VibrationsdesmilieuxdiscretsetcontinusLucJaouenVersiondateedu19avril 2005Tabledesmati`eresIntroduction iii1 UnDegreDeLiberte 11.1 Oscillationslibres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Reponse` auneexcitationharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Theor`emedesuperposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Reponse` auneexcitationperiodiquequelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Reponse` auneexcitationquelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ndegresdeliberte 92.1 Methodedelabasemodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Syst`emesavecamortissement visqueux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Reponsesforcees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Vibrationtransversaledescordes 134 Vibrationsdespoutres 194.1 Denitiondunepoutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Vibrationslongitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.1 Champdedeplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.2 FonctionnelledeHamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Vibrationsdeexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3.1 Champdedeplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3.2 FonctionnelledeHamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Vibrationsdetorsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.1 Champdedeplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.2 FonctionnelledeHamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Vibrationsdesplaques 295.1 Denitionduneplaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Hypoth`esesdecondensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Vibrationslongitudinalesdesplaquesminces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Vibrationsdeexion desplaquesminces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4.1 Champdedeplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4.2 FonctionnelledeHamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Introduction`alanalysemodale 356.1 Denitiondelanalysemodale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Theor`emedereciprocite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3 DierentesformesdeFRF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.4 EstimateursdeFRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.5 Amortissementsvisqueuxetstructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.6 Methodesdextraction deparam`etres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.7 Exemple:casdunepoutreenexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39ii Tabledesmati`eresAFormalismedeLagrangeetequationsdEuler 43A.1 RappelsurleformalismedeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.2 EquationsdEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.2.1 FonctionnelledeHamiltonpourlesvibrationslongitudinalesdepoutresdroitesminces . . 43A.2.2 AutresformesdefonctionsdEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44IntroductionCecoursestfortementinspire,danssoncontenuetsaredaction,dediversautressourcesdenseignement,particuli`erement : Le cours de mecanique du DEA dAcoustique Appliquee (Universite du Maine, France) realise par BernardCastagn`ede. LecoursdevibrationsdelENSIM(UniversiteduMaine)deJean-ClaudePascal. Lecoursderayonnementacoustiquedesstructures(GMC721, UniversitedeSherbrooke, Qc, Canada)dAlainBerry.Ces ouvrages, souvent ecrits dans des contextes plus larges ou connexes au present document, peuvent consti-tuerunebonnesourcedinformation complementaireoualternative.Mercidemefairepartdeseventuelleserreursouincoherencesquevousreleverezaucoursdecesquelquespages,ainsiquevoscritiquesetsuggestions` a:luc.jaouen@univ-lemans.fr1 UnDegreDeLiberteCechapitrepresenterapidementlesresultatsimportantspourlecasdunsyst`ememecaniquelineaire` a1ddl avecamortissement.Lanalogieavecunsyst`emeelectriqueestevidente,lalitteraturesurlesujetnenestqueplusfournie.1.1 OscillationslibresSoitloscillateurharmoniqueamortipareetvisqueux(proportionnel` alavitesse)delagure1.1.cmxkFig.1.1Representation schematiquedunoscillateur amortisimpleLequation desonmouvement est:m x(t) +c x(t) +kx(t) = 0 (1.1)En supposantunedependanceentempsdelaformeert,onpeut ecrirelequation caracteristique associee ` acetteequation dumouvement:mr2+cr +k = 0Lessolutionsdelequation caracteristique sont:r1,2= c2m c24km2mEnintroduisant lestermes:20=kmpulsationnaturellenonamortiec2cr4km = 0 =ccr= 2km = 2m0amortissementcritique=cccr=c2m0facteurdamortissementvisqueuxonpeutalorsre-ecrire lequationdumouvementsouslaforme: x + 20 x +20x = 0Lasolutiongeneraledecetteequationdierentiellelineaire, homog`ene, ` acoecientsconstantssecrit(cfcoursmath.):x(t) = Aer1t+Ber2to` uAetBsontdesconstantesarbitraires determineesdapr`eslesconditionsinitiales.3cassontobservessuivantlesignede = c2 4km(cf gures1.2,1.3et1.4):2 UnDegreDeLibertetxFig.1.2Suramorti.txFig.1.3CritiquetxFig.1.4Sousamorti Si > 0,> 1,r1,2= 00_21,loscillateurestditsuramorti.x(t) = C1er1t+ C2er2t(1.2) Si =0, =1, r1,2= 0= 0, lamortissementestcritique.Cestcequonrecherchedanslecasdunesuspensionautomobileparexemple.x(t) = (C1t +C2)e0t(1.3) Si < 0, 0 < < 1, r1,2= 0j0_1 2, loscillateur est dit sous amorti. Cest le cas de la plupartdesoscillateurs mecaniquescourants.x(t) =_C1 cos__1 20t_+C2 sin__1 20t__e0t(1.4)ou x(t) = Asin__1 20t _e0tCedernierresultatest celui dunregimepseudo-periodiquedont onremarquequelapseudopulsationp= 0_1 2di`eredelapulsation naturellenon amortie0parleterme_1 2luimemefonctiondelamortissement ;p 0(cf g.1.5).0 1 2 300.20.40.60.811.21.4Amplitude |X| / 0 = 0.1 = 0.5 = 10 1 2 300.10.20.30.40.50.60.70.80.91 / 0Phase / = 0.1 = 0.5 = 1Fig. 1.5 Inuencede lamortissement sur la position dela resonance dunesyst`eme ` a 1 ddl.m = 10 kg, k = 4N.m1.Reponse` auneexcitationharmonique 31.2 Reponse`auneexcitationharmoniqueLequation du mouvement pour un oscillateur harmonique amorti soumis ` a une force exterieure F(t) secrit :m x +c x +kx = F(t) (1.5)Lecasleplussimpleestcelui duneforceharmonique, ie F(t) =F cos(t + ). Lasolutiongeneraledelequationdumouvementestalorsunecombinaisonlineairedelasolutiongeneraledelequationsanssecondmembre (regime des oscillations libres, cf 1.1), et dune solution particuli`ere de lequation avec second membre.Commeprecedemment,onpeutre-ecrire1.5comme: x + 20 x +20x =F(t)metpasserennotationcomplexe1:F(t) = F0 cos(t +) soitennotation complexeF(t) = Fejt, F(t) = Re[ F(t)]Onconsid`ereunesolutionparticuli`eresouslaforme:x(t) = Acos(t + +) soitennotationcomplexe x(t) = Xejt, x(t) = Re[ x(t)] (1.6)Lequation1.5secrit alorsennotationcomplexe:_2+j20 +20_Xejt=Fmejt(1.7)A partir de cette derni`ere notation, lamplitudecomplexeX de la solution particuli`ere sobtient facilement :X =F/m202+j20Onpeutexprimerlemoduleetlaphasedudeplacementx(t)comme:|X| =|F|/m_(202)2+ (20)2= A = arctan2020 2On peut dores et dej` a exprimer la fonctiondetransfertH() qui sera etudiee plus en detail dans le chapitredanalysemodale:H() =XF=1m(20 2+j20)=1(k m2) + jcCettefonctiondetransfertpeutetrerepresenteesuivantsonamplitudeetsaphaseousuivantsespartiesreelleetimaginaire(cf g.1.2).1.3 Theor`emedesuperpositionSix1(t)estsolution delequation1.5etsix2(t)lest egalement, alors x(t) = x1(t) +x2(t)estaussisolutionde1.5:_m x1 +c x1 +kx1= F1(t)m x2 +c x2 +kx2= F2(t)=m x +c x +kx = F(t) avec F= F1 +F2Le theor`eme de superposition tient au fait que lequation dierentielle de loscillateur harmonique est lineaire.Danslecasdune equationdierentiellenonlineaire,ilnesappliqueplus.1Lesgrandeursengrasrepresententdesgrandeurscomplexes4 UnDegreDeLiberte0 1 2 300.20.40.60.811.21.4Amplitude |X|/|F| / 00 1 2 300.20.40.60.81 / 0Phase /0 1 2 310.500.51 / 0Re(H)0 1 2 31.510.50 / 0Im(H)Fig.1.6RepresentationsdelafonctiondetransfertHpourm = 10kg,k = 4N.m1etc = 4N.s.m1.1.4 Reponse`auneexcitationperiodiquequelconqueLorsquelaforceexterieureestquelconquemaisperiodique, deperiodeT, ellepeutsecriresouslaformeduneseriedeFourier:F(t) =a02+

n=1an cos(nt) +bn sin(nt) o` u = 2/Tavec___an=2T_T/2T/2F(t) cos(nt)dtbn=2T_T/2T/2F(t) sin(nt)dtLasolution` acetteexcitationestalorsdetermineeenfaisant usagedutheor`emedesuperposition (cf 1.3)etlesresultats` auneexcitationharmonique.ExempleCalculerlareponseforceedelocillateurharmonique,sansamortissement, ` alafonctioncreneau.F0+F0T/2F(t)t0Fig.1.7FonctioncreneauDelobservationdelafonctioncreneau, ondeduit rapidement que n, an=0(lafonctioncreneauestimpairealorsquelafonctioncosinusestpaire).Reponse` auneexcitationquelconque 5bn=2T F0__T/20sin(nt)dt _0T/2sin(nt)dt_=4F0T_T/20sin(nt)dt=4F0nT_1 cos_nT2__seuleslescomposantesimpairessontnonnulles:b2p+1=4F0(2p + 1)soit F(t) =4F0

p=112p + 1 sin_2T(2p + 1)t_Lasolution ` alordrepveriedonclequation:m x +kx =4F012p + 1 sin_2T(2p + 1)t_Onconsid`ereunesolutionparticuli`ere,` alordrep,souslaforme:x2p+1(t) = X2p+1 sin_2T(2p + 1)t_=X2p+1=4F012p + 11k m_2T_2(2p + 1)2On ecritalorslasolutiongenerale enutilisantletheor`emedesuperposition :x(t) =4F0

p=112p + 1sin_2T(2p + 1)t_k m_2T_2(2p + 1)21.5 Reponse`auneexcitationquelconqueAvant dedeterminer lareponse ` auneexcitation quelconque, ilfaut determiner la reponse ` a uneimpulsion :h(t). Lexcitation, inniment brevecommuniqueausyst`emeunecertainequantitedemouvementinitialep0sans que le syst`eme nait encore le temps de se deplacer. Loscillateur continue sur un mouvement de vibrationslibres.Enprenant lecasdunoscillateursousamorti(cf eq.1.4),pourlequel:x(t) =_C1 cos__1 20t_+C2 sin__1 20t__e0tlesconditionsinitialesprecedentessetraduisentcomme:x(t = 0) = 0 = C1= 0m x(t = 0) = p0= C2=p0mpLareponseimpulsionnelleh(t)estdonc(x(t) = h(t)_t0 p0(t)dt):___h(t) =1mpe0tsin(pt) t0h(t) = 0 t < 0 (reponsecausale)(1.8)6 UnDegreDeLiberteNouspouvousmaintenant determinerlareponse q(t)` auneexcitation quelconqueQ(t)causale (Q(t) = 00+ g2(x +ct). .propagationverslesx