diseños esféricos y sampling en la...

Trabajo de final de grado

GRADO EN MATEMÁTICAS

Facultat de Matemàtiques i InformàticaUniversitat de Barcelona

Diseños esféricos ysampling en la esfera

David Monter Sánchez

Director: Dr. Jordi MarzoRealizado en: Departament de

Matemàtica Aplicada i Anàlisi

Barcelona, 29 de junio de 2017

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Abstract

This project is a study of Chebyshev-type quadratures and the theorybehind these mathematical objects, as well as an analysis of some of themost recent results in relation to optimal quadratures. The main purpose isto understand the solution of the Korevaar-Meyers conjecture by Bodaren-ko, Radchenko and Viazovska. Furthermore, some sphere sampling toolsnecessary for the proof will also be discussed.

Resumen

El objetivo de este proyecto es estudiar la base teórica que hay detrás delas cuadraturas de Chebyshev, así como analizar algunos resultados recien-tes sobre la existencia de cuadraturas óptimas. Principalmente, se centraráel foco en entender la demostración presentada por Bondarenko, Radchen-ko y Viazovska de la conjetura de Korevaar-Meyers. Adicionalmente, seestudian algunas herramientas de la teoría de sampling en la esfera, nece-sarias para comprender esta demostración.

Agradecimientos

Al Dr. Jordi Marzo por su ayuda en este proyecto.

A Mariola por todo el apoyo brindado mientras cursé el grado.

A Madre, ya que sin ella no podría haber llegado hasta aquí.

Índice general

Introducción 1

1. El concepto de cuadratura 3

1.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. En la actualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Aproximando la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Cuadraturas importantes 8

2.1. Cuadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Cuadratura de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Cuadratura en [−1, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2. Cuadratura en S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Sampling en la esfera 14

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Existencia de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Herramientas de sampling en la esfera Sd . . . . . . . . . . . . 18

4. Diseños esféricos 21

4.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2. Conjetura de Korevaar-Meyers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Conclusiones 32

Bibliografía 33

Introducción

Desde tiempos antiguos, los geómetras han tratado de calcular áreas defiguras y funciones. El método más popular en la Antigua Grecia consistíaen construir un cuadrado con el mismo área que la figura en cuestión. Esteproceso tomó el nombre de cuadratura [4].

Actualmente, consideramos que una cuadratura es una aproximación dela integral definida de una función. En general, se busca una expresión deeste tipo:

∫ ba f (x)dx ≈ ∑n

i=0 f (xi)w(xi), donde w es una función continuaque atribuye pesos distintos a cada punto. Encontrar cuadraturas es útilcuando nos enfrentamos por ejemplo, a problemas numéricos, ya que enocasiones, las funciones a integrar son complejas o bien carecen de primi-tiva.

En este trabajo, se pone foco en las cuadraturas de Chebyshev. Un tipode cuadratura donde, a cada punto, se le atribuye exactamente el mismopeso. Encontraremos dos ejemplos: en el intervalo [-1,1] y en el círculounidad S1, donde se presentarán las primeras complicaciones.

Generalmente, no es trivial encontrar fórmulas de cuadratura ni sabercuantos puntos se necesitan. Sin embargo, Bernstein [15] demuestra querestringiéndonos a [-1,1], el número de puntos es del orden de t2, siendo t elmayor grado del espacio de polinomios. Más adelante, Korevaar y Meyers[3] logran encontrar cotas inferiores y superiores para conjuntos que sepueden parametrizar con combinaciones de los dos conjuntos mencionadosanteriormente.

Restringiendo las cuadraturas a la esfera, nacen los llamados diseñosesféricos, término acuñado por Delsarte, Goethals y Seidel en el año 1997[10]. En general, encontrar ejemplos de diseños esféricos no es sencillo;y cuando los hay, suelen ser de dimensiones y de número de puntos nodemasiado grandes. Por ejemplo, Mimura [8] construye diferentes diseñospara polinomios de grado dos.

En un principio, no estaba claro cuantos puntos se necesitarían paraconstruir un diseño esférico en una esfera de dimensión arbitraria. En 1993,Korevaar y Meyers [14] demostraron que un diseño esférico en Sd debetener un número mínimo de puntos de order mayor a td y menor a td2

yconjeturaron que la cota inferior era el orden correcto.

2 Introducción

Más adelante, en 2013, Bondarenko, Radchenko y Viazovska demues-tran en [1] un resultado todavía más potente: se garantiza la existencia dediseños esféricos para esferas de dimensión arbitraria con cardinal de or-den igual a la dimensión del espacio de polinomios de grado menor que t,esto es, td resolviendo la conjetura de Korevaar y Meyers.

El objetivo principal que persigue este proyecto, es estudiar y analizarla demostración dada por estos tres autores mencionados anteriormente.Adicionalmente, se pretende comprender las problemáticas que derivan deencontrar cuadraturas óptimas, así como entender todas las herramientasutilizadas durante el proceso.

Para perseguir esta meta, el trabajo se distribuye en cuatro bloques. Enun primer lugar será posible encontrar una introducción histórica al con-cepto de cuadratura. Para continuar, se hace foco en dos tipos de cuadra-turas importantes: de Gauss y de Chebyshev, necesarias para entender elconcepto de diseño esférico. En el tercer capítulo, se trata el sampling en laesfera, donde se habla de maneras óptimas de tomar puntos para construirbuenas cuadraturas. Para finalizar, se tiene el bloque más importante, éstese centrará de lleno en los diseños esféricos y en el análisis de la conjeturade Korevaar-Meyers.

Capítulo 1

El concepto de cuadratura

El objetivo principal de este capítulo es introducir el concepto de cuadratura.Primeramente, se introducirá la noción intuitiva de cuadratura a la vez que sepresentarán algunos ejemplos clásicos. Además, se verá como ha evolucionado hastala actualidad, sentando las bases del cálculo numérico y su vínculo con el conceptode integral definida. Al final del capítulo se da una definición formal de cuadratura,que nos ayudará a entender otros conceptos presentes en este proyecto.

1.1. Un poco de historia

Hay que se remontarse a la antigua Grecia para encontrar el primer usode la palabra cuadratura; presente desde que los primeros geómetras exis-ten. En tiempos antiguos, se utilizaba esta palabra para denotar el área delas figuras geométricas planas. Para determinar el área, los griegos intenta-ban construir un cuadrado con el mismo área; proceso que tomó el nombrede cuadratura. Veamos gráficamente uno de los casos más sencillos, la cua-dratura del rectángulo:

Para poder construir estos cuadrados, era imprescindible que se pudie-sen crear sólo con regla y compás. Método por el cual se deben construir lasfiguras geométricas únicamente utilizando una regla y un compás idealiza-dos. Esto es, una regla que no puede medir distancias y un compás que no

3

4 El concepto de cuadratura

puede trasladar medidas de un punto a otro. Veamos otro ejemplo, ahorala construcción de un hexágono partiendo de un sólo círculo. Únicamentese utilizan rectas y dos círculos:

Hay multitud de construcciones que se pueden crear con este método. Sinembargo, hay ocasiones en los que no es posible cuadrar figuras geométri-cas. El caso más conocido es la llamada cuadratura del círculo. Un problemaque estuvo vivo durante mucho tiempo entre la comunidad matemática.

La cuadratura del círculo. Tomando el círculo unidad, de área π2, se ne-cesita un cuadrado de lado

√π para tener dos figuras con la mismo área.

Luego, se debe poder construir π con regla y compas; pero esto es imposi-ble, pues en el siglo XIX se demostró que π era un número trascendente1,luego no construíble con regla y compás. Por lo tanto se llegó a la conclu-sión de que el círculo no se podía cuadrar.

1π es trascendente: En 1882, Ferdinand von Lindemann probó este resultado. Másadelante, Karl Weierstrass generalizó este resultado con el teorema de Lindemann-Weierstrass, que ayuda a determinar si un número es trascendente o no.

1.2 En la actualidad 5

Hacía los siglos XVI y XVII, el término cuadratura toma otra dimensión.Se utiliza para denotar el cálculo del área, independientemente del métodoutilizado. En este caso ya no se utiliza un método tan riguroso como elque se utilizaba en la antigua Grecia, sino qué se sacrifica rigurosidad porpotencia de resolución. Por ejemplo, el principio de Cavalieri, basado en lasiguiente afirmación:

"Si dos sólidos al ser cortados por planos paralelos producen siempre seccionesde igual superficie entonces estos cuerpos tienen el mismo volumen".

Gracias a este método y muchos otros, se consiguen áreas de figuras máscomplejas. Galileo encuentra el área del cicloide y Grégoire de Saint-Vincentel de la hipérbola, que más tarde serviría para encontrar la función loga-ritmo, importantísimo resultado para el mundo de las matemáticas. JohnWallis en 1656 presenta resultados que sentarían las bases del cálculo infi-nitesimal. Newton y Leibniz también en el siglo XVII, descubren el teoremafundamental del cálculo que ayuda a dar pasos de gigante en este campo.Años más tarde, Riemann formaliza el concepto de integración. Tambiénaparecen otras definiciones de integral, como por ejemplo la de Lebesgue.

1.2. En la actualidad

Habitualmente, se introduce la integral definida de una función respectoen un intervalo [a, b] cómo

I =∫ b

af (x)dx, (1.1)

donde f (x) toma valores reales en el intervalo [a, b].

Intuitivamente, encontrar el valor de I no es más que encontrar el áreabajo la curva de la función f (véase la figura 1.1). Por lo tanto, esto nosune el concepto de cuadratura y de integral definida. Encontrar este valorde I es un problema que se debe solucionar a menudo numéricamente. Sinembargo, no es algo que sea en general, sencillo. Pues se puede dar que lafunción f (x) sea compleja o que no tenga una función primitiva expresableen funciones elementales sencillas.

6 El concepto de cuadratura

I

a b

Figura 1.1

Un ejemplo que ilustra la falta de una primitiva sencilla es el siguiente:∫e−x2

dx.

Es interesante observar que 1√2π

e−x2/2 es la función de densidad de una

variable aleatoria normal de media 0 y varianza 1. Ésta integral no tieneuna función primitiva expresable en funciones elementales. Pero si que sepuede encontrar la integral definida en R. Para este tipo de casos, con-sideraremos aproximaciones a la función en cuestión, como se verá en elsiguiente apartado.

1.3. Aproximando la integral definida

Sean f , fn funciones continuas en [a, b],supongamos que fn es una aproxi-mación de la función f. Podemos calcular el valor de la siguiente integral

In( f ) =∫ b

afn(x)dx. (1.2)

Consideremos ahora, el error de esta aproximación

en = I( f )− I( fn).

Y usando (1.1) y (1.2) es sencillo encontrar una cota superior de este erroracotando por la norma infinito

|en| =∫ b

a| f (x)− fn(x)|dx ≤ (b− a)|| f − fn||∞. (1.3)

1.3 Aproximando la integral definida 7

Si para algún n tenemos || f − fn||∞ ≤ ε entonces

en ≤ (b− a)ε.

Una manera razonable de encontrar esta aproximación es tomar fn ∈ Pnlos polinomios de grado menor o igual que n. Por ejemplo, utilizando elpolinomio interpolador de Lagrange f en N + 1 puntos xjj=0,...,N diferen-tes entre si y usando (1.2) se tiene

In( f ) =N

∑j=0

f (xj)∫ b

alj(x)dx, (1.4)

donde lj es el polinomio característico de Lagrange de grado N asociado alpunto xj:

`j(x) =k

∏i=0, i 6=j

x− xi

xj − xi=

x− x0

xj − x0· · ·

x− xj−1

xj − xj−1

x− xj+1

xj − xj+1· · · x− xk

xj − xk.

A la fórmula obtenida en (1.4) se le llama cuadratura de Lagrange. Esteproceso no es único y se puede repetir utilizando diferentes polinomiosinterpoladores, pero es algo que queda fuera de las necesidades de estetrabajo. Utilizando (1.4) podemos generalizar este concepto e introduciruna definición formal y rigurosa.

Definición 1.1. Sea f una función real integrable en el intervalo [a, b]. Llamare-mos cuadratura de la integral de una función a la siguiente aproximación∫ b

af (x)dx ≈

n

∑i=0

f (xi)ω(xi),

donde ω es una función continua ω : [a, b] → R que atribuye un ciertopeso a cada punto del intervalo [a, b], y por esto mismo la denominamospeso. A los diferentes puntos xii=0,...,N del intervalo [a, b], los llamaremosnodos.

Recuperando (1.4), en este caso particular, la función peso viene definidapor ω(xj) =

∫ ba lj(x)dx.

Capítulo 2

Cuadraturas importantes

Una vez tenemos una definición formal para la cuadratura, necesitamos introdu-cir dos tipos. En primer lugar la cuadratura de Gauss, que nos da una primeraintuición de como debería de ser una cuadratura óptima. Avanzado el capítulo, es-tudiaremos en profundidad la cuadratura de Chebyshev, ligada a los diseños esféri-cos. Veremos diversos resultados así como dos ejemplos importantes: la cuadraturaen el intervalo [−1, 1] y en la esfera 1-dimensional S1.

2.1. Cuadratura de Gauss

Partiendo de la definición dada en el capítulo anterior, tomaremos ahora[a, b] = [−1, 1].

Definición 2.1. Sea f una función real integrable en el intervalo [−1, 1]. Llama-remos cuadratura de Gauss de la integral de una función a la siguiente aproxi-mación ∫ 1

−1f (x)dx ≈

n

∑i=0

f (xi)ωi(xi),

donde tenemos una igualdad para todos los polinomios de grado menor o igual que2n− 1.

Observación 2.2. Notemos que si no disponemos de [−1, 1] como intervalode integración, siempre podremos reconvertir los límites de integración dela siguiente manera:∫ b

af (x)dx ≈ b− a

2

∫ 1

−1f (

b− a2

x +b + a

2)dx ≈

≈ b− a2

n

∑i=0

f (b− a

2xi +

b + a2

)ωi.

8

2.1 Cuadratura de Gauss 9

Ejemplo 2.3. Una función peso importante es ω(x) = 1/√

1− x2 con elcual podemos obtener fórmula de cuadratura relativamente sencillas gra-cias a los polinomios de Chebyshev. Debido a que estos polinomios sonortogonales respecto al peso ω(x):

∫ 1

−1Tn(x)Tm(x)

dx√1− x2

=

0 : n 6= m,π : n = m = 0,

π/2 : n = m 6= 0,

donde Tn(x) y Tm(x) son los polinomios de Chebyshev de grado n y mrespectivamente.

Ejemplo 2.4. Consideremos ahora la cuadratura de Gauss en [−1, 1] para elcaso n = 3. Es decir, deberíamos de encontrar nodos x1, x2, x3 y coeficientesa1, a2, a3 tal que para todo polinomio de grado menor o igual que 2n− 1,es decir, 5, se cumpla la igualdad que vimos anteriormente:

I =∫ 1

−1f (x)dx = a1 f (x1) + a2 f (x2) + a3 f (x3).

Al ser un caso sencillo podemos construir el siguiente sistema de ecuacio-nes:

f = 1⇒∫ 1−1 1dx = 2 = c1 + c2 + c3,

f = x ⇒∫ 1−1 xdx = 0 = c1x1 + c2x2 + c3x3,

f = x2 ⇒∫ 1−1 x2dx = 2

3 = c1x21 + c2x2

2 + c3x23,

f = x3 ⇒∫ 1−1 x3dx = 0 = c1x3

1 + c2x32 + c3x3

3,

f = x4 ⇒∫ 1−1 x4dx = 2

5 = c1x41 + c2x4

2 + c3x43,

f = x5 ⇒∫ 1−1 x5dx = 0 = c1x5

1 + c2x52 + c3x5

3.

Resolviendo el sistema obtenemos los siguientes valores:

c1 =59

, c2 =89

, c3 =59

,

x1 = −√

35 , x2 = 0, x3 =

√35 .

10 Cuadraturas importantes

Ahora ya tenemos los valores que necesitábamos y podemos poner:

I =∫ 1

−1f (x)dx =

59

f (−√

35) +

89

f (0) +59

f (

√35).

Ya tendríamos la cuadratura de la integral de f para n=3.

2.2. Cuadratura de Chebyshev

La cuadratura de Chebyshev es, en cierto modo, parecida a la de Gauss.Sólo que en este caso la función peso será trivial, esto es que todos lospuntos tendrán el mismo peso. El objetivo es estudiar la existencia de cua-draturas de Chebyshev en la esfera, con un número de nodos de ordenóptimo.

Sea E un subespacio compacto de Rd, E ⊆ Rd y consideremos σ unamedida de este espacio. Supondremos normalizada esta medida, esto esσ(E) = 1.

Definición 2.5. Una fórmula para la cuadratura de Chebyshev de E de ordenN y grado t es la siguiente:∫

Ef (x)dσ ≈ 1

N

N

∑j=1

f (ζ j) ζi ∈ E, (2.1)

Exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que t.

Estos puntos ζi son los nodos a los que la fórmula les atribuye el mismopeso. A priori, no necesariamente estos nodos deben de ser diferentes. Detodos modos, en nuestro caso y de ahora en adelante, consideraremos quesí lo son.

Notación 2.6. Ponemos N = NE(t) el número mínimo de puntos que cumplen laecuación.

En palabras más llanas, tenemos una fórmula con la cual podemos apro-ximar la integral sobre un cierto espacio de una cierta función por la mediade los valores de esta en ciertos nodos. Para ejemplificar este concepto, po-demos encontrar a continuación dos ejemplos relativamente sencillos deesta cuadratura para [−1, 1] y S1, que muestran ya las primeras complica-ciones.

2.2 Cuadratura de Chebyshev 11

2.2.1. Cuadratura en [−1, 1]

Tomando ahora E = [−1, 1], tenemos un espacio compacto. La longituddel intervalo es 2, luego podríamos normalizar esta medida tomando dσ =dx2 . Nuestro problema se reduce a encontrar nodos x1, . . . , xN ∈ [−1, 1] que

cumplan la fórmula que vimos anteriormente:

∫ 1

−1p(x)dσ =

∫ 1

−1p(x)

dx2

=1N

N

∑j=1

p(xj),

para todo polinomio p(x) = ao + a1x + . . . + aNxN de grado ≤ N, dadoque tenemos N parametros libres a1, . . . , aN.

Es decir, como vimos en el capitulo anterior, queremos encontrar los pun-tos x1, . . . , xN ∈ [−1, 1] tal que obtenemos la igualdad. Entonces:

x1 + . . . + xN =

∫ 1−1 x dx

2 ,...xN

1 + . . . + xNN =

∫ 1−1 xN dx

2 .

En el siglo XIX, Chebyshev pudo comprobar que estos nodos existíanpara N comprendidas entre 2 y 7. En 1880, Radau comprueba que paraN=9, siguen existiendo, pero que para N=8 se obtienen nodos complejos.Bernstein, prueba que para N > 9, todos los nodos que podamos encontrardeben son complejos. Concluyendo, no existen cuadraturas de Chebysheven [-1,1] con el aparentemente óptimo número de nodos.

2.2.2. Cuadratura en S1

Para el caso que nos ocupa, tomamos S1 ⊂ R2. Para facilitar las cosas,tomamos R2 ≈ C. Ya que de este modo, al tomar z ∈ C, lo podemosdenotar como z = x + iy = eiθ, usando la fórmula de Euler.

Para normalizar la medida nos basta tomar dσ = dθ2π . En este ocasión, nos

va bien tomar las raíces de la unidad como nodos para la cuadratura, esto

es, e2πij

N con j ∈ 0, . . . , N− 1. Podemos construir un sistema similar al queteníamos en el caso del intervalo [−1, 1].

12 Cuadraturas importantes

Por un lado se tiene

∫S1

zkdσ =1

2π

∫ 2π

0e

2πijkN = δk,0.

Ya que cuando k = 0 se tiene que vale 0, y cuando k 6= 0 se tiene que vale1. Por otro lado se puede escribir

1N

N−1

∑j=0

e2πijk

N =1N

1− e2πik

1− e2πik

N= δk,0, para |k| ≤ N − 1.

Igualando, obtenemos la fórmula de la cuadratura:

∫S1

f (x, y) dσ =1

2π

∫ 2π

0f (cos θ, sin θ) dθ =

1N

N−1

∑j=0

f (cos θj, sin θj). (2.2)

Que es exacta para los polinomios f (eiθ) = ∑|k|≤N−1 ckeikθ de grado menoro igual que N − 1. En éste caso se tiene NS1(N − 1) ≤ N, y se puede verque efectivamente, NS1(N − 1) = N.

2.3. Existencia

Vistos estos ejemplos, la pregunta es si estas cuadraturas de Chebyshevexisten. En el caso del ejemplo en [−1, 1] que vimos anteriormente, Berns-tein demuestra el siguiente resultado [15].

Teorema 2.7. (Bernstein) Sean x1, . . . , xN ∈ [−1, 1] los nodos tal que:

∫ 1

−1p(x)

dx2

=1N

N

∑j=1

p(xj),

para todo polinomio de grado menor o igual que t. Entonces, tenemos una relaciónentre el número de nodos y el grado del polinomio: t < 4

√N.

2.3 Existencia 13

Además, Bernstein construyó ejemplos que muestran que el número mini-mal de puntos que cumplen esta configuración es del orden de t2. Es decirN[−1,1](t) ∼ t2

Para el caso general, Seymour y Zaslavsky probaron en [7] que para con-juntos conexos por caminos, estas cuadratura existen para cualquier gradot. El problema es que esto es un método no constructivo, es decir, sabemosque para una cantidad suficientemente grande de puntos, estas cuadratu-ras existen. Pero este resultado no nos proporciona buenas estimacionespara NE(t).

Usando parametrizaciones para algunos conjuntos E, se puede acotarNE(t). Por ejemplo, en el caso de la S2 parametrizada como [−1, 1] × S1.Korevaar y Meyers, en 1993, en [2] consiguieron tanto una cota superiorcomo inferior:

t2 . NS2 . t3.

No sólo consiguieron estas cotas, si no que demostraron resultados paradimensiones mayores:

t2 . NS2 . td(d+1)/2. (2.3)

De ahora en adelante, nos centraremos únicamente en la esfera Sd. Comoveremos más adelante, a los llamados diseños esféricos.

Capítulo 3

Sampling en la esfera

El sampling (o muestreo) es la teoría que estudia problemas relacionados con ladiscretización de funciones f definidas en un variedad, en términos de los valores deesta función en un conjunto numerable de puntos de dicha variedad. En nuestro ca-so, se toma como variedad Sd y como funciones f, polinomios en Rd+1 restringidosa la esfera. Este capítulo se centra en presentar herramientas para poder realizareste muestreo.

3.1. Introducción

Sea M una variedad y f : M → R una función continua, el proceso dediscretizar trata de conseguir un conjunto de puntos x1, . . . , xN tal que setiene una aproximación

f ≈N

∑j=1

f (xj)Gj, (3.1)

donde Gj son funciones que no dependen de f.

Suponiendo que esta discretización exista, la pregunta natural es si esbuena. Consideramos que una discretización buena es aquella donde loserrores que se cometen al evaluar f (xj) propaguen errores pequeños (enalgún sentido) en la reconstrucción

N

∑j=1

f (xj)Gj.

Por ejemplo, si se consideran polinomios de un cierto grado menor o igualque N. Supongamos que a partir de yj reconstruimos de algún modo, sinerrores, el polinomio P tal que P(xj) = yj y a partir de yj con

1N

N

∑j=1|yj − yj| < ε,

reconstruimos P tal que P(xj) = yj.

14

3.1 Introducción 15

Notación 3.1. Denotamos & y . para indicar que es una igualdad salvo constan-te, en el lado respectivo. Y ∼ cuando hay constantes a ambos lados de la igualdad.

Se quiere que el error cometido al reconstruir P en lugar de P sea tambiénpequeño. Es suficiente que los puntos xj verifiquen

1N

N

∑j=1|Q(xj)| &

∫M|Q(x)|dx

para cualquier polinomio Q. En efecto,

ε >1N

N

∑j=1|P(xj)− P(xj)| &

∫M|P(x)− P(x)|dx.

Se quieren errores uniformes en el grado, luego se necesita que las cons-tantes que verifican las desigualdades no dependan del número de puntosN.

Recordemos ahora la noción de polinomio trigonométrico.

Definición 3.2. Llamamos polinomio trigonométrico real de grado n a unasuma finita de la siguiente forma

P(θ) =12

ao +n

∑j=1

(ajcos(jθ) + bjsin(jθ)

), (3.2)

con an, bn ∈ R.

Notación 3.3. Se denota Tn el conjunto de los polinomios trigonométricos de gradomenor o igual que n.

Observación 3.4. El espacio de los polinomios algebraicos de dos variablesde grado total menor o igual que n restringidos a S1 es el mismo espacioque el de los polinomios trigonométricos Tn. Donde un polinomio algebrai-co es de la forma

P(x, y) = ∑i+j≤n

cijxiyj.

Demostración. Utilizando la fórmula de Moivre se tiene

einθ = cos nθ + i sin nθ. (3.3)

16 Sampling en la esfera

Pero a su vezeinθ = (eiθ)n = (cos θ + i sin θ)n. (3.4)

Entonces con (3.3) y (3.4)

(eiθ)n = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ.

Luego se tiene una relación uno a uno entre los conjuntos

cos kθ, sin kθ; k ≤ n y cosk θ, sink θ; k ≤ n,

que es lo que se necesitaba probar.

Ejemplo 3.5. Tomando θ ∈ [0, 2π] el polinomio

P(θ) =1 + cos 2θ

2=

12+

12

cos 2θ.

Utilizando la fórmula para el coseno del ángulo doble

P(θ) =1 + cos 2θ

2=

1 + cos2 θ − sen2 θ

2=

2cos2θ

2= cos2 θ.

El polinomio algebraico es Q(x, y) = x2 y una vez restringido a S1 es

Q(cos θ, sin θ) = cos2 θ = P(θ).

En dimensiones superiores, para Sd con d > 2, esta equivalencia se man-tiene. Los polinomios algebraicos restringidos a Sd es el espacio de losarmónicos esféricos de grado menor o igual que n.

3.2. Existencia de puntos

En 3.1 se discutió la existencia de puntos de discretización buena. Nospreguntamos ahora si de verdad existen. Sea de nuevo Tn el espacio depolinomios trigonométricos de orden menor o igual que n.

3.2 Existencia de puntos 17

En S1 se tiene que

12n + 1

2n

∑j=0|P(xj)|2 =

∫S1|P(x)|2dx, (3.5)

x0, . . . , x2n las raíces (2n+1)-ésimas de la unidad xnj = e2iπ j

2n+1 para j =0, . . . , 2n.

En este caso se ve que se obtiene una igualdad. En otras normas, no po-demos asegurar la igualdad, pero sí equivalencias. El siguiente resultadode [11, p.28 Tomo II] lo demuestra.

Teorema 3.6. (Desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund) Sea S(x) un polino-mio de grado n, se verifica:∣∣∣∣∣

∫ 2π

0|S(x)|pdω2n+1

∣∣∣∣∣1/p

≤ A

∣∣∣∣∣∫ 2π

0|S(x)|pdx

∣∣∣∣∣1/p

1 ≤ p ≤ ∞ (3.6)

∣∣∣∣∣∫ 2π

0|S(x)|pdx

∣∣∣∣∣1/p

≤ Bp

∣∣∣∣∣∫ 2π

0|S(x)|pdω2n+1

∣∣∣∣∣1/p

1 < p < ∞ (3.7)

con A, Bp dos constantes donde B sólo depende de p. Y dω2n+1 =1

2n + 1 ∑1j=0 δxj

donde δxj son las deltas de Dirac.

Este resultado nos permite establecer relaciones entre la suma de los po-linomios evaluados en ciertos nodos con la integral de estos.

No es necesario que los puntos sean las raíces de la unidad (ver [12]), yaque si los puntos xj están bien distribuidos se verifica que

12n + 1

2n

∑j=0|P(xnj)| ∼

∫S1|P(x)|dx, (3.8)

con constantes independientes del grado.

Estos conjuntos de sampling se han estudiado y existen en Sd con d>1[13]. La principal diferencia con el círculo es que ahora no hay puntos tanbien distribuidos como las raíces de la unidad. Por ejemplo, no es posibleobtener un resultado como (3.5).


3.3. Herramientas de sampling en la esfera Sd

Una forma de poder encontrar puntos bien distribuidos en la esfera es to-mar puntos asociados a una llamada partición de área regular.

Definición 3.7. Una partición es una colección finita de conjuntosR = R1 . . . , RNcerrados contenidos en Sd tal que se verifican

(1)⋃N

i=1 Ri = Sd,

(2) µd(Ri ∩ Rj) = 0, para 1 ≤ i < j ≤ N.

Donde µd es la medida de Lebegue en Sd.

Definición 3.8. La norma de una partición R se define como

‖R‖ = maxR∈R

diam R

donde el diámetro de R no es más que la máxima distancia geodésica entre dospuntos del mismo conjunto R.

Definición 3.9. Una partición de área regular es un conjuntoR = R1 . . . , RNque cumple las condiciones de partición y adicionalmente verifica

(1) µd(Ri) =1N

, para 1 ≤ i ≤ N,

(2) ‖R‖ ≤ cN−1d .

La existencia de estas particiones nos viene dada por el siguiente resultado[5].

Teorema 3.10. Para cada N ∈ N existe una partición de área regular R =R1 . . . , RN con norma ‖R‖ ≤ BdN−1/d para una cierta constante Bd.

Tomando un punto en cada uno de los elementos de esta partición, obte-nemos un conjunto de puntos bien distribuidos, como demuestra el siguienteresultado [6].

3.3 Herramientas de sampling en la esfera Sd 19

Teorema 3.11. Existe una constante rd tal que para toda partición de área regularR = R1 . . . , RN con ‖R‖ ≤ rd

m , para cada colección de puntos xi ∈ Ri coni = 1, . . . , N y para cada polinomio P de grado menor o igual que m se verificanlas siguientes desigualdades

12

∫Sd|P(x)| dµd(x) ≤ 1

N

N

∑i=1|P(xi)| ≤

32

∫Sd|P(x)| dµd(x). (3.9)

Para demostrar el resultado principal de este trabajo, es necesario ampliarlas desigualdades anteriores al gradiente tangencial de polinomios que ve-remos a continuación.

Recordamos que el gradiente de una función diferenciable, f : Rn → R

se define de la siguiente forma:

∇ f (x) :=

(∂ f∂ξ1

, . . . ,∂ f∂ξn

)para x = (ξ1, . . . ξn) ∈ Rn.

Definición 3.12. El gradiente esférico (o tangencial) de un polinomio P res-tringido a Sd ⊂ Rn+1 se define de la siguiente forma

∇tP(x) :=∂

∂x

(P

(x|x|

)). (3.10)

donde |·| es la norma euclidiana de Rn.

El siguiente resultado se puede encontrar en [1].

Teorema 3.13. Para cada partición de área regularR = R1 . . . , RN con ‖R‖ ≤rd

m+1 , para cada colección de puntos xi ∈ Ri con i = 1, . . . , N y para cada polino-mio P de grado menor o igual que m se verifican la siguientes desigualdades

1

3√

d

∫Sd|∇tP(x)| dµd(x) ≤ 1

N

N

∑i=1|∇tP(xi)| ≤ 3

√d∫

Sd|∇tP(x)| dµd(x).

(3.11)

Demostración. Veamos que este resultado se deduce del teorema 3.11. Utili-zando la definición 3.12 no queda muy claro que ∇tP(x) sea un polinomioal que le podamos aplicar el teorema 3.11. Veamos que se puede. Sea

F(ξ1, . . . , ξd+1) = ξ20 + . . . + ξ2

d − 1.


Por definición ∇F(x) es el generador del espacio normal a Sd en el puntox ∈ Sd. Entonces, podemos construir el gradiente tangencial como:

∇tP(x) = ∇P(x)− 〈∇P(x),∇F(x)||∇F(x)|| 〉

∇F(x)||∇F(x)|| . (3.12)

Gracias a esto podemos poner

|∇tP(x)| =√

P21 (x) + . . . + P2

d+1(x), (3.13)

donde

Pj(x) :=∂P∂ξ j

(x)−d+1

∑k=1

ξ jξk∂P∂ξk

(x).

Que se obtiene precisamente de (3.12) y son polinomios de grado menoro igual que m + 1. Ahora podemos acotar (3.13) tanto por abajo como porarriba

1√d + 1

d+1

∑k=1|Pk(xi)| ≤

√√√√d+1

∑k=1

P2k (xi) ≤

d+1

∑k=1|Pk(xi)|. (3.14)

Aplicando (3.9) llegamos precisamente al resultado que necesitábamos.

Capítulo 4

Diseños esféricos

En este capítulo se introduce el concepto de diseño esférico. Korevaar y Meyersconjeturaron en 1993 en [14] que existían diseños esféricos de orden igual a ladimensión del correspondiente espacio de polinomios, esto es la cota inferior de(2.3). El grueso del capítulo se centra en presentar y entender la demostración deesta conjetura por parte de Bondarenko, Radchenko y Viazovska.

4.1. Preliminares

El concepto de diseño esférico lo introducen Delsarte, Goethals y Seidel en[10]. Estos diseños son cuadraturas de Chebyshev en la esfera. En capítulosanteriores, se vio cómo se podían construir cuadraturas en algunos espa-cios arbitrarios. De ahora en adelante, en el caso de los diseños esféricos setoma E = Sd ⊂ Rd+1.

Definición 4.1. Un t-diseño esférico es un conjunto de puntos x1, . . . , xN ∈ Sd

tal que se verifica: ∫Sd

P(x)dµd(x) =1N

N

∑j=1

P(xj)

para cualquier polinomio con d + 1 variables y de grado menor o igual a t.

Notación 4.2. Anteriormente se utilizaba NE(t) para denotar el número mínimode puntos necesarios para conseguir una cuadratura. De ahora en adelante se es-cribe N(d, t) donde d es la dimensión de la esfera Sd y t el grado del espacio depolinomios. Esto es debido a que únicamente se considera E = Sd.

21

22 Diseños esféricos

Los mismos autores, probaron que existía una cota inferior N(d, t) (enpocos casos alcanzable) para cualquier par t, d ∈N que pudiésemos tomar:

N(d, t) >

(d + k

d

)+

(d + k− 1

d

), si t = 2k,

2(

d + kd

), si t = 2k + 1 ≥ 0.

Observación 4.3.(

d + kd

)+

(d + k− 1

d

)∼ td, t = 2k.

Demostración. Desarrollando se tiene

(d + k

d

)+

(d + k− 1

d

)=

k!(k + 1)(k + 2) · · · (k + d)d! k!

+(k− 1)! k(k + 1) · · · (k + d− 1)

d!(k− 1)!

=1d!

((k + 1) · · · (k + d) + k(k + 1) · · · (k + d− 1)

).

Tenemos d productos de k y además t = 2k, luego

1d!

((k+ 1) · · · (k+ d)+ k(k+ 1) · · · (k+ d− 1)

)∼ 1

d!

((t2

)d

+

(t2

)d)∼ td.

Recordemos que en [7] se probó la existencia de diseños esféricos paracualquier par t, d ∈ N. Sin embargo, el método era no constructivo y sincontrol en el orden de puntos necesarios. La pregunta natural que surgees que si el verdadero valor de N(d, t) dista mucho de la cota obtenidaanteriormente. Ésta pregunta nos traslada al siguiente apartado.

4.2 Conjetura de Korevaar-Meyers 23

4.2. Conjetura de Korevaar-Meyers

Korevaar y Meyers en 1994 conjeturan que la cota inferior para este nú-mero mínimo de puntos es del orden de td.

Conjetura de Korevaar-Meyers. Sea x1, . . . , xN un t-diseño esférico en Sd, en-tonces N = N(d, t) ∼ td.

Bondarenko, Radchenko y Viazovska en [1] probaron un resultado todavíamas fuerte, ya que se garantiza la existencia de estos diseños esféricos.

Teorema 4.4. Para cada N = N(d, t) > Cdtd existe un t-diseño esférico de Npuntos en Sd tal que Cd es una constante que sólo depende de d.

Como se presenta en la introducción, el objetivo que persigue este pro-yecto es entender y analizar la demostración de este teorema. En adelantese presentan tres secciones. Primeramente se prepara el espacio introdu-ciendo a su vez algunos resultados necesarios para continuar. En segundolugar se da una idea intuitiva de los pasos necesarios para demostrar elteorema. Termina con la demostración del teorema en cuestión.

Resultados previos

Sea H un espacio vectorial sobre Rn, un producto escalar 〈. , .〉 : H× H →Rn tal que:

(1) 〈x, x〉 > 0 ∀x ∈ H,

(2) 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0,

(3) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∀x, y ∈ H,

(4) 〈ax + by, z〉 = a〈x, z〉+ b〈y, z〉 ∀ x, y, z ∈ H y ∀ a, b ∈ Rn,

Se dice que el espacio con la norma es un espacio normado.


Teorema 4.5. (Teorema de representación de Riesz) Sea H un espacio normado yH∗ su espacio dual. Tomamos x ∈ H, entonces, cada elemento φx del espacio dualH∗ se puede escribir unívocamente de la siguiente manera:

φx(y) = 〈x, y〉 ∀ y ∈ H,

donde 〈. , .〉 es el producto escalar.

El siguiente resultado topológico es fundamental para la demostraciónprincipal de este trabajo

Teorema 4.6. (Brouwer) Sea f : Rn → Rn una función continua y Ω un abiertoacotado con frontera ∂Ω tal que 0 ∈ Ω. Si 〈x, f (x)〉 > 0 ∀x ∈ δΩ, entoncesexiste x ∈ Ω tal que f (x) = 0.

Sea ahora Pt el espacio de Hilbert de polinomios de grado menor o igualque t en Sd con el producto escalar

〈P, Q〉 =∫

SdP(x)Q(x)dµd(x),

tal que los polinomios verifican

∫Sd

P(x)dµd(x) = 0. (4.1)

Utilizando el teorema de representación de Riesz (Teorema 4.5), para cadapunto que tomemos x ∈ Sd, existe un único polinomio Gx ∈ Pt tal que

〈Gx, Q〉 = Q(x) ∀Q ∈ Pt. (4.2)

Este polinomio se llama núcleo reproductor del espacio.

Observación 4.7. Veamos como construir el núcleo reproductor en estecaso. Podemos considerar Q1, . . . , Qs una base ortonormal del espacio Pt.Entonces

Gx = α1Q1 + . . . + αnQn.

Por lo visto en el teorema de Riesz, se tiene

〈Gx, Qj〉 = 〈α1Q1 + . . . + αnQn, Qj〉 = Qj(x).


Al ser Q1, . . . , Qs base ortonormal se verifica

αj〈Qj, Qj〉 = Qj(x)⇒ αj = Qj(x) ∀j = 1, . . . , s.Luego

Gx = Q1(x)Q1 + . . . + Qs(x)Qs.

Proposición 4.8. Un conjunto de puntos x1, . . . , xN ∈ Sd es un t-diseño esféricosi y sólo si

Gx1 + . . . + GxN = 0. (4.3)

Demostración.⇐) Sea x1, . . . , xN ∈ Sd tal que se verifica Gx1 + . . . + GxN =0. Sea P ∈ Pt un polinomio no nulo y

∫P su integral. Entonces

(P−

∫P)∈

Pt. Luego, por hipótesis

〈P−∫

P , Gx1 + . . . + GxN〉 = 0.

Utilizando las propiedades de producto escalar se tiene

0 = 〈P−∫

P , Gx1 + . . . + GxN〉

= 〈P−∫

P , Gx1〉+ . . . + 〈P−∫

P , GxN〉

= P(x1)−∫

P + . . . + P(xN)−∫

P

=N

∑j=1

P(xj)− N∫

P

Arreglando la igualdad obtenemos

1N

N

∑j=1

P(xj) =∫

SdP(x)dµd(x),

que es precisamente la definición de t-diseño esférico.

⇒) Para demostrar esta implicación se utiliza un argumento similar. To-mando la definición de t-diseño esférico se tiene que∫

SdP(x)dµd(x) =

1N

N

∑j=1

P(xj)


Luego, volviendo los pasos hacía atrás del argumento que utilizamos en laimplicación anterior, tenemos que:

Gx1 + . . . + Gxn = 0.

Idea intuitiva

Se considera Ω el conjunto abierto de Pt como en el teorema 4.6, definidocomo

Ω =

P ∈ Pt ;

∫Sd|∇P(x)|dµd(x) < 1

(4.4)

Supongamos que existe una función continua F : Pt → (Sd)N tal que paratodo P ∈ ∂Ω se cumple

N

∑i=1

P(xi(P)) > 0, con F(P) = (x1(P), . . . , xN(P)). (4.5)

Y sea,L : (Sd)N → Pt,

tal que L(x1, . . . , xN) = Gx1 + . . . GxN . Componiendo ambas funciones setiene f = L F : Pt → Pt. Entonces

f (P) = L(x1(P), . . . , xN(P)) = Gx1(P) + . . . + GxN(P).

Por el teorema 4.5 se tiene

〈P, f (P)〉 =N

∑i=1

P(xi(P)), ∀P ∈ Pt.

Utilizando el teorema 4.6 para la función f vista y Ω se tiene que f (Q) = 0para algún Q ∈ Pt. Luego

Gx1(Q) + . . . + GxN(Q) = 0.

Y por lo visto en la proposición 4.8, x1(Q), . . . , xN(Q) es un t-diseño esfé-rico.


La dificultad radica en construir esta F, o lo que es lo mismo, unos puntosx1(P), . . . , xN(P) construidos de manera continua tal que

N

∑i=1

P(xi(P)) > 0, ∀P ∈ Ω.

Demostración

Sean d, t ∈ N, ponemos Cd > (54dBdrd

)d con Bd de la forma vista en el teo-rema 3.10 y rd como en el teorema 3.11. Fijamos N > Cdtd y se toma unconjunto de puntos x1, . . . , xN bien distribuidos en la esfera, esto es consi-derando una partición de área regular R = R1, . . . , RN tal que verifica

||R|| ≤ BdN−1/d <rd

54dt, (4.6)

es decir, como se vio en el teorema 3.10 y tomando arbitrariamente xi ∈ Ripara cada i = 1, . . . , N.

Como se vio anteriormente, se intenta conseguir que

N

∑i=1

P(xi(P)) > 0.

Una forma de proceder, es considerar F(0) = (x1, . . . , xN) y mover cadapunto xi a lo largo del gradiente tangencial del polinomio P y así poderincrementar el valor de P(xi).

Para ello, se considera ε = 16√

dy la siguiente función

hε(x) =

x si u > ε,ε en otros casos.

Se utilizará esta hε para asegurar que la función U : Pt × Sd → Rd+1 estábien definida. Ya que se define como

U(P, y) =∇tP(y)

hε(|∇tP(y)|)).


Luego se acota por ε el denominador cuando el gradiente tangencial estápor debajo de este valor.

Para cada i = 1, . . . , N se toman las funciones yi : Pt × [0, ∞] → Sd quesatisfacen las siguientes ecuaciones diferenciales

dds

yi(P, s) = U(P, yi(P, s)). (4.7)

tomando como condición inicial

yi(P, 0) = xi,

para cada P ∈ Pt.

Se ve que U(P, y) es Lipschitz respecto a ambas variables e yi está biendefinida pues toma valores en Sd. Luego, por la existencia y unicidad desoluciones de ecuaciones diferenciales, se escribe

F(P) = (x1(P), . . . , xN(P)) :=(

y1(P,rd3t), . . . , yN(P,

rd3t))

. (4.8)

y por la definición, es continua.

Notación 4.9. Para facilitar la notación se escribirá yi(s) en lugar de yi(P, s).

Ahora, nos basta probar el siguiente teorema para terminar la demostra-ción.

Teorema 4.10. Sea F : Pt → (Sd)N la aplicación definida como en (4.8) y Ω =P ∈ Pt ;

∫Sd |∇tP(x)|dµd(x) < 1

entonces para cada P ∈ ∂Ω,

1N

N

∑i=1

P(xi(P)) > 0.

Demostración. Fijando P ∈ ∂Ω se tiene por definición que∫Sd|∇P(x)|dµd(x) = 1.

Utilizado el teorema fundamental del cálculo se escribe

1N

N

∑i=1

P(xi(P)) =1N

N

∑i=1

P(yi(rd/3t))

=1N

N

∑i=1

P(xi) +∫ rd/3t

0

dds

[1N

N

∑i=1

P(yi(s))

].

(4.9)


Y el objetivo ahora, es acotar estos dos términos.

Primer término. Por definición de la partición que hemos tomado se tiene

0 =∫

SdP(x)dµd(x) =

N

∑i=1

∫Ri

P(x)dµd(x),

entonces∣∣∣∣∣ 1N

N

∑i=1

P(xi)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ N

∑i=1

∫Ri

P(xi)− P(x)dµd(x)

∣∣∣∣∣ ≤ N

∑i=1

∫Ri

|P(xi)− P(x)|dµd(x)

≤ ||R||N

N

∑i=1

maxz∈Sd :dist(z,xi)≤||R||

|∇tP(z)|,

donde dist(z,xi) es la distancia geodésica entre z y xi. Este máximo se al-canza y sea zi ∈ Sd tal que se verifica dist(zi, xi) ≤ ||R|| y

|∇tP(zi)| = maxz∈Sd :dist(z,xi)≤||R||

|∇tP(z)|,

se escribe ∣∣∣∣∣ 1N

N

∑i=1

P(xi)

∣∣∣∣∣ ≤ ||R||N

N

∑i=1|∇tP(zi)|.

El último paso consiste en considerar una nueva partición de área regularR′ = R′1, . . . , R′N tal que

R′i = Ri ∪ zi.

Ahora, ||R′|| ≤ 2||R|| debido a que dist(zi, xi) ≤ ||R||, entonces

||R′|| ≤ 2||R|| < rd

27t√

d.

Utilizando el teorema 3.13 con esta partición y los puntos zi se obtiene∣∣∣∣∣ 1N

N

∑i=1

P(xi)

∣∣∣∣∣ ≤ 3√

d||R||∫

Sd|∇tP(x)|dµd(x) <

rd

18t√

d, (4.10)

para todo P ∈ ∂Ω.


Segundo término. Por definición de la ecuación diferencial en (4.7) setiene

dds

[1N

N

∑i=1

P(yi(s))

]=

1N

N

∑i=1

|∇tP(yi(s))|2hε(∇tP(yi(s))|)

>1N ∑

i:|∇tP(yi(s))|>ε

|∇tP(yi(s))|

>1N

N

∑i=1|∇tP(yi(s))| − ε.

(4.11)

Por definición de U(P, y) se tiene∣∣∣∣ ∇tP(y)he(|∇tP(y)|)

∣∣∣∣ ≤ 1 ∀y ∈ Sd,

e igualmente ∣∣∣∣dyi(s)ds

∣∣∣∣ ≤ 1.

De esto se concluye que dist(xi, yi(s)) ≤ s.

Similar al argumento que utilizamos en el caso anterior, consideramos lapartición de área regular R′′ = R′′1 , . . . , R′′N tal que

R′′i = Ri ∪ yi(s).Y de nuevo, por definición de R,

||R′′|| < rd54dt

+rd3t

.

Aplicando de nuevo el teorema 3.13 a esta partición y a los puntos yi(s),

dds

[1N

N

∑i=1

P(yi(s))

]>

1N

N

∑i=1|∇tP(yi(s))| −

1

6√

d

>1

3√

d

∫Sd|∇tP(x)|dµd(x)− 1

6√

d=

1

6√

d.

(4.12)

para cada P ∈ ∂Ω y s ∈ [0, rd/3t]. Luego, utilizando las acotaciones obteni-das y utilizando que si a, b ∈ R entonces a + b > b− |a| se tiene

1N

N

∑i=1

P(xi(P)) >1

6√

drd3t− rd

18t√

d= 0.

Y queda probado el lema, luego hemos demostrado el teorema.

Conclusiones

En la demostración principal de este proyecto, aparecen herramientas co-mo el teorema fundamental del cálculo, existencia de soluciones de lasecuaciones diferenciales, distancias geodésicas y resultados topológicos,entre otros. Se utilizan también resultados de sampling, tal como se intro-ducen en el tercer capítulo. Gracias a los conocimientos adquiridos en elgrado y durante el desarrollo del proyecto, se ha alcanzado el objetivo prin-cipal de éste: entender y analizar la demostración, así como comprender latotalidad de las herramientas utilizadas.

Por otro lado, para elaborar este trabajo, he adquirido conocimientos rela-tivos a cómo redactar documentos científicos y a construir una bibliografía.Ésta, ha sido esencial para el desarrollo de este trabajo, más teniendo encuenta que es un campo donde encontrar referencias no es sencillo.

32

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33

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diseños esféricos y sampling en la...

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