dispense di matematicagli esercizi proposti nel corso dei capitoli potrebbero essere astratti e...

Giorgio Follo

Dispense di matematica

Teoria ed esercizi

April 15, 2020

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Introduzione

Queste dispense vogliono rappresentare un riassunto dei punti principali trattati nelcorso.

L’intenzione e di dare agli studenti una guida attraverso i concetti piu impor-tanti del programma, talvolta non abbastanza evidenziati in una trattazione troppometicolosa.

E opportuno che lo studente abbia accanto a se un foglio mentre legge questepagine, in modo da eseguire i conti che vengono impostati ma raramente eseguiti,proprio per non distogliere l’attenzione dai concetti principali.

Gli esercizi proposti nel corso dei capitoli potrebbero essere astratti e piuttostodifficili e hanno anchessi lo scopo di stimolare nel lettore la formazione di una au-tonomia che lo svincoli da manuali e formulari.

Gli esercizi di tipo compilativo sono invece raccolti al fondo di ogni capitolo.Dal momento che il lavoro e in corso e proseguira di anno in anno, non e com-

pleto e non puo sostituire interamente il libro di testo o peggio la frequenza al corso.I capitoli possono presentarsi scoordinati e fare riferimento a risultati non com-

presi nelle dispense stesse.

Asti,Ottobre 2007 Giorgio Follo

vii

Indice

Parte I Algebra

1 Scomposizione di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Un caso particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Dominio di una frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Operazioni sulle frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 semplificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Somma e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Prodotto, divisione, elevamento a potenza . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Parte II Geometria

3 Teorema di Talete e conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1 Il teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Poligoni simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Triangoli simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Parte III Analisi

4 Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Definizione e prime proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1 Rapporto incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Derivate di funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ix

x Indice

4.4 Funzioni concave e flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Parte IV Calcolo delle probabilita e statistiche

Suggerimenti e soluzioni degli esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Parte IAlgebra

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Capitolo 1Scomposizione di polinomi

Sommario . - Trattiamo il problema di scomporre un polinomio nel prodotto dipolinomi di grado piu basso. Ciascuna delle tecniche descritte non lo risolve defini-tivamente ma sta allo studente individuare di volta in volta quella piu efficace.

1.1 Introduzione

Ricordiamo che risolvere un’equazione significa trovare tutte le sue soluzioni.Consideriamo, per esempio, l’equazione

x3 +2x2 + x = 0 ,

e immediato vedere che 0 e una soluzione, ma sara l’unica? La stessa equazione sipuo scrivere come

x(x+1)(x+1) = 0

e dalla legge di annullamento del prodotto si deduce che le soluzioni sono 0 e −1 .Supponiamo di dover calcolare 7/30−11/72 , abbiamo

730

− 1172

=7

2 ·3 ·5− 11

23 ·32 =7 ·22 ·3−11 ·5

23 ·32 ·5=

29360

.

Possiamo procedere in modo analogo se le frazioni contengono polinomi, peresempio

ba3 −ab2 +

1a2 +2ab+b2 =

ba(a+b)(a−b)

+1

(a+b)2 =

b(a+b)+a(a−b)a(a−b)(a+b)2 =

a2 +b2

a(a−b)(a+b)2 .

3

4 1 Scomposizione di polinomi

In quest’ultimo esempio, i polinomi a,a+ b,a− b giocano il ruolo dei numeriprimi nelle frazioni numeriche.

In questo capitolo vedremo alcune tecniche per ottenere scomposizioni comequelle eseguite nei due esempi precedenti.

1.2 Zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi

Il seguente teorema ci fornisce uno strumento per scomporre un polinomio di unavariabile, a coefficienti interi. Il suo utilizzo e pittosto macchinoso e andrebbe quindiutilizzato quando gli altri metodi non risultano efficaci.

Teorema 1.1. - Sia P(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0 con an = 0 , a0 = 0 ,un polinomio a coefficienti interi, nella variabile x .

Le eventuali soluzioni razionali dell’equazione

P(x) = 0 (1.1)

sono frazioni che hanno a numeratore un divisore di a0 e a denominatore undivisore di an .

Dimostrazione. - Sia p/q una soluzione razionale della (1.1) e supponiamo cheil massimo comune divisore tra p e q sia 1 (altrimenti basta semplificarla).Sostituendo nella (1.1) si ottiene

anpn

qn +an−1pn−1

qn−1 + ...+a1pq+a0 = 0

e moltiplicando per qn ,

an pn +an−1 pn−1q+ ...+a1 pqn−1 +a0qn = 0 . (1.2)

Isolando a0qn e dividendo per p si ottiene

an pn−1 +an−1 pn−2q+ ...+a1qn−1 =−a0qn

p.

A sinistra del segno di uguale c’e un numero intero e quindi, se vale la (1.1),anche a destra deve esserci un numero intero. Ne segue che p e un divisore di a0oppure di q , ma siccome abbiamo supposto fin dall’inizio che la frazione p/q siaridotta, p deve essere un divisore di a0 .

Per dimostrare che q e un divisore di an si riparte dalla (1.2) ma si isola an pn

e si divide per q . ⊓⊔

Esempio 1.1. - Supponiamo di voler scomporre il polinomio

P(x) = 4x3 −4x2 −13x−5 .

1.2 Zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi 5

In questo caso abbiamo n = 3 , a3 = 4 , a0 =−5 . I divisori di a0 sono (a menodel segno) 1 e 5 , mentre quelli di a3 sono 1,2,4 . Dunque le eventuali soluzionirazionali dell’equazione P(x) = 0 sono ±1,±5,± 1

2 ,±52 ,±

14 ,±

54 .

Fig. 1.1 Il termine noto ha 2divisori e a3 ne ha 3 , quindiabbiamo 6 frazioni positive ealtrettante negative.

A priori potrebbero esserci altre soluzioni ma non sarebbero numeri razionali.Proviamo i candidati 1 e −1 :

P(1) = 4−4−13−5 =−18

P(−1) =−4−4+13−5 = 0 .

Abbiamo trovato che P(−1) = 0 ; il Teorema del resto afferma che il restodella divisione tra il nostro polinomio e x+1 e 0 , quindi eseguendo la divisioneriusciamo a scomporlo come

P(x) = (x+1)Q(x) = (x+1)(4x2 −8x−5) . (1.3)

A questo punto possiamo procedere come prima sul polinomio Q(x) = 4x2 −8x−5 .

E inutile provare 1 perche se fosse Q(1) = 0 , dalla (1.3) avremmo P(1) = 0 equesto e falso, invece −1 potrebbe ancora andare bene.

Q(−1) = 4+8−5 = 7

Q(

12

)= 4 · 1

4−8 · 1

2−5 =−8

Q(−1

2

)= 4 · 1

4+8 · 1

2−5 = 0 .

A questo punto dovremmo dividere per x+ 12 . Siccome Q(x) e divisibile per

x+ 12 , sara divisibile per ogni suo multiplo e in particolare per 2x+ 1 . Al fine

di non avere frazioni nella scomposizione, scegliamo la seconda strada e otteniamoQ(x) = (2x+1)(2x−5) , da cui

P(x) = (x+1)(2x+1)(2x−5) .


Si nota che anche 5/2 e uno zero di P(x) .

Osservazione 1. - Nel precedente esempio si sarebbero potute evitare le divisioniprovando i numeri elencati fino a trovarne n = degP(x) per poi scrivere diretta-mente la scomposizione come

P(x) = an(x− x1)(x− x2) · · ·(x− xn) , (1.4)

cioe

P(x) = 4(x+1)(

x+12

)(x− 5

2

)= (x+1)(2x+1)(2x−5) ,

evitando cosı le divisioni. Occorre pero prestare attenzione ai casi in cui le soluzionisono in numero minore del grado del polinomio da scomporre, come vedremo negliesempi seguenti.

Esempio 1.2. - Il polinomio P(x) = x2−2x+1 si annulla soltanto per x= 1 , infattiP(x) = (x−1)2 .

Esempio 1.3. - Scomponiamo, se possibile, il polinomio P(x) = x2 +2x+2 .In questo caso n = 2 , a2 = 1 , a0 = 2 e quindi i numeri da provare ±1,±2 . In

tutti e quattro i casi il risultato e diverso da 0 e questo potrebbe farci pensare che ilpolinomio sia irriducibile. Infatti

P(x) = x2 +2x+1+1 = (x+1)2 +1 ≥ 1 > 0 ∀x ∈ R .

Se P(x) fosse scomponibile, allora sarebbe il prodotto di due polinomi di primogrado che si annullerebbero una volta ciascuno.

Esempio 1.4. - Scomponiamo, se possibile, il polinomio P(x) = x4 +4 .Anche in questo caso P(x) = 0 ∀x ∈ R , pero osserviamo che

P(x) = x4 +4x2 +4−4x2 = (x2 +2)2 −4x2 = (x2 +2+2x)(x2 +2−2x)

e quindi si scompone nel prodotto di due polinomi di secondo grado. Inoltre si di-mostra come nell’esempio precedente che questi due polinomi non si possono piuscomporre.

Utilizzando il Teorema fondamentale dell’algebra (che non fa parte del pro-gramma di quest’anno) si puo dimostrare che i polinomi irriducibili in campo realehanno grado massimo due.

Esempio 1.5. - Il numero reale√

2 e la soluzione positiva dell’equazione

x2 −2 = 0 .

Le possibili soluzioni razionali di questa equazione sono ±1,±2 , ma nessunadi queste va bene. Dunque

√2 non e un numero razionale ma il polinomio P(x) =

x2 −2 si scompone come

P(x) = (x+√

2)(x−√

2) .

1.2 Zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi 7

Esempio 1.6. - Scomporre il polinomio

P(x) = 2x3 − 103

x2 − 16

x+1 .

In questo caso avremmo n = 3 , a3 = 2 , a0 = 1 e questo ci suggerirebbe dicercare i suoi zeri tra i numeri ±1,± 1

2 trovando soltanto − 12 ; ma il teorema 1.1

non puo essere applicato perche a1 e a2 non sono interi. Quindi occorre riportarcinelle ipotesi del teorema mediante un raccoglimento totale:

P(x) =16(12x3 −20x2 − x+6)

e applicarlo con a3 = 12 e a0 = 6 , ricavando

P(x) =16(2x+1)(3x−2)(2x−3) .

Osservazione 2. - E facile inventare esercizi su questo argomento: basta scrivere ilprodotto di due o piu binomi di primo grado e svolgere i calcoli. il risultato sara ilpolinomio da scomporre.

1.2.1 Un caso particolare

Consideriamo il trinomioP(x) = x2 + sx+ p

dove s, p sono due numeri reali. Se conosciamo altri due numeri a,b ∈ R tali che

a+b = s

ab = p ,

allora si viede subito che

(x+a)(x+b) = x2 +(a+b)x+ab = P(x) .

Esempio 1.7. - Sia P(x) = x2 +5x+6 .Il numero 6 puo essere fattorizzato come 1 ·6 , (−1)(−6) , 2 ·3 , (−2)(−3) e

di queste quattro possibilita solo la terza da per somma 5 , dunque

x2 +5x+6 = (x+2)(x+3) .

Esempio 1.8. - Sia P(x,y) = x2 +5xy−14y2 .Come variante dell’esempio precedente cerchiamo due monomi che diano come

somma 5y e come prodotto −14y2 ; fattorizzando il numero 14 otteniamoy · (−14y) , −y · 14y , 2y · (−7y) , −2y · 7y . L’unica coppia che da per somma


5y e l’ultima, quindi

x2 +5xy−14y2 = (x−2y)(x+7y) .

Esercizi

1.1. Scomporre i seguenti polinomi.

4x3 −3x+1

12x4 + x2 −1

1.2. Scomporre

3x3 − 1110

x2 − 25

x+1

10

1.3. Scomporre6x4 + x2 −1 .

Si puo scomporre in fattori di primo grado?

Capitolo 2Frazioni algebriche

Sommario . - In questo capitolo ci occupiamo di estendere le operazioni algebrichefinora applicate a frazioni numeriche, a frazioni che abbiano polinomi al numeratoree al denominatore. Ricordando che le lettere rappresentano numeri (incogniti, mapur sempre numeri), e prevedibile che le regole di calcolo imparate continuino avalere.

2.1 Introduzione

Anche in questo capitolo iniziamo con un esempio inroduttivo per motivare la trat-tazione. Consideriamo l’equazione

2x−1

+x−2x+1

=6

x2 −1. (2.1)

Portiamo l’ultima frazione a sinistra dell’uguale, ovviamente cambiera di segno.

2x−1

+x−2x+1

− 6(x+1)(x−1)

= 0

Abbiamo anche scomposto il suo denominatore, seguiremo ora la strada gia se-guita all’inizio del capitolo 1:

2(x+1)+(x−2)(x−1)−6(x+1)(x−1)

= 0

e quindix2 − x−2

(x+1)(x−1)= 0 .

Ora, affinche una frazione sia nulla e necessario che si annulli il numera-tore, quindi deve essere x2 − x − 2 = 0 ; procediamo come nel primo esempio

9

10 2 Frazioni algebriche

dell’introduzione del capitolo 1, scomponiamo il trinomio e applichiamo la leggedi annullamento del prodotto:

(x+1)(x−2) = 0 ,

e quindi x+1 = 0 o x−2 = 0 . Dunque potremmo concludere che i numeri −1 e2 sono soluzioni dell’equazione (2.1).

Osserviamo che effettivamente il numero 2 la trasforma in una identita, mentreil numero −1 ci porta a eseguire divisioni per 0 e quindi non possiamo accettarlo.Dunque ammettiamo come soluzione soltanto 2 .

In questo capitolo vedremo come eseguire le operazioni fondamentali con lefrazioni algebriche.

Definizione. - Una frazione algebrica e il rapporto tra due polinomi non nulli.

2.2 Dominio di una frazione algebrica

Come per tutte le divisioni, anche in questo caso ci preoccupiamo che il divisore nonsia nullo. Dovremo quindi escludere dei numeri reali o degli elementi del prodottocartesiano tra piu copie di R , a seconda del numero di variabili.

Definizione. - Il dominio di una frazione algebrica di N variabili e l’insiemedi tutti gli elemanti di RN per i quali sono possibili tutte le operazioni indicatenell’espressione.

Esempio 2.1. - La frazione1x

ha per dominio l’insieme di tutti i numeri reali diversi da 0 , dunque R\{0} .

Esempio 2.2. - La frazionex+2x2 −1

ha come dominio R\{−1,1} .

Esempio 2.3. - La frazionex2 −4x2 +4

ha come dominio R .

Esempio 2.4. - La frazionex2 +4x+4

x2 −4

ha come dominio R\{−2,2} , anche se e equivalente a

2.3 Operazioni sulle frazioni algebriche 11

x+2x−2

che ha come dominio R\{2} .

Esempio 2.5. - La frazionex2 + y2

x2 − y2

ha come dominio {(x,y) ∈ R2| x = y , x =−y} .

Esempio 2.6. - La frazionex2 − y2

x2 + y2

ha come dominio R2\{(0,0)} .

2.3 Operazioni sulle frazioni algebriche

Passiamo ora a estendere alle frazioni algebriche le operazioni che gia eseguiamosulla frazioni numeriche. Come affermato altre volte, le lettere rappresentano nu-meri e quindi obbediscono alle stesse regole.

Un importante strumento per operare sulle frazioni numeriche e la scomposizionein fattori primi che ci permette di ricavare il massimo comune divisore utile persemplificarle e il minimo comune multiplo utile per sommarle. La scomposizione infattori primi verra sostituita dalla scomposizione di polinomi e i polinomi irriducibilireciteranno la parte dei numeri primi.

2.3.1 semplificazione

Anche qui mostriamo il metodo seguito attraverso esempi.Consideriamo la frazione 504/540 , scomponendo numeratore e denominatore

abbiamo504540

=23 ·32 ·722 ·33 ·5

=2 ·73 ·5

=1415

.

Supponiamo ora di avere

a5 −2a4b+a3b2 +a2b3 −2ab4 +b5

a3 −ab2 +a2b−b3 ,

eseguendo un raccoglimento parziale al numeratore e al denominatore otteniamo

(a2 −2ab+b2)(a3 +b3)

(a2 −b2)(a+b)


e scomponendo i prodotti notevoli,

(a−b)2(a+b)(a2 −ab+b2)

(a+b)2(a−b)=

(a−b)(a2 −ab+b2)

a+b.

Il seguente esempio tornera utile all’ultimo anno nel calcolo di limiti, in presenzadi forme di indeterminazione del tipo 0/0 . Consideriamo la frazione

4x3 +4x2 − x−16x3 +13x2 +4x−3

.

Eseguendo un raccoglimento parziale a numeratore otteniamo

(x+1)(4x2 −1)6x3 +13x2 +4x−3

=(x+1)(2x+1)(2x−1)

6x3 +13x2 +4x−3

osserviamo che il numeratore si annulla per x = −1 , x = − 12 , x = 1

2 e di questitre numeri soltanto il primo annulla il denominatore. Per il teorema del resto il de-nominatore e divisibile per x+1 ed effettuando la divisione otteniamo

(x+1)(2x+1)(2x−1)(x+1)(6x2 +7x−3)

=(2x+1)(2x−1)

6x2 +7x−3.

A questo punto il denominatore potra essere riducibile oppure no, ma come vistoprima, non si annulla ne in −1/2 , ne in 1/2 , quindi, per il teorema del resto,non sara divisibile per 2x+ 1 , ne per 2x− 1 e percio risulta inutile scomporloulteriormente.

In entrambi gli esempi la frazione semplificata ha un dominio diverso da quelladi partenza.

Osservazione 3. - La linea di frazione sta a indicare una divisione, cioe l’operazioneinversa della moltiplicazione, non della somma o della sottrazione. Vanno pertantoevitate semplificazioni del tipo

378

=30+71+7

=301

= 30 ,

a2 +b2

a+b= a+b .

2.3.2 Somma e sottrazione

Anche in questo caso si procede come per le frazioni numeriche: se le due frazionihanno lo stesso denominatore, si sommano i numeratori, altrimenti le si trasformain frazioni equivalenti alle precedenti, che abbiano tra loro lo stesso denominatore.

Esempio 2.7. - Alcuni esempi elementari.


1x+1

+1 =1+ x+1

x+1=

x+2x+1

x+ yx− y

− x− yx+ y

=(x+ y)2 − (x− y)2

(x+ y)(x− y)=

4xyx2 − y2

ab2 +

12ab

=2a2 +b

2ab2

1a+

1b=

a+bab

Vediamo adesso qualche esempio nel quale e opportuno scomporre i denomina-tori.

Esempio 2.8. -1

a2 −b2 +1

a2 +2ab+b2 − aa3 −b3 .

Scomponiamo i denominatori:

1(a+b)(a−b)

+1

(a+b)2 − a(a−b)(a2 +ab+b2)

.

Dobbiamo ora individuare un denominatore che sia multiplo di tutti e tre. Comeper il minimo comune multiplo tra numeri, si moltiplicano tutti i fattori comuni enon comuni, scelti con l’esponente maggiore.

(a+b)(a2 +ab+b2)+(a−b)(a2 +ab+b2)−a(a+b)2

(a+b)2(a−b)(a2 +ab+b2)=

a3 +ab2

(a+b)2(a3 −b3).

Esempio 2.9. -

xx2 −7x+6

− 24x3 −9x2 +20x−12

+x

1− x2 .

Il primo denominatore puo essere scomposto individuando due numeri che dianocome prodotto 6 e come somma −7 ; dunque x2 − 7x+ 6 = (x− 1)(x− 6) . Ilterzo invece e un prodotto notevole e conviene cambiargli il segno: 1− x2 =−(x+1)(x−1) . Otteniamo percio

x(x−1)(x−6)

− 24x3 −9x2 +20x−12

− x(x+1)(x−1)

.

Rimane da scomporre il secondo denominatore. Cerchiamo quindi gli eventualizeri razionali applicando il teorema 1.1; i candidati sono ±1,±2,±3,±4,±6,±12 .Osserviamo pero che scomporre questo polinomio e utile soltanto se esso risultadivisibile per almeno uno tra x+1 , x−1 , x−6 e quindi proviamo solo i numeri−1,1,6 .


Il polinomio si annulla in 1 e 6 e quindi e divisibile per (x− 1)(x− 6) =x2 −7x+6 . Eseguendo la divisione otteniamo x−2 , dunque

x(x−1)(x−6)

− 24(x−1)(x−6)(x−2)

− x(x+1)(x−1)

=

x(x−2)(x+1)−24(x+1)− x(x−6)(x−2)(x−1)(x−6)(x−2)(x+1)

=7x2 −38x−24

(x−1)(x−6)(x−2)(x+1).

Il numeratore dell’ultima frazione si annulla in 6 , quindi e divisibile per x−6 .Percio la frazione puo essere semplificata.

(x−6)(7x+4)(x−1)(x−6)(x−2)(x+1)

=7x+4

(x2 −1)(x−2).

2.3.3 Prodotto, divisione, elevamento a potenza

Anche queste operazioni vengono eseguite come gia imparato per le frazioni nu-meriche. rimane valida la stessa gerarchia tra queste operazioni: a meno di paren-tesi, l’elevamento a potenza ha la precedenza su prodotto e divisione, che a lorovolta hanno la precedenza su somma e sottrazione.

Continuano inoltre a valere le proprieta delle operazioni, come valevano per inumeri.

2.3.3.1 Prodotto

Si moltiplicano tra loro i rispettivi numeratori e i rispettivi denominatori:

P1

Q1· P2

Q2=

P1P2

Q1Q2,

dove P1,P2,Q1,Q2 sono polinomi di una o piu variabili, eventualmente costanti.Come per le frazioni numeriche, si possono eseguire semplificazioni in croce

(naturalmente ricordando di semplificare i prodotti e non le somme).

Esempio 2.10. -

x+1xy

· x2yx2 −1

=x+1

xy· x2y(x+1)(x−1)

=x

x−1

(x+1) · x2yx2 −1

=x+1

1· x2y(x+1)(x−1)

=x2y

x−1

x+1xy

· 1x2 −1

=x+1

xy· 1(x+1)(x−1)

=1

xy(x−1)


x+1xy

· x2

x−1=

x(x+1)y(x−1)

2.3.3.2 Divisione

La divisione viene trasformata in moltiplicazione, invertendo la seconda frazione;se P1,Q1,P2,Q2 sono i polinomi del paragrafo precedente,

P1

Q1:

P2

Q2=

P1

Q1· Q2

P2=

P1Q2

Q1P2.

Esempio 2.11. -

a2 +2ab+b2

a2 +2ab:

a2 −b2

a2 −4b2 =(a+b)2

a(a+2b)· (a+2b)(a−2b)

(a+b)(a−b)=

(a+b)(a−2b)a(a−b)

a2 +2ab+b2

a2 +2ab: (a2 −b2) =

(a+b)2

a(a+2b)· 1(a+b)(a−b)

=a+b

a(a+2b)(a−b)

a2 +2ab+b2

a2 +2ab:

1a2 −4b2 =

(a+b)2

a(a+2b)· (a+2b)(a−2b) =

(a+b)2(a−2b)a

(a2 +2ab+b2) :1

a2 −4b2 = (a+b)2 · (a2 −4b2)

2.3.3.3 Elevamento a potenza

Si esegue ancora come nelle frazioni numeriche.(PQ

)n

=PQ· P

Q· · · · P

Q︸︷︷︸n volte

=Pn

Qn

Le proprieta delle potenze continuano a valere.

Esempio 2.12. (x2 +1x2 −1

)3

=(x2 +1)3

(x2 −1)3

(a2 +2ab+b2

a−b

)5

=(a+b)10

(a−b)5

Come per le frazioni numeriche, quando l’esponente e negativo, si scambia ilnumeratore con il denominatore e si cambia segno all’esponente.

16 2 Frazioni algebriche(PQ

)−n

=

(QP

)n

=Qn

Pn .

Esempio 2.13. (x2 −2xx+1

)−2

=

(x+1

x2 −2x

)2

=(x+1)2

(x2 −2x)2

Esercizi

2.1.

x2 +2x+1− 9x−9x2 −2x+1

.

2.2.

x2 +2x+1− x2 +2x−3x2 −2x+1

.

2.3.

1x−2

+1

2x+1+

2x2 +42x2 −3x−2

.

2.4.

1x2 − x−6

− 2x2 +5x+6

+3x−5

x3 +2x2 −9x−18.

Parte IIGeometria

Capitolo 3Teorema di Talete e conseguenze

Sommario . - Il capitolo ruota intorno al Teorema di Talete. Essendo l’enunciatorelativamente semplice si e preferito ricavare la dimostrazione nel modo piu direttopossibile per poi concentrarci sulle applicazioni.

3.1 Il teorema

Cercheremo innanzi tutto una dimostrazione diretta del teorema di Talete (Teorema(3.1)), per poi concentrarci sulle applicazioni. In particolare verra utilizzato per ri-cavare criteri di similitudine tra triangoli.

Teorema 3.1. - Siano a,b,c,d rette parallele e r,s rette a loro trasversali. Sianopoi A,B,C,D i punti di intersezione tra a,b,c,d e r e A′,B′,C′,D′ i punti diintersezione tra a,b,c,d e s , come da figura 3.1.

AlloraABCD

=A′B′

C′D′ .

Dimostrazione. - Dividiamo la dimostrazione in due passi. Nel primo supporremoAB ∼=CD e nel secondo estenderemo il risultato.

Primo passo: supponiamo AB ∼=CD . Occorre dimostrare che A′B′ ∼=C′D′ .Tracciamo le parallele a s , passanti per A e C e chiamiamo E ed F le loro

intersezioni con b e d .Il quadrilatero AA′B′E e un parallelogramma e quindi ha i lati opposti congru-

enti; in particolare AE ∼= A′B′ . Analogamente CF ∼=C′D′ .Basta quindi dimostrare che AE ∼=CF . Consideriamo i triangoli ABE e CDF :

• AB ∼=CD per ipotesi;• ABE ∼= CDF perche angoli corrispondenti delle rette parallele b e d tagliate

dalla trasversale r ;• BAE ∼= DCF perche angoli corrispondenti delle rette parallele AE e CF ,

tagliate dalla trasversale r.

19

20 3 Teorema di Talete e conseguenze

Fig. 3.1 Se AB ∼=CD alloraA′B′ ∼=C′D′ .

Dunque ABE ∼= CDF per il secondo criterio di congruenza dei triangoli; nesegue che AE ∼=CF e quindi A′B′ ∼=C′D′ .

Secondo passo: il caso generale. Se AB e CD sono commensurabili, alloraesistono un segmento UV e due numeri interi p,q tali che siano AB ∼= pUV eCD ∼= qUV ; se AB e CD non sono commensurabili, allora potremo approssimareil rapporto AB

CD tramite una frazione ma non potremo rappresentarlo esattamente.Dimostreremo quindi che ∣∣∣∣ AB

CD− A′B′

C′D′

∣∣∣∣< ε

qualunque sia il numero ε > 0 .

Fig. 3.2 CD e diviso in qparti uguali, AE e diviso in pparti e AF in p+ 1 parti,tutte uguali ad CD/q . Inquesto caso abbiamo p = 6 eq = 10 .

3.1 Il teorema 21

Sia ε > 0 : allora esiste q ∈ N tale che q > 1ε . Esistera inoltre p ∈ N tale che

pq≤ AB

CD<

p+1q

(3.1)

da cui abbiamop

CDq

≤ AB < (p+1)CDq

.

Nella figura 3.2 abbiamo AE ∼= pCDq e AF ∼= (p+1)CD

q . I segmenti in cui sonostati divisi AE,AF,CD sono tutti tra loro congruenti.

Tracciamo le parallele ad a,b,c,d , passanti per gli estremi di questi segmenti eper il primo passo, otteniamo sulla retta s , p+ q+ 1 segmenti, tutti congruenti aC′D′

q e tali che i primi p formino A′E ′ , i primi p+1 formino A′F ′ e gli ultimiq formeranno C′D′ . Inoltre B′ ∈ E ′F ′ .

Dunque abbiamo ottenuto che

pC′D′

q≤ A′B′ < (p+1)

C′D′

q,

da cuipq≤ A′B′

C′D′ <p+1

q. (3.2)

Confrontando la (3.1) con la (3.2) si ottiene∣∣∣∣ ABCD

− A′B′

C′D′

∣∣∣∣< p+1q

− pq=

1q< ε

⊓⊔

Fig. 3.3

Corollario 3.1. - Siano a,b,d rette parallele e r,s rette a loro trasversali. Sianopoi A,B,D i punti di intersezione tra a,b,d e r e A′,B′,D′ i punti di intersezionetra a,b,d e s , come da figura 3.3.


AlloraABBD

=A′B′

B′D′

Dimostrazione. - Basta applicare il teorema 3.1 con le rette b e c coincidenti. ⊓⊔

Corollario 3.2. - Siano b,c rette e r,s semirette uscenti dal punto A . Siano poiB,C i punti di intersezione tra b,c e r e B′,C′ i punti di intersezione tra b,c es , come in figura 3.4.

Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti.

1. Le rette b e c sono parallele.2. AB

BC = AB′B′C′

3. ACBC = AC′

B′C′

4. ACAB = AC′

AB′

Dimostrazione. - Tracciamo la retta a parallela a b e passante per A . Se b e csono parallele, per il corollario 3.1, abbiamo

ABBC

=AB′

B′C′ (3.3)

Fig. 3.4

Viceversa, supponiamo che valga la (3.3) ma che b e c non siano parallele etracciamo la retta d passante per C e parallela a b ; questa retta interseca s nelpunto D′ . Per il corollario 3.1 e per la (3.3) avremo

AB′

B′D′ =ABBC

=AB′

B′C′

da cui B′D′ ∼= B′C′ e quindi D′ ≡C′ .Dimostriamo ora che le affermazioni 2. e 3. sono equivalenti. Se vale la 2.,

ACBC

=AB+BC

BC=

ABBC

+1 =AB′

B′C′ +1 =AB′+B′C′

B′C′ =AC′

B′C′

Viceversa, se vale la 3.,

3.2 Poligoni simili 23

ABBC

=AC−BC

BC=

ACBC

−1 =AC′

B′C′ −1 =AC′−B′C′

B′C′ =AB′

B′C′

Nello stesso modo si dimostra l’equivalenza tra la 2. e la 4. ⊓⊔

Corollario 3.3. - In un triangolo ABC , la bisettrice dell’angolo interno ABC di-vide il lato opposto AC in due segmenti AD e CD proporzionali agli altri duelati del triangolo, cioe

ADDC

=ABBC

Dimostrazione. - Prolunghiamo il lato AB dalla parte di B e chiamiamo El’intersezione tra il prolungamento e la retta parallela a BD , passante per C .Proviamo che il triangolo BCE e isoscele.

BCE ∼= DBC perche alterni interni delle rette BD e CE , tagliate dalla trasver-sale BC .

DBC ∼= ABD per ipotesi.ABD ∼= BEC perche corrispondenti delle rette BD e CE , tagliate dalla trasver-

sale AE .Da BCE ∼= BEC segue BC ∼= BE .Per il corollario 3.2,

ADDC

=ABBE

=ABBC

⊓⊔

3.2 Poligoni simili

Definizione. - Due poligoni sono simili se esiste una corrispondenza biunivoca trai vertici del primo e quelli del secondo, tale che:

1. Gli angoli con vertici corrispondenti sono congruenti.2. Il rapporto tra le lunghezze dei lati compresi tra vertici corrispondenti e costante.

Il rapporto tra le lunghezze di due lati corrispondenti (cioe compresi tra verticicorrispondenti) e chiamato rapporto di similitudine.

Osservazione 4. - La similitudine tra poligoni e una relazione di equivalenza. Inparticolare, se il poligono P1 e simile al poligono P2 con rapporto di similitudineλ1 e P2 e simile a P3 con rapporto di similitudine λ2 , allora P1 sara simile a P3con rapporto di similitudine λ1λ2 .

Osservazione 5. - La condizione 2 nella precedente definizione e equivalente achiedere che il rapporto tra le lunghezze di due lati qualsiasi di un poligono sialo stesso tra le lunghezze dei lati corrispondenti (cioe compresi tra vertici corrispon-denti) dell’altro poligono.


Esempio 3.1. - Tutti i poligoni regolari sono tra loro simili.Un quadrato e un rettangolo non sono simili perche non hanno i lati in pro-

porzione.Un rettangolo e un parallelogramma non sono simili perche non hanno gli stessi

angoli.

3.2.1 Triangoli simili

I controesempi appena mostrati richiedono poligoni con almeno quattro lati. Pas-siamo ora a dimostrare che nel caso dei triangoli, le condizioni 1 e 2 della definizionedi poligoni simili sono equivalenti. Questo fatto avra importanti conseguenze nellaparte di trigonometria.

Teorema 3.2. - Per i triangoli, le condizioni 1 e 2 della definizione di poligoni similisono equivalenti. Due triangoli hanno gli angoli corrispondenti congruenti se e solose hanno i lati corrispondenti in proporzione.

Dimostrazione. - Siano ABC e A′B′C′ i due triangoli e consideriamo i punti B′′ ∈A′B′ e C′′ ∈ A′C′ tali che A′B′′ ∼= AB e A′C′′ ∼= AC (figura 3.5, non e restrittivosupporre i lati di ABC minori di quelli di A′B′C′ ).

Fig. 3.5 AB ∼= A′B′′ e AC ∼= A′C′′

1 =⇒ 2: Per ipotesi A∼= A′ , B∼= B′ , C ∼= C′ e quindi i triangoli ABC e A′B′′C′′

sono congruenti per il primo criterio di congruenza.Ne segue A′B′′C′′ ∼= A′B′C′ e siccome sono angoli corrispondenti delle rette

B′′C′′ e B′C′ , tagliate dalla trasversale A′B′ , tali rette sono parallele.Per il corollario 3.2 abbiamo

A′B′′

A′B′ =A′C′′

A′C′

e quindiAB

A′B′ =AC

A′C′ .

Per estendere la proporzione a BC e B′C′ si ripete la stessa costruzione su unodegli altri vertici B′ o C′ .

3.2 Poligoni simili 25

2 =⇒ 1: Ripetiamo la stessa costruzione ma per ipotesi abbiamo

ABA′B′ =

ACA′C′ =

BCB′C′ . (3.4)

Essendo AB ∼= A′B′′ e AC ∼= A′C′′ , possiamo sostituirli nella (3.4) e quindi lerette B′′C′′ e B′C′ sono parallele per il corollario 3.2. Dunque i triangoli A′B′′C′′ eA′B′C′ hanno gli angoli corrispondenti congruenti e per la dimostrazione precedentehanno anche i lati in proporzione. in particolare

B′′C′′

B′C′ =A′B′′

A′B′ =AB

A′B′ =BC

B′C′

per la (3.4); quindi B′′C′′ ∼= BC .Risulta percio ABC ∼= A′B′′C′′ per il terzo criterio di congruenza e di con-

seguenza ABC e A′B′C′ hanno gli angoli corrispondenti congruenti. ⊓⊔

Esercizio 3.1. - Dimostrare che se due triangoli hanno due lati in proporzione el’angolo compreso congruente, allora sono simili.

Esercizio 3.2. - Dimostrare che in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipote-nusa lo divide in due triangoli simili a quello di partenza.

Esercizio 3.3. - Dedurre i due teoremi di Euclide dall’esercizio 3.2 e dal teorema3.2.

Il teorema precedente mostra che i rapporti tra i lati di un triangolo sono funzionidei soli angoli. In particolare, per i triangoli rettangoli, i rapporti tra i lati sonofunzioni di un solo angolo.

Per questo motivo e importante definire tali funzioni.

Fig. 3.6 I triangoli OPH eOP′H ′ sono simili.

Definizione. - Siano OPH un triangolo rettangolo in H e α la misura dell’angoloHOP . Poniamo

sinα =PHOP

cosα =OHOP


tanα =PHOH

.

Osservazione 6. - Per il teorema 3.2, la precedente definizione e ben posta, nel sensoche sinα , cosα , tanα non dipendono dai lati del triangolo ma solo dall’angoloHOP (figura 3.6).

Esercizio 3.4. - Dimostrare che

(cosα)2 +(sinα)2 = 1

Esercizio 3.5. - Dimostrare che

tanα =sinαcosα

Esercizi

3.1. I punti E,F sono interni al quadrato ABCD e tali che AE ⊥EF ed EF ⊥FC .Si sa inoltre che AE = 14 cm , EF = 7 cm , FC = 9 cm .

Calcolare il lato del quadrato.

3.2. I punti E,F sono interni al rettangolo ABCD e tali che AE ⊥ EF ed EF ⊥FC . Si sa inoltre che AE = 5 cm , EF = 4 cm , FC = 6 cm , AB = 10 cm .

Calcolare BC .

3.1. Problem Heading(a) The first part of the problem is described here.(b) The second part of the problem is described here.

Parte IIIAnalisi

Capitolo 4Funzioni convesse

Sommario . - In questo capitolo studieremo le funzioni convesse, dal punto di vistadella loro regolarita e cercheremo caratterizzazioni in termini di monotonia delladerivata prima e di segno della derivata seconda.

4.1 Introduzione

In parole povere le funzioni convesse e quelle concave sono sostanzialmente fun-zioni il cui grafico “gira sempre dalla stessa parte”. Sono quindi escluse quelle fun-zioni con un andamento oscillante. Cio permette di ottenere vantaggi in termini diregolarita.

L’affermazione precedente puo essere tradotta dicendo che le retta tangente algrafico ruota sempre nello stesso senso e quindi la derivata prima e monotona.Questo permettera di concludere che la derivata seconda ha segno costante.

Per tutto il capitolo f sara una funzione a valori reali, definita su un intervalloaperto ]a,b[ , −∞ ≤ a < b ≤+∞ .

4.2 Definizione e prime proprieta

Definiamo subito l’oggetto di questo capitolo.

Definizione. - Si dice che f e convessa se

f (λx+(1−λ )y)≤ λ f (x)+(1−λ ) f (y) ∀x,y ∈]a,b[ ∀λ ∈ [0,1] . (4.1)

Cerchiamo innanzitutto di dedurre qualche semplice proprieta qualitativa dellefunzioni convesse, a partire dalla sola definizione.

Esercizio 4.1. - Siano (x1,y1),(x2,y2) ∈ R2 con x1 < x2 .

29

30 4 Funzioni convesse

Scrivere un’equazione della retta passante per (x1,y1),(x2,y2) .Siano λ ∈ R e x = λx1 +(1−λ )x2 . Trovare y ∈ R tale che il punto (x,y)

stia sulla retta passante per (x1,y1),(x2,y2) .Dopo aver attribuito dei valori a (x1,y1),(x2,y2) , disegnare l’insieme

s = {(x,y) ∈ R2 | x = λx1 +(1−λ )x2 , y = λy1 +(1−λ )y2 , λ ∈ [0,1]} .

Osservazione 7. - Dall’esercizio precedente e dalla figura si capisce il significatodella definizione. Una funzione f e convessa se per ogni x,y il grafico dellafunzione tra x e y passa sotto al segmento di estremi (x, f (x)),(y, f (y)) .

Fig. 4.1 Tra x e y il graficodella funzione passa sotto ilsegmento di estremi (x, f (x))e (y, f (y)) .

Esercizio 4.2. - Dimostrare che le funzioni x , −3x , |x| sono convesse mentre−|x| ,

√x , logx , cosx non lo sono.

4.2.1 Rapporto incrementale

Esercizio 4.3. - Siano x,y,z ∈ R , con x < y < z . Trovare λ ∈]0,1[ tale chey = λx+(1−λ )z .

Il prossimo lemma afferma che nelle funzioni convesse il rapporto incrementaleaumenta se si spostano verso destra gli estremi nei quali viene calcolato.

Lemma 4.1. - Le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. f e convessa;2. per ogni x,y,z con a < x < y < z < b si ha

f (y)− f (x)y− x

≤ f (z)− f (x)z− x

≤ f (z)− f (y)z− y

; (4.2)

4.2 Definizione e prime proprieta 31

Fig. 4.2 Il rapporto incre-mentale calcolato tra x ey e la pendenza della rettapassante per i punti (x, f (x))e (y, f (y)) .

3. per ogni x,y,z con a < x < y < z < b si ha

f (y)− f (x)y− x

≤ f (z)− f (y)z− y

; (4.3)

Dimostrazione. - Dimostriamo che la condizione 1) implica la 2).Siano x < y < z : allora possiamo porre y = λx+(1−λ )z per un opportuno

valore di λ ∈]0,1[ .Sostituendo nella prima frazione nella (4.2) e applicando la definizione si ottiene

la prima disuguaglianza. Lo stesso per la seconda, partendo pero dalla terza frazione.E ovvio che la 2) implica la 3); occorre provare che la 3) implichi la convessita

di f .Siano x < z e λ ∈]0,1[ : si sostituisca y = λx+(1−λ )z nella (4.3) (tanto deve

valere per ogni y ∈]x,z[ ) e si risolva la disequazione nell’incognita f (λx+(1−λ )z) : si otterra la condizione di funzione convessa. ⊓⊔

Esercizio 4.4. - Dimostrare che la funzione x2 e convessa, mentre x3 non lo e.Dimostrare che la funzione x3 e convessa sull’intervallo ]0,+∞[ .

Esercizio 4.5. - Sia x0 ∈]a,b[ . Dimostrare che se f e convessa allora

f (x)− f (x0)

x− x0≤ f (y)− f (x0)

y− x0∀x,y ∈]a,b[ con x < y . (4.4)

Viceversa dimostrare che se vale la (4.4) allora f e convessa.


4.3 Derivate di funzioni convesse

Applichiamo ora il Lemma 4.1 per dedurre quanto regolare debba essere una fun-zione convessa e soprattutto per ricavare una condizione piu agevole di quella fornitadal lemma stesso.

Teorema 4.1. - Se f e convessa allora e derivabile da destra e da sinistra su ]a,b[e inoltre

f ′−(x0)≤ f ′+(x0) ∀x0 ∈]a,b[ .Dimostrazione. - Siano x0,c,d ∈]a,b[ con c < x0 < d e consideriamo la funzioneg : [c,d]\{x0}→ R ,

g(x) =f (x)− f (x0)

x− x0.

Nell’Esercizio 4.5 si e visto che g e crescente e quindi e anche limitata da g(c) eg(d) .

Dunque esistono finiti f ′−(x0) = limx→x−0g(x) e f ′+(x0) = limx→x+0

g(x) .Sempre per il fatto che g e crescente e facile convincersi che f ′−(x0)≤ f ′+(x0) ;

tuttavia la dimostrazione rigorosa di questo fatto e piu tecnica e viene saltata. ⊓⊔

Esercizio 4.6. - Calcolare f ′−(0) e f ′+(0) per f (x) = |x| .

Corollario 4.1. - Le funzioni convesse sono continue.

Dimostrazione. - Sia x0 ∈]a,b[ : allora esiste finito

f ′−(x0) = limx→x−0

f (x)− f (x0)

x− x0

e siccome il denominatore tende a 0 , deve essere limx→x−0f (x) = f (x0) .

Nello stesso modo si vede che limx→x+0f (x) = f (x0) , quindi limx→x0 f (x) =

f (x0) e f e continua in x0 . ⊓⊔

Osservazione 8. - Se una funzione avesse una discontinuita, per esempio di tiposalto, in un punto x0 , allora in un intorno di x0 , il suo rapporto incrementale nonpotrebbe essere crescente, ne il suo grafico restare sotto la corda. Si veda la figura4.4.

Il Lemma 4.1 e l’esercizio 4.5 ci dicono che il rapporto incrementale

f (x+h)− f (x)h

e crescente rispetto ad h .Sempre il Lemma 4.1 ci dice pero che tale quantita e crescente anche rispetto a

x .Le funzioni convesse sono cioe funzioni che all’aumentare di x aumentano

sempre piu rapidamente (o diminuiscono sempre piu lentamente). Questo concettoe espresso in modo piu rigoroso dal seguente teorema e dal successivo corollario.

4.3 Derivate di funzioni convesse 33

Fig. 4.3 Il rapporto incrementale non e limitato in prossimita del salto e quindi non puo esserecrescente su un intervallo che lo contenga.

Teorema 4.2. - Supponiamo che f sia derivabile su ]a,b[ . Allora f e convessase e solo se f ′ e crescente.

Dimostrazione. - Supponiamo f convessa: siano x,y ∈]a,b[ e h,k ∈ R tali chex < x+h < y+ k < y : per il Lemma 4.1 si ha

f (x+h)− f (x)h

≤ f (y+ k)− f (x+h)y+ k− x−h

≤ f (y)− f (y+ k)−k

=f (y+ k)− f (y)

k.

Tali disuguaglianze sono valide per ogni h > 0 e k > 0 , purche valgano lecondizioni imposte; passando al limite per h → 0+ e ricordando che f e derivabilein x , si ha

f ′(x) = f ′+(x)≤f (y+ k)− f (y)

k.

Ripetendo il ragionamento per y e k (questa volta k → 0− ) si ottiene

f ′(x)≤ f ′(y) .

Supponiamo ora f ′ crescente: siano x,y,z ∈]a,b[ con x < y < z : per il teoremadi Lagrange esistono t ∈]x,y[ e s ∈]y,z[ tali che f (y)− f (x) = f ′(t)(y− x) ef (z)− f (y) = f ′(s)(z− y) . Ricordando che f ′ e crescente si ha

f (y)− f (x)y− x

= f ′(t)≤ f ′(s) =f (z)− f (y)

z− y.


Ancora per il Lemma 4.1 abbiamo che f e convessa. ⊓⊔

Esercizio 4.7. - Dimostrare che una funzione derivabile f :]a,b[→ R e crescentese e solo se f ′(x)≥ 0 ∀x ∈]a,b[ .

Corollario 4.2. - Supponiamo che f sia derivabile due volte su ]a,b[ . Allora f econvessa se e solo se f ′′(x)≥ 0 ∀x ∈]a,b[ .

Dimostrazione. - Si applichino il Teorema 4.2 e l’Esercizio 4.7. ⊓⊔

Esercizio 4.8. - Dire in quali intervalli le funzioni x4 , x5 , sinx , tanx , arctanx ,exp(x) , logx , exp(x2) , exp(−x2) sono convesse.

4.4 Funzioni concave e flessi

Definizione. - Si dice che f e concava se − f e convessa.

Esercizio 4.9. - Dire in quali intervalli le funzioni dell’esercizio 4.8 sono concave.E necessario sostituire f con − f ?

Definizione. - Si dice che x0 ∈]a,b[ e un punto di flesso per f se valgono leseguenti condizioni:

• esiste r > 0 tale che f e convessa in ]x0 − r,x0[ e concava in ]x0,x0 + r[ oviceversa;

• f e derivabile in x0 oppure e continua in x0 e limh→0( f (x+h)− f (x))/h=+∞(o −∞ ).

Osservazione 9. - Siano f derivabile due volte in ]a,b[ e x0 ∈]a,b[ un punto diflesso. Supponiamo, per esempio, che f ′′(x) ≥ 0 in un intorno sinistro ]x0 − r,x0[e f ′′(x)≤ 0 in un intorno destro ]x0,x0 + r[ .

Per il teorema di Darboux deve essere f ′′(x0) = 0 .Tuttavia la condizione f ′′(x) = 0 non puo, in generale, caratterizzare i punti di

flesso, come mostrano i seguenti esempi.

Esempio 4.1. - La funzione f (x) = x4 e convessa su tutto R e quindi non ha puntidi flesso, anche se f ′′(0) = 0 .

Esercizio 4.10. - Calcolare f ′(x) e f ′′(x) per f : R→ R

f (x) ={

x4 sin 1x x = 0

0 x = 0.

Esempio 4.2. - La funzione dell’esercizio precedente e derivabile due volte su tuttoR e f ′′(0) = 0 , ma non esiste nessun r > 0 tale che f sia concava o convessasull’intorno ]− r,0[ o ]0,r[ . Dunque 0 non e un punto di flesso per f . Si veda lafigura 4.4

4.4 Funzioni concave e flessi 35

Fig. 4.4 la funzione f (x) = x4 sin 1x non e concava, ne convessa in nessun intorno destro o sinistro

di 0 , a causa delle infinite oscillazioni. Tuttavia f ′(0) = f ′′(0) = 0 .

Esempio 4.3. - La funzione f (x) = 3√

x ha un punto di flesso in 0 , ma non ederivabile in quel punto.

Esempio 4.4. - La funzione f :]−1,2+√

2[→ R

f (x) =

{√1− x2 −1 < x ≤ 1/

√2√

2−√

2√

2x− x2 −1 1/√

2 < x < 2+√

2

ha un punto di flesso in 1/√

2 , ma e derivabile una sola volta in quel punto.

Esercizi

4.1. Per ciascuna delle seguenti funzioni dire in quali intervalli sono convesse, inquali sono concave e trovare gli eventuali punti di flesso.

ex2−3x+2 , e−x2+3x−2 , x4−4x3+6x2−34x+1281 , x4−4x3−6x2−34x+1281 ,

3x5 −10x3 +ax+b a,b ∈ R .



arctanx , x logx ,logx

x,√(x−1)(x−3) , xe−x2

.


1− sinx1+ cosx

, x|x−1| ,√|x| .

4.4. Dire in quali intervalli e convessa la funzione

f (x) ={

ex−1x x = 0

0 x = 0.

4.5. Sia g(x) = 3x e sia f :]0,+∞[→ R definita nel seguente modo: per ognix ∈]0,+∞[ , f (x) e l’area del triangolo di vertici (0,0),(x,0),(x,g(x)) . Dimostrareche f e convessa.

Ripetere l’esercizio con g(x) = 2ex .

4.1. Problem Heading(a) The first part of the problem is described here.(b) The second part of the problem is described here.

References

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Parte IVCalcolo delle probabilita e statistiche

Suggerimenti e soluzioni degli esercizi

Suggerimenti

Capitolo 1

1.3 Porre y = x2 .

Capitolo 2

2.2 Semplificare la frazione prima di eseguire la somma.

2.4 Ricavare gli zeri del terzo denominatore da quelli dei primi due.

Capitolo 4

Esercizi di supporto alla teoria

4.2 Per |x| ricordare la disuguaglianza trangolare del modulo.Per dimostrare che una funzione non e convessa basta trovare un caso in cui la

(4.1) non funziona.

4.4 Applicare il Lemma 4.1 e ricordare i prodotti notevoli e la scomposizione infattori.

4.6 Ricordare la definizione di |x| :

|x|={

x x ≥ 0−x x < 0 .

39

40 Suggerimenti e soluzioni degli esercizi

4.7 Applicare il teorema di Lagrange.

4.10 Considerare a parte f ′(0) e f ′′(0) . Si possono calcolare entrambe facendo illimite della derivata (prima o seconda) calcolata nei punti vicini? Perche?

Esercizi conclusivi

4.3 Per le singole funzioni:(a) Dopo aver calcolato la derivata seconda osservare che sinx e cosx sono semprecomprese tra −1 e 1 . Fare attenzione al dominio della funzione(b) Come per l’esercizio 4.6. Inoltre conviene limitarsi alla derivata prima.(c) Fare attenzione ai punti di non derivabilita.

4.4 Osservare che il numeratore della derivata seconda e strettamente crescente e siannulla in 0 .

dispense di matematicagli esercizi proposti nel corso dei capitoli potrebbero essere astratti e...

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