computational mechanobiology of hard tissue . …kinetic/biomat09/biomat/lecture_0.pdf · lecture...
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COMPUTATIONAL MECHANOBIOLOGY OF HARD TISSUE . APPLICATIONS TO IMPLANT DESIGN AND TISSUE ENGINEERING
Lecture 0. Introduction and Content
Manuel DoblaréAragón Institute of Engineering Research (I3A) University of Zaragoza (Spain)[email protected]
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MAIN OBJECTIVES OF THE COURSE
To present the main physiological characteristics of bone tissue.
To present the mechanical behaviour and main constitutive models developed for bone tissue.
To present mechanobiological processes like remodelling, growth or repairing of bone tissues, including the available mathematical models.
To familiarize the student with the application of numerical methods, mainly FE, to solve problems involving living tissues.
To present and discuss computational simulations of healthy and pathological situations of some organs and joints.
To present some aspects involved in the modelling and design of bone prostheses and implants, especially osteointegration.
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Lecture 0. Introduction
0.1. Introduction to Biomechanics and Mechanobiology
0.2. Simulation in Biomechanics. Needs and problems.
0.3. Brief introduction to Structural Solid Mechanics
PROGRAM
Lecture 1. Structure, properties and mechanical behaviour of bone tissue
1.1. Overview of the structure of connective tissues
1.2. Mechanical properties of bone tissue
1.3. Influence of age
1.4. Mechanisms and criteria of bone fracture
1.5. Computational prediction of bone fracture
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Lecture 2. Phenomenological models of bone remodelling
2.1. Introduction
2.2. Experimental facts
2.3. Phenomenological models
2.4. An anisotropic phenomenological model of bone remodelling
2.5. Phenomenological models of external bone modelling
Lecture 3. Mechanistic models of bone remodelling
3.1. Effects of deformation on living tissues
3.2. Influences of extracellular biological factors
3.3. Mechanobiology of bone tissue
3.4. Mechanistic models of bone remodelling
3.5. A BMU-based mechanistic model of bone remodelling
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Lecture 4. Mathematical modelling of bone fracture healing
4.1. Introduction
4.2. A global mathematical framework for mechanobiological processes
4.3. Mathematical modelling of bone fracture healing
4.4. Mechanical effects on bone fracture healing
4.5. Concluding remarks
Lecture 5. Mathematical modelling of long bone morphogenesis
5.1. Introduction
5.2. Mathematical model
5.3. Simulation of the early phase of long bone morphogenesis
5.4. Prediction of the appearance of secondary ossification centers
5.5. Concluding remarks
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Lecture 7. Design of bone prostheses and implants. The problem of osteointegration
7.1. Introduction. Types of prostheses and implants
7.2. Main factors in implant design
7.3. Biomechanical evaluation of different prostheses and implants
7.4. A phenomenological model of bone osteointegration
7.5. A mechanistic model of bone osteointegration
Lecture 6. Simulation of bone growth within scaffolds
6.1. Introduction
6.2. Numerical characterization of scaffold properties
6.3. A phenomenological macroscopic approach to simulate bone growth within scaffolds
6.4. A phenomenological multiscale approach to simulate bone growth within scaffolds
6.5. Some concluding remarks
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9REFERENCES AND ADDITIONAL BIBLIOGRAPHY
Martin R.B., Burr D.B., Sharkey N.A. Skeletal tissue mechanics.
Springer-Verlag, New York, 1998.
Fung Y.C. Biomechanics. Mechanical properties of living tissues.
Springer-Verlag, 1993.
Holzapfel G.A. Nonlinear solid mechanics: A continuum approach for
engineers. Wiley 2000.
Carter D.R., Beaupré G.S. Skeletal function and form. Cambridge
University Press 2001.
Cowin, S.C. (ed.). Bone Mechanics Handbook (2nd Ed.). CRC Press
2001.
Diferentes papers that will be cited along the course.
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0.1. Introduction toBiomechanics andMechanobiology
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9INTRODUCTION
The growing life expectancy in developed countries has implied an increasing demand of new and advanced medical devices, drugs and implants, as well as a boom in health technologies.
This has supposed a new challenge not only for physicians, surgeons or biochemists, but also for engineers.
Biomedical Engineering is the subject that applies principles and methodologies of applied Physics and Chemistry (Engineering) to analyse biomedical problems. This includes the design and construction of medical devices to help, substitute, control or diagnose the functional performance of living organs.
By nature, it is a multidisciplinary science. Its complexity and variety require a strong effort of the scientific community both in the experimental and theoretical sides. The combined research of experts in different disciplines is essential!
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One of the fields of Biomedical Engineering in which a highest effort of investment, development and applications is now accomplished is Biomechanics.
This is specially true in areas like Orthopaedics, Traumatologyand implant development.
One of the most important reasons is the increasing number of elder people with problems in the skeleton and also the terriblesequels of traffic and working accidents.
Revealing data:
• In USA, for instance, different studies predicted that the number of hip fractures per year will increase from 340,000 in 2000 to about 650,000 in 2050, with a number of about 6.25 millions for the whole world.
• The about 400 millions of people older than 65 that now live in the world will reach the figure of 1600 millions by 2050.
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9MOTIVATION. MECHANICS OF LIVING TISSUES
Most tissues and organs have a structural function, supporting and transferring loads and moving other organs.
Construction and reconstruction of tissues is the combined result of phylogenetic (species evolution) and ontogenetic(individual adaptation) factors, controlled by epigenetic(environmental) factors. Among these latter, gravity and mechanical loads have had an essential role in the evolution of vertebrates and are co-responsible of many biological processes.
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• Tissue damage.
• Regulation of biological processes (homeostasis).
• Morphological and structural adaptation.
• They are responsible directly or indirectly of diseases such as scoliosis, osteoporosis, malaria, etc.
Mechanical strains have a strong influence on processes such as:
Mechanics interacts with Biology at all length scales:
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9At molecular level (i.e. DNA mechanics)
(Bao and Suresh, Nature Materials 2003)
At cellular level (i.e. cell differen-tiation depends on the complianceof the ECM)
(Engler et al., Cell 2006)
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(Claes et al. 2003)
At tissue level (i.e. bonehealing)
At organ level (i.e. bonemorphogenesis)
(Chalmers & Ray, 1962)Femur of a mouse (normal one)
Femur of a mouse (formed without mechanical loads)
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9BIOMECHANICS
It is the science that applies the principles of Mechanics to the better comprehension of biological processes and functions.
Its main objective is therefore to characterize the movement of living organs, and its differential variations (strains, stresses,…).
Its main fields of application are:
• Movement of living organs.
• Behaviour of biological structural systems.
• Study of the influence of the internal microstructure in the constitutive behaviour of living tissues.
• Analysis of the influence of the mechanical environment on biological processes (Mechanobiology).
We usually distinguish between:
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Clinical BiomechanicsComputational Biomechanics
Theoretical Biomechanics Experimental Biomechanics
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9Fields of applications are:
• Analysis of skeletal and cardiovascular pathologies and treatment.
• Preoperative planning and long-term prediction of biological processes.
• Design of prostheses and implants.
• Orthopaedic and cardiovascular surgery.
• Sport performance and devices.
• Occupational Biomechanics.
• Medical instrumentation.
• Ergonomy.
• Tissue engineering.
Some of these aspects will be analysed in this course
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BIOMECHANICS AND MECHANOBIOLOGY
The aim of Biomechanics is to predict the mechanical behaviour (movement, strains and stresses) of a tissue or an organ, taking into account the acting loads, its microstructure and the constraints imposed by other organs.
Instead, Mechanobiology tries to predict the evolution of the microstructure and biological constitution of a tissue or an organ as consequence of the mechanical environment.
In particular, Cellular Mechanobiology studies the cellular mechanisms implied in a biological process and the influence on such mechanisms of the mechanical environment.
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PHISIOLOGY, HISTOLOGYCOMPUTATIONAL BIOMECHANICS
Modelling and simulation of the
mechanical behaviour of tissues and their
interaction with biomaterials
Composition and microstructure
MEDICINEProblems and applications
MECHANICS OF MATERIALSProperties and
constitutive behaviour
Movement
Strains
Stresses
Damage, Microcracks
Interactions, Contacts
NUMERICAL METHODS
Implementation and simulation
CONTINUUM MECHANICSGlobal formulation in Mechanics
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A BIOMECHANICAL EXAMPLE (MODELLING A DENTAL IMPLANT)
BONE
IMPLANT
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85.75MPa
335 MPa
Resilient Implant
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COMPUTATIONAL MECHANOBIOLOGY
Modelling and simulation of biological
processes and their interaction with the
mechanical environment
MEDICINEProblems and applications
MECHANICS OF MATERIALSProperties and
constitutive behaviour Evolution of the microstructure
and cellular distribution
NUMERICAL METHODSImplementation and simulation
CONTINUUM MECHANICSGlobal formulation in Mechanics
0b =+ ρσdiv
PHISIOLOGY, HISTOLOGYComposition and microstructure
BIOLOGYModelling of
biological processes
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9A MECHANOBIOLOGICAL APPLICATION (BONE REMODELLING AFTER IMPLANTATION OF A HIP PROSTHESIS)
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ABAQUS/Post Version 5.5-1
0.2. Simulation in Biomechanics: needs and problems
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Aim: To establish and solve biomechanical, biological, andcoupled (mechanobiological) models using numerical tools.
Those models can be discrete (i.e. pluricellular models) ormacroscopically continuous (homogeneisation) SPATIAL DEPENDENCY.
They can be static or evolutive TIME DEPENDENCE.
Their solution is usually very complex (coupled phenomenawith different time and space scales, non-linear, stronginfluence of the microstructure, etc.), being necessary theuse of state-of-the-art numerical techniques to solve thedifferential and integro-differential equations involved, bothin space (finite elements) and time (evolution algorithms).
SIMULATION IN BIOMECHANICS AND MECHANOBIOLOGY
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Great difficulty of many experimental tests and practical impossibility of their customisation.
Possibility of comparing many different situations and factors: patients (personalization), implants, tissue properties, sensitivity to external influences, …
Ability to consider mechanical, biological and pharmacological factors.
Simulations closer to reality in some cases due to the possibility of considering and controlling factors that cannot be controlled or measure in experimental essays.
Low cost.
MOTIVATION FOR THE SIMULATION IN BIOMECHANICS AND MECHANOBIOLOGY
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We have to deal with:
Very complex geometries, sometimes evolutive.COMPUTATIONAL GEOMETRY, MEDICAL IMAGING, DATA VISUALIZATION
Large displacements and strains and internal material constraints.CONTINUUM AND COMPUTATIONAL MECHANICS
Complex loads, boundary conditions and interactions, usually unknown (influence of the surface, biological and biochemical interactions, …). SURFACE TECHNOLOGY, CONTACT MECHANICS, WEAR
COMPUTATIONAL PROBLEMS IN SIMULATION IN BIOMECHANICS AND MECHANOBIOLOGY
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Very complex behaviour of living tissues and, in some occasions, of artificial biomaterials (heterogeneous, anisotropic, multiphasic, with strong influence of the microstructure, evolutive and adaptive behaviour).MATERIAL MODELLING
Coupled fields (Mechanics, Thermodynamics, Biology) with very different time scales.
EVOLUTIVE COUPLED ALGORITHMS
Strong variability of the parameters of the model.
STOCHASTIC APPROACHES
Difficulty in validating the constitutive models (lack of usefulexperimental data).
ADDITIONAL EXPERIMENTAL TESTS
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9PROCESS OF FINITE ELEMENT SIMULATION OF A PROBLEM IN BIOMECHANICS
Geometry definition and meshing
Establishment of boundaryconditions, contact interactionsand constraints.
Loads and functional state
Material properties andcharacterization
The following tasks have to be performed:
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MEDICAL IMAGES
(CTs, RMNs, IVUS, ...)
Geometry is usually defined by medical images (CTs, RMNs,IVUS, angiographies, etc.)
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MEDICAL IMAGES
SEGMENTATION
Program GL (courtesy of the Group of Computer Graphics, I3A)
Boundaries are determined by a manual or automatic procedure
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MEDICAL IMAGES
SEGMENTATION
3D RECONSTRUCTION
Human femur
Tibia and fibula of a rabbit
Volume and surfaces are recovered and approximated from the boundaries
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FE MESH GENERATION
MEDICAL IMAGES
SEGMENTATION
3D RECONSTRUCTION
MANUAL
The fine element mesh is then generated under appropriate rules
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FE MESH GENERATION
MEDICAL IMAGES
SEGMENTATION
3D RECONSTRUCTION
AUTOMATIC
voxels, marching cubes, finiteelements, meshless methods(cloud of points)
The fine element mesh is then generated under appropriate rules
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9In the case of soft tissues the problem of geometry definition and mesh generation is more complex
The inherent large strains implies the need of establishing a fixed reference all along the measures and image capturing which is usually very complex (i.e in the cardiovascular system images have to be compared for the same point of the cardiac cycle (TOMTEK)).
IVUS
ANGIOGRAPHIES FE MESH
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FE MESH GENERATION
MEDICAL IMAGES
SEGMENTATION
3D RECONSTRUCTION
LOADS AND B.C.sNeed of experimental data (strong variability andrandom distributions)
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Loads on bones are imposedby muscles and ligaments
BONE-TENDON-MUSCLE-TENDON-
BONEBONE-LIGAMENT-BONE
MANY MUSCLES AND LIGAMENTS USUALLY
ACT ON THE SAME ORGAN
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Muscles and ligaments may be:
DIRECTLY SUBSTITUTED BY
EXTERNAL LOADS
MODELLED AS RODS OR SHELLS
MODELLED AS COMPLETE 3D ORGANS
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BCs and interactions can be also simplified according to the specific goal of the analysis
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This is also the case of interfaces with other organs or with implants.
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FE MESH GENERATION
MEDICAL IMAGES
SEGMENTATION
3D RECONSTRUCTION
LOADS AND B.C.s MATERIAL PROPERTIES
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FE MESH GENERATION
MEDICAL IMAGES
SEGMENTATION
3D RECONSTRUCTION
LOADS AND B.C.s MATERIAL PROPERTIES
ANALYSIS
POSTPROCESSING
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9BREVE RECORDATORIO DE LA MECÁNICA DE SÓLIDOS DEFORMABLES
Las ecuaciones que rigen la dinámica del Sólido Rígido son las bien conocidas ecuaciones de Euler:
• La variación de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas exteriores actuantes.
• La variación del momento cinético es igual al momento resultante de las acciones exteriores actuantes.
Antes de plantear las ecuaciones es necesario definir la cinemática del sólido, es decir, el conjunto de parámetros que definen su movimiento (grados de libertad) que, en el caso de sólido rígido, se identifican habitualmente con la traslación del C.D.G. y los giros alrededor de tres ejes perpendiculares para, a continuación, obtener todos las variables cinemáticas en función de los G.D.L.
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Las ecuaciones de Euler se pueden obtener a partir de diferentesplanteamientos:
• De forma directa a través del principio de D’Alembert, por ejemplo.
• Mediante la aplicación del Teorema de los Trabajos Virtuales de un sistema de fuerzas en equilibrio (incluyendo las fuerzas y momentos de inercia).
• Mediante el establecimiento de principios energéticos de conservación que involucran funcionales bien conocidos (Lagrangianoo Hamiltoniano).
¿Cual es la diferencia esencial entre un sólido rígido y un sólido deformable?
Un sólido deformable (todos los sólidos reales lo son en mayor o menor grado) sometido a fuerzas exteriores, se deforma, es decir, se modifican las distancias entre los distintos puntos del mismo, no siendo válida, por tanto, la hipótesis de sólido rígido de conservación de distancias entre los puntos que lo componen.
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9• Según ello, es necesario redefinir la cinemática y los parámetros
básicos que la definen - grados de libertad - (parametrización del movimiento).
• En el caso general, el movimiento de cada punto del sólido es independiente, de forma que la cinemática completa queda caracterizada por una función vectorial φ(x,y,z,t) (función movimiento) que define la posición en cada instante t de cada punto del sólido definido por sus coordenadas (x,y,z)
• La particularización del movimiento en un instante dado t0, se denomina configuración del sólido en el instante t0: φ(x,y,z,t=t0)
• La diferencia con el sólido rígido es pues importante, pues la cinemática queda definida por una función espacio-temporal completa en lugar de por un sistema finito de parámetros funciones sólo del tiempo.
• Existen situaciones de sólidos deformables en las que es posible simplificar la cinemática con parametrizaciones más simples (barras, láminas, ...).
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• Las ecuaciones de Euler para el sólido deformable (principios de variación de la cantidad de movimiento y del momento cinético) se establecen de forma análoga al sólido rígido, pero teniendo en cuenta las consideraciones cinemáticas anteriores, conduciendo a un planteamiento integral
con v la velocidad del movimiento, ρ la densidad y r el radiovectorque une cada punto del sólido con aquel respecto del cual se toma el momento cinético.
Con ello, se obtiene un sistema de 6 ecuaciones integrales en cada instante que son insuficientes para resolver el problema de determinación de las 3 componentes del movimiento.
ext
ext
V)z,y,x()z,y,x()z,y,x(dt
d
V)z,y,x()z,y,x(dt
d
Mr
F
=×
=
∫∫
d
d
Ω
Ω
ρ
ρ
ν
ν
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9• Es preciso introducir ecuaciones y conceptos adicionales. En concreto
el equilibrio dinámico debe realizarse a nivel diferencial.
• Se debe pues plantear las ecuaciones de Euler para cualquier trozo del sólido, apareciendo el concepto de tensión como fuerza por unidad de superficie actuante en cada punto y cada plano que pasa por dicho punto.
• Se puede demostrar que el estado tensional en un punto queda definida por 9 funciones que se reducen a 6 al plantear la ecuación de variación de momento cinético a nivel diferencial, que conduce a la condición de simetría del tensor de tensiones.
• Aún así, existen más funciones incógnita (9) que ecuaciones diferenciales (3), ya que han aparecido las tensiones como nuevas incógnitas. Ello se resuelve incorporando el comportamiento del material a través de relaciones experimentales entre las tensiones y la cinemática => relaciones de comportamiento (es bien conocido que distintos materiales sometidos a la misma carga se deforman de forma diferente)
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Como resumen, la dinámica de sólidos deformables se plantea en
base a las 9 ecuaciones siguientes
Ecuaciones
3 ecuaciones diferenciales correspon-dientes a la de variación de la cantidad de movimiento a nivel diferencial.
6 relaciones de comportamiento que usualmente son ecuaciones algebraicas.
Incógnitas
3 funciones de movimiento
6 funciones de tensión
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Hipótesis de la Mecánica de Sólidos Deformables
Mecánica de Newton, no se consideran efectos relativistas.
Medio continuo, sin discontinuidades a nivel microscópico.
Se cumplen las leyes de la Termodinámica (conservación de energía y producción de entropía).
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Hipótesis adicionales de la teoría clásica de Elasticidad
Hipótesis básicas:
(I) Pequeños desplazamientos
(II) Pequeñas deformaciones
(III) Material Elástico Lineal
– Relación lineal entre
tensión y deformación
– Comportamiento independiente
del tiempo, de la velocidad de
deformación y de la historia previa
Hipótesis adicionales habituales:
(IV) Principio de Saint-Venant
(V) Material homogéneo
(VI) Material isótropo
(VII) Problemas estáticos
(VIII) Procesos isotermos
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Cinemática de los sólidos deformables
Objetivo de la cinemática: Caracterización del movimiento de los sólidos deformables independientes de las causas que lo producen.
Entenderemos como sólido Ω, un subconjunto de R3 cuyos puntos se identifican mediante coordenadas en un sistema de referencia arbitrario, de tal manera que para un punto cualquiera P,
A ϕ0(Ω) se la denomina configuración inicial, indeformada o de referencia del sólido.
( ) ( ) X≡ℜ⊂→ P: 03
00 ϕΩϕΩϕ
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Un movimiento es una familia de configuraciones del sólido dependiente del tiempo:
3)(:)( ℜ⊂Ω→Ω= ttt ϕϕϕ iitt xPP =≡ )(;)( ϕxϕ ℜ∈∈Ity
G1
G2
g1
G3
g2
g3
Ωx2
x3
x1
X3
X2
( )Ωϕ0 ( )Ωϕ2t
( )Ωϕ1t
( )Ωφ1t
( )Ωφ2t
XI puntos de la configuración indeformada
xi puntos de la configuración deformada (dependendientes de t)
X≡)P(0ϕ
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Sea φτ un movimiento diferenciable respecto de t. Se define la velocidad material del movimiento como un campo vectorial dependiente de t, Vt, sobre ϕ0(Ω):
Igualmente, si φτ es dos veces diferenciable respecto de t, se define la aceleración material del movimiento como un campo vectorial dependiente de t, At sobre ϕ0(Ω) tal que:
330 ℜ→ℜ∈)(:t ΩϕV
)P(),P(con),t(t
)(t
)( tt
t ϕ==∂∂
=∂
∂= xXX
xXXV 0 ϕφ
330 ℜ→ℜ∈)(Ω:t ϕA
(P)(P),cont),(t
)(t
)( tt
t ϕ==∂∂
=∂∂
= xXXx
Xφ
XA 02
2
2
2
ϕ
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Gradiente de deformación
El concepto de deformación está adscrito a la variación de la geometría que se produce en el entorno de un punto.
Es obvio, que un movimiento como sólido rígido no provoca modificaciones en el entorno de un punto, por lo que no produce deformación.
Dado un movimiento C1-regular, se define el gradiente de deformación, denotado por F, como el campo tensorial sobre la configuración indeformada ϕ0(Ω)
Nota: Obsérvese que detF es el jacobiano J de la transformación de las coordenadas XI a xi, que si se consideran transformaciones que mantienen el sentido dextrógiro del sistema de ejes, como es habitual, será siempre positivo.
)()(: tt ΩϕΩϕ →0φ
330 )(: ℜℜ∈Ω xt ϕF ),t(
X
x)(
XF)(
I
i
I
iti
tIt XXX∂∂
=∂∂
=≡φ
F
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Es usual descomponer (descomposición polar) el tensor gradiente de deformación F en una composición de tensores que corresponden, respectivamente, a un giro y a una deformación
R - tensor de giroU, V - tensores alargamiento por la izquierda y derecha, respectivamente.
Rotación seguida de deformación
Deformación seguida de rotación
RVURF oo == TRURV oo=
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Existen otras maneras diferentes de medir la deformación. Por
ejemplo, midiendo la variación de longitud de un segmento diferencial
ds
X1
X2
X3
x2
x1
x3
ds0ds
JIIJ dXdXGds 2
0 = lkkl dxdxgds 2 =
con GIJ : tensor métrico euclideo en el sistema inicial, y
gkl : tensor métrico euclideo en el sistema final
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9Para cuantificar la diferencia ds2-ds0
2, es necesario expresar ambas
cantidades en el mismo sistema de referencia:
por lo que:
EIJ: Tensor de Green-Saint-Venant o tensor de deformación material
De forma similar:
ekl : Tensor de Cauchy-Almansi o tensor de deformación espacial
JIJ
l
I
k
kllk
kl dXdXX
x
X
xgdxdxgds
∂∂
∂∂
== 2
JIIJ
JIIJJ
l
I
k
kl dXdXEdXdXGX
x
X
xgdsds 2 2
02 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
∂∂
=−
lkkl
lkl
J
k
I
IJkl dxdxedxdxx
X
x
XGgdsds 2 2
02 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
∂∂
−=−
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Es claro que el tensor gradiente de deformación está directamente relacionado con el tensor de Green-Saint-Venant y con el tensor de Cauchy-Almansi, ya que estos tensores también nos miden la deformación. Efectivamente:
Ejemplo: Movimiento como sólido rigido => ds2 = ds02 => EIJ = ekl =0
F = 1
( )IJlJ
kIklIJ GFFgE −=
2
1
( )lJ
kIIJklkl )F()F(Gge 11
2
1 −−−=
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9
En coordenadas cartesianas, los tensores de deformación de Green-Saint-Venant y de Cauchy-Almansi quedan:
Bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones (las derivadas de los desplazamientos son pequeñas frente a la unidad) se puede despreciar el producto de las derivadas de los desplazamientos frente a las propias derivadas, por lo que:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
= J
K
I
K
J
I
I
J
IJ X
U
X
U
X
U
X
UE
2
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−∂∂
+∂∂
= j
k
i
k
i
j
j
i
ij x
u
x
u
x
u
x
ue
2
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
= J
I
I
J
IJ X
U
X
UE
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
= i
j
j
i
ij x
u
x
ue
2
1
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Asimismo, bajo la hipótesis de pequeños desplazamientos (no existen diferencias entre la configuración deformada e indeformada) es posible identificar la evaluación de los tensores en las coordenadas iniciales con su evaluación en las coordenadas finales, por lo que los tensores de Green-Saint-Venant y Cauchy-Almansison coincidentes:
Es interesante también plantear la interpretación física de las componentes del tensor de pequeñas deformaciones de Cauchy, de forma que, efectivamente, se demuestre que está relacionado con los cambios de longitud de entornos de puntos, tal como corresponde a una deformación, y permita distinguir físicamente entre las distintas componentes del mismo.
( )i,jj,iijijIJ uueE +===2
1ε Tensor de deformación de Cauchy
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Interpretación física de las componentes del tensor de deformación de Cauchy
Deformaciones longitudinales
• Si particularizamos la variación del diferencial de longitud por unidad de longitud en la dirección 1 en coordenadas cartesianas, es decir
Además, tenemos que en dicho eje, dX2 = dX3 = 0 y dX1 = ds10,
por lo que:
• En teoría de pequeñas deformaciones:
10
10
1
1 ds
dsdsE t −
= 101
1 )1( dsEdst +=
21011
10
110
1210
21 )(2))(()()( dsEdsdsdsdsdsds ttt =−+=−
11
111 21 E)
E(EE ≅+=
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• Veamos cómo, efectivamente, en la situación de pequeñas deformaciones y desplazamientos (tensor de Cauchy) se cumple efectivamente que la componente εx de la diagonal principal del tensor deformación no es más que el incremento de longitud por unidad de longitud de un segmento diferencial con origen el punto en el que se evalúa la deformación y dirigido según el eje x (de forma análoga pueden interpretarse las componentes εy y εz).
dx
dyX
Y
X
Y
u
v
dyyv
v∂∂
+
dxxu
u∂∂
+
x
xx
uudx
x
uu
dxds
dsds ε=∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∂∂
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − 1
0
0
y
yy
vvdy
y
vv
dyds
dsds ε=∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − 1
0
0
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9• Para pequeños desplazamientos, el coseno coincide con el ángulo
complementario, por lo que, por ejemplo, la deformación εxy define la mitad del cambio del ángulo que se produce entre dos segmentos diferenciales con origen el punto en el que se evalúa la deformación y dirigidos según los ejes x,y (de forma análoga pueden interpretarse las componentes εxz y εyz)
• La deformación γxy =2εxy se denomina deformación transversal ingenieril.
dx
dyX
Y
X
Y
u
v
dxxv
v∂∂
+
dyyu
u∂∂
+
y
uudy
y
uu
dytg
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+=≅1
22 θθ
x
vvdx
x
vv
dxtg
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∂∂
+=≅1
11 θθ
θ1
θ2
θ
xyxyy
u
x
v
)sen(cos
γε
θθθθθ
==∂∂
+∂∂
=
=+≅+=
2
2121
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• Asimismo, es importante observar que, de nuevo bajo las hipótesis de pequeñas deformaciones y desplazamientos, el cambio de volumen por unidad de volumen de un elemento diferencial dx dy dz, viene dado por
con θ la denominada deformación volumétrica que, al ser un campo escalar ha de ser invariante ante cambios de coordenadas.
• Asimismo, es importante observar que las componentes de la diagonal principal del tensor de deformaciones implican cambios de volumen, mientras que las componentes de fuera de la diagonal principal implican cambios de forma.
iizyxzyx
dzdydx
dzdydxdz)(dy)(dx)(
V
V εεεεεεεΔθ =++≅
−+++==
111
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Velocidad de deformación
• En general los movimientos son dependientes del tiempo, por lo que los diferentes tensores de deformación también varían en cada instante de tiempo, pudiendo definirse los tensores velocidad dedeformación.
• Para pequeños desplazamientos y deformaciones, derivando directamente del tensor de Cauchy se puede obtener el correspondiente tensor de velocidad de deformación en la forma:
con v la velocidad del movimiento (material o espacial ya que en pequeños desplazamientos ambas coinciden al identificarse las configuraciones indeformada y deformada).
( )t
uvvvd i
ii,jj,iij ∂∂
=+= 2
1
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Fuerzas sobre un sólido. Concepto de tensión
Ahora se pretende plantear la relación existente entre el movimiento de los sólidos y las fuerzas que lo producen.
Tipos de fuerzas que pueden actuar sobre un sólido:• a) Fuerzas puntuales• b) Distribuciones lineales de fuerzas• c) Distribuciones superficiales de fuerzas• d) Fuerzas puntuales• e) Distribuciones lineales de fuerzas• f) Distribuciones superficiales de fuerzas• g) Distribuciones volumétricas de fuerzas
Se suele trabajar con las fuerzas de tipo (c) y (g), considerándose las demás como particularización de éstas mediante los pasos al límite necesarios.
Contorno del sólido
Interior del sólido
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9Fuerzas por unidad de volumen o equivalentemente por unidad de masa (sin más que dividir por la densidad) actuando en el interior del sólido:
• X (x,y,z): Fuerzas volumétricas
• b (x,y,z) = X(x,y,z)/ρ : Fuerzas por unidad de masa
Fuerzas por unidad de superficie actuando en el contorno del sólido: t(x,y,z)
Cuando realizamos un corte interior al sólido, aparecen fuerzas por unidad de superficie sobre cada uno de los trozos, resultantes a nivel macroscópico, de las fuerzas intermoleculares que se oponen a las separaciones inducidas por las cargas exteriores.A
B
Efecto de A sobre B
Efecto de B sobre A
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A estas fuerzas por unidad de superficie que se establecen entredistintas partes del sólido o que se corresponden con fuerzas exteriores sobre el contorno se las denomina vector tensión en un punto t (x,y,z, n), con n el vector unitario de la normal al plano sobre el que actúa la tensión.
Es habitual plantear la descomposición normal-tangencial del vector tensión respecto del plano de actuación del mismo:
t
τ
σ
En el contorno la normal estáperfectamente definida, sin embargo en el interior existen infinitos planos que pasan por un punto, y por tanto infinitas normales. Cabría, por tanto, preguntarse: ¿Existe alguna relación entre los vectores tensión actuantes en el mismo punto sobre los infinitos planos que pasan por dicho punto?
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• Mediante un proceso de paso
al límite se puede obtener:
y, en forma indicial,
• El estado de tensiones en un punto queda pues caracterizado completamente por los valores de 3 vectores tensión en 3 planos cualesquiera de tal forma que, una vez elegidos estos planos “a priori”, el estado de tensión depende sólo del punto a través de estos 3 vectores tensión y de forma lineal de la normal al plano de actuación del vector tensión.
• Se suelen tomar como planos de referencia los planos coordenados.
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
z
y
x
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
nz
ny
nx
n
n
n
t
t
t
στττστττσ
Ecuación de Cauchyjji nt σ=ni
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Por tanto, el estado de tensiones en un punto queda caracterizado con 9 valores, que se corresponden con las 3 componentes de los 3 vectores tensión en los planos coordenados: Tensor de tensiones
σi: componente normal del vector tensión en el plano i
τji: componente tangencial en la dirección j del vector tensión en el plano i
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zyzxz
zyyxy
zxyxx
στττστττσ
σσy
τyx
τyz
τxy
σx
τxz
τzy
τzx
σz
x
y
z
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9Ecuaciones de equlibrio
Las ecuaciones de equilibrio en sólidos deformables son la representación local (a nivel diferencial) de los principios de variación de la cantidad de movimiento y variación del momento cinético.
Efectivamente, consideremos el equilibrio de un cubo diferencial en coordenadas cartesianas sometido a las acciones exteriores correspondientes al tensor de tensiones, a fuerzas exteriores por unidad de masa b y fuerzas de inercia debidas a su movimiento.
σy+
τxyσx
τxz
x
y
z
σy
τyx
τyz
σz
τzyτzx
σz+ ∂σz
∂z
τzx+ ∂τzx
∂z
∂σx
∂xσx+
∂σy
∂yτyx+ ∂τyx
∂y
τyz+ ∂τyz
∂y ∂τxz
∂xτxz+
τxy+ ∂τxy
∂x
τzy+ ∂τzy
∂z
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Aplicando el equilibrio de fuerzas en la dirección x se obtiene:
Simplificando:
Expresándolo en forma indicial se obtiene la ecuación de equilibrio dinámico buscada que, para el caso estático, se simplifica al hacerse el segundo término nulo.
+−∂
∂++−
∂∂
+ dxdz)dyy
(dydx)dxx
( yxyx
yxxx
x ττ
τσσ
σ
0=−+−∂
∂++ zxzx
zxzx adxdydzdxdydzbdxdy)dz
z( ρρτ
ττ
xxzxyxx abzyx
ρρττσ=+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
iij,ji ab ρρσ =+
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Aplicando ahora el equilibrio de momentos según la dirección x,
respecto del C.G. del cubo se obtiene:
Simplificando los términos de orden superior al pasar al límite:
Expresándolo en forma indicial se obtiene la condición de simetría del tensor de tensiones ya conocida y ahora demostrada.
++∂
∂+++
∂
∂+−
2)(
2)(
dzdxdydz
z
dydxdzdy
x yzyz
yzzyzy
zy ττ
τττ
τ
[ ] [ ] 0)()( =++ xaxxb ddxdydzddxdydz sasb ρρ
zyyz ττ =
jiij σσ =
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Leyes de comportamiento. Tipos de materiales
• Hasta ahora se han estudiado las ecuaciones cinemáticas y dinámicas de forma independiente. A continuación se van a plantear las expresiones que relacionan ambos tipos de ecuaciones.
• Las ecuaciones de comportamiento relacionan las variables cinemáticas y dinámicas. Dependen del material del que estáconstituido el dominio. La evidencia experimental demuestra que dos piezas iguales de distintos materiales ante la misma carga se comportan de diferente manera.
Leyes constitutivas o de comportamiento, dependientes del material
Variables cinemáticasε
Variables dinámicasσ
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• Las ecuaciones de comportamiento se pueden expresar de forma general:
donde el tensor de tensiones se expresa en función del movimiento, de la temperatura y del tiempo, siendo ésta una expresión suficientemente general para tener en cuenta la dependencia con la historia de carga, velocidad de deformación, tiempo, etc.
• En la nomenclatura habitual se distinguen diferentes tipologías de materiales:
• Material viscoelastoplástico: material absolutamente general cuyas propiedades dependen de la historia de carga y del tiempo.
• Material viscoelástico: material sin memoria (independencia de la historia de carga).
• Material elastoplástico: material que no tiene dependencia del tiempo.
• Material elástico: material independiente del tiempo ni de la historia de carga.
• Material elástico lineal: cuando además las ecuaciones de comportamiento son lineales.
[ ] [ ] ))(t,,(ˆ)t,( tt XX Θφσσ =
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Otras nomenclaturas habituales de materiales:
• Materiales hiperelásticos: Si existe una función escalar del tensor de deformación de Cauchy medido desde un estado de tensión nula, denominada función densidad de energía de deformación V(energía de deformación por unidad de volumen) tal que es posible obtener el tensor de tensiones como las derivadas de esta función densidad de deformación con respecto a las componentes respectivas del tensor de deformación.
• Materiales hipoelásticos: aquel en el que existe una relación lineal entre la variación temporal del tensor tensión y la del tensor de deformación.
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La relación de comportamiento más simple para materiales elásticos corresponde a considerar una relación de comportamiento lineal entre las tensiones y las deformaciones y la temperatura, con los tensores de comportamiento independientes de la deformación y por supuesto del tiempo.
Es inmediato entonces que, para este tipo de material, la función densidad de energía de deformación (función de las deformaciones y la temperatura tal que su derivada respecto de cada una de las deformaciones coincide con la tensión correspondiente) siempre existe, y viene dada por la siguiente relación:
)()()( 000 Θ−Θ−−+= ijklkl
ijklijij C γεεσσ Relación de Duhamel-Neumann
Tensor de comportamiento
Tensor de dilatación
)()())((21
))((21
V 0000000ijij
ijijij
ijklklijij
ijklCV εεσεεγεεεε −+−Θ−Θ−−−=−
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La situación habitual consiste en procesos isotermos para los que se toma como situación de referencia una deformaciones y tensiones nulas y, con lo que las ecuaciones anteriores se simplifican como
Para un caso completamente general de un material elástico lineal, el tensor de comportamiento Cijkl tiene 81 componentes que, en general, serán funciones del punto del sólido en el que se evalúe.
En general, se cumple:
• Simetría del tensor de tensiones σij=σji => Cijkl=Cjikl
• Simetría del tensor de deformaciones εkl= εlk => Cijkl=Cijlk
• Si la función densidad de energía de deformación V es una
diferencial exacta (independiente del camino) lo que ocurre en
materiales no disipativos como los elásticos, se tiene también que
klijklij C εσ = ijkl
ijklij
ij CVV εεεσ2
1
2
10 ==−
klijijkl
ijklklij
CCVV
=⇒∂∂
∂=
∂∂∂
εεεε
22
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9Material homogéneo => las componentes son independientes de x, y,z
Bajo estas condiciones, el tensor de comportamiento es simétrico y queda reducido a 21 constantes (y 6 para el tensor de dilatación). En este caso se dice que se tiene un material elástico lineal homogéneo y anisótropo.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
εεεεεε
σσσσσσ
21201815116
20191714105
1817161394
1514131283
11109872
654321
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9
Materiales ortótropos:• Son aquellos materiales los que existen tres ejes ortogonales
denominados ejes principales de ortotropía, tales que rotaciones del sólido de 180° respecto de ellos dejan invariante el tensor de comportamiento.
• Ejemplos de materiales ortótropos son algunas maderas, materiales compuestos de matriz polimérica o metálica y fibras de vidrio, grafito, etc..
• Con todo ello, el número de constantes necesario para definir un material ortótropo lineal en los ejes principales de ortotropía es de 9 (3 ctes. para el tensor de dilatación). En coordenadas (x, y, z) coincidentes con los ejes principales de ortotropía, se puede escribir entonces
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
c
c
c
ccc
ccc
ccc
εεεεεε
σσσσσσ
9
8
7
653
542
321
00000
00000
00000
000
000
000
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9• Como se observa, en los ejes principales de ortotropía, las
tensiones tangenciales no dependen de las deformaciones
normales y las tensiones normales no dependen de las
deformaciones tangenciales. Ello implica que las direcciones
principales de tensión y deformación coinciden si y sólo si estas
direcciones coinciden con los ejes principales de ortotropía.
• Es muy habitual utilizar la relación inversa de la relación de
comportamiento, que relaciona deformaciones y tensiones
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
zy
xy
x
xz
z
yz
yx
yz
z
xz
y
xy
x
yz
xz
xy
z
y
x
G
G
G
EE
v
Ev
E
v
EE
vEv
E
v
E
σσσσσσ
εεεεεε
21
00000
02
10000
002
1000
0001
0001
0001
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9
Materiales transversalmente isótropos:
• Son aquellos materiales en el que existe un plano en el cual todas
las direcciones tienen un comportamiento idéntico.
• En este caso se necesitan 5 constantes para definir el
comportamiento del material.
• La expresión de la relación de comportamiento, suponiendo como
plano de idéntico comportamiento el plano XY es:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
c
c
cc
ccc
ccc
ccc
εεεεεε
σσσσσσ
5
5
21
433
312
321
00000
00000
00000
000
000
000
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9Materiales isótropos:
• Son aquellos materiales que tiene el mismo comportamiento en
todas las direcciones.
• En este caso se necesitan 2 constantes para definir su
comportamiento, quedando la relación de comportamiento como:
• También se puede utilizar la expresión inversa:
ijijij Gελθδσ 2+=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
+
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
G
G
G
G
G
G
εεεεεε
λλλλλλλλλ
σσσσσσ
200000
020000
002000
0002
0002
0002
ó
λ y G son los denominados parámetros de Lamé(dependientes del material)
Relación de Lamé
a G se le denomina módulo de rigidez transversal
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−= kkijij G
σλ
λδσε23
2G1
ij
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9
En vez de la relación de Lamé se puede emplear la expresión
inversa que también puede escribirse como:
El comportamiento del material queda caracterizado por 2
componentes, por lo que los parámetros elásticos y los parámetros
de Lamé están directamente relacionados, teniéndose:
Ley de Hookekkijij σδνσνε E
- E
1 ij
+=
E y ν son los parámetros elásticos
E es el denominado módulo de elasticidad o módulo de Youngν es el coeficiente de Poisson
)1(2)21)(1( ννννλ
+=
−+=
EG
E
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9
Es posible relacionar la tensión octaédrica y la deformación
volumétrica:
Esto se cumple en un material isótropo, donde la deformación
volumétrica sólo depende de la tension octaédrica y no de la
componente desviadora de las tensiones.
Asimismo, es posible obtener la relación entre los tensores desviadores respectivos, a través del módulo de rigidez transversal G
)(
EGKKK octoct
νλεθσ
2133
233
−=
+===
dd Gεσ 2=
con K el módulo volumétrico
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Ensayo de tracción:
De alguna forma, es necesario determinar experimentalmente las propiedades mecánicas de los materiales. Un ensayo muy habitual es el ensayo uniaxial o ensayo de tracción.
El ensayo de tracción consiste en someter una barra recta de sección constante a un estado de cargas en una dirección, es decir, a un esfuerzo de tracción que se aumenta gradualmente hasta la rotura.
0Snominaltensión
F==σ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
000
000
00σσ
F
F
S0
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Representación gráfica s-e (Ejemplo: ensayo de tracción en un acero)
Diferentes límites:σp: límite de proporcionalidadσe : límite de elasticidadσF: límite de fluenciaσr: tensión de rotura
Diferentes zonas:OA: comportamiento elástico linealAB: comportamiento elástico no-linealBCD: Escalón de cedencia del materialDF: endurecimiento por deformaciónFG: zona de estricción
A
B
C
D
F
G
σr
σp
σF=σe=σ0.002
E: módulo de elasticidad
ε
σ
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Proceso de carga-descarga
σx = E εx
εT = εe + εp
deformación total = deformación elástica (recuperable) + deformación plástica
(irrecuperable)
E
ε
σ
E
εp
εe
σx
Cuando se realiza un ensayo uniaxial, se produce una deformación transversal proporcional a la deformación uniaxial que viene determinada por el coeficiente de Poisson:
xxzy Eσννεεε −=== -
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Nuevo proceso de carga una vez plastificado el material
ε
σ
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Formulación general
Las ecuaciones básicas del problema que consideraremos son las siguientes:
Ecuaciones cinemáticas:
• Relación deformación-desplazamiento:
• Ecuaciones de compatibilidad:
Ecuaciones de equilibrio:
• Ecs. de equilibrio Interno:
• Ecs. de equilibrio en el contorno:
Ecuaciones de comportamiento para un material elástico lineal homogéneo e isótropo:
( )ijjiij uu ,,21
+=ε
jiij σσ =0 ρbσ iji,j =+
jjini n σ t =
ijijij Gελθδσ 2+=kkijij σδνσνε
E -
E1 ij
+=
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9Condiciones de contorno
El problema elástico lineal resultante del planteamiento de Navier es “un problema de valores en el contorno”, formulado mediante una ecuación diferencial (Ec. de Navier) en un dominio Ω (sólido) y con unas determinadas condiciones que se imponen a las variables delproblema en la frontera Γ del dominio.
La ecuación diferencial es de orden 2, por lo tanto las condiciones de contorno se impondrán tanto sobre las variables fundamentales del problema (desplazamientos u), como sobre sus derivadas (deformaciones o tensiones, siendo más habitual plantearlas en función de estas últimas).
Las condiciones de contorno se suelen escribir entonces como:
con las partes del contorno donde se conocen los valores de la componente i de los desplazamientos y tensiones respectivamente.
it
ii
it
iu
iu
ii
tt
uu
Γ∈∀=
Γ+Γ≡ΓΓ∈∀=
x
xxx
)()0,(
)()0,(
0
0
xx
it
iu,ΓΓ
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9
Tipos de condiciones de contorno:
• Condiciones de contorno en desplazamientos
• Condiciones de contorno en tensiones
tn1= - p ; tn2= 0; tn3= 0
• Condiciones de contorno mixtaslíquido, p=presión
12
3
12
tn1= 0; u2=0
1
2
tn2= 0; u1=0
Mordaza fija, u1=u2=u3=0
u1=u2; u3=δ
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9
Condiciones de contorno derivadas de la simetría:
• Si la geometría y las cargas presentan simetría respecto a un plano, la configuración deformada deberá mantenerla, por lo que los desplazamientos perpendiculares al plano de simetría han de ser nulos.
• Condiciones de contorno especiales: muelles que relacionan tensiones con desplazamientos, condiciones de contorno no lineales, etc.
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Planteamiento débil del problema lineal
Inicialmente supondremos que todas las funciones que aparecen cumplen los requisitos de continuidad, derivabilidad e integrabilidadque los operadores exigen, y al mismo tiempo, tambi´ñen inicialmente, la integración se interpretará en el sentido tradicional de Riemmannpara funciones continuas. La generalización a otras situacines se comentará posteriormente.
La ecuación de equilibrio en Teoría de la Elasticidad Lineal se escribe como:
Si realizamos el producto escalar de cada uno de los vectores miembros de la ecuación de equilibrio por una función vectorial cualquiera η de dimensión 3 e integramos los escalares resultantes sobre Ω, tendremos
Ω=+ enab iiijj ρρσ
∫ ∫ ∫Ω Ω Ω
=+ dVadVbdV ii
ii
iijj ηρηρησ
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9Teniendo en cuenta que:
Aplicando el Teorema de la Divergencia a la primera de las integrales:
y teniendo en cuenta que t=σn, queda:
Si ahora restringimos las funciones η a aquellas funciones que cumplen las condiciones esenciales homogéneas, es decir, que cumplen
con H1(Ω) el denominado espacio de Sobolev de orden 1 (funciones con derivada primera de cuadrado integrable)
∫ ∫ ∫Ω Ω Ω
−= dVdVdV jiij
jiij
iijj
ησησησ )(
∫ ∫ ∫Ω Ω Ω
==δ δ
ηησησ dAtdAndV ii
jiij
jiij )(
∫ ∫∫Ω ΩΩ
+=δ
ηηρησ dAtdVbdV ii
ii
jiij
)0:)(( 1 iui enHV Ω=Ω∈=∈ δηηη
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9
entonces, la integral sobre el contorno se extenderá para cada componente k tan sólo a δΩk
t (zona del contorno donde se conoce la componente k del vector tensión t), ya que en δΩk
u , η será nula y (δΩk
u U δΩkt = δΩ ), teniéndose finalmente
Sabiendo además que se cumple:
donde se ha denominado
∫∫ ∫ ∑ ∫ΩΩ Ω = Ω
−+= dVadAtdVbdV ii
ki
ii
iji
ij
kt
ηρηηρησδ
3
1
∫ ∫∫Ω ΩΩ
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −++= dVdVdV ij
ijijjiijji
ijji
ij ηεσηηηησησ )(2
1)(
2
1
( )ijjiij ηηεη +=2
1
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9
Finalmente se tiene
Es de destacar que las condiciones de contorno en tensiones sobre dWk
t aparecen en la formulación de forma natural (de aquí que se las denomine condiciones de contorno naturales), mientras que las condiciones de contorno en desplazamientos sobre dΩk
u no se han incluido en la formulación débil, siendo necesario exigirlas de forma adicional, es decir, son condiciones que ha de cumplir u de forma esencial además de la formulación débil anterior.
En definitiva, se denomina, solución débil del problema elástico lineala la función de desplazamientos
que cumple la formulación débil (*) para toda
∫∫ ∫ ∫ΩΩ Ω Ω
−+= dvadatdvbdv ii
ii
ii
ijij
it
ηρηηρεσδ
η (*)
)),(( 1 iu
ii enuuHS Ω=Ω∈=∈ δuu)0:)(( 1 i
ui enHV Ω=Ω∈=∈ δηηη
COMPUTATIONAL MECHANOBIOLOGY OF HARD TISSUE . APPLICATIONS TO IMPLANT DESIGN AND TISSUE ENGINEERING
Lecture 0. Introduction and Content
Manuel DoblaréAragón Institute of Engineering Research (I3A) University of Zaragoza (Spain)[email protected]