Propagacion de error en el laboratorio de fsica*

Laboratorio de Fsica Basica**

Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de Ingeniera

Departamento de Fsica

(Dated: 19 de marzo de 2015)

El presente documento muestra como se calcula el error de una medicion indirecta conocida laecuacion que permite determinarla y las incertezas en las magnitudes involucradas en el calculo. Sedebe hacer notar que estas reglas para el calculo de incertezas son provisionales y adecuadas paraestudiantes que aun no dominan el calculo diferencial.

FORMA ESTANDAR PARA REPORTAR UNAMEDICION

En el laboratorio de fsica toda medicion se reportarade la siguiente forma:

x = xx unidad

Lo cual indica que no solo es importante la magnitudde la medicion, sino tambien la incerteza asociada a lamedicion y la unidad de medida empleada.

Existen dos reglas importantes para reportar la medi-cion, la primera tiene que ver con la incerteza y la segun-da, influenciada por la primera, con la magnitud final dela medicion.

Regla para la incerteza

La incerteza de una medicion se reporta con una cifrasignificativa. Excepto, cuando la primera cifra significa-tiva en el resultado del calculo es uno, en ese caso, setomaran dos cifras significativas si la segunda es menora cinco.

Ejemplo

Si como resultado de un calculo de propagacion deerror se obtuvo el numero x = 0.434 cm, entonces la in-certeza a reportar es en realidad: x = 0.4 cm, es decir,se redondea el numero a una cifra significativa.

El redondeo de la primera cifra significativa dependede la cifra que le sigue. Otros ejemplos se muestran en lasiguiente tabla:

* Por Alan Garca, Auxiliar de Catedra I, Departamento de Fsica.** Editado en Primer Semestre 2015. Comentarios sobre el texto

son bienvenidos a physics.alan@gmail.com

Cuadro I. Ejemplos de redondeo a una cifra significativa enla incerteza.

Calculo Reportado0.3272 0.30.3792 0.40.3525 0.40.3500 0.30.35 0.3

0.3579489 0.41.1256 1.11.3751 1.41.8269 21.567 21.532 1.5228 2005800 6000

0.00253 0.0030.00129 0.0013

Del Cuadro I se puede inferir la regla para el caso enel que 5 es la cifra que procede a la primera cifra signifi-cativa: Si existen numeros distintos que cero se aumentala primera cifra, si no existen mas numeros o son cero, laprimera cifra permanece igual.

Regla para la magnitud

La magnitud de una medicion se escribe con el el mis-mo numero de cifras decimales que la incerteza.

Esto quiere decir que las cifras decimales que se repor-taran en la magnitud estan limitadas por la precision queesta indicando la incerteza.

Ejemplo

Considerando que el error esta correctamente redon-deado y que se han obtenido las magnitudes por mediode calculos, se muestran los siguientes ejemplos en el Cua-dro II.

2Cuadro II. Ejemplos de redondeo de la magnitud de la medi-cion en virtud del error redondeado.

Calculo Incerteza Medicion final11.157 0.02 11.16 0.0226.4758 0.4 26.5 0.4282.89 4 283 418589 200 18600 2000.5889 0.002 0.590 0.002

ERROR PORCENTUAL

El error porcentual de una medicion es el porcentajeque representa la incerteza respecto a la magnitud de lamedicion. Es decir, se divide el error absoluto x (quees el error que tiene la misma unidad de medida que lamagnitud y que hemos tratado en los casos anteriores)entre la magntiud de la medicion y se multiplica por cien.

Error porcentual = x =x

x 100

Ejemplo

A. Se midio una longitud con una regla y el resultadofue L = 10.1 0.1 cm, cual es el error porcentual en lamedicion?

L =0.1

10.1 100 = 0.99 %

B. Se determino el tiempo de cada de un cuerpo, t =3.0 0.2, cual es el error porcentual en la medicion?

t =0.2

3.0 100 = 6.67 %

Es importante diferenciar el error porcentual del errorabsoluto. Se debe notar que el error porcentual es adi-mensional, mientras que el absoluto tiene dimensionales.Ademas, cada tipo de error se aplica segun el calculo quese desea realizar, tal como se vera a continuacion.

PROPAGACION DE ERROR

A. Suma y resta

Cuando se suman o restan dos mediciones, cada unocon una incerteza determinada, la incerteza en el resul-tado es la suma de los errores absolutos.

En otras palabras, si se tiene una cantidad x x yotra y y, y se suman:

z = x+ y

La incerteza en la operacion es:

z = x+ y

Lo mismo aplica para la resta. Independiente de cuantosterminos se sumen, el error absoluto siempre se sumara:

z = x+ y + a b c

z = x+ y + a+ b+ c

Ejemplo

Se tienen dos mediciones de temperatura para unmismo cuerpo en diferentes instantes de tiempo: T1 =19.6 0.2 C y T2 = 25.8 0.2 C, cual es la variacionen la temperatura?

T = T2 T1 = 6.2 (0.2 + 0.2) C

T = (6.2 0.4) C

B. Multiplicacion y division

Cuando se multiplican o dividen dos cantidades conincerteza, la incerteza del resultado se encuentra consi-derando que el error porcentual del resultado es la sumade los errores porcentuales de las cantidades involucra-das. Si z = x y entonces:

z

z=

x

x+

y

y

Este calculo se aprecia mejor en los ejemplos.

Ejemplo

Se sabe que un vehculo ha recorrido en lnea rectauna distancia s = 80 6 km en un tiempo t = 2.0 0.2 h. Cual es la velocidad que se reportara para esteautomovil? Es bien conocido que la velocidad en este casoesta dada por:

v =s

t

Primero se encuentran los errores porcentuales para s yt, respectivamente:

s =6

80 100 = 7.5 %

t =0.2

2 100 = 10 %

Entonces al operar se tiene:

v =80 km 7.5 %2.0 h 10 %

3v = 40km

h 17.5 %

Ya que se tiene el error porcentual de v se calcula el errorabsoluto multiplicando el porcentaje por la magnitud res-pectiva:

v =17.5

100 40 = 7 km

h

Y el resultado final sera:

v = (40 7) kmh

C. Potencias

Cuando una cantidad xx se eleva a una potencia:

z = xn

El error en el resultado z se determina mediante erroresporcentuales:

z

z= n

x

x

Que quiere decir que el error porcentual de la potenciaz es igual al error porcentual de x multiplicado por elexponente. Es importante recalcar que los radicales tam-bien se incluyen en este caso, recordar que un radical esuna potencia fracionaria.

Ejemplo

El area superficial de una esfera es A = 4pir2 donder es el radio de la misma. Si se ha medido el radio conun vernier y es r = 10.45 0.05 mm. Cual es el areasuperficial a reportar?

Antes que nada se calcula el error porcentual de lamedicion de r:

r =0.05

5.45 100 = 0.9 %

A = 4pi(5.45 mm 0.9 %)2= 372.25 mm2 (2 0.9 %)= 372.25 mm2 1.8 %= (372 7) mm2

(1)

Funcion z = f(x)

Cuando una cantidad z depende de una sola variablex y la operacion involucrada no es una suma, resta, mul-tiplicacion o division se usara la siguiente regla:

z =df

dxx

El error en z es el error de x multiplicado por la de-rivada de la funcion. En el laboratorio de fsica basicaes util conocer el error en las funciones trigonometricas,para ello se muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Si se tiene una medicion de angulo de = (30 1),cual es el valor del z = sen(30 1)?

La magnitud de la medicion es muy facil de obtener:

sin 30 = 0.5

El error para la evaluacion de esta funcion es:

z =d(sin )

d

En este punto se debe hacer una aclaracion. El error delangulo esta escrito en el sistema de numeracion se-xagesimal. Como este valor se debe multiplicar con laderivada de la funcion (que esta en el sistema decimal),es imperativo hacer la conversion de grados a radianospara .

= 1 0.017 radPor tanto,

z = cos = 30 0.017 = 0.015Finalmente la respuesta es:

z = 0.500 0.015La respuesta es adimensional dado que las funciones tri-gonometricas son adimensionales.

PROPAGACION DE ERROR PASO A PASO

En el laboratorio, cuando se desea encontrar una medi-cion directa usualmente se deben evaluar varias ecuacio-nes antes de llegar al resultado final. Por ello, es necesariorealizar el calculo de propagacion de erro a traves de va-rias operaciones. A continuacion se presentan ejemplosde expresiones aritmeticas que incluyen cantidades conincerteza. Estas expresiones son simples, sin embargo, loimportante es notar como se calcula el error a pesar deque hay varias operaciones involucradas.

4Ejemplo

Evalue la siguiente expresion aritmetica dejando cons-tancia del calculo de error realizado.

Los calculos para hallar el error porcentual se omi-taran, se asume que el estudiante esta familiarizado conellos.

(64 8) + (3.0 0.1)3 (2.5 0.3)

=

(64 12.5 %) + (3.0 3.33 %)3 (2.5 12 %)= (8 1

2 12.5 %) + (27 3 3.33 %) (2.5 12 %)

= (8 6.25 %) + (27 10 %) (2.5 12 %)= (8 0.5) + [67.5 (10 % + 12 %)]= (8 0.5) + (67.5 22 %)= (8 0.5) + (67.5 14.85)= [75.5 (0.5 + 14.85)]= 75.5 15.35= 75 15

(2)

Algo que el estudiante debe notar es que solamente enel resultado final es necesario aplicar las normas de laforma estandar para reportar, es decir, el error con unacifra significativa y la magnitud limitada por el error. Losvalores intermedios del calculo no se deben redondear, depreferencia se utilizaran 5 decimales de precision. Otracuestion importante es que en este ejemplo se aplicaronlos tres casos presentados con anterioridad en uno solo.

Otros ejemplos

Ahora se presentan mas ejemplos de propagacion deerror paso a paso. En el siguiente ejemplo se trata depresentar mas detalle en todos los calculos.

(4.0 0.1)2 + (6.0 0.2)/(2.0 0.1)En primer lugar, se convierte el error absoluto a error

porcentual en todas las cantidades ya que todas estan in-volucradas en una operacion de multiplicacion o division.

4.0 0.14.0

100 = 4 2.5 %

6.0 0.26.0

100 = 6.0 3.3333 %

2.0 0.12.0

100 = 2.0 5 %

(4.0 0.1)2 + (6.0 0.2)/(2.0 0.1)

= (4.0 2.5 %)2 + (6.0 3.3333 %)/(2.0 5 %)= (16 2 2.5 %) + (3(3.3333 % 5 %))= (16 5 %) + (3 8.3333 %)

(3)

Ahora solo falta realizar una suma. Como el error en lasuma es la suma de los errores absolutos, se deben hallarestos ultimos para las cantidades que estan presentes.

16 5 % = 16 5100

16 = 16 0.8

3 8.3333 % = 3 8.3333100

3 = 3 0.24999

Con lo cual se puede terminar el ejercicio:

(4.0 0.1)2 + (6.0 0.2)/(2.0 0.1)

= (16 5 %) + (3 8.3333 %)= (16 0.8) + (3 0.24999)= 19 (0.8 + 0.24999)= 19 1.0499= 19.0 1.0

(4)

El siguiente ejemplo contiene una funcion de la formaz = f(x) donde se espera aplicar la derivada para hallarel error.

(12.0 0.3) tan(20 1)

Como primer paso, se encuentra la incerteza en tan :

(tan ) =d(tan )

d = sec2

Como se menciono anteriormente, es necesario convertir, que esta en grados, a radianes, para no mezclar elsistema decimal con el sexagesimal.

(tan ) =1

cos2 20 0.017 = 0.01925

Entonces, se puede proseguir con la operacion requeri-da:

(12.0 0.3) tan(20 1)

= (12.0 0.3) (tan 20 0.01925)= (12.0 0.3) (0.3639 0.01925)= (12.0 2.5 %) (0.3639 5.2899 %)= 4.3668 7.7899 %= 4.3668 0.34017= 4.4 0.3

(5)

5Volumen de un cilindro

Hallar el volumen de un cilindro si su diametro es D =(18.00 0.05) mm y su altura es h = (10.00 0.05) mm.

Solucion

Se encuentra el error porcentual para ambas medicio-nes

D

D=

0.05

18.00= 0.277 %

h

h= 0.554 %

La ecuacion que nos da el volumen de un cilindtro es

V =pi

4D2h

Esta involucra una multiplicacion y elevar D al cuadradoentonces, en primer lugar encontramos la incerteza deD2.

D2

D2= 2

D

D= 2 0.277 % = 0.554 %

Entonces para V tenemos lo siguiente

V =pi

4(10.00 0.277 %) (324 0.544 %)

V = 2544.69 (0.277 % + 0.544 %)

V = (2544.69 0.82 %) mm3

V = (2544.69 20.866458)mm3

Y como paso final expresamos el resultado con las reglaspertinentes y el redondeo adecuado

V = (2540 20) mm3

Recordar siempre expresar la incerteza con una cifrasignificativa y la medicion segun las posiciones decima-les que permite la incerteza, tal como se expreso larespuesta anterior.