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Derivada en un punto
La derivada de una func ión f ( x) en un punto x = a e s e l valor del
l ímite , s i e x i s t e , de l cociente incremental cuando e l incremento de la
variable t iende a cero .
Ejemplos
Ca lcu la r la derivada de la func ión f (x ) = 3x 2 en e l punto x = 2.
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Hal la r la derivada de la func ión f(x) = x 2 + 4x − 5 en x = .
Ca lcu la r la derivada de en x = −5.
Ha l la r la derivada de en x = .
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!eter"inar la derivada de en x = 2.
Ca lcu la e l #a lor de la derivada en x = 2.
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Hal la r la derivada de en x = 3.
Derivadas laterales
Derivada por la izquierda
Derivada por la derecha
$na función es derivable en un punto s i , % só lo s i , es der i#a& le por
l a i ' ui e rda % po r l a der e ca e n d i co pun to % l a s derivadas laterales
coinciden .
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Ejemplo
*stud iar e l #a lor de la derivada de en x =
C o" o n o c oi nc id en l as der ivadas l a tera les la f un ci ón n o t ie ne
der i#ada en x = .
Interpretación de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada
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C ua nd o t ie nd e a , e l p un to t ie nd e a c on fu nd i rs e c on e l -.
*nt onc e s l a recta secante t i e nde a s e r l a recta tangente a l a f unc ión
f(x) en -, % por tanto e l ngulo ! t iende a ser " .
La pendiente d e l a t anen t e a l a c u r# a e n un pun t o e s i ual a l a
derivada de la func ión en ese punto.
m t = f # $a%
Ejemplos
!ada f ( x ) = x 2 , c a l cu la r l o s pun tos en l os ue l a r e c t a t anen te e s
para le la a la &isectr i' de l pr i"er cuadrante.
La ecuac ión de la & isec t r i ' de l pr i"er cuadrante es % = x , por tanto
su pendiente es "= .
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Co"o l a s dos r e c t as son pa ra l e l a s t endr/n l a " i s"a pend ien te , a s 0
ue1
f # $a% = & .
! ad o ue l a p en di en te d e l a t an e nt e a l a c ur #a e s i u al a l a
der i#ada en e l punto x = a.
!ada la cur#a de ecuac ión f (x ) = 2x 2 − 3x − , a l la las coordenadas
de los puntos de d ica cur#a en los ue la tanente for"a con e l e e un
/nu lo de 45.
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!eter"inar los #a lores de l par/"etro &, para u6 las tanentes a la
cur#a de la func ión f (x ) = & 2x 3 + &x 2 + 3x + 7 en los puntos de a&sc isas x
= , x = 2 sean para le las.
-ara ue sean para le las se t iene ue cu"pl i r ue las der i#adas en x
= % x = 2 sean iuales.
f 8 () = f 8 (2)
f 8 (x ) = 3& 2x 2 + 2&x + 3
f 8 () = 3& 2 + 2& + 3
f 8 (2) = 2& 2 + 4& + 3
3& 2 + 2& + 3 = 2& 2 + 4& + 3
7& 2 + 2& =
b = ' b = ()*+
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Interpretación física de la derivada
,elocidad media
La velocidad media es e l coc iente ent re e l espacio recorr ido $-e%
% e l t iempo transcurrido $-t% .
,elocidad instantnea
La velocidad instantnea es e l l 0" i te de la #e loc idad "edia cuando
9t t iende a cero, es dec i r , la derivada del espacio respecto al t iempo .
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Ejemplo
La r e l a c i ón en t re l a d i s t ancia r e co r r i da en "e tros po r un "ó# i l % e l
t ie"po en seundos es e(t) = :t 2 . Ca lcu la r 1
& la #e loc idad "edia entre t = % t = 4.
La #e loc idad "edia es e l coc iente incre"ental en e l inter#alo ;, 4< .
) La #e loc idad instant/nea en t = .
La #e loc idad instant/nea es la der i#ada en t = .
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Cu /l e s l a # el oc id ad ue l le #a u n # e 0c ul o s e " ue #e s e >n l a
ecuac ión e(t) = 2 − 3t 2 en e l u in to seundo de su recor r ido? * l espac io se
"ide en "etros % e l t ie"po en seundos.
$na po& la c i ón &ac te r i ana t i ene un c re c i" ien to dado por l a f unc ión
p(t) = 5 + t@ , s iendo t e l t ie"po "et ido en oras. Ae pide1
&. La #e loc idad "edia de crec i"iento.
). La #e loc idad instant/nea de crec i"iento.
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/. La #e loc idad de crec i"iento instant/neo para t = oras.
Derivadas de funciones
0a f u nc i ón de ri vada de u n a f u n c ión f $x% e s u n a f u n ci ón qu e
asocia a cada n1mero real su derivada , s i ex iste. Ae expresa por f # $x% .
Ejemplos
!eter"inar la func ión der i#ada de f(x) = x 2 − x + .
Ca lcu la r f 8 (−) , f 8 () % f 8 ()
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f 8 (−) = 2(−) − = (/
f 8 () = 2() − = (&
f 8 () = 2() − = &
Derivada de las funciones a trozos
*n las funciones def in idas a t rozos e s n e ce sa r io e s tud ia r l a s
derivadas laterales en los puntos de separac ión de los dist intos t rozos .
*s tud iar la derivabi l idad de la func ión f(x) = BxB .
- ue st o u e l a s derivadas laterales en x = ' son dist intas , la
func ión no es derivable en d ico punto.
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L as derivada laterales no co inc iden en l os p i cos n i en l os pun tos
anulosos de las func iones. -or tanto en esos puntos no ex iste la der i#ada.
o es der i#a&le en x = .
Ha l l a r e l pun to en ue % = B x + 2 B no t i ene de r i # ada . D us t i f i c a r e l
resu l tado representando su r/ f i ca .
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La func ión es cont inua en toda .
f #$()% ( = (&f#$()% 2 = &
o ser/ der i#a&le en1 x= E2.
*n x = E2 a% un pico, por lo ue no es der i #a&le en x= E2.
H al la r l o s p u nt os e n u e % = B x 2 − 5x + : B n o t i ene de r i# ada .
Dust i f icar e l resultado representando su r/f ica.
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La func ión es cont inua en toda .
f #$)% 3 = (&f#$)% 2 = &
f #$/% 3 = (&f#$/% 2 = &
C o" o n o c oi nc id en l as d er i# ad as l at er al es l a f un ci ón n o s er /
der i#a&le en1 x=2 % x=3.
-ode " os o& s e r # a r ue e n x = 2 % e n x = 3 t e ne " os do s pun t o s
anu losos , por lo ue la func ión no se r/ der i#a& le en e l los .
4abla de derivadas
Derivadas inmediatas
Derivada de una constante
Derivada de x
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Derivada de función af ín
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de suma
Derivada de de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de constante part ida por una función
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Derivada de un cociente
Derivadas exponenciales 5 logarítmicas
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
Derivada de un logaritmo neperiano
Derivadas trigonométricas
Derivada del seno
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Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Derivadas trigonométricas inversas
Derivada del arcoseno
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Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Derivada la función potencial3exponencial
6egla de la cadena
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7órmula de derivada implícita
Derivada de una constante
La derivada de una constante es cero .
Ejemplo
Derivada de x
La der ivada de x e s i u al a & . * s dec i r , l a de r i # ada de l a f unc ión
ident idad es iua l a la un idad.
Derivada de una potencia de base x
Derivada de una raíz de radicando x
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Derivadas exponenciales 5 logarítmicas
Derivada de la función exponencial de exponente x
Derivada del logaritmo de x
Derivadas trigonométricas
Derivada del seno de x
Derivada del coseno de x
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Derivada de la tangente de x
Derivada de la cotangente de x
Derivada de la secante de x
Derivada de la cosecante de x
Derivadas trigonométricas inversas
Derivada del arcoseno de x
Derivada del arcocoseno de x
Derivada del arcotangente de x
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Derivada del arcocotangente de x
Derivada del arcosecante de x
Derivada del arcocosecante de x
Derivada de una potencia
La der ivada de una potenc ia o func ión potenc ial 8 e s i ua l a l
exponente por la &ase e le#ada a l exponente "enos uno % por la der i#ada
de la &ase.
A i la &ase es la func ión ident idad, la der i#ada es iua l a l exponente
por la &ase e le#ada a l exponente "enos uno.
f$x% = x 9 f # $x%= 9 : x 9 ( &
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Ejemplos
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Derivada de una raíz
La de ri vada de l a ra íz e n és im a d e u n a f u nc ió n e s i u al a l a
der i#ada de l rad icando par t ida por la n #eces la ra 0' en6s i"a de la func ión
radicando e le#ada a n "enos uno.
Derivada de la raíz cuadrada
La d er iv ad a d e l a r aí z c ua dr ad a d e u na f un ci ón e s i u al a l a
der i#ada de l rad icando par t ida por e l dup lo de la ra 0' .
Ejemplos
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Derivada de una suma
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La derivada de una suma de dos func iones e s i ua l a l a suma de
las derivadas de dicas func iones.
* st a r e l a s e e xt i ende a c ual ui e r n>"e ro de s u"andos , % a s ean
pos it i#os o neat i#os.
Ejemplos
Derivada de un producto
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La derivada del producto de dos func iones es iua l a l pr i"er fac tor
por l a de r i # ada de l s eundo "/s e l s eundo f a c to r po r l a de r i # ada de l
pr i"ero.
Derivada de una constante por una función
La derivada d el p ro du ct o d e u n a constante por una func ión es
iua l a l producto de la constante por la der i#ada de la func ión .
Ejemplos
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Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos func iones es iua l a la der i#ada de l
nu"erador por e l deno"inador "enos la der i#ada de l deno"inador por e l
nu"erador, d i# id idas por e l cuadrado de l deno"inador.
Derivada de una constante part ida por una función
Ejemplos
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Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial ea iua l a la " is"a func ión
por e l loar i t"o neper iano de la &ase % por la der i#ada de l exponente.
Derivada de la función exponencial de base e
La der ivada de l a func ión exponenc ia l de base e e a i ua l a l a
"is"a func ión por la der i#ada de l exponente.
Ejemplos
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Derivadas logarítmicas
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La derivada de un logari tmo en &ase a es iua l a la der i#ada de la
func ión d i# id ida por la func ión , % por e l loar i t"o en &ase a de e .
Co"o , ta"&i6n se puede expresar as 01
Derivada de un logaritmo neperiano
La derivada del logari tmo neperiano e s i ua l a l a de r i # ada de l a
func ión d i# id ida por la func ión .
*n a lunos e e rc ic ios es con#en iente u t i l i 'a r las prop iedades de los
loar i t"os antes de der i#ar, %a ue s i"pl i f ica"os e l c/ lcu lo.
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Ejemplos
Fpl i cando las prop iedades de l os loar 0 t"os o&tene"os1
Fp l i cando las prop iedades de l os loar 0 t"os o&tene"os1
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Fpl i cando las prop iedades de l os loar 0 t"os o&tene"os1
Fp l i cando las prop iedades de l os loar 0 t"os o&tene"os1
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Fpl i cando las prop iedades de l os loar i t"os tene"os1
Fp l i cando las prop iedades de l os loar i t"os tene"os1
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Fpl i cando las prop iedades de l os loar 0 t"os o&tene"os1
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Derivación logarítmica
Co n d eter "i nad as f unc i one s, e sp eci al "ent e p ara l a función
potencial3exponencial , es aconse a& le el e"pleo de l a derivación
logarítmica , %a ue fac i l i tan &astante e l c/ lcu lo.
.
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.
Ejemplos
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Fpl i ca"os la def inición de logaritmo 1
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Derivada del seno
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La derivada del seno de una func ión es iua l a l coseno de la func ión
por la der i#ada de la func ión.
Ejemplos
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Derivada del coseno
La derivada del coseno de una func ión es i ua l a "enos e l seno de
la func ión por la der i#ada de la func ión .
Ejemplos
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Derivada de la tangente
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La der ivada de l a función tangente e s i ual a l c u adr ado de l a
secante de la func ión por la der i#ada de la func ión .
Ejemplos
Derivada de la cotangente
La derivada de la función cotangente es iua l a "enos e l cuadrado
de la cosecante de la func ión por la der i#ada de la func ión .
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Ejemplos
Derivada de la secante
La derivada de la secante de una func ión es iua l a la secante de la
func ión por la tanente de la func ión, % por la der i#ada de la func ión.
![Page 52: Derivada en un punto.docx](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022021300/577c7ac31a28abe054962c6a/html5/thumbnails/52.jpg)
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Ejemplos
Derivada de la cosecante
La der ivada de l a cosecante de una f un c i ón e s i ua l a " e nos l a
cosecante de la func ión por la cotanente de la func ión , % por la der i#ada
de la func ión .
Ejemplo
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Derivada del arcoseno
La derivada del arcoseno de una func ión e s i ua l a l a de r i # ada de
la func ión d i # i d ida po r l a r a 0 ' cuadrada de uno "enos e l cuadrado de l a
func ión.
Ejemplos
![Page 54: Derivada en un punto.docx](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022021300/577c7ac31a28abe054962c6a/html5/thumbnails/54.jpg)
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Derivada del arcocoseno
La derivada del arcocoseno d e una f un ci ón e s i ua l a " enos l a
der i #ada de l a f u nc i ón d i #i d ida po r l a r a0 ' c uad r ada de uno " enos e l
cuadrado de la func ión.
Ejemplos
![Page 55: Derivada en un punto.docx](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022021300/577c7ac31a28abe054962c6a/html5/thumbnails/55.jpg)
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Derivada del arcotangente
La derivada del arcotangente de una func ión es iua l a l a der i#ada
de la func ión d i# id ida por uno "/s e l cuadrado de la func ión .
Ejemplos
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![Page 57: Derivada en un punto.docx](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022021300/577c7ac31a28abe054962c6a/html5/thumbnails/57.jpg)
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Derivada del arcocotangente
La derivada del arcotangente de una func ión e s i ua l a "enos l a
der i#ada de la func ión di# id ida por uno "/s e l cuadrado de la func ión.