cours 5 interprétation : variables et quantificateurs · 2020. 7. 23. · cours 5 interprétation...

Cours 5Interprétation : variables et quantificateurs

Logique – Licence Informatique

Interprétation d’un langage logique avec variablesformules de IF(X ,F ,P) constituées de symboles de variable (X ), deconstante et de fonction (F) et de prédicat (P)

Cours 5 Interprétation : variables et quantificateurs

Logique – Licence Informatique, Sorbonne Université 2/14


interprétation des symboles de F et de PI structure M





interprétation des symboles de variable de X

I les variables dénotent des objets de l’univers du discoursI valuation v : X → |M|







associe une valeur v(x) du domaine d’interprétation |M| à chaquesymbole de variable x







changer la valeur associée à une variable w ∈ X par v (changer lavaleur d’une fonction en un point)

valuation v [w ← m] : X → |M|

définie par v [w ← m](x) ={

m si x = wv(x) sinon







changer la valeur associée à une variable w ∈ X par v (changer lavaleur d’une fonction en un point)

valuation v [w ← m] : X → |M|

définie par v [w ← m](x) ={

m si x = wv(x) sinon

exemple : si v(x) = 3 et v(y) = 5, alors v [x ← 8](x) = 8 etv [x ← 8](y) = 5



Interprétation des formules logiques avec variablesinterprétation des termes avec variables de T (X ,F)

I [t ]Mv ∈ |M| : valeur du terme t





interprétation des formules avec variables et quantificateurs deIF(X ,F ,P)

I interprétation des formules atomiques : IM,v : L(X ,F ,P)→ IB






I interprétation des formules atomiques : IM,v : L(X ,F ,P)→ IBI interprétation des connecteurs logiques : opérateurs booléens






I interprétation des formules atomiques : IM,v : L(X ,F ,P)→ IBI interprétation des connecteurs logiques : opérateurs booléensI interprétation des quantificateurs

F parcours du domaine d’interprétation |M|






I interprétation des formules atomiques : IM,v : L(X ,F ,P)→ IBI interprétation des connecteurs logiques : opérateurs booléensI interprétation des quantificateurs

F parcours du domaine d’interprétation |M|I [F ]Mv ∈ IB : interprétation de la formule logique F



Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})



Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)



Interprétation des termes : expressions arithmétiquesexpressions arithmétiques : T (X ,F) avec F = F0 ∪ F2(X = {x , y , · · · }, F0 = Z, F2 = {⊕,,⊗})domaine d’interprétation Z (entiers relatifs)valuation v : X → Z permettant d’interpréter les symboles de X




I exemple : v(x) = 3 et v(y) = 5





structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de F





structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de FI chaque constante k ∈ F0 est interprétée par l’entier relatif

kM = k ∈ ZF exemple : la valeur de l’expression 8 est l’entier relatif 8





structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de FI chaque constante k ∈ F0 est interprétée par l’entier relatif

kM = k ∈ ZF exemple : la valeur de l’expression 8 est l’entier relatif 8

I interprétation des symboles de fonction de F2F ⊕ : T (X ,F)× T (X ,F)→ T (X ,F) : opérateur binaire de

construction d’expressions arithmétiquesF interprété par l’opérateur binaire ⊕M : Z× Z→ Z d’addition de deux

entiers relatifs (⊕M = +)F ,⊗ ...





structure M (avec |M| = Z) permettant d’interpréter les symboles de Finterprétation des termes

[t ]Mv =

v(x) si t = x ∈ X

⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·

exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv

= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9






[t ]Mv =

v(x) si t = x ∈ XkM = k si t = k ∈ F0

⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·

exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv







[t ]Mv =

v(x) si t = x ∈ XkM = k si t = k ∈ F0⊕M ([t1]Mv , [t2]Mv ) = [t1]Mv + [t2]Mv si t = ⊕(t1, t2)· · ·

exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv







[t ]Mv =


exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv

= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9






[t ]Mv =


exemple : [⊕((8, x),(y ,1))]Mv= ⊕M([(8, x)]Mv , [(y ,1)]Mv ) = [(8, x)]Mv + [(y ,1)]Mv= M([8]Mv , [x ]Mv ) +M([y ]Mv , [1]Mv ) = (8− v(x)) + (v(y)− 1)= (8− 3) + (5− 1) = 9



Interprétation des termes de T (X ,F)structure M permettant d’interpréter les symboles de F

I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)

I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction

n-aire f M : |M|n → |M|

valuation v permettant d’interpréter les symboles de X

interprétation des termes de T (X ,F)

[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|

[t ]Mv =

v(x) si t = x ∈ X

kM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)




I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|

I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonctionn-aire f M : |M|n → |M|



[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|

[t ]Mv =

v(x) si t = x ∈ X





I domaine d’interprétation |M| (ensemble non vide)I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque symbole de fonction f ∈ Fn d’arité n, une fonction




[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|

[t ]Mv =

v(x) si t = x ∈ X









[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|

[t ]Mv =

v(x) si t = x ∈ XkM si t = k ∈ F0

f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)








[ ]Mv : T (X ,F)→ |M|

[t ]Mv =

v(x) si t = x ∈ XkM si t = k ∈ F0f M([t1]Mv , · · · , [tn]Mv ) si t = f (t1, · · · , tn)



Interprétation des formules formules atomiques

interprétation de F et de P : structure MI domaine d’interprétation |M|I associe à chaque constante k ∈ F0 un élément kM ∈ |M|I associe à chaque f ∈ Fn une fonction n-aire f M : |M|n → |M|I associe à chaque symbole p ∈ P0 un booléen pM ∈ {0,1}I associe à chaque p ∈ Pn un ensemble de n-uplets pM ⊆ |M|n





interprétation de X : valuation v : X → |M|





interprétation de X : valuation v : X → |M|

interprétation des formules atomiques IM,v : L(X ,F ,P)→ IB

p ∈ P0 IM,v (p) = pM

p ∈ Pn(n > 0) IM,v (p(t1, · · · , tn)) =

{1 si

([t1]Mv , · · · , [tn]Mv

)∈ pM

0 sinon



Interprétation des quantificateurs : exemples

langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}

[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]

= [p(x , f (x))]Mv [x←−2] · [p(x , f (x))]Mv [x←−1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]

= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] · [p(f (x), x)]Mv [x←−1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]

= [p(f (x), x)]Mv [x←−2] + [p(f (x), x)]Mv [x←−1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]

= [q(f (x), x)]Mv [x←−2] + [q(f (x), x)]Mv [x←−1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0




langage logique : F = F1 = {f}, P = F2 = {p,q}structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}

f M : |M| → |M| pM ⊆ |M|2 qM ⊆ |M|2f M(x) = |x | pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2} qM = {(m1,m2)|m1 < m2}

[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






formule ∀x p(x , f (x))I ∀x p(x , f (x)) est « vraie » ssi la formule p(x , f (x)) est vraie pour

toutes les valeurs possibles de x

I valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2

[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0







toutes les valeurs possibles de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2

[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0








[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

pour chaque m ∈ |M|, on a m ≤ |m|

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

formule ∀x p(f (x), x)I ∀x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour

toutes les valeurs possibles de x


[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1



[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1



[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

lorsque m ∈ |M| est négatif, on a |m| 6≤ m

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

formule ∃x p(f (x), x)I ∃x p(f (x), x) est « vraie » ssi la formule p(f (x), x) est vraie pour au

moins une valeur possible de x


[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0


moins une valeur possible de xI valeurs possibles pour x avec la structure M : −2,−1,1,2

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0



[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

lorsque m ∈ |M| est positif, on a |m| ≤ m

[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1

formule ∃x q(f (x), x)I ∃x q(f (x), x) est « vraie » ssi la formule q(f (x), x) est vraie pour au

moins une valeur possible de x


[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1



[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0






[∀x p(x , f (x))]Mv =∏

m∈|M| [p(x , f (x))]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(x , f (x))]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[∀x p(f (x), x)]Mv =∏

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] · [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 · 0 · 1 · 1 = 0

[∃x p(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [p(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [p(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 1 + 1 = 1



[∃x q(f (x), x)]Mv =∑

m∈|M| [q(f (x), x)]Mv [x←m]


Mv [x←1] + [q(f (x), x)]

Mv [x←2]

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0

pour chaque m ∈ |M|, on a |m| 6< m



Interprétation des formules : exemple

∀x ∃y r(x , f (y))

structureM1

M2 M3 M4

domaineIN

Z IN IN

interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN

f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN

n 7→ n + 1

n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1

interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN

rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN

{(n1, n2) | n1 ≥ n2}

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1

« faux » « vrai » « vrai » « vrai »(x = 0) (y = x − 2) (y = x) (y = x)




∀x ∃y r(x , f (y))

structureM1

M2 M3 M4

domaineIN

Z IN IN

interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN

f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN

n 7→ n + 1

n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1

interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN

rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN

{(n1, n2) | n1 ≥ n2}

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}

∀x ∃y x ≥ y + 1

∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1

« faux »

« vrai » « vrai » « vrai »

(x = 0)

(y = x − 2) (y = x) (y = x)




∀x ∃y r(x , f (y))

structureM1 M2

M3 M4

domaineIN Z

IN IN

interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z

f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN

n 7→ n + 1 n 7→ n + 1

n 7→ n n 7→ n + 1

interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z

rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2}

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}

∀x ∃y x ≥ y + 1

∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1

« faux »

« vrai » « vrai » « vrai »

(x = 0)

(y = x − 2) (y = x) (y = x)




∀x ∃y r(x , f (y))

structureM1 M2

M3 M4

domaineIN Z

IN IN

interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z

f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ IN

n 7→ n + 1 n 7→ n + 1

n 7→ n n 7→ n + 1

interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z

rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2}

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}

∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1

∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1

« faux » « vrai »

« vrai » « vrai »

(x = 0) (y = x − 2)

(y = x) (y = x)




∀x ∃y r(x , f (y))

structureM1 M2 M3

M4

domaineIN Z IN

IN

interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN

f M4 : IN→ IN

n 7→ n + 1 n 7→ n + 1 n 7→ n

n 7→ n + 1

interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN

rM4 ⊆ IN× IN

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2}

{(n1, n2) | n1 ≤ n2}

∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1

∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1

« faux » « vrai »

« vrai » « vrai »

(x = 0) (y = x − 2)

(y = x) (y = x)




∀x ∃y r(x , f (y))

structureM1 M2 M3

M4

domaineIN Z IN

IN

interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN

f M4 : IN→ IN

n 7→ n + 1 n 7→ n + 1 n 7→ n

n 7→ n + 1

interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN

rM4 ⊆ IN× IN

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2}

{(n1, n2) | n1 ≤ n2}

∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y

∀x ∃y x ≤ y + 1

« faux » « vrai » « vrai »

« vrai »

(x = 0) (y = x − 2) (y = x)

(y = x)




∀x ∃y r(x , f (y))

structureM1 M2 M3 M4

domaineIN Z IN IN

interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ INn 7→ n + 1 n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1

interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y

∀x ∃y x ≤ y + 1

« faux » « vrai » « vrai »

« vrai »

(x = 0) (y = x − 2) (y = x)

(y = x)




∀x ∃y r(x , f (y))

structureM1 M2 M3 M4

domaineIN Z IN IN

interprétationdes fonctionsf M1 : IN→ IN f M2 : Z→ Z f M3 : IN→ IN f M4 : IN→ INn 7→ n + 1 n 7→ n + 1 n 7→ n n 7→ n + 1

interprétationdes prédicatsrM1 ⊆ IN× IN rM2 ⊆ Z× Z rM3 ⊆ IN× IN rM4 ⊆ IN× IN

{(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≥ n2} {(n1, n2) | n1 ≤ n2}∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y + 1 ∀x ∃y x ≥ y ∀x ∃y x ≤ y + 1

« faux » « vrai » « vrai » « vrai »(x = 0) (y = x − 2) (y = x) (y = x)



Interprétation des formules de IF(X ,F ,P)

interprétation [∀x F ]Mv de ∀x F




interprétation [∀x F ]Mv de ∀x FI expression booléenne :

∏m∈|M|

[F ]Mv [x←m]





∏m∈|M|

[F ]Mv [x←m]

I s’évalue à 1 si et seulement si pour chaque valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 1





∏m∈|M|

[F ]Mv [x←m]


I s’évalue à 0 si et seulement si pour au moins une valeur m ∈ |M|l’expression [F ]Mv [x←m] s’évalue à 0





∏m∈|M|

[F ]Mv [x←m]



interprétation [∃x F ]Mv de ∃x F





∏m∈|M|

[F ]Mv [x←m]



interprétation [∃x F ]Mv de ∃x FI expression booléenne :

∑m∈|M|

[F ]Mv [x←m]





∏m∈|M|

[F ]Mv [x←m]




∑m∈|M|

[F ]Mv [x←m]




Interprétation des formules : [ ]Mv : IF(X ,F ,P)→ IB

[true]Mv = 1 [false]Mv = 0

[p(t1, · · · , tn)]Mv = IM,v (p(t1, · · · , tn)) ={

1 si([t1]Mv , · · · , [tn]Mv

)∈ pM

0 sinon[¬F ]Mv = [F ]Mv [F1 ∧ F2]Mv = [F1]Mv · [F2]Mv[F1 ∨ F2]Mv = [F1]Mv + [F2]Mv [F1 ⇒ F2]Mv = [F1]Mv + [F2]Mv

[∀x F ]Mv =∏

m∈|M|[F ]Mv [x←m]

=

{1 ssi [F ]Mv [x←m] = 1 pour chaque élément m ∈ |M|0 ssi [F ]Mv [x←m] = 0 pour au moins un élément m ∈ |M|

[∃x F ]Mv =∑

m∈|M|[F ]Mv [x←m]

=

{1 ssi [F ]Mv [x←m] = 1 pour au moins un élément m ∈ |M|0 ssi [F ]Mv [x←m] = 0 pour chaque élément m ∈ |M|



Interprétation des formules

la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv





I exemple : ∀x p(x , y) (Free(∀x p(x , y)) = {y})

structure M de domaine |M| = {−2,−1,1,2}pM ⊆ |M|2 pM = {(m1,m2)|m1 ≤ m2}valuation v telle que v(x) = −1 et v(y) = 2







[∀x p(x , y)]Mv =∏

m∈|M| [p(x , y)]Mv [x←m]

= [p(x , y)]Mv [x←−2] · [p(x , y)]Mv [x←−1] · [p(x , y)]

Mv [x←1] · [p(x , y)]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1







[∀x p(x , y)]Mv =∏

m∈|M| [p(x , y)]Mv [x←m]

= [p(x , y)]Mv [x←−2] · [p(x , y)]Mv [x←−1] · [p(x , y)]

Mv [x←1] · [p(x , y)]

Mv [x←2]

= 1 · 1 · 1 · 1 = 1

[p(x , y)]Mv [x←m] = 1

ssi([x ]Mv [x←m], [y ]

Mv [x←m]

)= (v [x ← m](x), v [x ← m](y)) = (m, v(y)) ∈ pM

ssi m ≤ v(y)




la valuation v sert uniquement à déterminer la valeur des variableslibres de F lors du calcul de [F ]Mv[F ]Mv ne dépend pas des valeurs associées par v aux variablesn’appartenant pas à Free(F )





I si x 6∈ Free(F ), alors [F ]Mv = [F ]Mv [x←m] (pour tout m ∈ |M|)





I si x 6∈ Free(F ), alors [F ]Mv = [F ]Mv [x←m] (pour tout m ∈ |M|)

si F est une formule close, [F ]Mv ne dépend pas de v



Modèles – Formules validesune structure M satisfait une formule F ssi [F ′]Mv = 1 où F ′ est laclôture universelle de F (et v est une valuation quelconque).

I M est un modèle de F





une formule insatisfiable est une formule qui n’admet pas de modèle.






une formule F est valide ssi elle est satisfaite par toutes les structuresdu langage défini par F ∪ P.







I F est valide ssi ¬F est insatisfiable.







I impossible d’énumérer toutes les structures M : déterminer si F estvalide est un problème indécidable

F il n’existe pas d’algorithme qui détermine si F est valide



Conséquences – Formules équivalentes

F2 |= F1 : la formule F1 est une conséquence de la formule F2 ssi pourtoute structure M et toute valuation v , si [F2]Mv = 1, alors [F1]Mv = 1





I {F1, · · · ,Fn} |= F : la formule F est une conséquence del’ensemble de formules {F1, · · · ,Fn} ssi pour toute structure M ettoute valuation v , si [F1 ∧ · · · ∧ Fn]Mv = 1, alors [F ]Mv = 1.






I F2 |= F1 ssi F2 ⇒ F1 est valide






I F2 |= F1 ssi F2 ⇒ F1 est valideI {F1,F2, · · · ,Fn} |= F ssi (F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fn)⇒ F est valide







F1 |≡|F2 : les formules F1 et F2 sont équivalentes ssi pour toute structureM et toute valuation v , [F1]Mv = [F2]Mv








I |≡| est une relation d’équivalence (relation réflexive, symétrique ettransitive)








I |≡| est une relation d’équivalence (relation réflexive, symétrique ettransitive)

I F1 |≡|F2 ssi F2 |= F1 et F1 |= F2.



Validité/Complétude de la Déduction NaturelleF ,F1, · · · ,Fn ∈ IF(X ,F ,P)

Validité : si F est prouvable à partir des hypothèses F1, · · · ,Fn, alors{F1, · · · ,Fn} |= F

Complétude : si {F1, · · · ,Fn} |= F alors F est prouvable à partir deshypothèses F1, · · · ,Fn



cours 5 interprétation : variables et quantificateurs · 2020. 7. 23. · cours 5 interprétation...

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