determination of power system voltage stability using modal analysis
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Determination of Power System Voltage Stability Using Modal Analysis
1/7
POWERENG 2 0 0 7 , A p r i l 1 2 - 1 4 , 2 0 0 7 , S e t u b a l , P o r t u g a l
D e t e r m i n a t i o n
of
Power System V o l t a g e
S t a b i l i t y Using
Modal
Analysis
C h a n d r a b h a n
S h a r m a ,
S e n i o r
M e m b e r , I E E E ,
a n d M a r c u s
G .
G a n n e s s
A b s t r a c t - - V o l t a g e i n s t a b i l i t y w i t h i n t h e p o w e r s y s t e m h a s
s e v e r e
c o n s e q u e n c e s
i n c l u d i n g
a w i d e - s p r e a d
l o w
v o l t a g e
p r o f i l e
a n d
s y s t e m
b l a c k o u t . The
d e v e l o p m e n t
a n d u s e
o f a c cu r a t e
m e t h o d s
t o
p r e d i c t i n c i p i e n t v o l t a g e i n s t a b i l i t y
i s c r u c i a l i n
p r e v e n t i n g
s u c h
v o l t a g e c o l l a p s e
s i t u a t i o n s . A
c o m p a r i s o n
o f
t h e common
s t e a d y - s t a t e
m e t h o d s
f o r
v o l t a g e
s t a b i l i t y
a n a l y s i s
was
u n d e r t a k e n ,
a l o n g
w i t h a
b r i e f e x a m i n a t i o n
i n t o
t h e
d y n a m i c
a p p r o a c h . S p e c i a l
a t t e n t i o n i s
g i v e n t o
t h e m o d a l
a n a l y s i s
t e c h n i q u e
p r e s e n t e d
i n
[ 2 ] ,
w h i c h
p r o v i d e s
b o t h a r e l a t i v e
p r o x i m i t y o f
t h e
s y s t e m t o i n s t a b i l i t y ,
a s
w e l l
i d e n t i f i e s t h e k e y
c o n t r i b u t i n g
f a c t o r s t o i n s t a b i l i t y .
A
P C - b a s e d
MATLAB
p r o t o t y p e
a p p l i c a t i o n
w a s
d e v e l o p e d
t o a s s i s t
p o w e r
s y s t e m
o p e r a t o r s
i n
t h e a s s e s s m e n t a n d
a n a l y s i s
o f t h e
v o l t a g e s t a b i l i t y
o f
a
p o w e r
n e t w o r k , a t a n y
g i v e n
o p e r a t i n g
p o i n t , u s i n g
t h e
m o d a l
a n a l y s i s t e c h n i q u e ,
i n
a d d i t i o n t o u s e f u l f e a t u r e s s u c h
a s
p o w e r
f l o w
a n a l y s i s
a n d t r a d i t i o n a l
V - P N V - Q a n a l y s i s . U s i n g m u l t i p l e
p r a c t i c a l
t e s t c a s e s
o n
t h e IEEE 3 0
b u s
s y s t e m
t h e m o d a l a n a l y s i s
t e c h n i q u e
was
s h o w n t o p r o v i d e a n
a c c u r a t e
e s t i m a t e
o f t h e
s y s t e m p r o x i m i t y
t o t h e
v o l t a g e
s t a b i l i t y
l i m i t ,
a n d t o
c o n s i s t e n t l y
a n d
c o r r e c t l y
p r e d i c t
t h e c r i t i c a l b u s e s a n d t h e w e a k e s t b r a n ch e s
i n t h e t r a n s m i s s i o n
s y s t e m .
T h e s e
r e s u l t s c l e a r l y d e m o n s t r a t e t h e
s u i t a b i l i t y
o f m o d a l
a n a l y s i s
t e c h n i q u e
a s
a p p l i e d
t o
v o l t a g e
s t a b i l i t y
a n a l y s i s ,
a n d t h e n e e d f o r c l o s e r
a n a l y s i s , p o s s i b l e
r e f i n e m e n t t o t h e m e t h o d a n d
i n c o r p o r a t i o n
i n t o more
c o m m e r c i a l
a n a l y s i s p a c k a g e s .
I n d e x
T e r m s - v o l t a g e s t a b i l i t y , v o l t a g e i n s t a b i l i t y , v o l t a g e
c o l l a p s e ,
s t e a d y
s t a t e
v o l t a g e s t a b i l i t y a n a l y s i s ,
m o d a l
a n a l y s i s , Q -
V c u r v e .
I .
INTRODUCTION
The i n c r e a s i n g
n u m b e r
o f
p o w e r s y s t e m
b l a c k o u t s
i n
m a n y
c o u n t r i e s
i n r e c e n t
y e a r s ,
i s
a
m a j o r
s o u r c e o f c o n c e r n . P o w e r
e n g i n e e r s
a r e
v e r y
i n t e r e s t e d i n
p r e v e n t i n g
b l a c k o u t s a n d
e n s u r i n g
t h a t
a c o ns t a n t a n d r e l i a b l e
e l e c t r i c i t y s u p p l y
i s
a v a i l a b l e t o a l l c u s t o m e r s .
I n c i p i e n t
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y ,
w h i c h
may
r e s u l t
f r o m
c o n t i n u e s l o a d
g r o w t h
o r
s y s t e m
c o n t i n g e n c i e s ,
i s
e s s e n t i a l l y
a l o c a l
p h e n o m e n o n . H o w e v e r ,
s e q u e n c e s
o f
e v e n t s
a c c o m p a n y i n g
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y
may
h a v e
d i s a s t r o u s e f f e c t s , i n c l u d i n g
a r e s u l t a n t
l o w - v o l t a g e
p r o f i l e
i n
a
s i g n i f i c a n t
a r e a o f t h e
p o w e r n e t w o r k ,
k n o w n
a s
t h e
v o l t a g e c o l l a p s e p h e n o m e n o n .
S e v e r e i n s t a n c e s o f
v o l t a g e
c o l l a p s e , i n c l u d i n g
t h e
A u g u s t
2 0 0 3 b l a c k o u t i n N o r t h
E a s t e r n
U . S . A
a n d
C a n a d a ,
h a v e
h i g h l i g h t e d
t h e
i m p o r t a n c e
o f
c o n s t a n t l y
m a i n t a i n i n g
a n
a c c e p t a b l e
l e v e l o f
v o l t a g e
s t a b i l i t y .
T h e
d e s i g n
a n d
a n a l y s i s
o f a c c u r a t e
m e t h o d s
t o
e v a l u a t e
t h e
v o l t a g e
s t a b i l i t y
o f a
p o w e r
s y s t e m
a n d
p r e d i c t
i n c i p i e n t v o l t a g e i n s t a b i l i t y ,
a r e
t h e r e f o r e o f
s p e c i a l
i n t e r e s t i n
t h e f i e l d o f
p o w e r
s y s t e m
p r o t e c t i o n
a n d
p l a n n i n g .
T h e v o l t a g e
s t a b i l i t y
o f
a
p o w e r
s y s t e m
r e f e r s t o i t s
a b i l i t y t o
p r o p e r l y m a i n t a i n
s t e a d y , a c c e p t a b l e v o l t a g e
l e v e l s
a t a l l
b u s e s
i n t h e n e t w o r k a t a l l
t i m e s ,
e v e n a f t e r
b e i n g
s u b j e c t e d t o
a d i s t u r b a n c e
o r c o n t i n g e n c y .
A
p o w e r
s y s t e m
may e n t e r a
c o n d i t i o n
o f
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y w h e n
t h e
s y s t e m i s
s u b j e c t e d t o
a
s t e a d y i n c r e a s e
i n
l o a d d e m a n d o r
a
c h a n g e
i n
o p e r a t i n g c o n d i t i o n s , o r
a d i s t u r b a n c e
( l o s s
o f g e n e r a t i o n
i n a n
a r e a ,
l o s s o f
m a j o r
t r a n s f o r m e r o r
m a j o r
t r a n s m i s s i o n
l i n e ) .
T h i s
c a u s e s a n i n c r e a s e d d e m a n d i n
r e a c t i v e
p o w e r .
V o l t a g e
i n s t a b i l i t y i s
c h a r a c t e r i z e d b y g r a d u a l l y d e c r e a s i n g v o l t a g e
l e v e l s
a t o n e o r m o r e n o d e s i n t h e p o w e r s y s t e m .
B o t h
s t a t i c
a n d
d y n a m i c
a p p r o a c h e s
a r e
u s e d
t o
a n a l y z e
t h e
p r o b l e m
o f
v o l t a g e s t a b i l i t y . D y n a m i c a n a l y s i s p r o v i d e s t h e m o s t
a c c u r a t e
i n d i c a t i o n o f t h e
t i m e
r e s p o n s e s o f t h e s y s t e m
[ 1 ] .
D y n a m i c
a n a l y s i s
i s
t h e r e f o r e e x t r e m e l y u s e f u l f o r f a s t v o l t a g e c o l l a p s e
s i t u a t i o n s ,
f o l l o w i n g l a r g e
d i s t u r b a n c e s s u c h a s l o s s
o f
g e n e r a t i o n
a n d
s y s t e m
f a u l t s , w h e n
s p e c i f i c i n f o r m a t i o n
c o n c e r n i n g
t h e
c o m p l e x
s e q u e n c e o f e v e n t s l e a d i n g t o
i n s t a b i l i t y ,
i s r e q u i r e d .
D y n a m i c
s i m u l a t i o n s
h o w e v e r ,
f a i l t o
p r o v i d e i n f o r m a t i o n
s u c h a s t h e s e n s i t i v i t y o r d e g r e e
o f
s t a b i l i t y .
More
i m p o r t a n t l y ,
d y n a m i c
s i m u l a t i o n s
a r e
e x t r e m e l y
t i m e
c o n s u m i n g
i n
t e r m s
o f C PU
a n d e n g i n e e r i n g
r e s o u r c e s r e q u i r e d
f o r
t h e c o m p u t a t i o n a n d a n a l y s i s
o f
t h e
s e v e r a l d i f f e r e n t i a l a n d
a l g e b r a i c
e q u a t i o n s
n e e d e d
f o r
q u a n t i f i c a t i o n
o f
t h e
p h e n o m e n o n .
I n m o s t
c a s e s , t h e s y s t e m d y n a m i c s
a f f e c t i n g
v o l t a g e
s t a b i l i t y
a r e
u s u a l l y q u i t e
s l o w a n d m u c h
o f
t h e
p r o b l e m
c a n
b e
e f f e c t i v e l y
a n a l y s e d u s i n g
t h e
s t a t i c
a p p r o a c h e s
t h a t
e x a m i n e
t h e
v i a b i l i t y o f
a
s p e c i f i c
o p e r a t i n g
p o i n t o f
t h e p o w e r
s y s t e m .
S t a t i c
a n a l y s i s
m e t h o d s ,
i n a d d i t i o n t o
p r o v i d i n g
i n f o r m a t i o n
s u c h a s
s e n s i t i v i t y o r
d e g r e e
o f
s t a b i l i t y , i n v o l v e
t h e
c o m p u t a t i o n
o f
o n l y a l g e b r a i c e q u a t i o n s
a n d
a r e much
m o r e e f f i c i e n t a n d f a s t e r t h a n
d y n a m i c a p p r o a c h e s .
T h e s t a t i c
a n a l y s i s a p p r o a c h
i s
m o r e
a t t r a c t i v e
t h a n
t h e
d y n a m i c
m e t h o d ,
a n d w e l l s u i t e d t o
v o l t a g e s t a b i l i t y a n a l y s i s o f
p o w e r
s y s t e m s
o v e r
a
w i d e
r a n g e o f s y s t e m
c o n d i t i o n s
[ 1 ] , [ 2 ] .
Many
s t a t i c
a p p r o a c h e s
f o r
v o l t a g e
s t a b i l i t y a n a l y s i s
a r e
p r e s e n t e d
i n
t h e
l i t e r a t u r e ,
m o s t
u t i l i z i n g a
v a r i a t i o n
o f
t h e
s a m e
common
p r i n c i p l e .
Some
p o p u l a r
s t a t i c m e t h o d s a r e
s u m m a r i z e d
a n d c o n t r a s t e d i n
t h i s
d o c u m e n t . T h e m o d a l
a n a l y s i s
o f t h e l o a d f l o w
J a c o b i a n
p r e s e n t e d b y G a o ,
M o r i s s o n
a n d K u n d u r i n
1 9 9 2 , i s
o f
p a r t i c u l a r
i n t e r e s t . T h i s
m e t h o d ,
i n
a d d i t i o n t o
p r o v i d i n g
a n
a c c u r a t e
e s t i m a t e o f t h e
s y s t e m
p r o x i m i t y
t o i n s t a b i l i t y
u s i n g
t h e
s y s t e m e i g e n v a l u e s ,
i d e n t i f i e s
t h e
e l e m e n t s o f
t h e
p o w e r s y s t e m c o n t r i b u t i n g
t h e
m o s t
t o w a r d s
i n c i p i e n t v o l t a g e i n s t a b i l i t y
( c r i t i c a l
l o a d
b u s e s ,
b r a n c h e s a n d
g e n e r a t o r s ) .
A
p r o t o t y p e
p a c k a g e
f o r
p r e d i c t i n g
i n c i p i e n t
v o l t a g e
s t a b i l i t y
i s
d e v e l o p e d i n c o r p o r a t i n g
m o d a l
1 - 4 2 4 4 - 0 8 9 5 - 4 / 0 7 / 2 0 . 0 0
C
2 0 0 7
I E E E
3 8 1
-
7/25/2019 Determination of Power System Voltage Stability Using Modal Analysis
2/7
2
a n a l y s i s
a s w e l l
a s
t r a d i t i o n a l
V - P ,
V - Q
a n a l y s i s
f e a t u r e s .
T h i s
i s u s e d
t o i n v e s t i g a t e
t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e
m o d a l a n a l y s i s
t e c h n i q u e b y
a n
a p p l i c a t i o n t o
t h e
I E E E
3 0 b u s s t a n d a r d
s y s t e m .
I I .
S T A T I C
ANALYIS METHODS
S t a t i c a n a l y s i s
m e t h o d s
o f v o l t a g e
s t a b i l i t y u t i l i z e
a
' s n a p s h o t '
o f
t h e
s y s t e m
a t
a
p o i n t
i n
t h e
t i m e
d o m a i n
t r a j e c t o r y
[ 3 ] a n d d e t e r m i n e s t h e o v e r a l l
s t a b i l i t y
o f t h e s y s t e m
a n d / o r
t h e p r o x i m i t y a n d
m a r g i n
t o
u n s t a b l e
o p e r a t i o n
a t t h i s
s p e c i f i c o p e r a t i n g p o i n t .
E q u a t i o n 1
r e p r e s e n t s t h e l i n e a r i z e d
m o d e l o f t h e p o w e r s y s t e m a t s u c h
a n
o p e r a t i n g p o i n t .
F a P
a O ]
L A P ]
a o a v F O1A 1)
L A Q ]
8 Q Q
L A V ]
L a o
a v i
w h e r e
A P ,
AQ
a r e
m i s m a t c h
a c t i v e a n d r e a c t i v e
p o w e r
v e c t o r s
A
V , A0
a r e u n k n o w n
v o l t a g e
m a g n i t u d e
a n d
a n g l e
c o r r e c t i o n
v e c t o r s
e P
a P
0 0
oV
i s t h e J a c o b i a n m a t r i x o f
p a r t i a l
d e r i v a t i v e s .
a Q 8 Q
a o
a v ]
S t a t i c m e t h o d s
u s u a l l y
i n v o l v e
d e t e r m i n i n g p o w e r m a r g i n s
t i l l
n o n - c o nv e r g en ce o f t h e p o w e r f l o w , d e t e r m i n i n g t h e d i s t a n c e
o f t h e
p o w e r
f l o w
J a c o b i a n
m a t r i x t o
s i n g u l a r i t y ( b i f u r c a t i o n
p o i n t ) ,
o r
s o m e
f o r m o f
s p e c t r a l a n a l y s i s
o f
t h i s
J a c o b i a n
m a t r i x . [ 4 ]
A . V - P c u r v e s
T h e V - P c u r v e f o r a b u s i s o b t a i n e d b y i n c r e a s i n g t h e
t o t a l
l o a d
a t
t h e b u s o r a r e a a n d
p e r f o r m i n g
s u c c e s s i v e
p o w e r
f l o w
c a l c u l a t i o n s ,
w h i l s t
m a i n t a i n i n g
a c o n st a nt
p o w e r
f a c t o r .
T h e
v o l t a g e
a t t h e b u s i s
p l o t t e d
a s a f u n c t i o n o f t h e
t o t a l
a c t i v e
p o w e r l o a d , u s i n g
c o n v e n t i o n a l
p o w e r - f l o w p r o g r a m s
u n t i l t h e
b i f u r c a t i o n
p o i n t
o r ' n o s e '
p o i n t
i s
r e a c h e d a t c r i t i c a l
l o a d i n g .
T h e
p o i n t s a b o v e
t h e ' n o s e '
c o r r e s p o n d
t o
v o l t a g e
s t a b l e
o p e r a t i o n .
C o n t i n u a t i o n
p o w e r - f l o w
p r o g r a m s
c a n b e
u s e d
t o
o b t a i n s o l u t i o n s
b e l o w t h e b i f u r c a t i o n
p o i n t ,
b u t t h i s
i s n o t
u s u a l l y
n e c e s s a r y
[ 5 ] . G e n e r a t i n g
V - P c u r v e s
v i a a u t o m a t i o n
o f
p o w e r
f l o w
s i m u l a t i o n s c a n b e
i m p l e m e n t e d r e l a t i v e l y
e a s i l y .
As t h e s i z e
o f
t h e
p o w e r
n e t w o r k i n c r e a s e s
h o w e v e r ,
t h e
p r o c e s s i n g
t i m e
r e q u i r e d
t o
g e n e r a t e
V-P
c u r v e
i n c r e a s e s ,
d u e t o t h e i n c r e a s e
i n
p r o c e s s i n g
t i m e t o
p e r f o r m
a
s i n g l e
p o w e r
f l o w
s o l u t i o n .
F o r
l a r g e
n e t w o r k s , p r o c e s s i n g
t i m e c a n
b e
r e l a t i v e l y l a r g e .
More
i m p o r t a n t l y ,
V - P
c u r v e s
a t s e v e r a l
b u s e s
m u s t b e
g e n e r a t e d
b e f o r e a
s y s t e m - w i d e p e r s p e c t i v e
o f
v o l t a g e
s t a b i l i t y e m e r g e s ,
s i n c e
t h e r e i s n o
way
o f
i d e n t i f y i n g
b e f o r e h a n d t h e b u s e s
t h a t
a r e c r i t i c a l . F o r l a r g e p o w e r
n e t w o r k s
t h i s
c a n b e t i m e - c o n s u m i n g
a n d c o n f u s i n g .
V - P
c u r v e s a l s o g i v e n o u s e f u l i n s i g h t i n t o t h e
c a u s e
o f t h e
v o l t a g e
s t a b i l i t y
p r o b l e m i n t h e n e t w o r k [ 6 ]
B . Q - V
c u r v e s
Many p o w e r s y s t e m p l a n n e r s s t i l l u t i l i z e Q-V c u r v e s i n
a n a l y z i n g p e r f o r m a n c e c r i t e r i a [ 5 ] . S u c h
c u r v e s i n d i c a t e
t h e
s e n s i t i v i t y
a n d
v a r i a t i o n
o f b u s
v o l t a g e s
w i t h
r e s p e c t
t o
r e a c t i v e p o w e r
i n j e c t i o n s
a n d a b s o r p t i o n s . T h e Q-V
c u r v e
a t a
t e s t b u s
i s g e n e r a t e d b y p l a c i n g
a v a r i a b l e
r e a c t i v e p o w e r
s o u r c e
w i t h
i n f i n i t e l i m i t s
a t t h e
b u s . S u c c e s s i v e
p o w e r
f l o w s
a r e
p e r f o r m e d f o r d i f f e r e n t
s c h e d u l e d v a l u e s o f b u s
v o l t a g e ,
a n d t h e r e q u i r e d r e a c t i v e p o w e r i n j e c t i o n i s m e a s u r e d . Q-V
c u r v e s c a n
t h e r e f o r e g i v e t h e r e a c t i v e p o w e r
l o a d
m a r g i n a t
a
b u s f r o m a s t a b l e
o p e r a t i n g p o i n t t o t h e
p o i n t
o f v o l t a g e
i n s t a b i l i t y . S u c h
c u r v e s g i v e
n o i n s i g h t h o w e v e r
i n t o
t h e
c a u s e s o f t h e v o l t a g e
s t a b i l i t y ,
s u c h a s
p a r t i c i p a t i n g
n o d es a n d
b r a n c h e s .
As w i t h
V - P
c u r v e s ,
Q-V
c u r v e s a t s e v e r a l b u s e s
n e e d t o b e
d r a w n
t o o b t a i n a s y s t e m - w i d e p e r s p e c t i v e
o f
t h e
s t a b i l i t y p r o b l e m
a n d
d e c i p h e r
w h i c h b u s e s i n t h e s y s t e m h a v e
t h e s m a l l e s t
s t a b i l i t y
m a r g i n s ,
s i n c e t h e r e
i s n o
way
o f
i d e n t i f y i n g
b e f o r e h a n d w h i c h b u s e s
a r e
c r i t i c a l . A l t h o u g h
c o m p u t a t i o n
c a n b e
e a s i l y i m p l e m e n t e d
o n s o f t w a r e ,
p r o c e s s i n g t im e c a n
b e
q u i t e l a r g e f o r p r a c t i c a l n et w o r k s w i t h
s e v e r a l
h u n d r e d
b u s e s .
C . Minimum
s i n g u l a r
v a l u e
A
v o l t a g e
s t a b i l i t y
i n d e x p r o p o s e d i n [ 7 ] u s i n g t h e m i n i m u m
s i n g u l a r
v a l u e o f
t h e
p o w e r
f l o w J a c o b i a n
m a t r i x ,
c a n b e
u s e d
t o i n d i c a t e
t h e
r e l a t i v e d i s t a n c e b e t w e e n
t h e
s t u d i e d
o p e r a t i n g
p o i n t
a n d
t h e s t e a d y s t a t e v o l t a g e
l i m i t
S i n g u l a r
v a l u e
d e c o m p o s i t i o n
i s
u s e d
t o d e t e r m i n e
t h e
r a n k o f a m a t r i x
w h i c h
i s
e q u a l
t o t h e
n u m b e r o f i t s
s i n g u l a r v a l u e s [ 8 ] .
I n
s t a t i c
v o l t a g e
c o l l a p s e
a n a l y s i s ,
i t i s u s e d t o
m o n i t o r
t h e
s m a l l e s t
s i n g u l a r
v a l u e
u p
t o t h e
p o i n t
i t b e c o m e s
z e r o [ 7 ] .
T h e
m i n i m u m
s i n g u l a r
v a l u e
o f
t h e p o w e r
f l o w
J a c o b i a n
i s a
r e l a t i v e m e a s u r e
o f
t h e p r o x i m i t y o f t h e s y s t e m t o t h e s t a b i l i t y
l i m i t
[ 8 ] .
T h e m e t h o d s t i l l
d o e s n o t
i n d i c a t e
s p e c i f i c
c a u s e s
o f
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y
s u c h a s
h i g h l y
l o a d e d
t r a n s m i s s i o n
l i n e s
a n d
g e n e r a t o r s
r e a c h i n g
r e a c t i v e l i m i t s .
A l t h o u g h
t h e
m i n i m u m s i n g u l a r v a l u e
p r o v i d e s
a m e a s u r e
o f t h e
r e l a t i v e
p r o x i m i t y
o f t h e s y s t e m t o
i n s t a b i l i t y ,
i t
c a n n o t
p r o v i d e a n
a b s o l u t e
o r
l i n e a r
m e a s u r e . T h i s i s
s i m p l y
d u e t o t h e f a c t
t h a t
t h e
a p p r o a c h
o f
t h e
s y s t e m
f r o m a
s t a b l e
o p e r a t i n g p o i n t
t o
b i f u r c a t i o n
i s
n o n - l i n e a r .
H e n c e
p r a c t i c a l
m o n i t o r i n g
o f
v o l t a g e
s t a b i l i t y
u s i n g
t h i s
m e t h o d ,
m u s t
b e
u s e d
i n
c o n j u n c t i o n
w i t h
V - P , Q - V ,
o r
V PQ
c u r v e s .
D .
Q- V
M o d a l
a n a l y s i s
Q-V
m o d a l
a n a l y s i s
m e t h o d i s
p r o p o s e d
i n
[ 2 ]
a s
f o l l o w s a n d u s e s
t h e
r e d u c e d J a c o bi a n m a t r ix
J R
t o
a n a l y z e
t h e
s y s t e m
a n d
p r o v i d e
b o t h a
r e l a t i v e
p r o x i m i t y o f
t h e
s y s t e m
t o
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y ,
a s w e l l a s t h e m e c h a n i s m
o r
k e y
c o n t r i b u t i n g f a c t o r s
t o
i n s t a b i l i t y .
3 8 2
-
7/25/2019 Determination of Power System Voltage Stability Using Modal Analysis
3/7
3
I f a c t i v e p o w e r
P
i s
k e p t c o n s t a n t i n
e q u a t i o n 1
t h e n
0
J P O J P v [ A O ]
( 2 )
L A Q -
J Q O
J Q V
_ L A V -
A Q
=
J R A V
3 )
w h e r e J R
i s
t h e
r e d u c e d
J a c o b i a n
s y s t e m
m a t r i x
a n d
J R
Lv
- J Q
J P O
- 1 J P V ]
T h e
m o d e s
o f
t h e
p o w e r
n e t w o r k c a n
b e
d e f i n e d
b y
t h e
e i g e n v a l u e s a n d
e i g e n v e c t o r s
o f
J R
A s s u m e
J R =A7
w h e r e
;
i s
t h e
r i g h t e i g e n v e c t o r
m a t r i x
o f
J R
C 7
i s t h e l e f t
e i g e n v e c t o r
m a t r i x o f
J R
A
i s
t h e
d i a g o n a l e i g e n v a l u e
m a t r i x
o f
J R
R - =A1 ( 4 )
I n c r e m e n t a l
c h a n g e s
i n r e a c t i v e
p o w e r
a n d
v o l t a g e
a r e
r e l a t e d
b y
e q u a t i o n
3 .
S u b s t i t u t i n g
e q u a t i o n
4 ,
t h e n
AV
AA1
Q
o r
AV
=
E
A Q
5 )
i
A i
w h e r e
2 i
i s
t h e
i t h
e i g e n v a l u e
X
i s t h e
i t h
c o l u m n
r i g h t e i g e n v e c t o r
o f
J R
a n d
i i
i s t h e i t h r o w l e f t
e i g e n v e c t o r
o f
J R .
A i
I
d i ,
a n d
7 i
d e f i n e t h e i t h m o d e o f t h e
s y s t e m .
T h e r e f o r e , t h e i t h m o d a l
r e a c t i v e
p o w e r
v a r i a t i o n i s
A Q m i
=
k i , i
w h e r e k
i
i s a
n o r m a l i z a t i o n f a c t o r s u c h
t h a t
k i
2
y j i
=1
w i t h
j i
t h e
j t h
e l em en t o f
X i
T h e
i t h
m o d a l
v o l t a g e
v a r i a t i o n
c a n t h e r e f o r e b e w r i t t e n
A V m i A Q m i
6 )
A i
From
e q u a t i o n
6 ,
t h e
s t a b i l i t y
o f a m o d e i w i t h
r e s p e c t
t o
r e a c t i v e
p o w e r
c h a n g e s
i s
d e f i n e d
b y
t h e m o d a l
e i g e n v a l u e
A i
L a r g e
v a l u e s
o f
2 A i
s u g g e s t
s m a l l
c h a n g e s
i n
t h e m o d a l
v o l t a g e
f o r r e a c t i v e
p o w e r c h a n g e s .
As
t h e
s y s t e m
i s
s t r e s s e d ,
t h e
v a l u e o f
A
b e c o m e s
s m a l l e r a n d
t h e m o d a l
v o l t a g e b e c o m e s
w e a k e r . I f
t h e
m a g n i t u d e
o f
A i
i s
e q u a l
t o
z e r o , t h e
c o r r e s p o n d i n g
m o d a l
v o l t a g e c o l l a p s e s
s i n c e i t
u n d e r g o e s
i n f i n i t e c h a n g e s
f o r
r e a c t i v e
p o w e r
c h a n g e s .
A
s y s t e m i s
t h e r e f o r e d e f i n e d
a s
v o l t a g e
s t a b l e
i f a l l t h e
e i g e n v a l u e s
o f
J R a r e
p o s i t i v e .
T h e b i f u r c a t i o n o r
v o l t a g e
s t a b l e l i m i t
i s
r e a c h e d w h e n a t l e a s t
o n e
e i g e n v a l u e
r e a c h e s
z e r o ; t h a t
i s ,
o n e
o r
m o r e m o d a l
v o l t a g e
c o l l a p s e s .
I f
a n y o f
t h e e i g e n v a l u e s a r e
n e g a t i v e ,
t h e
s y s t e m
i s u n s t a b l e .
T h e
m a g n i t u d e o f
t h e
e i g e n v a l u e s p r o v i d e s
a r e l a t i v e m e a s u r e
o f
t h e
p r o x i m i t y o f
t h e
s y s t e m
t o
i n s t a b i l i t y .
T h e
c r i t i c a l
m o d e s
( a s s o c i a t e d
w i t h m i n i m u m
e i g e n v a l u e s )
a r e
o f m a j o r
i m p o r t a n c e
i n
t h e
v o l t a g e s t a b i l i t y a n a l y s i s .
T h e l e f t
a n d
r i g h t e i g e n v e c t o r s
c o r r e s p o n d i n g
t o
t h e
c r i t i c a l m o d e s
i n
t h e
s y s t e m
c a n
p r o v i d e
i n f o r m a t i o n
c o n c e r n i n g
t h e
m e c h a n i s m o f
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y ,
b y
i d e n t i f y i n g t h e
e l e m e n t s
p a r t i c i p a t i n g
i n
t h e s e m o d e s . T h e
b u s
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r
m e a s u r i n g
t h e
p a r t i c i p a t i o n
o f
t h e
k t h b u s
t o t h e i t h m o d e
c a n
b e
g i v e n
a s
7 )
B u s
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s
c o r r e s p o n d i n g
t o
t h e c r i t i c a l m o d e s
c a n
p r e d i c t
a r e a s o r n o d e s i n t h e
p o w e r s y s t e m s u s c e p t i b l e
t o
v o l t a g e i n s t a b i l i t y .
B u s e s w i t h
l a r g e p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s
t o
t h e c r i t i c a l
m o d e
c o r r e s p o n d
t o t h e m o s t c r i t i c a l
s y s t e m
b u s e s .
F o r
a
c h a n g e
i n
r e a c t i v e
p o w e r
i n j e c t i o n
A Q m j ,
t h e
r e s u l t i n g
v o l t a g e
v a r i a t i o n i s
A V m i ,
a n d t h e i t h m o d a l
a n g l e v a r i a t i o n ,
f r o m
e q u a t i o n
2
i s
A O m i
=-Jp
- I
A
V m i
( 8 )
W i t h
AV,AO
k n o w n ,
t h e l i n e a r i z e d r e a c t i v e l o s s v a r i a t i o n
a c r o s s
a t r a n s m i s s i o n b r a n c h
l j ,
A Q O , i
c a n
b e o b t a i n e d .
A s s u m e
A Q i m a i
=
M A X j
( A Q j i )
T h e n
t h e
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r o f b r a n ch
l j
t o
m o d e
i
c a n b e
d e f i n e d a s
A Q j j
( 9 )
A Q I
m a x
i
B r a n c h e s w i t h
l a r g e p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s
t o
t h e c r i t i c a l
m o d e s
c o n s u m e
t h e
m o s t r e a c t i v e
p o w e r f o r
i n c r e m e n t a l
c h a n g e s
i n
r e a c t i v e
l o a d ,
a n d l e a d t o
p r o b l e m s
c o n c e r n i n g v o l t a g e
s t a b i l i t y .
[ 2 ]
I I I . P E R F O R M I N G
COMPLETE
VOLTAGE S T A B I L I T Y
ASSESMENTS
I t
i s
u s e f u l
t o
e s t a b l i s h a n d
f a c i l i t a t e a
s y s t e m a t i c
a n d
c o m p l e t e
m e t h o d f o r
v o l t a g e s t a b i l i t y
a n a l y s i s
a n d
p r e d i c t i o n
o f
i n c i p i e n t
v o l t a g e i n s t a b i l i t y
i n
t h e
p o w e r
n e t w o r k . As s e e n
p r e v i o u s l y V - P / Q - V
c u r v e s c a n n o t
b e
u s e d
a l o n e i n
l a r g e
p r a c t i c a l
n e t w o r k s
s i n c e t h e r e i s n o
w a y
t o
p r e c i s e l y
d e t e r m i n e
b e f o r e h a n d ,
f o r
many
d i f f e r e n t
o p e r a t i n g
p o i n t s
a n d
c o n t i n g e n c i e s ,
e x a c t l y
w h i c h n o d e s
a n d
a r e a s a r e
s u s c e p t i b l e
3 8 3
P k i
k i
7 7 i k
-
7/25/2019 Determination of Power System Voltage Stability Using Modal Analysis
4/7
4
t o i n s t a b i l i t y
i . e .
a t w h a t
b u s e s
c u r v e s
n e e d
t o
b e
d r a w n ) .
M e t h o d s s u c h
a s
t h e
m i n i m u m
s i n g u l a r
v a l u e d o
n o t
r e a d i l y
p r o v i d e i n f o r m a t i o n i n t o t h e m a i n f a c t o r s
c o n t r i b u t i n g
t o
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y .
T h e m o d a l
a n a l y s i s
t e c h n i q u e
h o w e v e r c a n
b e s e e n
a s
e x t r e m e l y
u s e f u l
s i n c e i t
p r o v i d e s
a
r e l a t i v e
p r o x i m i t y o f
t h e
s y s t e m
t o v o l t a g e i n s t a b i l i t y ,
a s w e l l a s
t h e
k e y c o n t r i b u t i n g f a c t o r s
t o i n s t a b i l i t y
s u c h
a s t h e w e a k e s t
o r
c r i t i c a l
b u s e s a n d
t r a n s m i s s i o n
b r a n c h e s .
A
s i m p l e s y s t e m a t i c
t e c h n i q u e
f o r
i n i t i a l
a s s e s s m e n t
o f
v o l t a g e
s t a b i l i t y
i n c o r p o r a t i n g m o d a l
a n a l y s i s a s
w e l l
a s
t r a d i t i o n a l
V - P / Q -
V/VPQ c u r v e s
c a n b e c o nd u c t e d
a s f o l l o w s :
1 . P e r f o r m
a
p o w e r f l o w
c o m p u t a t i o n
t o
e s t a b l i s h
c o n d i t i o n s a t
t h e
s p e c i f i c o p e r a t i n g
p o i n t a n d g e n e r a t e s y s t e m
J a c o bi a n m a t r ix
2 . P e r f o r m m o d a l
a n a l y s i s
t o
o b t a i n
a
r e l a t i v e
m e a s u r e
o f
t h e
s y s t e m
d i s t a n c e t o
b i f u r c a t i o n , i d e n t i f y
t h e w e a k e s t
s y s t e m
b u s e s ,
a n d
i d e n t i f y
t h e w e a k e s t
s y s t e m
b r a n c h e s
3 .
G e n e r a t e
V - P / Q - V / V P Q
c u r v e s a t w e a k
n o d e s
i d e n t i f i e d i n m o d a l
a n a l y s i s
t o f u r t h e r
i n v e s t i g a t e
s p e c i f i c
s t a b i l i t y m a r g i n s .
4 .
I m p l e m e n t s t a b i l i t y s o l u t i o n s
s u c h a s
s i z i n g
a n d
p l a c e m e n t
o f r e a c t i v e
c o m p e n s a t i o n
d e v i c e s a t
c r i t i c a l
b u s e s
i d e n t i f i e d ,
a n d
e n h a n c e m e n t
o f
w e a k e s t t r a n s m i s s i o n
b r a n c h e s
i d e n t i f i e d .
t h e r e a c t a n c e o f t h e
h i g h e s t p a r t i c i p a t i n g
b r a n c h w a s
d e c r e a s e d a n d
V - Q
c u r v e s
r e g e n e r a t e d
a t t h e c r i t i c a l b u s e s .
T h i s p r o c e s s w a s r e p e a t e d ,
d e c r e a s i n g
a m e d i u m
p a r t i c i p a t i n g
b r a n c h a n d
t h e
l o w e s t
p a r t i c i p a t i n g
b r a n c h
b y
t h e
s a m e
p e r c e n t a g e .
T h e i n c r e a s e s i n
r e a c t i v e
s t a b i l i t y
m a r g i n s
a t t h e c r i t i c a l b u s e s
f o r e a ch o f
t h e t h r e e
c a s e s w e r e
c o m p a r e d ,
i n o r d e r t o
q u a n t i f y t h e
e f f e c t o f
t h e
r e l e v a n t
b r a n c h
t o s y s t e m
i n s t a b i l i t y .
A . T e s t C a s e 1
TABLE
I
THREE
LOWEST
SYSTEM EIGEENVALUES F OR
T E S T
CASE 1
( C R T I C I A L
F T C - T F N V T ATTF=
1
Q 6 A V
TABLE 2
COMPARISON
OF
8 MO S T
C R I T I C A L
BSUES I D E N T I F I E D
BY
MOD L
ANALYSIS
AND
V-0
S T A B I L I T Y
MARGINS ( T E S T
CASE
1 )
3 0 . 0 6 0
1 8
3 . 6 3
1 9
0 . 0 5 7 2 9 2 . 8 3
1 8
0 . 0 5 6
1 9
3 . 0 5
A
p r o t o t y p e a p p l i c a t i o n o n t h e
MIATLAB
p l a t f o r m
c a l l e d
t h e Power
S y s t e m
S t a b i l i t y
A n a l y z e r
( P S S A )
w a s
d e v e l o p e d
t o
p e r f o r m
s u c h
a n a l y s e s .
I V .
EVALUATING THE MODAL A N A L Y S I S
T E C H N I Q U E
I n o r d e r
t o
d e m o n s t r a t e
t h e
u s e f u l n e s s o f m o d a l
a n a l y s i s ,
t h r e e
s e p a r a t e
t e s t
c a s e s ,
r e p r e s e n t i n g
t h r e e d i f f e r e n t
s t a b l e
o p e r a t i n g
p o i n t s
o f
t h e
IEEE 3 0
b u s
t e s t
s y s t e m
w e r e
u s e d .
T h e
r e s u l t s a r e
g i v e n
i n T a b l e s 1 t o 1 3 b e l o w .
F o r
e a c h
o p e r a t i n g
p o i n t ,
t h e
e i g e n v a l u e s
o f t h e
r e d u c e d J a c o b ia n m a t r ix
w e r e f i r s t
g e n e r a t e d
t o
o b t a i n
t h e
r e l a t i v e
p r o x i m i t y
o f
t h e
s y s t e m
t o
i n s t a b i l i t y .
T h e
b u s
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s
w e r e t h e n
g e n e r a t e d
f o r
t h e c r i t i c a l
mode
t o
p r e d i c t
t h e
c r i t i c a l
b u s e s
i n
t h e
s y s t e m
( b u s e s
w i t h
t h e
s m a l l e s t
m a r g i n s
t o
i n s t a b i l i t y ) .
I n o r d e r t o
v e r i f y
t h a t
t h e
b u s e s
p r e d i c t e d
a s c r i t i c a l
w e r e
c o r r e c t ,
V-Q
c u r v e s w e r e
g e n e r a t e d
t o
o b s e r v e
a n d
c o m p a r e
t h e
r e a c t i v e
s t a b i l i t y
m a r g i n s
a t e a c h
s y s t e m
b u s .
( V - Q
c u r v e s a r e c h o s e n s i n c e
r e a c t i v e
p o w e r
t r a n s f e r i s
c l o s e l y
a s s o c i a t e d
t o
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y ) .
N e x t
t h e b r a n c h
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s
f o r
t h e
c r i t i c a l
mode w e r e
g e n e r a t e d
t o
p r e d i c t
t h e c r i t i c a l t r a n s m i s s i o n l i n e s
i n t h e
s y s t e m
( l i n e
w i t h
l a r g e s t
c o n t r i b u t i o n s t o
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y ) .
I n o r d e r
t o
v e r i f y
t h a t
t h e s e r e s u l t s w e r e
c o r r e c t ,
3 8 4
TABLE
3
E I G H T
H I G H E S T P A R T I C I P A T I N G
BRANCHES
( T E S T
C A S E
1 )
* - r h
J P p
l
3 5 1 . 0 0
1 1
0 3 7
1 3
0 . 3 0
1 7
0 . 2 7
3 4 0 . 2 0
2 7 0 . 1 5
1 4
0 . 1 1
2 9 0 . 1 1
TABLE 4
COMPARING
THE
E F F E C T S O F BRANCHES WITH VARYING P A R T I C I P A T I O N
F A C T O R S ON
SYSTEM
S T A B I L I T Y
( T E S T
C A S E
1 )
I
-
7/25/2019 Determination of Power System Voltage Stability Using Modal Analysis
5/7
5
0
B .
T e s t
C a s e
I I
C .
T e s t
C a s e I I I
TABLE
5
THREE LOWEST SYSTEM
EIGEENVALUES
FOR
T E S T
CASE
2
( C R T I C I A L
EIGENVLAUE=
1 . 1 6 1 )
7 1 . 1 6 1
8
3 8 9 8
9
8 . 4 9 9
TABLE
6
COMPARISON
O F
8
MOST
C R I T I C A L
BSUES I D E N T I F I E D
B Y
MODAL ANALYSIS
Awn
V
n
RT
ATT TTV
X4AR
TNTQ
TP,T
tAF
TABLE
7
E I G H T
H I G H E S T P A R T I C I P A T I N G BRANCHES
( T E S T
CASE
2 )
B r
h
I
P a w r i c i p o
3 5
1 . 0 0 0
3 4
0 . 4 0 2
1 1
0 . 3 9 3
1 3
0 . 3 2 7
1
7
0 . 2 8 0
2 7
0 . 2 6 8
2 9 0 . 1 6 8
1 4
.
1 2 0
TABLE
9
THREE LOWEST SYSTEM
EIGEENVALUES
FOR T E S T
CASE 3
( C R T I C I A L
EIGENVLAUE= 0 . 4 4 2 )
Mode
E i g e n v a l u
1 3
0 . 4 4 2
1 9
1 . 3 8 8
2 0
2 . 5 7 8
TABLE 1 0
COMPARISON
O F
8 MOST C R I T I C A L
BSUES I D E N T I F I E D B Y MODAL
ANALYSIS
ANT
V - ( )
T A l I T J I T V
M A R P C A N T
( T F V T
C A ( . F
3 )
T A B LE
1 1
E I G H T H I G H E S T
P A R T I C I P A T I N G BRANCHES
( T E S T
CASE
3 )
1
B r a n t h
4 aripai
3 4
1 . 0 0 0
3 3 0 . 7 7 5
3 5 0 . 4 1 2
4 0
0 . 2 9 8
3 0
0 . 2 6 2
2 9
0 . 2 4 8
3 2 0 . 2 0 2
2 7
0 . 1 9 4
TABLE
8
COMPARING
T HE
E F F E C T S OF BRANCHES WITH VARYING PARTICIPATION
F A C T O R S
ON SYSTEM S T A B I L I T Y
( T E S T
CASE
1 )
TABLE
1 2
COMPARING
T HE
EFFECTS OF
BRANCHES WITH VARYING PARTICIPATION
FACTORS ON
SYSTEM
S T A B I L I T Y
( T E S T
CASE
3 )
3 8 5
-
7/25/2019 Determination of Power System Voltage Stability Using Modal Analysis
6/7
6
2 5
0 . 2 1
2 4
0 . 2 S
2 3
0 . 3 5
1 )
1 )
n
s o
u . u z
0 . 0 3
0 . 0 5
0 . 1 4
A l
1 9
n
V .
D I S C U S S I O N
F o r t h e
f i r s t
t e s t c a s e , t h e
t h r e e
l o w e s t s y s t e m
e i g e n v a l u e s a r e
d i s p l a y e d
i n t a b l e 1 a n d
a r e
a b o v e
z e r o ,
c o n f i r m i n g
t h a t
t h e s y s t e m i s
s t a b l e a n d
t h e b i f u r c a t i o n p o i n t
h a s n o t
y e t
b e e n r e a c h e d . T h e
m i n i m u m o r c r i t i c a l
e i g e n v a l u e
i s 1 . 9 6 3
a n d
t h e c o r r e s p o n d i n g
m o d e
i s 8 . B u s p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s t o t h i s c r i t i c a l
m o d e
a r e
g e n e r a t e d
t o p r e d i c t t h e c r i t i c a l
b u s e s i n
t h e
s y s t e m .
T h e
b u s e s
w i t h h i g h e s t
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s w e r e
e x p e c t e d
t o
b e
t h e
m o s t
c r i t i c a l
b u s e s o r b u s e s
c l o s e s t
t o
i n s t a b i l i t y .
T a b l e 2
v e r i f i e s
t h a t
t h e
b u s e s
w i t h
t h e
h i g h e s t
p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s
h a v e t h e l o w e s t r e a c t i v e
s t a b i l i t y
m a r g i n s
i n
t h e
s y s t e m
a n d
t h e r e f o r e c o r r e c t l y
c o r r e s p o n d
t o
c r i t i c a l
s y s t e m
b u s e s .
T h e s e
i n c l u d e b u s
2 6 , 2 5 ,
2 4
a n d 2 3 .
M o r e o v e r ,
t h e t a b l e s h o w s
t h a t
p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s
p r e d i c t
t h e
5
m o s t c r i t i c a l
s y s t e m
b u s e s i n
t h e e x a c t s a m e o r d e r
t h e y
a r e
r a n k e d
b y
t h e
a c t u a l
V - Q
c u r v e
r e a c t i v e
s t a b i l i t y m a r g i n s .
T h e 8 h i g h e s t b r a n c h
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s a r e
d i s p l a y e d
i n
t a b l e
3 , s h o w i n g
l i n e 3 5 a s
h a v i n g
t h e
h i g h e s t
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r .
A s
s h o w n i n t a b l e
4 , s l i g h t l y r e d u c i n g
t h e r e a c t a n c e o f
b r a n c h
3 5 ,
i n c r e a s e s t h e
s t a b i l i t y m a r g i n
a t t h e 5
m o s t
c r i t i c a l
b u s e s
b y
a n
a v e r a g e
o f 0 .
1 4 p . u . T h e
s a m e
p e r c e n t a g e
r e d u c t i o n
i n
r e a c t a n c e
h o w e v e r ,
o f
a
l o w e r
p a r t i c i p a t i n g
b r a n ch s u c h
a s
b r a n c h 3 4 i n c r e a s e s
t h e s t a b i l i t y
m a r g i n s
a t t h e b u s e s
b y
a
m u c h
l e s s a v e r a g e
o f
0 . 0 7 p . u .
T h e
s a m e
r e d u c t i o n i n
r e a c t a n c e f o r t h e
l o w e s t
p a r t i c i p a t i n g
b r a n c h
2 2 ,
g i v e s n o
i n c r e a s e
i n
s t a b i l i t y m a r g i n
w h a t s o e v e r . T h e r e s u l t s
v e r i f y
t h a t
b r a n c h e s
i d e n t i f i e d
w i t h
h i g h e r p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s
a r e
b r a n c h e s w i t h
h i g h e r
c o n t r i b u t i o n s
t o
s y s t e m v o l t a g e
i n s t a b i l i t y .
F o r
t h e
s e c o n d
t e s t c a s e a l l
e i g e n v a l u e s
a r e s t i l l a b o v e
z e r o , c o n f i r m i n g
t h a t
t h e
s y s t e m
i s s t i l l
s t a b l e .
T h e c r i t i c a l
e i g e n v a l u e
h o w e v e r ,
h a s now d e c r e a s e d
t o
1 . 1 6 1 . O n c e
a g a i n
a s s h o w n i n t a b l e
6 ,
t h e b u s e s w i t h t h e
h i g h e s t
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s
h a v e t h e
l o w e s t
r e a c t i v e
s t a b i l i t y
m a r g i n s
i n
t h e
s y s t e m
a n d
c o r r e c t l y
c o r r e s p o n d
t o
c r i t i c a l
s y s t e m
b u s e s .
I n
a d d i t i o n ,
t h e
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s p r e d i c t
t h e
8 m o s t
c r i t i c a l
b u s e s i n
t h e e x a c t s a m e
o r d e r
t h e y
a r e
r a n k e d
b y
t h e
a c t u a l
V - Q
c u r v e
r e a c t i v e
s t a b i l i t y
m a r g i n s .
B r a n c h
3 4
i s i d e n t i f i e d a s
h a v i n g
t h e
l a r g e s t p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r a n d t a b l e 8 s h o w s
t h a t
s l i g h t l y
r e d u c i n g
t h e r e a c t a n c e
o f
b r a n c h
3 4 ,
i n c r e a s e s t h e
s t a b i l i t y
m a r g i n
a t t h e 5 m o s t c r i t i c a l
b u s e s
b y
a n
a v e r a g e
o f
0 . 1 8 p . u . T h e
s a m e r e d u c t i o n i n r e a c t a n c e
h o w e v e r ,
o f a l o w e r
p a r t i c i p a t i n g
b r a n c h s u c h
a s
b r a n c h 1 7 i n c r e a s e s t h e
s t a b i l i t y
m a r g i n s
a t
t h e
b u s e s
b y
a much
l e s s
a v e r a g e
o f
0 . 0 8 p . u
a n d a
r e d u c t i o n
i n r e a c t a n c e
f o r
t h e l o w e s t
p a r t i c i p a t i n g
b r a n c h
2 2 ,
g i v e s n o i n c r e a s e i n s t a b i l i t y m a r g i n w h a t s o e v e r . O n c e a g a i n ,
t h e
r e s u l t s
v e r i f y
t h a t
t h e
b r a n c h e s
i d e n t i f i e d
w i t h
t h e h i g h e s t
p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s r e p r e s e n t t h e
b r a n c h e s
c o n t r i b u t i n g t h e
m o s t t o s y s t e m v o l t a g e i n s t a b i l i t y . T h e o v e r a l l p a t t e r n
i s
c o n t i n u e d i n t h e t h i r d t e s t c a s e , w i t h t h e b u s p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s a n d b r a n c h
p a r t i c i p a t i o n
f a c t o r s
r e l i a b l y p r e d i c t i n g
t h e w e a k
b u s e s
a n d t r a n s m i s s i o n b r a n c h e s .
A t t h e f i r s t t e s t
o p e r a t i n g p o i n t ,
a l l e i g e n v a l u e s a r e
a b o v e
z e r o
a n d
t h e
m i n i m u m
e i g e n v a l u e
i s
1 . 9 6 3 .
A t
t h e
s e c o n d
o p e r a t i n g p o i n t ,
a l l
t h e e i g e n v a l u e s
a r e s t i l l
a b o v e
z e r o
h o w e v e r ,
t h e m i n i m u m
e i g e n v a l u e
i s
r e d u c e d f r o m
1 . 9 6 3
t o
1 . 1 6 1 .
A t
t h e t h i r d
o p e r a t i n g p o i n t
t h e m i n i m u m
e i g e n v a l u e
i s
e v e n c l o s e r
t o
z e r o
a t
0 . 4 4 2 .
T h i s
s u g g e s t s
t h a t
t h e t h i r d t e s t
c a s e o p e r a t i n g p o i n t i s c l o s e s t
t o
t h e v o l t a g e
s t a b i l i t y l i m i t ,
f o l l o w e d b y t h e s e c o n d o p e r a t i n g p o i n t , w i t h t h e f i r s t b e i n g
t h e f u r t h e s t
o r
m o s t s t a b l e t e s t c a s e o p e r a t i n g
p o i n t .
T h i s i s
v e r i f i e d b y
o b s e r v i n g
t h e r e a c t i v e
s t a b i l i t y m a r g i n s
a t
t h e
c r i t i c a l
b u s e s
f o r e a c h
o p e r a t i n g
p o i n t
( t a b l e s 2 ,
6 a n d
1 1 ) .
A t
t h e
f i r s t
o p e r a t i n g p o i n t ,
t h e
r e a c t i v e
l o a d
m a r g i n s
t o
i n s t a b i l i t y f o r
t h e 3 m o s t
c r i t i c a l
s ys t em b u s es a r e 1 . 4 4
p . u ,
2 . 6 6
p . u .
a n d 2 8 3
p . u .
A t
t h e
s e c o n d
o p e r a t i n g
p o i n t ,
t h e
r e a c t i v e s t a b i l i t y m a r g i n s
f o r
t h e
3 m o s t
c r i t i c a l
b u s e s a r e
l o w e r e d
t o 0 . 6 2
p . u ,
0 . 8 6
p . u .
a n d
1 . 1 2
p . u .
F o r t h e t h i r d
o p e r a t i n g p o i n t
t h e
m a r g i n s
a r e
d r a s t i c a l l y
r e d u c e d
t o 0 . 0 5
p . u ,
0 . 1 2
p . u .
a n d
0 . 2 1 p . u .
I t i s c l e a r
t h a t
t h e t h i r d
t e s t
c a s e
o p er a t i ng p o in t
i s t h e c l o s e s t t o t h e
v o l t a g e s t a b i l i t y l i m i t ,
f o l l o w e d
b y
t h e
s e c o n d
a n d t h e n
t h e f i r s t
t e s t
c a s e , e x a c t l y
a s
p r e d i c t e d b y t h e
m a g n i t u d e
o f t h e
e i g e n v a l u e s .
V I .
CONCLUSION
T h e
p a p e r
r e - e x a m i n e s t h e
p r o b l e m
o f
v o l t a g e
i n s t a b i l i t y
i n
p o w e r s y s t e m s a n d t h e
n e e d f o r e f f e c t i v e
a n a l y s i s
t e c h n i q u e s
t o
d e t e c t i n c i p i e n t
c a s e s
o f
i n s t a b i l i t y
a n d
p r e v e n t
p o s s i b l e
e s c a l a t i o n
i n t o
w i d e - s p r e a d v o l t a g e
c o l l a p s e .
Common
s t e a d y
- s a t e a n a l y s i s m e t h o d s
a r e
r e v i e w e d
i n c l u d i n g
m o d a l
a n a l y s i s .
T h e m o d a l
a n a l y s i s
f e a t u r e
w a s
t e s t e d o n t h e
IEEE
3 0 - b u s
t e s t
s y s t e m .
T h e
t e c h n i q u e
w a s
d e m o n s t r a t e d a s
a n
e x t r e m e l y
u s e f u l
m e t h o d
f o r
s t e a d y
s t a t e
v o l t a g e s t a b i l i t y a n a l y s i s , p r o v i d i n g
a
r e l a t i v e m e a s u r e
o f t h e
s y s t e m
t o t h e
s t a b i l i t y
l i m i t ,
a n d
c o r r e c t l y
p r e d i c t i n g
t h e
c r i t i c a l
b u s e s
a n d
w e a k
t r a n s m i s s i o n b r a n c h e s i n t h e
p o w e r
n e t w o r k . T h e
p a p e r
t h e r e f o r e f u r t h e r r e i n f o r c e s
p r e v i o u s
w o r k s
s u c h
a s
[ ]
w h i c h
h a v e
s u c c e s s f u l l y a p p l i e d
t h e m o d a l
a n a l y s i s
m e t h o d t o t e s t n e t w o r k s . T h e m e t h o d c a n b e
i n c o r p o r a t e d
i n t o
u s e r - f r i e n d l y
d i a g n o s t i c
t o o l s
w h i c h
c a n
b e
a p p l i e d
t o
p r a c t i c a l
p o w e r
s y s t e m s
a n d
u t i l i z e d
b y
p o w e r
s y s t e m
o p e r a t o r s
a n d
p l a n n e r s
t o a s s e s s
v o l t a g e
s t a b i l i t y
a t
v a r i o u s
o p e r a t i n g
c o n d i t i o n s ,
a s
w e l l
a s
d e t e r m i n e
s u i t a b l e
r e m e d i a l
a c t i o n s f o r
i n s t a b i l i t y
a n d
c o l l a p s e .
V I I . REFERENCES
[ 1 ] G a o , B . , K u n d u r , P . ,
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T o w a r d s
t h e
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S y s t e m a t i c
A p p r o a c h
f o r
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Power
S y s t e m s ,
IEEE
T r a n s a c t i o n s o n
P o w e r
S y s t e m s ,
v o l .
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3 ,
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1 3 1 4 - 1 3 1 9 ,
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3 8 6
-
7/25/2019 Determination of Power System Voltage Stability Using Modal Analysis
7/7
7
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K u n d u r , P . , M o r i s s o n , G . K ,
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M o d a l
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F . ,
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u s i n g V o l t a g e P h a s o r s A p pr o a c h ,
IEEE
T r a n s a c t i o n s
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S . , C o n t i n g e n c y
R a n k i n g f o r
V o l t a g e
C o l l a p s e
v i a
s e n s i t i v i t i e s f r o m a
s i n g l e
n o s e
c u r v e ,
S u b m i s s i o n t o IEEE
f o r
p o s s i b l e
p u b l i c a t i o n ,
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M . S . , S i d h u ,
T . S . ,
T e c hn i qu e f o r
o n l i n e
p r e d i c t i o n o f
v o l t a g e
c o l l a p s e ,
IEEE P r o c e e d i n g s
G e n e r a t i o n ,
T r a n s m i s s i o n a n d
D i s t r i b u t i o n , v o l . 1 5 1 , n o .
4 ,
p p . 4 5 3 - 4 6 0 , ( J u l y
2 0 0 4 ) ( 1 0 )
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H i l l ,
D . J . , L o f ,
P . A . ,
S m e d , T . ,
F a s t
C a l c u l a t i o n o f
a
V o l t a g e S t a b i l i t y I n d e x , IEEE T r a n s a c t i o n s o n P o w e r S y s t e m s , v o l . 7 ,
n o . 1 , p p . 5 4 - 6 4 , ( F e b r u a r y 1 9 9 2 ) . ( 1 4 )
[ 8 ]
D a n i e l ,
J . W . ,
N o b l e , B . ,
A p p l i e d
L i n e a r
A l g e b r a , P r e n t i c e - H a l l ,
New-
Y o r k , 1 9 9 8 ( 1 3 )
V I I I . B I O G R A P H I E S
C h a n d r a b h a n
Sharma
D r S h a r m a
i s a s e n i o r l e c t u r e r w i t h
t h e
F a c u l t y o f E n g i n e e r i n g ,
T h e
U n i v e r s i t y
o f W e s t
I n d i e s ,
T r i n i d a d
T o b a g o .
He i s
t h e
H e a d
o f
t h e
C e n t r e
f o r
E n e r g y
S t u d i e s .
He i s a m e m b e r o f t h e B o a r d
o f
D i r e c t o r s
o f
t h e l o c a l
E l e c t r i c U t i l i t y
a n d
a l s o a m e m b e r o f t h e B o a r d o f D i r e c t o r s
o f
t h e
l a r g e s t
b a n k
i n
t h e
c o u n t r y . P r i o r
t o
j o i n i n g
t h e A c a d e m i c s t a f f
a t
t h e
U n i v e r s i t y ,
h e
w a s
a t t a c h e d t o
t h e
p e t r o c h e m i c a l
i n d u s t r y
i n
T r i n i d a d . H i s i n t e r e s t s a r e
i n
t h e
a r e a o f
p o w e r s y s t e m o p e r a t i o n s
a n d
c o n t r o l .
Marcus G a n n e s s
M a r c u s G a nn es s
i s a f i n a l
y e a r
s t u d e n t
u n d e r g r a d u a t e
s t u d e n t a t t h e
U n i v e r s i t y
o f
T h e
W e s t
I n d i e s .
He
i s
e x p e c t e d
t o
g r a d u a t e
i n
M ay
2 0 0 7 .
3 8 7