UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO

FACULTAD: INGENIERIA CIVIL CURSO : MATEMATICA I TEMA : APLICACION DE LA DEVIVADA EN LA FISICA DOCENTE : KLEBER ALUMNO : AYALA TOLEDO JESUS DE LA CRUZ SOLANO RAPHAEL MORALES RAMOS DANNY

APLICACINES DE LA DERIVADA A LA FISICA (CINEMATICA)

Sabemos que el movimiento de un mvil describe el cambio de posicin de un determinado tiempo, es decir:

Supongamos que se hace rotar un(objeto) esfera sobre una mesa sin considerar la fuerza que causa dicho movimiento y partir de un punto de referencia medimos la distancia y el tiempo hasta donde se detiene la esfera y anotamos en el plano xt formando una nube de puntos.

Entonces esta nube de puntos se aproxima al comportamiento de una Lnea Recta y eso quiere decir que podemos representar el comportamiento del fenmeno por la funcin Lineal .Y as sucesivamente muchos fenmenos fsicos podemos representar o modelar con funciones de diversas clases.

Bien, ahora supongamos que sea una funcin arbitraria que describe cualquier movimiento fsico:

La Velocidad Media () es:

La Aceleracin Media () es:

La velocidad instantnea ()

Para determinar la velocidad se supone el incremento y deben aproximarse a cero por ello el punto M se debe aproximar a P y a medida de esa aproximacin y tambin se aproximan, sabemos tambin que inicialmente la pendiente de la recta secante es:

Y a medida que M se hace aproxima a P la pendiente se aproxima a obviamente y se hacen cada vez ms pequeos.Adems las aproximaciones lo denotaremos con el trmino de lmite.

Es decir: si

En general:

Ejercicios resueltos

Ejemplos:1.- La posicin de un mvil en funcin de tiempo es donde: x se mide en metrost se mide en segundosa) Dibujar la grfica b)

Encuentre la velocidad media para los intervalos:t t t c) Dibuje la grfica de la velocidad en t d) Encuentre la velocidad para t=0, t=2 y t=3e)

Encuentre la aceleracin media para t y t f) Dibuje la grfica de la aceleracin para t Solucina) La grfica de es:

b)

* t

* t

* t

c)

d)

d.1) d.2) d.3)

e)

* t

* t

f)

en t

2.- La posicin de una partcula est dada por la ecuacin:

x t 3 6 t 2 20 t 50

Calcular:

El intervalo de tiempo que transcurre para que su velocidad se anule y la longitud recorrida en ese tiempo.

Solucin:v dx 3t 2 -12t 20 3t 2-12t 20 0 t 5,27 sy

dt

x(0) 50 m ;x(5,27) 175,7 m

3) El movimiento de una partcula est definido por la ecuacin

x t3 10 t2 20 t 16

x en metros y t en segundos.

Calcular la longitud recorrida por la partcula entre t=0s y t= 12 s.

Solucin:x 2 t 3 6 t 2 28 t 10 2.103 6 102 28 10 10 1670 m

4. Esta era la situacin del movimiento del autobs y de los cuatro viajeros en funcin del tiempo:Ecuaciones de movimiento del:

Autobs

Viajero (1)

Viajero (2)

Viajero (3)

Viajero (4)

Donde e es el espacio en metros y t el tiempo en segundos.

a) En qu instante llegan a la parada los viajeros 1 y 2? (Hay que mirar en la grfica y tambin haciendo clculos con las ecuaciones dadas)b) A qu distancia se encuentran de la parada los viajeros 3 y 4, cuando arranca el autobs de la parada? (Hay que mirar en la grfica y tambin haciendo clculos con las ecuaciones dadas)c) En qu instante y a qu distancia de la parada se encuentran cada uno de los cuatro viajeros con el autobs? (Hay que mirar en la grfica y tambin haciendo clculos con las ecuaciones dadas)d) Calcula la velocidad tanto del autobs, como de cada viajero, en cada instante calculando la derivada de cada funcin espacioe) Deduce qu viajero alcanza el autobs "suavemente" y cul no. Solucin al problema

0 El viajero 1 llega a la parada a los 7 seg de haber arrancado el autobs, y el 2 a los 10 seg.Adems de verlo en la grfica se puede deducir haciendo y=0 en las ecuaciones de movimiento de cada uno.

e=0, t=7 seg

e=0, t=10 segb) El viajero 3 se encuentra a 96 metros de la parada cuando arranca el autobs, y el 4 a 95 m.Adems de verlo en la grfica se puede deducir haciendo t=0 en las ecuaciones de movimiento de cada uno.

t=0, o cualquier valor de t, e=96, distancia = 96 m

, t=0, e=95 m, distancia = 95 mc) Resolviendo el sistema entre la ecuacin del autobs y la del viajero 1 encontraremos que una de las soluciones es t=11 seg, y se puede comprobar en la figura que es el instante donde se encuentran sus grficas. O sea, el viajero 1 alcanza al autobs a los 11 seg de haber arrancado.Haciendo lo mismo con el viajero 2, obtenemos que alcanza al autobs a los 15 seg.El 4 lo alcanza a los 23 seg, y el 3 a los 23 seg.d)Ecuaciones de movimiento del:Derivada=velocidad

Autobs

Viajero 1

Viajero 2

Viajero 3

Viajero 4

e) Como ya conocemos en qu instante alcanza cada viajero al autobs, calculando la velocidad en dichos instantes y comparndola con la del autobs podremos saber la respuesta.Viajeroinstante de alcancevelocidad viajerovelocidad busrazn velocidades

111 sege(11)=5.35 m/se(11)=3.9 m/s5.35/3.9=1.37

215 sege(15)=8 m/se(15)=5.3 m/s8/5.3=1.5

323 sege(23)=0 m/se(23)=8.2 m/s0/8.2=0

423 sege(23)=4.3 m/se(23)=8.2 m/s4.3/8.2=0.52

Lo ideal es que el viajero vaya a la misma velocidad que el autobs en el momento del alcance, por tanto la razn de velocidades debera ser 1.El viajero que lo coge ms suavemente es el 1 pues esta razn es la ms prxima a 1. Le sigue el 2. Al 4 le costar bastante, pero el que corre verdadero peligro si lo intenta es el 3. Este viajero ha permanecido quieto (vel=0) a 96 metros de la parada, esperando que pase por all el autobs, pero ste ya va muy rpido al pasar.El viajero 4, que estaba a 95 metros de la parada ha corrido en direccin a la parada, y se ha vuelto para correr en la misma direccin del autobs y coger velocidad para el momento del alcance.

5. Imaginemos que el nmero de bacterias de un cultivo vara con el tiempo, expresado en minutos, segn la ecuacin N=500+50t-t2 para t[0,35] Cul es la velocidad de crecimiento de la poblacin en el instante t=7 min?Dibuja la grfica de la funcin e interpreta el resultado en la grficaSOLUCIN DEL PROBLEMA

Hallando la derivada de la funcin N(t), N(t) es la velocidad de crecimiento de la poblacin en cualquier instante t. Hallando N(7) podremos responder a la pregunta.N=500+50t-t2

N=50-2t

N(7)=50-2*7=50-14=36

Velocidad de crecimiento en el instante t= 7 min = 36 bacterias por minuto

Quiere decir que en el instante 7 min la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (7, 801) es tag()=36

6. Un cochecito teledirigido se lanza por una cuesta. La distancia recorrida en metros al cabo de t segundos viene dada por d=0.2t2+0.03t3a) Qu velocidad lleva al cabo de 2 seg, 5 seg, y 6 seg?b) Cuando el cochecito alcanza una velocidad de 46.8 km/h, los frenos son insuficientes Cunto tiempo puede permanecer bajando sin que el conductor se preocupe por sus frenos?Solucin del problemad=0.2t2+0.03t3

d=0.4t+0.09t2

v(2)=d(2)=0.4*2+0.09*22=1.16 m/s, velocidad a los 2 seg

v(5)=d(5)=0.4*5+0.09*52=4.25 m/s, velocidad a los 5 seg

v(6)=d(6)=0.4*6+0.09*62=5.64 m/s, velocidad a los 6 seg

Si v=46.8 Km/h

Si v(t)=d(t)=0.4*t+0.09*t2=13 m/s,

0.4*t+0.09*t2-13=0

0.09*t2+0.4*t -13=0 resolviendo esta ecuacin queda

t=10 seg

A los 10 segundos pueden fallar los frenos del coche.

7._El movimiento rectilneo de una parbola se define por la siguiente ecuacin: X(t)= ; Donde: x se mide en metros T se mide en segundosDeterminar:a) La posicin, la velocidad y la aceleracin de la partcula cuando el tiempo es 2. b) El desplazamiento, la Vm, la am, en el intervalo de tiempo de 0c) Interprete el movimiento.Solucin:a)t=2 El desplazamiento en o Posicin: X(2)=8-16+4-8=-12m el espacio total recorrido: Velocidad: =2(-7.73-(-8))+(-8-(-12))+2(-12-(-12.43))V= =54mV(2)=12-16+2=-2m Aceleracin:a=a(2)=24-8=16 m/b) el desplazamiento 0

Velocidad media:Vm= Aceleracin media:Am=c) sabemos que el tiempo t Determinemos cuando la posicin es cero.

Cuando t=4 s x(4)=0 Cuando la velocidad es cero:

X(2.39)=-12.42mX(0.28)=-7.73mX(1)=1-4+2-8=-9 t=2 x(2)=-12X(0)=-8 t=3 x(3)=-11

8._Si: s=f(t)=

a) Calcular la velocidad media en el intervalo [10;10.1]b) Calcule la velocidad cuando t=10Solucin:a) tenemos t=10 y

b) la velocidad v en el movimiento t est dada por:

Observe que la velocidad media en el intervalo [10; 10,1] es cercana a la velocidad en t=0, esta era de esperarse porque la duracin del intervalo es muy pequea.9._de la figura el tren mide L:V=10m/s (velocidad del tren)Calcule el tiempo mnimo t que demore en pasar n tuneles de distancia d si:d= metrosResolucin: recorrido total=nd+nL =v.t=nd+nL=10t Para que sea mnimo el tiempo, t debe de ser maxima.

+5=t, de donde

10._la altura s en el instante t de una moneda que se deja caer desde un edificio viene dada por s (t)=con s mediada en pies y t en segundos.a) hallar la velocidad promedio en el intervalo [1,2].b) halla la velocidad instantnea, para t=1 y t=2.c) cunto tarda en llegar al suelo.d) hallar la velocidad de la moneda al golpear el suelo.Solucin:

a) velocidad promedio: v=Para t=pertenece a [1,2] b) velocidad instantnea: V (t)=Entonces V(1)=-32 pies/pulg, v(2)=-64 pies/pulgc) la moneda llegara al suelo cuando s=0Luego, si S (t)=0 d) la velocidad de la moneda al golpear al suelo es:V (9.185)=-32(9.185)=-283.9 pies/pulg.Las velocidades negativas nos indican que el objeto se mueve hacia abajo.

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