darcy isotropic homogeneous

1. Laplace’s Equation of ContinuityChapter 7

Geotechnical Engineering

흐름의 연속성, Darcy의 법칙을 이용

2차원 평면 흐름의 지배방정식

정상류상태를 나타냄

흙은 등방성(Isotropic) 균질성(Homogeneous) 흙은 포화되어 있고 모관현상은 무시

흙 입자는 비압축성이며 물이 흐르는동안 흙의 압축, 팽창은 없음

Chapter 7


1.1 Continuity Equation

in x zq =v dy dz+v dx dy 유입량

x zout x z

v vq =(v + dx) dy dz+(v + dz) dx dyx z

유출량

정상상태의 물의 흐름: 2차원 흐름

수평방향과 수직방향으로 흐르는 유량

Chapter 7


1.2 Continuity Equation

연속방정식(Continuity Equation)

in outΔq=q -q =0

in out

x zx z x z

Δq = q -qv v = v dy dz+v dx dy- v + dx dy dz- v + dz dx dyx z

x zv v= - + dx dy dz = 0x z

x zv v+ = 0

x z

x x x x

hv =k i =kx

z z z z

hv =k i =kz

2 2

x z2 2

h h k +k =0x z

If isotropic & homogeneous, then 2 2

2 2

h h + = 0 x z

or Laplace equation

Chapter 7


1.3 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem

해석적 방법으로 흐름문제를 해결하기 위한 연속방정식의 이용

두 개 층의 흙에서 일차원 흐름

두 토층의 수두차이, h1

흐름은 z 방향으로만 진행

또는,

여기에서, A1과 A2는 상수

Chapter 7



경계조건-1 일 때,


조건에 의하여,

따라서,

상부층을 통과하는 흐름

Chapter 7





조건에 의하여,

따라서,

하부층을 통과하는 흐름


상부층을 통과하는 물 = 하부층을 통과하는 물의 양

따라서,

변수 h2를 제거하면,

상부층에서,

하부층에서,

Chapter 7


Chapter 7


2 유선망(Flow Net)

등방성 흙에서 연속방정식

서로 직교하는 두 개의 곡선

유선(flow line) 등수두선(equipotential line) 투수층 흐름

Chapter 7


2.1 Flow Net Conditions

1. 등수두선과 유선은 서로 직교한다.

2. 유선망에서의 각 요소는 거의 정방형이다.

유로

flow channel Nf

수두낙차

potential drop Nd

Chapter 7


2.2 Potential & Stream Functions

포텐셜 함수 와 흐름 함수

2 2

2 2

φ φ+ = 0 x z

x zv v+ = 0x z

φ=k h(속도)포텐셜

x zφ φv = , v =x z

φ(x, z) ψ(x, z)

x zψ ψv = , v = -

xz

φ(x, z) ψ(x, z)포텐셜 함수 흐름 함수

φ ψ φ ψ, -x xz z

2 2

2 2

ψ ψ+ = 0 x z

Chapter 7



z

x

v dz = v dx

z x-v dx + v dz = 0

ψ ψdψ = dx + dz = 0x z

← 유선함수 에 대한 관계식 대입ψ

ψ=const.←

곡선 가 지정되면 이 곡선의 기울기는 유속의 합성벡터의 기울기와 일치

유선함수에 의한 2차곡선 → 유선(flow line) → 물분자의 이동궤적

ψ(x, z)

Chapter 7



포텐셜함수 의 물리적 의미 → 따른 전미분φ(x, z)

φ φdφ = dx + dz = 0x z

2 2 2

1 1 1

ψ ψ ψ

z x 1 2ψ ψ ψ

ψ ψΔq= -v dx+v dz = dx+ dz = dψ = ψ -ψx z

→ 두 유선 의 사이를 흐르는 유량은 항상 일정1 2ψ , ψ

φ=const.

Chapter 7



φ φdφ = dx + dz = 0x z

x z= v dx+v dz = 0

x

z

vdz = - dx v

φ=const.←

포텐셜 함수에 의한 2차곡선 → 등포텐셜선(equipotential line) 동일한 포텐셜의 연결선

유선의 기울기와 역부호를 가진 역수 → 기울기가 서로 반대 곡선이 서로 직교

2개의 곡선(유선과 등포텐셜선)을 평면좌표 (x, z) 상에 나타냄

→ 유선망(flow net)

Chapter 7


2.6 Flow Net

유선망(Flow net) 서로 직교하는 여러 개의 유선과 등포텐셜선으로 이루어짐

투수성 지반(흙)에서 물의 흐름 문제를 해석

침투수량, 간극수압, 동수경사(수두낙차) 등 결정

등수두선과 유선은 서로 직교

Chapter 7


2.7 Flow Net

유선망에서의 경계조건 AB는 이 선을 따라 전수두가 동일 → 등수두선

CD는 이 선을 따라 전수두가 동일 → 등수두선

널말뚝을 따라 상류면에서 하류면으로 흐르는 BCD → 유선

불투수층의 경계면 FG → 유선

Chapter 7


2.8 Flow Net

유선망의 작도

경계조건을 만족하도록 원활한 곡선이 되도록 작성

유선망에서 이루어지는 요소는 정사각형(curve linear square) Trial and Error

Chapter 7


2.9 Flow Net

유선망을 이용한 침투량 유로(Flow Channel) → 두개의 유선 사이의 통로

유로는 정방형 요소를 형성

2 31 21 2

1 2

d

h -hh -hΔq=k i A=k l =k l =l l

ΔH =k Δh=kN

1 2Δq=Δq =Δq =

f

d

N q=k ΔH N

유선망을 이용한 동수경사

d

2 2

ΔH/NΔhi= =l l

Chapter 7


3. Example (Flow Net) Ex) 아래의 그림은 투수층에서 널말뚝 주위의 흐름에 대한 유선망

kx=kz=510-3cm/sec 일 때 다음의 사항을 결정하라a. a, b, c, d점에 피에조미터를 세우면 지표면위로 올라온 물의 높이는?b. 단위 폭당 유로 Ⅱ를 흐르는 침투량?c. 단위 폭당 투수층 전체를 흐르는 전침투량?

Chapter 7


3. Example (Flow Net) Ex) 아래의 그림은 투수층에서 널말뚝 주위의 흐름에 대한 유선망

kx = kz = 510-3 cm/sec 일 때 다음의 사항을 결정하라a. a, b, c, d점에 피에조미터를 세우면 지표면위로 올라온 물의 높이는?b. 단위 폭당 유로 Ⅱ를 흐르는 침투량?c. 단위 폭당 투수층 전체를 흐르는 전침투량?

a. a점 : 4.5-0.5=4mb점 : 4.5-2Χ0.5=3.5m

c점 : 4.5-5Χ0.5=2m

d점 : 4.5-5Χ0.5=2m

b.

c.f dN =3, N 6

ΔH=3mΔh=3/6=0.5m

-3 -1 3

d

ΔH 300Δq=k =5 10 =2.5 10 cm /sec/cmN 6

-3f

d

-1 3

N 3q=k ΔH =5 10 300N 6

=7.5 10 cm /sec/cm

Chapter 7


4. Anisotropy and Nonhomogeneity of Permeability

투수계수의 비등방성 및 비균질성 흙은 퇴적되어 자연적으로 형성 → 대략 평행한 층을 이룸

수직방향과 수평방향의 투수계수가 다름

수평방향의 투수계수가 연직방향보다 일반적으로 더 큼

한 위치에서 방향에 따라 투수계수가 다름 → 비등방 (Anisotropy) 두 위치에서의 투수계수가 다름 → 비균질 (Nonhomogeneity)

Chapter 7


4.1 Flow Nets in Anisotropic Soil

비등방성 흙에서의 유선망 자연적으로 퇴적된 토층 → 수직방향보다 수평방향의 투수성이 큼

점성토 지반일수록 이러한 경향이 우세

2 2

x z2 2

h hk +k =0x z x zif k k , then ← This is not laplace equation

2 2

2 2

h h+ =0x' z

2 2

22z

x

h h+ =0zk x

k

z xx = k /k x ←

x`는 x방향의 새로운 좌표

Chapter 7



비등방성 흙에서의 유선망 작도

z 방향은 그대로 x 방향은 관계를 이용하여 치수를축소(또는 확대)하여 스케치

유선망 작도, 유선과 등수두선으로 이루어지는 요소는 정사각형

유선망을 이용하여 Nd, Nf 를 구하여 침투유량 결정

z xx = k /k x

fx z

d

Nq= k k ΔHN

e x zk = k k 등가투수계수

(Equivalent Coefficient of Permeability)

Chapter 7



e x zk = k k

T e eΔhΔq =K b=K Δhl

N x xx x

z z

Δh ΔhΔq =k b=kk klk k

T NΔq =Δq

case (a)에서의 유량

case (b)에서의 유량

→

Chapter 7


4.4 Flow Nets in Nonhomogeneous Soil

1 1 1 2 2 2q=k i A =k i A

비균질한 흙에서의 유선망 자연적으로 형성된 토층 → 성층구조, 비균질

1 1 2 2 1 2 1i =Δh/l , i =Δh/l , A =A =l 1

1 1 2 11 2

Δh Δhk l = k ll l

2 2

1 1

l k = l k

← Flow net : square → rectangular

Chapter 7


4.5 Flow Nets in Nonhomogeneous Soil

층의 경계가 경사진 비균질한 흙에서의 유선망

토층의 경계면 AB의 법선과 α각으로 유입하는 경우

법선과 β각으로 유출

1

2

k tanα =k tanβ

1 1 2 2Δh Δhq=k b =k bCA BD

1 2

CA BD=tanα, =tanβb b

1 2k k=tanα tanβ

Chapter 7


4.6 Flow Net in Nonhomogeneous Soil

비균질한 흙에서의 유선망 작도 예

매질 1의 투수계수가 매질 2의 투수계수보다 2배 큰 경우

1

2

k tanα=2=k tanβ

2 2

1 1

k l1k 2 l

tan 2 tan

1 2l =2 l

Chapter 7


수학적 해법에 의한 침투량

Harr (1962)

S : 널말뚝의 근입깊이

T : 투수층의 두께

q/kH vs. S/T 그래프

4.7 Mathematical Solution for Seepage

Chapter 7


수학적 해법에 의한 댐아래의 침투량 산정

Harr (1962)



x : 댐 중앙에서널말뚝까지의 길이

B : 댐 단면의 폭

q/kH vs. x/b 그래프

4.8 Mathematical Solution for Seepage

Chapter 7


수리구조물의 양압력

압력수두 + 위치수두= 전수두

압력수두 단위중량= 간극수압



x : 댐 중앙에서

5. Uplift Pressure under hydraulic structures

Chapter 7


5.1 Example (Uplift Pressure)

유선망을 이용한 양압력(Uplift pressure) 댐 등의 수리구조물 저면에서 연직상향으로 작용하는 수압 → 양압력

p p ww

ph = ; p=h γγ

f dN =2, N 7

ΔH=7-0=7m

d

ΔHΔh= =7/7=1mN

a점 - 전수두 : 7-1=6m, 위치수두 : -2m

압력수두 : 6-(-2)=8m

수압 : 8mΧ9.81kN/m3=78.48kN/m2

.

수압분포 면적을 구하면 단위폭당 양압력 →

Chapter 7


6. Flow nets in Seepage through an earth Dam

흙 댐을 침투하는 유선망

흙 댐을 물이 통과할 경우 유선망의 경계조건 불분명

가장 위에 있는 유선의 경로를 추정하기 어려움

가장 위에 있는 유선이 정해지면 이 경로에서의 응력은 항상대기압과 같으므로 손실수두는 위치수두 뿐임

이러한 특성의 유선 → 침윤선 (phreatic line)

Chapter 7


침윤선을 결정하는 방법 Casagrande & Kozeny AE=0.3(AG) 되도록 E점 설정

포물선의 정리에 따라 CY=YQ=S, CL=LM의 관계적용 → x=X, z=H → 포물선의 특성으로 부터 CD=1/2·S → D점 결정

D점과 E점을 통하는 포물선 작도

A점에서 포물선과 만나도록 AJ 작도

6.1 Determination of Phreatic Line

Y Q

2 2x +z =x+S2 2S= X +H -X

Chapter 7


6.2 Flow through an Earth Dam

Dupuit (1863)불투수 기반 상에 축조된 균질한 흙 댐

Chapter 7


6.3 Chart for Solution of Flow on Earth Dam

Gilboy’s Solution (1934) > 30° 일 때, 커지는 오차(Dupuit, 1863)를 제한

Based on Casagrande method (1932)

1. d/H 결정

2. 에 대한 m 결정

3. L = m H/sin4. k L (sin2) 결정

Chapter 7


침윤선이 댐 하류경사면과 교차하는 경우의 유선망 제체 하류면 접합점(F점)을 초점으로 하는 포물선 작도

포물선은 하류경사면을 벗어남 → 하류경사면을 따르는 포물선으로 수정

Gilboy(1933) 수정도표 제안

a가 정해지면 FJ=a가 되도록 J점 결정

J점에서 기본 포물선과 원활하게 연결

6.4 Another Chart for Solution

a=m H cosecβ

Chapter 7


배수형태 및 비균질 댐체에 따른 침윤선

작은 입자 흙 큰 입자 흙

세립분이 조립토로 흐름

조립토의 간극이 메워짐

두 흙의 경계에 필터(보호필터)

U.S. Navy (1971)

필터 설계조건 제시

6.5 Filter Design

darcy isotropic homogeneous

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