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Dispense di Istituzioni di Relatività

Dagli appunti presi alle lezioni del professor PierAlberto Marchetti

Corso di Istituzioni di Relativitàper la Laurea Triennale in Fisica

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche Naturali, Università di PadovaAnno Accademico 2005-2006

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Copyright c©2006 GIOVANNI LANZANI.Permission is granted to copy, distribute and/or modify this documentunder the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2or any later version published by the Free Software Foundation.A copy of the license is included in the section entitled GNUFree Documentation License.

G.L.

Indice

I Il corso 4

Introduzione 5

I Note storiche 6

1 L’etere e l’elettromagnetismo di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1 Esperimento sull’aberrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 L’esperimento di Michelson e Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Princìpi di relatività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II Relatività Einsteniana 12

1 Glory & Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Relativo ed assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Quello che rimane assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Contrazione lunghezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Dilatazione dei tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Composizione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Invarianza dell’intervallo spazio-temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

IIIFormulazione geometrica 22

1 Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Condizione di invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3 Gruppi di Poincaré e Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 Particolarità del gruppo di Lorentz proprio. . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Calcolo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1 Calcolo vettoriale in meccanica prerelativistica . . . . . . . . . . . . . . 27

3 E in fisica relativistica. . . ? I tensori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Il calcolo tensoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Algebra tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1 Moltiplicazioni tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Contrazione degli indici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Campi tensoriali, quadrigradiente e derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

IVMeccanica relativistica 33

1 Grandezze fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 La quadriforza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Processi tra particelle (dinamica relativistica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Decadimento a due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Distribuzione di probabilità nel decadimento . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Urti tra particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

4 INDICE

4.5 Le variabili di Mandelstam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6 Gli urti veri e propri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

V Elettromagnetismo 47

1 Il sistema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 Il tensore Fµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Fµν sotto trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 La δ di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 La quadridensità di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 Moti di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II La tesi 59

VI Il problema dell’etere 60

VIIPoincaré 62

1 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 Le equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Ulteriori sviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

VIIIEinstein 67

1 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682 Composizione delle velocità ed equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 693 Significato fisico delle trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

IX Un tentativo di confronto. . . 71

1 Il punto di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 Il principio di relatività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 Il concetto di tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 La relatività dei tempi e delle lunghezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 Una nuova dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 Etere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bibliografia 75

Indice analitico 76

X GNU Free Documentation License 77

1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772. VERBATIM COPYING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783. COPYING IN QUANTITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794. MODIFICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795. COMBINING DOCUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806. COLLECTIONS OF DOCUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS . . . . . . . . . . . . . . . . 818. TRANSLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819. TERMINATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82ADDENDUM: How to use this License for your documents . . . . . . . . . . . . . . 82

G.L.

Parte I

Il corso

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Introduzione

L’anima mia attende il SignorePiù che le sentinelle l’aurora.

Questa dispensa è nata come pretesto per affinare le mie capacità con LATEX. Penso di averraggiunto il mio scopo.

Era mia intenzione distribuirla gratuitamente, e per un periodo di tempo è stato così. Poicambiai opinione, e decisi di lavoravici per poi venderla al prezzo di due pacchetti di Marlboro.

Voi che leggete non l’avete pagata, quindi ho evidentemente cambiato di nuovo idea. Per-ché? Be’, i motivi sono tanti, il principale dei quali è, probabilmente, la filosofia che sta dietroall’open source, motivo per il quale ora, non solo la dispensa è gratuita, ma è anche disponibileil suo codice sorgente (non azzardatevi a cambiare questa pagina . . . )

Ringrazio Alessandro Broggio per l’aiuto datomi nella stesu-ra di questa dispensa, il professor Zampieri e il professor Zilio,che m’hanno accompagnato, chi più, chi meno, nel mondo dellamatematica e della fisica, alle scuole superiori; inoltre ringrazio ilprofessor Marchetti, che s’è preoccupato di correggermi la dispen-sa, di fare la tesi con me, e di tenere il corso, nonché di favorire noistudenti di fronte ai professori di laboratorio del C.C.S. di fisica,che cercano sempre di rubare ore alle materie più belle. Il ringra-ziamento più grande va poi a Giuditta, senza la quale non avreiscritto niente, essendo stata lei a spingermi a continuare quandodi voglia non ne avevo.

V’è poi la mia mail [email protected],1 attiva per ricevere suggerimenti che vivengono alla mente, ed errori che riscontrate, nella lettura di questa dispensa. È anche statamessa sotto cvs, ma la cosa non mi pare abbia riscosso troppo successo, in quanto oltre a menessuno l’ha mai modificata. In ogni caso la potete trovare, coi sorgenti, su

http://spiro.fisica.unipd.it/∼lanzani/public/rel/

Una nota per tutti i computer nerd con mille suggerimenti stilistici: cercate di concentrarele vostre energie nel correggere la “sostanza” della dispensa.

Parlando del corso: non preoccupatevi per la notazione tensoriale: sarebbero necessariesercizi semplici per impratichirsi. Il resto è tutto abbastanza facile, e, soprattutto bello.Forse potrà risultare ancora più interessante leggere la mia tesi di laurea, che costituisce laseconda parte della dispensa. Non è molto difficile, e penso che una volta terminato il corso(ma anche prima), sarete perfettamente in grado di apprezzarne il valore.

Il corso si conclude con un’ora di relatività generale, durante la quale, ovviamente, non s’ènemmeno avuto il tempo di farsi una vaga idea di quello che è la relatività generale, e perciònon la riporto.

Giovanni Lanzani

1Ho una ragazza, studio, sono in Erasmus in Olanda, da dove, spero, non tornerò: quindi non ho tutto iltempo libero che avete voi: pazientate se non vi rispondo subito.

6

Capitolo I

Note storiche

Indice

1 L’etere e l’elettromagnetismo di Maxwell 7

1.1 Esperimento sull’aberrazione 8

1.2 L’esperimento di Michelson e Morley 82 Princìpi di relatività 10

Come nasce la relatività ristretta, altrimenti detta speciale? Nasce dal tentativo, riuscito,di conciliare meccanica newtoniana ed elettromagnetismo. Einstein stesso scrive a proposito:

La teoria della relatività nasce necessariamente, per la presenza di serie e profondecontraddizioni, dalle quali sembrava non ci fosse uscita. La forza della nuova teoriasta nella consistenza e semplicità con cui risolve queste difficoltà, usando poche,ma convincenti, assunzioni.

Ma dove queste teorie, elettromagnetismo e meccanica, erano in disaccordo? Sostanzialmentesembrava che non si trovasse un gruppo di sistemi di riferimento in cui le leggi dell’elettro-magnetismo avessero la stessa forma, ovvero per avere una descrizione dei fenomeni fisica,sembrava fosse necessario modificare le leggi dell’elettromagnetismo a seconda del sistema diriferimento in cui ci si trovava.

Si ipotizzò dunque che fossero le leggi per passare da un sistema di riferimento all’altro adessere sbagliate, ma a questo punto si rendeva necessario cambiare le leggi della meccanica daun sistema di riferimento all’altro.

Prima di poter procedere è tuttavia necessario dare una definizione precisa di sistema diriferimento, in maniera da evitare errori o imprecisioni:

0.1 Definizione. Un sistema di riferimento è l’insieme di un sistema di coordinate e di orologi,sicronizzati tra loro, in grado d’associare ad ogni evento un punto dello spazio e un istante ditempo. Un sistema di riferimento in cui ogni corpo non soggetto a forze è in quiete o in motorettilineo, è detto sistema di riferimento inerziale.

La definizione precisa di evento verrà data più avanti, per ora possiamo prendere la no-zione euristica che abbiamo di esso. Nei sistemi di riferimento in moto a velocità costanterispetto a quello delle stelle fisse, le leggi della meccanica assumevano la stessa forma tramitele trasformazioni (1.0.1). Quindi la terra poteva considerarsi un ottimo laboratorio, in quantol’accelerazione che essa aveva, rispetto a tale sistema, poteva dirsi trascurabile. Questo eravero se, come detto, per collegare due sistemi di riferimento si utilizzavano le (1.0.1). Piùprecisamente, detti S ed S′ i due sistemi inerziali, S′ in moto con velocità v rispetto ad S(velocità costante in direzione e modulo), si aveva che, se

t,x coordinate in S t′,x′ coordinate in S’

allora {x′ = x + vt (†)t′ = t

(1.0.1)

7

8 1. L’ETERE E L’ELETTROMAGNETISMO DI MAXWELL

Si aveva poi l’invarianza degli intervalli temporali, ossia:

∆t = ∆t′ (1.0.2)

e degli intervalli spazialil = |∆x| = |∆x′| = l′ (1.0.3)

Vi era poi il:

0.2 Teorema (di addizione delle velocità).

v′ =d

dtx′ =

d

dtx + v = v + v

Tale teorema si ottiene derivando (†), ed esso asserisce che non esiste una velocità assoluta.Come anticipato prima, tuttavia, con queste trasformazioni le leggi dell’elettromagnetismo nonpotevano essere valide in tutti i sistemi di riferimento. Vediamo come.

1 L’etere e l’elettromagnetismo di Maxwell

Prendiamo l’equazione delle onde elettromagnetiche:(

1

c2· ∂

2

∂t2−∇2

)E(x, t) = 0 (al posto di E si può avere B);

nell’800 ritenevano che c fosse la velocità della luce nell’etere luminifero (che porta la luce).Perché si parlava di etere? Come prima accennato, le leggi dell’elettromagnetismo non avevanola stessa forma in tutti i sistemi di riferimento, e quindi l’elegante forma proposta da Maxwellera corretta solo in un particolare di questi sistemi. Si ipotizzò questo sistema uguale al sistemadi riferimento delle stelle fisse, e lo si ribattezzò etere, il sistema in cui le leggi di Maxwell eranovere senza bisogno di modifiche. Vedere che in altri sistemi di riferimento queste modificheerano necessarie, non è di difficile constatazione: si prenda infatti un’onda elettromagnetica(che ha la stessa velocità di propagazione della luce) nel sistema S. Essa ha velocità c, poichéper l’elettromagnetismo la velocità di propagazione di tale onda è

c =1√µ0ε0

; (1.1.1)

se S′ si muove con velocità v in direzione e verso dell’onda elettromagnetica, esso rileva la luceavere velocità c′ = c − v, per il teorema appena visto. Ma allora non sarebbe più valida larelazione (derivata dalle normali equazioni di Maxwell)

c′ =1√µ0ε0

essendo µ0 e ε0 costanti e c′ la velocità della luce per l’osservatore di S′. Se ne deduce cheuna, ed una sola, delle seguenti ipotesi dev’essere vera:

Prima ipotesi Le leggi della meccanica sono covarianti per cambiamento di sistema di riferi-mento inerziale, ma non lo sono le leggi dell’elettromagnetismo; le trasformazioni (1.0.1)sono giuste.

Seconda ipotesi Le leggi della meccanica e dell’elettromagnetismo sono covarianti per cam-biamento di sistemi di riferimento inerziale, le trasformazioni (1.0.1) sono giuste, ma ilmodo in cui sono scritte le leggi dell’elettromagnetismo è sbagliato.

Terza ipotesi Le leggi della meccanica e dell’elettromagnetismo sono covarianti per cambia-mento di sistemi di riferimento inerziale, il modo in cui sono scritte le leggi dell’elettro-magnetismo è giusto (si lascia dunque spazio ad un’eventuale riscrittura delle leggi dellameccanica), ma le trasformazioni (1.0.1) sono sbagliate.

G.L.

CAPITOLO I. NOTE STORICHE 9

L’ipotesi corretta la avanzò Einstein, e verrà affrontata dopo.Nelle tre ipotesi abbiamo fatto uso del termine “covarianti”: cosa significa? Una legge fisica

è covariante quando ha la stessa forma per tutti i sistemi di riferimento inerziali; ad esempionel sistema di riferimento S la seconda legge di Newton si scrive

F = ma;

cambiando sistema di riferimento, sarà necessario usare delle trasformazioni di coordinate perpoter scrivere la legge nel nuovo sistema; ebbene, usando le trasformazioni di Galileo e le leggidella meccanica conosciute, nel nuovo sistema di riferimento la “trasformazione” della secondalegge di Newton è

F′ = m′a′,

dove m = m′: dunque la legge della meccanica ha la stessa forma in entrambi i sistemi diriferimento, e si può parlare di covarianza.

Assumendo dunque che l’esistenza dell’etere, era possibile trovare il moto della terra rispet-to a tale sistema? Vediamo ora due esperimenti che rispondono a tale domanda in manierainconciliabile.

1.1 Esperimento sull’aberrazione

⋆

→v

Figura 1.1: Luce stellareincidente sul telescopio

Consideriamo il telescopio in figura 1.1. Ci proponiamo di an-dare a verificare l’angolo di inclinazione che esso deve avere perpoter osservare la luce proveniente da un corpo celeste. Se laterra si muovesse con una certa velocità rispetto a tale stella,le cose andrebbero come in figura, e il telescopio, senza alcunangolo di inclinazione, sarebbe inservibile. Infatti da quando ilraggio della stella entra nel telescopio, a quando raggiunge l’or-dinata dell’obbiettivo (consideriamo la stella, qualsiasi essa sia,solidale all’etere), il telescopio si sposta e la luce non colpiscel’obbiettivo. Quindi è necessario inclinare il telescopio. Chiamia-mo l’angolo di inclinazione ϑ (è l’angolo formato dalla terra e dallato più corto dell’obbiettivo). Per valutare approssimativamentela velocità della terra rispetto al sistema delle stelle fisse, consi-deriamo il sole come una stella fissa; la distanza terra sole valeRT S = 150 · 109 m. Il periodo di rivoluzione attorno al sole valeT = 365 gg =⇒ v = 3 · 104 m/s. Se il telescopio è lungo l (farsiun disegno per meglio capire), il tempo di percorrenza della luceè t = l cosϑ/c. La distanza percorsa dal telescopio in t è x = vt. L’angolo ϑ risulta dunque:

tanϑ =vt

l cosϑ=

vt

ct≈ 10−4

Come si vede quest’angolo è molto piccolo, ma le misure sono in accordo con la teoria, cioè èeffettivamente necessario inclinare i telescopi di ϑ per poter osservare i raggi celesti.1

1.2 L’esperimento di Michelson e Morley

L’esperimento di Michelson e Morley, effettuato per la prima volta nel 1881, era stato ideatoper trovare la velocità della luce rispetto all’etere. L’esperimento è schematizzato in figura 1.2a fronte. Spieghiamo cosa succede. La terra si muove con velocità v rispetto all’etere(secondo le convinzioni dell’epoca). Dunque i raggi che colpivano lo specchio semirifrangente,e si propagavano in direzione verticale, facevano un percorso, nel sistema di riferimento etere,come quello in figura 1.3 nella pagina successiva (tener ben presente il fatto che una voltaraggiunto uno specchio, la luce si propaga come un’onda emisferica). Dal disegno si capisce (è

1Tuttavia quest’esperimento non fu considerato decisivo, poiché esso utilizzava le apprissimazioni di otticageometrica dell’elettromagnetismo.

G.L.

10 1. L’ETERE E L’ELETTROMAGNETISMO DI MAXWELL

-�

��

6

Specchio semi-rifrangente

��

? -��

?

?

L

6

� -

Specchio

L

Specchio

Sorgente

�Rilevatore

◮

Figura 1.2: Schema dell’esperimento di Michelson e Morley, visto nel sistema di riferimentosolidale alla terra

��B

BBBBBBN��

�� Specchio

Specchio semi-rifrangentevt

l

ct

Figura 1.3: Percorso della luce in direzione verticale

sufficiente usare il teorema di Pitagora) che (ct)2 = l2 + (vt)2, da cui risulta:

t⊥ = 2t =2l

c

1√1 − v2c2

. (1.1.2)

L’altro raggio invece fa il percorso, nell’etere, in figura 1.4. Si può facilmente capire che

��

�Specchio semi-rifrangente

-�

��

︸︷︷︸L

Specchio

Figura 1.4: Percorso della luce in direzione orizzontale

t� =l

c−v +l

v+c , da cui:

t� =2l

c· 11 − v2c2

(1.1.3)

Dal momento che v

CAPITOLO I. NOTE STORICHE 11

In definitiva t�−t⊥ ≃ v2lc3 . Sempre facendo riferimento alla figura 1.2 nella pagina precedente, si

vede che i raggi, dopo esser tornati indietro, interferivano. Con un interferometro (il rivelatoredella figura), si poteva misurare quest’interferenza. Lo sfasamento spaziale, in termini dilunghezza d’onda, è:

∆λ = c(t� − t⊥) ≃v2l

c2

Il numero di frange che si doveva dunque rilevare con l’interferometro era:

∆n

n=

∆λ

λ=

l

λ

v2

c2

L’esperimento del 1887 (quello eseguito con i migliori accorgimenti per diminuire gli errori dimisura), aveva l = 11m, λ = 6 · 10−7m, vc = 10−4. Da questi dati risulta ∆n/n = 0.18± 0.01.Tuttavia i risultati sperimentali davano n = 0: questo fatto rimaneva inspiegabile: l’etere simuoveva con la terra? Come era possibile interpretare tale fenomeno?

Osservazione (Fitzgerald e Lorentz). Una prima risoluzione del problema fu avanzata da Fitz-gerald (1889), il quale asseriva che il braccio parallelo alla direzione del moto, si contraeva diun fattore

√1 − v2/c2. Poi venne Lorentz, che affermò che, nel caso fosse vera la contrazione di

Fitzgerald, allora anche i tempi del sistema in moto rispetto all’etere dovevano dilatarsi dellostesso fattore

√1 − v2/c2. In tal modo egli trova le trasformazioni tra i sistemi di riferimento

che portano il suo nome (e che andremo a ricavare dopo).

2 Princìpi di relatività

Successivamente la cosa venne affrontata da un punto di vista matematico: tra il 1902 e il1905, Poincarè si avvicinò al principio di relatività einsteniano, dicendo:

2.1 Principio (di Relatività di Poincarè). Le leggi della fisica devono essere covarianti (averecioè la stessa forma) per sistemi inerziali.

Poincarè trovò dunque le trasformazioni di coordinate che resero l’elettrodinamica compa-tibile con il principio di relatività. Tali trasformazioni sono le trasformazioni di Lorentz, checostituiscono un gruppo; tale gruppo può essere ampliato ulteriormente, mantenendo la suastruttura, dando origine al gruppo di Poincarè.

Venne poi la volta di Einstein (1905), il quale pose alla base della sua teoria due principi:

➀ Principio di relatività

➁ La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi di riferimento inerziali

Quale fu la grande innovazione di Einstein rispetto a Poincarè? Il fatto che egli eliminò ilconcetto di etere.2

Successivamente, dall’invarianza di c, Einstein, con una serie di esperimenti ideali, ricavòtutta una serie di leggi, tra cui le trasformazioni di Lorentz. Cominciamo con lo scrivere gliassiomi alla base della sua teoria.

➊ Omogeneità e assolutezza dello spazio e del tempo, e isotropia (non vi sono differenzetra le direzioni) dello spazio. 3

2Ad inizio capitolo abbiamo imbrogliato il lettore, dicendo che la relatività ristretta nasce per i contrastitra elettromagnetismo e meccanica: Einstein, nello sviluppare la sua teoria, venne invece mosso dalla convin-zione che non potesse esistere un sistema di riferimento privilegiato, ovvero di un moto assoluto, che portassedelle asimmetrie nell’elettromagnetismo; che questo risolvesse i contrasti di cui abbiamo parlato è un altrodiscorso, poiché non era possibile risolvere il dilemma di Einstein senza appianare i contrasti tra meccanica edelettrodinamica.

3In realtà questo primo assioma era implicito nella sua trattazione

G.L.

12 2. PRINCÌPI DI RELATIVITÀ

➋ Si ha l’equivalente del principio di relatività di Poincarè:

2.2 Principio (di Relatività einsteniano). Le leggi della fisica hanno la stessa forma intutti i sistemi inerziali.

➌ La velocità della luce nel vuoto4 è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali

2.3 Osservazione. Osserviamo che ➊ era valido anche prima della teoria della relatività diEinstein

2.4 Osservazione. Nella fisica pre-relativistica ➋ era sostituito dal principio di relatività gali-leiano, il quale asseriva:

2.5 Principio (di Relatività di Galileo). Le leggi della meccanica hanno la stessa forma intutti i sistemi inerziali.5

2.6 Osservazione. In fisica pre-relativistica ➌ era sostituita dall’invarianza degli intervallispaziali (1.0.3) e temporali (1.0.2)

4Ossia assenza di materia5Come già notato, ciò era impossibile per l’elettromagnetismo, se si usavano le trasformazioni di Poincaré.

G.L.

Capitolo II

Relatività Einsteniana

Indice

1 Glory & Consequences 122 Le trasformazioni di Lorentz 133 Relativo ed assoluto 16

3.1 Quello che rimane assoluto 16

3.2 Contrazione lunghezze 17

3.3 Dilatazione dei tempi 174 Considerazioni 185 Composizione delle velocità 196 Invarianza dell’intervallo spazio-temporale 20

Einstein a questo punto si premura di costruire il suo sistema basato su ➊, ➋, ➌. Comecomincia? Prendiamo una sbarra lunga l in un sistema di riferimento inerziale, che chiamiamoS. Per prima cosa Einstein asserisce che assumere che ogni sistema di riferimento inerzialeveda la sbarra lunga l non è, a priori, un’ipotesi giustificata. Come si misura la lunghezza inmoto? Per concretizzare prendiamo una sbarra PQ, solidale con il sistema S, il quale si muovecon velocità v rispetto al sistema S′; l’osservatore della sbarra misura la lunghezza della sbarracon un metro (la sbarra è ferma rispetto a lui); l’osservatore in S′ può fotografare la sbarra emisurare la fotografia, di modo che gli estremi P e Q siano osservati allo stesso istante nel suosistema di riferimento. Si ha che

S′ dice che la sbarra misura l′

S dice che la sbarra misura l

Einstein afferma che nulla, dal punto di vista logico, mi garantisce l = l′. Quindi nonè affatto detto che le misure di lunghezza rimangano inviariate passando da un sistema diriferimento all’altro.

1 Glory & Consequences

Diamo innanzi tutto la definizione di evento:

1.1 Definizione. Gli eventi, dal punto di vista fisico, sono le minime determinazioni spazio-temporali possibili; un evento, nei diagrammi spazio-temporali è rappresentato da una coordi-nata spaziale (saranno (x1, x2, x3)), ed una coordinata temporale (sarà indicata come x0).1

La metrica spazio-temporale per questi eventi sarà

ds2 = dt2 − dx2 (2.1.1)

1Dato che non sono capace di disegnare in 4-D, e d’altronde voi non siete capaci di vedere in 4-D (eccettoCandilera), sopprimiamo dai nostri disegni le altre due coordinate spaziali, con le quali siamo abituati a trattare.

13

14 2. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

Prendiamo in considerazione un diagramma (vedi figura 2.1) dove come ascisse abbiamo le x,e come ordinate abbiamo ct. I diagrammi che andremo a considerare descriveranno dunque lospazio tempo, assumendo che esso sia una varietà differenziale a 2 (o a 4) dimensioni 2. Talidiagrammi, detti diagrammi di Minkowski, rappresentano lo spazio quadridimensionale con lametrica data dalla (2.1.1), e questo spazio fornito di tale metrica è detto spazio di Minkowski.In questo diagramma tutti i raggi di luce che vi vengono rappresentati, sono inclinati di 45◦,poiché c = x/t. La traiettoria del fascio di luce deve quindi essere la bisettrice tra asse spazialeed asse ct.3 Consideriamo un corpo A e un corpo B. L’origine sia O. A e B abbiano distanzeuguali rispetto ad O. Si faccia riferimento alla figura 2.1

ct

A BO x

Figura 2.1: Traiettoria di due punti fermi colpiti da un raggio di luce

Se i due corpi sono fermi le loro traiettorie sono rette parallele a ct. Un raggio di luce cheparte da O, li colpisce allo stesso istante se AO = OB, come già assunto. Cambiamo ora lecose. Siano i due corpi in moto con velocità v rispetto ad S (siano cioè solidali ad un sistemaS′).

Facendo riferimento alla figura 2.2 nella pagina successiva, siano A′ e B′ solidali a S′,immagini di A e B t.c. AO = OB. Per S′ la situazione è uguale a quella vista in precedenza,e dunque gli aventi A′ e B′ sono simultanei in S′; infatti la luce interseca la linea di universodi A′ e di B′ (che sono le stesse di A e B, ma ritorneremo su questo nel paragrafo 3.1 nellapagina 16) nello stesso t′ (usando ➋ e ➌). In S′, tuttavia i due eventi non sono più simultanei(basta proiettarli sull’asse ct per accorgersene). Allora:

1.2 Osservazione. Eventi contemporanei in un sistema possono non esserlo in un altro sistema.

2 Le trasformazioni di Lorentz

Riprendiamo il discorso del capitolo precedente da un punto di vista algebrico. Come primasia S′ sistema di riferimento inerziale in moto con velocità v rispetto ad S. Tempi e moti congli apici si riferiscono ad S′; senz’apici ad S.

Consideriamo la traiettoria di un moto fermo in S′: x′ = x′0, indipendentemente da t′. Tale

moto in S soddisferà la relazione x − vt = x0, con x0 indipendente da t. Allora, dacché x0 e

2Ovvero esso è continuo, differenziabile, con topologia localmente omeomorfa ad R2, o R4, separabile, conbase di intorni numerabile (e può perciò essere metrizzabile).

3Come conseguenza del fatto che la velocità della luce è uguale in tutti i sistemi.

G.L.

CAPITOLO II. RELATIVITÀ EINSTENIANA 15

45°45°

ct ct′

A BO

A′

B′

x′

x

Figura 2.2: Traiettoria di due punti in movimento colpiti da un raggio di luce

x′0 sono costanti rispetto a t, si può scrivere:

x− vtx′

= α costante. (2.2.1)

Da qui ricavo αx′ = x− vt. Per reciprocità, scambiando S con S′ e v con −v, ottengo:

x′ + vt′

x= α (2.2.2)

Combinando la (2.2.1) con la (2.2.2), in modo da eliminare x′:

t′ =1

α

(t+

α2 − 1v

x

)(2.2.3)

Se impongo che t = t′ ottengo α = 1 e x′ = x − vt. Tuttavia per avere la relatività ristrettanon devo imporre α = 1, bensì c = costante, cioè x′ = ct′ e x = ct. Sostituendo quest’ultimerelazioni dentro (2.2.1) e dentro (2.2.2) ottengo:

αct′ = ct− vt

αct = ct′ + vt′

Facendo il prodotto tra le due ottengo

α = ±√

1 − v2

c2

Dacché per v = 0 si ha α = 1, alla fin fine:

α =

√1 − v

2

c2

Posso dunque ricavare le equazioni

x′ = x−vtq1− v

2

c2

(deriva da (2.2.1))

t′ =t− vx

c2q1− v

2

c2

(deriva da (2.2.3))

G.L.

16 2. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

∆s2 = 0 ∆s2 = 0

∆s2 > 0

∆s2 > 0

∆s2 < 0∆s2 < 0

Figura 2.3: Come variano le iperboli al variare della costante

Se introduciamo gli assi x e ct otteniamo le trasformazioni di Lorentz

x′ =x− v

cctq

1− v2

c2

ct′ =ct− vx

cq1− v

2

c2

(2.2.4)

A questo punto possiamo dimostrare che l’intervallo spazio temporale s2 è invariante

(x′)2 − (ct′)2 = 11 − v2c2

[(x − vt)2 − (ct− v

cx)2]

= x2 − (ct)2

Perciò se pongo (c dt)2−x2 =cost, ne esce l’equazione di un iperbole, e cost è la stessa per tuttii sistemi di riferimento inerziali. Una volta trovate le (2.2.4) ci accorgiamo che esse valgonoper velocità minori strettamente di c. Infatti guardando il denominatore delle trasformazioni,ci accorgiamo che deve valere la relazione:

1 − v2

c2> 0

1 − v2

c2> 0 =⇒ c2 − v2 > 0 =⇒ c > v

Quindi le trasformazioni di Lorentz connettono solo particelle che hanno velocità strettamenteminore di c.

Riprendiamo per un attimo la discussione sulla quantità inviarante prima trovata. A se-conda che la costante sia maggiore, minore, o uguale a 0 si hanno le situazioni in figura 2.3.

Le iperboli sovrastanti gli asintoti, e sottostanti ad esse, sono quelle con cost > 0, e sonole uniche che possono verificarsi (assieme agli asintoti), in quanto solo per esse vale v < c. Sigiunge così alla rappresentazione del cono di luce di un punto (nel nostro caso, quello dellafigura 2.4 nella pagina successiva). Cos’è questo cono di luce? Prendiamo due raggi di luce chesi propagano da O, nella direzione delle x, con verso opposto. Essi descriveranno la traiettoriache, se unita, darà origine al semicono superiore. Discorso analogo per due raggi di luce chearrivano contemporaneamente in 0: essi descriveranno il semicono inferiore. L’unione di questidue semiconi viene detto cono di luce (in quanto formato da raggi di luce.). Spieghiamo piùin dettaglio il vantaggio dell’introduzione del cono di luce. Prendiamo gli eventi A e B deldiagramma in figura. L’intervallo ds sarà positivo. Poiché tale intervallo è invariante sottotrasformazioni di Lorentz, qualsiasi altro sistema di riferimento vedrà tale intervallo positivo.

G.L.


x per ct=0

ct per x = y = z = 0

B

A

D

E

Figura 2.4: Cono di luce

Tali intervalli si dicono di tipo tempo (ogni intervallo puramente temporale è infatti positivo.)Gli eventi all’esterno del cono di luce saranno invece separati da intervalli negativi, chiamati ditipo spazio. Agli eventi sulle bisettrici degli assi saranno invece associati intervalli di tipo luce,pari ovvero a 0. È facile rendersi conto che gli eventi D ed E possono essere contemporanei,in qualche opportuno sistema di riferimento. Gli altri due eventi invece no. Per questo sidice che A e B stanno, rispettivamente, nel cono del futuro e nel cono del passato, in quantoappartegono al futuro e al passato assoluti dell’origine degli assi (a questo punto è facile capirecosa voglia dire passato e futuro assoluti). Quindi, guardando il cono di luce di un punto, èsubito possibile capire molte cose sulla “sistemazione” temporale dell’evento, in relazione adaltri eventi.

Si capisce anche che eventi che non appartengono al futuro o passato assoluto, non possonoessere congiunti ad O tramite traiettorie. Questo si vede geometricamente considerando latangente di tale traiettoria, la quale risulterebbe minore di uno, ossia cdtdx < 1 =⇒ v > c,assurdo.

2.1 Osservazione. Possiamo a questo punto notare che il fatto di poter essere contemporaneiimplica che non è possibile che un’informazione che parte da uno di questi due eventi, possaraggiungere l’altro evento, in nessun sistema di riferimento, proprio perché dovrebbe compiereuna traiettoria con tangente (almeno in taluni punti), minore di uno. Questo rende conto dellafinitezza della velocità di propagazione dell’informazione.

3 Relativo ed assoluto

Ci proponiamo in questa sezione di analizzare, come si comportano lunghezze e tempi nellateoria della relatività speciale: il punto cruciale risulterà nel trovare, ancora una volta, risultatiin netto contrasto con le nostre convinzioni.

3.1 Quello che rimane assoluto

Nel moto di un corpo visto da diversi osservatori rimane assoluta l’immagine del corpo nellospazio tempo (ciò che viene chiamato la sua linea di universo). Immaginiamo infatti di prendereun oggetto fermo nel sistema di riferimento S, di assi x e ct. Sia il corpo lungo un’unità

G.L.

18 3. RELATIVO ED ASSOLUTO

(ragioniamo adimensionalmente, le cose non cambiano nella sostanza). Se il corpo è lungoun’unità, si ha:

x2 − (ct)2 t=0= 1 =⇒ [x]t=0 = 1 (2.3.1)per cui ∀t x2 − (ct)2 = 1 (2.3.2)

e, dacché questo è invariante, tutti gli osservatori vedono la sbarra, nello spazio tempo, allostesso modo in cui la vede l’osservatore solidale alla sbarra, benché il modo in cui siadecomposta in spazio e tempo dipenda dall’osservatore. Il fatto che tempi e lunghezzesiano “distribuite” in maniera diversa, si ripercuote, portando alla contrazione di tempi elunghezze.

3.2 Contrazione lunghezze

Per quel che riguarda la contrazione delle lunghezze, prendiamo la lunghezza del regolo unitarioa riposo in S′, misurata da S′, pari a ∆x′. Sia ∆x la lunghezza del regolo unitario a riposo inS′, misurata da S. Allora, tramite le trasformazioni di Lorentz (2.2.4):

∆x′ = x′B − x′A =xB − vtB√

1 − v2c2− xA − vtA√

1 − v2c2

Se sono interessato alla misura effettuata da S, devo porre tA = tB, e quindi:

∆x = ∆x′ ·√

1 − v2

c2< ∆x′

3.3 Dilatazione dei tempi

Per vedere come i tempi sono “influenzati” da un cambio di sistema di riferimento (Attenzione:dobbiamo imporre che lo spazio sia lo stesso se vogliamo andare a misurare i tempi)prendiamo in considerazione la misura del tempo di S′, fatta da S. Se voglio misurare il tempoin S′, ∆x′ deve essere 0, come sopra ricordato. Dunque:

∆t′ =∆t− vc2 ∆x√

1 − v2c2

∆x′ = 0 =∆x− v∆t√

1 − v2c2=⇒ ∆x = v∆t

=⇒ ∆t′ = ∆t 1 −v2

c2√1 − v2c2

= ∆t

√1 − v

2

c2

=⇒ ∆t = ∆t′

√1 − v2c2

> ∆t′.

Parlando di tempo, ci tornerà molto utile introdurre il tempo proprio, tramite la seguente

3.1 Definizione. Il tempo proprio τ è il tempo misurato da un orologio in un sistema diriferimento in cui egli è fisso rispetto ad esso.

A noi risulterà comoda una definizione più “operativa”, ovvero si parlerà di intervallo ditempo proprio tra due eventi solidali al moto dell’orologio, come il tempo necessario a quest’ul-timo per misurare l’intervallo tra questi due eventi, essendo questi fermi rispetto all’orologio;il quadrato dell’intervallo spazio temporale avrà perciò la forma:

ds2 = c2dτ2;

G.L.


in un altro sistema di riferimento invece

ds2 = c2dt′2 − dx2 = c2dt′2(1 − v2

c2),

il che implica dτ = dt′/γ e

∆τ =

∫ B

A

√1 − v

2

c2dt′.

4 Considerazioni

4.1 Esempio (Paradosso dei gemelli). A conferma di questo citiamo il famoso paradosso deigemelli: uno dei due sale su un razzo con velocità prossima alla velocità della luce, l’altrorimane sulla terra. Quando quello che era sul razzo torna indietro risulta più giovane. Perché?Considerando il diagramma spazio tempo, ci accorgiamo che il sistema razzo , quando essotorna verso la terra, cessa per un momento di essere inerziale (e se deve passare da velocitàprossime a c in una direzione, a velocità prossime a c nell’altra direzione, dovrà accelerare dimolto), quindi non possiamo utilizzare le trasformazioni della relatività ristretta. Tuttavia,detto ∆τ il tempo proprio del razzo, possiamo prendere:

∆τ = (∆t)T

√1 − v

2

c2(2.4.1)

Assumendo che la (2.4.1) sia vera per intervalli infinitesimi, possiamo scrivere:

dτ = (dt′)T

√1 − v

2

c2(2.4.2)

e questa è corretta se v varia nel tempo. Ora, anche se un punto P ′ non è in moto uniformerispetto al sistema S, possiamo considerare istante per istante (istanti t, non t′), il sistemadi riferimento inerziale S′(t), la cui velocità coincide con quella di P ′ all’istante t. Se oraconsideriamo che il razzo, tornando indietro, passi da velocità v a velocità −v istantaneamente,si ha (poiché v è al quadrato nella formula):

t′2 − t′1 = (t2 − t1)√

1 − v2

c2.

Questo risultato si rivela corretto, ma ci chiediamo: se siamo passati istantaneamente davelocità v a velocità −v, perchè il gemello non vede le cose simmetricamente rispetto al gemellosulla terra? Ovvero perché egli non vede che il gemello sulla terra è invecchiato della stessaquantità di quanto sia invecchiato lui? Il motivo sta nel fatto che egli non può fare questoragionamento (o meglio, può farlo, ma si sbaglierebbe) poichè nell’inversione di velocità luicambia sistema di riferimento, e quindi non è possibile applicare le trasformazioni da noitrovate, in quanto esse valgono solo se non cambiamo sistema di riferimento in itinere. Ilgemello della terra invece può sempre usarle, in quanto non cambia mai il proprio sistema diriferimento.

4.2 Esempio (Decadimento Π0). La prova sperimentale della teoria sopra esposta vienedagli acceleratori di particelle. Consideriamo ad esempio la particella neutra Π0 (pione);quest’ultima nel suo sistema di riferimento (solidale alla particella) ha un tempo di vita medioτ = 2 · 10−8s; cioè dopo un tempo τ il pione decade e si ha l’emissione di raggi gamma. Π0raggiunge una velocità v tale che β ≡ vc = 0.99995; quindi:

τ ′ =τ√

1 − β2= τγ dove

1√1 − β2

≡ γ

Si ha che γ ≃ 100. Di conseguenza il tempo medio di vita che noi osserviamo è circa 100 voltesuperiore. Calcoliamo ora la distanza percorsa nell’acceleratore da Π0; essa sarà L = vτγ ≃

G.L.

20 5. COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ

600m, mentre, non considerando gli effetti relativistici otteniamo L = vτ ≃ 6 m (fare beneattenzione però: il Π0 nel sistema di riferimento laboratorio decade dopo 600 m, ma nel suosistema di riferimento vede lo spazio contratto, e quindi uguale a 600 m/γ = 6 m); la differenzafra i due percorsi è bene osservabile. Aumentando la velocità del pione se ne può aumentare iltempo di vita medio; in generale in questo modo sono possibili esperimenti anche su particelleche da ferme decadrebbero istantaneamente.

5 Composizione delle velocità

Consideriamo S′(x′,t′) in moto rispetto ad S(x,t) con velocità v lungo x. Avremo quindi che:

v′x =dx′

dt′=

dx− vdt√1 − v2c2

√1 − v2c2

dt− vc2 dx=

dxdt − v

1 − vc2 dxdt=

vx − v1 − vc2 vx

v′y =dy′

dt′=

dy

dt− vc2 dx

√1 − v

2

c2=

vy1 − vc2 vx

√1 − v

2

c2

v′z =vz

1 − vc2 vx

√1 − v

2

c2

5.1 Osservazione. Sfruttando le trasformazioni di Lorentz abbiamo ricavato le leggi di com-posizione delle velocità; dobbiamo però ancora verificare che:

1. se v ≪ c cioè vc ≪ 1 si ritorni ad avere la legge della composizione delle velocità classica;tuttavia si verifica subito che:

v′x ≃ vx − v quandov

c≪ 1

v′y ≃ vyv′z ≃ vz

2. se |v| = c ( dove |v| =√v2x + v

2y + v

2z ) allora anche |v′| = c, dato che la velocità della

luce nel vuoto è la stessa per tutti i sistemi di riferimento inerziali. Nel caso in cui vx = c,vy = 0, vz = 0 cioè che la luce si muova parallelamente a v lungo x si ha che:

v′x =vx − v

1 − vc2 vx=c− v1 − vc

= c

v′y = 0

v′z = 0

Un’altra possibilità è il caso in cui la luce si muova perpendicolarmente a v cioè: vy = ce vx = vz = 0. Si ottiene:

v′x =vx − v

1 − vc2 vx= −v

v′y =vy

√1 − v2c2

1 − vc2 vx= c

√1 − v

2

c2

v′z = 0

Allora:

|v′| =√v2 + c2(1 − v

2

c2) = c

G.L.


6 Invarianza dell’intervallo spazio-temporale

Cerchiamo in questa sezione di dare alcune nozioni sulle trasformazioni che lasciano invariatol’intervallo spazio-temporale. È una generalizzazione della struttura vettoriale e dell’invarianzasotto rotazioni e traslazioni della meccanica classica. Diamo ora una definizione importante,ed enunciamo e dimostriamo in seguito un fondamentale teorema.

6.1 Definizione (Intervallo spazio-temporale). Detti x0 = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z,definiamo la grandezza sAB tale che:

s2AB

= (x0A− x0

B)2 − (x1

A− x1

B)2 − (x2

A− x2

B)2 − (x3

A− x3

B)2

Chiaramente se A e B sono lungo una traiettoria di un raggio di luce, sAB = 0, mentre se A eB sono lungo una traiettoria di una particella massiva, si ha |v| < c =⇒ sAB > 0.

6.2 Teorema. L’intervallo spazio-temporale tra due eventi è un invariante per trasformazionitra sistemi di riferimento inerziali.

Dimostrazione. Dimostriamo il tutto per intervalli infinitesimi, e poi estendiamo il nostroragionamento a intervalli finiti; sia dunque xµB = x

µA +dx

µ4, nel sistema di riferimento inerzialeS; dobbiamo mostrare che:

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2

è invariante5. Prendiamo in considerazione un altro sistema di riferimento, sia esso S′; perpassare da un sistema di coordinate all’altro si usi la funzione:

x′µ

= fµ(x)

dove f è una trasformazione che dipende da(x0, x1, x2, x3

). Possiamo allora scrivere:

dx′µ

=3∑

ν=0

∂fµ(x)

∂xνdxν (2.6.1)

La condizione di omogeneità implica che ∂fµ(x)

∂xν sia costante, in quanto l’intervallo dx′µ non

può dipendere dal punto in cui mi trovo, per l’omogeneità dello spazio. Pongo ora:

∂fµ(x)

∂xν:= Λµν .

Integrando la (2.6.1), ottengo:

x′µ

=

3∑

ν=0

Λµνxν + aν ,

con a costante. Posso dunque scrivere:

ds′2

= (dx′0)2− (dx′)2 =

3∑

µ,ν=0

[Λ0µΛ

0ν −

3∑

i=1

ΛiµΛiν

]dxµdxν .

Definisco ora:

gµν := Λ0µΛ

0ν −

3∑

i=1

ΛiµΛiν (Osserviamo che è simmetrico)

4La lettera greca µ è un indice, che può assumere i valori da 0 a 3.5Il modo in cui ds2 è stato scritto è impreciso: per i successivi sviluppi che faremo, sarebbe più opportuno

scrivere ds2 = dx0 ⊗ dx0 − dx1 ⊗ dx1 − dx2 ⊗ dx2 − dx3 ⊗ dx3, ma consci del fatto che solo gli studenti chehanno seguito il corso di Analisi delle Varietà Differenziali possono apprezzarlo, proseguiremo ignorando lanostra imprecisione.

G.L.

22 6. INVARIANZA DELL’INTERVALLO SPAZIO-TEMPORALE

Allora si ha:

ds′2

=

3∑

µ,ν=0

gµνdxµdxν .

Considero ora un raggio di luce che si propaga in S lungo x, il che implica dy = dz = 0. Allora:

0raggio di luce

= (ds′)2 = g00(dx0)2 + 2g01dx

1dx0 + g11(dx1)2 (2.6.2)

g01 = g10 poiché simmetrico;

poi:ds2 = (dx0)

2 − (dx1)2 = 0 =⇒ dx0 = dx1.Allora la (2.6.2) dà:

0 = (ds′)2

= (g00 + g11 + 2g10)(dx0)

2; (2.6.3)

Se il raggio di luce si propaga nella direzione opposta, dx1 cambia segno e dunque:

0 = (ds′)2

= (g00 + g11 − 2g10)(dx0)2

il che implica 2g10 = −2g10, e tale relazione vale se solo se g10 = 0. Questo ci permette discrivere:

0 = (g00 + g11 + 2g10) = g00 + g11 =⇒ g00 = −g11Per l’isotropia dello spazio, il raggio di luce potevo sceglierlo propagantesi anche lungo y olungo z, il che permette di concludere:

−g00 = g11 = g22 = g33

g01 = g02 = g03 = g10 = g20 = g30 = 0

Considero adesso un raggio di luce generico:

0 = (ds′)2

= g00(dx0)

2+ g11(dx

1)2+ g22(dx

2)2+ g33(dx

3)2+

3∑

i,j=1

i6=j

gijdxjdxi =

g00(ds)2

+

3∑

i,j=1

i6=j

gijdxjdxi = 0 +

3∑

i,j=1

i6=j

gijdxjdxi =⇒ gij = 0 se i 6= j

Questo comporta:(ds′)

2= g00(ds)

2; (2.6.4)

domandiamoci a questo punto quanto possa valere g00. Tale oggetto non può dipendere dax, per l’omogeneità; potrebbe poi dipendere da |v|, ma non da v, per l’isotropia =⇒ g00 =g00(|v|); se scambio il ruolo di S e di S′, avremo che l’unica cosa che cambia è v in −v; allora:

ds2 = g00(| − v|)ds′2 = g00(|v|)ds′2(2.6.4)

= g200(|v|)ds2

=⇒ 1 = g200 =⇒ g00 = ±1; se v = 0, g00 = 1,allora g00 è sempre 1, dunque ds2 = ds′

2 e

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

G.L.

Capitolo III

Formulazione geometrica

Indice

1 Gruppi 22

1.1 Notazioni 23

1.2 Condizione di invarianza 24

1.3 Gruppi di Poincaré e Lorentz 24

1.4 Particolarità del gruppo di Lorentz proprio. 252 Calcolo vettoriale 27

2.1 Calcolo vettoriale in meccanica prerelativistica 273 E in fisica relativistica. . . ? I tensori. 284 Il calcolo tensoriale. . . 295 Algebra tensoriale 30

5.1 Moltiplicazioni tra vettori 31

5.2 Contrazione degli indici 316 Campi tensoriali, quadrigradiente e derivate 31

La formulazione geometrica della relatività, presentata per la prima volta da Minkowski,permette di trattare la relatività ristretta in maniera matematica, e dunque precisa. Questopuò essere piacevole, o causare sofferenza, a seconda delle inclinazioni individuali1.

1 Gruppi

Per procedere con la nostra trattazione dobbiamo innanzi tutto dare la definizione di gruppo,forse già nota al lettore dal corso di metodi.

1.0 Definizione. Un gruppo G rispetto all’operazione binaria ε è un insieme che gode delleproprietà seguenti:

1. combinando due elementi di G tramite ε, ottengo un elemento che appartiene ancora aG ;

2. presi tre elementi qualsiasi di G , siano essi g, h e k, si ha che vale la seguente uguaglianza:

gε(hεk) = (gεh)εk; (3.1.1)

3. esiste un elemento e, appartenente a G , detto elemento neutro, tale che, ∀ g ∈ G

eεg = gεe = g (3.1.2)

4. ∀ g ∈ G esiste l’elemento simmetrico g̃ tale che

gεg̃ = g̃εg = e (3.1.3)

1Qualche studente di fisica potrebbe rimembrare che tali furono le parole usate dal professor FrancescoFassò nell’introdurre il suo corso di Istituzioni di Fisica Matematica.

23

24 1. GRUPPI

1.1 Notazioni

Siamo già entrati in contatto con la notazione con indici, e, assieme ad essa, con xµ, gµν e Λµν .Ora definiamo il modo con cui indichiamo trasposta e inversa di Λ e inversa di gµν , e nellanotazione con indici, e nella notazione matriciale, che potrà, talvolta, tornarci utile.

Notazione con indici −→ Notazione Matricialexµ −→ xΛµν −→ ΛΛµ

ν −→ Λ̃Λ̂νµ −→ Λ−1gµν −→ Ggµν −→ G−1

Tabella 3.1: Notazioni.

Introduciamo anche la convenzione di Einstein, per la quale se in una formula vi sonodue indici uguali, uno in alto ed uno in basso, si intendono sommati; per intenderci:

gµνdxµ =

3∑

µ=0

gµνdxµ (3.1.4)

(ma gµνdx

ρ + gρµdxν 6=

∑

µνρ

(gµνdxρ + gρµdx

ν)

)(3.1.5)

D’ora in poi si ha, inoltre, che le lettere greche varieranno da 0 a 3, quelle latine da 1 a 3; così

gµνxµ =

3∑

µ=0

gµνxµ (3.1.6)

giνxi =

3∑

i=1

giνxi. (3.1.7)

Introdotte queste notazioni, risulterà ovvio scrivere ds2 come

dxµgµνdxν ; (3.1.8)

nella nostra trattazione ci torneranno inoltre comode le siddette coordinate covarianti, definitenel seguente modo:

xµ = gµνxν , (3.1.9)

ovverox0 = x

0 (3.1.10)

xi = −xi. (3.1.11)Volendo scrivere la (3.1.8) tenendo conto di queste nuove coordinate, otteniamo

ds2 = dxνdxν ;

come già visto in tabella 1.1, avremo a che fare anche con gµν , definito come l’inverso di gµν ,e tale che gµσgµρ = δσρ (delta di Kroenecker).

La nostra definizione sembrerebbe a prima vista del tutto inutile, in quanto gµν = gµν ;tuttavia ciò non è in generale vero (lo è solo per lo spazio tempo piatto in coordinate cartesiane),dunque la nostra definizione non è ridondante.Moltiplicando per gµρ ambo i membri della (3.1.9) otteniamo:

gµρxµ = gµνgµρxν = δν

ρxν , (3.1.12)

G.L.

CAPITOLO III. FORMULAZIONE GEOMETRICA 25

xρ = gµρxµ (3.1.13)

da cuids2 = gµνdxµdxν . (3.1.14)

1.2 Condizione di invarianza

Andiamo ora ad analizzare la condizione di invarianza dell’intervallo spazio temporale.Si sa che:

dxµgµνdxν = dx′µgµνdx

′ν ; (3.1.15)

scrivendo il tutto in forma matriciale:

d̃x G dx = d̃x′ G dx′ (3.1.16)

Le trasformazioni che lasciano invariato l’intervallo avevano la forma:

x′µ = Λµν xν + aµ;

differenziandodx′µ = Λµν dx

ν .In forma matriciale

dx′ = Λ dx;trasponendo:

d̃x′ = d̃xΛ̃

(3.1.17)

Allora la (3.1.16) può riscriversi:

d̃x G dx = d̃x′ (Λ̃ G Λ) dx′ (3.1.18)

da cui si ricava G = Λ̃ G Λ, o, con l’altra notazione

gµν = ΛµρgρσΛ

σν . (3.1.19)

1.3 Gruppi di Poincaré e Lorentz

Ricapitoliamo: le trasformazioni che lasciano l’intervallo spazio-temporale invariato sono dellaforma, come già dimostrato:

x′ = Λx+ a (a ∈ R4; Λ matrice 4 × 4 a valori reali) (3.1.20)

con Λ tale che Λ̃ G Λ = G, affinché l’intervallo sia inviariante. Queste leggi per le tra-sformazioni costituiscono un gruppo che ha come elementi {Λ, a}. Le leggi di composizionesono:

{Λ1, a1} · {Λ2, a2} = {Λ1Λ2,Λ1a2 + a1} (3.1.21)Infatti si ha x′ = Λ2x+ a2 e x′′ = Λ1x′ + a1, e dunque:

x′′ =

x′′ in funzione di x︷︸︸︷Λ1Λ2x+ Λ1a2 + a1

= (Λ1Λ2)x+ (Λ1a1 + a2)

Componendo la trasformazione Λ1 con Λ2 ottengo quindi la (3.1.21). Deve poi valere Λ̃1Λ2 G Λ1Λ2 =G. Ma si constata subito che quanto appena scritto è uguale a:

Λ̃2Λ̃1 G Λ1Λ2 = Λ̃2 G Λ2 = G (3.1.22)

Dunque, effettivamente la (3.1.21) è una legge di composizione. Si dimostra che è associativae che l’elemento neutro è:

e = {Id, 0} (3.1.23)

G.L.

26 1. GRUPPI

e l’inverso è{Λ−1,−Λ−1a} (3.1.24)

è banale verificarlo usando la (3.1.21). Il gruppo così ottenuto con elementi {Λ, a} è dettoGruppo di Poincaré P.

Il gruppo che si ottiene ponendo a = 0 è detto Gruppo di Lorentz L e si osserva immedia-tamente che L ha quattro componenti connesse; infatti una prima suddivisione è

detG = −1 = det(Λ̃ G Λ) Teorema di Binet= det(Λ̃) det(G) det(Λ) detG=−1= −(detΛ)2

=⇒ det Λ ={

+1 → L+−1 → L−

Per poter passare però da detΛ = 1 a detΛ = −1, si deve fare un salto discontinuo, benché,come detto prima, si abbia che ogni singola componente sia connessa. Si ha poi:

1 = g00 = Λ0µ gµνΛ

ν0 (ricordiamo che g00Λ00 = Λ00)

=

(Λ00)2︷︸︸︷

Λ00Λ0

0 −3∑

i=1

Λ0iΛi

0

=⇒ (Λ00)2 = 1 +3∑

i=1

Λ0iΛi

0 ≥ 1

Ne segue

Λ00 =

{≥ +1 → Λ ∈ L ↑≤ −1 → Λ ∈ L ↓ (3.1.25)

Si definisce allora il Gruppo di Lorentz proprio come L ↑+, cioè tutte le Λ t.c.

Λ̃ G Λ = G

detΛ = 1

Λ00 ≥ 1

e il Gruppo di Poincaré proprio, ossia ∀ a ∈ R4:

se Λ ∈ L ↑+ =⇒ {Λ, a} ∈ P↑+ (3.1.26)

1.4 Particolarità del gruppo di Lorentz proprio.

Ci domandiamo ora che forma hanno le Λ ∈ L ↑+. Esse sono matrici 4 × 4, però, dacché G èsimmetrica, le equazioni Λ̃ G Λ sono solo

1

2(# fuori diagonale) + (# diagonale) =

1

212 + 4 = 10 : (3.1.27)

10 equazioni indipendenti, il che implica 16 − 10 = 6 parametri indipendenti.2Se abbiamo trasformazioni che agiscono solo su x1, x2, x3 e lasciano invariante l’intervallo

spazio-temporale allora devono lasciare invariato l’intervallo spaziale: le trasformazioni chedanno questo risultato sono le rotazioni: ci ritroviamo dunque con solo tre parametri (infattile rotazioni ne hanno “presi” altri tre). Riscriviamo le trasformazioni di Lorentz speciali lungox1 (γ e β definite come sopra):

x′1 = (x1 − β x0) γx′2 = x2

x′3 = x3

x′0 = (x0 − β x1)γ.2Le dieci equazioni rappresentano dieci vincoli al sistema

G.L.


Dunque: lungo il primo asse mi ritrovo un parametro, ma per l’isotropia dello spazio, nullami vieta di poter fare le medesime trasformazioni anche per gli altri due assi, ritrovandomicosì ad avere gli altri due parametri che mi servivano. In questo modo posso caratterizzareil gruppo proprio di Lorentz, in quanto si è trovato che è fatto da trasformazioni di Lorentzlungo x1, x2, x3, e da rotazioni attorno i tre assi.

La matrice che corrisponde alle trasformazioni speciali di Lorentz lungo x1 con velocità vè (Λ ∈ L ↑+):

Λ =

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(3.1.28)

⇒ detΛ = 1.

Abbiamo perciò visto che i gruppi P e L si spezzano nei sottogruppi (evito di riportarequelli di P):

L↑+ L

↑− L

↓+ L

↓−

Possiamo introdurre ora degli operatori su questi gruppi:

① Operatore di Parità: Px = −x

P =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

P00 = 1 =⇒ P ∈ L ↑

detP = −1 =⇒ P ∈ L ↑−

② Analogamente, considerando l’inversione temporale T

T =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

T00 = −1 =⇒ T ∈ L ↓

detT = −1 =⇒ T ∈ L ↓−

③ Inoltre si può prendere PT

PT =

−1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

PT ∈ L ↓+

1.1 Osservazione. Per ora non abbiamo utilizzato il principio di relatività di Einstein, il qualeafferma che le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.Allora se sono in S′ e applico, ad esempio, l’operatore di parità, mi ritrovo in un sistema diriferimento S nel quale devono valere le stesse leggi della fisica del primo. Invece nel ’57 siscoperse che nel decadimento β questo principio era violato in quanto l’operatore parità nonlascia inviarianti le leggi della fisica. Si trova invece che le leggi della fisica sono invarianti perP

↑+, e quindi per L

↑+.

G.L.

28 2. CALCOLO VETTORIALE

1.2 Osservazione (dovuta a Minkowski). La distanza euclidea infinitesima in R3 è3:

|dx|2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2. (3.1.29)L’intervallo spazio temporale ha invece la forma:

ds2 = (dx0)2 − |dx|2 (3.1.30)Se definisco4 x4 = ix0

⇒ ds2 = −[(dx4)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2] (3.1.31)In questa maniera si trova un modo per trasformare nozioni euclidee nello spazio tempo reale.Infatti l’invarianza di ds2 (x1, x2, x3, x4) è quella delle rotazioni 4-dimensionali (oppurtuna-mente complessificate); prendiamo la rotazione di x4 e x1. Si ha:

Imm︷︸︸︷x′4 = cos ξ

Imm︷︸︸︷x4 + sin ξ

Reale︷︸︸︷x1

x′1 = − sin ξ x4 + cos ξ x1

Se ξ ∈ C sin ξ ∈ iR e cos ξ ∈ R, (altrimenti le uguaglianze non varrebbero). Perciò ξ = iψ, ψ ∈R, e in tal modo si ottiene

cos ξ = cos(iψ) = coshψ

sin ξ = sin(iψ) = −i sinhψAllora: {

(x1)′ = sinhψ x0 + coshψ x1

(x0)′ = coshψ x0 − sinhψ x1 (3.1.32)

(la seconda non è altro che (x4)′ = i(x0)′ = coshψ ix0+sinhψ ix1, divisa per i). Consideriamoora un sistema S′ che si muove con velocità v rispetto ad S, con x1 costantemente uguale a 0;si avrà:

(x1)′ = −vt′ = −vc(x0)′ ⇒ (x

1)′

(x0)′= −v

c(‡) (3.1.33)

Dalle (3.1.32) risulta:(x1)′

(x0)′= tanhψ

(‡)= −v

c(3.1.34)

=⇒{

sinhψ = −β γcoshψ = γ

(3.1.35)

(discende da cosh2 t− 1 = sinh2 t) (3.1.36)Riscrivendo la (3.1.32) tenendo conto di (3.1.32) e (3.1.35) ritroviamo la matrice di Lorentz,il che implica che in relatività, v’è l’invarianza per rotazioni complesse.

2 Calcolo vettoriale

2.1 Calcolo vettoriale in meccanica prerelativistica

In meccanica pre-relativistica si usa il calcolo vettorialea poiché, grazie ad esso, le leggidella fisica sono covarianti per rotazioni o traslazioni, come conseguenza dell’omogeneità edell’isotropia dello spazio. La legge di trasformazione in questo caso è (se xi = (x1, x2, x3)):

x′i =

3∑

j=1

(Rijxj + aj) conRtalecheR̃ · R = Id (3.2.1)

Gli oggetti tipici del calcolo vettoriale sono5

3 da qui l’invarianza per rotazioni4Si chiama rotazione di Wick quando la si applica alla teoria dei campi5L’apice ′ indica l’oggetto in questione dopo la trasformazione

G.L.


• gli scalari: A è uno scalare quando (rispetto alle roto-traslazioni):

A′ = A (3.2.2)

• i vettori: V è un vettore quando:V ′i = RijVj (3.2.3)

Presa un’equazione F = ma (in componenti Fi = mai), nel nuovo sistema di riferimento S′ siha:

F ′j = RijFi = Rijmai = ma′i con Rijai = a

′j : (3.2.4)

questo significa che nel nuovo sistema di riferimento, le leggi sono le stesse.

3 E in fisica relativistica. . . ? I tensori.

Tuttavia, in fisica relativistica per compiere queste trasformazioni abbiamo bisogno di unospazio quadri-dimensionale, e non delle rotazioni, bensì delle trasformazioni di Lorentz. Siintroduce dunque la nozione di tensore quadridimensionale. Un tensore Iij (in questo caso sipuò pensare al momento d’inerzia) è un oggetto che trasforma come il prodotto tra due vettori.Ovvero, se Iij ∼ vivj , v ∈ R3, si ha:

I =

v1v1 v1v2 v1v3v2v1 v2v2 v2v3v3v1 v3v2 v3v3

(3.3.1)

Dacché Iij ∼ vivj , per rotazioni vive la seguente relazione:

I ′ij =3∑

l=1

Rilvl

3∑

k=1

Rikvk

=3∑

l,k=1

RilRjk(vlvk)

Iij è a due indici, ma si possono introdurre quanti indici si vogliono. Inoltre si può avereanche Iij ∼ viuj, e la (3.3.1) cambierà di conseguenza; risulta sempre chiaro che si possonoavere tutti gli indici che si vogliono, per esempio6 Aijkl ∼ vivjvkvl (e di conseguenza A′ijkl =∑3

m,n,o,p=1RimRjnRkoRlpAmnop). Si ha che:

• Aijkl è un tensore di rango 4;

• uno scalare è un tensore di rango 0;

• un vettore è un tensore di rango 1.3.1 Esempio (Tensore ε).

εijk =

1 se

ijk

=

123

o permutazioni pari

−1 se

ijk

è una permutazione dispari di

123

0 altrimenti

3.2 Esempio (Il simbolo di Kroenecker). δij , non è altro che un tensore di rango 2.

6A è in questo caso un tensore di rango 4, mentre I era un tensore di rango 2

G.L.

30 4. IL CALCOLO TENSORIALE. . .

4 Il calcolo tensoriale. . .

Come prima accennato, in relatività si usano i tensori; descriviamo gli oggetti con cui entreremoin contatto(prendiamo, d’ora in poi, Λ ∈ P↑+):7

• un quadriscalare A è un oggetto che per trasformazioni P↑+ si comporta in maniera taleda aversi:

A′ = A;

• un quadrivettore controvariante8 Aµ, µ = 1, 2, 3, 4, è tale che:

A′µ = ΛµνAν ;

• un quadri-tensore covariante di rango 2, Aµν è tale che

A′µν = Λµ

ρΛν

σAρσ .

4.1 Esempio. Il tensore metrico gµν .

4.2 Esempio. In 3D possiamo prendere δij :

δij =

1 0 00 1 00 0 1

• un vettore covariante Aµ è tale che Aµ = gµνAν (A0 = A0 e Ai = −Ai). Tale oggettotrasforma così:9

A′µ = Λ̂ν

µAν dove

Λ̂νµ = gµρΛρσg

σν

Prendiamo A′ν = ΛνρAρ. Si ha:

A′µ = gµνA′ν = gµνΛ

νρA

ρ ⋆= (3.4.1)

Dacché Aρ = gρσAσ =⇒

⋆=

bΛµσ︷︸︸︷gµνΛ

νρg

ρσ Aσ (3.4.2)

• un quadri-tensore covariante di rango 2 è un oggetto Aµν tale che:

A′µν = Λ̂µρΛ̂ν

σAρσ (3.4.3)

• un quadritensore di rango 1 covariante e di rango 1 controvariante è un oggetto Aµν chetrasforma in questo modo:

A′µν = Λ̂µ

σΛνρAσρ (3.4.4)

• uno pseudo-tensore è di prima specie se dato Λ ∈ L , viene associato nella trasformazioneil fattore detΛ

7Potrà a qualcuno apparire strano di come vengano definiti questi oggetti; infatti non si asserisce nulla diconcreto su di essi, se non come essi trasformano sotto la ∈ P↑

+; tuttavia tale metodo, essendo il più astratto

possibile, ha dei vantaggi, dacché permette di “catalogare” subito gli oggetti con cui si viene a contatto;più avanti (sicuramente nel capitolo dedicato all’elettromagnetismo), si familiarizzerà con questo concetto inmaniera più “operativa”.

8Per capirsi una volta per tutte, controvarianti sono gli oggetti con l’indice, o gli indici, in alto, covariantigli oggetti con indice in basso, benché la definizione precisa è data in base al modo in cui trasformano

9 bΛ è l’inversa

G.L.


• uno pseudo-tensore è di seconda specie se, dato Λ ∈ L , viene associato nella trasforma-zione il fattore sgn(Λ00)

• uno pseudo quadri-vettore covariante di prima specie è tale che, se Λ ∈ L :

A′µ = (detΛ)Λ̂µνAν (3.4.5)

• uno pseudo quadri-vettore controvariante di seconda specie è tale che:

A′µ = sgnΛ00ΛµνAν

4.3 Definizione. Definiamo poi εµνρσ , uno pseudo-tensore di rango 4, detto pseudo-tensoredi Levi-Civita , tale che:

εµνρσ =

1 se

µνρσ

=

1234

o permutazioni pari

−1 se

µνρσ

è una permutazione dispari di

1234

0 altrimenti

(3.4.6)

Le leggi di trasformazione diventano:

ε′µνρσ = (detΛ)ΛµαΛν

βΛργΛ

σδε

αβγδ ‡= (3.4.7)

ma

εαβγδΛµαΛν

βΛρ

γΛσ

δ = (detΛ)εµνρσ (3.4.8)

e dunque:

‡= (det Λ)2εµνρσ

(detΛ)2=1= εµνρσ (3.4.9)

4.4 Osservazione (Analogie e differenze tra la geometria relativistica, e la geometria nonrelativistica). Per una più veloce comprensione, usiamo questo utile schema riassuntivo:

Geometria non relativistica −→ Geometria relativisticaR3 =⇒ i = 1, 2, 3 −→ R4 =⇒ µ = 1, 2, 3, 4

dx invariante per rotazioni −→ ds invariante per L e P(dx)2 = δijdx

idxj −→ (ds)2 = gµνdxµdxν =⇒ g00 = −giiAi = δijA

j = Ai −→ Ai 6= Ai

5 Algebra tensoriale

In questa sezione ci occuperemo di meglio definire le operazioni da compiere con gli oggettiintrodotti sinora.

G.L.

32 6. CAMPI TENSORIALI, QUADRIGRADIENTE E DERIVATE

5.1 Moltiplicazioni tra vettori

Prendiamo due vettori, Aµ, controvariante, e Bµ, covariante. Vale la seguente relazione:

A′µB′µ = Λµ

νAν Λ̂σµBσ =

δνσ

︷︸︸︷ΛµνΛ̂

σµ A

νBµ. (3.5.1)

Infatti, discende dalla definizione:

Λ̂σµ = gµρΛρ

τgτσ; (3.5.2)

e perciò:

Λµν Λ̂σ

µ = Λµ

νgµρΛρ

τgτσ = (Λ̂GΛ)ντg

τσ = gντgτσ = (GG−1)σν = (1)

σν = δ

σν (3.5.3)

Si ha poi AµBµ = AµgµνBν = AνBν : allora è uno scalare (per le proprietà degli scalari).Ciò è del tutto analogo al prodotto scalare tra vettori (A · B =

∑iAiBi =

∑i,j AiδijBj).

Facciamo poi notare che AµBµ ha le proprietà del prodotto scalare, escluso10 il fatto che nonè definito positivo.

5.2 Contrazione degli indici

Il processo di indici sommati viene anche detto contrazione degli indici. Tramite tale processosi può abbassare di un grado il rango d’un tensore; Tramite il prodotto tra tensori, succedela stessa cosa; infatti, se AµνρBστ è un tensore 3 covariante e 2 controvariante, si ha che, nelcaso σ = ρ, otteniamo un tensore 2 covariante e 1 controvariante, più precisamente AµνρBρτ ;se invece si ha AµBν , e µ = ν, allora, per la convenzione di Einstein, AµBµ = A0B0 + . . .,che è uno scalare, ovvero un tensore di rango 0, come si dovrebbe giustamente ottenere dallacontrazione di AµBν .

6 Campi tensoriali, quadrigradiente e derivate

6.1 Definizione (Campo scalare). ϕ(x) è un campo scalare se, sotto una trasformazione{Λ, a} ∈ P, che manda x in x′ = Λx+ a, vale la relazione:

ϕ′(x′) = ϕ(x)

Ma come viene trasformato questo campo in funzione di x′? Si ha che x = Λ−1(x′ − a):un’altra maniera di dare la legge di trasformazione è dire:

ϕ′(x′) = ϕ(Λ−1(x′ − a))

Analogamente si ha:

6.2 Definizione (Campo vettoriale). Aµ(x) è un campo vettoriale se, sotto Λ ∈ L , vale larelazione:

A′µ(x′) = ΛµνAν(x)

Prendiamo ora in considerazione la generalizzazione di ∇, ovvero il quadrigradiente.

6.3 Definizione (Quadrigradiente). L’operatore quadrigradiente è definito come:

∂µ ≡∂

∂xµ=

(∂

∂x0,∂

∂xi

)=

(1

c

∂

∂t,∇)

(3.6.1)

10Dato uno spazio vettoriale V, A, B ∈ V , il prodotto scalare tra i due vettori gode delle seguenti proprietà:è bilineare, definito positivo e simmetrico

G.L.


Dunque il quadrigradiente di un campo scalare ϕ sarà:

∂ϕ

∂xµ=

(1

c

∂ϕ

∂t,∇ϕ

)(3.6.2)

Ci chiediamo ora se l’oggetto ∂µϕ(x) è un vettore covariante. Verifichiamolo.

dϕ =∂ϕ

∂xµdxµ (3.6.3)

è uno scalare, quindi deve ottenersi per contrazione di un quadrivettore covariante con unocontrovariante.

6.4 Definizione. Analogamente ∂µ è un quadrivettore controvariante, ed è definito da:

∂µ ≡ ∂∂xµ

=

(∂

∂x0,∂

∂xi

)=

(1

c

∂

∂t,−∇

)(3.6.4)

G.L.

Capitolo IV

Meccanica relativistica

Indice

1 Grandezze fondamentali 332 La quadriforza 353 Sistemi di riferimento 364 Processi tra particelle (dinamica relativistica) 37

4.1 Decadimento 37

4.2 Decadimento a due corpi 38

4.3 Distribuzione di probabilità nel decadimento 41

4.4 Urti tra particelle 43

4.5 Le variabili di Mandelstam 44

4.6 Gli urti veri e propri 45

In questo capitolo ci interessiamo alla generalizzazione relativistica di velocità, accelerazio-ne, impulso e forza. Vogliamo che tutti gli oggetti con cui si entri in contatto siano parte dellospazio di Minkowski, sicché trasformino correttamente da un sistema inerziale ad un altro,ossia soddisfino il principio di relatività1.

Questo significa che vogliamo definire delle grandezze che si comportino in tale modo: siaF la forza in un sistema S, e p l’impulso; in un sistema S′ la forza sarà F′, e l’impulso p′; sipasserà dagli uni agli altri con una trasformazione di Lorentz, ossia:

F′ = ΛF,

p′ = Λp,

in modo che l’equazione F = dp/dt sia la medesima per entrambi i sistemi di riferimento, inaccordo con il principio di relatività. In pratica stiamo cercando delle leggi covarianti.

Inoltre, ci preme che per β

CAPITOLO IV. MECCANICA RELATIVISTICA 35

t→ τ tempo proprio. (4.1.2)

Perché vogliamo usare il tempo proprio e non il tempo? La risposta sta nella definizione ditempo proprio (dτ = ds/c): essa permette allo stesso di essere indipendente dal sistema diriferimento, al contrario di t: dunque parametrizzare i moti con il tempo proprio, e non con iltempo, permette di ottenere un parametro che sia indipendente dal sistema di riferimento, eche sia quindi covariante.

La scelta naturale cade tuttavia sulla radice di ds2 = dxνgµνdxµ (solo nel caso che nonsi abbia a che fare con particelle con velocità pari a c). Per questo il lettore abbia la cura dimostrare la validità della seguente relazione (che discende da ds2 = dxµdxµ):

ds = dtc

γ(4.1.3)

che ci tornerà molto utile in seguito. Facciamo subito notare che, dacché ds2 è l’intervallospazio temporale del moto, la v all’interno di γ è la velocità a cui avviene il moto.

1.2 Definizione (La quadrivelocità). Possiamo a questo punto prendere l’analogo della velo-cità:

v(t) → dxµ

ds=

dxµ

cdtγ(è un quadrivettore, in quanto rapporto di un quadrivettore con uno scalare ). (4.1.4)

Si ottiene:

u0 =dx0

ds= γ, (4.1.5)

ui =dxi

ds=γ

c

dxi

dt; (4.1.6)

dunque, in definitiva, si ha:

uµ =(γ,γ

cv)

(4.1.7)

Notiamo poi che dalla definizione segue che:

uµuµ = 1 (4.1.8)

(al lettore i calcoli) (4.1.9)

1.3 Definizione (La quadriaccelerazione). Come prima abbiamo introdotto la quadrivelocitàcome la derivata temporale del vettore posizione, ora introduciamo la quadriaccelerazione comela derivata temporale della quadrivelocità:

a =dv

dt=

d2x

dt2→ wµ = du

µ

ds.

Ricaviamone le componenti (si usa qui il fatto che dγdt =γ3

c2 v · a, relazione che si ottienederivando appunto γ rispetto al tempo, ricordando che v = v(t)):

w0 =du0

ds=γ

c

dγ

dt=γ4

c3v · a,

wi =dui

ds=

γ

c2d(γvi)

dt=γ2

c2ai +

γ4

c4(v · a)vi; (4.1.10)

prendiamo ora la (4.1.8), e deriviamola rispetto a s. Ne esce:

w · u = 0 (4.1.11)

il che implica che quadri-velocità e quadri-accelerazione sono tra loro ortogonali (sempre!).

G.L.

36 2. LA QUADRIFORZA

1.4 Definizione (Il quadrimpulso). Si generalizza ora l’idea di impulso:

p = mv → pµ := mcuµ (4.1.12)Dunque il quadrimpulso risulta:

pµ =

mc√

1 − v2c2,

mv√1 − v2c2

(4.1.13)

Viene ora spontaneo interrogarsi su mcγ, il primo termine del quadrimpulso: esso infatti è Ec .Cosa c’è di strano? Prendiamo il caso β


3 Sistemi di riferimento

Nei fenomeni in cui si ha a che fare con particelle che interagiscono a velocità prossime a quelledella luce, si rende indispensabile la meccanica relativistica, poiché essa descrive in manieracorretta le quantità in gioco. Questo spiega il larghissimo uso che se ne fa in fisica nucleare esub-nucleare. In questa sezione affronteremo decadimento di particelle e urti tra particelle.

Per quanto riguarda la nostra analisi di urti e decadimento, prenderemo in considerazionedue sistemi di riferimento, il sistema di riferimento del centro di massa, Hcm, e il sistema diriferimento del laboratorio, Hlab3. Facciamo un esempio per impratichirsi un po’ con questidue sistemi;

3.1 Esempio. Mettiamoci in Hlab, e consideriamo due particelle, la prima che si muove lungol’asse x con quantità di moto p1 = p, e la seconda, ferma, per la quale vale dunque la relazionep2 = 0. Perciò la sua energia è (sia c = 1 in tutti i conti che facciamo in questo esempio)E2 = m2. Si ha poi:

p1 = (E1, p, 0, 0) (4.3.1)

p2 = (m2, 0, 0, 0) (4.3.2)

E1 =√p2 +m21. (4.3.3)

In Hcm si ha invece che la quantità di moto totale è nulla, e dunque:4

p⋆1 + p⋆2 = 0

il che porge:|p⋆1| = |p⋆2| = p⋆

Dunque:p⋆1 = (E

⋆1 , p

⋆, 0, 0)

p⋆2 = (E⋆2 ,−p⋆, 0, 0)

Per passare da Hlab a Hcm si effettua una trasformazione di Lorentz lungo x. Prima di farlointroduciamo tuttavia le quantità ptot e p⋆tot, così definite:

ptot = p1 + p2 = (E1 +m2, p, 0, 0)

p⋆tot = p⋆1 + p

⋆2 = (E

⋆1 + E

⋆2 , 0, 0, 0)

Applicando le trasformazioni di Lorentz lungo x otteniamo:

(p⋆tot)x = γCM[(ptot)x − βCMp0tot] (4.3.4)

Ricordando che c = 1, si ha che βCM = v (v è la velocità di Hcm rispetto a Hlab), e la (4.3.4)porge:

(p⋆tot)x = 0 = γCM[p− βCM(E1 +m2)],che a sua volta dà:

βCM =p

E1 +m2.

Dacché p = m1γv1v1, usando la (4.3.3), si trova E1 = m1γv1 , dalle quali:

βCM =m1γv1v1

m1γv1 +m2= v

3 Per capirci: in Hcm il centro di massa del sistema è fermo, mentre Hlab è il sistema che non è propriamentequello del laboratorio, ma un altro sistema che risulta a noi comodo per descrivere i fenomeni che studiamo

4Introduciamo ora la seguente notazione: ogni quantità contrassegnata da ⋆, verrà intesa come calcolatanel centro di massa, indipendentemente dal fatto che ⋆ sia posizionata in alto o in basso (ovvero p⋆ = p⋆), perquestioni di comodità.

G.L.

38 4. PROCESSI TRA PARTICELLE (DINAMICA RELATIVISTICA)

Volendo esprimere βCM in un’altra forma, usiamo le trasformazioni di Lorentz lungo z per laparticella 2, ottenendo:

0 = γCM(−p⋆ + βCME⋆2 )Con qualche semplice passaggio si arriva a:

βCM =p⋆

E⋆2= v⋆2 . (4.3.5)

Questo risultato era da aspettarsi, in quanto per annullare la velocità della particella fermain Hlab, velocità che in Hcm vale v⋆2 , è necessaria una trasformazione che abbia βCM = v

⋆2 .

4 Processi tra particelle (dinamica relativistica)

4.1 Decadimento

Dopo esserci impratichiti5 con i nuovi sistemi di riferimento che useremo nelle nostre analisi,affrontiamo più approfonditamente il fenomeno del decadimento. il quale consiste nel processoche, da un particella iniziale con massa M , restituisce n particelle separate m1 . . .mn, comein figura 4.1.

-M ��

��

��

@@

@@

@@R

��

��*m1

mn

QQQQ

QQQQs

m2

Figura 4.1: Decadimento di una generica particella con massa M

Ci si aspetterebbe, abbastanza intuitivamente, che m1 + . . . + mn = M ; invece ciò nonaccade, poiché ciò che si conserva è il quadrimpulso , nel caso si sia in assenza di forze esterne.La prima domanda che viene spontaneo chiedersi è, date le masse delle particelle, quali sonole condizione affinché avvenga il decadimento. Se siamo nel sistema di riferimento del centrodi massa, vale la seguente relazione:

E⋆

c= Mc =

n∑

i=1

E⋆ic.

Si vede subito che:n∑

i=1

E⋆ic

≥n∑

i=1

mic

=⇒

M ≥n∑

i=1

mi (4.4.1)

La (4.4.1) è dunque la condizione per avere il decadimento della particella M in n particelle.

5Si spera!

G.L.


4.2 Decadimento a due corpi

Consideriamo ora il decadimento a due corpi, ovvero M → m1 +m2. In questo caso in Hcm,E⋆1 ed E

⋆2 , sono completamente determinate. Vive la relazione:

p⋆1 + p⋆2 = 0 ⇒ |p⋆1| = |p⋆2| = p⋆ ⇒ p⋆1 · p⋆2 = −p2⋆

Il fatto che |p⋆1| = |p⋆2| comporta che:

(p⋆1)2 = (E⋆1 )

2 −m21c2 = (E⋆2 )2 −m22c2 = (p⋆2)2 (4.4.2)

Per la legge di conservazione dell’energia si ha:

E⋆1 + E⋆2 = Mc

2. (4.4.3)

Dividendo membro a membro le ultime due equazioni, tramite semplici passaggi si giunge a:

E⋆1 − E⋆2 =m21 −m22

M. (4.4.4)

A questo punto una semplice manipolazione algebrica della (4.4.3) e della (4.4.4) ci porta a:

E⋆1 = c2M

2 +m21 −m222M

(4.4.5)

E⋆2 = c2M

2 −m21 +m222M

(4.4.6)

(E⋆1c

−m21c2) = p2⋆ = c2M4 +m41 +m

42 − 2m21m22 − 2(m21 +m22)M2

4M2(4.4.7)

Osserviamo che nel decadimento tra particelle, l’angolo ϑ⋆ della figura 4.2 non è determinato.

��1

��)

m1

m2

ϑ1 = ϑ⋆

ϑ2 = π − ϑ⋆

Figura 4.2: Decadimento a due corpi in Hcm

Esaminiamo però il decadimento nel sistema laboratorio, il quale si muove con velocità −vrispetto alla particella che decade, ovvero rispetto a Hcm. Le cose vanno come in figura 4.3

Possiamo dunque usare le trasformazioni di Lorentz, usando gli assi come in figura 4.3nella pagina successiva, in particolare con l’asse x posto lungo la traiettoria della particellacon massa M , e z orientato coerentemente. Usiamo poi α = 1, 2 per indicare la particella 1, ola particella 2. Trasformiamo dunque pµ = (E,p) lungo l’asse x. In Hcm si ha:

p⋆αx = p⋆ cosϑ⋆α

p⋆αy = p⋆ sinϑ⋆α

G.L.


6-x

y

-M ��

��

��

@@

@@

@@R

m1

mn

ϑ1

ϑ2

Figura 4.3: Decadimento a due corpi in Hlab

Dacché l’energia si trasforma come il tempo, avremo:

Eα = γ(E⋆α + v p

⋆αx) = γ(E

⋆α + v p

⋆α cosϑ

⋆α),

mentre per p:

pαx = (p⋆αx +

β

cE⋆α)γ = (p

⋆ cosϑ⋆α +β

cE⋆α)γ (4.4.8)

pαy = p⋆ sinϑ⋆α (4.4.9)

pαz = p⋆αz = 0 (4.4.10)

Questo mostra che tutte le quantità in gioco, eccetto ϑ⋆, sono note. Come in figura 4.2, valgonole seguenti relazioni:

ϑ⋆αα=1= ϑ⋆

ϑ⋆αα=2= π − ϑ⋆

Andiamo a vedere il luogo geometrico di pαx e pαy al variare di ϑ⋆. Sommiamo in quadraturala (4.4.8) e la (4.4.9); con semplici passaggi ne esce (per la 4.4.8, prima si divide per γ, poi siporta a primo membro βcE

⋆α):

6

(pαxγ

− βcE⋆α

)2+ p2αy = p

2⋆ (4.4.11)

che può essere riscritta come:

(1 − β2)(pαx −

β

cE⋆αγ

)2+ p2αy = p

2⋆. (4.4.12)

La (4.4.12) è l’equazione di un ellisse nelle variabili px, py, con centro in:

βc

E⋆α√1 − v2c2

≡ d, 0

e semiassi:sx = p⋆γ lungo x

sy = p⋆ lungo y

Ciò implica i seguenti casi:

G.L.


px

py

Figura 4.4:

1. se d < sx, l’angolo ϑ⋆ può assumere tutti i valori, come in figura 4.4 nella paginasuccessiva

2. se d > sx, l’angolo ϑ⋆ ha un massimo, ossia le particelle devono essere emesse in avanti,come in figura 4.5 nella pagina seguente, dove, tra l’altro, si vede molto bene che v’è unangolo massimo, indicato lì con ϑmax, di emissione per la particella.

ϑmax

px

py

Figura 4.5:

Andando ad analizzare più in profondità la situazione, si constata che se v⋆α < v7, siamo nella

prima situazione, altrimenti se v⋆α = 0 siamo nella seconda.Per trovare l’angolo massimo nel sistema laboratorio, mettiamo a sistema l’equazione dell’ellisse

6 β = vc

7si confronti la 4.3.5

G.L.


con quella di una retta passante per l’origine; il sistema uscente è:

(1 − β)2(pαx − d)2 + p2αy = p2⋆pαx = q cosϑpαy = q sinϑ

}la pendenza è tanϑ

Introduciamo delle quantità per semplificare i conti: sia ε′ = βE⋆α

c , da cui d = ε′γ. Allora:

(1 − β2)[q2 cos2 ϑ− 2q cosϑε′γ + (ε′γ)2] + q2 sin2 ϑ = p2⋆Le condizioni di tangenza si hanno quando il discriminante in q è uguale a 0. Ovvero sescriviamo aq2 + 2bq + c = 0, deve valere la relazione b2 − ac = 0, che è la condizione diannullamento del discriminante. Lasciando al lettore questi noiosi, ma facili, conti, scriviamosoltanto i risultati:

cos2 ϑmax =ε′2 − p2⋆ε′2 − β2p2⋆

da cui

sin2 ϑmax =p2⋆(1 − β2)ε′2 − β2p2⋆

Possiamo infine scrivere, ricordando che m2αc2 =

[(E⋆αc

)2− p2⋆

],

sinϑmax =p⋆√

(1 − β2)βmα c

.

4.3 Distribuzione di probabilità nel decadimento

Sopra abbiamo analizzato il decadimento di una particella, la quale ”decade”, generando duenuove particelle. Questo fenomeno avviene per la gran parte delle particelle, quindi è naturaleche esso abbia molta importanza nella nostra trattazione; tuttavia il tempo che queste particelleimpegano a decadere non è prevedibile, ed è possibile parlarne solo come tempo medio. Ciòimplica che è necessario trattare il decadimento dal punto di vista statistico. Per esempio, seprendo un campione di N particelle X , dove X è una particella che ha tempo di decadimentoτ 8, dopo una frazione, che a noi non interessa meglio definire, di τ , ci sono particelle giàdecadute. E dopo un multiplo di τ , ci saranno particelle che dovranno ancora decadere.Quindi per un piccolo insieme di particelle non è vero che il tempo di decadimento è τ : questonon toglie che dopo un tempo τ , in media, le particelle di tipo X siano Ne

9.Trattiamo ora l’argomento con maggiore precisione: prendiamo, come prima, N particelle X ,e definiamo Nt com il numero di particelle all’istante t. La legge dei decadimenti è:

dNtdt

= −Ntτ.

La sua soluzione è:Nt = N0 e

− tτ (4.4.13)

Dalla (4.4.13) si capisce un po’ più chiaramente quanto sopra detto.Ci chiediamo ora quale sia la distribuzione di energia nel decadimento. Supponiamo di avereN particelle che decadono. Una frazione di loro, diciamo dN avrà energia compresa tra E, edE + dE. Poniamo:

dN

N= dχ(E)

ρ(E) =dχ(E)

dE(È la densità di probabilità)

8 τ è da noi definito come il tempo dopo il quale le particelle X non decadute sono Ne

, e non più N9L’ideale sarebbe un insieme di particelle numerabile, ma ciò in pratica non può accadere

G.L.


Nel sistema di riferimento Hcm, la distribuzione di energia è isotropa; dunque dopo aver ivitrovato le quantità a cui siamo interessati, trasformiamo i risultati; in questa trasformazioneentra in gioco l’energia nel sistema Hlab.

dϕ⋆

dϑ⋆

Figura 4.6: Sezione d’angolo solido dϕ e dϑ sono invertiti rispetto alla figura

Con riferimento alla figura 4.6, in Hcm, la probabilità di trovare ua particella nell’angolosolido tra (ϕ⋆, ϕ⋆ + dϕ⋆) e (ϑ⋆, ϑ⋆ + dϑ⋆) sono indipendenti da ϕ⋆ e da ϑ⋆

=⇒ dχ(ϕ⋆, ϑ⋆) = dΩ(ϕ⋆, ϑ⋆)

4π.

Per l’invarianza per rotazioni attorno all’asse x si ha:

dχ(ϑ⋆) =

∫ 2π

0

dϕ⋆ d cosϑ⋆

4π=

1

2d(cosϑ⋆)

È poi cosa nota che:

E = (E⋆ + cβp⋆ cosϑ⋆)γ =⇒ cosϑ⋆ =E√

1 − v2c2 − E⋆

cβp⋆(4.4.14)

da cui si ricava:

dχ(E) =1

2d(E√

1 − v2c2 − E⋆

cβp⋆) =

dE

2cβp⋆γ.

Perciò in definitiva:

ρ(E) =dχ(E)

dE=

1

2

√1 − v2c2cβp⋆

Imponiamo in ultima le condizioni di normalizzazione:

∫ Emax

Emin

ρ(E) dE = 1 : è una condizione plausibile?

Verifichiamolo: ∫ Emax

Emin

ρ(E) dE =1

2cβp⋆γ(Emax − Emin) (4.4.15)

Ma, dalla (4.4.14), si ha:Emax = (E

⋆ + cβp⋆)γ

G.L.


ed:Emin = (E

⋆ − cβp⋆)γda cui si ottiene che la (4.4.15) diviene:

1

2

√1 − v2c2cβp⋆

γ 2 c β p⋆ = 1,

il che ci permette di concludere questa parte.

4.4 Urti tra particelle

10 Per quanto rigurda i processi d’urto tra particelle, nella nostra analisi, prenderemo inconsiderazione solo urti elastici, ovvero urti dove le particelle uscenti sono dello stesso tipo diquelle entranti. Per focalizzare come avviene il processo d’urto tra due particelle, possiamoriferirci alla figura 4.7.

p1

p2

p′1

p′2

Figura 4.7: Figura d’un urto elastico

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