control de polarización de dispositivos ópticos integrados hermano, aquí te demuestro que...

Control de Polarización en Dispositivos Ópticos

Integrados

Jose Darío Sarmiento Merenguel

i

“Your time is limited, so don’t waste it living someone else’s life. Don’t be trappedby dogma — which is living with the results of other people’s thinking. Don’t letthe noise of others’ opinions drown out your own inner voice. And most important,have the courage to follow your heart and intuition. They somehow already knowwhat you truly want to become. Everything else is secondary.”

Steve Jobs

Agradecimientos

En primer lugar quiero agradecer este trabajo a mis padres, pues es también fruto de suesfuerzo y sacrificio. Gracias por haberme enseñado a ser como soy y haberme llevado siemprepor el buen camino. Hermano, aquí te demuestro que realmente estaba estudiando una carrera,y no bebiendo cerveza, sabes de sobra lo mucho que te aprecio.También quiero agradecérselo a mis abuelos, me habéis cedido parte de vuestra sabiduría conel paso del tiempo y espero hacer buen uso de ella. Al resto de la familia, también os agradezcotodo el cariño que siempre me habéis dado, aunque pase poco tiempo con vosotros, no olvidoninguno de los momentos.A mi princesa, María, eres una pieza clave en el desarrollo de este trabajo, y que sin ti, nadasería lo mismo. Gracias por haberme aguantado todo este tiempo, y haber soportado todasmis quejas, espero que estos dos años tan sólo sean el principio de una vida juntos.A mis amigos de toda la vida, pues aunque el tiempo pase y el contacto sea intermitente,siempre será igual de fuerte. Alejandro, Juan y Cristian, vosotros también habéis ayudado aque esto salga adelante.A todos los que me habéis acompañado durante estos cinco años y me habéis ayudado enel camino. Richard, Dj, Ana, Fran, Antonio,Tapia, Cósimo, David, Bola sin vosotros todo eltiempo de estudio no hubiese sido tan ameno. Los días de estudio en la biblioteca guardansecretos inconfesables.No puedo seguir escribiendo sin hacer mención de mi tutor, Robert Halir, al cual admiropor su capacidad de trabajo y su talento para transmitir conocimiento. Casi accidentalmentetopé contigo y no creo que hubiese mejor tutor para dirigir un proyecto, ojalá pueda seguirtrabajando contigo y aprendiendo de ti.A todos los compañeros del laboratorio 1.3.2, por iluminarme durante este tiempo y habermerecibido tan bien en esta pequeña familia que formáis, Carlos, Elena, Diego, Juanma, Álvaro yLaureano, de verdad muchas gracias. A los profesores del grupo, Alejandro Ortega y GonzaloWangüemert, el entusiasmo que desprendéis ayuda a que todo sea más fácil.A mi compadre, Jose Raúl, por haberme ayudado con la redacción.A Jose Antonio Mérida, porque no hay mejor ejemplo de esfuerzo y sacrificio. Ojalá puedasver esto, allá donde estés.

iii

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Contextualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Objetivos y Aportaciones del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Organización del Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Fundamentos de Luz Polarizada 5

2.1. Polarización de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Descripción matemática de los estados de polarización . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Vectores y matrices de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2. Parámetros de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Desplazador de fase de polarización ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Rotador de polarización ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.1. Giro de las componentes transversales del campo . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.2. Rotador de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Esfera de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1. Descripción Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.2. Representación de algunos dispositivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Guías monomodo en tecnología SOI 19

3.1. Tecnología SOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2. Guía de onda en SOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

v

vi ÍNDICE GENERAL

4. Análisis del rotador ajustable 25

4.1. Análisis del funcionamiento del rotador ajustable . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.1. Análisis con Matrices de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.2. Descripción de la implementación en Óptica Integrada . . . . . . . . . . 28

4.2. Estudio de la guía rotadora de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1. Introducción y Análisis de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.2. Efecto de las variaciones en ✓ y ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.3. Estudio de las tolerancias de fabricación mediante diferentes modelos . 35

4.2.3.1. Modelo basado en el ángulo de los modos . . . . . . . . . . . . 36

4.2.3.2. Modelo basado en matrices de solape . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.3.3. Simulación electromagnética completa . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.3.4. Discusión de los Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Estudio de la guía desplazadora de fase de la polarización . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1. Introducción y análisis de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.2. Linealidad de los índices efectivos de la guía con las variaciones de tem-peratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.3. Estudio del calentador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4. Análisis electromagnético del rotador de polarización ajustable . . . . . . . . . 46

5. Medidas de la guía de onda rotadora de polarización 49

5.1. Medida del ER de la guía de onda rotadora de polarización . . . . . . . . . . . 49

5.1.1. Set-up utilizado para la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.2. Proceso de medida y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.2.1. Alineamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.2.2. Caracterización de las guías de onda . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.2.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1.3. Extrapolación de los resultados al problema concreto . . . . . . . . . . 57

5.2. Medida de las pérdidas de inserción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.1. Set-up utilizado para la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.2. Proceso de medida y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.3. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ÍNDICE GENERAL vii

6. Preparación del Layout 61

6.1. Uso de la herramienta DrawMask . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2. Ampliación de la herramienta DrawMask . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7. Conclusiones y líneas futuras 67

7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2. Líneas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Bibliografía 68

A. Conversión entre parámetros de Stokes y Vectores de Jones 71

B. Tablas procedentes de la simulación 73

C. Resultados de las medidas realizadas 77

viii ÍNDICE GENERAL

Índice de figuras

1.1.1.Esquema del rotador de polarización ajustable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1.a) Campos eléctrico y magnético de una onda que se propaga en dirección z . . 6

2.1.2.Estados de polarización fundamentales, en las figuras se muestran el campopropagándose y el lugar geométrico que recorre el vector de campo en un tonomás oscuro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1.Conexión en cascada de sistemas ópticos dependientes de la polarización . . . . 9

2.4.1.Giro de la base. Nótese que aunque el campo es el mismo a la entrada que a lasalida, la base en la que se descompone éste presenta una rotación. . . . . . . . 13

2.4.2.Esquema de funcionamiento del rotador de polarización. . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1.(a) Definición de los ángulos de de ázimut y elevación �. (b) Estados depolarización sobre la esfera de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.2.a)Evolución de la polarización a la salida de un desplazador de fase, para variaspolarizaciones de entrada. b) Evolución de la polarización a la salida de unrotador de polarización. Polarización horizontal a la entrada, ✓ toma distintosvalores submúltiplos de ⇡/4 c) Evolución de la polarización a la salida de unrotador de polarización. Para varias polarizaciones de entrada y ✓ = ⇡/4. Entodas las figuras se han representado los estados de polarización 1, 3 y 5 de latabla 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1.Oblea SOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2.Errores debidos a las tolerancias de los procesos de fabricación . . . . . . . . . . 22

3.2.1.Guía de onda en tecnología SOI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2.a) Intensidad del modo TE. b)Intensidad del modo TM. Ambos propagándosepor una guía SOI de dimensiones 415x260 nm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ix

x ÍNDICE DE FIGURAS

4.1.1.Diagrama de bloques del dispositivo a construir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.2.Evolución de la polarización a lo largo del Rotador . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.3.Sección transversal de la guía de onda rotadora de polarización (a) y del des-plazador de fase (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1.Dimensiones de la guía rotadora de polarización y rotación de campos . . . . . 30

4.2.2.Perfiles de campo de los modos híbridos que se propagan a través de la guíarotadora de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.3.(a) Rallado en azul, región de la esfera de Poincaré en la que ER>1/3. (b)Región sobre la cual la rotación perfecta es posible. El borde la región de (b)se corresponde con la circunferencia continua dibujada sobre la esfera de (a). . 33

4.2.4.Variación del ER en dB sobre la región de rotación perfecta, al variar la geo-metría transversal del dispositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.5.Variaciones de ' y de ✓, en función de variaciones en la geometría del dispositivo. 35

4.2.6.Región de posibles puntos de polarización a la salida de la guía rotadora paraincrementos de ' y ✓ de ±10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.7.Representación paramétrica de la guía rotadora de polarización . . . . . . . . . 36

4.2.8.ER para variaciones de la geometría transversal. En la tabla 4.1, se resumen lasconsideraciones de cada modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.9.Estructura correspondiente al modelo basado en matrices de solape . . . . . . . 40

4.3.1.Variación del índice efectivo para los modos TE y TM en función de incrementosde temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.2.Rango de desfase alcanzado por el desplazador de fase de polarización, paraincrementos de temperatura de 0 a 40º C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.3.Variación de las pérdidas por unidad de longitud en función de la distanciaentre la guía rotadora y la resistencia metálica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.1.Algoritmo de Optimización ER en el rotador de polarización ajustable . . . . . 47

4.4.2.(a) Evolución de la componente Ex al atravesar el rotador de polarización ajus-table. (b) Evolución de la componente Ey al atravesar el rotador de polarizaciónajustable. En ambos casos se excita el rotador con un modo TE . . . . . . . . . 48

5.1.1.Set-up para la medida del ER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.2.Imagen de una parte del set-up utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ÍNDICE DE FIGURAS xi

5.1.3.ER para cada guía, clasificados por grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.4.ER [dB], en función de grupo y guía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.1.Set-up utilizado para la medida de las pérdidas de inserción de las guías rota-doras de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.2.(a) Tensión medida para el barrido en longitud de onda de una guía. (b) Medidade las pérdidas para diferentes guías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.1.Ejemplo de máscara creada en Autocad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.1.Estructuras correspondientes (a) al layout de la guía rotadora de polarización y(b) del calentador. Los tapers que aparecen en los extremos de la guía rotadorade polarización sirven para reducir las pérdidas entre las guías normales y ésta. 65

6.2.2.Layout de un rotador de polarización ajustable completo. . . . . . . . . . . . . 65

7.2.1.Esquema de controlador de polarización integrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

xii ÍNDICE DE FIGURAS

Capítulo 1

Introducción

1.1. Contextualización

Las comunicaciones ópticas nacen en el momento en el que el ser humano es capaz de construirel láser, y disponer así de una fuente de luz coherente. En ese momento surge la necesidad depoder manipularla junto con la idea de usarla como sustituta a la corriente eléctrica en muchasde las aplicaciones en las que ésta se utiliza. En el campo de las comunicaciones aparecen losproblemas de transmisión y procesado de la luz. Como medio de transmisión por excelenciase ha establecido la fibra óptica, gracias a sus pérdidas de propagación extraordinariamentereducidas, del orden de décima de decibelios por kilómetro. El procesado de luz, como puede serla división de potencia, introducción de desfases, o la manipulación de su estado de polarizacióntradicionalmente se ha realizado con componentes de espacio libre (cubos separadores de haz,láminas de retardo, ...), o componentes en fibra. La óptica integrada, también denominadafotónica, persigue la implementación de estas funcionalidades en un chip monolítico. Esto nosólo permite una drástica reducción de tamaño de los sistemas, si no que también los provee deuna mayor robustez frente a perturbaciones externas. Existen pues ciertos paralelismos entrelos principios de la microelectrónica y la actual óptica integrada.

La inmensa y creciente demanda de servicios que hacen uso de las redes de comunicaciones hapromovido el uso de las comunicaciones ópticas en las grandes redes troncales. Aunque el anchode banda requerido por un usuario medio no sea muy grande, el tráfico que soportan las redestroncales de un país puede alcanzar cifras muy elevadas: por ejemplo el nodo de intercambiode internet de Frankfurt alcanza diariamente tasas de 2.5 Terabit/s [1]. El aumento actual deservicios telemáticos junto a la penetración en la sociedad del uso de internet, ha provocadoque las redes ya desplegadas no sean suficientes para satisfacer las necesidades requeridas.Por este motivo los proveedores de servicios realizan inversiones para aumentar el ancho debanda disponible. Una de las alternativas es utilizar la multiplexación en polarización. Si se

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

ELEMENTO DE AJUSTE

ROTADORIDEAL

ELEMENTO DE AJUSTEROTADOR

DEGRADADOROTADOR

DEGRADADOROTADOR

DEGRADADO

Figura 1.1.1: Esquema del rotador de polarización ajustable

consiguen superponer dos señales con polarizaciones ortogonales, supongamos horizontal yvertical, entonces la capacidad de la red se multiplicará por dos [2]. Sobra decir que el costeque puede llevar el desarrollo es mucho menor que el despliegue de más cables de fibra óptica.

Para poder transmitir dos polarizaciones ortogonales en una misma fibra, es necesario, entreotros requisitos, que el equipo receptor, ya sea discreto o integrado, sea capaz de manejar lapolarización recibida. La integración ofrece varias ventajas, entre las que destacan la robustezy la reducción del coste, ya que permite la fabricación a gran escala. Con el fin de manejar lapolarización aparecen configuraciones de receptores integrados con diversidad de polarización.En este tipo de receptores, un elemento clave es el rotador de polarización integrado. El rotadorde polarización es un dispositivo fotónico capaz de convertir la polarización horizontal a suentrada en vertical a su salida, y viceversa.

La mayoría de soluciones propuestas para implementar rotadores de polarización integradosrequiere una precisión del orden de decenas de nanómetros en sus dimensiones para funcionarcorrectamente [3–8]. Las tecnologías de fabricación actuales no son capaces de alcanzar tole-rancias de fabricación tan ajustadas, y por tanto sólo una pequeña parte de los dispositivosfabricados resultan funcionales.

Recientemente se ha propuesto, de manera teórica, un esquema de un rotador de polarizaciónajustable, que es capaz de compensar parcialmente el efecto de las tolerancias de fabricación [9].Como se muestra en la figura 1.1.1 el esquema completo se compone de:

Tres rotadores de polarización convencionales, y por lo tanto susceptibles a errores intro-ducidos por las tolerancias de fabricación. Por tanto, una vez fabricados, las prestacionesde cada uno de los rotadores previsiblemente será pobre.

Dos elementos de ajuste que se intercalan entre los rotadores de polarización convencio-nales. Configurando adecuadamente estos elementos el conjunto se comporta como unrotador de polarización con buenas prestaciones.

1.2. OBJETIVOS Y APORTACIONES DEL PROYECTO 3

1.2. Objetivos y Aportaciones del proyecto

El trabajo que se desarrollará a lo largo de este proyecto fin de carrera, tiene como objetivoprincipal contribuir a la construcción del dispositivo ideado en [9]. Dicho dispositivo suponeun gran progreso en el control de polarización, ya que hasta el momento los rotadores depolarización integrados no podían ajustarse una vez construidos.

En el momento de iniciar este trabajo se dispone de:

un diseño de una guía rotadora de polarización convencional [8] que se pretende usarcomo base para el rotador de polarización ajustable.

un chip fotónico con un conjunto de estas guías fabricadas.

un diseño preliminar de los elementos de ajuste.

Los objetivos principales que se desarrollan en este proyecto son:

1. Estudio de la tolerancia a errores de la guía rotadora de polarización mediante simula-ciones electromagnéticas.

2. Estudio de los elementos de ajuste.

3. Medida y caracterización de las guías rotadoras de polarización del chip.

4. A partir de dichas medidas, determinar qué guías son las más adecuadas para el rotadorajustable.

5. Preparación del layout del rotador ajustable, que permita iniciar la fabricación de unprototipo del mismo.

Todo el trabajo que se realiza en este proyecto, permitirá la realización del rotador ajustablede la figura 1.1.1. Sin embargo, la realización del prototipo y su caracterización están fuera delalcance de este trabajo. Como principales aportaciones del mismo cabe destacar: el estudioexhaustivo de tolerancias de las guías rotadoras de polarización y la caracterización de lasguías rotadoras de polarización ya fabricadas.

1.3. Organización del Proyecto

Este proyecto está compuesto por siete capítulos, que cubren el trabajo desarrollado durante larealización del mismo. En el presente capítulo, además de justificar la necesidad de rotadores

4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

de polarización ajustables, se establecen los objetivos que se desarrollarán a lo largo del pro-yecto. Un breve repaso de los fundamentos de la luz polarizada será presentado en el capítulo2. Además se proporcionarán todas las herramientas matemáticas con las que se describiránformalmente los elementos fotónicos que permiten el manejo de la polarización. En el capítulo3 se proporciona una breve introducción a la tecnología Silicon-on-insulator, que es la elegidapara la implementación del rotador de polarización ajustable. Se detallará la tecnología utiliza-da para fabricar el dispositivo, se describirá cuáles son las principales características de dichatecnología, y se discutirá cómo se propaga la luz a través de ella. El capítulo 4, cuyo contenidoforma parte del núcleo del presente proyecto, se centra en estudiar el rotador de polarizaciónajustable, descomponiéndolo en sus bloques básicos. Se realizará un profundo estudio de cómovarían las prestaciones de una guía rotadora de polarización cuando las dimensiones de lageometría transversal difieren de las del diseño, debido a los errores introducidos a causa delas tolerancias de fabricación. Por otro lado, también se estudiará en el capítulo cuatro cómoimplementar los elementos de ajuste. El capítulo 5 trata de la caracterización experimental delas guías rotadoras que se incluirán en el esquema del rotador ajustable. Dado que los resulta-dos de las medidas son satisfactorios, en el capítulo 6, se realizará una primera aproximaciónal diseño de la máscara del rotador de polarización ajustable. Se partirá de un software propiodel grupo de investigación, sobre el que se realizarán algunas modificaciones, y se obtendráun posible layout del dispositivo a fabricar. Finalmente, en el capítulo 7, se expondrán lasconclusiones y líneas futuras de este trabajo.

Capítulo 2

Fundamentos de Luz Polarizada

En este capítulo se describirán cualitativa y cuantivamente los fundamentos físicos de la luzpolarizada. En primer lugar, en la sección 2.1 se definirá qué es la polarización de la luz y cuálesson los estados que ésta puede adoptar. En la sección 2.2, se describirán matemáticamente losdistintos estados de polarización. Posteriormente, se introducirán en 2.3 y 2.4 dos elementosbásicos capaces de modificar los estados de polarización de la luz. Para acabar el capítulo, en lasección 2.5 se presentará una herramienta gráfica de representación de los distintos estados depolarización de la luz. A lo largo de estas secciones se presentarán las bases teóricas necesariaspara una correcta comprensión de los siguientes capítulos.

2.1. Polarización de la luz

La luz, tratada como una onda electromagnética plana, está compuesta por los campos eléctrico( ~E) y magnético ( ~H). Ambos campos son perpendiculares entre sí y perpendiculares a ladirección de propagación de la onda. El caso más simple es el ilustrado en la figura 2.1.1a.Como se puede observar, en este ejemplo tenemos una onda que se propaga en dirección z, conel campo eléctrico en un plano perpendicular a la dirección de propagación (dirección x) y elcampo magnético en un plano perpendicular a ambos (dirección y). Así, se define el estado depolarización de una onda electromagnética como el lugar geométrico que recorre el extremodel vector del campo eléctrico en un plano perpendicular a la dirección de propagación a lolargo del tiempo.

La luz como onda electromagnética forma un campo vectorial, el cual queda descrito mediantelas siguientes expresiones, en el caso de una onda plana, monocromática, no homogénea quese propaga a lo largo del eje z:

5

6 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LUZ POLARIZADA

0

2

4

6

8

!0.50

0.51

!0.5

0

0.5

1

Z

Campo Eléctrico

Campo Magnético

(a)

Figura 2.1.1: a) Campos eléctrico y magnético de una onda que se propaga en dirección z

~E(x, y, z) = (Ex(x, y)x+ Ey(x, y)y)ej(!t��z) (2.1.1)

~H(x, y, z) = (Hx(x, y)x+Hy(x, y)y)ej(!t��z) (2.1.2)

A partir de este momento, como los campos ~E y ~H siempre son perpendiculares entre sí,obviaremos el campo ~H y hablaremos únicamente del campo ~E para simplificar el desarrolloteórico. En las ecuaciones vemos que cada componente transversal está compuesta por unacomponente escalar de campo que depende de un punto del espacio. Dicha componente recibeel nombre de amplitud compleja, y queda definida por un módulo y una fase.

Ex(x, y) = |Ex(x, y)| ej�x

Ey(x, y) = |Ey(x, y)| ej�y

(2.1.3)

Una forma alternativa, de definir ambas componentes es a partir de sus diferencias de fase,

Ex(x, y) = |Ex(x, y)| ej'xEy(x, y) = |Ey(x, y)| y

(2.1.4)

Donde ' es la diferencia de fases. Esta alternativa será usada en secciones posteriores.

Así, la polarización de una onda electromagnética variará en función del desfase ('), entreambas componentes y la relación entre los módulos. En función de estos parámetros, clasi-ficaremos la polarización de una onda electromagnética en tres grupos: polarización lineal,polarización circular y polarización elíptica. En la tabla 2.1 se describen las condiciones quese han de cumplir para que la polarización de una onda electromagnética se encuentre en unode los posibles estados.

2.2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LOS ESTADOS DE POLARIZACIÓN 7

Polarización Módulo Desfase (')Lineal |Ex(x, y)| S |Ey(x, y)| ' = 0

Circular |Ex(x, y)| = |Ey(x, y)| ' = ±⇡/2Elíptica |Ex(x, y)| 6= |Ey(x, y)| ' 6= 0

Tabla 2.1: Módulo y fase relativa de familia de estados de polarización

El estado de polarización más general es el elíptico, ya que los otros dos pueden verse comocasos particulares de éste. Concretamente, un estado de polarización lineal es un caso depolarización elíptica en el que uno de los ejes de la elipse es nulo. Por otro lado, un estadode polarización circular es un caso de polarización elíptica en el que los dos ejes tienen elmismo módulo y además el desfase es ' = ±⇡/2. Para profundizar más en el tema se proponeconsultar [10]. A continuación, y para finalizar esta sección, se ilustran algunos estados depolarización:

0

2

4

6

8

!0.500.5

!0.50

0.5

ZE

x[V/m]

Ey[V

/m]

(a) Polarización Lineal

0

2

4

6

8

!1!0.5

00.5

!0.50

0.5

ZE

x[V/m]

Ey[V

/m]

(b) Polarización Circular

0

2

4

6

8

!10

1

!1!0.5

00.5

ZEx[V/m]

Ey[V

/m]

(c) Polarización Elíptica

Figura 2.1.2: Estados de polarización fundamentales, en las figuras se muestran el campopropagándose y el lugar geométrico que recorre el vector de campo en un tono más oscuro.

2.2. Descripción matemática de los estados de polarización

El manejo de la polarización puede resultar tedioso si se usan las expresiones completas de loscampos, ya introducidas en las ecuaciones 2.1.1 y 2.1.2. Más aún si la onda electromagnéticaatraviesa distintos medios que afectan de modo diferente a la forma en la que ésta se propa-ga. Así pues, es deseable el uso de una notación alternativa que simplifique el manejo de lapolarización.

A mediados del siglo XIX aparece la primera alternativa a la descripción analítica del estado depolarización, los parámetros de Stokes, fruto del trabajo de G.G. Stokes. La principal ventajaque introducen es que permitían caracterizar la polarización de una onda a partir de parámetrosobservables, en este caso, la potencia óptica a la salida un filtro. Como complemento a éstos,


un siglo después aparecen los parámetros de Jones, presentados por el físico norteamericanoR. Clark Jones. Los parámetros de Stokes son especialmente útiles para la caracterizaciónexperimental de dispositivos que alteran la polarización de la luz. Por otro lado, los parámetrosde Jones, son más útiles para trabajar en el análisis teórico de dispositivos que modifican elestado de polarización de la luz.

Operar con parámetros de Stokes es más complejo, pues se trata de vectores de dimensión 4⇥1,frente a vectores 2⇥ 1 en el caso de Jones, pero los anteriores presentan varias ventajas sobreestos últimos. La primera de ellas es que contemplan el caso de luz totalmente despolarizada.Otra ventaja es que los parámetros de Stokes tienen un sistema de representación muy robustoque permite observar como varía la polarización a lo largo de un sistema óptico, la Esfera dePoincaré, que será descrita en futuros apartados. No obstante, siempre será posible transformarun vector de Stokes en un vector de Jones y viceversa (ver el desarrollo en Apéndice A), luegousaremos uno u otro en función del nuestro interés final.

2.2.1. Vectores y matrices de Jones

Los vectores de Jones son una forma natural de representar el estado de polarización de la luzcoherente. Se pueden representar las componentes del campo (2.1.3) en forma de vector:

~E =

"|Ex(x, y)| ej�x

|Ey(x, y)| ej�y

#. (2.2.1)

Operando sobre 2.2.1, sacando factor común a la fase, y dividiendo por el módulo del campotransversal para obtener una expresión normalizada obtenemos el vector de Jones:

E =1q

|Ex(x, y|2 + |Ey(x, y)|2

"|Ex(x, y, z)| ej'

|Ey(x, y, z)|

#=

"|ex(x, y, z)| ej'

|ey(x, y, z)|

#=

"J1

J2

#(2.2.2)

donde ' = �x � �y.

El hecho de realizar estas operaciones implica perder información sobre la fase y módulosabsolutos del campo. Esta pérdida de información queda justificada ya que la mayoría de lasaplicaciones sólo precisan un conocimiento del valor relativo de estas medidas. Por lo tanto,un vector de Jones queda reducido una matriz de 2⇥ 1 en la que el primer elemento contieneel módulo normalizado de la componente x del campo y la fase relativa entre las componentesx e y del campo, y el segundo elemento contiene el módulo normalizado de la componente y1.

1Si se elige como referencia la fase de la componente x, entonces la fase aparecerá en el segundo elemento

de la matriz.

2.2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LOS ESTADOS DE POLARIZACIÓN 9

Durante el desarrollo de este proyecto, en la mayoría de los casos usaremos vectores y matricesde Jones para describir los dispositivos, por esta razón vamos a indagar algo más en cuanto alas matrices de Jones. En la siguiente ecuación se muestra como se relacionan dos vectores deJones a la entrada y la salida de un elemento óptico definido con una matriz de Jones:

Eout = J ⇥ Ein (2.2.3)

Como se puede observar, la matriz de Jones es una matriz cuadrada de orden dos. Esta matriz,multiplicada por el vector de Jones a la entrada del sistema, proporciona el vector de Jonesque define el estado de polarización a la salida del sistema. Definamos una matriz de Jonesgenérica, del siguiente modo:

J =

"J11 J12

J21 J22

#(2.2.4)

El elemento J11 relaciona la componente x del campo a la entrada con la componente x

del campo a la salida.

El elemento J12 relaciona la componente y del campo a la entrada con la componente x


El elemento J21 relaciona la componente x del campo a la entrada con la componente y


El elemento J22 relaciona la componente y del campo a la entrada con la componente y


A BEin EoutEinter

Figura 2.2.1: Conexión en cascada de sistemas ópticos dependientes de la polarización

Por último, veamos como se concatenan matrices de sistemas ópticos que manipulan la polari-zación, conectándolos en cascada. Sean JA y JB las matrices que definen los sistemas ópticosrepresentados la figura 2.2.1, de acuerdo a la ecuación 2.2.3, se debe de cumplir que:

Eout = JB ⇥ Einter (2.2.5)


Einter = JA ⇥ Ein (2.2.6)

Si sustituimos la expresión de Einter de la ecuación 2.2.6 en la ecuación 2.2.5, tendremos que:

Eout = JB ⇥ JA ⇥ Ein (2.2.7)

Por lo tanto, se puede redefinir al sistema con una nueva matriz de Jones Jeq = JB ⇥ JA, yrelacionar los vectores de Jones del campo a la salida con los del campo a la entrada. Vemospues que el cascadeo de sistemas ópticos dependientes de la polarización se translada a lamultiplicación de matrices de orden 2. Por ejemplo, si la luz atraviesa los elementos J1, J2, J3.... Jn, entonces la multiplicación de matrices se realizará tal que: Jn ⇥ ...⇥ J3 ⇥ J2 ⇥ J1.

2.2.2. Parámetros de Stokes

Estos parámetros describen el estado de polarización de la luz a partir de cuatro magnitudesfísicas observables. Dichas magnitudes son las potencias ópticas transmitidas a la salida de 4polarizadores, es decir, filtros de polarización, no consecutivos, obtenidas empleando un medi-dor de potencia. El primer filtro es isótropo, dejando pasar todos los estados de polarización.El segundo y el tercero son filtros cuyos ejes de transmisión son lineal horizontal y lineal a45�. Por su parte el último filtro es un polarizador circular. A partir de las potencias medidasa la salida de cada filtro se definen los cuatro parámetros de Stokes del siguiente modo:

S0 = 2P0

S1 = 2P1 � 2P0

S2 = 2P2 � 2P0

S3 = 2P3 � 2P0

(2.2.8)

Dichos parámetros de Stokes están relacionados con las componentes transversales del campo,de modo que a partir de ellos se pueden deducir el módulo de cada componente y la fase relativaentre ambas. La relación entre los parámetros de Stokes y las componentes transversales es :

S0 = |Ex|2 + |Ey|2

S1 = |Ex|2 � |Ey|2

S2 = 2 |Ex| |Ey| cos'S3 = 2 |Ex| |Ey| sin'

(2.2.9)

donde ' = �x � �y representa el desfase relativo entre ambas componentes. Habiendo in-troducido ya los conceptos de polarización, se puede dar una explicación cualitativa de qué

2.3. DESPLAZADOR DE FASE DE POLARIZACIÓN IDEAL 11

representa cada parámetro de Stokes:

S0: Representa la potencia total de la onda electromagnética, polarizada y no polarizada.

S1: Cuantifica qué potencia de la anterior está polarizada.

S2: De la potencia polarizada, este parámetro nos da una idea del desfase entre la com-ponentes transversales del campo.

S3: Este parámetro, junto a S2, nos permite calcular las fases de Ex y Ey.

Los parámetros de Stokes, se pueden representar de forma vectorial, tal que S =hS0 S1 S2 S3

i.

Al igual que para relacionar vectores de Jones existen las Matrices de Jones, para relacionarparámetros de Stokes, existen otras matrices denominadas matrices de Mueller. Estas matricesson de orden 4, y su interpretación no es tan simple como la de las matrices de Jones. Ya queno se usarán a lo largo de este proyecto, no profundizaremos aquí en su estudio. El lectorinteresado puede referirse a [10] para más información.

2.3. Desplazador de fase de polarización ideal

En esta sección, se detallará el funcionamiento de un dispositivo que manipula el desfase delestado de polarización, obteniendo una matriz de Jones que describe su funcionamiento. Setrata de un elemento básico, ya que en el desarrollo de este proyecto se hace un uso intensivodel mismo.

En óptica, un desplazador de fase de polarización ideal es un dispositivo que varía la faserelativa entre las componentes de los campos que se propagan a través de él. De acuerdo a2.2.2, un desplazador de fase debe ser capaz de modificar ', sin modificar el módulo de cadacomponente. Para conseguir este propósito, se hace uso de la anisotropía del material a travésdel cual se propaga la onda. Esta anisotropía hace que la constante de fase no sea la mismapara las componentes del campo, con lo cual la ecuación 2.1.1 toma la forma:

~E(x, y) = (Ex(x, y)ej�

x

zx+ Ey(x, y)ej�

y

z y)e�j!t (2.3.1)

Si representamos este campo en forma matricial tendremos una nueva componente en fasepara cada uno de los elementos:

~E(z) =

"|Ex(x, y)| ej(�x

+�x

z)

|Ey(x, y)| ej(�y

+�y

z)

#(2.3.2)


Suponiendo que el módulo de cada componente es unitario, definiendo '0 = �x � �y como eldesfase inicial de las componentes de entrada, y dado que 4� = �x��y debido a la anisotropíadel material, el vector de Jones asociado al campo en función de la longitud (L) se puede definircomo:

E(L) =

"ej('0+4�L)

1

#(2.3.3)

Por lo tanto, obtendremos diferentes desfases en función de la longitud del dispositivo. Sirelacionamos los campos a la entrada (z = 0) con los campos a la salida (z = L) usando laecuación 2.3.3 se puede deducir fácilmente la matriz de Jones asociada al desplazador de fasede polarización:

JPPS(') =

"ej4�L 0

0 1

#=

"ej' 0

0 1

#(2.3.4)

donde ' es el incremento de fase relativa que se produce entre las componentes de los camposal atravesar el dispositivo. Una característica importante a mencionar sobre el desplazador defase de polarización, de cara a la aplicación que se le dará a lo largo de este proyecto, es queno existe una transferencia de energía entre las polarizaciones de entrada ya que jij = 0 parai 6= j.

Normalmente no se realizará el diseño en función del desfase que tienen los campos a la entradadel dispositivo, ya que es difícil de conocer. Así, el diseño se realizará para conseguir incre-mentos de fase, '. Esto simplifica la ecuación de diseño, ya que la longitud para incrementarel desfase vendrá dada por:

z = L ='

4� (2.3.5)

2.4. Rotador de polarización ideal

Esta sección es la más relevante del presente capítulo, ya que se puede considerar la piedraangular del proyecto. En ella se describe el funcionamiento del rotador de polarización y, aligual que en la sección anterior, al final de la misma se presentará una matriz de Jones quedescribe el comportamiento del dispositivo.

El rotador de polarización ideal es un dispositivo que varía la polarización del campo a la salidacon respecto a la polarización del campo de entrada. Su comportamiento es más complejo dedescribir, por lo que en este caso habrá que hacer uso de la concatenación de matrices de Jones.Un rotador de polarización es un desplazador de fase de polarización, que además incluye la

2.4. ROTADOR DE POLARIZACIÓN IDEAL 13

posibilidad de realizar un transvase de energía entre las componentes del campo. El lector yapuede deducir que la matriz resultante del rotador de polarización tendrá jij 6= 0 para i 6= j.

Identificando el rotador de polarización como un sistema, éste se puede modelar como laconcatenación de tres subsistemas ópticos manipuladores de la polarización. El primero deellos, establece un giro de ✓ (✓ se denominará a partir de ahora ángulo de proyección) de labase en la cual se representan las componentes transversales del campo, y por ende el estadode polarización. El segundo sistema realiza un desplazamiento de ' de la fase relativa de lascomponentes del campo sobre esta nueva base. Por último, el tercer subsistema, se encarga derealizar el giro opuesto, volviendo así a la base original. Si cada subsistema se representa conuna matriz de Jones, el sistema total, se definirá tal que:

JR(', ✓) = JP (�✓)⇥ JPPS(')⇥ JP (✓) (2.4.1)

De las nuevas matrices que aparecen, ya conocemos el funcionamiento de JPPS('), por lotanto solo tenemos que definir JP (✓), que se corresponde con la matriz de giro de la base en laque se representan las componentes transversales del campo. En el apartado 2.4.1, se detallarácómo describir matemáticamente el giro de la base introducido en la ecuación 2.4.1, para luegoconcatenar todas las matrices y obtener en el apartado 2.4.2, el funcionamiento del sistemacompleto.

2.4.1. Giro de las componentes transversales del campo

En este subapartado, expondremos en qué consiste el giro de la base en la que se representanlas componentes transversales del campo. En la figura 2.4.1, se detalla gráficamente en quéconsiste éste:

y0x0

y

x

EIN EOUTR(✓)

✓

Figura 2.4.1: Giro de la base. Nótese que aunque el campo es el mismo a la entrada que a lasalida, la base en la que se descompone éste presenta una rotación.

Este giro provocará que la expresión del campo definida en 2.1.1 sufra una variación, obte-niéndose la siguiente expresión modificada:

~E(x, y) = (Ex(x, y)x0 + Ey(x, y)y0) (2.4.2)


A C EB D

yx

y0

x0y

xy0 x0

y0x0

Figura 2.4.2: Esquema de funcionamiento del rotador de polarización.

donde x0 e y0 forman la nueva base. Si el ángulo de giro queda definido por ✓, entonces:

x0 = x cos ✓ + y sin ✓

y0 = �x sin ✓ + y cos ✓(2.4.3)

Si sustituimos el valor de x0 e y0 de la ecuación 2.4.3 en la ecuación 2.4.2, obtendremos lasiguiente expresión,

~E(x, y) = Ex(x, y)(x cos ✓ + y sin ✓) + Ey(x, y)(�x sin ✓ + y cos ✓) (2.4.4)

Tomando el campo definido en la ecuación 2.1.1 como el campo a la entrada del sistema, yel introducido en la ecuación 2.4.4 como el campo a la salida, es posible definir la matriz deJones que describe el giro de la base en la que se representan las componentes transversalesdel campo como:

"Ex0

Ey0

#=

"cos ✓ sin ✓

� sin ✓ cos ✓

#"Ex

Ey

#(2.4.5)

Esta matriz se denominará a partir de ahora matriz de proyección JP (✓).

2.4.2. Rotador de polarización

Definida la matriz de giro, el último paso para obtener la matriz que define el rotador de pola-rización es realizar la multiplicación de matrices propuesta en la ecuación 2.4.1. Sustituyendocada término de la ecuación por su correspondiente matriz de Jones, llegamos a:

JR(✓,') =

"cos ✓ � sin ✓

sin ✓ cos ✓

#"ej' 0

0 1

#"cos ✓ sin ✓

� sin ✓ cos ✓

#(2.4.6)

Finalmente, multiplicando las matrices, se llega a la matriz de rotación:

2.5. ESFERA DE POINCARÉ 15

JR(✓,') =

"ej' cos2 ✓ + sin2 ✓ sin 2✓

2 (1� ej')sin 2✓

2 (1� ej') cos2 ✓ + ej' sin2 ✓

#(2.4.7)

Simplificando un poco más la expresión, se obtiene:

JR(✓,') =

"cos2 ✓ + ej' sin2 ✓ jej'/2 sin'/2 sin 2✓

jej'/2 sin'/2 sin 2✓ ej' cos2 ✓ + sin2 ✓

#(2.4.8)

De la matriz de Jones resultante, los elementos de interés, de cara a la rotación de polarizaciónson J21(✓,') y J12(✓,') ya que nos da una idea de la cantidad de energía que transfiere deuna componente de campo a otra. Los dos grados de libertad que tendremos para diseñar elrotador de polarización serán por lo tanto el desfase entre las componentes transversales delcampo, ' , y el ángulo de proyección, ✓.

En la figura 2.4.2 se muestra todo el proceso de rotación de polarización, para un caso concreto.En A, guía de acceso a la guía rotadora de polarización, tenemos representados los módulosde las componentes Ex y Ey del campo sobre una base canónica, pero al llegar a B, donde seproduce el giro de la base, los módulos de las componentes en Ex y Ey varían con respecto alas de la base canónica. El estado de polarización sigue siendo el mismo, pero varía la base enla que se descompone. Conforme el campo se propaga en C, que es un desplazador de fase depolarización, se produce un desfase entre las componentes Ex0 y Ey0 , lo que provoca que varíeel estado de polarización. Al llegar al final de C la polarización habrá rotado un determinadoángulo en función de la longitud de esta etapa. Finalmente en D se produce un giro de la base,en este caso, el inverso al que se produjo en B.

El resultado del proceso es un cambio en las componentes sobre la base canónica afectandoesto al estado de polarización. Nótese aunque no se ha comentado nada acerca la fase entrecomponentes Ex y Ey, ésta se habrá visto afectada a lo largo del proceso.

2.5. Esfera de Poincaré

Cuando se presentaron los conceptos teóricos sobre los estados de polarización y los parámetrosde Stokes, se comentaron dos conceptos fundamentales:

1. El estado de polarización más general es el elíptico, ya que los otros dos son casosparticulares del mismo.

2. Los parámetros de Stokes definen el campo a partir de cuatro medidas escalares, de lascuales sólo tres nos informan acerca del estado de polarización y definen la elipse depolarización.


Con los tres últimos parámetros de Stokes, es posible definir una elipse de polarización. Laesfera de Poincaré no es más que una representación de los tres últimos parámetros de Stokes,que definen la elipse de polarización, propuesta por Henri Poincaré [11]. Dicha esfera es elresultado de transformar una elipse de polarización sobre un punto de la superficie de unaesfera.

En el apartado 2.5.1 se proporcionará una descripción teórica de la esfera de Poincaré, ademásse mostrará la relación entre parámetros de Stokes y las coordenadas en la esfera de Poincaré.Finalmente, en el apartado 2.5.2, se mostrará sobre la esfera de Poincaré el funcionamiento delos dispositivos descritos en las secciones 2.3 y 2.4.

2.5.1. Descripción Teórica

Se podría decir que la esfera de Poincaré es la Carta de Smith de la polarización. Así pues,el proceso para trasladar un estado de polarización, que normalmente vendrá descrito por unvector de Jones, consiste en convertirlo en un vector de parámetros de Stokes, y posteriormentetransformarlo en un punto de la esfera de Poincaré.

Cualquier punto de la esfera de Poincaré vendrá determinado por su ázimut ( ) y su elevación(�), mostrados en la figura 2.5.1a. Dichos parámetros, se pueden obtener directamente de losparámetros de Stokes aplicando la siguiente relación

2 = arctanS2/S1

2� = arctan S3pS21+S2

2

(2.5.1)

Por lo tanto, conocida la polarización de una onda electromagnética, será posible describirlausando parámetros de Stokes y a su vez representarla en la Esfera de Poincaré. En la tabla2.2, se puede observar la equivalencia de algunos estados de polarización descritos medianteparámetros de Stokes y sus coordenadas correspondientes sobre la esfera de Poincaré. Dichascoordenadas también se muestran gráficamente en la figura 2.5.1a.

Descrito el funcionamiento de la esfera, el lector puede ver los estados de polarización mos-trados en la figura 2.5.1b. En esta figura se muestra de forma gráfica que tipo de polarizacióncorresponde a qué punto de la esfera de Poincaré. A partir de ahora el lector puede, sin másque ver un punto sobre la esfera, imaginarse el tipo de polarización que éste tiene.

Se podrían establecer de algún modo la siguientes relaciones:

Cuanto más se aleja un punto del ecuador de la esfera, más circular es el estado depolarización.

2.5. ESFERA DE POINCARÉ 17

2�2

1

2

3

4

56

(a)

__________(b)

Figura 2.5.1: (a) Definición de los ángulos de de ázimut y elevación �. (b) Estados depolarización sobre la esfera de Poincaré

El estado de polarización de cualquier punto que esté sobre el ecuador de la esfera eslineal.

El ázimut de cualquier punto, da información acerca de que porcentaje de energía seconcentra en cada componente transversal: cuanto más cercano al valor 0, el porcentajede energía en la componente x será mayor, mientras que para valores próximos a ⇡ serála componente y la dominante.

Los polos de la esfera representan la polarización circular.

2.5.2. Representación de algunos dispositivos

Para terminar el capítulo, se va a representar la variación de la polarización de un haz de luzal atravesar los dispositivos descritos en los apartados 2.3 y 2.4.

Polarización Parámetros de Strokes Coordenadas esféricas ( ,�) NúmeroLineal H [1, 1, 0, 0]T (0,0) 1Lineal V [1,�1, 0, 0]T (⇡,0) 2

Circular a Derechas [1, 0, 0, 1]T (0,⇡/2) 3Circular a Izquierdas [1, 0, 0,�1]T (0,-⇡/2) 4

Oblicua a 45º [1, 0, 1, 0]T (⇡/2,0) 5Oblicua a -45º [1, 0,�1, 0]T (-⇡/2,0) 6

Tabla 2.2: Equivalencia entre parámetros de Stokes y coordenadas esféricas. Los números serefieren a los puntos marcados en la figura 2.5.1a.


En la figura 2.5.2a se ha representado la variación de la polarización a la salida de un despla-zador de fase considerando diferentes polarizaciones de entrada arbitrarias (cada polarizaciónse corresponde en la figura con un punto en una circunferencia). En concreto se ha realizadoun barrido de longitud de modo que ' varía entre 0 y 2⇡.

Por otro lado, en la figura 2.5.2b se ha representado como varía la polarización a la salida deun rotador de polarización para diferentes ángulos de proyección (✓), manteniendo constante lalongitud del rotador y fijando la polarización de entrada. En la figura 2.5.2c se han representadopara varias polarizaciones de entrada arbitrarias y un ángulo de proyección de la base de 45o,cómo varía la polarización a la salida de un rotador de polarización para una longitud tal que' varía entre 0 y 2⇡.

Si superponemos las figuras 2.5.2a y 2.5.2c, se puede deducir, que partiendo de cualquier puntode la esfera, y haciendo uso de tantos rotadores y desplazadores de fase de polarización comonecesitemos, podemos alcanzar cualquier otro punto de polarización.

(a) (b) (c)

Figura 2.5.2: a)Evolución de la polarización a la salida de un desplazador de fase, para variaspolarizaciones de entrada. b) Evolución de la polarización a la salida de un rotador de polari-zación. Polarización horizontal a la entrada, ✓ toma distintos valores submúltiplos de ⇡/4 c)Evolución de la polarización a la salida de un rotador de polarización. Para varias polarizacio-nes de entrada y ✓ = ⇡/4. En todas las figuras se han representado los estados de polarización1, 3 y 5 de la tabla 2.2.

Capítulo 3

Guías monomodo en tecnología SOI

La óptica integrada es un campo de trabajo relativamente joven que persigue la integraciónmonolítica de funcionalidades ópticas que usualmente se realizan con componentes ópticosdiscretos. Existen diversas tecnologías, que suelen definirse con el nombre del material queutilizan para construir los chips fotónicos. Los materiales más utilizados en fotónica son elfosfuro de Indio (InP), el arseniuro de Galio (GaAs) y el niobato de Litio (LiNbO3), peroademás se empieza a utilizar el silicio, ya que éste proporciona algunas ventajas respecto a losanteriormente mencionados:

Reduce los costes de fabricación, al ser una tecnología altamente integrable, permitiendola integración masiva de chips.

Permite integrar componentes opto-electrónicos en un mismo chip, disminuyendo así lasdimensiones del mismo, lo que proporciona una mayor robustez del sistema.

Ofrece compatibilidad con la tecnología de microelectrónica por excelencia, CMOS.

La tecnología del silicio, se muestra por lo tanto como una buena alternativa a las ya existentes.El dispositivo a diseñar a lo largo de este proyecto, usará una tecnología basada en silicio, cuyonombre es Silicon On Insulator (SOI). En el apartado 3.1 se describirá dicha tecnología asícomo algunos de los aspectos más relevantes de su proceso de fabricación. En el apartado 3.2se detallarán las características de una guía de onda fabricada con esta tecnología así como elaspecto de los campos que se propagan por ella. La información contenida en este capítulo seha obtenido en su mayor parte de [12].

19

20 CAPÍTULO 3. GUÍAS MONOMODO EN TECNOLOGÍA SOI

Si

Si

SiO2

Figura 3.1.1: Oblea SOI

3.1. Tecnología SOI

Las guías de onda en SOI se definen sobre obleas que constan de 3 capas, tal y como se muestraen la figura 3.1.1. La capa superior es de silicio y tiene un grosor que varía entre los 200 nmy los 500 nm, y es la que guía la luz mediante mecanismos de reflexión interna. Justo debajode esta tenemos una capa de dióxido de silicio de un espesor que varía entre 1 µm y 3 µm.Todo esto a su vez, se deposita sobre una capa de silicio de 1 mm aproximadamente, quesimplemente provee de soporte mecánico.

Uno de los factores que más ha motivado el desarrollo de esta tecnología es el alto contrastedel índice de refracción existente entre los materiales de la zona de guiado (silicio, con índicede refracción n=3,48) y el material que rodea esta zona (dióxido de silicio n=1.45). Esto setraduce en un alto confinamiento de la luz. Al estar la luz tan confinada, se pueden reducirdimensiones a escalas micrométricas y fabricar chips a gran escala. El inconveniente de estealto confinamiento es que se aumenta la interacción del campo con las paredes de la guía, quepresentan cierta rugosidad, lo que provoca un aumento de las pérdidas de propagación, quesuelen ser del orden de 2dB/cm. El silicio es transparente para longitudes de onda superioresa 1,2µm, por lo que se presta a trabajar con las longitudes de onda que más comúnmente seemplean en comunicaciones ópticas. En este trabajo nos centraremos en el rango de longitudesde onda en torno a 1,55µm.

El proceso de fabricación consta de dos fases. La primera de ella es la litografía. En esta partese define sobre una fotorresina situada sobre el silicio las estructuras que serán grabadas enel silicio. El grabado es el proceso mediante el cual se retiran aquellas partes de silicio que noforman parte de la estructura final.

Los procesos de litografía y grabado imponen restricciones sobre el diseño final, ya que porun lado fijan los tamaños mínimos del diseño y por otro introducen errores debidos a lastolerancias. Para la construcción de este dispositivo como proceso litográfico se utilizará latecnología e-beam y para el grabado se utilizará otra tecnología denominada RIE (Reactive

3.2. GUÍA DE ONDA EN SOI 21

Ion Etching). A continuación se detallan en qué consisten:

E-beam: Un haz de electrones escanea la fotorresina situada sobre la oblea de silicio.Este proceso es similar al de una impresora láser, el haz de electrones barre la obleahorizontalmente desde la parte superior de la oblea, hasta el final. Por esta razón es unproceso litográfico bastante lento. La tecnología e-beam permite definir estructuras conun tamaño mínimo de unos 50nm. La parte de la resina expuesta al haz de electrones seendurece, mientras que la parte no expuesta se elimina químicamente.

RIE (Reactive Ion Etching): El proceso de grabado mediante iones reactivos consisteen que una vez expuesta la resina, se introduce la oblea en un plasma iónico. Posterior-mente se aplica una tensión a este plasma de modo que dichos iones impacten sobre laoblea. Aquellas partes que no están protegidas por la resina, serán grabadas. En la figura3.2.1, se muestra una guía de onda definida mediante este proceso

Ligados a los procesos de fabricación y sus tolerancias están los errores de fabricación:

Etch Lag: La profundidad con la que se graba el silicio, depende del tamaño de la aber-tura que se define, esto es, para aberturas mayores se conseguirán mayores profundidadespara el mismo tiempo de exposición. En grabados de anchos considerables, del orden demicras, este efecto no se producirá, siendo más notable en anchuras de grabado menoresque la micra.

Variaciones en la geometría: Cualquier estructura definida, es susceptible de experi-mentar variaciones en sus dimensiones.

Ángulo de las paredes: Cuando se utiliza RIE como técnica de grabado, las “fronteras”entre zonas grabadas y no grabadas no son totalmente verticales. Esto hace que el tamañoexperimente un ligero incremento en la anchura.

Dishing: Dado que la capa de Silicio no es perfectamente grabada, puede que quedenrestos de ella, sobre todo cercas de las guías que se definan.

Algunos de estos errores se detallan en la figura 3.1.2:

3.2. Guía de onda en SOI

Una guía de onda es un dispositivo capaz de guiar la luz y transportarla una distancia dada.Como se dijo en el apartado anterior, en SOI el salto de índice es aproximadamente de 2. Estesalto de índice permite hacer guías muy pequeñas, de unos 500 nm de ancho por 200 nm de


Etch Lag

Dishing

Angulode lasparedes

Figura 3.1.2: Errores debidos a las tolerancias de los procesos de fabricación

alto y altamente integrables, además de radios de curvatura muy pequeños, en torno a los 5µm. En la figura 3.2.1 se muestra como es una guía de onda construida en tecnología SOI.

Para hablar sobre los campos que se propagan a través de la guía, explicaremos antes qué esun modo. Un modo es una solución de las ecuaciones de Maxwell aplicado a una estructurade guiado determinada. El campo electromagnético que se propaga a lo largo de una guía esla suma de todos los modos excitados en la misma, o dicho de otra manera, el campo eléctrico(y el magnético) pueden descomponerse como combinación lineal de modos, como se detallaen la siguiente ecuación,

Etotal(x, y, z) =nX

i=0

ci�i(x, y)ej�

i

z. (3.2.1)

En dicha ecuación ci depende de como se excite la guía, �i(x, y) son los modos de la guía y �irepresenta la constante de propagación de cada modo. El número de modos que se propaganen una guía de onda a una determinada frecuencia depende del tamaño de la misma y de laexcitación que ésta tenga. En nuestro caso nos interesa que la guía de onda sea monomodo,es decir, que sólo soporte el modo fundamental. Si la guía es monomodo en la ecuación 3.2.1,n = 0.

Cuando se resuelve la guía slab [13, 14], aparecen dos familias de soluciones en las cualesse descompone el campo electromagnético. Estas familias se denominan modos transversaleseléctricos y modos transversales magnéticos. La famila de modos transversales eléctricos (TE apartir de ahora) se caracteriza porque el campo eléctrico sólo tiene componente en una direccióntransversal, pongamos dirección x, siendo nula cualquier otra componente. De aquí se deduceque los campos magnéticos de esta famila sólo pueden tener componentes en dirección y y/oen z. En la familia de modos transversales magnéticos (TM a partir de ahora), se procede delmismo modo, pero considerando que el campo magnético sólo tiene componente en direccióny.

A lo largo de este proyecto, se hablará de modo TE para referirse a modos con polarización

3.2. GUÍA DE ONDA EN SOI 23

Si

Si

SiO2

Figura 3.2.1: Guía de onda en tecnología SOI.

horizontal del campo. La razón es que, tal y como se define la guía slab, el modo TE quepor ellas se propaga sólo tiene componente del campo eléctrico en la dirección x. Lo mismoocurre cuando se habla del modo TM, para referirse a polarización vertical. Esto es así porqueel modo TM que se propaga sólo tiene componente en la dirección y. Por lo tanto se puedeestablecer una relación modo TE-Polarización Horizontal y TM-Polarización Vertical.

Las guías de onda que se utilizarán en este trabajo tienen unas dimensiones de 415⇥260nm2.En este caso los modos que soportan no son TE y TM puros, se trata de modos quasi-TE yquasi-TM, debido al tamaño finito de las dimensiones de la guía. Se hará un abuso del lenguajey los denominaremos modos TE y TM, aunque realmente no lo son. Si bien es cierto que seaproximan. Por lo tanto a partir de ahora, se llamará modo TE al modo cuya componentede campo mayoritaria es la componente Ex, también denominado en la bibliografía como“in-plane” y modo TM al modo cuya componente de campo mayoritaria es la componenteEy, denominado en la bibliografía como “out-of-plane”. Cuando se habla de guías ópticasmonomodales, éstas realmente soportan el modo fundamental con polarización horizontal (TE)y con polarización vertical (TM).

En la figura 3.2.2 se muestra el perfil de los modos que se propagan por la guía de la figura3.2.1.


(a) (b)

Figura 3.2.2: a) Intensidad del modo TE. b)Intensidad del modo TM. Ambos propagándosepor una guía SOI de dimensiones 415x260 nm2

Capítulo 4

Análisis del rotador ajustable

En este capítulo se analizará el funcionamiento del rotador de polarización ajustable cuyodiseño es el objetivo de este proyecto fin de carrera. Se trata de un rotador de polarizaciónTE/TM en tecnología SOI, que puede ajustarse para compensar el efecto de las tolerancias defabricación, a una longitud de onda de trabajo de 1, 55µm. En la sección 4.1 se hablará deldispositivo completo, comentando su funcionamiento y cuáles son los bloques básicos en losque se descompone: guías rotadoras de polarización y desplazadores de fase de polarizaciónajustables. La idea original está descrita en [9]. Dado que el funcionamiento del rotador depolarización ajustable depende fuertemente de los errores introducidos debido a las toleranciasde fabricación de la guía rotadora de polarización, ésta se estudiará en detalle en la sección4.2. El desplazador de fase se discutirá en la sección 4.3. Una vez estudiados por separado, enla sección 4.4 se hará un estudio del conjunto, comprobando que la solución propuesta en [9]posibilita la rotación de polarización aunque las prestaciones de la guía rotadora se han vistofuertemente degradadas por las tolerancias de fabricación.

Se insiste en la nomenclatura a usar a lo largo de este proyecto: Cuando se habla de polarizaciónTE o modo TE, nos referimos al modo con polarización horizontal que se propaga por unaguía de onda. Por otro lado al hablar de polarización TM o modo TM nos referimos al modocon polarización vertical que se propaga por una guía de onda.

Además, a lo largo de este capítulo, se realizará un pequeño cambio en la nomenclatura utili-zada hasta el momento. El desfase entre modos, hasta ahora se ha denominado ', tanto parael rotador de polarización como para el desplazador de fase de polarización. Dado que en estecapítulo, trataremos ambos dispositivos, conservaremos ' para referirnos al desfase entre losmodos que se propagan por el rotador de polarización y ⇢ para el desfase entre los modos quese propagan por los desplazadores de fase de polarización.

25

26 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DEL ROTADOR AJUSTABLE

Rotador de polarizacion

Desplazador de fase de polarizacion

Guıas de acceso

LR LR LRLPPSLPPS

⇢B ✓C ,'C ✓E,'E✓A,'A ⇢D

Figura 4.1.1: Diagrama de bloques del dispositivo a construir

4.1. Análisis del funcionamiento del rotador ajustable

Existen actualmente diversas guías rotadoras de polarización en tecnología SOI [3–8] perodebido a las tolerancias de fabricación, sólo un pequeño porcentaje de los dispositivos cons-truidos funcionan correctamente. El rotador ajustable que vamos a analizar hace uso de laguía introducida en [8], pero la combina con guías desplazadoras de fase ajustables. El propó-sito de añadir las guías será compensar, una vez construido el rotador ajustable, los erroresintroducidos en la etapa de fabricación. Para ello, se propone el diagrama de bloques mostradoen la figura 4.1.1.

Se distinguen dos elementos básicos en la figura, los desplazadores de fase de polarizaciónajustables y los rotadores de polarización. Se trata de elementos ya descritos mediante sumatriz de Jones en las secciones 2.3 y 2.4. El motivo de cascadearlos es que, dado que losdesplazadores de fase serán ajustables se podrá variar la fase de la polarización a la entrada decada rotador. Correctamente ajustados los desplazadores de fase, será posible conseguir unarotación perfecta, partiendo de elementos que hayan sufrido desviaciones respecto al diseñooriginal durante la fabricación. La única condición que deben cumplir las guías rotadoras depolarización, una vez construidas, es la siguiente:

sin2('/2) sin2(2✓) > 1/4 (4.1.1)

Donde ' y ✓ son los parámetros mediante los cuales se define el rotador de polarizaciónen la sección 2.4. ✓ es función de la geometría transversal del rotador y ', además de lageometría transversal, también depende de la longitud. Dicha condición y el procedimientopara extraerla, están totalmente descritos en [15]. La condición (4.1.1), denominada a partirde ahora condición de compensación, será estudiada más detalladamente en el apartado 4.2.1.

En el apartado 4.1.1, se analizará el rotador de polarización ajustable con matrices de Jones.La implementación en óptica integrada de estos los elementos que componen el rotador depolarización ajustable será descrita en el apartado 4.1.2.

4.1. ANÁLISIS DEL FUNCIONAMIENTO DEL ROTADOR AJUSTABLE 27

Figura 4.1.2: Evolución de la polarización a lo largo del Rotador

4.1.1. Análisis con Matrices de Jones

El rotador de polarización ajustable se puede describir usando matrices de Jones de un modomuy sencillo, como se explicó en el apartado 2.2.1. Si a cada elemento del esquema representadoen la figura 4.1.1 le asignamos su matriz de Jones, el dispositivo total quedará descrito en lasiguiente ecuación:

EOUT = JRE

(✓E ,'E)⇥JPPSD

(⇢D)⇥JRC

(✓C ,'C)⇥JPPSB

(⇢B)⇥JRA

(✓A,'A)⇥EIN (4.1.2)

De todas las variables que aparecen, tan sólo ⇢D y ⇢B serán controlables una vez fabricadoel dispositivo. Asumiremos que los errores de fabricación habrán sido los mismos en los tresrotadores, por lo tanto podremos suponer que ✓E = ✓C = ✓A y 'E = 'C = 'A. El valornominal de dichas variables son parámetros de diseño, cuyos valores se justificarán a lo largodel desarrollo del proyecto. Para tener una primera idea de como se comporta el dispositivo,en la figura 4.1.2 se muestra, sobre la esfera de Poincaré, cómo se ha conseguido realizar unajuste de ⇢D y ⇢B de modo que se alcance la rotación perfecta, de la polarización horizontala la vertical, usando rotadores imperfectos.

Como se puede ver, aparecen líneas de 4 colores: las líneas verde, roja y negra, representan laevolución de la polarización del campo al atravesar las distintas guías rotadoras de polarización,A, C, y E, definidas sobre la figura 4.1.1. Dichos rotadores, como se verá en la siguiente secciónno son perfectos. Las líneas azules representan los desplazadores de fase de polarización (apartir de ahora, también denominados PPS por sus siglas en inglés), cuya longitud eléctrica esel único parámetro ajustable una vez construido el conversor de polarización. Se ha programado


SiO2

Si

(a)

Ti

Si

SiO2

(b)

Figura 4.1.3: Sección transversal de la guía de onda rotadora de polarización (a) y del despla-zador de fase (b).

una función en Matlab para ajustar ⇢D y ⇢B, hasta que se consigue la rotación perfecta. Eneste ejemplo se usaron rotadores de polarización de longitud ' = ⇡ y ángulo de proyección✓ = ⇡/3 , lo que implica una desviación del 30 % de valor real, y los valores obtenidos para ⇢Dy ⇢B fueron de 5.04 y 1.23 radianes.

4.1.2. Descripción de la implementación en Óptica Integrada

Descrito el comportamiento matemático de cada uno de los elementos que componen el con-versor de polarización, en esta sección se presenta la descripción física de los mismos.

Las guías de acceso serán guías de onda en SOI que ya fueron descritas en la sección 3.2. Encuanto a las guías de onda rotadoras de polarización, el aspecto que éstas tienen es el queaparece en la figura 4.1.3a. Dicha estructura presenta una asimetría horizontal y vertical. Laasimetría horizontal viene dada por el grabado realizado en la guía. La asimetría vertical sedebe a que los materiales que hay encima y debajo de la estructura no son iguales, debajotenemos dióxido de silicio, mientras que encima, el material que habrá será un polímero de-nominado SU8. El objetivo de dicha asimetría es provocar que los modos que se propaganpor la estructura, tengan un cierto ángulo con respecto a los que se propagan por la guía deacceso, consiguiendo así el denominado “ángulo de proyección” (✓) que tienen los rotadores depolarización. En el apartado 4.2 se hará un estudio más profundo de esta estructura.

Por último, queda presentar el aspecto que tendrán los desplazadores de fase. Éste es el únicoelemento ajustable una vez se haya construido el dispositivo. Lo que se consigue ajustar esla diferencia entre las longitudes eléctricas del modo TE y TM. La diferencia de longitudeseléctricas, como se puede ver en la ecuación 2.3.5, depende tanto de la diferencia entre lasconstantes de propagación de los modos, 4�, como de la longitud del dispositivo, L. Dadoque no podemos modificar la longitud física, lo único que podemos modificar es la constantede propagación. Dicha constante depende de otras variables, como se muestra en la ecuación

4.2. ESTUDIO DE LA GUÍA ROTADORA DE POLARIZACIÓN 29

4� = 4n2⇡

�, (4.1.3)

donde 4n es la diferencia del índice efectivo de los modos que se propagan.

De estos parámetros, fijada la longitud de onda, sólo nos queda un grado de libertad, ladiferencia de índices efectivos, 4n. Para modificar los índices de refracción, se calentará lasección de guía correspondiente al PPS. En la figura 4.1.3b , se muestra la geometría transversalde este elemento. Aunque parezca que son dos guías de onda, sólo una sección es guía. Laotra sección corresponde a un conductor metálico por el cual se hará fluir una corriente,que provocará un aumento de la temperatura, ya que se comporta como una resistencia. Elconductor será de titanio, y dado que puede introducir pérdidas si el campo interactúa conél, se situará lo suficientemente lejos como para que el campo no se vea afectado, y no seintroduzcan pérdidas a lo largo del PPS.

4.2. Estudio de la guía rotadora de polarización

En esta sección se hará un estudio más profundo de la guía rotadora de polarización. En elapartado 4.2.1 se particularizará la estructura presentada en la figura 4.1.3a, para conseguir undeterminado ángulo de proyección. También se mostrará el aspecto que tienen los campos enla guía y se definirán dos factores de calidad con los que se caracterizarán las guías rotadoras.Asimismo, se estudiará la relación existente entre la condición de compensación y los factoresde calidad definidos. En el apartado 4.2.2, se estudia el comportamiento de la guía cuando seproducen errores de fabricación. Por último, en el apartado 4.2.3 se realizará una comparaciónde distintos modelos, a partir de los cuales se analizan las tolerancias a errores de fabricaciónen la guía de onda rotadora de polarización.

4.2.1. Introducción y Análisis de funcionamiento

La estructura elegida para implementar el rotador SOI, es la que se presenta en [8]. Una delas principales ventajas de esta guía rotadora es que se puede fabricar en un sólo paso, ya queaprovecha el etch-lag para hacer más profunda la zanja más ancha, y menos profunda la másestrecha. En la figura 4.2.1 se detallan las dimensiones de la estructura en el caso nominal.

Debido a la asimetría de la guía, tanto horizontal como verticalmente, los modos que se pro-pagan por esta guía no son los denominados TE y TM. Se trata de modos híbridos, cuyapolarización es una combinación de las componentes Ex y Ey del campo, en igual proporción.Esta hibridación de modos es la que provoca que se produzca una inclinación de los campos.Una vez se han inclinado los campos, dado que los índices de refracción de cada modo híbrido


200nm 60nm 40nm 85nm 30nm

260nm

210nm

238nm

415nm

✓

✓

Figura 4.2.1: Dimensiones de la guía rotadora de polarización y rotación de campos

no son iguales, se producirá un desfase ' entre ambos. De este modo, a la salida del dispositivo,si el diseño es correcto, tendremos una rotación de la polarización de entrada. En la figura4.2.1 también se muestra como es la inclinación de los modos.

Dicho ángulo de inclinación de los modos, se corresponde con el ángulo de proyección, ✓. Apartir de ahora, se denominará ángulo de inclinación del modo o ángulo del modo, al ángulode proyección.

Para definir la calidad de una guía rotadora de polarización, se definen dos factores relacionadosentre sí. Por un lado tenemos la eficiencia de conversión de polarización, de modo TE a modoTM, o viceversa (PCETE(TM)). Este parámetro se define como el ratio de potencia a la entradaen el modo TE(TM), que se transforma en TM(TE) a la salida. Usando la expresión 2.4.8, laeficiencia de conversión de polarización se puede calcular como

PCETE(TM) =PTE(TM)

PTE + PTM=

��J21(12)(✓,')

��2= sin2('/2) sin2(2✓) (4.2.1)

Por otro lado tenemos el ratio de extinción (ER), definido como el cociente de potencias entrela polarización deseada y la indeseada a la salida de la guía. El ratio de extinción también sepuede definir en función del PCE:

ERTE(TM) =PTE(TM)

PTM(TE)=

PCETE(TM)

1� PCETE(TM)(4.2.2)

El propósito de este diseño es realizar una conversión de modo TE a modo TM o viceversa. Siqueremos que la eficiencia de conversión de polarización sea máxima, tendremos que conseguirque el PCE sea 1. Para ello, mirando a la expresión 4.2.1, es fácil deducir que ✓opt = 45o y'opt = 180o. El diseño propuesto en [8], asegura que ✓ = 45o para las dimensiones nominales.El hecho de que ' = 180o, implica que la longitud física tenga un determinado valor, a partirde ahora denominada longitud de batido, L⇡.


L⇡ =⇡

4� (4.2.3)

Para el diseño propuesto, la diferencia de índice efectivo de los modos híbridos es de 4n =

0,061. Dado que

4� = 4n2⇡

�(4.2.4)

obtenemos que

L =�/2

4n(4.2.5)

Se obtiene que la longitud de batido del rotador es de 12,7 µm, para la longitud de onda detrabajo. Esta longitud, la cual denominaremos LR, es la longitud física de la guía de ondarotadora de polarización.

En resumen, además de los factores de calidad, se han definido dos nuevas longitudes, LR yL⇡. LR será la longitud nominal de la guía rotadora de polarización, es decir, la longitud dediseño, y la que tendrá la guía cuando se fabrique con un valor fijo. Por otro lado, L⇡ es lalongitud que debería tener una guía para provocar la rotación máxima. L⇡ es dependiente dela diferencia entre las constantes de propagación de los modos que se propagan por la guía. Silos procesos de fabricación no tuviesen tolerancias entonces, LR = L⇡, en cualquier otro caso,se producirá una penalización en la eficiencia de conversión de polarización, ya que el valor de' será:

' = LR4�0 (4.2.6)

Siendo 4�0 el valor que toma la diferencia entre las constantes de propagación, al producirseerrores en la geometría transversal, debido a las tolerancias de fabricación. Dado que

4�0 6= 4� =) ' 6= ⇡ (4.2.7)

En la figura 4.2.2, se añade una imagen del perfil de campo de los modos híbridos que sepropagan a lo largo de nuestra guía rotadora de polarización, para una geometría transversalidéntica a la de la figura 4.2.1.


(a) (b)

Figura 4.2.2: Perfiles de campo de los modos híbridos que se propagan a través de la guíarotadora de polarización

Para acabar el apartado, retomaremos la ecuación (4.1.1) y veremos qué implica esta con-dición de compensación, relacionándola con los parámetros de calidad de una guía rotadorade polarización. Los parámetros de la condición (4.1.1), son los mismos que los de (4.2.1). Siigualamos ambas expresiones, llegamos a que la condición de compensación implica:

PCETE(TM) >1

4(4.2.8)

Si lo relacionamos con el ER mediante la ecuación 4.2.2 llegamos a :

ERTE(TM) >1

3(4.2.9)

Por lo tanto, se llega a la conclusión de que, para que sea posible conseguir la rotación perfectausando el esquema del rotador ajustable, el ER de las guías rotadoras que lo componen debeser mayor de 1/3. En la figura 4.2.3a vemos sobre la esfera de Poincaré qué región cumpledicha condición. Se trata de los puntos que se encuentran a la derecha de la circunferenciadibujada sobre la esfera, (zona rayada). También se ha detallado en la figura 4.2.3b, cuales sonlas combinaciones de ' y de ✓ que dan lugar a puntos que cumplen la condición de rotaciónperfecta. Sobre la región de puntos que cumplen la condición, hay que destacar los puntosmarcados en rojo sobre la frontera. Estos puntos representan la máxima variación simultáneade los dos parámetros. En ambos casos, la variación máxima simultánea que se permite es del±50%.

La condición (4.2.9), se obtiene de un modo meramente analítico, sin tener en cuenta las con-diciones electromagnéticas que rodean al problema, abstrayéndose de la física. No obstante, esuna forma muy atractiva de verificar si una guía rotadora de polarización cumple la condición


(a)

!

"

0 100 200 3000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

(b)

Figura 4.2.3: (a) Rallado en azul, región de la esfera de Poincaré en la que ER>1/3. (b) Regiónsobre la cual la rotación perfecta es posible. El borde la región de (b) se corresponde con lacircunferencia continua dibujada sobre la esfera de (a).

(4.1.1). En la figura 4.2.4, se muestra, sobre la región de rotación perfecta, (ER > 1/3), comovaría el ER de una guía rotadora de polarización, en la que se ha variado la geometría trans-versal, modificando ' y ✓. Puede observarse que para ER > 1/3 = �4,7 dB nos encontramosdentro de la región de compensación, mientras que para ER < 1/3 nos salimos de dicha región.

4.2.2. Efecto de las variaciones en ✓ y '

En este apartado analizaremos cómo varía el estado de polarización a la salida de la guíarotadora cuando se producen cambios en ✓ y '.

En primer lugar, nos situamos en el escenario en el que ' = 180o. Para ✓ = ✓opt nos encontra-mos en el punto de la esfera de Poincaré correspondiente a la polarización linealmente vertical.Las variaciones de ✓ se traducen en variaciones del azimut, sobre la esfera de Poincaré, delpunto de polarización a la salida de la guía de onda rotadora de polarización. Si ✓ 6= ✓opt lapolarización seguirá siendo lineal, pero dado que los modos híbridos que se propagan a travésde la guía rotadora no tendrán la misma proporción de componente Ex que de componente Ey,no se podrá alcanzar nunca el punto de polarización vertical. Cuanto mayor sea la desviacióndel ángulo ✓ con respecto del óptimo, más lejos del punto de polarización linealmente verticalnos encontraremos. En la figura 4.2.5a, se representa en azul el caso en que ✓ = ✓opt, en verde,una variación del 10 % y en rojo, una variación del 20 % del ángulo de inclinación de los modos


!5.39

!1.66

5.68

16.12

33.68

18.12

6.49

3.51

�(�)

✓(�)

ER = f (✓ , �)

!34.81

0 50 100 150 200 250 300 3500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Figura 4.2.4: Variación del ER en dB sobre la región de rotación perfecta, al variar la geometríatransversal del dispositivo

óptimo, manteniendo ' = 'opt.

Hasta aquí, se ha visto como varía la polarización de salida cuando ✓ 6= ✓opt. Se introduceahora el caso en el que ✓ = 45o. Si ' = 'opt, entonces volveremos a estar sobre el puntode polarización linealmente vertical. Las variaciones de ', se traducen en variaciones de laelevación del punto de polarización a la salida. Esto es así porque los modos que viajan porla guía se desfasan proporcionalmente a la longitud de la guía rotadora. En la figura 4.2.5b,se ha representado para ✓ = ✓opt, como varía la polarización de salida, para longitudes de laguía rotadora diferentes. En concreto los casos que aparecen son: en verde el caso ideal, vemosque la polarización es TM; en rojo y en azul, la polarización de salida para una variación dela longitud de ±10%.

Se han presentado las variaciones sobre los parámetros que definen la guía rotadora de pola-rización de modo aislado, esto es, suponiendo ideal un parámetro y modificando el otro. Uncaso más real será aquel en el que varíen ambos parámetros, y la polarización de salida tengavariaciones verticales y horizontales. En la figura 4.2.6, se presenta una región de puntos desalida de la guía rotadora en la que ambos parámetros se han variado aleatoriamente un ±10%

en torno a su valor nominal.


(a) (b)

Figura 4.2.5: Variaciones de ' y de ✓, en función de variaciones en la geometría del dispositivo.

Figura 4.2.6: Región de posibles puntos de polarización a la salida de la guía rotadora paraincrementos de ' y ✓ de ±10%

4.2.3. Estudio de las tolerancias de fabricación mediante diferentes modelos

En la sección 4.2.1, se obtuvo a partir de la condición de compensación y la definición delER, la condición de ER > 1/3, que no es más que el resultado de expresar la condición decompensación en términos de ER. Dicha condición es muy útil para decidir si una determinadaguía rotadora puede emplearse con éxito en un rotador ajustable. Sin embargo, para llegar ala condición de compensación, [15] se basa en la suposición de que el rotador de polarizaciónintegrado puede modelarse de manera completa en base a los parámetros ✓ y ', sin requeriruna simulación electromagnética completa. Esto último es lo que se va a comprobar en losapartados siguientes, además de ver como se trasladan las variaciones de la geometría deldispositivo a variaciones en el ER .


b1 t1 s t2 b2

d2

d1

Figura 4.2.7: Representación paramétrica de la guía rotadora de polarización

Los tres modelos tratan igual la propagación a lo largo de la guía rotadora, en lo que difierenes en el modelado de la interfaz entre las guías normales y la guía rotadora. En el primermodelo, asumimos que no se producen reflexiones en los interfaces y que la excitación de losmodos dentro de la guía rotadora puede describirse mediante el ángulo de inclinación de losmodos. En el segundo modelo refinamos dichos coeficientes calculándolos electromagnética-mente. En el tercer modelo usamos una propagación electromagnética completa, que ademásde los coeficientes de excitación exactos tiene en cuenta las reflexiones en los interfaces.

En los subapartados 4.2.3.1, 4.2.3.2 y 4.2.3.3 se detallan los modelos presentados. Finalmente,en 4.2.3.4 se discutirán los resultados obtenidos.

Cómo se ha dicho anteriormente, además de comparar modelos, también se realizarán varia-ciones en la geometría transversal. Los parámetros que se variarán (representados en la figura4.2.7) son t1, t2, d1 y d2. Una variación en estos parámetros, también hará variar los paráme-tros b1, b2, y s, ya que la anchura del dispositivo debe de mantenerse constante. Las variacionesde b1, b2, y s, son función de las variaciones de los parámetros t1, t2, d1 y d2, tal y como sedescribe en las siguientes ecuaciones:

4b1 = �4t1/2

4s = �4t1/2�4t2/2

4b1 = �4t2/2

(4.2.10)

4.2.3.1. Modelo basado en el ángulo de los modos

En este primer subapartado, el modelo que se usará es el desarrollado en [9], y se basa endescribir la guía rotadora en base a los ángulos ✓ y '.

Partiendo de la ecuación (4.2.1) y usando


'

2=

1

2LR4� =

⇡

2

LR⇡4�

=⇡

2

LR

L⇡(4.2.11)

es posible redefinir la expresión del PCE en función de la longitud física de la guía rotadoraLR, y su longitud de batido L⇡ tal que

PCETE(TM) = sin2(⇡

2LR/L⇡) sin

2(2✓). (4.2.12)

Para obtener los parámetros L⇡ y ✓ se calculan, en primer lugar, los modos de la guía rotadorausando el simulador electromagnético Fimmwave. A continuación, se obtiene la longitud debatido a partir de las constantes de propagación de los modos. El ángulo de inclinación, seobtiene a partir de los perfiles de campo. Para calcular el valor de dichos parámetros, se crearonunas funciones en Matlab que hacen uso de las siguientes expresiones:

L⇡ =⇡

4� ; ✓ = arctan

´ ´ExdS´ ´EydS

. (4.2.13)

En el Apéndice B, se muestran unas tablas en las que se incluyen, para cada valor de lavariación de un determinado parámetro, los índices efectivos de los modos del rotador, elángulo de inclinación de los modos del mismo, y el valor de la longitud que dicho dispositivotendría que tener para que la diferencia entre longitudes eléctricas de los modos híbridos seade 180�, la cual a partir de ahora denominaremos L⇡.

Posteriormente se ha realizado la conversión a ER, mediante (4.2.2) y se ha representadoen escala logarítmica. Nótese que el parámetro ✓ puede obtenerse a partir de cualquiera delos dos modos híbridos de la guía rotadora, H1 o H2. Aquí se ha optado por extraerlo delmodo H1, ya que presenta resultados más restrictivos. En la figura 4.2.8, se han expresadográficamente los resultados obtenidos. En cada gráfica se muestra el ER expresado en dB,en función de las variaciones de un determinado parámetro de la geometría transversal. Delas curvas que aparecen en cada gráfica, este tipo se corresponde con la azul. Nótese la líneahorizontal punteada, esta línea representa el límite de la región de ER tal que la rotación depolarización perfecta es realizable.

4.2.3.2. Modelo basado en matrices de solape

En este apartado se propone un modelo más completo de la guía rotadora de polarización.Concretamente, en vez de usar el ángulo de rotación para obtener el coeficiente de excitaciónde los modos híbridos, éstos coeficientes se calculan electromagnéticamente. De este modo, la


!50 0 50!40

!30

!20

!10

0

10

20

30

40

4t1(nm)

ER[d

B]

Análisis tipo 1 modo H1

Análisis tipo 2 modo TE


(a)

!50 0 50!40

!30

!20

!10

0

10

20

30

40

4d1(nm)

ER[d

B]




(b)

!50 0 50!40

!30

!20

!10

0

10

20

30

40

4t2(nm)

ER[d

B]




(c)

!20 !10 0 10 20!40

!30

!20

!10

0

10

20

30

40

4d2(nm)

ER[d

B]




(d)

Figura 4.2.8: ER para variaciones de la geometría transversal. En la tabla 4.1, se resumen lasconsideraciones de cada modelo.


Tipo Denominación Consideraciones1 Análisis del PCE/ER usando su

expresión analíticaÍndice efectivo de losmodos híbridos, y

ángulo de los modoshíbridos calculado

según (4.2.13)2 Análisis del ER modelando el

sistema como una concatenaciónde matrices

Índice efectivo de losmodos híbridos,

matrices de solape3 Análisis del ER usando la

simulación electromagnéticacompleta

Índice efectivo de losmodos híbridos,

matrices de solape,reflexiones.

Tabla 4.1: Comparación de los distintos tipos de Análisis

estructura que ahora estamos estudiando es la que se muestra en la figura 4.2.9. Para ello seha modelado el conjunto como la concatenación de tres matrices,

JR = SB ⇥ JPROP (')⇥ SA (4.2.14)

SA y SB modelan las interfaces de entrada y salida, y se denominan matrices de solape, además,SB = S�1

A . Estas matrices, procedentes del análisis en propagación de Fimmprop, un softwareque usa el análisis modal de Fimmwave para estudiar la propagación, nos informan acerca delos transvases de energía entre los modos que hay a cada lado de la interfaz. El elemento sij

nos dice cuánto excita el modo j-ésimo de la estructura situada a la izquierda de la interfaz,al modo i-ésimo situado a la derecha de la interfaz, suponiendo propagación de izquierda aderecha. Esta forma de definir la guía rotadora de polarización se asemeja a la ya presentada enla sección 2.4. Las matrices de proyección, son un caso particular de estas matrices de solape,ya que éstas tienen en cuenta fenómenos electromagnéticos que no se consideran al usar lasmatrices de proyección. JPROP (') modela el desfase que se produce entre los modos híbridosde la guía rotadora de polarización, y usa los datos ya obtenidos en el subapartado anterior.Fijada la longitud de la guía rotadora, basta conocer la diferencia de índices efectivos paracalcular el desfase que se produce entre los modos que se propagan por la guía.

Para procesar los datos obtenidos mediante Fimmprop, se ha programado un script en Matlabque realiza la multiplicación de matrices y calcula el ERTE(TM) a partir de la ecuación 4.2.2,como cociente de potencias. En la figura 4.2.8 también se representan los resultados obtenidosde este análisis. En este caso sólo se ha representado el supuesto de rotar un modo TE a laentrada (ERTM ), ya que parece ser más restrictivo en la mayoría de los casos. No obstante,la diferencia entre ambos no es demasiado grande. Las curvas correspondientes a este tipo de


SA SBJPROP

Figura 4.2.9: Estructura correspondiente al modelo basado en matrices de solape

análisis son las de color verde con puntos.

4.2.3.3. Simulación electromagnética completa

En este subapartado se describe el análisis de la simulación electromagnética completa. Eneste caso, como se mencionó anteriormente, además de considerar los solapes, se añaden lasreflexiones que se producen en las interfaces.

Este análisis se ha realizado usando los parámetros S que Fimmprop devuelve al analizarel conjunto del apartado anterior completo. Para realizar este análisis se considera que aambos lados del rotador, las guías que se sitúan son iguales y sólo soportan los TE y TMfundamentales. De este modo, la matriz de parámetros S que se obtiene, es de 2⇥2. En estecaso el procesamiento de los datos arrojados por Fimmprop es más simple, reduciéndose adividir parámetros S de la matriz. Suponiendo que TE es el modo 1 y TM el modo 2 y queexcitamos sólo con TE o con TM, el ER vendrá dado por :

ERTE(TM) = 10 log10s21(12)s11(22)

(4.2.15)

El resultado de este análisis también aparece reflejado en la figura 4.2.8, en este caso con lacurva discontinua de color azul. Al igual que en el caso anterior, sólo se ha representado elsupuesto de tener un modo TE a la entrada, por ser el más restrictivo.

4.2.3.4. Discusión de los Análisis

Como se puede observar en la figura 4.2.8, los análisis tipo 2 y 3, coinciden. Dado que el únicofenómeno nuevo que varía entre uno y otro son las reflexiones, podemos deducir que dichasreflexiones son muy pequeñas.

Por otro lado, se puede observar que los resultados obtenidos del primer análisis, son másrestrictivos en cuanto a ER. Esto además de verificar la condición de compensación, nos

4.3. ESTUDIO DE LA GUÍA DESPLAZADORA DE FASE DE LA POLARIZACIÓN 41

asegura que estamos en un caso peor, de modo que las simplificaciones que se realizaron nofalsean los resultados obtenidos.

En cuanto a la relación entre la geometría transversal y el ER, podemos obtener algunasconclusiones:

Las variaciones en la zanja exterior (4t2, 4d2), afectan menos que las variaciones sobrela zanja interior (4t1,4d1), porque, como se puede ver en la figura 4.2.2, el campointeractúa menos con estas zanjas.

Se pueden permitir variaciones de hasta 50 nm en la zanja exterior en ambos parámetrosgeométricos sin que la guía rotadora de polarización incumpla la condición de rotaciónperfecta realizable.

Las variaciones en la zanja interior, limitan el correcto funcionamiento del dispositivo, yaque se sobrepasa el límite marcado con la línea roja punteada, cuando las variaciones sonde ±30nm. No obstante, variaciones positivas de este parámetro son menos perjudicialesque variaciones negativas.

Variaciones en la profundidad de cualquiera de la zanjas, tienen efectos más negativosque las variaciones en el ancho.

4.3. Estudio de la guía desplazadora de fase de la polarización

La guía desplazadora de fase de polarización es él único elemento ajustable del rotador depolarización una vez éste se ha construido. En el apartado 4.3.1 se describirá cómo se realizael desfase de polarización ajustable. Como se ha comentado en apartados anteriores, estedesfase es proporcional a la diferencia de índice efectivo de los modos, que puede variarsecalentando las guías. En el apartado 4.3.2, se estudiará si la dependencia de los índices efectivoses linealmente dependiente de la temperatura a la que se encuentra la guía desplazadora de fasede polarización. Finalmente, en 4.3.3, se describe una posible implementación del calentadory los efectos que éste produce sobre el PPS.

4.3.1. Introducción y análisis de funcionamiento

El funcionamiento de un desplazador de fase de polarización ya se comentó en la sección 2.3. Eneste subapartado, veremos cómo a partir de una guía de onda con índices efectivos diferentespara los modos TE y TM, es posible realizar un desplazador de fase. Para ello partiremos deldesfase que se produce entre los modos TE y TM al propagarse a lo largo de una guía, de unalongitud determinada:


⇢0 = 4�LPPS (4.3.1)

dónde LPPS representa la longitud de la guía rotadora de polarización. Si sustituimos 4�usando la ecuación 4.1.3, tendremos que:

⇢0 =2⇡

�4nLPPS (4.3.2)

La diferencia de índice efectivo viene dado por la diferencia de índices efectivos que experi-mentan ambos modos:

4n = neff,TE � neff,TM (4.3.3)

Por lo tanto el desfase entre ambos modos es proporcional a la diferencia de índices efectivos.Como se dijo en 4.1.2, lo que se hará es calentar la guía, para así poder variar la diferencia deíndices efectivos, de modo que se aumente el desfase. Redefiniremos el incremento de índiceefectivo, añadiendo una deriva del mismo con la temperatura (T):

4n = neff,TE +dneff,TE

dT� (neff,TM +

dneff,TM

dT) (4.3.4)

De este modo será posible calcular incrementos de índice efectivo en función de incrementosde temperatura. Así, es posible reescribir la ecuación 4.3.2 tal que:

⇢ =2⇡

�

✓neff,TE +

dneff,TE

dT4T � (neff,TM +

dneff,TM

dT4T )

◆LPPS , (4.3.5)

simplificando:

⇢ =2⇡

�LPPS (neff,TE � neff,TM )+

2⇡

�LPPS

✓dneff,TE

dT�

dneff,TM

dT

◆4T = ⇢0+4⇢, (4.3.6)

donde

4⇢ =2⇡

�LPPS

✓dneff,TE

dT�

dneff,TM

dT

◆4T, (4.3.7)

Incrementando la temperatura de la guía será posible variar el desfase entre los modos quepor ella se propagan. Dado que el desfase no será fijo, nos queda un grado de libertad, que


es la longitud del desplazador de fase de polarización. La elección de dicha longitud es uncompromiso entre el incremento de temperatura máximo alcanzable y un tamaño compacto.

Se ha elegido una longitud de 700 µm, propuesta en [9], por ser una buena solución de compro-miso. Para diseñar la longitud, necesitamos conocer el valor de la deriva de los índices efectivoscon la temperatura. Para el modo TE, un valor típico es 1,7 ⇥ 10�4 oC�1, mientras que parael modo TM es de 1,1 ⇥ 10�4 oC�1. Por lo tanto la diferencia de derivas de índice efectivoes aproximadamente 0,6 ⇥ 10�4 oC�1. En la sección 4.3.2 se realiza un estudio de estas deri-vas. Con incrementos de temperatura de 40o, y una longitud de onda de trabajo de 1,55 µm,conocidas la diferencia entre índices efectivos, que en esta guía es de aproximadamente 0.4y su variación con la temperatura, se consiguen desfases de hasta 2⇡ con longitudes de unos645 µm. Por lo tanto, eligiendo 700 µm, el diseño quedará sobredimensionado, sin excedersedemasiado. En el siguiente subapartado, para finalizar, se realizará un estudio de la linealidadde las variaciones de los índices efectivos con la temperatura.

4.3.2. Linealidad de los índices efectivos de la guía con las variaciones de

temperatura

Para un correcto ajuste del rotador ajustable de polarización, es necesario que los incrementosde fase producidos en los PPS sean linealmente dependientes de la temperatura. En el modelodefinido en (4.3.4) se supuso un incremento lineal con la temperatura (hemos desarrollado enseries de Taylor de grado 1). Queda por estudiar si los incrementos de índices efectivos sonlinealmente dependientes de los incrementos de temperatura.

0 5 10 15 20 25 30 35 40!1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

!3

4T (oC )

4n

eff

4nef f ,T E

4nef f ,T M

Ajuste lineal TM

Ajuste lineal TE

4nef f ,T E

� 4nef f ,T M

Figura 4.3.1: Variación del índice efectivo para los modos TE y TM en función de incrementosde temperatura

Para ello, se realizará un análisis usando Fimmwave. En primer lugar, se definió una guíade onda normal, como la de la figura 4.1.3b. La guía es de silicio, y esta rodeada de SU8,


0 10 20 30 400

50

100

150

200

250

300

350

400

4T [ oC ]

4⇢[o]

Figura 4.3.2: Rango de desfase alcanzado por el desplazador de fase de polarización, paraincrementos de temperatura de 0 a 40º C.

salvo por la cara inferior en la que hay di-oxido de silicio. A estos materiales se les añadieronunas derivas con la temperatura, denominadas coeficientes termo-ópticos del material. De estemodo, podíamos variar los índices de refracción en función de un parámetro T, que representa latemperatura. Finalmente, se realizó un análisis en el que se barría el valor de la temperaturaentre 0 y 40oC, y se obtenía en función de esta el valor de las constantes de propagación.Finalmente se trasladarán los resultados a Matlab y tras convertirlos a incrementos de índicesefectivos mediante (4.1.3), se realizará un ajuste con una recta, quedando demostrada entoncesla linealidad en caso de verse superpuestas las curvas.

En la figura 4.3.1, se confirma la linealidad de la dependencia del índice de refracción con latemperatura. La recta negra, que es la diferencias de ambas, nos sirve para obtener el valor dela diferencia de derivas, que es de 0,6 ⇥ 10�4 oC�1. Finalmente, en la figura 4.3.2, podemos verlos incrementos de fase en función de incrementos de temperatura que se obtienen al sustituirlos datos obtenidos del análisis electromagnético de Fimmwave en la ecuación 4.3.6. En dichafigura, los puntos verdes, son los obtenidos que proceden directamente de sustituir en 4.3.6.La recta azul es la que procede de realizar un ajuste sobre los puntos obtenidos.

4.3.3. Estudio del calentador

En este apartado estudiaremos como afecta la presencia de una resistencia metálica a nuestraguía de onda fabricada en Silicio, tal y como se muestra en la figura 4.1.3b. El resultado de esteestudio será una estimación de la distancia a la cual hemos de colocar el metal. La elecciónde esta distancia, es un compromiso entre la transferencia de calor a nuestra guía de ondadesplazadora de fase de polarización, y las pérdidas que esta introduce en la estructura.


Para calcular el valor de las pérdidas por unidad de longitud que introduce la resistencia,partiremos de las expresiones de los campos, en el caso en el que la constante de fase escompleja,

ETOTAL(x, y, z) = E0(x, y)ej!tej�compleja

z = E0(x, y)ej!tej(�+j↵)z = E0(x, y)e

j!te�↵zej�z.

(4.3.8)

Las pérdidas totales vendrán dadas por el cociente entre la potencia en el origen, y en undeterminado valor de z. Luego si calculamos el módulo al cuadrado de la expresión 4.3.8 ydespejamos el cociente de |ETOTAL(x, y, z)|2 / |E0(x, y)|2 pasando a decibelios, obtendremos

L(dB) = �2↵z10log10e . (4.3.9)

Para realizar el estudio, en primer lugar se ha simulado en Fimmwave la estructura mostradaen la figura 4.1.3b. Dicho análisis toma como parámetro la distancia entre la guía de silicioy la resistencia metálica, y nos devuelve la parte imaginaria del índice de refracción complejoque informa sobre las pérdidas del modo:

ncomplejo = nR +j�

2k0, (4.3.10)

donde k0 = 2⇡/�.

Ahora sólo nos queda relacionar ↵ y �. Si usamos la ecuación 4.1.3, tendremos que

�compleja = nRk0 +j�

2, (4.3.11)

Si esto lo igualamos a la expresión de �compleja usada en 4.3.8, llegamos a que ↵ = �/2. Seha realizado un script en Matlab para obtener las pérdidas que se introducen por unidad delongitud debido a la resistencia metálica.

Las variaciones de las pérdidas por unidad de longitud en función de la distancia, representadasen la figura 4.3.3, son de tipo exponencial, por lo que las pérdidas se han expresado en dB.El modo TM se ve más afectado por estas pérdidas. Para una distancia de 1 µm, tenemosque el valor de ↵ es de aproximadamente -40 dB. Esto se traduce en unas pérdidas totales de0.6 dB en la propagación a lo largo del dispositivo de 700µm de longitud. Si aumentamos ladistancia a 2 µm , entonces el valor de ↵ es de aproximadamente -90 dB, lo que se traduceen 6,08⇥ 10�6 dB. Por lo tanto a una distancia de 2 µm, podemos despreciar el valor de laspérdidas introducidas por los calentadores.


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2!140

!120

!100

!80

!60

!40

!20

0

20

d [µm ]

↵[dB/µm]

↵

T E

↵T M

Ajuste TE

Ajuste TM

Figura 4.3.3: Variación de las pérdidas por unidad de longitud en función de la distancia entrela guía rotadora y la resistencia metálica

Parámetro Error(nm)t1 20d1 40t2 -30d2 -60

Tabla 4.2: Errores en la geometría transversal

4.4. Análisis electromagnético del rotador de polarización ajus-table

En esta sección se mostrará un caso práctico del funcionamiento del rotador de polarizaciónajustable. Para ello, partiremos de una guía rotadora cuyas dimensiones se han variado lige-ramente. En concreto los valores de los parámetros geométricos son los de la tabla 4.2, deacuerdo a la nomenclatura mostrada en la figura 4.2.7. Se analizará el caso de rotación de TEa TM, ya que suele ser el más restrictivo.

En primer lugar, se realizó un análisis modal de la estructura, haciendo uso de Fimmwave.Una vez realizado el análisis modal, se analizó el ER de la guía rotadora. Se obtuvo un ERTM

de -2.81 dB, superior al mínimo requerido para que la rotación perfecta sea realizable, que esde -4.7 dB. Realizado dicho análisis, se introdujo la estructura rotadora con desviaciones enla geometría transversal, dentro de la estructura del rotador ajustable. Volvimos a calcular elER del rotador ajustable completo, obteniendo un valor de -4.69 dB.

Para ajustar el valor de la temperatura de los PPS, se ajustaron en primer lugar las longitudesde los diferentes PPS. El motivo es que variar la temperatura, implica variar las condicionesde contorno en la geometría transversal, con lo cual es necesario realizar un análisis modal,lo que incrementa el tiempo necesitado para ajustar los PPS. Mientras que variar la longitud,

4.4. ANÁLISIS ELECTROMAGNÉTICO DEL ROTADOR DE POLARIZACIÓN AJUSTABLE 47

4L1 4L2Opt. ER Opt. ERER�

30dB

SIFIN

Figura 4.4.1: Algoritmo de Optimización ER en el rotador de polarización ajustable

supone realizar el análisis de propagación, cuyo tiempo de cómputo es menor. Obtenidas laslongitudes de los PPS óptimas, haciendo uso del diagrama de flujo mostrado en la figura 4.4.1,se comprobó que el ER era de 33.28 dB. Las longitudes obtenidas para cada PPS fueron de12,63µm y 81,91µm respectivamente.

Finalmente, se trasladaron las variaciones de longitud en variaciones de temperatura haciendouso de la ecuación 4.3.6, mediante un script realizado en Matlab. Los incrementos de tempe-ratura finales fueron de 9,67 oC y 25,07 oC, fijadas las longitudes a 700µm. En la figura 4.4.2se muestra el módulo al cuadrado de las componentes Ex y Ey, al propagarse por un rotadoroptimizado. En este caso, para poder representar la evolución del campo al atravesar las guíasrotadoras el rotador de polarización, el tamaño de los desfasadores no es el que se ha diseña-do, aunque consiguen el mismo desfase. No obstante, estas figuras describen cualitativamenteel comportamiento del rotador ajustable. Se puede observar cómo la componente Ex pierdeenergía, en aumento de la energía de la componente Ey.


x[µ

m]

z [µm ]

|Ex

| 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80!2

!1

0

1

2

x[µ

m]

z [µm ]

|Ey

| 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80!2

!1

0

1

2

Figura 4.4.2: (a) Evolución de la componente Ex al atravesar el rotador de polarización ajus-table. (b) Evolución de la componente Ey al atravesar el rotador de polarización ajustable. Enambos casos se excita el rotador con un modo TE

Capítulo 5

Medidas de la guía de onda rotadorade polarización

Una parte del trabajo realizado a lo largo del desarrollo de este proyecto se corresponde con lacaracterización experimental de guías rotadoras de polarización. Se disponía de un total de 84guías rotadoras de polarización, como las que se plantean incluir en el rotador de polarizaciónajustable, fabricadas en tecnología SOI. El fin de esta tarea, fue encontrar qué guías eran lasmejores candidatas a ser incluidas en el diseño del rotador ajustable de polarización. En lasección 5.1, se describirá como se realizó la medida del ER de estas guías y se expondrán losresultados. En el apartado 5.2 se detallarán las medidas de las pérdidas que presentan dichasguías rotadoras de polarización.

5.1. Medida del ER de la guía de onda rotadora de polarización

Para realizar una estimación de la funcionalidad de las guías rotadoras fabricadas en tecnologíaSOI, se caracterizaron a partir de su ER un total de 84 guías. Estas guías estaban dividas endiferentes 14 grupos de 6 guías rotadoras de polarización con longitudes diferentes, más unaguía de referencia. Entre grupos, la diferencia era la dosis de exposición, lo que hacía variarla geometría transversal de las guías rotadoras. En la presente sección se describirán en elapartado 5.1.1, el set-up utilizado para realizar las medidas. En el apartado 5.1.2, se detallaránlos resultados de dichas medidas, y se relacionarán con la longitud de los dispositivos y la dosisdel e-beam. Finalmente en 5.1.3, se enlazarán estos resultados con el rotador de polarizaciónajustable.

49

50CAPÍTULO 5. MEDIDAS DE LA GUÍA DE ONDA ROTADORA DE POLARIZACIÓN

A

C E

D

F G

HI

J

LK

M3M2

M1

B

y

x

z

Figura 5.1.1: Set-up para la medida del ER

5.1.1. Set-up utilizado para la medida

El set-up de medida completo se muestra esquemáticamente en la figura 5.1.1. Se describirá enel mismo orden en el que la luz recorre cada uno de los dispositivos mostrados. Cada dispositivolleva una letra con la cual se identificará a lo largo de la descripción del set-up.

El dispositivo A, es un láser sintonizable en el que se genera un haz de luz linealmente po-larizada. A la salida del láser, se encuentra la fibra mantenedora de polarización (B), quees un tipo particular de fibra que evita que perdamos el estado de polarización sintetizadoen el controlador de polarización. La fibra mantenedora de polarización, además de tener lacapacidad de evitar que se produzcan transvases de energía entre los modos TE y TM, tienela peculiaridad de estar acabada en forma de lente (D). Dicha fibra esta sujeta en su extremoa través de (C), que es un rotador de fibra, a la estación de posicionamiento M1. Además desujetar la fibra, con este rotador, compensaremos las torsiones que se produzcan a lo largo dela fibra, de modo que se puede asegurar que el estado de polarización a la salida de la fibra esel deseado.

La entrada a nuestro dispositivo se realiza a través del borde del chip (E). Teniendo en cuentaque el diámetro de la fibra es un orden de magnitud mayor que el ancho de la guía de onda, seperdería mucha energía si dicha fibra no estuviese acabada en una lente capaz de concentrar el

5.1. MEDIDA DEL ER DE LA GUÍA DE ONDA ROTADORA DE POLARIZACIÓN 51

haz de luz. El chip se encuentra a su vez en una mini-estación de posicionamiento (M2). Unavez la luz se ha guiado hasta el interior de las guías de onda guías de onda, ésta experimentarálos cambios oportunos en función de la guía que estemos analizando. A partir de la salida delchip, la luz se propaga en espacio libre (camino rojo)

El elemento F, que es un objetivo de microscopio, está anclado a la estación de posicionamientoM3. El fin de este objetivo es enfocar el haz de luz procedente del canto de salida del chip.Este haz de luz se propaga por espacio libre hasta que alcanza el filtro polarizador. Este filtrosólo deja pasar una componente lineal de polarización, y es capaz de rotar sobre la direcciónde propagación del haz de luz, de modo que podremos elegir qué estado polarización linealdejamos pasar a través de él. Se trata de un elemento clave en el proceso de medida, pues nospermitirá seleccionar entre polarización TE o TM. Justo después de este filtro, se encuentra elespejo abatible (H), que nos permite conmutar el camino que recorre el haz de luz. Si el espejoestá en su posición normal, el haz de luz se verá reflejado y variará su dirección encontrándosecon la cámara de infrarrojos (J). Si está abatido la luz continuará su camino para llegar aldetector de potencia (I). La señal que llega a la cámara de infrarrojos es mostrada en unmonitor (K). Si el espejo no está abatido, entonces, el haz de luz llega hasta el detector depotencia, y obtendremos una tensión linealmente dependiente de la potencia recibida en elosciloscopio (L).

En resumen se pueden distinguir tres etapas de set-up:

La etapa en la que se genera la señal, formada por el láser sintonizable y la fibra mantenedorade polarización. La segunda etapa, etapa de posicionamiento, estaría formada por las estacionesde posicionamiento, M1, M2 , M3 y los elementos que se sitúan sobre estas, que a su vez seencuentran ancladas a la Mesa Óptica (M). Y por último, la etapa de medida, que comprendedesde el filtro de polarización hasta el osciloscopio o el monitor. En la figura 5.1.2, se muestraun imagen con una parte del set-up.

5.1.2. Proceso de medida y resultados

El proceso de medida es una tarea laboriosa, pues los elementos con los que tratamos tienendimensiones muy reducidas. El chip sobre el que se encuentran las 98 guías apenas tiene unasuperficie de 3 cm2. El material que se usa es muy sensible, y es muy importante mantenerla tranquilidad en cada etapa del proceso. En el subapartado 5.1.2.1, se detallarán los pasosde la etapa de alineamiento previa a cualquier medida realizada sobre dispositivos fotónicos.En el subapartado 5.1.2.3, se explicará cómo se caracterizaron las guías de onda rotadoras depolarización. Finalmente en el subapartado 5.1.2.3, se expondrán los resultados obtenidos.


CHIP SOBRESOPORTE

POSICIONADORES

FILTROPOLARIZADOR

ESPEJOABATIBLE DETECTOR

DE POTENCIA

OBJETIVODE MICROSCOPIO

CAMARAINFRARROJA

Figura 5.1.2: Imagen de una parte del set-up utilizado

5.1.2.1. Alineamiento

Para realizar las medidas, después del montaje del set-up descrito en el apartado anterior, seprocede a la etapa de alineamiento. Durante esta etapa haremos uso de la cámara de infrarrojosy el monitor, pues es la forma más cómoda de realizar dicha tarea. Esta etapa consta de dosfases, la fase de alineamiento fibra-objetivo y la fase de alineamiento fibra-chip-objetivo.

Durante la fase de alineamiento fibra-objetivo lo que se pretende es conseguir visualizar el hazde luz procedente de la fibra mantenedora de polarización en el monitor, sin que ésta atravieseel chip. Para ello, se usarán potencias bajas, evitando así dañar el sensor de la cámara deinfrarrojos. Empezaremos disminuyendo la altura a la que se encuentra el chip, pasando lafibra por encima de éste, acercándola así al objetivo. La distancia a la que la fibra se encuentredel objetivo, debe de ser la misma a la que luego se encuentre el borde del chip, pues ésta serála distancia a la que enfoque el objetivo.

Los grados de libertad de los que disponemos, son los ejes x, y, z de las estaciones de posi-cionamiento, M1 y M3. Con x e y de la estación de posicionamiento M1, intentaremos quela fibra esté dentro del campo de visión del objetivo, y con z, que ésta se encuentre a mismadistancia a la que luego se encuentre el borde del chip. En cuanto a la posición de la estaciónM3, nos desplazaremos en el eje z para conseguir un punto de enfoque tal que, atravesandoel cristal del filtro polarizador, esté lo más enfocado en el monitor. Las variaciones en x e y,serán tales que nos permitan variar el punto de enfoque en el mayor rango de distancias sin


salir del campo de visión de la cámara de infrarrojos. Habiendo conseguido el alineamiento, seoptimiza el modo TE de la fibra. Para realizar esta optimización, se situará el filtro polarizadoren posición TM, y se usará el rotador de fibra, hasta conseguir un nulo en el monitor. Coneste proceso, garantizamos que a la salida de la fibra mantenedora de polarización tenemosuna polarización TE.

Una vez se ha conseguido alinear la fibra con el objetivo, resultando un punto en el monitor,se procede al alineamiento de la fibra-chip-objetivo. Para alinear la fibra con el chip, en primerlugar retiraremos la fibra del plano focal, desplazándola a lo largo del eje z, una distancia tal quepodamos subir el chip sin que éste toque con la fibra. Subido el chip, se acerca cuidadosamentela fibra al chip, intentando alinear la punta de la fibra con una de las guías de referencia decualquiera de los grupos. Llegados a este punto podemos subir la intensidad del láser. Enfunción de la zona del chip en la que nos encontremos, aparecerán determinados patrones quenos ayudarán a orientarnos. En este punto, se realizan movimientos muy leves, por ensayo yerror, en los ejes x, y, z de ambos posicionadores hasta que se consigue enfocar la salida deuna guía de referencia.

Esta es la parte más compleja del proceso de medida pero una vez alineada la fibra con unaguía de onda, alinearla con cualquier otra guía sólo supondrá variar el eje y de la estación deposicionamiento M1. No obstante, si nos desplazamos continuamente puede que la salida deuna guía se encuentre fuera del ángulo de visión del objetivo, en ese caso también habrá querealizar desplazamientos de la estación de posicionamiento M2 moviendo convenientemente elchip en el eje y.

5.1.2.2. Caracterización de las guías de onda

Una vez se ha conseguido realizar el alineamiento fibra-chip-objetivo, se realiza la caracteriza-ción de las guías. Cómo ya se comentó anteriormente, la caracterización de las guías rotadorasse realizará partiendo de la medida del ER. En esta etapa del proceso de medida utilizaremosel set-up al completo. Esta caracterización se hará sólo para el caso de tener una polarizaciónTE a la entrada. Con el fin de asegurar la polarización TE a la entrada, cada vez que semide un grupo, se utiliza la guía de referencia y junto al filtro polarizador en posición TE, seoptimizan los parámetros del controlador de polarización, para tener una intensidad máximaen el monitor.

Para alinear cada guía, utilizaremos la cámara infrarroja, y posteriormente realizaremos unajuste más fino usando el detector de potencia y el osciloscopio. Una vez alineada la guía deonda la primera medida que se hace, es medir la tensión de oscuridad. Dicha tensión se definecomo la tensión que aparece en el osciloscopio, cuando no se es excita con luz. Una vez seha medido la tensión de oscuridad, realizaremos dos medidas sobre la guía. La primera de


ellas, con el filtro de polarización en posición TE, nos proporcionará un nivel de tensión en elosciloscopio, proporcional a la potencia óptica recibida en el detector de potencia. La segundamedida, se consigue rotando 90� el filtro polarizador. De este modo, la potencia que llega aldetector será la de la componente TM, esta potencia se transladará a un nivel de tensión enel osciloscopio.

Este proceso se realizará sobre cada guía, hasta caracterizar las 98 guías, incluidas las dereferencia. En el siguiente apartado, se muestran los resultados obtenidos.

5.1.2.3. Resultados

Como se comentó en el apartado anterior, para cada guía se realizaron tres medidas. La primerade ellas, denominada tensión de oscuridad, Vosc. Las otras dos se corresponden con la tensióncorrespondiente al modo TE, VTE , y la tensión correspondiente al modo TM, VTM . A partirde ellas, es posible calcular el ER de cada guía, haciendo uso de la siguiente expresión:

ER(dB) = 10 log10VTM � Vosc

VTE � Vosc(5.1.1)

Nótese, que se realiza un cociente entre tensiones, y no un cociente entre potencias, mientrasque en 4.2.2 el ER, se definió como cociente entre potencias. La razón por la que se realiza elcociente entre tensiones, queda descrita en la siguiente ecuación,

Vmed = I ⇥R

I = R⇥ Poptica

Vmed = R⇥ Poptica ⇥R

(5.1.2)

dónde R es la responsibidad del detector de potencia, y R es la ganancia de transimpedancia delamplificador del fotodiodo. Si Vmed es la tensión que se mide en el osciloscopio, se compruebaque salvo un factor constante, es linealmente proporcional a la potencia óptica. Por lo tanto,podemos definir el ER, como el cociente de las tensiones que se miden en el osciloscopio. Losresultados de las medidas realizadas, se encuentran tabulados en el anexo C.

Antes de obtener conclusiones de las medidas realizadas, profundizaremos un poco más en ladiferencia entre las guías de un mismo grupo, y la diferencia entre grupos. Dentro de cadagrupo, varía la longitud de cada guía de onda rotadora de polarización, tal y como se muestraen la tabla 5.1a.

Entre diferentes grupos lo que varía es la dosis de grabado. En la tabla 5.1b se muestra, paracada grupo, la dosis correspondiente. La dosis afecta a la geometría transversal de las guíasrotadoras de polarización. La figura 5.1.3 muestra los ER medidos.


1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

10

Guía

ER

[dB

]

Grupo 1

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

10

Guía

ER

[dB

]

Grupo 2

1 2 3 4 5 6 7!20

0

20

Guía

ER

[dB

]

Grupo 3

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

10

Guía

ER

[dB

]

Grupo 4

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

10

Guía

ER

[dB

]

Grupo 5

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

10

Guía

ER

[dB

]

Grupo 6

1 2 3 4 5 6 7!20

0

20

Guía

ER

[dB

]

Grupo 7

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

Guía

ER

[dB

]

Grupo 8

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

Guía

ER

[dB

]

Grupo 9

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

Guía

ER

[dB

]

Grupo 10

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

Guía

ER

[dB

]

Grupo 11

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

Guía

ER

[dB

]

Grupo 12

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

Guía

ER

[dB

]

Grupo 13

1 2 3 4 5 6 7!20

!10

0

Guía

ER

[dB

]

Grupo 14

Figura 5.1.3: ER para cada guía, clasificados por grupos


Guía Longitud [µm]1 02 253 204 155 106 57 2

(a)

____________

Grupo Dosis1 3,32 3,23 3,14 35 2,96 2,87 2,78 2,69 2,510 2,411 2,312 2,213 2,114 2

(b)

Tabla 5.1: (a) Longitud de cada guía rotadora dentro del mismo grupo. La guía 1 tiene longitud0 porque realmente no contiene ninguna guía rotadora. (b) Dosis de exposición a la que sesomete cada grupo.

Como se comenta en la introducción de este capítulo, el objetivo de esta medida es determinarla dosis y la longitud con la que se fabricarán los rotadores ajustables de polarización. De lafigura 5.1.3 se pueden extraer algunas conclusiones:

Las dosis correspondientes a los grupos 1 a 6, son aceptables, siendo la del grupo cincola que provoca un ER mejor.

Las mejores guías dentro de cada grupo, son las 2, 3 y 4. Si recordamos, en el apartado4.2.1, se definió la longitud óptima del rotador de 12,7 µm, lo cual es coherente con queéstas sean las mejores guías, ya que de acuerdo a la tabla 5.1a, esta longitudes, o biense acercan a la longitud de diseño, o bien son múltiplo entero de la misma.

La guía con mejor ER, es la guía 3 del grupo 3.

La primera guía de cada grupo, al ser una guía de referencia no realiza rotación y estees el motivo por el cual el ER es tan bajo.

La línea roja que se muestra en cada gráfica, corresponde a ER=-4.7 dB, que es el mínimo ERpermitido para conseguir la rotación perfecta haciendo uso del rotador ajustable.

5.2. MEDIDA DE LAS PÉRDIDAS DE INSERCIÓN 57

1 2 3 4 5 6 7

1234567891011121314

!10

0

10

20

GRUPOGUÍA

ER

[dB

]

Figura 5.1.4: ER [dB], en función de grupo y guía.

5.1.3. Extrapolación de los resultados al problema concreto

Habiendo caracterizado todas las guías podemos realizar algunas extrapolaciones al rotadorde polarización ajustable. En un 50 % de los casos, el rotador de polarización ajustable sería,teóricamente, capaz de corregir los errores introducidos. Teniendo en cuenta que lo que sebuscaba era encontrar las dosis y longitud óptimas, los resultados son bastante prometedores.

Para la fabricación del rotador de polarización ajustable, se propondrá la longitud óptima delrotador, de 12,7µm. En cuanto a la dosis, posiblemente a la que se expone el grupo tres sea lamejor. En la figura 5.1.4, se ha representado el ER de las guías caracterizadas, con un offsetde 4.7 dB. De este modo, todas las guías cuyo ER es mayor que cero en la gráfica, son aptaspara usar en el rotador de polarización ajustable.

5.2. Medida de las pérdidas de inserción

Esta sección, con una estructura similar a la anterior, se centra en exponer el proceso (apartado5.2.1) y los resultados (apartado 5.2.2) de medida de las pérdidas de inserción de una guía deonda rotadora de polarización. Su extensión será menor pues parte del trabajo que se realizaes común al realizado para el desarrollo del capítulo anterior. La medida de las pérdidas deinserción se realizó para guías de ondas seleccionadas aleatoriamente.

5.2.1. Set-up utilizado para la medida

Cómo se puede ver en la figura 5.2.1, el set-up es el mismo que en el apartado 5.1.1, el únicoelemento que se ha añadido es la tarjeta de adquisición de datos (L) y el ordenador (N). En


C E

D

F G

HI

J

K

M

LN

y

x

z

A

B

Figura 5.2.1: Set-up utilizado para la medida de las pérdidas de inserción de las guías rotadorasde polarización

cuanto al alineamiento, no volveremos a describir el proceso de alineamiento, pues es idénticoal que ya se ha descrito. Se ha añadido el ordenador, porque los datos obtenidos mediantela tarjeta de adquisición, serán capturados por una rutina en Matlab, que se encargará deprocesarlos.

5.2.2. Proceso de medida y resultados

Montado el set-up y alineado el chip, para medir las pérdidas de inserción es necesario realizarun barrido en longitud de onda de la guía en cuestión. En este caso, se eligieron aleatoriamenteun conjunto de guías y se excitaron de modo que la señal a la salida fuese máxima. Se realizaronbarridos de longitud de onda entre los 1500 y 1600 nm. Realizado el barrido, con un script deMatlab, se obtenía la potencia óptica que se recibía en el detector de potencia.

La señal obtenida, que se se muestra en la figura 5.2.2a, es una especie de sinusoide, cuyaamplitud varía en función de la longitud de onda. La forma de la gráfica que se obtiene sedebe a las reflexiones que se producen en la guía de onda. En función de la longitud eléctricade la guía de onda, tendremos que en la salida, a la señal directa se le sumará o la señal restaráreflejada en el interfaz de entrada. Este método, conocido como el método de resonancia deFabry-Perot, nos da una estimación de las pérdidas que se producen en la guía en función de

5.2. MEDIDA DE LAS PÉRDIDAS DE INSERCIÓN 59

1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6!2

!1

0

1

2

3

4

5

6

� [µm ]

Vm

ed

1.55 1.5505 1.551!1

0

1

2

3

� [µm ]

Vm

ed

(a)

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Med i d a

L[d

B]

(b)

Figura 5.2.2: (a) Tensión medida para el barrido en longitud de onda de una guía. (b) Medidade las pérdidas para diferentes guías

un máximo y un mínimo contiguos, tal y como se detalla en la siguiente ecuación:

L[dB] = �10 log10

✓ pPmax �

pPmin

�2(pPmax +

pPmin)

◆(5.2.1)

en esta ecuación Pmax y Pmın son las potencias de un máximo y un mínimo consecutivos,mientras que �2 es un coeficiente de reflexión que depende de la diferencia entre de índicesefectivos en la interfaz en la que se produce la reflexión. En nuestro caso, los medios que separala interfaz son en aire y un medio compuesto de silicio, di-óxido de silicio y una sustanciadenominada SU8, debido a que las reflexiones se producen en los cantos del chip. El valor de�2, viene dado por

�2 =

✓neff � nair

neff + nair

◆2

(5.2.2)

y en nuestro caso toma el valor de 0.2.

En la figura 5.2.2b se muestran las pérdidas obtenidas para una longitud de onda de 1,55µm,medidas en diferentes guías.

5.2.3. Discusión de los resultados

Las pérdidas de una guía en silicio son aproximadamente de 2 dB/cm para la polarización TE.En nuestro caso al tratarse de un rotador de polarización, no podemos considerar este valor


como una referencia exacta, pues la polarización no es constante a lo largo de la estructura.No obstante, teniendo en cuenta que la longitud de las guías en total, considerando guía yrotador, es de 1 cm, las pérdidas totales deberían ser algo menores a 2 dB. Si se observanlos valores de la gráfica, vemos que las pérdidas que encontramos están dentro de un rangoaceptable, pues oscilan entre 0 y 3 dB, siendo la media de 1.6 dB.

Por lo tanto, podemos deducir que el rotador no introduce unas pérdidas mayores de las quepueda introducir una guía sola.

Capítulo 6

Preparación del Layout

En este capítulo, se procederá a comentar cómo se ha realizado la primera aproximaciónal diseño final del layout del rotador de polarización. Este layout incluye las guías rotadoras,guías de acceso y calentadores. Se ha utilizado una herramienta del grupo de investigación, a laque nos referiremos como DrawMask. Dicha herramienta, es un conjunto de objetos y métodosdefinidos en Visual Basic. Esta herramienta a su vez, se relaciona con Autocad para representarlos elementos en ella descritos. En la sección 6.1, se describirá brevemente cómo se utiliza laherramienta, y se mostrarán algunos ejemplos. Dado que algunas de las estructuras que seutilizarán para el diseño del rotador ajustable no estaban contempladas en en DrawMask, serealizó una ampliación de la herramienta, que se detallará en 6.2.

6.1. Uso de la herramienta DrawMask

Como se ha comentado en la introducción, DrawMask es un conjunto de objetos y métodosdefinidos sobre Visual Basic basado en programación orientada a objetos. Cada uno de loselementos en los que se descomponen las estructuras que se dibujarán en Autocad, son objetosde una determinada clase, sobre los que se pueden aplicar unos métodos que variarán susdimensiones y el punto del plano en el que se dibujan.

Drawmask está programado en dos niveles. El nivel principal y el nivel de bloques. El nivelprincipal, es el encargado de dibujar las estructuras y de manejar las interacciones con Autocad.Para ello, este nivel hace uso del nivel de bloque. En el nivel de bloque se definen los elementosbásicos en los que se descomponen las estructuras. Dichos elementos se definen parametrizandosus dimensiones. De este modo, al llamar a rutinas de este nivel, desde el nivel principal, se tienela libertad de realizar modificaciones en las dimensiones de los elementos. Dichos elementos sedefinen como objetos de una determinada clase.

61

62 CAPÍTULO 6. PREPARACIÓN DEL LAYOUT

Cada objeto, además de atributos correspondientes a su geometría debe poseer un atributoperteneciente a la clase ContactStruct. Esta clase es la más importante de todas las quese definen en el programa, pues es la que nos permite conectar unos elementos con otros.Los objetos de la clase ContactStruct, sólo tienen dos atributos, que son ContactPoint yRotationAngle.

ContactPoint es un atributo compuesto por dos variables, x e y, que representan laposición en el plano del elemento a dibujar.

RotationAngle es un atributo compuesto por una variable que almacena un determinadoángulo.

Cualquier elemento que se represente, almacenará en este atributo el punto del plano en elque acaba su dibujo. De este modo, los elementos que se representen después, harán uso deestas coordenadas para comenzar su dibujo. La posición inicial, en la que se dibujará el primerelemento, será un parámetro.

La existencia de esta clase, determina el modo de uso de DrawMask. Así, cada vez que se dibujaun elemento es fundamental almacenar el contactPoint. Gracias a esta filosofía de diseño delsoftware, aseguramos por un lado, que la estructura sea totalmente continua y por otro ladoque el dibujo se realice de un modo totalmente secuencial.

A continuación en el algoritmo 6.1 se muestra un código en Visual Basic, que se encarga dedibujar en Autocad la estructura representada en la figura 6.1.

Algoritmo 6.1 Código para crear en Autocad la estructura definida en la figura 6.1.1Dim origin As contactStruct = New contactStruct ’1

Dim curve As New clCurve(ThisDrawing) ’2

Dim wg As New clWaveguide(ThisDrawing) ’3

origin.contactPoint (0) = 3000 ’4

origin.contactPoint (1) = 3000 ’5

origin.rotationAngle = pi / 2 ’6

wg.attach(origin) ’7

wg.length = 50 ’8

wg.draw() ’9

curve.attach(wg.contactPoint (1)) ’10

curve.arc = pi / 2 ’11

curve.radius = 20 ’12

curve.draw() ’13

En las líneas 1 a 3, se declaran todas las variables que se usan en el código. Origin es unavariable de tipo ContactStruct, y con ella fijamos el punto del plano a partir del cual serepresenta la estructura. En las líneas 4,5, 6, se asigna a la variable origin el valor de susatributos, en este caso el ángulo de rotación no es relevante. La línea 7 sirve para asociar a lavariable wg su contactPoint, usando el método attach. Wg es un objeto de la clase waveguide,

6.2. AMPLIACIÓN DE LA HERRAMIENTA DRAWMASK 63

Figura 6.1.1: Ejemplo de máscara creada en Autocad

que modela una guía de onda. La longitud de la guía se establece en la línea 8, mientras quesu anchura, viene dada por defecto. Por otro lado, en la línea 9, se lleva a Autocad la guíadefinida. Las siguientes líneas sirven para representar una guía curva, la cual se unirá a laanterior. En primer lugar, se establece el punto a partir del cual se realiza la curva.

La línea 10, quizás la más importante del código, muestra el beneficio de usar los conctacPointspara la representación secuencial de una estructura. En dicha línea se utiliza el contactpointque devuelve la función contacPoint() aplicada a wg, para asociárselo a la curva a dibujar. Laslíneas 11 y 12, asignan valores a parámetros geométricos de la curva y la línea 13 la envía arepresentar en Autocad.

Con este ejemplo, queda descrita la filosofía de funcionamiento de Drawmask. En resumen, pararepresentar una estructura compleja en DrawMask en primer lugar hemos de descomponerlaen elementos más básicos, que son objetos de las clases definidas en el código de DrawMask.Una vez realizada la división, cada elemento se describe haciendo uso de un objeto de la clasecorrespondiente. Dicho objeto se dibujará en Autocad, y se almacenará su contactPoint. ElcontactPoint almacenado, formará parte de la descripción del próximo elemento a dibujar.

6.2. Ampliación de la herramienta DrawMask

Las estructuras definidas en DrawMask, no eran suficientes para poder representar el layout delrotador de polarización ajustable. Por lo tanto, hubo que crear nuevas clases que completaran laherramienta, permitiendo dibujar en autocad el rotador completo, incluyendo los calentadores.

Las clases que se crearon fueron las siguientes:

clRotator: Los objetos de esta clase son las guías rotadoras de polarización. Hace uso dela clase clRotatorParams.


• clRotatorParams: Esta clase facilita el manejo de los parámetros geométricos quedefinen la sección transversal de la guía rotadora de polarización. Dichos parámetrosson los ya definidos en la figura 4.2.7.

clHeater: Los objetos de esta clase son los calentadores. Hace uso de la clase clHeater-Params.

• clHeaterParams: Esta es similar a la clase clRotatorParams, pero para facilitar elmanejo de los calentadores. Se creó para tener una clase cuyos objetos fueran losparámetros con los que se definen los calentadores.

Además de estas clases, también se han creado algunas funciones que hacen uso de las nuevasclases definidas, y pertenecen al nivel de bloque, descrito al comienzo del presente capítulo.No resulta útil profundizar más en ellas, pues no aporta información relevante. No obstante,el resultado del trabajo ha sido el poder crear guías rotadoras (como la que se muestra en lafigura 6.2.1a) y calentadores que permitan aumentar la temperatura de los desplazadores defase de polarización, como el mostrado en la figura 6.2.1b.

Todos los elementos que se han creado, están totalmente parametrizados, de modo que volverlosa dibujar variando cualquiera de sus dimensiones, es una tarea sencilla, ya que sólo basta crearun nuevo objeto de tipo clRotator o de tipo clHeater , con las nuevas dimensiones, y llamar ala función correspondiente.

Finalmente, en la figura 6.2.2 se muestra la máscara correspondiente al rotador ajustable depolarización completo. La estructura azul, está compuesta por secciones que son guías de onday secciones que son guías rotadoras de polarización. Debido a la relación de aspecto entre loscalentadores y la guía, no se pueden mostrar ambos simultáneamente, por lo que se ha realizadoun zoom en la zona en la que se encuentra el rotador.

6.2. AMPLIACIÓN DE LA HERRAMIENTA DRAWMASK 65

(a)

(b)

Figura 6.2.1: Estructuras correspondientes (a) al layout de la guía rotadora de polarización y(b) del calentador. Los tapers que aparecen en los extremos de la guía rotadora de polarizaciónsirven para reducir las pérdidas entre las guías normales y ésta.

Figura 6.2.2: Layout de un rotador de polarización ajustable completo.

Capítulo 7

Conclusiones y líneas futuras

Este capítulo se ha divido en dos secciones, en la primera de ellas, se exponen las conclusionesobtenidas tras la realización del presente proyecto. En la segunda, se detallan posibles líneasfuturas.

7.1. Conclusiones

Este proyecto fin de carrera ha supuesto un empuje en el avance hacia la fabricación del ro-tador de polarización ajustable. En primer lugar, se ha realizado un análisis de la variacióndel funcionamiento de las guías rotadoras de polarización cuando se producen variaciones enla geometría transversal. Además se ha realizado una extrapolación de la condición de com-pensación, a un plano más experimental. Como resultado de este análisis, se ha establecidouna condición que permite comprobar experimentalmente si una determinada guía rotadorade polarización es apta para construir el rotador ajustable. Además, se ha realizado un estudiode las guías desplazadoras de fase de polarización, donde se ha visto como a partir de incre-mentos de temperatura, se pueden conseguir aumentos de fase lineal. Con el fin de validarla estructura se realizó una simulación electromagnética del problema completo, obteniendounos resultados favorables. Por otro lado, se han medido y caracterizado un conjunto de guíasrotadoras de polarización con el fin de incluirlas en el diseño final del rotador de polarizaciónajustable. Como resultado, se ha podido seleccionar un conjunto de parámetros de fabricaciónque garantizarán que el rotador ajustable funcione correctamente. Además, las pérdidas de in-serción medidas de las guías rotadoras de polarización resultaron ser despreciables. Por tanto,se realizó un primer diseño de layout de esquema del rotador ajustable completo. Para ello seha ampliado una herramienta software ya existente, desarrollada den el grupo de investigación.

67

68 CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS

Rotador de polarizacion

Desplazador de fase de polarizacion

Guıas de acceso

A B C D E F

Figura 7.2.1: Esquema de controlador de polarización integrado

7.2. Líneas futuras

Como extensión natural de este proyecto, resulta lógico proponer la fabricación del rotadorde polarización ajustable. De este modo, el siguiente paso será finalizar el diseño del layout.Para ello se propondrán diferentes variaciones de las estructuras, dentro de los parámetrosseleccionados en este trabajo. El objetivo de estas variaciones es realizar una caracterizacióncompleta del rotador de polarización ajustable y demostrar que es capaz de compensar unamplio abanico de variaciones de fabricación.

Además de la extensión natural, se propone una segunda línea sobre la que trabajar. Dichalínea, se basa en una ampliación del esquema del rotador de polarización ajustable, añadiendouna guía desplazadora de fase de polarización, tal y como se muestra en la figura 7.2.1. Alañadir esta línea, conseguimos un nuevo grado de libertad, de modo que en teoría, sería posiblesintetizar cualquier estado de polarización, es decir, dispondríamos de un controlador de po-larización completamente integrado. Al igual que se encontró una condición de compensación,que establece la calidad mínima que han de tener las guías de onda rotadoras de polarización,para poder lograr una rotación de polarización perfecta, es necesario encontrar una nuevacondición que establezca acerca de las guías rotadoras, que garantice que se pueda sintetizarcualquier estado de polarización.

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http://books.google.co.in/books?id=gIQB_hzB0SMC

Apéndice A

Conversión entre parámetros de Stokesy Vectores de Jones

Sean las componentes transversales del campo eléctrico de una onda monocromática, propa-gándose por un medio isótropo:

Ex = |Ex(x, y)| ej�x

Ey = |Ey(x, y)| ej�y

(A.0.1)

El vector de Jones se ha definido en (2.2.2), como:

EJONES=

2

666664

|Ex(x, y)| ej(�x

��y

)

q|Ex(x, y|2 + |Ey(x, y)|2

|Ey(x, y)|q|Ex(x, y|2 + |Ey(x, y)|2

3

777775=

"|ex(x, y)| ej'

|ey(x, y)|

#=

"J1

J2

#

Por otro lado, se han definido los parámetros de Stokes como

S0 = |Ex|2 + |Ey|2 (A.0.2)

S1 = |Ex|2 � |Ey|2 (A.0.3)

S2 = 2 |Ex| |Ey| cos' (A.0.4)

71

72APÉNDICE A. CONVERSIÓN ENTRE PARÁMETROS DE STOKES Y VECTORES DE JONES

S3 = 2 |Ex| |Ey| sin' (A.0.5)

A partir del vector de Jones, podemos obtener los parámetros de Stokes normalizados al valorde S0. No podremos conocer el valor de S0, ya que los parámetros de Jones en su definición,sólo contemplan luz polarizada, y están normalizados. Por lo tanto:

S1

S0= |J1|2 � |J2|2 (A.0.6)

S2

S0= 2Re {J1J2} (A.0.7)

S2

S0= 2Im {J1J2} (A.0.8)

Por otro lado, si queremos obtener el vector de Jones a partir de los parámetros de Stokes elcálculo a realizar será el siguiente:

|J1| =r

S0 + S1

S0(A.0.9)

|J2| =r

S0 � S1

S0(A.0.10)

' = arg

✓S2 + jS3

2

◆(A.0.11)

Apéndice B

Tablas procedentes de la simulación

A continuación se muestran algunos de los resultados arrojados por las simulaciones realizadasusando Fimmwave. Se añaden cuatro tablas en las que cada una representa la variación de unparámetro de la geometría transversal de la guía rotadora de polarización. Cada tabla tiene 7columnas en las que se muestra:

4xi: Variación del parámetro x de la guía rotadora de polarización. Los subíndicesindican si dicho parámetro pertenece a la zanja 1, o a la zanja 2.

x: Valor absoluto del parámetro x. x = xideal�4x. Donde xideal es el valor del parámetrox en el caso ideal.

Nef1: Índice efectivo del modo 1 de la guía rotadora de polarización.

Nef2: Índice efectivo del modo 2 de la guía rotadora de polarización.

✓1: Ángulo de inclinación del modo 1

✓2: Ángulo de inclinación del modo 2

73

74 APÉNDICE B. TABLAS PROCEDENTES DE LA SIMULACIÓN

4t1[nm] t1[nm] Nef1 Nef2 Lpi [µm] ✓1[o] ✓2[o]

-50 10 1,9967 1,8789 6,5782 3,1429 85,2206-45 15 1,9640 1,8652 7,8447 4,3692 84,1186-40 20 1,9365 1,8516 9,1356 5,6642 81,7271-35 25 1,9130 1,8382 10,3641 8,272 79,1336-30 30 1,8926 1,8248 11,4263 11,9114 75,6796-25 35 1,8748 1,8115 12,2338 15,6656 70,3777-20 40 1,8591 1,7983 12,7538 21,0669 65,4002-15 45 1,8450 1,7854 12,9944 25,6609 58,6966-10 50 1,8323 1,7728 13,0218 31,4292 53,7848-5 55 1,8206 1,7606 12,9059 36,8565 49,38170 60 1,8098 1,7488 12,7058 41,6145 45,63565 65 1,7997 1,7376 12,4759 44,9297 41,59

10 70 1,7901 1,7268 12,2400 48,4638 39,053415 75 1,7810 1,7165 12,0179 50,3488 35,833220 80 1,7723 1,7067 11,8194 52,8462 34,243725 85 1,7639 1,6974 11,6495 54,895 32,970930 90 1,7558 1,6885 11,5103 56,1237 31,485935 95 1,7481 1,6801 11,4020 57,527 30,734540 100 1,7405 1,6721 11,3243 57,8642 29,354145 105 1,7332 1,6645 11,2757 58,8403 28,970850 110 1,7261 1,6572 11,2556 59,6108 28,7131

Tabla B.1: Variaciones en las características de la guía rotadora al modificar la anchura de laprimera zanja, t1

4d1[nm] d1[nm] Nef1 Nef2 Lpi [µm] ✓1[o] ✓2[o]

-50 160 1,8947 1,7746 6,4533 15,7754 72,6845-40 170 1,8773 1,7695 7,1901 18,2991 70,0881-30 180 1,8598 1,7646 8,1378 21,4583 66,5250-20 190 1,8425 1,7596 9,3564 26,0157 61,6874-15 195 1,8341 1,7571 10,0682 29,0581 58,6607-10 200 1,8259 1,7545 10,8584 32,4490 55,0038-5 205 1,8178 1,7517 11,7357 36,5390 50,68800 210 1,8098 1,7488 12,7058 41,6145 45,63565 215 1,8023 1,7458 13,7026 47,2375 39,8504

10 220 1,7953 1,7425 14,6719 53,4849 33,615215 225 1,7887 1,7389 15,5626 60,1230 27,289120 230 1,7824 1,7324 15,4842 67,1122 19,143925 235 1,7768 1,7302 16,6168 72,6942 15,283535 245 1,7674 1,7201 16,4056 81,1336 7,368045 255 1,7599 1,7079 14,9145 85,3738 3,3225

Tabla B.2: Variaciones en las características de la guía rotadora al modificar la profundidadde la primera zanja, d1

75

4t2[nm] t2[nm] Nef1 Nef2 Lpi [µm] ✓1[o] ✓2[o]

-50 35 1,8766 1,8218 14,1212 12,8147 74,4944-45 40 1,8681 1,8136 14,2427 15,6572 71,8153-40 45 1,8601 1,8057 14,2597 18,6951 69,0179-35 50 1,8526 1,7980 14,1941 21,5764 65,7750-30 55 1,8456 1,7905 14,0618 24,8160 63,0958-25 60 1,8390 1,7832 13,8876 27,5131 59,5010-20 65 1,8327 1,7760 13,6805 30,7070 56,7380-15 70 1,8266 1,7690 13,4512 33,8338 54,0600-10 75 1,8208 1,7621 13,2086 36,8619 51,4838-5 80 1,8152 1,7554 12,9583 39,3481 48,65890 85 1,8098 1,7488 12,7058 41,6145 45,63565 90 1,8046 1,7424 12,4546 44,2528 43,4992

10 95 1,7996 1,7361 12,2074 46,7281 41,479515 100 1,7946 1,7299 11,9662 49,0410 39,593520 105 1,7898 1,7238 11,7325 50,9787 37,575725 110 1,7851 1,7178 11,5071 52,9949 35,951730 115 1,7806 1,7119 11,2906 54,4095 33,881735 120 1,7761 1,7062 11,0839 56,1702 32,501040 125 1,7717 1,7005 10,8867 57,7958 31,216545 130 1,7673 1,6949 10,6988 59,1683 29,867450 135 1,7631 1,6894 10,5205 60,5593 28,7721

Tabla B.3: Variaciones en las características de la guía rotadora al modificar la anchura de lasegunda zanja, t2

4d2[nm] d2[nm] Nef1 Nef2 Lpi [µm] ✓1[o] ✓2[o]

-25 213 1,8382 1,7572 9,5681 26,7597 61,0797-20 218 1,8326 1,7557 10,0711 28,9463 58,7310-15 223 1,8270 1,7541 10,6307 31,5385 56,1257-10 228 1,8213 1,7524 11,2530 34,4442 53,0791-5 233 1,8155 1,7507 11,9484 37,8265 49,57080 238 1,8098 1,7488 12,7058 41,6145 45,63565 243 1,8043 1,7469 13,5116 46,4760 41,5044

10 248 1,7989 1,7448 14,3367 51,3310 36,671015 253 1,7936 1,7425 15,1589 56,2206 31,114020 258 1,7883 1,7397 15,9453 62,0622 25,430622 260 1,7861 1,7384 16,2504 64,5162 23,0422

Tabla B.4: Variaciones en las características de la guía rotadora al modificar la profundidadde la segunda zanja, d2

76 APÉNDICE B. TABLAS PROCEDENTES DE LA SIMULACIÓN

Apéndice C

Resultados de las medidas realizadas

En este apéndice se muestran tres tablas correspondientes a las tres tensiones medidas paracada guía que se caracterizó. Cada columna que se corresponde con un grupo, se identifica conla letra Gi y cada fila, identificada con Wi , indica a qué guía dentro de cada grupo se refierela medida.

VTE G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 G12 G13 G14

W1 3,30 2,40 0,84 3,09 2,40 4,52 5,69 5,50 1,00 3,70 2,85 3,68 5,20 3,70W2 0,93 0,41 1,16 0,74 0,71 1,30 1,15 1,05 1,00 3,04 1,47 3,00 3,60 4,08W3 2,50 0,85 0,35 3,10 1,00 1,28 2,31 1,73 2,08 2,08 4,28 3,25 4,60 3,08W4 0,53 0,65 0,45 2,15 1,35 2,08 2,27 1,55 3,10 1,68 3,15 2,95 2,82 4,80W5 0,30 0,41 2,10 4,03 2,74 2,82 2,45 2,80 3,20 1,63 2,40 3,10 2,80 2,97W6 0,73 1,47 2,30 1,70 0,70 3,48 2,91 3,91 2,00 1,85 1,97 2,35 2,10 3,12W7 1,47 1,60 1,60 3,15 2,54 1,60 4,02 4,00 3,20 2,52 2,65 2,50 3,70 2,65

Tabla C.1: Medidas de la tensión proporcional a la potencia del modo TE, expresada en Voltios

___

77

78 APÉNDICE C. RESULTADOS DE LAS MEDIDAS REALIZADAS

VTM G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 G12 G13 G14

W1 0,18 0,30 0,17 0,45 0,25 0,31 0,32 0,33 1,00 0,33 0,20 0,41 0,33 0,25W2 0,35 0,88 0,63 2,37 1,90 2,20 2,50 0,95 1,00 0,30 0,62 0,29 0,49 0,42W3 1,65 0,26 2,85 0,62 2,40 1,10 2,02 1,02 1,00 0,42 0,67 0,67 0,67 0,45W4 2,25 0,25 1,20 1,57 0,68 1,53 1,26 0,72 1,20 0,50 0,35 0,42 0,52 0,71W5 0,65 1,97 1,00 0,40 0,90 0,85 0,46 0,45 0,46 0,41 0,22 0,40 0,38 0,41W6 0,32 0,62 0,37 0,44 0,32 0,85 0,38 0,55 0,29 0,27 0,28 0,43 0,43 0,30W7 0,32 0,24 0,20 0,27 0,45 0,26 0,34 0,27 0,28 0,39 0,25 0,37 0,32 0,52

Tabla C.2: Medidas de la tensión proporcional a la potencia del modo TE, expresada en Voltios

Vosc G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 G12 G13 G14

W1 0,12 0,10 0,10 0,25 0,16 0,21 0,15 0,14 0,50 0,14 0,11 0,18 0,20 0,18W2 0,13 0,11 0,12 0,16 0,15 0,22 0,16 0,14 0,50 0,11 0,11 0,17 0,20 0,20W3 0,10 0,12 0,11 0,15 0,15 0,22 0,15 0,15 0,15 0,12 0,12 0,17 0,20 0,22W4 0,13 0,10 0,10 0,16 0,16 0,22 0,14 0,15 0,15 0,10 0,12 0,16 0,21 0,20W6 0,11 0,12 0,12 0,15 0,16 0,21 0,16 0,14 0,15 0,12 0,12 0,18 0,21 0,21W6 0,12 0,13 0,10 0,16 0,17 0,17 0,16 0,16 0,14 0,12 0,11 0,16 0,18 0,22W7 0,11 0,11 0,11 0,16 0,17 0,15 0,15 0,15 0,16 0,12 0,11 0,18 0,16 0,23

Tabla C.3: Medidas de la tensión de ruido, expresada en Voltios

control de polarización de dispositivos ópticos integrados hermano, aquí te demuestro que...

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