deber variables multidimensionales

8/17/2019 Deber Variables Multidimensionales

1/17

VARIABLES MULTIDIMENSIONALES

1. Siendo

( ), 0.5 f x y xy=

la densidad de la probabilidad conjuna de la !ariable

( ), X Y

de"nida en el iner!alo para

( )0;2 X

#$ para

( )0;Y x

. %&robar si X

eY

son

independienes'

( )

( )

( )2 2

2

00 0 0

22

3 4

00

, 0,5

Probar si es : 0,5 1

10,5

4

1 11

4 16

xy R

x x

f x y xy

fdp xy dxdy

xy dy dx xy dx

y dx y

=

=

=

= = =

∫∫

∫ ∫ ∫

∫

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

22

2

00

22

2

00

:

1.2.

3. ,

1, 0,5

4

1, 0, 5

4

, 0,5 1

2

, 0, 5 1

2

,

Ry

Rx

Si X yY sonindependientes

f x y f x f y x g y

f x g y f x y

f x f x y dy xy dy xy x

g y f x y dx xy dy x y y

f x y xy f x y x x

g y y

f x y xy f y x y y

f x x

f x g y xy f x y

No son independ

==

=

= = = =

= = = =

= = = ≠

= = = ≠

= ≠

∴

∫ ∫

∫ ∫

ientes


2/17

(. Siendo

( ) 2 2, 3 3 f x y x y y x= +

la densidad de la probabilidad conjuna de la

!ariable

( ), X Y

de"nidas en el iner!alo

( )0;1

. %)u*l es el !alor de

( )1 E Y x =

'

( )

( )

( )

2 2

2 2

11 1 1

2 2 2 2 3

00 0 0

11

2 3 2

00

, 3 3

Probar si es : 3 3 1

33 3

2

3 1 1 12 1

2 2 2 2

xy R

f x y x y y x

fdp x y y x dxdy

x y y x dy dx x y y x dx

x x dx x x

= +

+ =

+ = +

+ = + = = ÷ ÷

∫∫

∫ ∫ ∫

∫

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )

1

2 2 2

0

2 2

2

2 2

2

1

2 2 3 2

2 2

0

2

2

,; ,

33 3

2

3 3

3

2

3 3

3

2

2 2 33 3

42 3 2 3

4 3

2 2 3

Ry

Ry

Ry

E y x yg y x dx

f x y g y x f x f x y dy

f x

f x x y y x dy x x

x y y x g y x

x x

x y y x E y x y dy

x x

x y y x dy x x x x x x

x x E y x

x x

E y x

=

= =

= + = +

+=

+

+ ÷

= = ÷

÷+ ÷

+ = + ÷ ÷ ÷+ +

+ ÷= ÷+

=

∫

∫

∫

∫

∫

( ) 7

1 0, 710

= =

Eseban Alejando Vaca )erda+r1


3/17

,. De-osrar ue

( ) ( ){ }/ E X E E X y=

#

( ) ( ){ }/ E Y E E Y x=

.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

,

,

,

,

,

,

Rx

Rx

Ry

Ry Rx

Ry Rx

Ry Rx

Ry Rx

Rx Ry

Rx Ry

f x

E x xf x dx

E x y xf x y dx H y

E H y H y g y dy

E E x y xf x y dx g y dy

E E x y xf x y g y dxdy

f x y f x y

g y

f x y E E x y x g y dxdy

g y

E E x y xf x y dxdy

E E x y xf x y dydx

E E x y x f x y dy dx

f x f x y

=

= =

=

=

=

=

=

==

=

=

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ 1 442 4 43

( )( ) ( ) ( )

Ry

Rx

dy

E E x y xf x dx E x= =

∫

∫

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

,

,

,

,

,

,

Ry

Ry

Rx

Rx Ry

Rx Ry

Rx Ry

Rx Ry

Ry Rx

Ry Rx

g y

E y yg y dx

E y x yg y x dy H x

E H x H x f x dx

E E y x yg y x dy f x dx

E E x y yg y x f x dydx

f x y g y x

f x

f x y E E x y y f x dydx

f x

E E x y yf x y dydx

E E x y yf x y dxdy

E E x y y f x y dx dy

g y f x y dx

=

= =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ 1 442 4 43

( )( ) ( ) ( )

Rx

Ry

E E x y yg y dy E x= =

∫

∫



4/17

/. De-osrar ue una re0resin lineal enre dos !ariables. El coe"ciene de

correlacin -uesral

( ) xy R

puede ser calculado alernai!a-ene por2

xy

Sxy R

Sxx Syy=

×

( )

( )∑∑

−

−=

2

2

2 )(ˆ

y y

y x y R

i

i

xy

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2 2

2

2

2

0 12

2 2 22

0 1 1 1 1 1

2 2 2 2

2

22

2 2 2 41 1

2 2

ˆ( ): 0 1

ˆ( )ˆ

ˆ( )

i

xy xy

i

i

xy i i

i

i i ii

i i i i

xy

xxi xx xx

yyi

y x y Por definición R donde R

y y

y x y R sea y x A A x

y y

A A x y y A x A x y A x A x y x y

y y y y y y y y

S S

A x x A S S

S S y y

−= ≤ ≤

−

−= = +

−

+ − − + − − +−= = = =

− − − −

−

= = =−

∑∑

∑∑

∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑

∑∑( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2

2 2 2 2 _

2 22

xy xy

xy

yy yy xx yy xx

i i i

i xx

S S

RS S S S

x x x x x x x x S

n n n n

= → =

−= − + = − =

∑ ∑ ∑ ∑



5/17

3. De-osrar ue en una re0resin lineal -4liple$ el coe"ciene de la re0resin

se puede calcular por2

2

22

33

2

22

2

112

yy

mym y y y

S

S AS AS AS A R

++++=

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2

2 2

2

2

2

0 12

22

0 1 1 2 2

2 2

2

1 1 2 2 1 1 2 2

2

1 1 1 2 2 2

ˆ( ): 0 1

ˆ( )ˆ

....ˆ( )

... ...

i

xy xy

i

i

xy i i

i

n ni

i i

n n n n

i

y x y Por definición R donde R

y y

y x y R sea y x A A x

y y

A A x A x A x y y x y

y y y y

y A x A x A x A x A x A x y

y y

A x x A x x

−= ≤ ≤

−

−= = +

−

+ + + + −−= =

− −

− − − − + + + + −=

−− + −

=

∑∑

∑∑

∑∑∑ ∑

∑

∑( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

22 211 22

1 12

2

2

2 2 22 2 2

1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2

2

2 2 2 2

1 11 2 22

....

... 2 ....

nnn

n n n

yy

S S S S S

n n n n n n n

yy

A x x

S

A x x A x x A x x A A x x x x A A x x x x A A x

S

A S A S

+ + −

− + − + + − + − − + + − − + =

+ + +=

∑

∑64 7 48 64 7 48 64 7 48 6 4 44 7 4 4 48 6 4 44 7 4 4 48 6

( ) ( ) ( )

1 2

2 2

1 2 12 1 1 2 2

2

2 2 2

1 1 11 2 12 1 2 1 21 2 22 2 1 1 2 22

1 11

2

... 2 ... 2 2

... ... .... ...

y y ny

n nn n n n n

yy

S S S

n n n n n n n n n n

yy

n

A S A A S A A S A A S

S

A A S A S A S A A S A S A S A A S A S A S

S

A S

A

A

+ + + + +

+ + + + + + + + + + + +=

6 4 4 4 4 7 4 4 4 4 8 6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48 6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48

M

22

1 1 11 2 12 1112 1

222 1 21 2 22 2221 22 2

2 21 2 1 1 2 2

1 1 2 2

2

...

...

...

....

y n n yn

y n n yn

n n nn ny n n n n nny

y y n ny

yy

S A S A S A S S S S

S A S A S A S S S S S

S S S S A S A S A S S

A S A S A S

S

= + + + = + + + = = + + + + + +

=

L

L

M M O M MM

L

5. Los daos e6peri-enales dados de( ), , ,i i i X Y Z

se ajusan esad7sica-ene

8M7ni-os cuadrados9 a una e6presin no lineal de la :or-a2

B C Z A X Y = × ×.

Encuenre los !alores de A$ B # ) # el coe"ciene de la re0resin R(.

8Lineali;ar por -edio de lo0ari-os9



6/17

( ) ( )

( ){ { { { { {

0 1 2

0 1 2

ln ln

ln ln ln ln

B C

B C

x y A A A z

Z A X Y

Z A X Y

Z A B X C Y

z A A x A y

= × ×

= × ×

= + +

= + +

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

_ 22 2 2

_ 22 2 2

_ 2 2 2 2

1

2

1, 45 0, 98 0, 50

0, 82 0, 38 0, 68

6,84 1,7 1 3,9 3

0, 94 0, 98 0, 38 0, 57

3, 06 0, 98 1, 71 1, 39

2, 27 0, 38 1, 71 1, 630,50

0,5

xx i

yy i

zz i

xy yx

xz

yz

S x x

S y y

S z z

S S xy x y

S xz x z

S yz y z A

A

= − = − − =

= − = − − =

= − = − =

= = − = − − − =

= − = − − − = −

= − = − − − = −

=

( ) ( )

( ) ( )

1

1

2

0

2

1,18 1,41

0, 57 1, 39 1,18

7 0, 68 1, 63 1, 41

1,71+1,18 0,98 1,41 0,38 0,0264

1,18 1,3 9 1,4 1 1,6 3 0, 9999

3,93

!"0,0264 1,18 1, 41

1, 0267515

1,18

1,41

1,03

A

A

A

x y

A

B

C

Z X Y

Calclode R dee

−

− −

− = − − = −

= − + − =

− − − −= =

− −== −= −

= × ×

( )

( )

15 2

2 1

152

1

ˆ152735,62

0,9829155391,18

n

n

xponencial

Z Z

R

Z Z

=

=

−= = =

−

∑

∑



7/17


8/17

>. Una eor7a :7sica =ace pre!er ue y depender* de x se04n la e6presin

22 y C x p+ =

$ donde ) # p son dos consanes nu-?ricas. Esi-e los -ejores

!alores de ) # p por -edio del -?odo de los -7ni-os cuadrados a parir de

los daos si0uienes2

x 1 ( , / 3 5 <

y @.(

@.5

@.>

1./

(.5

,.(

3.@



9/17

{{ {

( ) ( )

( )

( )

( )

0

1

2

1

2 2

0

0 1

1 2

12

0 1 2

2 2

2 2

1

0

2

1

21

2

668,00 20,00 268,00

6, 43 1, 97 2, 54

65, 34 1, 97 20, 00 25, 91

25,910,097

268,00

1,97 0,097 20,00 0,038

t A

A

ty

tt

ty

yy

tt

yy

ty

y C x p

A p

y x C t x p

A C

y A A t

S A

S

A S A y A t R

S

S

S

S

A

A

R

+ =

== − =

= −

= +

=

= − =

= − =

= − =

= − =

= =

= − =

= ( ) ( )

( )

2

0,097 25,910,985

2,54

0,038 0,097

0,038 0,097

y t

y x

=

= +

= +



10/17

. Esable;ca la ecuacin de re0resin para los daos ue si0uen$ sabiendo ue

la ecuacin erica es de la :or-a

c x y!a z ⋅⋅= 8Lineali;ar por -edio de

lo0ari-os9

{ { { { { {0 1 3

0 1 3

ln ln ln ln

x c

Z X A A A Y

z a! y

z a x ! c y

Z A A X A Y

== + +

= + +

i x y z X Y Z X^2 Y^2 Z^2 X*Y X*Z Y*Z

1 2,00 2,00 4,00 2,00 0,69 1,39 4,00 0,48 1,92 1,39 2,77 0,96

2 2,00 1,00 6,00 2,00 0,00 1,79 4,00 0,00 3,21 0,00 3,58 0,00

3 0,00 5,00 1,00 0,00 1,61 0,00 0,00 2,59 0,00 0,00 0,00 0,00

4 1,00 3,00 3,00 1,00 1,10 1,10 1,00 1,21 1,21 1,10 1,10 1,21

5 2,00 4,00 2,00 2,00 1,39 0,69 4,00 1,92 0,48 2,77 1,39 0,96

Suma 7,00 4,79 4,97 13,00 6,20 6,82 5,26 8,84 3,13

Promedio 1,40 0,96 0,99 2,60 1,24 1,36 1,05 1,77 0,63

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

_ 2 2 2 2

_ 2 2 2 2

_ 2 2 2 2

1

2

2,60 1,40 0,64

1,24 0,96 0,32

1,36 0,99 0,38

1, 05 1, 40 0, 96 0, 29

1,77 1,40 0,99 0,38

0, 63 0, 96 0, 99 0, 33

0, 64 0, 29

0, 29 0

xx i

yy i

zz i

xy yx

xz

yz

S x x

S y y

S z z

S S xy x y

S xz x z

S yz y z

A

A

= − = − =

= − = − =

= − = − =

= = − = − = −

= − = − =

= − = − = −

− = −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1

2

0

2

0,81

0,38 0,223

,32 0,33 0,81

0,990,223 0,96 0,81 1,40 1,46

0,223 0,38 0,81 0,33 0,93

0,38

"1,46+0, 223 0,81

4,29

1, 25

4,29 1, 25 x x c

A

A

A

X Y

a

!

z a! y y

−

−

= − = − = + =

− −= =

−==

= =



11/17

1@.&ara los daos si0uienes$ deer-inar2 a9. La reca de -7ni-os cuadrados$

b9. La par*bola de -7ni-os cuadrados$ # c9. %)u*l de los casos es un -ejor

ajuse # por u?'

a9 La reca de -7ni-os de cuadrados2

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

0

1

2

2

11 3 2

7,308 2,04 3,15

8, 54 3 2, 04 2, 42

2,421,21

2

2, 04 1, 21 3 1, 59

1,21 1,59

2, 42 2, 42 1, 21

0,933,15 2 3,15

xx

yy

xy

S

S

S

A

A

y x

R

= − =

= − =

= − =

= =

= − = −

= −

= = =

b9 La par*bola de -7ni-os cuadrados

c)

i

d)

x

e)

t

f)

y

g)

x

h)

t

i)

y

j)

x

k)

x

l)

t

m)

1

n)

1

o)

1

+)

0

)

1

r)

1

s)

0

$)

1

*)

0

)

0

w)

2

)

2

)

4

!)

0

aa)

4

ab)

1

a%)

0

a()

8

ae)

1

a&)

2

ag)

3

a)

3

ai)

9

a')

1

a)

9

al)

8

a)

2

an)

2

ao)

4

a+)

1


i x y x^2 y^2 x*y

1 1 0,2 1 0,04 0,2

2 2 0,5 4 0,25 1

3 3 1,5 9 2,25 4,5

4 3 16 9 12

! 5 5 25 25 25

Suma 15 10,2 55 36,54 42,7

Promedio 3 2,04 11 7,308 8,54


12/17

a")

ar)

4

as)

1

a$)

3

a*)

1

a)

2

a)

9

a)

6

a)

1

a!)

4

#a)

!

bb)

5

b%)

2

b()

5

be)

2

b&)

6

b)

2

b)

1

bi)

2

b')

1

#k)

S

bl)

1

b)

5

bn)

1

bo)

5

b+)

9

b)

3

br)

2

bs)

4

b$)

1

#u)

P

b)

3

b)

1

b)

2

b)

1

b!)

1

%a)

7

%b)

4

%%)

8

%()

3

ce9

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

0 1 2

0 1 2

2 2

2 2

2 2

1

1 1

2

11 3 2

7,308 2,04 3,15

195,80 11,00 74,8

8, 54 3 2, 04 2, 42

45,00 11,00 3,00 12

37,74 11,00 2,04 15,3

2 12 2,42

12 74,8 15,3

t

xx

yy

tt

xy

xt

ty

y A A x A x

y y A A x A t

S

S

S

S

S

S

A A

A

−

= + +

= = + +

= − =

= − =

= − =

= − =

= − =

= − =

= − =

( ) ( )

( ) ( )

2

0

2

2

0,47

0,28

2,04+0,47 3,00 0,28 11,00 0,36

0,47 2,42 0,28 15,3 0,9993,15

0,36 0,47 0,28

A

A

y x x

=

= − =

− += =

= − +

c:9 De lo expuesto en las regresiones se concluye que la curva cuadrtica se a!usta

"e!or a los datos#

cg$

11.Enconrar una cur!a de re0resin # deer-inar el 0rado de ajuse del

si0uiene 0rupo de !alores2

c%$

ci$ De la gr&ca se deduce que la relaci'n entre las varia(les es lineal)

cj) n ck) x cl) y

cm)x

^

2

cn) y

^

2

co) x

y

cp) 1 cq) 1 cr) 5 cs) 2 ct) 2 cu) 8



13/17

5

,

0

0

,

4

3

2

5

,

0

0

9

,

4

8

1

,

4

5

cv) 2

cw) 2

5,

0

0

cx) 5

,

6

0

cy) 6

2

5

,

0

0

cz) 3

1,

3

6

da) 1

4

0

,

0

0

db) 3

dc) 3

5

,

0

0

dd) 5

,

8

1

de) 1

2

2

5

,

0

0

df) 3

3

,

7

6

dg) 2

0

3

,

3

5

d) 4

di) 5

0

,

0

0

dj) 6

,

1

0

dk) 2

5

0

0

,

0

0

dl) 3

7

,

2

1

d)3

0

5

,

0

0

dn) 5

d!) 7

0

,

0

0

d") 6

,5

2

dq) 4

9

0

0

,

0

0

dr) 4

2

,

5

1

ds) 4

5

6,

4

0

d!) 6

du) 9

0

,

0

0

d#) 6

,

9

5

dw) 8

1

0

0

,

0

0

dx) 4

8

,

3

0

dy) 6

2

5

,

5

0

d") S

u

m

a

ea) 2

8

5

,

0

0

e$) 3

6

,

4

1

ec) 1

7

5

7

5

,

0

ed) 2

2

2

,

6

2

ee) 1

8

1

1

,

7

0



14/17

0

e#) P

r

o

m

e

d

i

o

eg) 4

7

,

5

0

e%) 6

,

0

7

ei) 2

9

2

9

,

17

ej) 3

7

,

1

0

ek) 3

0

1

,

9

5

el$

e"$

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 1

2 2

2 2

1

0

2

2929,17 47,50 672,92

37,10 6, 07 0, 28

301,95 47,50 6,07 13,70

13,700,02

672,92

6, 07 0, 02 4 7, 50 5,1

0,02 13,700,999

0,28

5,1 0,02

xx

yy

xy

y A A x

S

S

S

A

A

R

y x

= +

= − =

= − =

= − =

= =

= − =

= =

= +

en$



15/17


16/17

6 1,0 6

6

0

0

,

0

0

1 4 6 41 6

gz) (

a)

8

b)

0,8

%)

6

() 64

0

0

,

0

0

e)

0

&)

4

)

6

)

52

%i$

-

hj) S

+)

2

l)

7,0

)

5

n) 1

3

8

0

0,

0

0

o)

8

+)

4

)

2

r)

20

%s$

-

ht) P,-

./

0- *)

4

)

1,1

)

8

) 2

3

0

0

,

0

0

)

1

!)

7

ia)

4

ib)

33

ic$

,

id9

ie$

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

_ 2 2 2 2

_ 2 2 2 2

_ 2 2 2 2

1

2

2300 43,33 422,22

1,43 1,17 0,068

71,63 8,37 1,63

45, 83 43, 33 1,17 4, 72

339, 83 43, 33 8, 37 22, 72

9,94 1,17 8,37 0,178

422

xx i

yy i

zz i

xy yx

xz

yz

S x x

S y y

S z z

S S xy x y

S xz x z

S yz y z

A

A

= − = − =

= − = − =

= − = − =

= = − = − = −

= − = − = −

= − = − =

=

( ) ( )

( ) ( )

1

1

2

0

2

, 22 4, 72 22, 72 0,11

4, 72 0, 068 0,1788 4,68

8,37+0,11 43,33 4,68 1,17 18,428

0,11 22,72 4,68 0,178 0,9649

1, 63

/"18,428 0,11 4,68

A

A

A

X Y

− − − = −

− = − = + =

− − −= =

− −



17/17

i*$


deber variables multidimensionales

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