discrete keuze theorie - departement werktuigkunde...geaggregeerde en gedisaggregeerde modellen stel...

Discrete keuze theorieH01I6A Verkeerskunde basis cursus 2011

Francesco Viti & Willem Himpe

Author: Jim Stada

Traffic and Infrastructure

Faculty of Engineering

Katholieke Universiteit Leuven

H01I6A Verkeerskunde Cursus 2011 2

Overzicht college

� Keuze

� Utiliteit

� Logitmodel� Voorbeelden

� Specificatie

� Aggregatie

� Beperkingen

� Nested logitmodel


Voorbeelden van keuze in de verkeerskunde

Keuze voor:

� Wel of niet maken van verplaatsing

� Bestemming

� Vervoerwijze

� Route

Gebieds-gegevens

Ritproductie/ritattractie

Vervoersstromen

Trip-ends

Verplaatsings-weerstanden

H-B tabellen

Distributie/vervoerwijzekeuze

Toedeling

Transportnetwerken


Discrete keuze theorie

� Algemene theorie over keuze tussen discrete (elkaar uitsluitende) alternatieven

� Afkomstig uit de psychologie en economie

Belangrijke referenties:

� Daniel Mc Fadden

� M. Ben Akiva en S. Lerman (1985)

Discrete choice analysis: Theory and application to Travel Demand (The MIT Press)

� Kenneth Train


Werkwijze

� dataset met gegevens over de keuzes die mensen gemaakt hebben in bepaalde situaties

� Opsporen regelmatigheden in die keuzes

� Gieten in mathematische vorm

� Afgeleide formules gebruiken om de keuzes in nieuwe situaties te voorspellen.


Kenmerken van alternatieven en keuzemaker + een keuzeregel

� Kenmerken van de alternatieven

� Ook van invloed: kenmerken van de keuzemaker (bijv. inkomen)

� Tenslotte nodig: een keuzeregel

Kenmerken alternatieven

Reistijd Reiskosten Comfort

Auto t1 k1 c1

Bus t2 k2 c2

Lopen t3 k3 c3


Utiliteiten : niet direct waarneembaar

Kenmerken alternatieven en personen: wel waarneembaar

Daarom:

Uan = functie (kenmerken alternatief a, kenmerken persoon n)

Utiliteit

Keuzeregel:

De aantrekkelijkheid van een alternatief a voor persoon n kan worden uitgedrukt in één getal, de utiliteit: Uan

Persoon kiest alternatief met hoogste utiliteit


Stochastische utiliteit

Personen in (voor de waarnemer) exact dezelfde situatie (zelfde kenmerken a en n)

maken toch verschillende keuzen!

Waarom? Er zijn een (mogelijk groot) aantal kenmerken die de analist niet waarneemt!

Daarom: Definieer Uan als een stochastische variabele:

ε+= anna VU met Van deterministisch = f(kenmerken a,n) en

ε een kansvariabele

De kans dat alternatief a wordt gekozen (door persoon n) wordt nu:

a)k alle(voor )Pr(),Pr( <>>= knan UUna

(We laten in het vervolg n weg als dat niet tot onduidelijkheid leidt)


� Optellen (of aftrekken) constante bij alle U maakt geen verschil voor kansen:

Eigenschappen utiliteit U

� Vermenigvuldigen van alle U met positieve constante c maakt geen verschil voor kansen:

Pr( ) Pr( ) Pr( 0)a k a k

a U U U U= > = − >

Pr( ) Pr( ) Pr( )a k a ka U U cU cU= > = >


Voorbeeld

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

U2

U1

ε1 ε1

A B

D C

ε2

ε2

U1 = 5 + ε1

U2 = 7 + ε2

ε1

Uniform verdeeld tussen –2 en +2

ε2

Uniform verdeeld tussen –1 en +1

En kansverdelingenOnafhankelijk !

Pr(1) = Pr(U1 > U2) = Pr(5 + ε1 > 7 + ε2)

3 7

6 8

Alt 1

Alt 2

Alt 1 wordtgekozenKans = 1/16(alleen bij uniformeen onafhankelijkekansverdelingen!)


Kansverdeling stoortermen ε

Probit model Logit model

Kansfunctie? Normale

Verdeling

Gumbel

Verdeling

Varianties? Verschillend Identiek

Onderling

afhankelijk?

Ja Nee


Normale verdeling vs Gumbel-verdeling

Gumbel verdeling ook wel Extreme Value of EV-verdeling genoemd


Logitmodel

Als we voor de kansverdelingen van de stoortermen aannemen:

� Aanname 1: Gumbel-verdelingen

� Aanname 2: identiek (zelfde variantie :: 1/µ2 )

� Aanname 3: onafhankelijk

Dan kan worden aangetoond:

∑ =

=K

k

V

V

k

a

e

ea

1

'

'

)Pr(µ

µ

∑ =

=K

k

V

V

k

a

e

ea

1

)Pr(


Binaire logitmodel

Keuze tussen twee alternatieven:

Deel teller en noemer door

21

1

)1Pr(VV

V

ee

e

+=

)( 211

1)1Pr(

VVe

−−+=1V

e


)( 211

1)1Pr(

VVe

−−+=

0

*74,1*31,0*59.1*27,0*21,0*05,047,0

2

1

=

−++++−−=

V

VKGVGMGOPLLV

Keuzeverzameling voor een persoon:

Alternatief 1: maakt wel woon-werk verplaatsing

Alternatief 2: maakt niet woon-werk verplaatsing

Persoonskenmerken:

L = Leeftijd (in jaren 16-90)

OPL = Opleiding (schaal van 1-17)

G = Geslacht (0 = vrouw, 1 = man)

GM = Gehuwde man (0 = nee, 1 = ja)

GV = Gehuwde vrouw (0 = nee, 1 = ja)

VK = Vrouw met jong kind (0 = nee, 1 = ja)

Geschatte functies voor V (uit waarnemingen):

Voorbeeld binaire logitGebruik logitmodel voor berekening productie

Opmerkingen:

� Alleen verschil V1 en V2 is van belang !

� Aggregeren over zone !

� Check de plausibiliteit van de coefficienten !


Voorbeeld vervoerwijzekeuze

Pr(a) de kans dat vervoerwijze a wordt gekozenVk de (waarneembare) utiliteit van vervoerwijze kK het aantal alternatieve vervoerwijzen

Als K = 2 binaire logitAls K > 2 multinomiale logit

Multinomiale logit


Auto Bus Fiets

TIJD (min) 5 15 20

KOST (Euro) 0,20 0,17 -

Dan: Vauto = +0,47, Vbus = -1,53, Vfiets = -2,50

Modal split

Pr(auto) = e0,47 / (e0,47 + e-1,53 + e -2,50) = 85%

Pr(bus) = = 11%

Pr(fiets) = = 4%

Geschatte functies voor V (uit waarnemingen):

Vauto = 1,00 - 0,15*KOSTauto - 0,10*TIJDauto

Vbus = - 0,15*KOSTbus - 0,10*TIJDbus

Vfiets = -0,50 - 0,10*TIJDfiets

Voorbeeld multinomiale logitGebruik logitmodel voor berekening vervoerwijzekeuze

Opmerkingen:

� V kan negatief zijn !

� V + constante verandert uitkomsten niet !

Stel gegeven:


Specificatie logitmodel

� Functionele vorm utiliteitsfuncties� Meestal lineaire functies maar niet verplicht

� Variabelen in de utiliteitsfunctie� Onderscheid 1

� Kenmerken alternatieven (tijd, kost, ….)

� Kenmerken personen (inkomen, leeftijd, …)

� Gecombineerde kenmerken (kost/inkomen, ….)

� Onderscheid 2� Generieke variabelen

� Alternatief-specifieke variabelen

Vauto = 1,00 - 0,15*KOSTauto - 0,10*TIJDauto

Vbus = - 0,15*KOSTbus - 0,10*TIJDbus

Vfiets = -0,50 - 0,10*TIJDfiets


Geaggregeerde en gedisaggregeerde modellen

Stel 2 personen A en B:

Correct is eerst Pr(A) en Pr(B) bepalen, daarna middelen.

Foutief is eerst VA en VB

middelen, daarna Pr(C) bepalen.

Voor een zone betekent dit eerst kansen voor homogene groepen bepalen, daarna aggregeren.


Schatting logitmodelMaximum Likelihood Methode

Neem aan:

persoon tijd auto tijd bus keuze

1 12 23 auto

2 31 27 auto

3 19 9 bus

aba

ba

VV

V

ee

e

ee

eauto

busauto

auto

2312

12

),1Pr(+

=+

=+

+

.

.

auto auto

bus bus

V a T b

V a T

= +

=

Waarnemingen:

Kans op individuele waarnemingen:

Likelihood =

Gezamenlijke kans op allewaarnemingen:

Bepaal a en b zodat L maximaal is


Havenkeuzemodel


Resultaten schatting(op basis van gegevens 1992 Statisches Bundesamt)


Toepassing modelEffect aanleg IJzeren Rijn


Beperkingen logitmodel (1)

Voor de kansverdeling van de stoortermen:

� Aanname 1: Gumbel-verdelingen

� Aanname 2: identiek (zelfde variantie :: 1/µ2 )

� Aanname 3: onafhankelijk

Logit routekeuze

Geeft verkeerd resultaat

Want variantie stoortermen

niet identiek


Rode/Blauwe bussen probleem

1e situatie:

Vervoerwijze verdeling auto/blauwe bus 50%/50%

Dan geldt dus Vauto = Vblauwe bus want:

Beperkingen logitmodel (2)

2e situatie:

Introductie rode bussen.

Kleur bussen geen invloed op utiliteit:

Dus Vauto = Vrode bus = Vblauwe bus

Nu keuze uit 3 alternatieven:

Logit geeft verkeerd resultaat want: kansverdeling stoortermen niet onafhankelijk

Pr( ) 50%auto

blauwe busauto

V

VV

eauto

e e= =

+

Pr( ) 33%auto

rode bus blauwe busauto

V

V VV

eauto

e e e= =

+ +


Gevolg aanname onafhankelijke stoortermen:Independence of irrelevant alternatives (i.i.a.)

∑ =

=K

k

V

V

k

i

e

ei

1

)Pr(

∑ =

=K

k

V

V

k

j

e

ej

1

)Pr(

Pr( ) / Pr( ) / jiVV

i j e e=

i.a.a. leidt tot:

Proportionele substitutie

(i.a.a. eigenschap)

Nieuwe verdeling als ov B van markt verdwijnt


Aanpak i.a.a.

1. Toch logit, maar met heterogenebevolkingsgroepen

Oorspronkelijke verdeling over vervoerwijzen (%)

auto ov-bedrijf A ov-bedrijf B Totaal

Groep 1 95 2,5 2,5 100 %

Groep 2 25 37,5 37,5 100 %

Groep 1 + 2 60 20 20 100 %

Met logitmodel berekende verdeling na verdwijning van bedrijf B (%)

auto ov-bedrijf A ov-bedrijf B Totaal

Groep 1 97,44 2,56 0 100 %

Groep 2 40,00 60,00 0 100 %

Groep 1 + 2 68,72 31,28 0 100 %


Betere aanpak i.a.a.

2. Nested logit

Alle verplaatsingen

Bus(of OV bedrijf B)

Openbaar VervoerAuto

Trein(of OV bedrijf A)


λλλλk is maat voor correlatie: 0 = perfecte corr

1 = onafhankelijk

Nested logit - Berekeningsmethode (1)

alle verplaatsingen

prive vervoer openbaar vervoer

ov-bedrijf Aauto ov-bedrijf B

∑ ∑∈

−−=

inestenalle nestj

ni

i

ijeF ))(exp(),....,(/

21

λλεεεε

// 1

/

( )

Pr( , )( )

j ka k k

k

j i i

i

VV

j nest

k V

alle nesten i j nest

e e

a neste

λλ λ

λ λ

−

∈

∈

=

∑

∑ ∑

Neem aan:

(Generalised Extreme Value verdeling)

Dan kan worden afgeleid:

Zet gecorrelleerde alternatieven bijelkaar in een “nest”


Nested logit - Berekeningsmethode (2)

alle verplaatsingen

/auto priveV λ /ov A ovV λ /ov B ovV λ

OV OVLSλ ∗prive priveLSλ ∗

/ /ln( )A OV B OVV V

OVLS e eλ λ= +

/ln( )auto priveV

priveLS e

λ=

Complexe formule op vorige slide is equivalent aan sequentie van ‘gewone’ logits !

LS = ‘logsom’


alle verplaatsingen

/ov A ovV λ /ov B ovV λ

OV OVLSλ ∗autoV

Vereenvoudiging alsnest slechts éénalternatief bevat

Nested logit – nest met 1 alternatief


Nested logit – voorbeeld berekening→ −∞→ −∞→ −∞→ −∞→ −∞→ −∞

λOV = 1geen correlatie A en Bnormale logit

λOV = 0,5enige correlatie A en B

λOV → 0perfecte correlatie A en B

ov-A en ov-Baanwezig

enkel ov-Aaanwezig


enkel ov-Aaanwezig


enkel ov-Aaanwezig

Pr(A/ov) 0,50 1,00 0,50 1,00 0,50 1,00

Pr(B/ov) 0,50 0,00 0,50 0,00 0,50 0,00

Pr(auto) 0,60 0,75 0,60 0,68 0,60 0,60

Pr(OV) 0,40 0,25 0,40 0,32 0,40 0,40

Pr(A) 0,20 0,25 0,20 0,32 0,20 0,40

Pr(B) 0,20 0,00 0,20 0,00 0,20 0,00


Samenvatting

• Keuze is een centraal thema in de verkeerskunde

• Het logitmodel is een zeer geschikt instrument voor het analyseren van keuzes

• Gebaseerd op toekenning van utiliteiten aan de diverse keuze-alternatieven

• Utiliteiten zijn een functie van de kenmerken van alternatieven(en van kenmerken van personen)

• Omdat we niet alle kenmerken weten, voegen we een stochastischecomponent toe aan de utiliteit. Dit heet een stoorterm.

• De keuzeverdeling wordt gegeven in termen van kansen, die later over een gebied of bevolkingsgroep worden geaggregeerd

• Het logitmodel kent beperkingen. Correlaties in stoortermen kunnen worden verwerkt door toepassing van een nested logitmodel.

discrete keuze theorie - departement werktuigkunde...geaggregeerde en gedisaggregeerde modellen stel...

Documents