 2x 12 x 23 x

11

1. 123 xxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 22 23 xxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. 6116 23 xxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

ค าชี้แจง

แบบฝึกทักษะชุดที่ 4

เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

12

4. 252 23 xxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. 416196 23 xxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. 1243 23 xxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. 30193 xx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13

8. 6114 23 xxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. 241423 xxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. 3612112 234 xxxx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

14

ค าชี้แจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยชนิดเลือกตอบจ านวน 10 ข้อ 2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย x ลงในกระดาษค าตอบที่ตรงกับข้อที่ถูกต้อง *****************************************************************************************************

1. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตัวประกอบของ 1892 23 xxx

1. 1x

2. 1x

3. 2x

4. 2x

2. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตัวประกอบของ 29103 23 xxx

1. 1x

2. 3x

3. 2x

4. 13 x

3. 1577 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 3x 1x 5x

2. 3x 1x 5x

3. 3x 1x 5x

4. 3x 1x 5x

4. 1892 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 2x 23x

2. 22x 3x

3. 2x 3x 3x

4. 2x 3x 3x

แบบทดสอบหลังเรียน

ชุดที่ 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

15

5. 3232 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 1x 32 x

2. 1x 1x 32 x

3. 1x 32 x 1x

4 1x 32 x 1x

6. 23 24603 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. x3 2x 10x

2. x3 2x 10x

3. x3 2x 10x

4. x3 2x 10x

7. 5353 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 1x 53 x

2. 1x 1x 53 x

3. 1x 1x 53 x

4 1x 1x 53 x

8. 276 23 xxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 12 x 23 x

2. 1x 23 x 13 x

3. 1x 12 x 23 x

4 1x 23 x 12 x

9. 4883 234 xxxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 1x 2x 23 x

2. 1x 1x 2x 23 x

3. 1x 1x 2x 23 x

4. 1x 1x 2x 23 x

16

10. 1240319164 2345 xxxxx แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด

1. 1x 2x 2x 12 x 32 x

2. 1x 2x 2x 12 x 32 x

3. 1x 1x 2x 12 x 23 x

4. 1x 1x 2x 12 x 23 x

17

1. 123 xxx

ให้ xp 123 xxx

11111 p 0 1x ท าให้ 0xp 1x เป็นตัวประกอบของ xp

1x

xp ลงตัว

121

1 223

xx

x

xxx

123 xxx 121 2 xxx

111 xxx

2. 22 23 xxx ให้ xp 22 23 xxx

21211 p 0 1x ท าให้ 0xp 1x เป็นตัวประกอบของ xp

1x

xp ลงตัว

21

22 223

xx

x

xxx

211

22 223

xxx

x

xxx

211 xxx

เฉลยแบบฝึกทักษะชุดที่ 4

เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

18

3. 6116 23 xxx

ให้ 6116 23 xxxxp

611611 p 0

1x ท าให้ 0xp

1x เป็นตัวประกอบของ xp

1

6116 23

x

xxx652 xx

6116 23 xxx 651 2 xxx 321 xxx

4. 252 23 xxx ให้ 252 23 xxxxp

25121 p 0 1x ท าให้ 0xp 1x เป็นตัวประกอบของ xp

2321

252 323

xx

x

xxx

252 23 xxx 2321 3 xxx 2121 xxx

5. 416196 23 xxx

ให้ 416196 23 xxxxp

43276482 p 0 2x ท าให้ 0xp 2x เป็นตัวประกอบของ xp

2762

416196 223

xx

x

xxx

416196 23 xxx 2762 2 xxx 23122 xxx

19

6. 1243 23 xxx ให้ xp 1243 23 xxx

1281282 p 0 2x ท าให้ 0xp 2x เป็นตัวประกอบของ xp

62

1243 223

xx

x

xxx

1243 23 xxx 622

xx x

322 xxx 7. 30193 xx

ให้ xp 30193 xx

303882 p 0 2x ท าให้ 0xp 2x เป็นตัวประกอบของ xp

1522

3019 23

xx

x

xx

30193 xx 15222

xx x

532 xxx

8. 6114 23 xxx

ให้ xp 6114 23 xxx

611411 p 0 1x ท าให้ 0xp 1x เป็นตัวประกอบของ xp

651

6114 223

xx

x

xxx

6114 23 xxx 651 2 xxx 611 xxx

20

9. 241423 xxx ให้ xp 241423 xxx

24429273 p 0 3x ท าให้ 0xp 3x เป็นตัวประกอบของ xp

822

2414 223

xx

x

xxx

241423 xxx 822 2 xxx 432 xxx

10. 3612112 234 xxxx ให้ xp 3612112 234 xxxx

36244416162 p 0 2x ท าให้ 0xp 2x เป็นตัวประกอบของ xp

18342

3612112 23234

xxx

x

xxxx

3612112 234 xxxx 18342 23 xxxx ให้ 1834 23 xxxxq

1834 23 xxxxq 0 3x ท าให้ 0xq 3x เป็นตัวประกอบของ xq

623

1834 223

xxx

x

xxx

1834 23 xxx 6322

xxx x

3232 xxxx