derivative - wordpress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). teorema...
TRANSCRIPT
![Page 1: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/1.jpg)
DERIVATIVEArum Handini primandari
![Page 2: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/2.jpg)
INTRODUCTION
Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan)
Calculus dikembangkan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz, dan ilmuwan lainnya; yang pada mulanya berusaha untuk menyelesaikan masalah:
1. Garis singgung (tangent line): mencari garis singgung di titik tertentu pada suatu kurva
2. Luas area: menentukan luas area di bawah suatu kurva
![Page 3: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/3.jpg)
TINGKAT PERUBAHAN (CHANGE OF RATE)
Fungsi linier (garis), antara satu titik dantitik yang lain memiliki tingkat perubahan
yang sama, yaitu sebesar m
Kurva, antara satu titik dan titik yang lain memiliki tingkat perubahan yang
berbeda, yaitu diberikan oleh kemiringandari garis singgung pada P(c,f(c))
![Page 4: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/4.jpg)
CONTOH: TINGKAT PERUBAHAN KURVA
Fungsi daripengaruh
penggangguranterhadap inflasi
![Page 5: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/5.jpg)
BERAPAKAH BESAR TINGKAT PERUBAHAN?
Berapakah besar tingkat perubahan di titik𝑃(𝑐, 𝑓 𝑐 )?
Misalkan diketahui titik:
𝑄(𝑐 + ℎ, 𝑓 𝑐 + ℎ )
Ruas garis PQ disebut garis potong (secant line)
Perhatikan: seiring ℎ mendekati 0, garispotong PQ semakin mendakati garissinggung di titik P
Sehingga besar tingkat perubahan:
limℎ→0
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑦
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑥= lim
ℎ→0
𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐)
ℎ
![Page 6: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/6.jpg)
DERIVATIVE
Fungsi derivative:
Fungsi derivative 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi 𝑓′(𝑥) yang dirumuskan:
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Proses dari perhitungannya disebut diferensial (turunan). Dikatakan bahwa 𝑓(𝑥) terdiferensial di 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓′(𝑥) ada, yaitu jika limit yang mendefinisikan 𝑓′(𝑥) ada di titik 𝑥 = 𝑐
![Page 7: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/7.jpg)
CONTOH 1:
Tentukan diferensial dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Jawab:
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥
ℎ
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑥+ℎ 2−𝑥2
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)−𝑥2
ℎ= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ+ℎ2
ℎ= lim
ℎ→02𝑥 + ℎ = 2𝑥
![Page 8: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/8.jpg)
NOTASI LEIBNIZ
Misalkan notasi turunan:
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
Δ𝑦
Δ𝑥= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
dituliskan𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ= 𝑓′(𝑥)
Order yang lebih tinggi:
2
2
4(4)
4
''d y
f xdx
d yf x
dx
![Page 9: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/9.jpg)
TEKNIK DIFERENSIAL
Diferensial dari suatu konstanta𝑑
𝑑𝑥𝑐 = 0
Jika 𝑛 bilangan riil, maka berlaku𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
Jika 𝑐 adalah konstan dan 𝑓(𝑥) fungsi terdiferensial, maka: 𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥)
![Page 10: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/10.jpg)
LATIHAN 1
Tentukan diferensial dari fungsi berikut:
1. 𝑓 𝑥 =1
4𝑥8 −
1
2𝑥6 − 𝑥 + 2
2. 𝑦 =1
𝑡+
1
𝑡2−
1
𝑡
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 +1
𝑥5
4. 𝑓 𝑡 = 2 𝑡3 +4
𝑡− 2
5. 𝑦 = −𝑥2
16+
2
𝑥− 𝑥
3
2 +1
3𝑥2
6. 𝑦 =7
𝑥1.2+
5
𝑥−2.1
7. 𝑦 =3𝑥5 + 2𝑥 +
4
𝑡
![Page 11: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/11.jpg)
KEGUNAAN DIFERENSIAL
1. Kemiringan Kurva
Kemiringan suatu kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑐 adalah 𝑚 = 𝑓′(𝑐)
2. Tingkat perubahan
Tingkat perubahan dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥, ketika 𝑥 = 𝑐 adalah 𝑓′(𝑐)
![Page 12: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/12.jpg)
MENENTUKAN TINGKAT (RATE) PERUBAHAN
Kegunaan fungsi derivative, salah satunya, adalah menentukan tingkat (rate) perubahan, contohnyapada gerak linier.
Jika posisi obyek yang bergerak pada lintasan linier pada waktu 𝑡diberikan oleh fungsi 𝑠(𝑡), maka obyek memiliki:
1) Kecepatan 𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 =𝑑𝑠
𝑑𝑡
2) Percepatan 𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 =𝑑𝑣
𝑑𝑡
Obyek bergerak maju ketika 𝑣 𝑡 > 0, bergerak mundur ketika 𝑣 𝑡 < 0, dan berhenti (stasioner) ketika 𝑣 𝑡 = 0
![Page 13: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/13.jpg)
RELATIFITAS DAN PERSENTASE PERUBAHAN
Tingkat perubahan dari kuantitas 𝑄(𝑥) pada saat 𝑥 diberikan oleh rasio:
Persentase perubahan dari 𝑄(𝑥) pada waktu 𝑥 adalah:
Δ =𝑄′ 𝑥
𝑄 𝑥
% Δ =𝑄′ 𝑥
𝑄 𝑥∗ 100%
![Page 14: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/14.jpg)
TANDA SIGNIFIKAN PADA DERIVATIVE
Jika fungsi 𝑓 terdiferensial pada 𝑥 = 𝑐, maka:
1. 𝑓 naik di 𝑥 = 𝑐, jika 𝑓′ 𝑐 > 0
2. 𝑓 turun di 𝑥 = 𝑐, jika 𝑓′ 𝑐 < 0
Penggunaan aturan ini adalah ketika menentukan titik stasioner dan sketsa kurva.
Titik-titik stasioner 𝑥, yaitu memenuhi 𝑓′ 𝑥 = 0
![Page 15: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/15.jpg)
CONTOH 2:
Tentukan titik stasioner dan sketsa dari 𝑔 𝑥 =𝑥3
3+ 2𝑥2 − 21𝑥 + 3
![Page 16: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/16.jpg)
CONTOH
Posisi suatu benda bergerak linier diberikan oleh fungsi 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 + 5
a) Tentukan kecepatan obyek tersebut saat 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4
b) Tentukan total jarak yang ditempuh oleh obyek tersebut antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4
c) Tentukan percepatan obyek antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4
![Page 17: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/17.jpg)
LATIHAN 2
1.
2.
Pertumbuhan Populasi Diperkirakan bahwa x bulan darisekarang, populasi dari kota tertentu akan menjadi
𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 4𝑥3
2 + 5,000.a) Sembilan bulan dari sekarang, berapakah kecepatan
pertumbuhan populasi tersebut?b) Berapakah persentase kecepatan pertumbuhan
populasi saat 9 bulan dari sekarang?
Polusi udara Studi lingkungan dari suatu daerahmengemukakan bahwa 𝑡 tahun dari sekarang, rata-rata tingkat karbon monoksida di udara akan menjadi𝑄 𝑡 = 0.05𝑡2 + 0.1𝑡 + 3.4 ppm.a) Pada 1 tahun mendatang, berapakah kecepatan
perubahan tingkat karbon monoksida di udara?b) Berapakah kecepatan perubahan tingkat karbon
monoksida tahun ini?
![Page 18: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/18.jpg)
3.
4. Efisiensi Pekerja Studi efisiensi dari shift pagi pada suatuperusahaan mengindikasikan bahwa rata-rata pekerjayang datang pukul 08:00, akan mengumpulkansebanyak 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥 unit pekerjaan, 𝑥jam kemudian. a) Tentukan fungsi kecepatan pekerja dalam
mengumpulkan pekerjaan setelah 𝑥 jam.b) Pada pukul 09:00, berapakah kecepatan pekerja
mengumpulkan pekerjaannya?c) Sketsakan grafik keefektifan pekerja tersebut.
![Page 19: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/19.jpg)
ATURAN PENJUMLAHAN
The sum rule:𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
Then, the difference of derivative: 𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
![Page 20: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/20.jpg)
ATURAN PERKALIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi yang terdiferensial pada 𝑥, maka perkalian kedua fungsi tersebutdidefinisikan:
𝑓 ∙ 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)
![Page 21: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/21.jpg)
ATURAN PEMBAGIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi yang terdiferensial pada 𝑥 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka pembagian keduafungsi tersebut didefinisikan:
𝑓
𝑔
′𝑥 =
𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥 2
![Page 22: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/22.jpg)
ATURAN RANTAI
![Page 23: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/23.jpg)
LATIHAN 3
1) 𝐹 𝑥 =𝑥2−1
2𝑥+3
2) 𝐺 𝑥 = (𝑥3 − 2𝑥)(2𝑥 + 5)
3) Diketahui fungsi 𝐺 𝑥 = (9𝑥8 − 8𝑥9) 𝑥 +1
𝑥:
a) Tentukan 𝐺′(𝑥)
b) Tentukan 𝐺′(−1)
4) 𝐹 𝑥 =1
𝑥5−2𝑥+1 2
5) Tentukan nilai 𝐺′(2) dari 𝐺 𝑠 =3
5𝑠2+2
![Page 24: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/24.jpg)
DIFERENSIALFUNGSI IMPLISIT
![Page 25: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/26.jpg)
LATIHAN 4
1. 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥𝑦
2. 5𝑥 − 𝑥2𝑦3 = 2y
3. 𝑦2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑥2 = 9
4. 𝑥 + 𝑦 = 1
Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang sudah diberikan:
5. 𝑥2 = 𝑦3 di (8, 4)
6. 𝑥2 − 𝑦3 = 2𝑥 di (1, −1)
![Page 27: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/27.jpg)
7. Pertumbuhan tumor suatu tumor dimodelkan, secarakasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius tumor saat ini 𝑅 = 0.54 cm dan mempunyaikecepatan tumbuh 0.13 cm per bulan. Berapakankecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui:
𝑉 =4
3𝜋𝑅3
![Page 28: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/28.jpg)
APLIKASI DERIVATIVE
![Page 29: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/29.jpg)
LATIHAN
Tentukan interval naik dan turun dari kurva berikut
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5
2. 𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡2 + 1
3. 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥3
![Page 30: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/30.jpg)
4.
![Page 31: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/31.jpg)
THE MEAN-VALUE THEORM
Jika 𝑓 adalah fungsi terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏) dan kontinu di selangtertutup [𝑎, 𝑏], maka terdapat paling tidak satu bilangan 𝑐 di (𝑎, 𝑏) sedemikiansehingga:
𝑓′ 𝑐 =𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
![Page 32: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/32.jpg)
KETERANGAN
Perhatikan gambar:Nilai dari
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎adalah kemiringan dari suatu garis, ℓ,
yang melalui titik (𝑎, 𝑓 𝑎 ) dan (𝑏, 𝑓 𝑏 ).
Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwagrafik 𝑓 mempunyai paling tidak satu titik (𝑐, 𝑓 𝑐 )dimana garis singgungnya sejajar dengan garis ℓ.
![Page 33: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/33.jpg)
ROLLE THEORM
Andaikan bahwa 𝑓 adalah fungsi yang terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏) dankontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 . Jika 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏) keduanya bernilai 0, makaterdapat paling tidak satu bilangan 𝑐 sedemikian hingga:
𝑓′ 𝑐 = 0
![Page 34: DERIVATIVE - WordPress.com4 8−1 2 6− +2 2. =1 ... yang melalui titik ( , )dan ( , ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik mempunyai paling tidak satu titik](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022041802/5e5234d867a50f77755165b8/html5/thumbnails/34.jpg)
LATIHAN
Tunjukkan bahwa 𝑓 memenuhi kondisi dari teorema Rolle di interval yang diberikan. Tentukan bilangan 𝑐 di dalam interval sedemikian sehingga 𝑓′ 𝑐 = 0
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥; [0,1]
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2 − 8; [−2,2]
Tunjukkan bahwa 𝑓 memenuhi kondisi teorema mean-value pada interval yang diberikan. Tentukan nilai 𝑐 yang memenuhi konklusi dari teorema.
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥2; [1,2]
4. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 4𝑥; [1,4]