disp-2003: advanced digital signal...
TRANSCRIPT
-
Beijing Institute of Technology 数字信号处理
第三章 离散傅立叶变换
Discrete Fourier Transform (DFT)
-
2 / 30
§3-1 引言
)(txa∀ ⋅⋅⋅±±== ,2,1,0),()( nnTxnx a△
)( ωjeX ′
截断
10),( −≤≤ Nnnx )( ωjeX?
取样、截断
kN
j
keXkX πω
ω2)()(
==△
1,,1,0 −⋅⋅⋅= Nk
)(nx′?
10),( −≤≤ NnnxDFT DFS
NkkX ≤≤0),(?
Beijing Institute of Technology
DFT对CS的逼近
频域取样
DFT性质 DFS性质
四种C/D的FT
-
§3-2 傅里叶变换的几种形式 • 傅里叶变换：以时间为自变量的“信号”与频率为自变量的
“频谱”函数之间的某种变换关系。 • 根据自变量“时间”或“频率”取非周期和周期，或连续和
离散的不同组合，形成的傅里叶变换对有四种：
一、非周期连续时间信号的FT
3 / 30
∫+∞
∞−
Ω−=Ω dtetxjX tjaa )()(
∫+∞
∞−
Ω ΩΩ= dejXtx tjaa )(21)(π
时域 频域
连续
非周期
非周期
连续
模拟域频率
-
§3-2 傅里叶变换的几种形式 二、周期连续时间信号的FT（傅里叶级数）
4 / 30
∫+
−
Ω−=Ω2
2)(1)(
T
T
tjma dtetxT
mX
∑+∞
−∞=
ΩΩ=m
tjma emXtx )()(
T Tp=
2Tpπ
Ω=
时域 频域
连续
周期
非周期
离散
-
§3-2 傅里叶变换的几种形式 三、非周期离散时间信号的FT（DTFT）
∑+∞
−∞=
−=n
njj enxeX ωω )()(
∫−=π
π
ωω ωπ
deeXnx njj )(21)(
Tω=Ω 数字域频率 Ω 模拟域（角）频率
Ω2Tπ
T
2π
tNT
时域 频域
离散
非周期
周期
连续
-
6 / 30
§3-2 离散傅里叶级数(DFS) 问题：
t: f: 离散
周期
周期
离散
由二、三的结论
周期离散 周期离散 ?
DFS
Beijing Institute of Technology
-
§3-2 傅里叶变换的几种形式 四、周期离散时间信号的FT（DFS）
时域 频域
离散
周期
周期
离散 ω2Nπ
频率间隔
Ω
2 2 sfTπ π=
2TNπ
角频率间隔
ftNT
离散值便于计算机处理
1NT
1sN fNT
=
T
NT
-
§3-2 傅里叶变换的几种形式
结论： • 一个域内周期，对应另一个域为离散 • 非周期对应连续 • 一个域中函数的周期对应另一个域中
两取样点间增量的倒数
-
§3-2 傅里叶变换的几种形式 P71：在自变量为t和f的情况下，在一个域中对函数进行取样，两取样点间增量的倒数，必是另一个域中函数的周期。 关键字：模拟域谱间距；数字域谱间距
ω
k
Ω
nT
f
n
NTtT
1 T
1 NT
2 Tπ
2 NTπ
2π
2 Nπ
N
1
2 fπΩ =
Tω = Ω
2 kNπω =
NT
T
N
1
-
§3-3 离散傅里叶级数(DFS) 一、DFS变换的推导
)()( )2( πωω += jj eXeX )()(~ ωω jj eXeX
△
令 =∴
∑−
=
−=1
0)()(~
N
n
njj enxeX ωω
∑+∞
−∞=
−=n
njj enxeX ωω )()(非周期离散信号的FT：
Beijing Institute of Technology
计算机处理离散信号
前三种形式信号或频谱不全是离散值
或在时域取样，或在频域取样，转换成第四种形式
由第三种傅里叶级数形式推导DFS
假定 为有限长， 0 1,n N≤ ≤ −( )x n
-
§3-3 离散傅里叶级数(DFS)
2 21 1
20 0
( ) ( ) | ( ) ( )N Nj kn j knj N N
k n nN
X k X e x n e x n eπ π
ωπω
− −− −
= = =
= = =∑ ∑△
21 ( )
0( ) ( ) ( )
N j k N nN
nX k N x n e X k
π− − +
=
+ = =∑
2I N
πω =频域上，以数字频率表示谱间距：
对频谱离散化，导致时域 周期化为 ，周期为N。
即
( )x n ( )x n
( ) ( )x n x n N= +
频谱离散化后，频谱周期由 变为N 2π
可见 )(~)(~ kXnx → 问题 )(~)(~ nxkX →？
-
§3-3 离散傅里叶级数(DFS)
∑−
=
=′1
0
2
)(~1)(~ N
k
knN
jekX
Nnx
π△令
∑ ∑−
=
−
=
−=
1
0
21
0
2
))(~(1N
k
knN
jN
m
kmN
jeemx
N
ππ
21 1 ( )
0 0
1 ( )N N j k n m
N
m kx m e
N
π− − −
= =
= ∑ ∑
Beijing Institute of Technology
21
0( ) ( )
N j knN
nX k x n e
π− −
=
=∑
可以证明 2 ( )21 ( )
2 ( )0
1 1 1 10
1
j n m NN Nj k n mN
j n mk N
n meen mN N e
ππ
π
−− −
−=
=−= = ≠−
∑21 1
0 0
1( ) ( ) ( ) ( )N Nj kn
Nm n
k mx n X k e x m x n
N
π− −
== =
′∴ = = =∑ ∑ △
∑−
=
=∴1
0
2
)(~1)(~N
k
knN
jekX
Nnx
π
)(~)(~ nxkX →
-
13 / 30
§3-3 离散傅里叶级数(DFS)
)(~)(~ kXnx DFS →←
因子△
NN
j
N WeW →=−
2π
为方便起见，令
DFS变换：
[ ] ∑−
=
∀==1
0 ,)(~)(~)(~
N
n
knN kWnxnxDFSkX
△
[ ] ∑−
=
− ∀==1
0 ,)(~1)(~)(~
N
k
knN nWkXN
kXIDFSnx△
Beijing Institute of Technology
2 21 1( )
0 0
1 1( ) ( ) ( ) ( )N Nj k n mN j kn
N N
k kx n mN X k e X k e x n
N N
π π− −+
= =
∴ + = = =∑ ∑
)(~)(~ nxkX →
( ) ( )x n X k→ →
-
§3-3 离散傅里叶级数(DFS) DFS例题：习题集P37 1
{ }
[ ]1
025 56
60 0
( ) 14 12 10 8 6 10 DFS
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( )
(0) 60 (3) 0
(1) 9 3 3 (4) 3 3
(2) 3 3 (5) 9 3 3
Nkn
Nn
j nkkn
n n
x n
X k DFS x n x n W k
x n W x n e
X X
X j X j
X j X j
π
−
=
−
= =
=
= = ∀
= =
= =
= − = −
= + = +
∑
∑ ∑
已知 ，求
解：
Example
-
§3-3 离散傅里叶级数(DFS) 二、DFS的主要性质
1.线性特性
迭加原理 )(~)(~)(~ 213 nxbnxanx +=
[ ] )(~)(~)(~)(~)(~ 21213 kXbkXanxbnxaDFSkX +=+=2.移位特性 （1）时域移位
( ) ( ), ( ) ( )DFS DFS mkNx n X k x n m W X k←→ − ←→ 若 则
（2）频域移位 ( ) ( ), ( ) ( )IDFS IDFS nlNX k x n X k l W x n
−←→ − ←→ 若 则
注：两序列周期调整为相同时，才可以相加。
-
16 / 30
§3-3 离散傅里叶级数(DFS)
N 1
3 1 2 1 2m 0
x (n) x (n) x (n) x (m)x (n m)−
=
= ∗ = −∑
3 1 2 1 2m
x (n) x (n) x (n) x (m)x (n m)∞
=−∞
= ∗ = −∑
线性卷积 → 周期卷积
考虑两个序列 x1(n) 和 x2(n)，长度分别为 L 和 M，两者线性卷积
定义为：
参与周期卷积的两个序列必须为两个周期相同的周期序列，譬如
周期均为 N 的两个序列 和 ，其周期卷积定义为： 2x (n)1x (n)
（3）时域周期卷积定理
先翻转再移位
-
1x (n)2x (n)
1x (n)
2x (n)
1x (n)
2x (n)
周期为3
周期为5
线性卷积
周期卷积
周期卷积
Example
-
18 / 30
§3-3 离散傅里叶级数(DFS)
2
N 1
3 1 2m 0
N 1
1 2m 0 q p
x (n m)
x (n) x (m)x (n m)
x (m qN) x (n m pN)
−
=
− ∞ ∞
= =−∞ =−∞
−
= −
= + − +
∑
∑ ∑ ∑
线性卷积与周期卷积的关系
3 3p
x (n) x (n pN)∞
=−∞
= +∑
1 1 2 2p p
x (n) x (n pN) , x (n) x (n pN)∞ ∞
=−∞ =−∞
= + = +∑ ∑ 两个周期序列的周期卷积是另一同周期的周期序列，特别地，若
则
证明
令 ，则 L 1KN− =
非重点，不要求掌握
-
( )
N 1 K
3 1 2m 0 q 0
N 1 N 1
1 2 1 2m 0 m 0
N 1
1 2m 0
N 1 2N 1
1 2 1 2m 0 m N
(K 1)N 1
1 2m KN
1 2
L 1
x (n) x (m qN) x (n m)
x (m)x (n m) x (m N)x (n m)
x m KN x (n m)
x (m)x (n m) x (m)x (n m N)
x (m)x (n m KN)
x (m)x (
−
= =
− −
= =
−
=
− −
= =
+ −
=
≥ −
= + −
= − + + − + +
+ −
= − + − − + +
− −
=
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
L 1 L 1
1 2m 0 m 0 p
L 1
1 2 3p m 0 p
n m) x (m) x (n pN m)
x (m)x (n pN m) x (n pN)
− − ∞
= = =−∞
∞ − ∞
=−∞ = =−∞
− = + −
= + − = +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
-
20 / 30
1X (k)
2X (k)
3X (k)
×1x (n)
2x (n)
3x (n)
DFS
DFS
DFS
§3-3 离散傅里叶级数(DFS)
DTFT
DTFT
时域周期卷积定理 从线性卷积定理想起
1x (n)
2x (n)
3x (n)
∗
j1X (e )
ω
j2X (e )
ω
j3X (e )
ω
×
DTFT
∗
-
21 / 30
§3-3 离散傅里叶级数(DFS)
1 1 2 2N 1
3 1 2 1 2m 0
3 1 2
X (k) DFS[x (n)], X (k) DFS[x (n)]
x (n) x (n) x (n) x (m)x (n m)
X (k) X (k)X (kDFS
)
−
=
= =
= ∗ = −
=
∑
2N 1 j knN
3 1 2 1 2k 0
1x (n) IDFS[X (k)X (k)] X (k)X (k)eN
π−
=
= = ∑ 2N 1 j kmN
1 1m 0
X (k) x (m)eπ− −
=
= ∑
2 2 2N 1 N 1 N 1 N 1j km j kn j k(n m)N N N
3 1 2 1 2k 0 m 0 m 0 k 0
N 1
1 2m 0
1 1x (n) x (m)e X (k)e x (m) X (k)eN N
x (m)x (n m)
π π π− − − −− −
= = = =
−
=
= = ⋅
= −
∑∑ ∑ ∑
∑
-
§3-3 离散傅里叶级数(DFS)
3 1 2
3 3 1 2
N 1 N 1
1 2 2 1m 0 m 0
x (n) x (n)x (n)
1X (k) DFS[x (n)] X (k) X (k)N
1 1X (m)X (k m) X (m)X (k m)N N
− −
= =
=
⇓
= = ∗
= − = −∑ ∑
（4）频域周期卷积定理
2N 1 j knN3 1 2 1 2
n 0X (k) DFS[x (n)x (n)] x (n)x (n)e
π− −
=
= =∑2N 1 j nN
1 110
1x (n) X ( )eN
l
ll
π−
=
= ∑
2N 1 j nN
110
2N 1 N 1 N 1j n(k
2 2N 1 N 1j kn j knN N3 1
)N211
2 2n 0 n 0
11 20 n 0 0
X (k) x (n)x (n)e x (n)e
1( X ( )e )N
1 1X ( ) x (n)e X ( ) X ( =N N
k )
l
l
l
l l
l
l l l
π π− π−
=
π− − −− −
= =
=
=
−− −
=
= =
= −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
-
23 / 30
§3-4 离散傅里叶变换的定义
（1）主值序列的概念
（2）DFS正逆变换只涉及主值序列 2 2N 1 N 1j nk j nkN N
n 0 n 02 2N 1 N 1j nk j nkN N
k 0 k 0
X(k) DFS[x(n)] x(n)e x(n)e
1 1x(n) IDFS[X(k)] X(k)e X(k)eN N
π π− −− −
= =
π π− −
= =
= = =
= = =
∑ ∑
∑ ∑
x(n) \ X(k)
0 N 1−
x(n) \ X(k)
N N
N N
x(n) x(n)R (n); x(n) x((n))
X(k) X(k)R (k); X(k) X((k))
= =
= =
-
24 / 30
§3-4 离散傅里叶变换的定义
（3）DFT为DFS的主值区间表现：
N N2N 1 N 1j kn knN
Nk 0 k 0
x(n) x(n)R (n) IDFS[X(k)]R (n)
1 1X(k)e X(k)W ; n 0,1,..., N 1N N
IDFT[X(k)]π− −
−
= =
= =
= = = −
=
∑ ∑
N N2N 1 N 1j nk nkN
Nn 0 n 0
X(k) X(k)R (k) DFS[x(n)]R (k)
x(n)
DFT[
e x(n)
x(n)]
W ; k 0,1,..., N 1π− −−
= =
= =
= = = −
=
∑ ∑
0 N 1−x(n) 0 N 1− X(k)
x(n) X(k)
-
25 / 30
§3-4 离散傅里叶变换的定义
注意： 【1】DFT隐含周期性
Beijing Institute of Technology
是 的周期延拓， 是 的主值序列。 )(nx【2】 与 的内在联系 )(nx )(~ nx
)(~ nx )(nx )(~ nx分别简记为：
)()(~)( nRnxnx N=( )Nnxnx )()(~ =
( ) 表示求余数运算，Nn)( 比如： ( )( ) )()(
)(
1
1
1
nxnxnn
nmNn
N
N
=
=+=∀
-
26 / 30
§3-4 离散傅里叶变换的定义
【3】 与 的内在联系 )(kX )(~ kX)()(~)( kRkXkX N=
( )NkXkX )()(~ =
【4】 )(txa )(nTxa
)( ΩjX a )(kX)()( ωjTj eXeX =Ω
10),( −≤≤ Nnnx近似
近似
近似
优点：DFT便于PC机运算，可广泛应用
Beijing Institute of Technology
【5】 DFS针对周期序列 ，DFT针对有限长序列 x(n) \ X(k) x(n) \ X(k)
-
27 / 30
X(z)
§3-4 离散傅里叶变换的定义
DFT与DTFT和z变换的关系(ZT → DTFT →DFT)
Re(z)Im(z)1
jX(e )ω
X(k)
ω
0 2π
kk N
N 1n
kn 0 z z W
N 1j n
n 0 2 k / NN 1
nkN
n 0
X(z ) x(n)z
x(n)e
x(n)W
DFT[x(n)]X(k)
−
−−
= = =
−− ω
= ω= π
−
=
=
=
=
==
∑
∑
∑
two poles
zero
Im(z)
Re(z)
-
28 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质 1.线性特性
迭加原理
2.可用正变换计算逆变换
∑−
=
−=1
0)(1)(
N
k
knNWkXN
nx
)()()( 213 nbxnaxnx +=
[ ]3 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )X k DFT ax n bx n aX k bX k= + = +
3.对称定理 )()( kXnx DFT →←∀
则 1 ( ) ( ) ( )DFTX n x k x N kN
←→ − −10 −≤≤ Nn 10 −≤≤ Nk
*1
0
* )(1
= ∑
−
=
N
k
knNWkXN
{ }** )]([1 kXDFTN
=
Beijing Institute of Technology
n k
1( )
01
0
1
n 0
( ) ( )1 ( )
1 ( )
( ) ( )1 ( )( ) [ ]
Nk N n
NkN
knN
k
Nkn
N
x n x N n
X k WN
X k WN
x k x N kX nX n W DFT
N N
−− −
=
−
=
−
=
− = −
=
=
− = −
= =
∑
∑
∑
将 与 互换得：
-
29 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
4.反转定理
5.序列的总和 1
00
( ) ( ) (0)N
kn
x n X k X−
==
= =∑
则
)()( kXnx DFT →←∀)()( kXnx DFT − →←−
6.序列的起始值
∑−
=
=1
0)(1)0(
N
kkX
Nx
Beijing Institute of Technology
-
30 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
7.序列加长后的DFT
令 ( ), 0 1
( )0, 1
x n n Ng n
N n rN≤ ≤ −
= ≤ ≤ − r I∀ ∈
10),(10),( −≤≤→←−≤≤∀ NkkXNnnx
问题：
[ ] )( ~ )()( kXngDFTkG△
=
Beijing Institute of Technology
-
§3-5 离散傅里叶变换的性质
2 2r
2N
N rN
rN 1
N 1j (k / r)
N 1j kn j k
n
0
n
n
n
0 0
n
G(k) DFT[g(n)] g(n)e x(n)e
X(k / r),k 0,1,..., rx )e N( 1n
π π
π
− −− −
= =
−−
=
= = =
= = = −
∑ ∑
∑
r 为非整数
x(n)
0 N 1−
k 2rN
jH(e ) | πω ω=
g(n)
0
补零(zero padding)
rN 1,r : int eger−
补零不能提高谱分辨力
具有相同的形状，不同之处是 的频谱间隔比 的小。即通过补零，可以得到更加细致的频谱 。
)()( kXkG 与∴ )(kG)(kX
X(k)
kX( )r
-
32 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
x(n)
1x (n),3
n 0= k 0=
2x (n),6
3x (n),12
1x (n),3
2x (n),6
3x (n),12
jX(e )ω
1X (k),3
2X (k),6
3X (k),12
1X (k),3
2X (k),6
3X (k),12
DTFT
DFS/DFT
22 j kn3
1n 0
x (n)eπ
−
=∑
25( ) j kn6
2n 0
or2
x (n)eπ
−
=∑
211( ) j kn12
3n 0
or2
x (n)eπ
−
=∑
( )or2
or0
j n
n ( )x(n)e
∞− ω
=−∞∑
“有限长”序列 Example
-
33 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
x( n)−
x(n)
在涉及DFT范围内讨论和分析一个“有限长”序列务必将其 视为某与之有关周期序列的主值序列，或实施圆周化操作
x( n)−
1 0.5
1.5
1
0.5
1.5
1
1
1.5
1
1.5
1
1
1.5
0.5
圆周反转
圆周反转 周期化→反转→取主值
Nx(( n)) x( n)− = −
Nx((n)) x(n)=
-
34 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
有限长序列移位
周期序列移位（有限长序列移位的周期延拓）
有限长序列圆周移位（周期序列移位的主值）
圆周移位 周期化→移位→取主值
-
35 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
0 0 1
2 3
1 2 3
主值区间
0 1
2 3
0 1 2 3
周期化→移位→取主值 = 圆周移位
Example
-
36 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
注意：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而 对频谱幅度无影响
8. 有限长序列时间圆周移位定理
-
37 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
9. 有限长序列频率圆周移位定理(调制特性)
注意：时域序列的调制等效于频域的圆周移位
-
38 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
10.帕斯维尔定理/能量守恒定理
-
39 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
（1）回溯周期序列：主值序列（2D） （2）圆周分析：圆周投影保持 周期性（3D） （3）圆周对称 = 周期化后对称
2π
n
n 0=
n
n 0=
x(n) x(N n)= − 圆周偶对称 x(n) x(N n)= − − 圆周奇对称 什 么 是 圆 周 对 称 ？
11.DFT的圆周对称性
-
40 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
N N
N N
x(n) x( n) x(( n)) R (n)
X(k) X( k) X((N k)) R (k)
= − − = − −
⇒= − − = − −
奇对称
N N
N N
x(n) x( n) x(( n)) R (n)
X(k) X( k) X(( k)) R (k)
= − = −
⇒= − = −
偶对称
11.DFT的圆周对称性
-
41 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
x(n)
n
x ( n)∗ −
n
ex (n)
n
opx (n)
epx (n)
n
n
e o
N ep op
x(n) x (n) x (n)x(n) x(n)R (n) x (n) x (n)
= += = +
1e 2
1o 2
x (n) [x(n) x ( n)]
x (n) [x(n) x ( n)]
∗
∗
= + −
= − −
1ep e N 2
1op o N 2
x (n) x (n)R (n) [x(n) x ( n)]
x (n) x (n)R (n) [x(n) x ( n)]
∗
∗
= = + −
= = − −
ox (n)
n
序 列 的 对 称 分 解
周期性共轭对称分量
周期性共轭反对称分量
11.DFT的圆周对称性
共轭反对称分量
共轭对称分量
-
42 / 30
ep e e N
op o o N
x (n) [x (n) x (n N)]R (n)
x (n) [x (n) x (n N)]R (n)
= + −
= + −
§3-5 离散傅里叶变换的性质 x(n)
n x(n)
n
ep op
e o
x(n) x (n) x (n)
x(n) x (n) x (n)
= +
= +
N点序列 2N-1序列
ex (n)
n
ox (n)
有限长序列共轭对称分量，共轭反对称分量
普通平移
opx (n)
epx (n)
n
n
n
有限长序列圆周共轭对称分量，圆周共轭反对称分量 即：周期性共轭对称分量，共轭反对称分量
周期序列共轭对称分量，共轭反对称分量
ex (n)
n ox (n)
n
-
43 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
共轭复序列的DFT 11.DFT的圆周对称性 -
-
44 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质 复数序列的DFT
ep op
R I
x(n) x (n) x (n)
X(k) X (k) jX (k)
= +
= +
R I
ep op
x(n) x (n) jx (n)
X(k) X (k) X (k)
= +
= +DFT
NDFT[x ( n)] DFT[x ( n)R (n)] X (k)∗ ∗ ∗− = − =
1 1ep e N N2 2
*ep R
x (n) x (n)R (n) [x(n) x ( n)] [x(n) x ( n)]R (n)
1DFT[x (n)] [X(k) X (k)] X (k)2
∗ ∗= = + − = + −
⇔ = + =
1 1R R N N2 2
*R ep
x (n) x (n)R (n) [x(n) x (n)] [x(n) x (n)]R (n)1DFT[x (n)] [X(k) X (N k)] X (k)2
∗ ∗= = + = +
⇔ = + − =
NDFT[x (n)] X ( k) X (N k) X ( k)R (k)∗ ∗ ∗ ∗= − = − = −
11.DFT的圆周对称性 -
1 1op o N N2 2
*op I
x (n) x (n)R (n) [x(n) x ( n)] [x(n) x ( n)]R (n)
1DFT[x (n)] [X(k) X (k)] jX (k)2
∗ ∗= = − − = − −
⇔ = − =
1 1I I N N2 2
*I op
jx (n) jx (n)R (n) [x(n) x (n)] [x(n) x (n)]R (n)1DFT[ jx (n)] [X(k) X (N k)] X (k)2
∗ ∗= = − = −
⇔ = − − =
-
45 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
op op
op op
Re[X (k)] Re[X ( k)]
Im[X (k)] Im[X ( k)]
= − −
= −
ep ep
ep ep
Re[X (k)] Re[X ( k)]
Im[X (k)] Im[X ( k)]
= −
= − −ep ep
ep ep
| X (k) | | X ( k) |
arg[X (k)] arg[X ( k)]
= −
= − −
DFTI opx(n) jx (n) X(k) X (k)= =
DFTR epx(n) x (n) X(k) X (k)= =
虚实序列的DFT 11.DFT的圆周对称性 -
-
§3-5 离散傅里叶变换的性质
46 / 30
*ep
* * * *ep ep
1X (k) [X(k) X (N k)]2
1 1X (N k) [X(N k) X (N N k)] [X(k) X (N k)] X (k)2 2
= + −
⇔ − = − + − + = + − =
*op
* * * *op op
1X (k) [X(k) X (N k)]2
1 1X (N k) [X(N k) X (N N k)] [X(k) X (N k)] X (k)2 2
= − −
⇔ − = − − − + = − − − = −
ep ep
ep ep
| X (k) | | X (N k) |
arg[X (k)] arg[X (N k)]
= − = − −
模相等，幅角相反
实部相等，虚部相反
实部相反，虚部相等 op opop op
Re[X (k)] Re[X (N k)]
Im[X (k)] Im[X (N k)]
= − − = −
epX周期性共轭对称分量
周期性共轭反对称分量 opX
op op
op op
Re[X (k)] Re[X (N k)]
Im[X (k)] Im[X (N k)]
= − = − −
-
47 / 30
X(k)表示12点实序列x(n)的DFT。X(k)前7点的值为X(0)=10, X(1)=-5-4j, X(2)=3-2j,X(3)=1+3j,X(4)=2+5j,X(5)=6-2j,X(6)=12 ，不计算DFT，试确定下列表达式的值。
解：x(n)为实序列，则 实部相等（实偶），虚部相反（虚奇） ep epX (k) X (N k)−与X={10, -5-4j, 3-2j, 1+3j, 2+5j, 6-2j, 12, 6+2j, 2-5j, 1-3j, 3+2j, -5+4j}
11 110kN
k 0 k 0
1 1(1) x(0)= X(k)W X(k) 3N 12= =
= =∑ ∑11 11
6k k12
k 0 k 0
1 1 7(2) x(6)= X(k)W ( 1) X(k)N 12 3= =
= − =∑ ∑11 11
0nN
n=0 n=0(3) x(n) x(n)W X(0) 10= = =∑ ∑
2 n11 11 11j kn3N k 0
n=0 n=0 n=0
N2 4n11 -j *12
n=0
(4) e x(n) {IDFT(X(k 4))} {IDFT(X(k 4))} W
=X((0 4)) X(8) 2 5j
( e x(n))* X (4) 2 5j
π
=
π
= − = − ⋅
− = = −
= = = −
∑ ∑ ∑
∑11 11
2 2
n=0 k=0
1 85(5) x(n) X(k)N 2
= =∑ ∑
-
48 / 30
线性卷积、周期卷积与圆周(循环)卷积的关系
§3-5 离散傅里叶变换的性质
N 1
3 1 2 1 2m 0
x (n) x (n) x (n) x (m)x (n m)−
=
= ∗ = −∑
3 1 2 1 2m
y (n) y (n) y (n) y (m)y (n m)∞
=−∞
= ∗ = −∑
考虑 L 点和 M 点序列 y1(n) 和 y2(n)，两者线性卷积为：
将 y1(n) 和 y2(n) 均以 N 为周期，延拓成两个周期序列，分别记为 和 ，对应的周期卷积为： 2x (n)1x (n)
令 和 的主值序列分别为 ， （N点“有限长”序列）
2x (n)1x (n)2x (n)1x (n)
13. 圆周卷积定理
-
49 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
两个长度可能并不等的序 列分别以同样周期 N 延拓 后所作之周期卷积为两者 未延拓前之线性卷积的周 期为 N 的延拓，若满足 则周期卷积之主值序列即 圆周卷积与线性卷积内容 完全相同！
Conc
lusion
N L M 1≥ + −
3 1 2 3 N
N 1
1 2 Nm 0
N 1
1 2 N Nm 0
3p
x (n) x (n) x (n) x (n)R (n)
x (m)x (n m) R (n)
x (m)[x ((n m)) R (n)]
y (n pN)
−
=
−
=
∞
=−∞
= =
= −
= −
= +
∑
∑
∑
圆周反转和圆周平移！！
则 x1(n) 和 x2(n) 的 N 点圆周卷积
定义为 的主值序列： 3x (n)
13. 圆周卷积定理
-
50 / 30
1x (n)
2x (n)
1x (n)
2x (n)
1x (n)
2x (n)
周期为3
周期为5
线性卷积
周期卷积
周期卷积
圆周卷积
圆周卷积
§3-5 离散傅里叶变换的性质
Example
13. 圆周卷积定理
-
例题：已知序列u(n) {1,2,3,2,1}= ，v(n) {3,2,1,2,3}= 。画出 5 5x(n) u((2 n)) R (n)= − 的图形；求u(n) 和 v(n)的 5 点圆周卷积。 x(n)为u(n) 以 5 为周期进行周期拓展，反转再向右平移 2 点后的主值序列：
Example
( ) ( )x n u n=
( )u n−
(2 )u n−
(2 ) ( )Nu n R n−
-
1
2
3 2
1 u(n)
3
3
2 1
2 v(-n)
19
22
22 19
17
2
3
3 2
1 v(1-n)
1
2
3 3
2 v(2-n)
3
2
1 2
3 v(n)
2
1
2 3
3 v(3-n)
3
2
1 2
3 v(4-n)
Example
3+6+6+2+2=19 2+6+9+4+1=22 1+4+9+6+2=22 2+2+6+6+3=19 3+4+3+4+3=17
( ) ( ) ( )z n u n v n=
-
53 / 30
有限长序列g(n)={5,2,4,-1,2}, h(n)={-3,4,-1}, (1)计算g(n)和h(n)的线性卷积，yL=g(n)*h(n) (2)计算g(n)和h(n)的6点圆周(循环)卷积，y1=g(n) h(n) (3)计算g(n)和h(n)的7点圆周(循环)卷积，y2=g(n) h(n) (4)计算g(n)和h(n)的8点圆周(循环)卷积，y3=g(n) h(n) (5)比较以上计算，有何结论？
解： (1)yL={-15,14,-9,17,-14,9,-2} (2)y1={-17,14,-9,17,-14,9}
N 1
6 6 6 6 6m 0
y1(n) =h(n) g(n) = g(m) [h(n m) ]
y1(0) -3 0 0 0 -1 4 5y1(1) 4 -3 0 0 0 -1 2y1(2) -1 4 -3 0 0 0 4y1(3) 0 -1 4 -3 0 0 -1y1(4) 0 0 -1 4 -3 0 2y1(5) 0 0 0 -1 4 -3 0
−
=
−
= ×
∑
-1714-917-149
=
(3)y2={-15,14,-9,17,-14,9,-2}
(4)y3 ={-15,14,-9,17,-14,9,-2,0}
(5)两序列线性卷积的长度为L时，则可计算两序列>=L点的圆周卷积来计算线性卷积。
先补零，再反转
-
54 / 30
1X (k)
2X (k)
3X (k)
×1x (n)
2x (n)
3x (n)
DFS
DFS
DFS
§3-5 离散傅里叶变换的性质
DTFT
DTFT
1x (n)
2x (n)
3x (n)
∗
j1X (e )
ω
j2X (e )
ω
j3X (e )
ω
×
DTFT
∗
从线性卷积定理、周期卷积定理想起
主值区间？
13. 圆周卷积定理
-
§3-5 离散傅里叶变换的性质
3 1 2
3 1 2
DFT IDFTx (n) x (n) x (n)
X (k) X (k)X (k)
=
=
时域
3 1 2
3 1 2
DFT IDFT
1X (k) X (k) X (k)N
x (n) x (n)x (n)
=
=
频域
13. 圆周卷积定理 N 1 kn3 3 1 2 N
k 0N 1 N 1
km kn1 2 N N
k 0 m 0N 1 N 1
k(n m)2 1 N
m 0 k 0N 1
2 1m 0
1x (n) IDFT[X (k)] X (k)X (k)WN
1 = X (k)( x (m)W )WN
1 = x (m) X (k)WN
= x (m)x (n m)
−−
=
− −−
= =
− −− −
= =
−
=
= =
−
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑N 1
kn3 3 1 2 N
n 0N 1 N 1
kn1 2 N N
n 0 0N 1 N 1
n(k )2 1 N
0 n 0N 1
2 10
X (n) DFT[x (k)] x (n)x (n)W
1 = x (n)( X ( )W )WN
1 = X ( ) x (n)WN1 = X ( )X (k )N
ln
l
l
l
l
l
l
l l
−
=
− −−
= =
− −−
= =
−
=
= =
−
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
-
§3-5 离散傅里叶变换的性质
基于圆周卷积定理，可以利用DFT计算两个有限长序列的线性卷积，
后面将会看到，DFT可以快速计算，由此可以快速计算线性卷积：
（1）将两个序列补零，使得DFT点数为两者线性卷积的点数；
（2）对补零后的两序列分别作DFT，将结果相乘；
（3）对（2）中相乘结果作逆DFT，即为原序列的线性卷积
13. 圆周卷积定理
56 / 30 3X (k)
×
DFT
IDFT
2X (k)DFT
1x (n)
2x (n)
1X (k)
3x (n)
∗
-
57 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
N 1*
3 1 2 N N 1 2m 0
*3 1 2
x (n) x (m)x ((n m)) R (n) x (n) x (n)
DFT IDFTX (k) X (k)X (k)
−
=
= +
=
∑
14. 圆周（循环）相关定理
3 1 2m
x (n) x (m)x (n m)∞
=−∞
= +∑线性相关：
1 2x , x 列长分别为 的线性相关，应等于将两序列补零到 1 2N , N 1 2N N 1+ −
的列长后的圆周相关。对于实信号的相关，可借助DFT正反变换求得。
注：线性卷积与线性相关的应用场合；圆周卷积与圆周相关的区别。
N 1* kn
3 3 1 2 Nk 0
N 1 N 1km * kn
2 1 N Nk 0 m 0
N 1 N 1* km kn1 2 N N
m 0 k 0N 1 N 1
* k(n m)1 2 N
m 0 k 0
*1
m 0
1x (n) IDFT[X (k)] X (k)X (k)WN
1 = X (k)( x (m)W ) WN
1 = x (m) X (k)W WN1 = x (m) X (k)WN
= x
−−
=
− −−
= =
− −− −
= =
− −− +
= =
=
= = ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑N 1
2(m)x (n m)−
+∑
-
§3-5 离散傅里叶变换的性质 注：线性卷积与线性相关的区别；圆周卷积与圆周相关的区别
1、线性卷积：输入信号加到线性时不变系统时，输出信号为输入信号与系统函数的卷积。
∑+∞
k=-∞
y(n)= x(n)* h(n)= x(k)h(n - k)
2、线性相关：比较两信号n时刻的相似程度。 *3 1 2m
x (n) x (m)x (n m)∞
=−∞
= +∑二、时域计算公式：
一、应用场合：
1、线性卷积：先反转，再移位，相乘相加； 2、线性相关：不需要反转，移位，相乘相加。
三、频域计算公式： 1、线性卷积可由圆周卷积实现：不需要求共轭
3 1 2 3 1 2x (n) x (n) x (n) X (k) X (k)X (k)= ⇔ =2、线性相关可由圆周相关实现：其中一信号的频谱需要先求共轭
*3 1 2 3 1 2x (n) x (n) x (n) X (k) X (k)X (k)= ⇔ =
-
59 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
a）快速卷积
圆周卷积在信号处理中的应用
•FIR系统输出 •序列的线性卷积
10),( 10),( −≤≤−≤≤∀ MnnhNnnx
?)()( =∗∃ nhnx
−≤≤−≤≤
=′→1 010 )(
)()(LnN
Nnnxnxnx
−≤≤−≤≤
=′→1 010 )(
)()(LnM
Mnnhnhnh
1−+≥ MNL
Beijing Institute of Technology
-
60 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质 [ ])()( nxDFTkX ′=′[ ])()( nhDFTkH ′=′
[ ])()()()( kHkXIDFTnhnx ′′=∗10 −≤≤ Ln( ))( )( nhnx ′′
b）重叠保留/相加法
？如果 MN >>
−+≤≤
= 0
1)1( )()(
其他
LknkLnxnxk (3-56) 令
则 0 )()(0
≥=∑+∞
=
nnxnxk
k
Beijing Institute of Technology
( )h n ( )h n−
( )h n−
-
§3-5 离散傅里叶变换的性质
式中 )()()( nhnxny kk ∗=△
[ ]
)(
)(
)()()(
kLny
kLny
kLnRnxnh
k
k
L
−=
−′=
−∗=
△
△
∑∑+∞
=
+∞
=
=∗=∗00
)()()()()(k
kk
k nynhnxnhnx (3-57)
Beijing Institute of Technology
-
62 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质
图形表示：
的计算: )()( nyny k′=△
[ ])()()( kHkXIDFTny kk ′′=′ 110−+≥−≤≤
MLppn
∑+∞
=
−′=∗∴0
)()()(k
k kLnynhnx
∑+∞
=
−=0
)(k
k kLny0 1n N M≤ ≤ + −
Beijing Institute of Technology
-
63 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质 重叠相加法图示
Beijing Institute of Technology
0 M-2
0 M-2 0 M-2 0 M-2 0 M-2
0 M-2
( ),0 1h n n M≤ ≤ −
0 M-2 M-1
0 M-2
( )h n ( )h n−
( )h n−
( )h n−
新输出=（左）以前重叠部分（与0序列卷积的托尾部分）+（右）新重叠部分
与0序列卷积的托尾部分
新重叠部分
-
64 / 30
§3-5 离散傅里叶变换的性质 重叠保留法图示
Beijing Institute of Technology
( ),0 1ix n n N≤ ≤ −x(n)的每一小段 ( ),0 1h n n M≤ ≤ −
0 M-2
0 M-2
0 M-2
( )h n−
此段输出未加以前重叠部分，计算不准，只是为了后续序列计算准确，所以需要舍掉。
此段是准确输出，需要保留的部分。
0 M-2
0 M-2 重叠部分
( )h n−
0 M-2 重叠部分
0 M-2 M-1
起始补0部分
-
§3-5 离散傅里叶变换的性质
15. DFT可看作一组滤波器 1 1
0 0( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1)
N Nkn
N kn n
X k x n W x n h N n y N− −
= =
= = − − = −∑ ∑( 1 ) 0 1
( )0 0,
N n kN
kW n N
h nn n N
− − ≤ ≤ −=
< ≥
△
2
1 1( 1 )
0 0
11( 1) 1 ( 1)
,10
( ) ( ) ( )
1 ( )( )1
j j j
j j jN
N
N Nj n N n k n
k k k Nz e z e z en n
k NNN k k n N k N
N N N kz e z eW en N
H e H z h n z W z
W zW W z WW z
ω ω ω
ω ω π
ω
−
− −− − − −
= = == =
− −−− − − −
− −= ===
= = =
−= =
−
∑ ∑
∑
( )( )
N 22 Nj
k 212 N
sin k| H (e ) |
sin k
πω
π
ω−=
ω−ω2
N kπ
2N (k 1)π +
2N (k 1)π −
ω
2N (k 1)π +2
N (k 1)π −
2N kπ
-
§3-5 离散傅里叶变换的性质
16.DFT与Z变换的关系
2 2
21 1 1
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j k j kN Nz e
N N Nj knkn nNN
n n n z e
X k x n W x n e x n z X zπ π
π
=
− − −− −
= = = =
= = = =∑ ∑ ∑
x(n)的DFT的N个系数即为x(n)的Z变换X(z)在单位圆上N等分的取样点。
1
20 , 0,1, , 1
( )N
j n
n k k NN
x n e ωπω
−−
= = = ⋅⋅⋅ −
= ∑
)()()( 2 nxeXkX kN
j →==
πω
ω△
能否由 问题：
（频域取样）
-
67 / 30
§3-6 频域取样
∑+∞
−∞=
−=→n
njj enxeXzX ωω )()()(
一、取样点数的限制
),(nx∀ 任一非周期序列（绝对可和）
[ ])()( nxDFTkX ≠注意： 为什么？
问题： )(10),( ? nxNkkX →−≤≤
∵频域取样→时域周期化
∴若 为无限长序列，
则不可能由 )()( nxkX →)(nx
1,,1,0,2)()(
−⋅⋅⋅===
NkkN
jeXkX πωω
△
问题：
若有 110),( −…= Mnnx ，，，
如何选取N才能使
)( )( nxkX →10 −≤≤ Nk 0 1n M≤ ≤ −
Beijing Institute of Technology
-
68 / 30
§3-6 频域取样
∑−
=
−=1
0)(1
N
k
knNWkXN
∑−
=
− ∀=′1
0 )(~1)(~
N
k
knN nWkXN
nx( )NkXkX )()(~
△
令 =
∑ ∑−
=
−−
=
=
1
0
1
0)(1
N
k
knN
M
m
kmN WWmxN
∑ ∑−
=
−
=
−
=
1
0
1)(1)(
M
m
N
ok
knmNWN
mx
( ) nlmlNnmxM
m, )()(
1
0∀−+= ∑
−
=
δ
的周期N延拓 )()( nxlNnxl
→+= ∑+∞
−∞=
Beijing Institute of Technology
DFS变换
-
69 / 30
§3-6 频域取样 频域采样定理的DFT重表述
2 2N N
N 1j k j kn
m k 0
1x̂(n) x(n mN) X(e )e2π π
∞ −
=−∞ =
= + =π∑ ∑
根据第 3.1 节的讨论可知：
• M 点序列 z 变换单位圆周上均匀采样 N 点，其逆 DFT 是该序列以 N 为周期延拓序列的主值序列
• M 点序列 DTFT 一个周期内均匀采样 N 点，其逆 DFT 是该序列以 N 为周期延拓序列的主值序列
• M 点序列 DTFT 一个周期内均匀采样 M 点，其逆 DFT 即为其本身
2 2 2N N N
N 1j k j kn j k N 1
k 0 Nk 0 m
1 X(e )e IDFT[{X(e )} ] x(n mN) R (n)Nπ π π
− ∞−=
= =−∞
= = +
∑ ∑↓
DTFT[x(n)] 取样或 ZT[x(n)] 单位圆周上的取样
-
§3-6 频域取样
10 ),()()(~)(~ −≤≤→′→′ MnnxnRnxnx N
∴只有当 时（否则 太大，导致混叠）， MN ≥ Nπω 2=∆
Beijing Institute of Technology
对于列长为M的有限长序列x(n)，频域取样不失真的条件是取样点数 MN ≥结论：
对于无限长序列x(n)，无论N取值如何，不可能消除混叠，随着取样点N增加而接近x(n)。
试想：
-
§3-6 频域取样
71 / 30
71 / 30
二、内插公式
71 / 30
∑−
=
−=1
0)()(
N
n
nznxzX ∑ ∑−
=
−−
=
−
=
1
0
1
0)(1
N
n
nN
k
knN zWkXN
1111)( −−
−
−−
=zW
zN
z kN
N
kφ
式中：
（内插函数）
( )∑ ∑−
=
−
=
−−=1
0
1
0
1)(1N
k
N
n
nkN zWkXN
∑−
=−−
−−
−−
=1
011
1)(1N
kk
N
NkNN
zWzWkX
N的内插公式 )(zX
(3-101)
1
10
1 ( )1
N N
kk N
z X kN W z
− −
− −=
−=
−∑
(3-102) ∑−
=
=1
0)()(
N
kk zkX φ
既然 )( )( nxkX →10 −≤≤ Nk 10 −≤≤ Nn
?)( , =∀ zXz
-
72 / 30
§3-6 频域取样 类似的，有：
∑−
=
=1
0)()()(
N
k
jj ekXeX ωω φ
∑−
=
−=1
0)2()(
N
kk
NkX πωφ
−−
= 21
2sin
2sin
1)(Nj
e
N
N
ω
ω
ω
ωφ
式中：
比较：
时域取样定理 频带有限信号，对其时域取样而不丢失任何信息。
频域取样公式 时间有限信号，对其频域取样而不丢失任何信息。
Beijing Institute of Technology
DFT的综合就是Z变换
-
73 / 30
§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题
消除办法： hs ff 2≥
kN
ja
DFTaa eXkXnxnTxtx πω
ω2)()()()()(
=≈→→→
)()( ωω jja eXeX ≈ kN
jeX πωω
2)(=
一、混叠现象
实际中通常：
hs ff )4~3(=
Beijing Institute of Technology
注：x(n),X(k)均为有限长，其由对信号取样或截断造成的。
可引起三种现象：
对信号取样引起的。
-
74 / 30
§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题
10),()( −≤≤→ NnnxnTxa二、频谱泄露现象
kNπ
ω2
=DFT
( ) ( ) ( )a NX k X k Sinc k=( ) )NSinc k kδ （并非 )(kX a∴ 中的的频谱被展宽→泄漏
解决办法：选择谱特性更接近 的窗函数 )(kδ
办法：对 通过补零加长。 )(nx
三、栅栏效应
10,2)()(
−≤≤=≈
NkkN
ja eXkX πω
ω
Beijing Institute of Technology
( ) ( ) ( ) ( )FT j ja N ax nT R n X e Sinc eω ω←→ ∗
-
75 / 30 x(n)
nN 1−0
§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题
dx (n)
n
T
aX (f )
fHfHf− 0
A
时域: 截断+采样
0
ax (t)
t
1sf T
−− = −
dX (f )
f2
sT: 2 fπΩ = π: 2ω π
0 1sf T
−=
As Tf A =
1sF N f 1/(NT)
−= =
X(k)
k
sf A
2TN: πΩ 1TN:ω
sd
fX(k) X kN
=
N 1−0k
频域: 谱泄漏+周期延拓
记录长度 频率分辨率
FT
DTFT
DFS
DFT
频域采样->③栅栏效应
时域: 补零
x(n)
nNT
高频容量
①截断效应
②折叠效应
-
76 / 30
§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题 四、DFT参数的选择
F∀ 频率分辨率
Nf
NTF s== 1∵DFT的
=
∆Ω=∆
∆=∆Ω=∆→=∆
NTf
TNf
N a1
2 , ,12
πωπω
hs ff 2≥hf
T21
≤或
=≥∴
FfN
FfN sh 2
Beijing Institute of Technology
注意： NTt p =∀ptNT
F 11 == 不变
↑N ↓T ↑sf Nfs
不变
谱分辨率不变
-
§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题 四、DFT参数的选择
sf 取样频率； hf 信号的最高频率 1.取样定理： 2s hf f≥
2.取样周期T必须满足： 1
2 hT
f≤
3.设F表示频谱分量间的增量，即频率分辨率： sfFN
=
（F越小，反映频率分辨率越高）
4.最小记录长度，即周期性函数的有效周期 ，则 pt1
pt NTF= =
5.一记录长度内的点数N满足： 2 hfNF
≥注: 与频率分辨率F存在着矛盾 hf
hf T N给定时, pt (频率分辨率 ) sf F谱间距
-
78 / 30
§3-8 加权技术与窗函数
Sampled sequence
In time it reduces end-points discontinuities.
Rect windowed
Taper
Windowed
Some window functions
减弱边缘点的不连续程度
tapering: 渐弱（缓变）
缓变加窗技术
-
79 / 30
谱分辨率和DFT频率分辨率(间隔)
KHz
t +
t f1
f2
f1 f2
KHz f1 f2
主瓣宽度与截断长度（记录长度）成反比
KHz f1 f2
谱分辨率
DFT频率分辨率 Example 3.7
-
80 / 30
作业
第三章 习题：
• 1、3~6、7~11、13~16
Beijing Institute of Technology
幻灯片编号 1§3-1 引言§3-2 傅里叶变换的几种形式§3-2 傅里叶变换的几种形式§3-2 傅里叶变换的几种形式§3-2 离散傅里叶级数(DFS)§3-2 傅里叶变换的几种形式幻灯片编号 8幻灯片编号 9§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-3 离散傅里叶级数(DFS)幻灯片编号 17§3-3 离散傅里叶级数(DFS)幻灯片编号 19§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-3 离散傅里叶级数(DFS)§3-4 离散傅里叶变换的定义§3-4 离散傅里叶变换的定义§3-4 离散傅里叶变换的定义§3-4 离散傅里叶变换的定义§3-4 离散傅里叶变换的定义§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质幻灯片编号 47§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质幻灯片编号 51幻灯片编号 52幻灯片编号 53§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-5 离散傅里叶变换的性质§3-6 频域取样§3-6 频域取样§3-6 频域取样§3-6 频域取样§3-6 频域取样§3-6 频域取样§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题§3-7 用DFT对连续信号逼近的问题§3-8 加权技术与窗函数谱分辨率和DFT频率分辨率(间隔)作业