Crystallography – Tutorial 1 Miller Indices and Indices of Direction Question 1 

Determine the Miller Indices of two of the diagonal planes and deduce what family of planes they belong to. 

 

 

Question 2 

What are the Miller Indices of the following 2 planes? 

 

 

Question3 

 

What are the Miller indices for this plane? 

   

2 

3 

4

Question 4 

a) What are the indices of direction for the lines in the following figure? Show all your working. 

 

  

 

Question 5 

What are the Miller indices and Miller‐Bravais Indices for the planes marked A and B. 

 

 

 

 

   

A 

B 

Question 6 

What are the 3 and 4 digit indices of direction for vectors A and C? 

 

 

   

Question 7 

 

Look at the body centred cubic (BCC) model. Lattice points at (0,0,0) and (½,½,½) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Atoms Per Unit Cell

Number of Nearest Neighbour Atoms To Each Atom   

Number of Symmetry   A2   

Axes & their Indices  A3   

of Direction  A4   

  A6   

Symmetry Planes (Miller Indices)   

Centre of Symmetry   

Atomic Packing Factor? (APF)   

 

 

 

   

Now look at the face centred cubic  (FCC) model. Lattice points at (0,0,0), (½,½,0) and (0,½,½). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Atoms Per Unit Cell

Number of Nearest Neighbor Atoms To Each Atom   

What is the close packed direction? 

Draw any of these on your diagram 

 

Number of Symmetry   A2   

Axes & their Indices  A3   

of Direction  A4   

  A6   

Symmetry Planes (Miller Indices)   

Centre of Symmetry   

Atomic Packing Factor? (APF)   

 

   

Now look at the hexagonal close packed  (HCP) model. Draw the unit cell: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Atoms Per Unit Cell

Number of Nearest Neighbour Atoms To Each Atom   

What is the close packed direction? 

Draw any of these on your diagram 

 

Number of Symmetry   A2   

Axes   A3   

  A4   

  A6   

Symmetry Planes    

Centre of Symmetry   

Atomic Packing Factor? (APF)   

   

Question 8 ‐ Close‐Packed Directions 

For each of the unit cells shown draw the close packed directions and in the table below list the indices of direction of those close packed directions (here it is useful to use the “family of directions” notation of  

 

    Unit Cell  Close packed directions 

BCC   

FCC   

HCP   

Question 9 ‐ Close‐Packed Planes 

Using the sectioned models, perform the following: 

For each of the two unit cells (FCC and HCP) below, please show a close‐packed plane and index the planes. As there is no close‐packed plane for BCC, draw and index the densest plane. It is useful to use the concept of the “family of planes”, {hkl} 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fill in this table: 

Unit Cell  Closest packed planes Indices  Close packed planes Indices 

BCC     

FCC     

HCP     

 

   

Draw the actual planes from above using circles to represent the atoms, do not use a "ball and stick" representation for this question. Label each diagram. On these diagrams indicate the close packed directions. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Calculate the planar density (in terms of area occupied by atoms as a function of total area of the plane) for each of these planes.  

Plane  Close packed/closest packed?  Planar Density 

BCC {110}     

FCC {110}  NO  0.555 

FCC {111}     

HCP {001}     

 

Question 10 Slip Systems. 

We have now worked out the close and closest packed planes in 3 crystal systems along with the close packed directions. These close and closest packed planes are the preferred planes for slip to occur, and on those planes there are specific directions along which dislocations move. Yep, you guessed it the close packed directions. Thus we can now talk about slip planes and slip directions, both of which make up slip systems. 

Fill in the table below and draw the slip system on the figures provided: 

Crystal Structure 

Slip Plane 

# of Slip Planes 

Slip Direction 

# of Slip Directions 

# of Slip Systems 

Examples 

BCC           ‐Fe, Mo, W 

FCC           Al, Cu, ‐Fe, 

Ni 

HCP           Cd, Mg, Zn 

 

 

 

 

 

 

BCC          FCC             

Useful equations for those rusty on their geometry

Unit cell of edge length “a” 

 

Side diagonal length =  22 aad  

Cube diagonal length =  22 adD   

Area of a triangle =  bh21        bh

43

   

From these simple relationships, we can show (R = atomic radius) 

For BCC: 

34Ra   Rb

324

 

For FCC 

Ra 22    Rb 4  

 

Planar Density Example: (110) plane in FCC 

1. Draw the plane 

 

 

 

 

Area of atoms = 2 atoms x R2 

Area of plane in terms of R = a x 4R = 22R x 4R = 82R2 

555.0314.11283.6

282

282

2

2

RRPD  

i.e. 55.5% only is taken up by atoms on these planes. 

 

   

a b 

Symmetry  

Symmetry elements consist of: 

(i) Axes of symmetry 

An axis of symmetry is a line drawn through the centre of the unit cell so that rotation of less than one full turn will result in superposition of the cell on itself (ie it doesn't look as though you have done anything to the cell). The amount turned defines the axis as follows. 

A 'two fold axis of symmetry', or A2 axis, means that the crystal has to be rotated by 180°, or a ½ turn, to present a like face (superimpose on itself).  

A 'three fold axis of symmetry', or A3 axis, means that the crystal has to be rotated by 120°, or a  31  turn, to present a like face. 

A 'four fold axis of symmetry', or A4 axis, means that the crystal has to be rotated by 90°, or a ¼  turn, to present a like face. 

A 'six fold axis of symmetry', or A6 axis, means that the crystal has to be rotated by 60°, or a  61  turn, to present a like face. 

(ii) Planes of symmetry 

Planes of symmetry are planes which cut a crystal into mirror images. This means that any point on one side of the plane can be reflected through the plane onto a similar point on the other side of the plane.   

(iii) Centre of Symmetry 

A centre of symmetry is a point. For a unit cell to have a centre of symmetry, the crystal must be totally symmetric about the point at the centre of the unit cell. For example, in 2 dimensions the letter S has a centre of symmetry while the letter B does not.