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Ejercicios procedentes de Ia E.T.U. Ingeniería CIVIL de Madrid

SUPERFICIES en todos los Sistemas:

1. Pirámide. Diédrioo. (Práctica 95—96). Papel apaisado. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm.

El punto G (—10; 5; 0) es el centro de un hexágono regular ABCDEF de 4 cm de lado, con el lado AB paralelo a la línea de tierra y lomás próximo posible a ella. Aa la izquierda de B.El punto V (—6; 0; 6) es el vértice de la pirámide V.ABCDEF.

El plano P pasa por el punto (—2; 0; 0) formando su traza vertical con la línea de tierra un ángulo de 30" y siendo su traza horizontalparalela al lado CD. se pide:

1" Determinar la sección de la pirámide por el plano P y la verdadera nagnitud de la sección, aplicando homología, determinandopreviamente el centro, el eje y la recta límite para obtener la sección y su verdadera magnitud.

2" Desarrollo de la pirámide y transformadas de la base y de la sección plana.

2. Pirámide. Diédrico. (Práctica 94»95).Papel veríical . Origen centrado. Coordenadas en mm.En el plano a (21; 57; 11) está el punto 0 (»19; 49; 2), que es centro de un hexágono regular de 30 mm de lado, con un vértice en la

traza horizontal de a y con el vértice opuesto en una perpendicular a dicha traza en la parte vista del plano. Esta hexágono es [abase de una pirámide regular, cuyo vértice V coincide en proyección horizontal con el abatimiento de O alrededor de la traza

horizontal y a su derecha.Suponiendo que se prolongan las caras laterales de la pirámide hasta el plano horizontal, se pide:

1" Hallar las proyecciones de la pirámide apoyada sobre a.2m Dibujar la traza horizontal de la superficie piramidal.

3n Desarrollo de las caras laterales de la pirámide definida al cor1ar la superficie piramidal por el plano horizontal.4n Transformada de la base hexagonal de la pirámide pri

3. Pirámide. Diédrico.

EI hexágono regular VABCDA es parte del desarrollo de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular de vértice V y dearista lateral VC= 12 cm.

Se pide:

'lº Lado de la base de la pirámide.2º Altura de la pirámide.

3“ Desarrollo completo de la misma.4" Representación diédrica colocándola de manera que la proyección horizontal de VC forme 600 con la línea de tierra.

5“ Angulo formado por los planos ABD y CBD.Tiempo: 1 hora.

4. Prisma. Diédrico. (Práctica 94-95). Papel ver1ical. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm.Los rectángulos ABCD y MNPQ, determinan sendas bocas de una conducción de aire acondicionado, que deben unirse por medio

de una chapa en forma de prisma oblicuo. Se pide:'lº Representación de las proyecciones de dicha pieza.

2“ Desarrollo del prisma.M (-2,5; 9; 85), N (-2,5; 4,5; 8,5), P (35; 4,5; 85), Q (35; 9; 8,5), A (2; 7,5; 25), B (2; 3; 25), C (8; 3; 2,5), D (8; 7,5: 2,5).

5. Prisma. Diédrico. Papel ver1ical. Origen centrado.

Los puntos A (O; 2; O) , B (6; 4; O), C (5; 9; O), D (O; 11; O) y E (-5; 7; O) definen la base de un bloque de mármol de forma prismáticay altura 10.

Las aristas de dicho bloque son frontales y forman 850 con el suelo, ascendiendo hacia la izquierda.De dicho bloque se quiere obtener mediante codes planos verticales, un prisma recto cuadrangular para fabricar baldosas

cuadradas lo más grandes posibles y de 3 cm de grosor. Se pide:'lº Medidas de Ia baldosa máxima.

2“ Superficie que se podrá cubrir teniendo en cuenta que en cada cone se pierde 1 cm.3“ Peso de una baldosa en kilogramos sabiendo que un metro cúbico de mármol pesa 3200 kilopondios.

6. Prisma. Acotados. Papel vertical. Origen, esquina inferior izquierda del papel. Coordenadas en cm.

El cuadrilátero A (6; 7; 0), B (12; 4; O), C (16; 10; O) y D (10; 12; O) es la base de un prisma oblicuo, de altura 6 cm. Sabiendo que lacara que pasa por AB tiene de pendiente 1/2 y la que pasa por BC, 2/ 3, dibujar la proyección del prisma.

Hallar la longitud de las aristas, asícomo la sección recta por un plano que contiene al punto L, de cota 2, y que está situado en laarista que pasa por el punto D.

Determinar la verdadera magnitud de dicha sección recta.

Desde el 7 al final en

7. Cono. Diédrico. (Práctica 95-96). Papel vertical. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm.El eje de un cono de revolución está definido por el vértice V (1; 2,5; 3) y el punto 0 (-3; 6; 0), siendo su semiángulo igual a 15“.

Hallar las trazas de dicho cono con los planos de proyección.

. . ¡ _ Temimas? M º "Dibujº Tecmco :!:;3TÍZÍ… …Í 8. Cono. Diédrico.

Un cono de revolución tiene por base el círculo de centro (—1; 4; 0) y radio 3 cm y por vértice el punto V (—1 ; 4; 6).

lº Hallar la sección por el plano de canto que pasa por el punto (—5; 0; 0) y forma 450 con el plano horizontal.

20 Obtener el desarrollo y transformadas de la base y de la sección, abriendo la superficie por el punto A( -4; 4; 0).

Nota: Determinar los puntos de inflexión con sus tangentes, de las transformadas, si los hay.

9. Cono. Diédrico.

El punto V (3; 2; 5) es el vértice de un cono de directriz una circunferencia contenida en el plano horizontal de radio 2,5 y centro 0 (0;

6; 0). Determinar la traza del cono comprendida entre el vértice y el plano horizontal. Trazar los planos tangentes desde el punto P

(5,5; 4; 2).

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10. Cono. Diédrico.El punto (-2; 2,5; 0) es el centro de un círculo de 2,5 cm de radio situado en el plano horizontal, y el punto V (0; 2, 2) es el vértice de

un cono de directriz el círculo y generatrices ilimitadas.

Obtener la sección completa del cono por el plano bisector del segundo diedro, aplicando homología y determinando previamente el

centro, eje y la recta límite.

11. Cono. Diédrico.El segmento VC: V (-5; 8; 8) , C (-1; 5; 6) es el eje de un cono recto de revolución de base el círculo de centro C y diámetro 5 cm.

Adosado a la base y coincidiendo con ella está la base superior de un cilindro recto de 3 cm de altura. La base inferior del cilindro es [a

base de un cono idéntico al primero y de vértice a la menor altura.

lº Representar el conjunto formado por los tres cuerpos.

20 Desarrollo.

30 Área y volumen del cuerpo, expresando las fórmulas utilizadas para el cálculo exacto.

12. Cono. Diédrico.

El punto (2; 6; 0) es el centro de una circunferencia de radio 5 cm situada en el plano horizontal, que es base de un cono de revolución

de 9 cm de altura.

Los puntos L (-6; O; O), M (-4; 12; 0) y N (2; 0; 7) definen un plano. Se pide:

a) Hallar la sección del plano LMN con el cono. Se determinarán los ejes (AB eje mayor y CD eje menor) de Ia cónica sección, sólo en

proyección horizontal.

b) Determinar los puntos de inflexión (I, J) de la transformada de la sección, asi como las generatrices que los contienen.

c) Determinar en proyección horizontal Ias tangentes a la sección en los puntos de inflexión, asi como en los extremos A, B , C y D de

los ejes de Ia cónica sección.d) Hallar los ángulos (valor numérico) que forman las generatrices que pasan por los puntos 1, J, A, B, C y D con las tangentes en

dichos puntos a Ia cónica sección.Tiempo: 1 hora.

13. Cono. Diédrico.Un tronco de cono recto está apoyado en el plano horizontal sobre una de sus generatrices AB, A (-2; 3; 0), B ( 2; 7; O).

Sabiendo que sus diámetros son 9 y 5 cm, se pide:

Proyecciones diédricas de dicho cuerpo colocándolo de manera que el centro de su base menor tenga mayor alejamiento que el de su

base mayor.

Tiempo: 1 hora.

Nota: No se admiten aclaraciones al enunciado.

14. Cono. Acotados.

Se da el cono de directriz circular en el plano de proyección, con centro 0 (70; 90; O) y radio 47. El vértice es V (162; 131; 50). Se

pide:

lº Sección por el plano de traza x= 150, que forma 450 con el plano de proyección y corta al cono por encima de dicho plano.

20 Verdadera magnitud de la sección.

30 Puntos de inflexión y transformadas, con tangentes en los puntos de inflexión.

Nota: se resolverá aplicando homologia.

15. Cono. Central.

La recta r, Tr (148; 167), L'r (90; 98) es el eje de un cono de revolución cuyo vértice Tr. El punto A'(144; y) es un punto de la

circunferencia de la base del cono, siendo a una recta que lo contiene:

Ta ( 165; 105), L'a ( 111; 167). Se pide:lº Dibujar la proyección central del cono.

2º Altura del cono y ángulo cónico.

16. Cono. Perspectiva Cónica.

Datos de la perspectiva: Línea de tierra y= 6. Línea de horizonte y= 13. Punto principal (15, 13). La distancia del punto de vista al

plano del cuadro es 4.

pasa por el punto (22; 6). Se pide: Un plano

una circunferencia de radio 4 y centro C, tangente a las trazas con el plano del cuadro y con el plano geometral, y situada detrás del

plano del cuadro. (Se valorará la determinación de los ejes de Ia elipse).lº Dibujar en el plano

20 Perspectiva del cono de revolución que tiene por base la circunferencia anterior y tiene su vértice V en el plano del cuadro.

30 Hallar la verdadera magnitud de la altura del cono VC.

40 Hallar la traza Tg de la recta VC con el plano geometral y la verdadera magnitud Vi'g.

Tiempo: 1 hora.

17. Cono. Perspectiva Caballera.

Se da el plano ABC (51; 67; 83), en el que la circunferencia inscrita a su triángulo de trazas es base de un cono de revolución de 120 de

altura. Se pide:

Representar la perspectiva directa de dicho cono.

: 2/ 3.18. Cono. Perspectiva Caballera.

Un plano P corta a los ejes en los puntos L, M y N y forma un ángulo de 65() con el piano XOY.

L (6; 0; 0), N (0; 0; 9) y M sobre la región positiva del eje DY.

Sobre este plano P se sitúa una circunferencia que se apoya en los planos ZOX, XOY y YOZ. Esta circunferencia es la base de un cono

recto de revolución de 10 cm. de altura.

Se pide dibujar el cono.

Tiempo: 60 minutos.

19. Intersección de dos conos. Diédrico.Hallar la intersección de los conos siguientes:

El primero, de vértice W (—6,5; 12; 1,5) y base de centro ( 2,5; 0; 3,5) y radio 3.

El segundo, de revolución, de vértice V (0; 4,5; 7) y radio de la base 3,5 estando situada esta en el horizontal.

20. Intersección de dos conos. Acotados.

Se dan ias siguientes superficies radiadas:

Un cono de vértice )! ( 20; 4,5; 4) y directriz circular de radio 4 y centro 0 (8,5; 11,5; 0).

Otro cono de vértice W (12; 4,5; 8) y directriz circular de radio 2,5 y centro C (17,5; 9,5; 0).

Hallar la intersección de ambas superficies.

Dibujar el cono de vértice V, suprimiendo la parte común con el otro cono.

21. Cilindro. Acotados.

Se da un cilindro oblicuo de base circular apoyado en el plano de referencia. su centro es 0 (6,1; 10,3) y el radio 3,7. La línea que une

los centros de las secciones paralelas a la base está en la dirección de la mayor dimensión del papel y tiene por módulo 2. dicho

cilindro se corta por un plano de talud 1, cuya traza es la recta M (4,2; 1,5), N (20,8; 18,1) ascendiendo hacia la izquierda. Se pide:

lº Sección por el plano y su verdadera magnitud.

20 Sección recta por un plano cuya traza pasa por la proyección del punto de la linea de centros de cota 7. Verdadera magnitud de la

sección recta.30 Desarrollo y transformadas de la base y las dos secciones, indicando puntos de inflexión, tangentes en los mismos y tangentes

normales a las generatrices.

22. Cilindro. Axonométrica Isométrica.

En el plano ABC (2; -3; 4) se da un círculo tangente a las trazas en la zona vista del triedro de referencia. Se pide: Dibujar el cilindro

limitado por dicho círculo y su proyección sobre el plano XOY.

: 1350. Angulo de Ia proyectante 600.23. Cilindro. Caballera.

La recta e es el eje de un cilindro de revolución de diámetro igual a 30 mm, y está definido por los puntos A y B, A (O; 39; 102), B

(117; 143; O). Se pide:

lº Dibujar la perspectiva directa del cilindro con sus trazas en las tres caras del triedro de referencia.

20 Sección recta por el punt01, situado en el eje a la cota 50.

24. Cilindro. Caballera.

perpendicular a XOZ, que forma 450 con el XOY. Se pide:El punto C (4; 5; O) es centro de una circunferencia de radio 3 situada en el

plano XOY. Dicha circunferencia es la directriz de un cilindro de revolución. Por el punto A (4; 5; 5) se traza un plano

y el XOY.1º Representar la perspectiva directa del cilindro truncado comprendido entre el plano

20 Dibujar Ias generatrices del cilindro truncado más alejadas y más cercanas a los planos XOZ e YOZ, indicando las verdaderas

magnitudes de dichas generatrices.

con el cilindro y de 8,5 cm de altura.3º Dibujar el cono recto de base la sección del plano

Tiempo: 1 hora.

25. Intersección de dos pirámides. Diédrico.Se dan dos pirámides, una de vértice V (6; 10,5; 2) y base A (-1,5; 0; 1), B (-6; O; 3), C (-8; O; 8), D (-3; 0; 7,5), E (0; 0; 3,5) y otra

de vértice W (-2; 4; 8,5) y base L (4,5; 5; O), M (2; 2; O), N (-4; 1; O), P (-6; 4; O), S (O; 8; O). Se pide:

lº Intersección de las dos pirámides.20 En hoja aparte, dibujar las proyecciones del sólido común.

Tiempo: 1 hora.

26. Intersección de dos pirámides. Acotados.EI cuadrilátero ABCD, sobre el plano de comparación, es la base de una pirámide de vértice T (10).

El triángulo LMN, también sobre el plano de comparación, es la base de otra pirámide de vértice el punto V (10). Se pide:lº Representar ambas pirámides con su intersección.

2º Representar aparte el sólido común con todos sus vértices acotados.

A (8; 2), B (3; 10), c (6; 16), D (13; 8), L (16; 11), M (23; 5), N (21; 18), v (7; 10), T (22; 15).

27. Intersección de prisma y cubo. Axonométrica Dimétrica (2; 1; 2).

Un cubo de 6 cm de arista, cuyas aristas coinciden con los ejes del sistema y situado en el primer diedro, tiene el vértice anterior

derecho de la cara superior truncado según un plano que pasa por los puntos medios de las aristas que pasan por dicho vértice.

La sección producida por dicho plano es la sección recta de un prisma oblicuo limitado por el plano XOY y con su arista igual a 12 cm.

Se pide:

lº Dibujar la perspectiva axonométrica del cubo y el prisma.

2º Intersección de ambos cuerpos.

3º Sólido común.

28. Intersección de dos prismas. Axonométrica.

Se define la perspectiva axonométrica sabiendo que el eje OX forma un ángulo de 450 con el plano del cuadro y el eje OZ forma un

ángulo de 300 con el plano del cuadro.

Los puntos A (1; 3; 0), B (2; 6; 0), C (6; 7; 0), D (8; 2; 0) y E (4; 1; 0) son la base de un prisma cuya arista lateral que parte de A pasa

por el punto A' (4; 0; 10).

Los puntos M (8; 0; 0), N (9; 6; 0), 0 (15; 5; 0) y P (13; 2; 0) son la base de otro prisma cuya arista lateral que parte de M pasa por el

punto M'(0; 0; 10). Se pide:lº Dibujar los ejes de la perspectiva axonométrica.

2º Dibujar la intersección de los dos prismas, dejando constancia de las partes vistas y ocultas.

3º Dibujar el sólido común.Tiempo: 1 hora.

29. Intersección de dos cilindros. Diédrico.Los círculos C—1 y C—2 están sobre el plano horizontal y tienen respectivos centros (-5; 4; 0) y (4; 5; 0) y radios r= 3 y r=4

respectivamente.

Ambos círculos son las bases de dos cilindros de generatrices paralelas al plano vertical de proyección. Las generatrices de C—1 forman

600 con el horizontal y las generatrices de C—2 forman 450 con el mismo plano.

Hallar su intersección.

30. Intersección de prisma y cilindro. Diédrico.

Se pide la intersección del cilindro de revolución, con la base apoyada en el horizontal, de centro 0 (-34; 46; 0) y radio 34, con una

altura de 82, y el prisma con base ABCD apoyada en el plano vertical, siendo la dirección de sus aristas la recta AM.

A (23; 0; 13), B (23; 0; 49), C (66; O; 68), D (96; O; 31), M (-68; 65; 0).Dibujar el sólido común.

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31. Intersección de cono y cilindro. Diédrico.

Sobre el plano horizontal se dan dos circunferencias:

Circunferencia C-1 de centro A (-5; 6; 0) y radio R= 5.

Circunferencia C-2 de centro B (4; 6; 0) y radio R= 3.

C-1 es la base de un cono de vértice V (-1; 6; 12) y C-2 es la base de un cilindro de eje BE; E(0;5;5).

Se pide la intersección de ambos cuerpos dejando constancia de las partes vistas y ocultas.

32.Intersección de cilindros. Axonométrica Isométrica

El eje de una tubería cilíndrica es una recta vertical que pasa por A (0; 5; 0).

El eje de otra tuberia es la recta BC: B (8; 10; 0) y C (8; 0; 10).

Una tercera tubería, cuyo eje corta a los de las anteriores, es perpendicular a ambas.

Sabiendo que las tres tuberias tienen el mismo diámetro de 5m, se pide:

lº Perspectiva directa del encuentro de las tres tuberias.

2º Traza 1a (sobre XOY) de las dos primeras.

Nota: se dejará constancia de las partes ocultas.

33. Intersección de cilindro y cono. Caballera.

Hallar la intersección del cilindro de revolución con base en XOY, radio 4 y centro de la base C (9; 8; 0) y el cono de revolución con

base en XOZ, de radio de la base 4, centro de la misma, P (9; 0; 7) y vértice V (9; 20; 7). (Hallar los puntos de tangencia de las curvas

de intersección con las generatrices del contorno aparente. Determinar la elipse de la base del cilindro con ejes y focos para el correcto

trazado de sus generatrices del contorno aparente).

34. Intersección de dos cilindros. Caballera.

Dos cilindros de centros M (8; 0; 6) y N (2,5; 0; 2,5) de radios 3 y 2,5 respectivamente son las bases de dos cilindros. El de base con

centro en M corta al plano XOY según otro círculo y el de base con centro en N tiene su eje paralelo a Ia bisectriz del ángulo formado

por los ejes OX y OY.

Se pide hallar la intersección de los dos cilindros.

35. Intersección de dos cilindros. Caballera.

Se dan dos cilindros rectos de diámetro igual a 5 cm, cuyos ejes se cortan en el punto P (5; 5; 8) de modo que el eje de uno de ellos es

vertical y el otro, horizontal y paralelo al eje OX. EI cilindro vertical tiene su base en XOY y su altura es de 16 cm. El horizontal tiene

una altura de 14 cm, equidistando sus bases del punto P. Se pide:

lº Representar la perspectiva directa de ambos cilindros.

20 Intersección de ambos cilindros.

30 Sólido común y verdadera magnitud de la intersección.

40 Desarrollo del cilindro vertical y transformada de la intersección.

Tiempo: 1 hora y cuarto.

36. Esfera. Diédrico.Se da la esfera de centro 0 (0; 5; 5) y radio 3. Se pide:

(5; 7; 6), indicando partes vistas y ocultas y tangencias con el contorno aparente.lº Sección por el plano

, tangentes a la esfera, indicando puntos de tangencia.2º Trazar los planos paralelos al

37. Esfera. Diédrico.El punto 0 (-40; 40; 40) es el centro de una esfera de radio 25. Se pide:

Trazar el cilindro tangente a la esfera cuyas generatrices son paralelas a la dirección A0. A (0;52;0).Dibújese la circunferencia de

tangencia con la esfera e intersección del cilindro con el plano horizontal.

38. Esfera. Diédrico.Se dan la esfera de centro 0 (0; 41; 49) y radio 32, y la recta AB, A (49; 41; 49), B (71; 26; 0). Se pide:

Dibujar los planos tangentes a la esfera que pasan por la recta AB; indicando sus trazas y los puntos de tangencia, así como las

proyecciones del círculo máximo que los contiene.

39. Esfera. Diédrico.forma con el plano horizontal un ángulo de 300 y sus trazas forman entre sí en el espacio un ángulo de 900, pasa por el punto A (-3; 6;

3) y corta a la línea de tierra a la izquierda de esta, ascendiendo hacia la derecha.Un piano

. Se pide:Ei punto A es el centro de un círculo de 2 cm de radio situado en el piano

, horizontal de altura 7 cm. (La esfera estará totalmente situada en el primer diedro).lº Representar la esfera que pasa por el círculo y

es tangente al plano

20 Sombra propia y arrojada sobre los planos de proyección con luz paralela, tal que el punto A arroja su sombra sobre el punto B (2;

0; 0).

40. stera. Diédrico.Se da la esfera de centro 0 (0; 49; 49) y radio 39. Hallar las proyecciones del cubo circunscrito a ella, de modo que una de sus caras

sea paralela a un plano que forma 640 con el horizontal y es perpendicular al primer bisector, cortando a la línea de tierra a la izquierda

de 0: El cubo tiene un vértice en el plano horizontal con el mayor alejamiento posible y a la derecha de 0. Dibujar también el octaedro

inscrito a la esfera, conjugado del cubo.

41. Esfera. Diédrico.Dos esferas de radio 2 cm tienen sus centros en A (-4,5; 3; 2) y B (-4,5; 9; 2).

Una tercera esfera de radio desconocido rueda por el plano horizontal manteniéndose tangente ai vertical y colocándose tangente a las

dos primeras esferas de centros A y B. Se pide:

lº Dibujar con partes vistas y ocultas la situación final de las tres esferas.

20 Determinar los puntos de tangencia.

42. Esfera. Diédrico.).La zona rayada del croquis representa el alzado de una cabina de plástico para un teléfono público, formada por una superficie

esférica, de centro 0 (-1; 5; 6) tangente a una pared representada por el plano

Dibujar las proyecciones de la cabina. (El espesor de la superficie se considera inapreciable).

43. Esfera. Diédrico.

En una semiesfera hueca de espesor apreciable, tangente al plano horizontal, y de radio 6 cm se introducen dos esferas macizas de

radios 1,5 y 2 cm respectivamente.

Suponiendo las tres esferas totalmente transparentes y colocadas de manera que la proyección horizontal de la línea de sus centros

forma 300 con la línea de tierra, se pide:

lº Representación diédrica de las tres esferas.20 Determinación de los puntos de tangencia.

44. Esfera. Acotados.

El punto 0 (12; 7; 4) es el centro de una esfera de radio 3 cm. Hallar la sombra propia y arrojada con luz focal, F (5; 7; 11). Se hallarán

los ejes de las elipses correspondientes a la sombra arrojada y a la circunferencia que separa la luz de la sombra propia. Asimismo se

indicarán en la esfera los puntos que en el contorno aparente separan las partes vistas y ocultas de la sombra propia.

45. Esfera. Central.

. En él hay una circunferencia de diámetro igual a 70 cm, cuyo abatimiento figura en el dibujo.En el sistema definido en el dibujo

adjunto se da el plano

Dicha circunferencia es la base de un cilindro recto de 70 cm de altura coronado por una cúpula semiesférica tangente al cilindro.

Dibujar la proyección central del sólido formado por el cilindro y la semiesfera.

46. Esfera. Central.

Una esfera de 4 cm de radio y centro en el plano del cuadro en el punto de coordenadas (10; 20) con respecto a la esquina inferior

izquierda del papel, se ve en proyección central como un círculo de 5 cm de radio.

Averiguar la distancia principal VP y obtener la proyección central de dicha esfera si su centro se desplaza a un pu o del círculo de

distancia a lo largo de una recta paralela a los lados mayores del papel.

Tiempo: 30 minutos.

47. Esfera. Acotados.

Un depósito se ja proyectado incrustando una esfera de radio 6 m. en una ladera plana como indica el croquis.

Sabiendo que el punto más alto de dicho depósito tiene de cota 20 m. Se pide:

lº Representar a escala 1:100 el conjunto del terreno y depósito dibujando solamente las líneas de nivel desde la 6 a la 20 con

equidistancia de 1 metro.

20 Sombras con luz a 450 de izquierda a derecha. Proyección de L paralela a las líneas de nivel del terreno.

Tiempo: 1 hora.

48. Esfera. Perspectiva Cónica.

EI croquis adjunto es el abatimiento del plano perpendicular al geometral que contiene al punto de vista V, y el centro de una esfera O,

de 4 m de radio. el plano del cuadro forma 600 con el geometral y la recta VP pasa por O. Se pide:

lº Representar la esfera en perspectiva cónica (incluyendo su proyección sobre el plano geometral).

2º Hallar el punto de fuga de las proyectantes de la esfera sobre el plano geometral. Escala 1:100.

Tiempo: 45 minutos.

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49. Esfera. Axonométrica. Isométrica.

En la lámina adjunta se han representado los puntos A, B y C.

El punto B está contenido en el plano YOZ y el C en el XOY.

El punto A tiene 7,5 cm de cota. Se pide:

Determinar la esfera que pasando por A, B y C tiene su centro sobre XOY.

50. Esfera. Axonométrica.

El punto Cl (4;2;0) es la proyección del centro C de una esfera de radio 4 cm, sobre el piano XOY.

Sabiendo que el punto C dista 9 cm del plano del Ecuador que pasa por 0 (plano de referencia), dibujar la perspectiva directa de la

esfera.

Hallar la intersección con la esfera y las verdaderas magnitudes de:

a) Recta que pasa por C1 y es perpendicular al piano XOY. (La verdadera magnitud será la distancia entre los puntos de intersección.

b) Plano paralelo al plano del cuadro y dista 6,5 cm de 0.

c) Plano perpendicular al eje 2 y que pasa por (0;0;10).

51. Esfera. Axonométrica.

Es sabido que el planeta Saturno tiene en su “piano Ecuador“ un anillo formado por polvo cósmico.

Suponiendo que dicho planeta tiene su eje Norte-Sur deñnido por A (2;0;5) y C (2;2;1); C es centro del planeta (esfera) de radio igual

a 2 cm, se pide:

Perspectiva isométrica direc13 de dicho “planeta“ rodeado de un anillo plano (que supondremos de espesor no apreciable) de diámetros

6 y 12 cm, omitiendo partes ocultas.

Tiempo: 1 hora.

52. Esfera. Axonométrica45º sean los ángulos que forma 02 y 0Y con el plano del cuadro.$e define un sistema Axonométrico de manera que:

Un plano P está definido por los puntos A (4;0;0), B (0;-8;0) y C (0;0;9).

Una esfera de 7 cm de diámetro, rueda por el plano XOY hasta quedar tangente al plano de proyección ZOX y al P. Se pide:

Proyección directa de la esfera, determinando los tres puntos de tangencia.

Tiempo: 1 hora.

53. Esfera. Caballera.

cm2.Representar una esfera de centro el punto C (5;6;6) sabiendo que su superficie mide 36

Dibujar las secciones con la esfera de los planos paralelos al plano del cuadro y que pasan por el centro y por delante de este a las

distancias de él de 1;2;2;5;2,75 cm respectivamente.

Hallar las trazas del plano tangente a la esfera en el punto de mayor cota, determinando el punto M de tangencia.

54. Intersección de esfera y cono. Diédrico.

Se pide la intersección de la esfera de centro O(0;62;42) y radio 34, con el cono de revolución con base en el horizontal de centro C

(24;48;0), radio 34 y altura 80.

Dibujar el sólido común.

55. Intersección de esfera y cono. Diédrico.

que forma 22,50 con el plano de proyección, ascendiendo también de derecha a izquierda. Se pide:El punto 0 (12;15;4) es el centro de

una esfera de 4 cm de radio. Dicha esfera se corta con el plano

dibujando las proyecciones de estas y la traza del cono.Hallar la proyección del cono secante a la esfera que corta esta según las

secciones producidas por

56. Intersección de esfera y pirámide. Diédrico

El triángulo A (-21;1080) B (64;37;0) C (-53;17;0) es la base de una pirámide de vértice V, cuyas caras concurrente en él forman un

triedro trirectángulo. (V por encima del horizontal). Se pide:

lº Hallar la intersección de dicha pirámide con una esfera de centro V y radio 40 mm, determinando en la proyección horizontal los

ejes de las elipses producidas en cada cara.

20 Destacar las proyecciones de la pirámide suprimiendo el sólido común con la esfera y la propia esfera.

30 Desarrollo de las caras de la pirámide sin el sólido común.

Tiempo: 1 hora.

57. Helizoide desarrollable. Diédrico.

Dibujar el helizoide desarrollable con el núcleo apoyado en el horizontal, de 2 cm de diámetro y paso 6 cm, entre el plano horizontal y

el plano de cota 6.

58. Superficie de igual pendiente. Diédrico-Acotados.

Por medio de una rampa de planta circular y pendiente 1/3,1416 se accede desde AB hacia la recta horizontal CD. Talud de terraplenes

3/4. Escala 1:100. Se pide:

lº Definir las proyecciones diédricas de la rampa y sus terraplenes hasta el plano horizontal.

2º Dibujar en planta las líneas de nivel con equidistancia de 1,20 m.

59. Toro. Diédrico.Dada la superficie tórica de centro 0 (0:7:3), diámetro 10 y diámetro del círculo generador 3,5 , se pide:(-6;&;3;5).1º Intersección con el plano

(-6;&;z), tangente a la superficie interna del hemitoro superior.Zº Intersección con el plano tangente

En los tres casos se hallará la verdadera magnitud de la intersección y se indicará el nombre de la curva obtenida.

60. Toro. Diédrico.Se dan los círculos de la figura adjunta, que se sabe son la sección por el plano bitangente de un toro de revolución. Se pide:

lº Dibujar en el sistema Diédrico la planta y el alzado del toro, suponiéndole apoyado en el plano horizontal.

2º Dibujar el plano bitangente (según plano de canto ascendiendo de izquierda a derecha) y la sección producida.

Tiempo: 30 minutos.

61. Toro. DiédricoUna superficie tórica tiene 15 y 3 m de diámetros mayor y menor respectivamente.

Cortando dicha superficie por dos planos que pasen por su centro y por otros dos perpendiculares a su eje de revolución, se obtiene

una bóveda que supondremos de espesor no apreciable.

Se pide:

A escala 1:100 y con los datos del croquis, hallar planta y alzado de la bóveda colocándola de manera que su piano de simetría forme

450 con el vertical de proyección.

62. Paraboioide. Diédrico.Las rectas AB y CD definen un paraboloide. A (—5;4;0), B (—2;0;5), C (6;6;0), D (3; 10;7). Se pide:

lº Contorno aparente.

20 Centro y eje.

30 Planos principales.

40 Verdadera magnitud de la parábola principal.

63. Paraboloide. Diédrico.

La recta AC A (0;12;0) C (0;0;0) es la diagonal de un cuadrado situado en el horizontal. Dicho cuadrado es la proyección horizontal de

una cubierta cuyas cumbreras son las paralelas medias a los lados del cuadrado y tienen cota 6. Los cuatro cuadrados resultantes en

planta definen sendos paraboloides hiperbólicos. Se pide:

lº Dibujar la planta y el alzado de la cubierta con generatrices y directrices cada décima parte del lado de cada uno de los cuatro

cuadrados. (Sólo partes vistas).

20 Verdadera magnitud de las secciones por las dos diagonales del cuadrado original.

30 Sección por el plano horizontal de cota 4.

64. Paraboloide. Acotados

Se dan los puntos A (-16;16;32), B (16;-16;32) y D (-16;-16;0).

Un terreno está engendrado por rectas que, apoyándose en las AD y BC, se mantienen paralelas a plano proyectantes de trazas AB 0

CD. Se pide:

lº Lineas de nivel del terreno con equidistancia 2 m.

20 Perfil longitudinal por AC.

30 Perfil longitudinal por BD.

4º Intersección del terreno con un plano horizontal a la cota 16.

Sº A la cota 24 se proyecta una plataforma horizontal de forma circular con centro en origen de coordenadas, radio 8 m y taludes de

0,5. Dibujar la intersección del terraplén con el terreno.

Tiempo: 1 hora.

65. Paraboloide. Acotados.

Se dan en planta los ejes de las calles A y B. En cada uno de ellos se indican los puntos de cota 10.

La calle A, de 6 m de anchura, asciende en el sentido de la flecha, con una pendiente del 10%, y la B, del mismo ancho, asciende en el

sentido de la flecha, con un módulo de 15 dm.

Se quieren unir ambas calles por una tercera, C, del mismo ancho, que tenga la longitud mínima entre las calles A y B. Se pide:

Dibujar el conjunto con curvas de nivel cada dm, indicando el tipo de superficie obtenida en el tramo C y el tipo de curvas a que

corresponden sus curvas de nivel.

Tiempo: 1 hora.

66. Paraboloide. Acotados.

Los velódromos tienen tramos rectos horizontales y tramos "en curva" que se proyectan como troncos de cono recto.

Para pasar del tramo recto al tramo "en curva" se necesita una superficie de acuerdo (paraboloide) marcada ABCD en el plano adjunto.

AI aproximarse a la curva, los ciclistas suben a las cotas altas y se lanzan aprovechando la máxima diferencia de nivel.

Se pide:

lº Curvas de nivel de la pista cada medio metro.

20 Perfil longitudinal del recorrido que realizó1NDURAlN en Anoeta: MNPQ. Tiempo: 1 hora.

67. Paraboloide. Acotados.

La planta adjunta representa el cruce de dos calles A y B, indicándose la cota de las cuatro esquinas. Tomando como directrices las

aristas LP y MN, y NP y LM, y planos directores los paralelos a los lados del papel, se pide:

lº Representar mediante líneas de nivel a las cotas 100; 100,03; 100,06; …100,30; 100,33y 100,36, el estado en que quedaría dicho

cruce, indicando la clase de cónica que son dichas curvas de nivel y porqué. Se prolongarán las líneas de nivel fuera del cruce.

2º Dibujar Ias parábolas principales, tomando como escala vertical 1:2 y horizontal 1:100.

68. Paraboloide. Caballera.

EI cuadrilátero alabeado ABCD define un paraboloide hiperbólico. A (5;10;0), B (10;5;8), C (5;0;0) y D (0;5;8). Se pide:

lº Hallar su perspectiva directa y su proyección sobre XOY trazando generatrices y directrices según divisiones d a lado en 10

partes.

20 Dibujar Ias parábolas principales, asi como su verdadera magnitud.

3º Suponiendo que del punto D parte un tirante (una recta) hacia el plano XOY que forma 900 con el plano minar la

dirección de ese tirante.

Lo mismo con un tirante que parta de B y sea perpendicular al plano ABC.

40 Angulo formado por los dos tirantes.

Tiempo: 1 hora.

69. Paraboloide. Caballera.

Se da un cubo de arista 8 cm apoyado en el triedro de referencia y todo él en la zona vista. Se pide: Dibujar la porción del paraboloide

interior al cubo, limitado por la cuerda de 8 cm paralela a OX, con el vértice en el plano XOY, y otra parábola directriz situada en una

cara paralela al plano YOZ, igual a la anterior, con la cuerda paralela a OY y con el vértice en la cara superior del cubo.

Dibujar Ias generatrices rectilíneas al plano director (8;8;&).

70. Hiperboloide. Diédrico.El segmento A1L1, proyección horizontal del segmento AL, es el lado de un octógono estrellado, cuyo centro tiene el mismo

alejamiento que A, siendo el radio de la circunferencia circunscrita al octógono igual a 60. El segmento AL gira alrededor de un eje

vertical que pasa por el centro de dicha circunferencia, engendrando un hiperboloide elíptica. Se pide:

lº Dibujar el hiperboloide en proyecciones horizontal y vertical, tomando como generatrices las rectas que se proyectan

horizontalmente como lados del octógono estrellado, definiendo geométricamente el círculo de garganta, los vértices de Ia hipérbola en

proyección vertical y las asintotas. Se hallarán asimismo los puntos de tangencia de las generatrices con la hipérbola y se dibujará esta.

20 Dibujar las trazas de los planos tangentes al hiperboloides en los puntos R y S de Ia generatriz frontal más alejada de la linea de

tierra, estando S en el círculo superior que limita el hiperboloide, y a la izquierda del eje.

que forman dichos planos tangentes.3º Hallar el ángulo

40 Sección del hiperboloide por el plano horizontal que pasa por R.

Datos; A (—60;66;0), L (x;y;120), R (—21;y;z).

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71. Hiperboloide. Acotados.

Dibujar las líneas de nivel de cota entera de:

, de centro 01 (5) y por su traza horizontal incidente con el punto A1 (0).a) Hiperboloide de revolución de eje vertical, limitado por su

círculo de garganta

b) Camino de traza CP y bordes MN y PQ, con taludes de terraplén de pendiente 2.

c) Hallar la intersección del hiperboloide con el camino y taludes.

d) Perfil transversal de traza N1Q1.

e) Nombre y elementos notables de cada intersección.

72. Hiperboloide. Perspectiva axonométrica Isométrica.

Dada la recta AB dibujar el hiperboloide de una hoja generado por ella al girar alrededor del eje de la z, limitado por los planos

horizontales de cotas 0 y 10. A (1;10;0), B (5;0;10).

Dibujar el circulo de garganta y las generatrices cada 1/24 de circunferencia, partiendo de AB.

Tiempo: 1 hora.

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