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Fernando Sánchez - Dep

artamento de Matemáticas -

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12·12

·2017

Cálculo I66Funciones reales de variable realLímites y continuidad

«Si he visto más lejos es porque estoy sentado sobre loshombros de gigantes». Isaac Newton

Funciones de una variable real. Límite en un puntoPara una función f : A ⊂ R −→ R, se llama dominio de f al conjunto A (que es donde estáde�nida la función). Se llama imagen de f al conjunto de valores que va tomando la función,Im(f ) = f (A) = { f (x) : x ∈ A}. Se dice que f es una función real, ya que su imagen está en R,y de variable real, pues está de�nida en un subconjunto A de R. Se suele escribir

f : x ∈ A ⊂ R −→ f (x) ∈ R.

Estas funciones se representan dibujando su grá�ca G(f ) = {(x , f (x)

)∈ R2 : x ∈ A}, que es

un conjunto del plano R2.

Ejemplo. La función f : x ∈ [−1, 2) −→ f (x) = x2 ∈ R tienecomo dominio el intervalo [−1, 2). Su imagen es el conjuntode valores que va tomando la función:

Im(f ) = {x2 : x ∈ [−1, 2)} = [0, 4).

Su grá�ca es el conjunto de puntos del plano

G(f ) = {(x ,x2

)∈ R2 : x ∈ [−1, 2)}.

−1 0 1 2 3 4

G(f)Im(f)

Entre todas las funciones reales se estudiarán casos especiales como

a) funciones continuas, cuyas grá�cas son conjuntos de “una sola pieza”,

b) funciones diferenciables o derivables, cuyas grá�cas son “de una sola pieza” y ademáscon tangente en cada punto, y

Funciones reales de variable real. Límites y continuidad — 1



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c) funciones integrables, que permiten calcular el área subyacente a la grá�ca.

a) función continua b) función derivable c) función integrable

f∫ b

af (x)dx

a b

Operaciones con funciones. Dadas f : A ⊂ R −→ R y д : B ⊂ R −→ R funciones reales deuna variable real, se pueden de�nir operaciones con ellas, como

1) Adición y multiplicación:

f + д : x ∈ A ∩ B ⊂ R −→ (f + д)(x) = f (x) + д(x) ∈ R

f · д : x ∈ A ∩ B ⊂ R −→ (f · д)(x) = f (x) · д(x) ∈ Rde�nidas siempre que A ∩ B , �

2) Multiplicación por escalares: λ · f : x ∈ A ⊂ R −→ (λ · f )(x) = λ · f (x) ∈ R

Se designa mediante F = F (A,R) al conjunto de todas las funciones de A en R. En esteconjunto F la adición es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro (la función constante0) y cada elemento tiene opuesto. La multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene elementounidad (la función constante 1), aunque no existe inverso en general, salvo para funciones queno se anulen nunca. La multiplicación por escalares veri�ca

(λ + µ) · f = λ · f + µ · fλ · (f + д) = λ · f + λ · д(λ · µ) · f = λ · (µ · f )

1 · f = f .

Se tiene entonces (aquí · es la multiplicación y ·e la multiplicación por escalares)

• (F ,+) es un grupo conmutativo,

• (F ,+, ·) es un anillo conmutativo y unitario,

• (F ,+, ·e) es un espacio vectorial sobre R. La dimensión es in�nita si A es in�nito; si A es�nito entonces la dimensión es card(A). Por ejemplo, si A = N entonces (F ,+, ·e) es elespacio vectorial de todas las sucesiones en R,

• (F ,+, ·, ·e) es un álgebra conmutativa y unitaria sobre R.

Límite de una función en un punto. Sea f : A ⊂ R −→ R y sea a un punto de acumulaciónde A. Se dice que b ∈ R es límite de f en a si

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ A, 0 < |x − a | < δ ⇒ | f (x) − b | < ε

y se escribeb = lim

x→af (x).




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También se puede escribir como

∀ε > 0 ∃δ > 0 :{x ∈ A ∩ (a − δ ,a + δ )

x , a

}⇒ | f (x) − b | < ε

o escrito de otra forma

∀V = (b − ε,b + ε) ∃U = (a − δ ,a + δ ) \ {a} : f(U ∩A) ⊂ V

En la de�nición se escribe 0 < |x − a | < δ , que es lomismo que decir |x − a | < δ y x , a.

Abreviadamente [x → a ⇒ f (x) → b ] signi�ca quelimx→a f (x) = b.

La función f no tiene porqué estar de�nida en el puntoa. Se trata de un punto de acumulación y puede estar ono en A. Pero si a ∈ A el valor de f en a es irrelevanteen la de�nición de límite.

En lugar de ejes coordenados, se puede utilizar otra representación del límite como aparece acontinuación: b = limx→a f (x) si dado cualquier intervaloV que rodea a b existe otro intervaloU que rodea a a tal que las imágenes de los elementos de este último (sólo los que están en A yson distintos de a) van todas al intervaloV . Lógicamente, a medida que se eligeV más pequeño,será necesario elegir U más pequeño.

A ⊂ R Rf

x ∈ A ∩Ux , a ⇒ f (x) ∈ V

U = (a − δ , a + δ ) V = (b − ε, b + ε)()

a b

()

En la de�nición de límite se exige que a sea un punto de acumulación de A. Caso de no serlo, lade�nición carece de sentido.

Proposición. Si f tiene límite en a, entonces dicho límite es único.

Demostración. Si existen dos valores b y c que cumplen la de�nición, entonces dado ε > 0

∃δ1 > 0 : x ∈ A, 0 < |x − a | < δ1 ⇒ | f (x) − b | < ε

∃δ2 > 0 : x ∈ A, 0 < |x − a | < δ2 ⇒ | f (x) − c | < ε

Así, para 0 < |x − a | < min{δ1,δ2} se tiene

|b − c | ≤ |b − f (x)| + | f (x) − c | < 2ε

y así se llega a que b = c .




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Demostración alternativa: si hay dos límites b , c entonces dados Vb = (b − ε,b + ε) yVc = (c − ε, c + ε) disjuntos Vb ∩Vc = � (se elige ε su�cientemente pequeño para que así sea)debería existir U = (a − δ ,a + δ ) \ {a} veri�cando f

(U ∩A

)⊂ Vb y f

(U ∩A

)⊂ Vc , lo cual es

imposible. �

Ejemplo: si f : A ⊂ R −→ R es una función constante, por ejemplo f (x) = 42 para todox ∈ A, entonces para cada a ∈ A′ se tiene lim

x→af (x) = 42. La comprobación es muy simple:

| f (x)−42| = 0 para cualquier x , y por tanto | f (x)−42| < ε para cualquier ε que se haya elegidopreviamente. Para las funciones constantes, en la de�nición de límite se puede elegir como δcualquier número positivo.

Ejemplo: la función f : x ∈ R −→ f (x) = 3x veri�ca limx→4

f (x) = 12. Para probarlo se hace

| f (x) − 12| = |3x − 12| = 3 |x − 4|.

Como consecuencia, es posible hacer pequeño a | f (x) − 12| haciendo pequeño a |x − 4|. Enconcreto, para cada ε > 0 se elige δ = ε/3 y así 0 < |x − 4| < δ ⇒ | f (x) − 12| < ε . Esto signi�caque lim

x→4f (x) = 12.

Ejemplo: para la función f : x ∈ [−1, 5) −→ f (x) = x2 ∈ R se puede calcular el límite ena = 2, y comprobar que dicho límite vale lim

x→2f (x) = lim

x→2x2 = 4. Para ello hay que probar que

| f (x) − 4| se hace arbitrariamente pequeño a medida que |x − 2| se hace pequeño (con x , 2).No hay más que escribir (se utiliza el hecho de que si x ∈ [−1, 5) entonces |x + 2| ≤ |x | + 2 ≤ 7)

| f (x) − 4| = |x2 − 4| = |x + 2| · |x − 2| ≤ 7 |x − 2|.

Así, dado ε > 0 se elige δ = ε/7 y se tiene

0 < |x − 2| < δ ⇒ |x2 − 4| < ε .

En consecuencia, limx→2

x2 = 4.

También se puede hablar de límite en a = 5, pues de nuevo se trata de un punto de acumulacióndel dominio. Para veri�car que dicho límite es lim

x→5f (x) = lim

x→5x2 = 25 se trata de ver si

| f (x) − 25| se hace arbitrariamente pequeño a medida que |x − 5| se hace pequeño (con x , 5).Se tiene

| f (x) − 25| = |x2 − 25| = |x + 5| · |x − 5| ≤ 10 |x − 5|.Por tanto, dado ε > 0 se elige δ = ε/10 y se tiene

0 < |x − 5| < δ ⇒ |x2 − 25| < ε .

En consecuencia, limx→5

x2 = 25.

Ejemplo: hay funciones, como la función de Dirichlet

f : x ∈ R −→{1 si x ∈ Q0 si x < Q

que no tienen límite en ningún punto. Por ejemplo, en a = π , no es posible encontrar un valorb que cumpla | f (x) − b | < ε para valores x próximos a π . Según sea x racional o no se tiene




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f (x) = 1 o f (x) = 0 y así | f (x) − b | < ε para todos ellos es imposible. No existe límite en π . Lamisma idea prueba que no hay límite en ningún otro punto.

Ejemplo: las funciones

Rf−→ R

x { x2R

д−→ R

x , 0 { x2

0 { 2

R \ {0} h−→ Rx { x2

1

2

veri�can0 = lim

x→0f (x) = lim

x→0д(x) = lim

x→0h(x).

Estos ejemplos muestran la intrascendencia en la de�nición de límite de lo que haga la funciónen el punto a. La existencia (o inexistencia) del límite es independiente del valor, si es que existe,de f en a. La de�nición de limx→a f (x) se re�ere a qué hacen los valores f (x) en los puntospróximos y distintos al punto a.

Proposición (álgebra de límites). Sean f : A ⊂ R −→ R y д : B ⊂ R −→ R veri�cando

b = limx→a

f (x), c = limx→a

д(x)

donde a es un punto de acumulación deA∩B. Entonces f +д, λ f y f д tienen límite en a y dichoslímites son b + c, λb y bc respectivamente, es decir

limx→a(f + д)(x) = lim

x→af (x) + lim

x→aд(x) = b + c

limx→a(f д)(x) =

(limx→a

f (x)) (

limx→a

д(x))= bc

limx→a(λ f )(x) = λ lim

x→af (x) = λb

Además, si b , 0 entonces

limx→a

1f (x) =

1limx→a

f (x) =1b

Demostración. Para ver quelimx→a(f + д)(x) = b + c

basta considerar la desigualdad

| f (x) + д(x) − (b + c)| ≤ | f (x) − b | + |д(x) − c |.




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La igualdadlimx→a(λ f )(x) = λb

es consecuencia de|λ f (x) − λb | = |λ | | f (x) − b |.

Para probar quelimx→a(f д)(x) = bc

se elige 0 < ε < 1. Entonces existe un valor δ > 0 tal que si x ∈ A∩ B y 0 < |x − a | < δ se tiene| f (x) − b | < ε , |д(x) − c | < ε . En particular, | f (x)| < |b | + 1. Así

| f (x)д(x) − bc | = | f (x)д(x) − f (x)c + f (x)c − bc |

≤ | f (x)| · |д(x) − c | + |c | · | f (x) − b |

≤ (|b | + 1)ε + |c |ε = (|b | + |c | + 1)ε

Sea ahora b , 0. Dado 0 < ε < |b |/2 existe δ > 0 tal que | f (x) − b | < ε para todo x ∈ A ∩ Bque veri�que 0 < |x − a | < δ . En particular, |b | − | f (x)| < |b |/2 y así | f (x)| > |b |/2. En total, six ∈ A y 0 < |x − a | < δ se tiene�� 1

f (x) −1b

�� = | f (x) − b || f (x)| · |b | <2ε|b |2 .

�

Se suele expresar este resultado diciendo que (si los límites de las funciones involucradasexisten)

a) el límite de la suma es la suma de los límites,

b) el límite del producto es el producto de los límites,

c) el límite del cociente (cuando tiene sentido, es decir, cuando el denominador no es cero)es el cociente de los límites, y

d) el límite de una función por un número es el número por el límite de la función.

Abreviadamente,

lim(f + д) = lim f + limд

lim(f · д) = (lim f ) · (limд)

lim(f

д

)=

lim f

limд(cuando tenga sentido)

lim(λ · f ) = λ · lim f .

Límites en el in�nito, límites in�nitos, laterales,. . .Existen diversas generalizaciones del concepto de límite, como

– Límites en el in�nito,




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– Límites in�nitos,– Límites laterales,– Límites superiores e inferiores,

en los cuales se consideran casos como a = +∞ o la posibilidad de que limx→a f (x) sea ±∞, oalgunos más.

Límites en el in�nito. SeaA un conjunto no acotado superiormente, es decir, para todo M > 0se tiene A ∩ [M,+∞) , �. Se considera en este caso +∞ como un punto de acumulación de A.Para una función f : A ⊂ R −→ R se dice que

b = limx→+∞

f (x)

si∀ε > 0 ∃M : x ∈ A, x > M ⇒ | f (x) − b | < ε .

De forma análoga, si A es un conjunto no acotado inferiormente, se dice que

b = limx→−∞

f (x)

si∀ε > 0 ∃M : x ∈ A, x < M ⇒ | f (x) − b | < ε .

2

3

f (x) = 1x − 2 + 3

д(x) = 1x

Estos límites se conocen como límites en elin�nito. Para ellos, las propiedades del álgebrade límites se mantienen.Por ejemplo,

limx→−∞

(1

x − 2 + 3)= 3

limx→+∞

1x= 0

Límites in�nitos. Sea f : A ⊂ R −→ R y a un punto de acumulación de A. Se dice que

limx→a

f (x) = +∞

si∀M ∃δ > 0 : x ∈ A, 0 < |x − a | < δ ⇒ f (x) > M,

es decir, cerca de a hay puntos x cuyas imágenes son tan grandes como queramos.

Se dice quelimx→a

f (x) = −∞

si∀M ∃δ > 0 : x ∈ A, 0 < |x − a | < δ ⇒ f (x) < M .




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limx→0

1x

no existe

limx→0

1x2= +∞

f (x) = 1x2

д(x) = 1x

Los límites in�nitos no mantienen las reglas del álgebra de límites. Ya no se cumple por ejemploque el límite de la suma sea la suma de los límites. Ahora por ejemplo

limx→0

1x2= +∞, lim

x→0

−1x2= −∞ y lim

x→0

(1x2+−1x2

)= 0

limx→0

7x4= +∞, lim

x→0

−1x4= −∞ y lim

x→0

(7x4+−1x4

)= +∞

Sin embargo, es fácil comprobar resultados del tipo

limx→a

f (x) = b ∈ R

limx→a

д(x) = +∞

⇒ limx→a(f + д)(x) = +∞

Límites in�nitos en el in�nito. Si +∞ es punto de acumulación de A, se dice

limx→+∞

f (x) = −∞

si∀M ∃N : x ∈ A, x > N ⇒ f (x) < M .

Ejercicio: de�nir los otros casos (y comprobar por ejemplo que limx→−∞

x2 = +∞)

limx→−∞

f (x) = −∞, limx→−∞

f (x) = +∞, limx→+∞

f (x) = +∞

Límites laterales. Se dice que a es un punto de acumulación por la izquierda de A cuandocualquier intervalo de la forma (a−δ ,a) contiene elementos deA, es decir, (a−δ ,a)∩A , � seacomo sea δ > 0. Similarmente, a es punto de acumulación por la derecha deA si (a,a+δ )∩A , �para todo δ > 0.

Si a es un punto de acumulación por la izquierda de A, se dice que b es límite por la izquierdade f : A ⊂ R −→ R en el punto a si

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ A, a − δ < x < a ⇒ | f (x) − b | < ε

y se suele escribir comob = lim

x→a−f (x) = lim

x↗af (x).




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De la misma forma, si a es un punto de acumulación por la derecha de A, se dice que b es límitepor la derecha de f : A ⊂ R −→ R en el punto a si

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ A, a < x < a + δ ⇒ | f (x) − b | < ε

y se expresa comob = lim

x→a+f (x) = lim

x↘af (x).

Ejemplo: la función

f : x ∈ R −→{−1 si x < 0

1 si x ≥ 0

veri�ca

limx→0−

f (x) = −1 limx→0+

f (x) = 1.−1

1

• Si a es un punto de acumulación por la izquierda y por la derecha, es decir, si es un punto deacumulación de A, entonces f tiene límite en a si y sólo si tiene límite por la izquierda y por laderecha en a y ambos coinciden:

existe limx→a

f (x) ⇔

existen limx→a−

f (x) y limx→a+

f (x)

limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x)

• También se pueden de�nir límites in�nitos laterales: se dice que

limx→a−

f (x) = +∞

si∀M ∃δ > 0 : x ∈ A, a − δ < x < a ⇒ f (x) > M .

De forma simétrica se utiliza la expresión

limx→a−

f (x) = −∞

para decir∀M ∃δ > 0 : x ∈ A, a − δ < x < a ⇒ f (x) < M .

Análogamente se de�nen para el límite por la derecha.

Ejemplo. Para la función

f : x ∈ R −→

1x

si x , 0

2 si x = 0

se tiene

limx→0−

f (x) = −∞ limx→0+

f (x) = +∞

2




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Límite superior e inferior. Se dice que b es límite superior de f en a, y se escribe

b = limsupx→a

f (x)

si se cumplen las dos condiciones

a) ∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ A, 0 < |x − a | < δ ⇒ f (x) < b + ε ,

b) ∀µ > 0 ∃x ∈ A con 0 < |x − a | < µ y f (x) > b − ε .

De forma análoga se de�ne el límite inferior.

Ejemplo. Si f es la función de Dirichlet

f : x ∈ R −→{0 si x ∈ Q1 si x < Q

entoncesliminfx→a

f (x) = 0, limsupx→a

f (x) = 1.

para todo a ∈ R, aunque esta función no tiene límite en ningún punto.

Funciones continuasSe dice que f : A ⊂ R −→ R es continua en a ∈ A si o bien a es un punto aislado o bien a esun punto de acumulación de A, existe limx→a f (x) y coincide con f (a). Todo esto se puederesumir en una sola línea:

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ A, |x − a | < δ ⇒ | f (x) − f (a)| < ε .

Esta condición se puede expresar de otras formas equivalentes

a) ∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ A, x ∈(a − δ ,a + δ

)⇒ f (x) ∈

(f (a) − ε, f (a) + ε

)b) ∀V = (

f (a) − ε, f (a) + ε) ∃U = (

a − δ ,a + δ): f

(U ∩A

)⊂ V

c) ∀V = (f (a) − ε, f (a) + ε

) ∃U = (a − δ ,a + δ

): U ⊂ f −1(V )

(donde f −1(V ) = {x ∈ A : f (x) ∈ V } representa la imagen inversa del conjunto V ).

En la de�nición se escribe |x − a | < δ , con lo cual seadmite el valor x = a.

La función f debe estar de�nida en a y su valor f (a)debe coincidir con el valor del límite limx→a f (x).

La continuidad de f en a suele expresarse en una solalínea: lim

x→af (x) = f (a).

Otra forma de representar la continuidad en a:




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A ⊂ R Rf

x ∈ A ∩U ⇒ f (x) ∈ V

U =(a − δ , a + δ

)V =

(f (a) − ε, f (a) + ε

)

()

a f (a)

()

La función f (x) ={

1 si x ≥ 0−1 si x < 0 es continua en x = 3, pero no lo es en x = 0.

Se dice que f es continua en un conjunto si es continua en todos los puntos del conjunto.

Intuitivamente, las grá�cas de las funciones continuas son aquellas que tienen un sólo trazo.Sin embargo, hay funciones continuas (de�nidas en dos conjuntos disjuntos) cuya grá�ca tienevarios trazos.Ejemplo. Si A = (0, 1] ∪ {2} ∪ (3, 4), la función

f : x ∈ A −→

1 si x ∈ (0, 1]

3 si x = 2

2 si x ∈ (3, 4)

es continua (ya que es continua en cada punto de sudominio), a pesar del aspecto “roto” de su grá�ca.

1 2 3 4

1

2

3

También conviene revisar funciones como la función de Cantor o escalera del diablo paradelimitar más qué signi�ca eso de “funciones cuya grá�ca tiene un sólo trazo”.

Tipos de discontinuidades

Cuando las condiciones de la de�nición anterior no se cumplen se dice que f es discontinua ena. Las causas que pueden dar lugar a que una función f no sea continua en a se siguen de

f es continua en a ⇔ ∃ limx→a

f (x) y coincide con f (a).

Por tanto, f es discontinua en a si algo de esto falla. La existencia del límite a su vez dependede la existencia de los límites laterales y de si coinciden o no entre ellos. Todo esto se re�eja enel siguiente esquema:

Discontinuidad en a

Evitable (∃ limx→a∈ R)

No evitableo esencial(� lim

x→ao es ±∞)

De primera especie(∃ lim

x→a+y ∃ lim

x→a−)

De salto �nitoDe salto in�nitoAsintótica

De segunda especie(� lim

x→a+o � lim

x→a−

o ambos no existen)

Discontinuidad evitable. Se dice f tiene una discontinuidad evitable en a cuando existelimx→a f (x) pero no coincide con f (a). Se llama así porque cambiando adecuadamente el valorde f en a se tendría una función continua.




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Ejemplo. Para la función

f : x ∈ R −→{2 si x , 1

1 si x = 1

se tiene limx→1

f (x) = 2 , f (1) = 1. 1

1

2

Ejemplo. La función f (x) =(cos2 x − 1

)/x2 (de�nida para x , 0) y f (0) = 4, tiene una

discontinuidad evitable en a = 0. La única forma de hacerla continua es asignando el valorf (0) = −1.

−1

1

Discontinuidad de salto �nito. Se dice f tiene una discon-tinuidad de salto �nito en a cuando existen limx→a− f (x) ∈ Ry limx→a+ f (x) ∈ R pero no coinciden.Ejemplo. Para la función

f : x ∈ R −→{ −1 si x < 0

1 si x ≥ 1

se tiene limx→0−

f (x) = −1 , limx→0+

f (x) = 1.

Discontinuidad de salto in�nito. Se dice f tiene una dis-continuidad de salto in�nito en a cuando existen limx→a− f (x)y limx→a+ f (x), y no coinciden al ser �nito el valor de uno deellos y ±∞ el otro.Ejemplo. Para las funciones

f (x) =

1x

si x > 0

−1 si x ≤ 0д(x) =

1x2

si x > 0

x + 2 si x ≤ 0

д(x)

f (x)

se tiene

−1 = limx→0−

f (x) , limx→0+

f (x) = +∞, 2 = limx→0−

д(x) , limx→0+

д(x) = +∞.

Discontinuidad asintótica. Se dice f tiene una discon-tinuidad asintótica en a cuando existen limx→a+ f (x) ylimx→a− f (x) y el valor de ambos es ±∞.Ejemplo. Para la función

f : x ∈ R −→

1x2

si x , 0

0 si x = 0

se tiene limx→0

f (x) = +∞ , f (0) = 0.




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1

2f (x)

д(x)

Discontinuidad de segunda especie. Se dice f tiene unadiscontinuidad de segunda especie en a cuando alguno delos límites limx→a+ f (x) o limx→a− f (x) no existe (o bien noexiste ninguno de los dos).Ejemplo. Para las funciones

f (x) ={2 si x ∈ Q

0 si x < Qд(x) =

{x si x ∈ Q

0 si x < Q

se tiene que f tiene discontinuidades de segunda especie en todo R mientras que д tienediscontinuidades de segunda especie en todos los puntos salvo en el 0, en el cual es continua.

Operaciones con funciones continuas

Las propiedades elementales de las funciones continuas son una consecuencia directa de laspropiedades del álgebra de límites.

Proposición. Si f y д son funciones continuas en a, entonces también los son las funciones f +д,λ f , f · д. Si además д(a) , 0 entonces también f /д es continua.

De�nición. Sean f : A ⊂ R −→ R y д : B ⊂ R −→ R, veri�cando f (A) ⊂ B, es decir,el conjunto imagen de f contenido en el dominio de д. Se de�ne la función compuestaд ◦ f : A ⊂ R −→ R como (д ◦ f )(x) = д(f (x)).

A → R → Rx { f (x) { д(f (x))

La composición de funciones es asociativa pero no es, en general, conmutativa. Por ejemplo,

f (x) = x2

д(x) = 1 + x

}⇒

{(д ◦ f )(x) = д(f (x)) = д(x2) = 1 + x2

(f ◦ д)(x) = f (д(x)) = f (1 + x)) = (1 + x)2

Proposición. Si f es continua en a y д es continua en f (a) entonces д ◦ f es continua en a, esdecir, la composición de funciones continuas es continua.

Demostración. Sea ε > 0. Por la continuidad de д en f (a) existe ρ > 0 tal que

|y − f (a)| < ρ ⇒ |д(y) − д(f (a))| < ε .

A ⊂ R R Rf д

(a − δ , a + δ

) (f (a) − ρ, f (a) + ρ

)(д(f (a)) − ε, д(f (a)) + ε

)()

af (a)(

)

д(f (a))

()




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Para ese valor ρ existe δ > 0 tal que (ahora se aplica la continuidad de f en a)

|x − a | < δ ⇒ | f (x) − f (a)| < ρ.

En resumen, dado ε > 0 existe δ > 0 que veri�ca

|x − a | < δ ⇒ |(д ◦ f )(x) − (д ◦ f )(a)| < ε,

y la composición д ◦ f es continua en a. �

A veces se expresa esta propiedad como

limx→a

д(f (x)

)= д

(limx→a

f (x))= д

(f (a)

),

donde la primera igualdad se sigue por la continuidad de д en f (a) y la segunda por lacontinuidad de f en a.

Funciones continuas elementales

Estas dos proposiciones permiten construir funciones continuas a partir de funcioneselementales, cuya continuidad puede probarse con facilidad en algunos casos.

• Toda función contante es continua en todos los puntos.

Si λ ∈ R, la función д(x) = λ es continua en cualquier punto a: dado ε > 0 se elige δ cualquiernúmero positivo. Así |x − a | < δ ⇒ |д(x) − д(a)| < ε trivialmente, ya que |д(x) − д(a)| = 0.

• La función identidad i : x ∈ R −→ x ∈ R es continua.

Basta considerar δ = ε en la de�nición de continuidad, puesasí |x − a | < δ ⇒ |i(x) − i(a)| = |x − a | < ε .

• Cualquier múltiplo λi de la función identidad es continua:λi(x) = λx .

• La función i2 = i · i es continua, por ser el producto defunciones continuas: i2(x) = i(x) · i(x) = x2 es continua.

• En general, la función in : x ∈ R −→ xn ∈ R es continua.

f (x) = x

• Las funciones polinómicas

x ∈ R −→ anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0

son continuas, por ser sumas y productos de funciones continuas.

• Las funciones racionales

x ∈ A ⊂ R −→ anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + b0son continuas en todos los puntos en los que están de�nidas. Estas funciones racionalesson continuas en R salvo a lo sumo en una cantidad �nita de puntos (las raíces reales deldenominador).




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También se puede probar con no demasiada di�cultad que las siguientes funciones elementalesbásicas son continuas en cada punto en el que están de�nidas. Al menos, para las funcionespotenciales la prueba no es demasiado complicada.

• Las funciones potenciales

x ∈ A ⊂ R −→ xp

donde p ∈ R. El conjunto de de�nición es como mínimoA = {x ∈ R : x > 0}, y dependiendo del valor de p se puedeir ampliando.Si p > 0 entonces A = {x ∈ R : x ≥ 0}.Si p ∈ N entonces A = R.Si −p ∈ N entonces A = R \ {0}.La continuidad puede expresarse como

|x − a | → 0⇒ |xp − ap | → 0.

x2√x

1x

• Las funciones exponenciales

x ∈ R −→ ax

donde a > 0 (se entiende que a , 1) y sus inversas, lasfunciones logarítmicas

x ∈ R+ −→ loga(x)

son todas continuas en todos los puntos en los que estánde�nidas.

2xlog2 x

Que estas funciones exponenciales y logarítmicas seaninversas signi�ca que

y = loga x ⇔ ay = x

por lo que las propiedades de las potencias, como axay =ax+y , tienen su re�ejo en los logaritmos:

(1/2)x

log1/2 x

X = ax

Y = ay

}⇒ axay = XY = ax+y ⇒ loga(XY ) = x + y = loga X + loga Y .

Similarmente, loga xp = p loga x ya que:

X = ax ⇒ Xp = (ax )p = apx ⇒ loga Xp = px = p loga X .

Todos los logaritmos son proporcionales. Dicho con otras palabras, el conjunto de funcioneslogarítmicas es un espacio vectorial de dimensión 1. Para probar esta a�rmación se parte deay = x o ey = x y se aplican logaritmos neperianos y logaritmos en otra base:

ay = x ⇒{

y = loga xy · lna = lnx

}⇒ loga x =

lnxlna.




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ey = x ⇒{

y = lnxy · loga e = loga x

}⇒ lnx =

loga xloga e

.

[En general, si f(ab

)= b · f (a) entonces f (x) = k · lnx para todos los valores x > 0, ya que

si se elige ey = x entonces f (x) = f (ey ) = y · f (e) = f (e) · lnx]

Como los logaritmos son todos proporcionales, se suele utilizar el más sencillo, que es lafunción logaritmo natural o neperiano y se denotará logx o lnx . En otro caso se utilizará labase del logaritmo para indicarlo expresamente, por ejemplo log2 x o el logaritmo decimallog10 x .

No ocurre lo mismo con las funciones exponenciales, que ya no son proporcionalesunas a otras. Es evidente que f (x) = ex y д(x) = 2x no son proporcionales. De echo2x = e ln 2

x= ex ln 2 = (ex )ln 2. Además, las funciones lnx y 2 lnx (una es el doble de la otra)

tienen como inversas a ex y ex/2 (una es el cuadrado de la otra).• La función seno, x ∈ R −→ senx , es continua,

es decir, |x − a | → 0⇒ | senx − sena | → 0.También lo es su inversa, la función arco senox ∈ [−1, 1] −→ arcsenx , considerada como lainversa de x ∈ [−π/2,π/2] −→ senx (de�nidaen un dominio en el cual senx es biyectiva).

π2

π 3π2

2π−1

1 senx

Todas las operaciones que se hagan con estas funciones elementales básicas, tales como sumas,composiciones, productos,. . . son funciones continuas en donde estén de�nidas. Estas funcionesresultantes se llaman funciones elementales. Por ejemplo, funciones elementales (no básicas)son:

• La función coseno, x ∈ R −→ cosx , que es el resultado de las siguientes transformaciones

x → senx → sen2 x → 1 − sen2 x →√1 − sen2 x

que son todas continuas (aparece la función seno, una potencia, un resta y una potencia).

• La función tangente donde está de�nida es continua

x ∈ R \{(2k + 1)π

2: k ∈ Z

}−→ tgx =

senxcosx

• La función coseno también se puede escribir como cos(x) = sen(x − π/2) y de esta formaes el resultado de la composición de las funciones elementales básicas f (x) = x − π/2 yд(x) = senx , ya que cosx = (д ◦ f )(x).

Sobre la composición de funciones. Se consideran f : A ⊂ R −→ R y д : B ⊂ R −→ R,donde la imagen de f esté contenida en el dominio de д, es decir, f (A) ⊂ B. Entonces se puedehablar de la composición д ◦ f como la función x ∈ A −→ (д ◦ f )(x) = д(f (x)).

Af−→ f (A)

д−→ R

x { f (x) { д(f (x))

д ◦ f




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Por ejemplo, sif (x) = 1 − x2, д(x) =

√x

entonces (д ◦ f )(x) = д(f (x)) = д(1 − x2) =√1 − x2 . Esta función está de�nida en aquellos

valores del dominio de f cuya imagen por f esté en el dominio de д. En este caso, los valoresque cumplen 1 − x2 ≥ 0, que son aquellos en los que д está de�nida.

Se puede calcular la composición en otro orden: (f ◦д)(x) = f (д(x)) = f (√x ) = 1−x , de�nida

sólo para valores positivos.

La función (f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f (1 − x2) = 1 − (1 − x2)2, composición de f consigo misma,está de�nida en todo R.

La composición de funciones no es conmutativa: en general se tiene f ◦ д , д ◦ f , aunque enalgunos casos concretos puede darse la igualdad.

Es muy útil reconocer en una expresión qué funciones elementales intervienen, y en qué ordenlo hacen. Por ejemplo, la función x ∈ R −→ f (x) =

√4 + senx2 puede conseguirse mediante

las funciones

f1(x) = x2, f2(x) = senx , f3(x) = 4 + x , f4(x) =√x

ya que f (x) = (f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1)(x). La continuidad de f (y otras operaciones que ya se verán,como por ejemplo la derivada) se puede estudiar viendo cómo es cada una de las funciones queintervienen. Como estas cuatro funciones son continuas, también lo es f .

Continuidad y dominio de la función. Hay funciones con-tinuas en todo su dominio. También existen funciones que noestán de�nidas en ningún punto, como f (x) =

√− 1 − x − x2 .

Hay funciones de�nidas en conjuntos disjuntos y que son con-tinuas, por ejemplo

д : x ∈ (1, 2) ∪ (3, 4) −→{3 − x si x ∈ (1, 2)1 si x ∈ (3, 4)

1 2 3 4

1

2 д(x)

Una función continua cuya grá�ca tiene dos trazos. ¿No es esto una contradicción con la ideaque se tiene de función continua?

Continuidad y cálculo de límites. Una primera propiedad que tienen las funciones continuases que para ellas no existe el cálculo de límites. Por ejemplo, para calcular

limx→π/2

senxx

basta considerar que en el punto a = π/2 la función senx es continua, la función x es continua yno se anula, luego el cociente es continua y así el valor del límite es senπ/2

π/2 = 2/π . Sin embargo,estas consideraciones no valen para el cálculo de

limx→0

senxx,




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y este límite se debe calcular con algún otro procedimiento. Otro ejemplo, es fácil obtener que

limx→4

(x − 4)√1 + x + lnx

x2 + 1= 0

sin tener que realizar ningún cálculo, salvo sustituir el valor de la función, que es continua, ena = 4. En el siguiente apartado se verán otras propiedades que tienen las funciones continuas.

Teoremas fundamentales para las funciones continuasLa función f (x) = x2 transforma el intervalo abierto (−1, 1) en el intervalo [0, 1), es decir,f (−1, 1) = [0, 1). La función д(x) = 1/x lleva el intervalo cerrado [1,+∞) en (0, 1], es decir,veri�ca д[1,+∞) = (0, 1]. Y también transforma un intervalo acotado en otro que no lo es:д(0, 1) = (1,+∞).

Estos ejemplos muestran que la imagen continua de un conjunto abierto o cerrado o acotado notiene porqué ser un conjunto del mismo tipo. En esta sección se van a estudiar qué propiedadesse mantienen al aplicarles una función continua. Y también se estudiarán las propiedadesque se mantienen al aplicarles la imagen inversa de una función continua. En concreto, sif : A ⊂ R −→ R es una función continua, y B ⊂ A, ¿qué propiedades pasan de B a f (B)? Y siC ⊂ R, ¿qué propiedades pasan de C a f −1(C)?

Teorema. Sea f : A ⊂ R −→ R continua y C ⊂ R un conjunto abierto (o cerrado). Entoncesf −1(C) = {x ∈ A : f (x) ∈ C} es abierto (o cerrado) de A, es decir, intersección con A de conjuntoabierto (o cerrado).

Demostración. SeaC abierto. Se trata de ver que f −1(C) es abierto. Para ello se va a probar todopunto suyo es un punto interior: si a ∈ f −1(C) entonces debe existir U = (a − δ ,a + δ ) tal quea ∈ U ⊂ f −1(C).

Si a ∈ f −1(C) entonces f (a) ∈ C . Como C es abierto existe V = (f (a) − ε, f (a) + ε) tal quef (a) ∈ V ⊂ C . Aplicando la de�nición de continuidad de f en a existe U = (a − δ ,a + δ ) talque f (U ) ⊂ V . Por tanto, a ∈ U ⊂ f −1(V ) ⊂ f −1(C).

Para probar el teorema con conjuntos cerrados se hace la misma demostración pasando alconjunto complementario. �

Ejercicio. Probar el recíproco de este teorema: si para cada C ⊂ R abierto se tiene que f −1(C)es abierto de A, entonces f es continua en A.

Teorema. Si f : A ⊂ R −→ R es continua y A es compacto, entonces f (A) es compacto.

Demostración. Dado un recubrimiento abierto f (A) ⊂ ∪i∈I Gi se tiene que A ⊂ ∪i∈I f−1(Gi)

es un recubrimiento abierto de A. Como A es compacto, este último recubrimiento admite unrecubrimiento �nito, es decir, A ⊂ f −1(Gi1) ∪ · · · ∪ f −1(Gin ) y así f (A) ⊂ Gi1 ∪ · · · ∪Gin es unrecubrimiento �nito del recubrimiento original y f (A) es compacto. �

Corolario. Toda función continua en un compacto alcanza el máximo y el mínimo. Si A escompacto y f : A ⊂ R −→ R es continua, existen a,b ∈ A tales que f (a) ≤ f (x) ≤ f (b)para todo x ∈ A.

(La demostración es evidente: como f (A) = { f (x) : x ∈ A} es cerrado y acotado, por seracotado tiene ín�mo y supremo, y por ser cerrado ambos pertenecen al conjunto, y son mínimoy máximo).




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El teorema de Bolzano y resolución de ecuaciones. Otrapropiedad importante de las funciones continuas se conocecomo teorema de Bolzano. Este resultado muestra cómo sepuede resolver cualquier ecuación de�nida por una funcióncontinua. Dada una ecuación f (x) = 0 en la que f es unafunción continua, se pueden calcular sus posibles solucionessin más que encontrar puntos a y b en los que f cambie designo, es decir, f (a)· f (b) < 0. Entre cada dos cambios de signohay una solución que puede calcularse con tanta precisióncomo se quiera.

f (x) = 0

a b

f

Lema (propiedad esencial en las funciones continuas). Si f : A −→ R es continua y f (a) > 0entonces también f es positiva para los elementos de un cierto intervalo (a − δ ,a + δ ), es decir:

f (a) > 0 ⇒ ∃δ > 0 : f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ ,a + δ ) ∩A.El mismo resultado para el caso en que f (a) < 0

f (a) < 0 ⇒ ∃δ > 0 : f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ ,a + δ ) ∩A.

Demostración. Si f (a) > 0, se elige ε > 0 para que se cumpla 0 <(f (a) − ε, f (a) + ε

), por

ejemplo ε = f (a)/2. Como f es continua en a, existe un intervalo (a − δ ,a + δ ) que veri�cax ∈ (a − δ ,a + δ ) ∩A⇒ f (x) ∈

(f (a) − ε, f (a) + ε

), y por tanto f (x) > 0. �

Se puede escribir este lema en otros términos equivalentes: si f es continua, entonces f −1(0,+∞)y f −1(−∞, 0) son abiertos en A. En efecto,

a ∈ f −1(0,+∞) ⇔ f (a) ∈ (0,+∞) ⇔ f (a) > 0,

y en ese caso hay un intervalo que cumple (a − δ ,a + δ ) ∩A ⊂ f −1(0,+∞), ya que

x ∈ (a − δ ,a + δ ) ∩A ⇒ x ∈ f −1(0,+∞).

Teorema (de Bolzano o del valor medio para funciones continuas) Si f : [a,b] −→ R escontinua y f (a) · f (b) < 0, entonces existe c ∈ (a,b) tal que f (c) = 0.

Demostración. Sea f (a) < 0 < f (b) (el otro caso f (a) > 0 > f (b) es simétrico). Se considera elconjunto

C = {x ∈ [a,b] : f (x) < 0}.Como a ∈ C ⊂ [a,b] se tiene que C es no vacío y acotado. Por tanto existe c = sup(C). Lademostración consiste en probar que f (c) = 0, viendo que es imposible f (c) > 0 y f (c) < 0.

f

a bc

Por el lema anterior, f es positiva en algún intervalo(b − ε, b]. Por tanto C ⊂ [a, b − ε], en particular c < b.Además, f (x) ≥ 0 si x ∈ (c, b], puesto que si x > c entoncesno puede ser f (x) < 0.

a c b

− ≥ 0 +

Como consecuencia, no puede darse f (c) < 0. Si fueraf (c) < 0, entonces también f sería negativa en un intervalo(c − δ , c + δ ) y ya se ha visto que a la derecha de c tiene queser f mayor o igual que 0.




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Por último, no es posible f (c) > 0, pues en ese caso, f sería positiva en todo un intervalo(c − δ , c + δ ) y por tanto sería f (x) ≥ 0 para x ∈ (c − δ , b]. Por tanto, c no sería el supremo deC (no sería la menor de las cotas superiores).

De todo lo anterior se sigue que f (c) = 0. �

Corolario. Si I es un intervalo y f : I ⊂ R −→ R es continua en I , entonces f (I ) es tambiénun intervalo. En particular f alcanza cualquier valor intermedio entre dos valores que alcance: sia,b ∈ I y f (a) ≤ α ≤ f (b) entonces existe c ∈ [a,b] veri�cando f (c) = α .[Que I sea un intervalo signi�ca que a,b ∈ I y a ≤ c ≤ b entonces c ∈ I , es decir, si veri�caa,b ∈ I ⇒ [a, b] ⊂ I . Conjuntos que son intervalos son todos aquellos conjuntos comprendidosentre dos valores (números reales o ±∞):

[a], [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), [a,+∞), (a,+∞), (−∞,a], (−∞,a), (−∞,+∞) = R.]

Demostración. Sean f (a), f (b) ∈ f (I ) y f (a) ≤ α ≤ f (b). Se trata de ver que α ∈ f (I ). Lafunción д(x) = f (x) − α es continua en [a,b] (suponiendo que a < b, en caso contrario habríaque escribir [b,a]) y cambia de signo, ya que д(a) ≤ 0 ≤ д(b). Por tanto existe c ∈ [a,b] queveri�ca д(c) = 0, es decir, f (c) = α y así α ∈ f (I ). �

Este resultado no es cierto en Q (para funciones de variable racional). Por ejemplo, la funciónf : x ∈ Q −→ x2 − 2 ∈ Q vale negativo en a = 0 y positivo en b = 2. Pero no alcanza el valorcero, ya que f (c) = 0 no tiene solución en los números racionales.

Es importante resaltar que hay funciones continuas, como

f : x ∈ (1, 2) ∪ (3, 4) −→{−2 si x ∈ (1, 2)

1 si x ∈ (3, 4)

que alcanzan valores positivos y negativos, aunque no alcanzan el valor 0. El teorema de Bolzanotrata sobre funciones continuas de�nidas en intervalos. Más adelante se verá este teoremade Bolzano en conjuntos conexos, como son los intervalos en R. Pero este resultado puede nocumplirse si se permite utilizar funciones continuas en conjuntos más generales, como en lafunción que aparece al comienzo de este párrafo.

Ejemplo: Resolver la ecuación xex = 1.

Esta ecuación se escribe como xex − 1 = 0 y sólo puedetener soluciones positivas, ya que ex > 0 para todo x . Lafunción f (x) = xex − 1 es continua y f (0) < 0 < f (1). Portanto hay una solución c ∈ (0, 1). Ahora se pueden calcularlos valores de f en 0′1, 0′2, . . . , 0′9 y encontrar donde haycambio de signo para f . Como f (0′5) < 0 < f (0′6) setiene que c ∈ (0′5, 0′6) y por tanto c = 0′5 . . . Se vuelven acalcular los valores de f en 0′51, 0′52, . . . , 0′59, etcétera.

−2 −1 1

−2

−1

1

2

3

xex − 1

Se van obteniendo así los dígitos de la solución de xex = 1, que es c = 0′567143 . . . Se verámás adelante que la función f es creciente para x ≥ 0 y por tanto ya no hay más soluciones.

Un método que se utiliza con frecuencia para calcular soluciones de ecuaciones es el llamadométodo de bisección. Una vez que se tienen a y b tales que f (a) · f (b) < 0 (es decir, hay un




U

nive

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ad d

e E

xtre

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Dep

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de E

xtr

em

ad

ura

cambio de signo), se mira cómo es el valor de f en el punto medio c = (a + b)/2. Dependiendode cómo es este valor, se elige ahora el intervalo [a, c] o [c, b] en el que haya un cambio designo. En este intervalo se vuelve a tomar el punto medio y se elige de nuevo el subintervaloen el que haya cambio de signo. Repitiendo este proceso, se van eligiendo intervalo cuyaslongitudes son cada vez más pequeños. Sus extremos tendrán cada vez más cifras decimalesiguales. Todo esto permite encontrar la solución (o soluciones) de f (x) = 0 con la precisiónque se quiera.

−2 −1 1 2

−40

−20

20

40

x7−12x−4Ejemplo: Resolver la ecuación x7 − 12x − 4 = 0.La función f (x) = x7− 12x − 4 es continua y tiene cambios designo en los intervalos [−2,−1], [−1, 0] y [1, 2]. En cada unode ellos hay una solución de la ecuación f (x) = 0, y cada unade estas soluciones se puede calcular con precisión arbitraria.Se obtienen

c1 = −1′44855 . . .c2 = −0′333371 . . .c3 = +1′56264 . . .

Otros ejemplos de aplicación del teorema de Bolzano: la ecuación cos7 x = x tiene como soluciónx = 0′461459 . . . ; la ecuación

√x2 + 1 = 1 + cosx tiene como soluciones x = ±1′079665 . . .

Sin embargo, la ecuación logx =√x no parece tener soluciones al no encontrarse cambios de

signo.

Continuidad uniformeLa continuidad es una propiedad local. Una función puede ser o no continua en cada punto. Sif es continua en a entonces dado V = (f (a) − ε, f (a) + ε) existe U = (a − δ ,a + δ ) que veri�caf (U ) ⊂ V . Pero la relación que hay entre los valores ε y δ , es decir, la relación que hay entrelos tamaños de V y U , depende de cómo es la función f es ese punto a.

De�nición. Se dice que f : A ⊂ R −→ R es uniformemente continua en A si

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ,y ∈ A, |x − y | < δ ⇒ | f (x) − f (y)| < ε .

La elección de δ ya no depende del punto que se trate. Sólo depende del valor de ε .Recuérdese que f es continua en un punto x ∈ A si

∀ε > 0 ∃δx > 0 : y ∈ A, |x − y | < δx ⇒ | f (x) − f (y)| < ε .

Se ha escrito intencionadamente δx en lugar de δ para insistir en que la elecciónde tal número δx depende del punto x ∈ A.

Ejemplo: la función f (x) = λx es continua en R y también es uniformemente continua:

| f (x) − f (y)| = |λx − λy | < ε ⇔ |x − y | < ε

|λ |

y por tanto la elección es δ =ε

|λ | (se entiende que λ , 0, ya que el caso λ = 0 es trivial).




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em

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ura

Ejemplo: la función f (x) = senx es uniformemente continua en R, ya que

| senx − seny | ≤ |x − y |

y por tanto basta tomar δ = ε en la de�nición de continuidad uniforme.

Es evidente que si f es uniformemente continua entonces f es continua. Sin embargo, hayfunciones continuas que no son uniformemente continuas.

Un ejemplo interesante. La función

f (x) =

x si x ∈ [0, 1]

2x − 1 si x ∈ [1, 2]3x − 3 si x ∈ [2, 3]

es continua. En cada punto a del intervalo [0, 1) se cumple

| f (x) − f (a)| = |x − a |

y por tanto en la de�nición de continuidad en a se tiene elegirδ ≤ ε .

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

En cada punto a del intervalo [1, 2) se cumple

| f (x) − f (a)| = |2x − 1 − (2a − 1)| = 2|x − a |

y por tanto en la de�nición de continuidad se puede elegir δ ≤ ε/2.

En el siguiente intervalo [2, 3) sería δ ≤ ε/3.

Este ejemplo muestra que en la de�nición de continuidad en a, la elección del valor δ para quesea cierta la implicación

|x − a | < δ ⇒ | f (x) − f (a)| < εdepende del punto a. Además puede ocurrir que no se pueda encontrar un δ válido en todoslos puntos, como por ejemplo, una función como la de más arriba si se añaden tramos cada vezmás inclinados, como por ejemplo,

f (x) =

x si x ∈ [0, 1]2x − 1 si x ∈ [1, 2]3x − 3 si x ∈ [2, 3]4x − 6 si x ∈ [3, 4]. . .

Ejemplo: la función f (x) = x2 es continua en R. Ahora bien,

| f (x) − f (y)| = |x2 − y2 | = |x + y | · |x − y |.

Por tanto, para hacer | f (x) − f (y)| < ε hay que elegir |x + y | · |x − y | < ε . Esto obliga a queδ deba ser cada ver más pequeño para valores x → +∞. La función no es uniformementecontinua en R. Pero sí lo es en el intervalo [4, 7], ya que si x ,y ∈ [4, 7] entonces

| f (x) − f (y)| = |x2 − y2 | = |x + y | · |x − y | ≤ 11 · |x − y |




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y basta tomar δ = ε/11 en la de�nición de continuidad uniforme.

Ejemplo: la función f (x) = 1/x no es uniformemente continua en R \ {0}, ya que�� 1x − 1y

�� = |x − y ||x | · |y |

y la elección de δ depende de cómo son los valores x ,y ∈ R; en especial, si x → 0 entonces δdebe elegirse cada vez más pequeño.

Ejemplo práctico: cómo comprobar que una función es uniformemente continua. Es posiblerealizar unos cálculos sencillos para veri�car si una función es uniformemente continua o no.Dado ε , se eligen a y a + δ (puntos separados a distancia δ ), y se plantea la pregunta ¿es posibleque para algún δ se pueda conseguir

��f (a)− f (a+δ )�� < ε para cualquier valor a? Si la respuestaes a�rmativa, entonces f es uniformemente continua. En la práctica resulta relativamentesencillo hacer estas comprobaciones.

• Para la función f (x) = 4x , dado ε > 0, ¿es posible hacer��f (a) − f (a + δ )

�� < ε? Como��f (a) − f (a + δ )�� = 4δ , la pregunta se transforma en ¿es posible elegir δ para que 4δ < ε . La

respuesta es a�rmativa: basta tomar δ < ε/4. Esta función es uniformemente continua entodo R.

• Para f (x) = x2 de nuevo se plantea��f (a) − f (a + δ )

�� < ε . ¿Es posible encontrar un δ quecumpla eso? En este caso,

��f (a) − f (a + δ )�� = |(2a + δ )δ |. Mantener esta cantidad menor

que ε para cualquier valor de a es imposible: si a es un valor grande entonces no se puedemantener |(2a + δ )δ | < ε . La función f (x) = x2 no es uniformemente continua en R. Sinembargo, sí lo es en [0, 4]. En este intervalo se cumple |(2a + δ )δ | ≤ (8 + δ )δ y ahora sí esposible hacer |(2a + δ )δ | ≤ (8 + δ )δ < ε . Basta elegir δ < 1 y δ < ε/9 (se elige como δ elmenor de esos dos valores), pues así (8 + δ )δ < (8 + 1) · ε/9 = ε .

• La función f (x) = 1/x no es uniformemente en (0,+∞). Basta ver que��f (a) − f (a + δ )�� = ��1a − 1

a + δ

�� = |a + δ − a ||a + δ | · |a | =δ

(a + δ ) · a

que no se puede mantener menor que ε para cualquier a (para valores de a próximos a 0 laexpresión anterior se hace arbitrariamente grande). Ahora bien, la función f (x) = 1/x sí esuniformemente continua en [2,+∞). En este intervalo se tiene a ≥ 2 y así��f (a) − f (a + δ )

�� = δ

(a + δ ) · a ≤δ

(2 + δ ) · 2 ≤δ

4< ε

si se elige δ < 4ε .

Proposición. La suma y producto por escalares de funciones uniformemente continuas esuniformemente continua.

En general, el producto y cociente de funciones uniformemente continuas no es uniformementecontinua. Por ejemplo, la función f (x) = x es uniformemente continua en (0,+∞) pero 1/f yf 2 no lo son.

Teorema. Toda función continua en un compacto es uniformemente continua.




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Demostración. Sea ε > 0. Como f : A ⊂ R −→ R es continua en cada punto x ∈ A, se tiene

∃δx > 0 : y ∈ A, |y − x | < δx ⇒��f (y) − f (x)

�� < ε/2.Con estos valores δx se puede formar un recubrimeinto abierto de A,

A ⊂ ∪x∈A

(x − δx

2, x +

δx2

).

Como A es compacto, se puede extraer un subrecubrimiento �nito:

A ⊂(x1 −

δx12, x1 +

δx12

)∪ . . . ∪

(xn −

δxn2, xn +

δxn2

).

Se de�ne δ = min{δx1/2, . . . ,δxn/2} que veri�ca δ > 0. Se trata de comprobar que si x ,y ∈ A y|x − y | < δ entonces | f (x) − f (y)| < ε . Con esto se prueba que f es uniformemente continua yse termina la demostración.

Sean entonces x ,y ∈ A veri�cando |x − y | < δ . Por una parte, existe j ∈ {1, . . . ,n} tal que

x ∈(xj −

δx j2, xj +

δx j2

)y por otra

|y − xj | ≤ |y − x | + |x − xj | < δ +δx j2≤δx j2+δx j2= δx j .

Esto dice que x e y están en el mismo intervalo(xj − δx j , xj + δx j

). Por tanto,��f (x) − f (y)

�� ≤ ��f (x) − f (xj)�� + ��f (xj) − f (y)

�� ≤ ε/2 + ε/2 = ε

(se aplica en cada sumando la continuidad de f en xj) y f es uniformemente continua. �


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