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Modellistica numerica

di transistori nanometrici

in silicio e grafene:

inclusione di effetti fisici avanzati

Seminari II anno — 18 ottobre 2010

Ilaria Imperiale

Tutor : Prof. Massimo Rudan

Co-Tutor : Prof. Antonio Gnudi

Dottorato in Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni

XXIV Ciclo

Tema: Modeling and simulation of post-CMOS nanoelectronic devices

Sommario

Introduzione

Nanowire

Nanoribbon in grafene

Conclusioni e sviluppi futuri

Ilaria Imperiale – Modellistica numerica di transistori nanometrici 2


Introduzione: aspettative


Introduzione: scenario attualeNecessità di alta performance e bassi consumi

Allo stesso tempo, però:

Ridurre la lunghezza senza scalare anche l’ossido introduce

effetti di canale corto (limitazione imposta alla velocità degli

elettroni nel canale e dipendenza della tensione di soglia dalla

lunghezza di gate)e conseguente aumento della corrente in

Off-state

Minor controllo sulla corrente in stato On a causa

dell’aumento delle resistenze e capacità parassite

Scalare lo spessore dell’ossido per migliorare il controllo

elettrostatico comporta aumento nella corrente di perdita del

dispositivo

La rugosità delle interfacce è sempre meno trascurabile


Introduzione: possibili soluzioni

Nuove architetture


Nanowire: descrizione Confinamento sul piano trasversale

Gate-all-around per ottenere maggior controllo elettrostatico

Simmetria cilindrica

Asse lungo la direzione cristallografica <100> del silicio

Dispositivo intrinseco

• quantizzazione nella direzione trasversale • creazione di sottobande in energia

I fononi e la rugosità all’interfaccia Si – SiO2sono le cause di scattering più importanti

Dimensioni tipiche:

LG da 3 nm a 20 nm

r da 1 nm a 5 nm

tox = 1 nm


Nanowire: trasporto Il trasporto viene trattato con l’uso dell’equazione di Boltzmann, in modo semiclassico

Per ogni sottobanda i, il termine di collisione è pari a :

',

'1',1','kj

jiijijji kfkfkkSkfkfkkS

Principio di esclusione di Pauli

Probabilità di transizione (Scattering rate) dallo stato di indice k della sottobanda i allo stato di indice k’ della sottobanda j

Nell’ ipotesi di piccole perturbazioni, il termine di collisione si può esprimere come:

k

kEfkf

t

f

i

ii

c

i

0

Funzione di Fermi di equilibrio

Tempo di rilassamento

',

''1',

kj ji

ijij

kmk

kmkkkS

SR

SR


Nanowire: tempi di rilassamento

Necessario trovare i tempi di rilassamento relativi ad ogni

fenomeno di collisione, nell’ipotesi di fenomeni indipendenti

kkkk iiii SRPHtot ......

1111

Regola di

Matthiessen

kEkEkkVkkS ijij

ij ')',(2

',2


Nanowire: oggetto della ricerca

Effetto di schermo: la funzione d’onda e la carica cambiano

lungo la coordinata longitudinale

gli elementi di matrice vanno opportunamente modificati

Non si possono utilizzare le formule

note, valide per strutture 3D

Si deve procedere in maniera teorica

al calcolo, per poter applicare il

risultato nei tool di simulazione


Nanowire: approccio perturbativo

Data la generica autofunzione di partenza:

L

ikzibrr nbnbk

)exp(

2

)exp()0(

Il generico elemento di matrice si scrive come:

dzdrdrHee

L

e

L

errV ext

cbiibzqkiikz

cbmnb

nmb

22)(

)()(

,

*

dove c e q sono i coefficienti dello sviluppo del potenziale

lungo le direzioni angolare e longitudinale.

k bncbm

cbmbn

nmbikEqkE

qkfkfL

)()(

)()(

L

2

,,

,,

nmb

tot

nmb

nmb

rsd

nmb

rsd

ext VLFe

V

si

2

db,sm,r n,2

-

)'('()'()G'(('d 'd cbm,bn,qc,cds,dr, rrrrrrrrrrF rsd

nmb


Nanowire: effetto di schermo

Matrice a 6 indici qc,rsd

ext

nmb

tot VV 1

D. K.Ferry,and S. M. Goodnick , “Trasport in nanostructures” , 1997

S. Jin et al. , JAP 102, 083715, 2007


Nanowire: mobilità

0

0

0

02

EfEDdE

dE

dfEEvEDdEq

i

iii

i

Formula diKubo-Greenwoodper la mobilità relativa alla sottobanda i

La mobilità media si ottiene mediando le mobilità di sottobanda con pesi dati dalle concentrazioni ad esse relative

rdrr

rVrn

qnE

s

eff

)()(

2Campo Efficace

dove

nns è il numero totale di elettroni

per unità di lunghezza


Nanowire: simulazioni

L’effetto di

schermo

è più forte a

fronte

dell’aumento

del

campo

efficace.



Confronto con la

mobilità universale*

nota per il silicio

diametro piccolo

per essere

considerato 2D

* S. Takagi et al., IEEE TED, pp 2357-2362, 1994



Ottima

corrispondenza

con i valori di

mobilità universale

Doppio

rispetto al

precedente

Nanowire: conclusioni


Conclusioni:

È stata calcolata la mobilità in un nanowire sfruttando la

formula di Kubo-Greenwood monodimensionale e

descrivendo il trasporto con un approccio semiclassico

Forte dipendenza sia dal diametro che dal campo efficace

Importanza dell’inclusione dello screening nella trattazione

A raggi piccoli soltanto la sottobanda più bassa in energia

contribuisce alla relazione di schermo, a raggi superiori invece

anche gli stati più energetici contribuiscono significativamente

alla relazione di schermo


Altre possibili soluzioni

Nobel prize 2010, Physics

Nuovi materiali

GRAFENE

Elevata mobilità (2x105 cm2/Vs)

Ottime proprietà ottiche,

meccaniche e termiche

Struttura planare


Introduzione: limitazioniIl grafene è un materiale a bandgap nullo, non utilizzabile per applicazioni

elettroniche se non dopo aver creato un gap energetico

A seconda della direzione in cui avviene il

taglio dei bordi, la nanostriscia si definisce di

tipo armchair o zizag

Le nanostrisce di tipo zigzag sono metalliche,

quelle di tipo armchair mostrano

caratteristiche da semiconduttore o metallo FLESSIBILITÀ

CONFINAMENTO

GNR: introduzione

Le nanostrisce di grafene (Graphene nanoribbons -GNRs) uniscono alle eccellenti proprietà del grafene (strutturaplanare e mobilità elevata) la possibilità di ottenere un gap energetico attraverso la quantizzazione

Difficoltà di verifica sperimentale importanza della simulazione numerica

E’ inevitabile che i bordi dei nanoribbon di piccola larghezza siano affetti da rugosità laterale CONSEGUENZE?

In letteratura è dimostrato che l’interazione con i fononi acustici e la rugosità superficiale sono le prime cause di riduzione della corrente per nanoribbon stretti


GNR: modello

Ilaria Imperiale – Modellistica numerica di transistori nanometrici

l’interazione atomica è approssimata agli atomi primi vicini

non sono permessi atomi non legati (saturazione con H

che viene tenuta in conto modificando i parametri reticolari)

trasporto trattato quantisticamente attraverso le NEGF

autoconsistenza del potenziale attraverso l’iterazione con

la equazione di Poisson trimensionale

NA= 13

20

GNR: dispositivi simulati

Variabili : larghezza del nanoribbon e lunghezza di gate


Struttura a doppio gate

Canale non drogato

Parametri fissati :

spessore del SiO2 = 1 nm

drogaggio delle regioni di source and drain

N = 10-2 atomi di drogante/atomi di carbonio

Estremità semi-infinite

regioni di source e drain

simmetriche

21

GNR: caratteristiche I-V


Ballisticity ratio:

circa 0.6 a bassa VDS

Lo scattering con i

fononi è un

fenomeno non

trascurabile anche

per GNR-FET corti

Stesso effetto

ad alta VDS

NA= 13, LG = 10 nm

22

GNR: rugosità sui bordi


Molte ripetizioni

per ottenere

accuratezza

statistica

Vengono aggiunti o sottratti in maniera random

dimeri sui bordi lateriali del nanoribbon

Ottenere l’autoconsistenza con l’equazione di Poisson richiede

un carico computazionale ingente, anche per nanoribbon corti

Utilizzo del potenziale autoconsistente ottenuto per il

corrispondente GNR a bordi ideali in regime privo di scattering

23

GNR: effetti della rugosità Due diverse larghezze, a lunghezza di gate variabile

I comportamenti di

entrambi i GNR sono

molto influenzati dalla

presenza della

rugosità ai bordi

Per GNR stretti:

la corrente dipende

esponenzialmente dalla

lunghezza di gate

localizzazione dovuta

all’interferenza

24Ilaria Imperiale – Modellistica numerica di transistori nanometrici

GNR: rugosità + fononi


L’interazione coi fononi

rompe la coerenza

la varianza diminuisce

si ricostituisce una

dipendenza quasi-ohmica

la corrente aumenta,

MA comunque inferiore al

caso a bordi lisci

La rugosità si conferma

il fenomeno dominante

GNR-FET con NA = 21 (W=2.46nm)

Vs/cm384 2extracted

ERVs/cm2300 2extracted

AP

Vs/cm174 2exp ER

25

*X. Wang et al., PRL, vol. 100, 2008

GNR-FET largo 2.5±1 nm , lungo

110 nm

*

GNR: conclusioni e sviluppi futuri


Prossime attività:

Inserimento nel codice dello scattering con i fononi ottici

Estensione allo scattering con i fononi caldi rilasciati da

cariche ad alta energia in condizioni di non equilibrio

Parallelizzazione del codice per migliorare l’uso delle risorse

Conclusioni:

Studio di mobilità a bassi campi su GNR-FETs stretti (<3nm)

Approccio quantistico con inclusione di scattering con

fononi elastici e rugosità sui bordi

Rugosità dominante rispetto allo scattering coi fononi

Simulazioni concordi con i dati sperimentali disponibili

Simulazioni anche di dispositivi per applicazioni analogiche

ad alta frequenza


Grazie per

l’attenzione


Nanowire: approccio perturbativo

Si consideri una perturbazione Vext (t); la generica

componente del suo sviluppo in serie di Fourier lungo le

direzioni angolare e longitudinale di indici c,q corrisponde a:

texp(texp(exp(exp();( iiqzicrVtzrV extext

Gli indici c e q impongono regole di selezione

riguardo agli indici angolare e longitudinale della

funzione d’onda perturbata

L

ikzibrr nbnbk

)exp(

2

)exp()0(


Nanowire: simulazioniElemento della matrice relativo alla transizione

interna nello stato fondamentale in energia Forte dipendenza da r:

• per r < 2 nm,

l’elemento dominante

della matrice

diminuisce all’aumentare

del campo efficace

maggiore screening

• per raggi superiori, la

trattazione si complica

per via della comparsa

degli stati successivi,

vicini in energia non

corretto considerare

soltanto l’elemento

dominante della matrice



All’aumentare di q,

l’effetto di schermo è

sempre meno pesante

Questo è vero per

ogni campo efficace

considerato

GNR: consistenza di


Si nota che l’inclusione

dei fononi acustici nella

trattazione comporta

l’abbattimento della

singolarità della densità

degli stati nei minimi della

sottobanda

Resistore all’equilibrio

NA = 12

r

DS ,

La densità degli stati

calcolata in tre sezioni

(S, D, canale) è identica

31

GNR: interazione con i fononi


Smoothing dei profili degli stati nella banda di valenza

Con

GNR-FET, NA= 12, LG = 10 nm

32

Senza

GNR: mobilità a bassi campi

DS

G

VQ

LI


Carica mediata

nel canale

Forte riduzione della

mobilità a causa dello

scattering con i fononi

Regola di Matthiessen

33

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