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Comportamento asintoticodei circuiti dinamici

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA E TECNOLOGIE DELL'INFORMAZIONE

Corso di Teoria dei CircuitiLaurea Magistrale in Ingegneria

Elettrica, Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni

Prof. Massimiliano de [email protected], www.elettrotecnica.unina.it

mailto:[email protected]

http://www.elettrotecnica.unina.it

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 2

• Strumenti per l’analisi qualitativa: traiettorie nello spazio di stato e ritratto di fase (phase portrait)

• Concetto di stabilità di soluzioni non stazionarie (Ljapunov, Lagrange), soluzioni divergenti

• Comportamento asintotico nei circuiti lineari: soluzione di regime, isomorfismo e simmetrie

• Concetto di stabilità strutturale, esempio (limite) di biforcazione in un circuito lineare

Parte I

3

La visualizzazione della dinamica dello stato rappresentata nello spazio di stato permette di valutare globalmente il comportamento asintotico delle soluzioni di un circuito

Il ritratto di fase (phase portrait) è definito appunto come la rappresentazione grafica delle traiettorie di un circuito dinamico nello spazio di stato, a partire da un ampio insieme di condizioni iniziali.

E’ uno strumento molto potente nello studio dei sistemi dinamici, che permette di rivelare informazioni sulla presenza di punti di equilibrio, orbite periodiche (cicli limite) e attrattori, e sulla stabilità di tali soluzioni asintotiche

Spazio di stato e ritratto di fase /1

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti


x1

x2

x t0( )

x t( )x1

x2

x t0( )

x t( )

spazio di stato

traiettoria

Per un circuito del secondo ordine, x=(x1(t),x2(t))T, e lo spazio di stato è il piano x1,x2.


x0 x t0( ) x t( )

traiettoria

Per un circuito del primo ordine, x=x(t), lo spazio di stato è la retta. Un esempio di traiettoria è:

Per un circuito di ordine N lo spazio di stato è RN.


Il“ritratto di fase” (phase portrait) è l’insieme di tutte le

possibili traiettorie nello spazio di stato.

iD

v(t) +-

R L

C

iL

iC

Esempio: circuito RLCDT con C 0




Esempio: Oscillatore di van der Pol, (sol. as. ciclo limite)


•Soluzioni stabili (secondo Ljapunov)

•Soluzioni asintoticamente stabili

•Globale asintotica stabilità per un circuito

•Stabilità secondo Lagrange (Bounded Stability)

Stabilità delle soluzioni


Stabilità secondo Ljapunov

0

0 0 : (0) (0)

( ) ( )

x y

x t y t t t

ε δ δ

ε

∀ > ∃ > − <

⇓

− < ∀ ≥

La soluzione x(t) si dice stabile (secondo Liapunov)


Stabilità asintotica

lim ( ) ( ) 0t

x t y t→∞

− =

La soluzione x(t) si dice asintoticamente stabile

x(t) è stabile ed inoltre:


Se la condizione di stabilità asintotica èindipendente dalla condizione iniziale, cioè prese due qualsiasi soluzioni x(t) ed y(t) che differiscono in modo arbitrario per la condizione iniziale:

Globale asintotica stabilità

→∞− = ∀ 0 0lim ( ) ( ) 0 ( ), ( )

tx t y t x t y t

il circuito si dice globalmente asintoticamente stabile. È il caso classico dei circuiti lineari!


Soluzione di regime

0

0 0

lim ( ) ( ) ( )

lim ( ) ( )

rt

rt

x t x tx x t

x t x t→∞

→−∞

= ⎫⎪ ∀ =⎬= ⎪⎭

Se si ha la globale asintotica stabilità, l’anda-mento asintotico di tutte le soluzioni è lo stesso

Esso definisce un’unica soluzione di regime


Se una qualsiasi soluzione x(t) si mantiene sempre limitata si dice che il circuito è stabile secondo Lagrange (Bounded Stability):

Stabilità secondo Lagrange

( )x t M≤ < ∞

È questo il caso di circuiti con elementi attivi tutti asintoticamente passivi.In tal caso, prese due qualsiasi soluzioni x(t) ed y(t) (che differiscono in modo arbitrario per la condizione iniziale) si ha:

( ) ( )x t y t k− ≤


Comportamento asintotico circuiti lineari/1

2 10

RL LC

λ λ+ + =

( ) ( )t tpx t k e k e x tλ λ+ −

+ −= + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

; t t t tp p

t t

x t k e k e x t x t k e k e x t

x x x k k e k k e

λ λ λ λ

λ λ

+ − + −

+ −

+ − + −

+ + − −

′ ′ ′ ′′ ′′ ′′= + + = + +

′ ′′ ′ ′′ ′ ′′Δ = − = − + −

x

x

x

x

x

x

La stabilitàdipende solo da λ+ e λ-


( ) ( )( ) ( )

= =

=

=

1 1 2 2 2

1 2

1 2

1

0 0 ;

0 0

r

C C

L L

L C L C

V V

I I

ω

Dunque il circuito in esame è stabile, ma non asintotica-mente, nonostante sia passivo e contenga un elemento dissipativo (R >0 ). Ciò è dovuto al fatto che presenta maglie costituite di soli induttori e condensatori.

( ) ( ) ( )1 2 cos 0C C M r Rv t v t V t Pω α= = + ⇒ =

Comportamento asintotico circuiti lineari/2


Un circuito lineare che contiene solo generatori indipendenti ed elementi passivi (resistori, induttori,…) è stabile.

Un circuito che contiene generatori indipendenti ed elementi passivi (resistori, induttori, …) per il quale ciascuna maglia e ciascun insieme di taglio contengono almeno un elemento dissipativo (resistore con R>0), èasintoticamente stabile.

Un circuito lineare che contiene oltre a elementi passivi e generatori indipendenti, anche altri elementi attivi, come, ad esempio, generatori controllati o resistori attivi, può essere instabile.

Circuiti lineari: condizioni di stabilità


Per i circuiti lineari asintoticamente stabili il comporta-mento asintotico (soluzione per t oo) è unico (cioè èindipendente dalle c.i.). Dunque esiste un’unica soluzione di regime:

che dipende unicamente dalla struttura del circuito e dall’andamento temporale dei generatori indipendenti.Per qualsiasi soluzione si ha che:

Inoltre la soluzione di regime varia con continuità al variare dei parametri del circuito (che si dice perciò “strutturalmente stabile”)

( )r r t=x x

( ) ( )→+∞

⎡ ⎤− =⎣ ⎦lim 0rtt tx x

Circuiti lineari: soluzione di regime

( )tx


Dal punto di vista “morfologico” avremo:

Circuiti lineari: simmetrie del regime

Generatori stazionari regime permanente stazionario

Generatori sinusoidali iso-frequenziali a pulsazione ω

regime permanente sinusoidale a pulsazione ω

Generatori periodicidi periodo T

regime permanente periodico di periodo T

Generatori quasi-periodici [ω1, ω2] .. [ωΝ−1, ωΝ]

regime permanente quasi-periodico [ω1, ω2] .. [ωΝ−1, ωΝ]


Abbiamo appena ricordato che per i circuiti lineari asintoticamente stabili la soluzione di regime dipende con continuità dai parametri.

Più in generale diamo la definizione di stabilità strutturale:

“un circuito si dice strutturalmente stabile se il suo comportamento asintotico non varia dal punto di vista qualitativo per piccole variazioni dei suoi parametri”

In altre parole in un circuito non strutturalmente stabile ad una piccola variazione di un parametro corrisponde una variazione discontinua e/o qualitativa della dinamica asintotica

Stabilità strutturale nei circuiti


Esempio 1: circuito strutturalmente stabile

Circuiti lineari: stabilità strutturale

0 10

0R

RCCλ

> ⎫⇒ = − <⎬

> ⎭

1 2

1 2

1 21 2

1 2

1;

0 se 0, 0

0 0 se

eqeq

R RRR R R C

R RR RC R R

λ

λ

= = −+

⎧> >> < ⎫ ⎪⇒⎬ ⎨> < <⎭ ⎪⎩

Esempio 2: circuito non strutturalmente stabile


• Comportamento asintotico in circuiti non lineari, stabilità strutturale e caratteristiche non lineari, debole non linearità

• Esempi di biforcazioni in circuiti del primo ordine: tipo “folding” e “pitchfork”, passaggio da mono-stabile a bi-stabile

• Un esempio di biforcazione in circuiti del secondo ordine: tipo “Hopf”, passaggio da bi-stabile a ciclo limite (oscillatore)

Parte II


Comportamento asint. circuiti non lineari

• Per i circuiti lineari asintoticamente stabili esiste un unico regime che conserva le simmetrie temporali dei forzamenti.

• Nei circuiti lineari stabili ma non asintoticamente le soluzioni asintotiche risultano dipendenti dalle condizioni iniziali.

• Il comportamento asintotico dei circuiti non lineari risulta decisamente più complesso. In particolare spesso esistono piùsoluzioni asintotiche, esse possono non conservare le simmetrie dei forzamenti, si può verificare la coesistenza di soluzioni stabili e instabili.

• Ad esempio, circuiti autonomi potranno presentare soluzioni asintotiche periodiche, quasi-periodiche o addirittura perdere ogni regolarità divenendo, come si dice, “caotiche”.


Circuiti non lineari del primo ordine: es. 1


Non lin. I ordine es.1a: ritratto di fase

Caso (a): caratteristica monotona

Posto v =v* l’unica soluzione stazionaria, il ritratto di fase è il seguente: v=v* vv=v01 v=v02

t=0 t=∞ t=0

“attrattore”

Il punto di equilibrio v =v* è un attrattore per tutte le traiettorie del circuito. La soluzione stazionaria v =v* èasintoticamente stabile ed è la soluzione di regime.Per qualsiasi c.i. si ha sempre ( )lim *

tv t v

→+∞=


Non lin. I ordine es.1a: stabilità strutturale

Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare la tensione E

i

v

v*1 v*2 v*3v*0 v*4

v*

EE1

E2

E3

E0

E4

E1

E2

E3

E0

E4

v*0

v*1

v*2

v*3

v*4

vvvvv

Il circuito èstrutturalmente stabile


Non lin. I ordine es.1b: ritratto di fase

Caso (b): caratteristica non monotonaAbbiamo ora fino a tre soluzioni stazionarie v =v1*, v =v2*, v =v3*. Nel caso di tre intersezioni il ritratto di fase è:

Il ritratto di fase ha ora due attrattori, che vengono raggiuntia seconda delle c.i.L’insieme (regione dello spazio di stato) che porta ad una certa soluzione si definisce bacino di attrazione.


Non lin. I ordine es.1b: stabilità strutturale

Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare la tensione E

Il circuito non èstrutturalmente stabile


Non lin. I ordine es.1b: biforcazioni

Riassumendo, nel caso di caratteristica non monotona accade che:

•il circuito risulta non strutturalmente stabile ovvero il tipo di comportamento asintotico varia in modo discontinuo con i parametri

•tali brusche variazioni prendono il nome di biforcazioni

•i valori dei parametri in corrispondenza delle stesse prendono il nome di valori di biforcazione


Circuiti non lineari del I ordine: es. 2

( )R Ddv vC i i g vdt R

= − − = − −

A seconda della pendenza G=1/R avremo una soluzione stabileo tre soluzioni, di cui due stabili ed una instabile.


Non lin. I ordine es.2: stabilità strutturale

Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare il valore G

Il circuito non è strutturalmente stabile

G1

G2

G3

G0

G4vvvvv

v*

G


Circuiti non lineari del primo ordine

a) Caratteristiche monotone:• comportamento asintotico unico (regime), indipendente da c.i.• soluzioni stabili• circuito strutturalmente stabile• tipo di regime dipendente dalle sorgenti

sinusoidale periodico T (con armoniche)

b) Caratteristiche non monotone:• comportamento asintotico non unico, dipendente da c.i.• soluzioni instabili• circuito non strutturalmente stabile (biforcazioni)

Osserviamo che in presenza di generatori controllati ed amplificatori operazionali (ideali) si può sempre ricadere in (b)

302

0 0

1

( )

3 1( ) 32

LL C

CL C

C C C

diL i vdt GdvC i g vdt

Ii g v v vV V

= − −

= −

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

i

v

G<G0G>G0

G0=|dg/dv|v=0

P0

P+

P-

Circuiti non lineari del II ordine: es1


Cosa accade all’aumentare dell’ordine del circuito?

Consideriamo un esempio del secondo ordine (circuito autonomo con resistore non lineare simmetrico asintoticamente passivo)

Circuiti non lineari del II ordine: es1

W =12

LiL2 +

12

CvC2;

P (a) = PR + PD = RiL2 + vCiD;

A ∈ 2 : P (a) vC,iL( ) ≤ 0

∀ vC,iL( ) ∈ 2 − A ⇒dWdt

= −P (a) vC,iL( ) ≤ 0

∃M ∈ + : vC,iL ≤ M

∃iLM ,vCM ∈ + :iL ≤

2ML

= iLM ,

vC ≤2MC

= vCM

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪


Linearizzazione attorno a P0

Es.1: biforcazione di Hopf


E’ possibile mostrare come, in dipendenza del parametro G=1/R, avremo il brusco passaggio tra due tipi di comportamenti asintotici

“Hopf” bifurcation stabile

instabile

P0: fuoco (stabile) ciclo limite (stabile)

Se l’attrattore è un ciclo limite la soluzione è periodica anche per circuiti autonomi (es: oscillatore)

Es.1: biforcazione di Hopf



Ciclo limite e dinamiche complesse

Il ciclo limite nasce dalla competizione di due meccanismi.

L’elemento non lineare asintoticamente passivo fornisce

potenza nella regione interna (dunque causando

l’espansione delle traiettorie) e assorbe potenza in quella

esterna (dunque causando la contrazione delle traiettorie)

Per circuiti del secondo ordine non autonomi, o autonomi

ma almeno del terzo ordine possono nascere dinamiche

assai più complesse

• G=1/R conduttanza resistore lineare

• G0 conduttanza differenziale

nell’origine

• Gshp coeff.angolare retta passante per

estremi relativi

• GC=parametro caratteristico C/L*1/G0

Es.1: oscillatore e biforcazione di Hopf

Es.1: oscillatore e biforcazione di Hopf



1. M. Hasler, J. Neirynch, Nonlinear Circuits, Artech House, Inc, 1986.

2. L.O. Chua, C.A. Desoer, E.S. Kuh, Circuiti Lineari e Non Lineari, Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7.

3. L.O. Chua, Dynamic Nonlinear Networks: State of the Art, IEEE Trans. on Circuits and Systems, Vol. CAS 27 n°11, 1980 (sul sito www.elettrotecnica.unina.it)

4. Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-Verlag 1995.

5. Appunti del Prof. Miano Comportamento dinamico di circuiti non lineari (sul sito www.elettrotecnica.unina.it)

Riferimenti bibliografici

http://www.elettrotecnica.unina.it/

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