circuitos digitales
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Circuitos DigitalesTRANSCRIPT
TEMA-20
TEMA V-2. CIRCUITOS DIGITALES
0
1
2
3
10
6
10
8
10
5
10
7
N
+
+
+
=
1. SISTEMAS DE NUMERACIN.
El sistema de numeracin que utilizamos es el sistema decimal, que utiliza 10 smbolos dgitos para su representacin, que son, 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9 .
Definiremos como base de un sistema de numeracin el nmero de dgitos distintos utilizados en l. As, en el sistema decimal la base ser 10.
Ejemplo 1. Representa el nmero 7586 en base 10 en su forma polinmica.
Solucin:
Al sumar todos los trminos, se obtiene el nmero decimal 7586.
Ejemplo 2. Representa el nmero 9783,25 en base 10 en su forma polinmica.
Solucin:
-2
-1
0
1
2
3
10
5
10
2
10
3
10
8
10
7
10
9
N
+
+
+
+
+
=
Sumando todos su trminos se obtiene el nmero decimal 9783,25.
1.1. Sistema binario o de base 2
Es el sistema utilizado en los circuitos digitales y consta solamente de dos smbolos, el 0 y el 1, a cada uno de los cuales se les denomina bit. Se define bit como la unidad mnima de informacin usada en el sistema binario y que podr tomar los estados lgicos 0 1.
El nmero 1011011 en base 2 se puede representar en forma polinmica como:
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
1011'011
+
+
+
+
+
+
=
. Sumando todos los trminos podremos ver de qu nmero decimal se trata: N(10) = 11375
Ejemplo 3. Expresa el nmero decimal 37 en su equivalente binario.
Solucin:
Nmero entero Cociente Resto
A
B
A
37 : 2 =181
B
A
B
A
A
+
=
+
(
)
(
)
B
A
B
A
A
A
B
A
A
+
=
+
+
=
+
18 : 2=90
B
A
B
A
A
+
=
+
(
)
(
)
B
A
B
A
A
A
B
A
A
+
=
+
+
=
+
9 : 2 =41
B
A
C
B
A
4 : 2 =20
C
B
A
D
0 0
1 1
1 0
0 1
C
B
A
D
0 0
1 1
1 0
0 1
2 : 2=10
C
B
A
D
0 0
1 1
1 0
0 1
C
B
A
Nmero en binario 1 0 0 1 0 1
Ejemplo 4. Expresa el nmero decimal 39125 en su equivalente binario.
Solucin:
C
B
A
D
0 0
1 1
1 0
0 1
B
A
Parte entera:
39 2
19
9
4
19
1
1
1
0
1
0
2
2
2
2
2
Nmero equivalente en binario:
1 0 0 1 1 1
Figura 14.5
Parte fraccionaria:
0,125
250
0,
500
0,
00
1,
x 2
x 2
Figura 14.6
Primer dgito :
0
Segundo dgito :
0
Tercer dgito :
1
Por tanto, el nmero decimal 3942 (10) = 100111001(2)
Como ejercicio de comprobacin, se puede realizar la operacin contraria, es decir, calcular el equivalente en decimal del nmero anterior expresado en binario. Para ello expresaremos el nmero en su forma polinmica y sumamos todos sus trminos:
(10)
-3
0
1
2
5
(2)
39'125
2
2
2
2
2
100111'001
=
+
+
+
+
=
1.2. Sistema hexadecimal.
Es un sistema que tiene de base 16 y que, por tanto, consta de 16 smbolos. Se utiliza mucho en programacin de microprocesadores, ya que para el programador es ms fcil poder leer y calcular en hexadecimal que en binario.
Los 16 smbolos utilizados y su correspondencia con el sistema binario y decimal se expresan en la tabla:
C
B
A
D
0 0
1 1
1 0
0 1
Ejemplo 5: Convierte el nmero 74FA (H) en su equivalente binario.
Solucin:
Nmero en hexadecimal 7 4 F A
C
B
A
D
0 0
1 1
1 0
0 1
Nmero en binario 0111 0100 1111 1010
Comprobacin: se obtienen los nmeros a su equivalente decimal y se comprueba si coinciden
(10)
1
3
4
5
6
7
10
12
13
14
(2)
(10)
0
1
2
3
(H)
29946
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
111010
0111010011
29946
16
10
16
15
16
4
16
7
74FA
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
Si se quiere convertir un nmero binario a hexadecimal, la operacin se realiza de forma muy sencilla, agrupando los bits en grupos de 4 empezando por la derecha (dgito menos significativo) y convirtiendo cada grupo en su equivalente hexadecimal.
Ejemplo 6: convierte el nmero 100110110100101(2) en hexadecimal.
Solucin:
Nmero en binario 100 1101 1010 0101
Nmero en hexadecimal 4 D A 5
Comprobacin: se obtienen los dos nmeros en decimal y se comprueba si coinciden
(10)
0
1
2
3
(H)
(10)
0
2
5
7
8
10
11
14
(2)
19877
16
5
16
10
16
13
16
4
4DA5
19877
2
2
2
2
2
2
2
2
00101
1001101101
=
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
=
Si se quiere convertir un nmero decimal a hexadecimal, se puede realizar de dos formas diferentes:
1.- Convertir el nmero a binario, y de ah la conversin en hexadecimal es inmediata.
2.- Realizar sucesivas divisiones por 16 e ir tomando los restos como los dgitos en hexadecimal.
Ejemplo 7: convierte el nmero 1345(10) en su equivalente hexadecimal.
Parte enteraCocienteResto
349 : 16 21 13
21 : 1615
Nmero en hexadecimal 1 5 D
1.3. Cdigos binarios.
Se define como cdigo todo sistema de signos y reglas que hacen que las cantidades adopten otra forma diferente, de tal forma que a cada una de stas se asigna una combinacin de smbolos determinados y viceversa.
Estudiaremos el BCD natural, donde cada dgito se codifica en el cdigo binario natural de 4 bits.
Ejemplo 8. Representa el nmero 4532(10 en BCD natural.
Solucin:
Nmero decimal 4 5 , 3 2
BCD natural 0100 0101 0011 0010
2. ALGEBRA DE BOOLE.
El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que se pueden formar con las unidades lgicas binarias 0 y 1 que se van a utilizar para el anlisis y diseo de circuitos electrnicos de conmutacin. Se trata, por tanto, de una herramienta matemtica que permite expresar, mediante una relacin simple, el estado de la salida o salidas de un sistema, en funcin de los valores que tomen las variables de entrada.
Utilizaremos el siguiente convenio:
Presencia de tensin = 1
Ausencia de tensin = 0
2.1. Operaciones bsicas.
Las operaciones bsicas que se van a realizar con el Algebra de Boole son la suma lgica, el producto lgico y la conmutacin.
Suma lgica.
Llamada tambin operacin O en castellano y OR en ingls, realiza la suma de dos o ms bits segn el siguiente criterio: el resultado va a ser 1 siempre que alguno de los bits valga uno y solamente en el caso en que todos los bits valgan cero, el resultado ser 0. Se representa con el signo +.
Producto lgico.
Llamado tambin operacin Y en castellano y AND en ingls, realiza el producto de dos o ms bits segn el siguiente criterio: el resultado va a ser 0 siempre que alguno de los bits valga cero y solamente en el caso en que todos los bits valgan uno, el resultado ser 1.
Complementacin o negacin.
Tambin llamada operacin NO en castellano y NOT en ingls. Se llama complemento o negado de una variable de Boole, a otra que toma los valores contrarios, es decir, si la variable vale 1, la operacin complemento vale 0 y viceversa.
Se representa por el smbolo
que se coloca encima de la variable o nmero. Ejemplos:
C
B
A
,
Suma exclusiva (OR-exclusiva).
Tambin se llama funcin XOR y su valor es 1 cuando en una funcin de dos variables, stas toman valores distintos y vale 0 cuando las dos variables toman el mismo valor. Se representa por el smbolo
.
2.2. Propiedades
1. Propiedad conmutativa:
A
B
B
A.
A
B
B
A
=
+
=
+
2. Propiedad distributiva:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
C
A
B
A
C
B
A
C
A
B
A
C
B
A
+
+
=
+
+
=
+
3. Para cada variable A, se puede definir una variable
A
, tal que:
0
A
A
1
A
A
=
=
+
4. Existen dos elementos neutros para cada operacin:
A
1
A
A
0
A
=
=
+
5. Una variable complementada dos veces, no vara:
A
A
=
2.3.- Teoremas.
a) Teorema de absorcin
(
)
A
B
A
A
A
B
A
A
=
+
=
+
Demostracin:
(
)
(
)
(
)
A
B
1
A
B
A
A
B
A
A
A
B
A
A
A
B
1
A
B
A
A
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
b) Leyes de De Morgan.
...
C
B
A
...
C
B
A
...
C
B
A
.
...
C
B
A
+
+
+
=
=
+
+
+
El complemento de la suma lgica equivale al producto de los complementos.
El complemento del producto lgico equivale a la suma de los complementos.
c) Otras leyes.
2.4. Funciones lgicas.
Una funcin lgica es aquella definida por una expresin en la que se relacionan entre s las variables binarias (directas o complementadas) mediante las operaciones de suma y producto lgicos.
Se puede tambin considerar como una forma de expresar el funcionamiento de un sistema digital en el que las variables de entrada son A, B, C, ... y la funcin F(A, B, C, ...) es la funcin binaria de salida.
Se pueden representar de varias formas:
a) Mediante la expresin lgica.
Ejemplo: sea la funcin lgica
(
)
A
C
A
B
C
A
B,
C,
F
+
+
=
, se interpretar como que esta funcin contiene las variables de entrada C, B y A, y que tomar el valor de 0 1 en funcin de la expresin booleana que la representa, es decir, si por ejemplo, C=1 , B=0 y A=1 , la funcin valdr
(
)
1
1
0
0
0
1
A
B,
C,
F
=
+
+
=
b) Mediante la tabla de verdad.
Si en una tabla se representa el valor que toma una funcin lgica F para cada combinacin que pueden formar las variables de que consta, se obtiene otra forma de representacin llamada Tabla de Verdad.
Ejemplo 9. Representa la tabla de verdad de la funcin F (C, B, A) = C + B A
Solucin:
C) Mediante los trminos cannicos.
Cualquier trmino de la funcin en que aparezcan todas las variables de que depende la funcin se llama trmino cannico.
A los trminos en los que aparece la operacin producto lgico, se les llama MINTERM.
A los trminos en los que aparece la operacin suma lgica, se les llama MAXTERM.
Toda funcin lgica, a partir de su tabla de verdad, se puede representar de dos formas diferentes:
Como la suma de sus MINTERMS, procediendo de la siguiente forma:
Se eligen los trminos cuyas combinaciones en la tabla de verdad tengan asignado el valor 1.
Cada uno de estos trminos ser el producto de todas las variables de las que depende la funcin, tomando la variable de forma directa si sta vale 1 y de forma complementada si vale 0.
La funcin vendr representada mediante un polinomio que resulta de la suma de todos los productos (minterms).
Como el producto de sus MAXTERMS , procediendo de la siguiente forma:
Se eligen los trminos cuyas combinaciones en la tabla de verdad tengan asignado el valor 0.
Cada uno de estos trminos ser la suma de todas las variables de las que depende la funcin, tomando la variable de forma directa si sta vale 0 y de forma complementada si vale 1.
La funcin vendr representada mediante un polinomio que resulta del producto de todas las sumas (maxterms).
Ejemplo 10. Obtn la funcin lgica que cumpla la siguiente tabla de verdad, mediante los dos procedimientos.
Solucin:
Mediante sus minterms.
En primer lugar hay que fijarse en los trminos en los que la funcin vale 1; stos trminos son el 2, 4 y 7. La funcin ser el resultado de sumar los minterms de estos trminos, tomando la variable directa cuando valga 1 y la negada cuando valga 0, es decir:
(
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B,
C,
F
+
+
=
Tambin se puede expresar la funcin como:
(
)
(
)
=
2,4,7
A
B,
C,
F
, que expresa que la funcin equivale al sumatorio de los minterms que ocupan la posicin 2, 4 y 7 de la tabla de verdad.
Mediante sus maxterms.
Hay que fijarse en los trminos en los que la funcin vale 0, stos trminos son el 0, 1, 3, 5, 6. La funcin ser el resultado de sumar los maxterms de estos trminos, tomando la variable directa cuando sta vale 0 y la negada cuando vale 1, es decir:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B,
C,
F
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Tambin se puede expresar la funcin como:
(
)
(
)
=
0,1,3,5,6
A
B,
C,
F
, que quiere decir que la funcin equivale al producto de los maxterms que ocupan las posiciones 0,1,3,5 y 6 de la tabla de verdad.
2.5. Simplificacin de funciones lgicas.
Se entiende por simplificacin, el procedimiento que busca que una funcin quede reducida al menor nmero de trminos posibles y que cada trmino tenga el menor nmero de variables. Existen dos procedimientos bsicos a la hora de simplificar las ecuaciones booleanas:
Mtodo algebraico: consiste en ir aplicando las propiedades del lgebra de Boole hasta conseguir obtener la mnima expresin algebraica posible.
Ejemplo 11: simplifica las siguientes funciones lgicas:
(
)
(
)
(
)
B
C
A
1
B
C
A
B
C
B
C
A
B
C
A
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B,
C,
F
=
+
=
+
=
+
+
=
+
+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
A
1
C
A
A
A
C
B
B
A
B
B
A
C
A
B
A
B
A
B
C
A
B
C
A
B,
C,
F
=
+
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
Mtodo de KARNAUGH.
Es un mtodo grfico que se basa en la realizacin de una tabla en la cual los trminos que sean adyacentes se representarn en celdillas contiguas. Se dice que dos trminos son adyacentes cuando sus respectivas configuraciones binarias difieren entre s en un nico bit. Cada una de las casillas de la tabla, representa las distintas combinaciones que pueden formarse. Los mapas de Karnaugh sern diferentes en funcin de las variables que tenga la funcin. A continuacin se presentan los ms utilizados:
1. Mapa de Karnaugh para funciones de dos variables. En la tabla se pueden observar los valores que toma la funcin dependiendo de las combinaciones que presentan sus variables y en la figura aparece la ubicacin que debe tener cada una de las combinaciones para que sean adyacentes.
2. Mapa de Karnaugh para funciones de tres variables. En la tabla aparecen los valores que toma la funcin dependiendo de las combinaciones que presentan sus variables y en la figura se observa la ubicacin que debe tener cada una de las combinaciones para que sean adyacentes.
3. Mapa de Karnaugh para funciones de cuatro variables. En la tabla siguiente. se pueden observar los valores que toma la funcin dependiendo de las combinaciones que presentan sus variables y en la figura aparece la ubicacin que debe tener cada una de las combinaciones para que sean adyacentes.
Ejemplo 12. Simplifica la funcin
(
)
(
)
=
15
8,9,11,14,
1,2,3,6,7,
F
A
B,
C,
D,
.
Solucin:
1) Se dibuja el mapa de Karnaugh adecuado segn el nmero de variables que tenga la funcin y a continuacin se pone el valor que toma la funcin para cada una de las casillas.
2) Se agrupan mediante una curva cerrada las celdas contiguas que tengan un 1 con el siguiente orden:
a) Grupos de ocho "unos" que no puedan realizar grupos de diecisis.
b) Grupos de cuatro "unos" que no puedan formar grupos de ocho.
c) Grupos de dos "unos" que no puedan formar grupos de cuatro.
d) Los "unos" que queden libres.
c) La funcin lgica simplificada resultante ser un polinomio compuesto por la suma de varios trminos. Cada una de las agrupaciones obtenidas da lugar a uno de esos trminos mediante el siguiente criterio: en cada grupo se elimina la variable o variables que aparecen con dos valores (0 y 1). Aquellas variables que no cambian su valor, se representarn como un trmino de productos lgicos, tomando la variable negada si su valor es 0 y no negada si es 1.
En este caso, la funcin simplificada ser:
(
)
B
C
D
B
D
B
C
A
C
F
A
B,
C,
D,
+
+
+
=
Dentro de una funcin lgica pueden existir combinaciones en las que el valor que toma dicha funcin puede ser indistintamente 0 1. Esto puede deberse, bien a que dichas combinaciones no vayan a darse nunca en la prctica, o porque sea indiferente para el diseo, el valor que tome la funcin para dichas combinaciones. A estas funciones se las llama funciones incompletas y para su simplificacin, se le asigna el valor X en la tabla de verdad a las combinaciones bivalentes. Para formar las agrupaciones, se cogen todas las X que se necesiten, como si fuesen "unos" de la funcin, teniendo en cuenta que en cada grupo deber haber como mnimo un "uno".
3.- PUERTAS LGICAS.
Las puertas lgicas son circuitos electrnicos que realizan las funciones bsicas de conmutacin del lgebra de Boole.
En la figura se muestran las puertas lgicas ms utilizadas.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
>1
>1
1
=1
=1
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Nombre
Operacin que realiza
SMBOLO
Norma IEEE Std 91-1973
SMBOLO
Norma IEEE Std 91-1984
Tabla de verdad
5.- IMPLEMENTACIN DE FUNCIONES CON PUERTAS LGICAS.
Se denomina implementar una funcin al proceso de disear un circuito digital con puertas lgicas. Los pasos a seguir son:
1) Planteamiento del problema a resolver, indicando las variables de entrada de que consta y el valor de la salida en funcin de los diferentes valores que stas pueden tomar.
2) Confeccin de la tabla de verdad en la que deber venir expresado el valor que tiene la salida del sistema para cada una de las combinaciones. En el caso en el que una combinacin no est definida, se le asignar el valor "X".
3) Simplificar la funcin mediante el mtodo mas adecuado.
4) Construir el circuito con CI que contengan las puertas lgicas que se necesiten.
6.- SIMBOLOGA PARA LA REPRESENTACIN DE PUERTAS INTEGRADAS.
La tecnologa ha avanzado hasta conseguir introducir en una sola pastilla ms de un componente, dando lugar a los circuitos integrados (C.I.). En la figura se muestran algunos de los CIs comerciales ms conocidos de puertas lgicas de dos entradas de la familia TTL.
NDICE
Sistemas de Numeracin.
lgebra de Boole.
Puertas lgicas.
Implementacin de funciones lgicas.
Simbologa para la representacin de puertas integradas.
Nmero en decimal
Nmero en binario
Nmero en hexadecimal
0
0000
0
1
0001
1
2
0010
2
3
0011
3
4
0100
4
5
0101
5
6
0110
6
7
0111
7
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F
Bit A
Bit B
Suma lgica A + B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Bit A
Bit B
Producto lgico A B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A
Complemento EMBED Equation.3
0
1
1
0
Bit A
Bit B
XOR EMBED Equation.3
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
LEY
DEMOSTRACIN
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
N decimal
C
B
A
F = C + B A
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
2
0
1
0
0
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
1
6
1
1
0
1
7
1
1
1
1
N decimal
C
B
A
F (C, B, A)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
2
0
1
0
1
3
0
1
1
0
4
1
0
0
1
5
1
0
1
0
6
1
1
0
0
7
1
1
1
1
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
B
A
F(B,A)
0
0
m0
0
1
m1
1
0
m2
1
1
m3
C
B
A
F(C, B,A)
0
0
0
m0
0
0
1
m1
0
1
0
m2
0
1
1
m3
1
0
0
m4
1
0
1
m5
1
1
0
m6
1
1
1
m7
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
D
C
B
A
F (D,C,B,A)
0
0
0
0
m0
0
0
0
1
m1
0
0
1
0
m2
0
0
1
1
m3
0
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IES Alonso de Avellaneda. Departamento de Tecnologa. Tema V-2. Pgina 1