Discussion Questions : Chapter 7 1 Of 17รวบรวมคำ��ถ�มและคำ��ตอบจ�กทุ�กกล��ม Msit4 : QA บทุทุ�� 7

7-1 Discuss the similarities and differences between minimization and maximization problems using the graphical solution approaches of LP

ก า ร แ ก� ปั� ญ ห า minimization แ ล ะ maximization ด้� ว ย ว� ธี� Linear

programming โด้ยใช้�กราฟนั้��นั้ ว�ธี�การส่�วนั้ใหญ�จะเหมื�อนั้ก�นั้ คื�อ นั้"าส่มืการและอส่มืการที่�$เปั%นั้ข้�อจ"าก�ด้ที่"าให�อย'�ในั้ร'ปัข้องส่มืการแล�วนั้"ามืาเข้�ยนั้เปั%นั้กราฟ เพื่�$อก"าหนั้ด้ข้อบเข้ตคืวามืเปั%นั้ไปัได้�ข้องผลล�พื่ธี. (feasible region) จากนั้��นั้นั้"าส่มืการว�ตถุ0ปัระส่งคื.มืาหาคื�าคืวามืช้�นั้ข้องเส่�นั้แล�วนั้"ามืาวาด้เส่�นั้ตรงตามืคืวามืช้�นั้ที่�$ได้�ในั้กราฟ เพื่�$อเล�$อนั้ไปัส่�มืผ�ส่ก�บเส่�นั้คืวามืเปั%นั้ไปัได้�ข้องผลล�พื่ธี.เพื่�$อหาจ0ด้ที่�$เหมืาะส่มืที่�$ส่0ด้ ข้�อแตกต�างก1คื�อ การแก�ไข้ปั�ญหา minimization นั้��นั้ feasible region จะอย'�ที่างด้�านั้ซ้�ายข้องเส่�นั้ที่�$ส่ร�างจากส่มืการข้�อจ"าก�ด้ และในั้การหาคื"าตอบที่�$เหมืาะส่มืจะเล�$อนั้เส่�นั้ส่ร�างจากคืวามืช้�นั้ข้องส่มืการว�ตถุ0ปัระส่งคื.ไปัที่างข้วาเพื่�$ อเล�อกคื"าตอบที่�$นั้�อยที่�$ส่0ด้ในั้ข้อบเข้ตคืวามืเปั%นั้ไปัได้� ส่�วนั้ maximization นั้��นั้ feasible region อย'�ที่างด้�านั้ข้วาข้องเส่�นั้ที่�$ส่ร�างจากส่มืการข้�อจ"าก�ด้ และในั้การหาคื"าตอบที่�$เหมืาะส่มืจะเล�$ อนั้เส่�นั้ที่�$ส่ร�างจากคืวามืช้�นั้ข้อง ส่มืการว�ตถุ0ปัระส่งคื.ไปัที่างข้วาเพื่�$อเล�อกคื"าตอบที่�$มืากที่�$ส่0ด้ในั้ข้อบเข้ตคืวามืเปั%นั้ไปัได้�

7-2 It is important to understand the assumptions underlying the use of any quantitative analysis model. What are the assumptions and requirements for an LP model to be formulated and used ?

การที่�$จะเล�อกว�ธี�แก�ไข้ปั�ญหาให� Optimal Solution นั้��นั้คื�อนั้ข้�องจะย0�งยาก เนั้�$องจากในั้โลกข้องคืวามืเปั%นั้จร�งนั้��นั้ เง�$อนั้ไข้ หร�อข้�อจ"าก�ด้ต�าง ๆ (Constraint and Condition) มื�การเปัล�$ยนั้แปัลงอย'�ตลอด้เวลา (Dynamic) ด้�งนั้��นั้การนั้"าเอา Linear Programming (LP) มืาใช้�นั้��นั้ย�อมืต�องมื�การปัร�บเปัล�$ยนั้ไปัตามืเง�$อนั้ไข้ หร�อข้�อจ"าก�ด้ที่�$เปัล�$ยนั้ไปั จ4งเก�ด้คื"าถุามืว�าที่"าอย�างไรเราจะ handle ส่�$งเหล�านั้�� และหา Solution ที่�$ด้�ที่�$ส่0ด้ได้� และนั้"าเอา LP ที่�$ส่ร�างข้4�นั้มืาไปัใช้�ปัระโยช้นั้.ได้�จร�ง ๆ

แนั้�นั้อนั้ที่�$ส่0ด้ การแก�ปั�ญหาอย�างหนั้4$งที่�$ส่ามืารถุที่"าได้�คื�อจะ treat แต�ละ LP Problem ที่�$ส่ร�างข้4�นั้มืา โด้ยจ"าลองเหต0การณ์.ต�าง ๆ ที่�$เปั%นั้เหต0เปั%นั้ผลก�นั้ เช้�นั้ การเปัล�$ยนั้แปัลงข้อง Profit ต�อหนั้�วยกมื�การเพื่�$มืข้4�นั้ หร�อลด้ลงจะที่"าให�เก�ด้ผลกระที่บอย�างไร ล'กคื�าจะซ้��อจ"านั้วนั้นั้�อยลงหร�อไมื� หร�อการเปัล�$ยนั้แปัลง Resource ต�างๆ เก�ด้ผลอย�างไร ซ้4$งการว�เคืราะห.หล�านั้��จะต�องอย'�บนั้พื่��นั้ฐานั้ข้ข้องคืวามืเปั%นั้จร�ง ด้�งนั้��นั้บางส่�วนั้ที่�$ไมื�ส่ามืารถุหาข้�อมื'ลด้�บได้� อาจจะต�องมื�การปัระเมื�นั้ส่ถุานั้การณ์.จากผ'�มืาด้�วยปัระส่บการณ์. หร�อผ'�เช้�$ยวช้าญ เพื่�$อที่�$จะ Assume หาข้�อมื'ลต�าง ๆ ที่�$ใกล�เคื�ยงคืวามืเปั%นั้จร�งมืากที่�$ส่0ด้ แล�วนั้"าข้�อมื'ลต�าง ๆ เหล�านั้��นั้มืาส่ร�างเปั%นั้ส่มืการที่างคืณ์�ตศาส่ตร. หร�อ Model ต�าง ๆ อย'�ในั้ร'ปัข้อง LP และนั้"ามืา analyze และหา Solution ที่�$ Optimal

ด้�งนั้��นั้การว�เคืราะห.ข้�อมื'ลจ4งจ"าเปั%นั้ต�องได้�ข้�อมื'ลที่�$มื�การ Assume อย�างถุ'กต�อง ถุ�อเปั%นั้คืวามืต�องการที่�$ส่"าคื�ญในั้การว�เคืราะห.อย�างมืาก

Basic assumption of LP1. เง�$อนั้ไข้ต�าง ๆ ไมื�มื�การเปัล�$ยนั้แปัลงระหว�างการคื"านั้วณ์2. คื�าส่�มืปัระส่�ที่ธี�8ข้องต�วแปัรจะมื�คื0ณ์ส่มืบ�ต�ข้องส่�ด้ส่�วนั้ เช้�นั้ ถุ�าผล�ตส่�นั้คื�า 1 หนั้�วย ใช้�แรงงานั้ 3 ช้�$วโมืง ด้�งนั้��นั้ในั้

การผล�ตส่�นั้คื�า 10 หนั้�วยจะใช้�เวลา 30 ช้�$วโมืง

Discussion Questions : Chapter 7 2 Of 17

3. ผลรวมืข้อง Activity ที่��งหมืด้จะเที่�าก�บผลบวกข้อง Activity ย�อย ๆ รวมืก�นั้4. ผลล�พื่ธี.ไมื�จ"าเปั%นั้ที่�$ต�องเปั%นั้จ"านั้วนั้เต1มื5. คื�าข้องต�วแปัร และผลล�พื่ธี.ต�องไมื�ต�ด้ลบ

7-3 It has been said that each LP problem that has a feasible region has an infinitive number of solution. Explain.ANSWER

จ"านั้วนั้ solution ในั้ส่มืการเช้�งเส่�นั้ที่�$มื� feasible region นั้��นั้ infinite เนั้�$องจากที่0กๆจ0ด้ในั้พื่��นั้ที่�$ feasible region ส่ามืารถุนั้"ามืาเปั%นั้คื"าตอบได้�ที่��งหมืด้ เพื่ราะเปั%นั้ไปัตามื constrain ที่�$ก"าหนั้ด้ที่0กๆข้�อ

(ในั้ Linear Programming problem นั้��นั้ จะมื�การใช้�กราฟมืาช้�วยในั้การหาคื"าตอบมืากที่�$ส่0ด้ หร�อ นั้�อยที่�$ส่0ด้ ภายในั้ข้�อจ"าก�ด้ที่�$มื� โด้ยเราจะนั้"าส่มืการข้�อจ"าก�ด้มืา plot กราฟ ซ้4$งจะได้�พื่��นั้ที่�$ส่�วนั้ที่�$เร�ยกว�า feasible region

ซ้4$งเปั%นั้ส่�วนั้ที่�$มื� solution จ"านั้วนั้มืากมืายซ้4$งเปั%นั้ไปัตามืเง�$อนั้ไข้ที่��งหมืด้ที่�$ก"าหนั้ด้ไว� คื�อ พื่��นั้ที่�$ @ นั้�$นั้เอง ส่�วนั้ในั้การหา optimal solution นั้��นั้ เราก1จะนั้"า ส่มืการว�ตถุ0ปัระส่งคื.มืา plot กราฟแล�วเล�$อนั้ไปัในั้แนั้ว slope จนั้ได้�คื"าตอบที่�$ด้�ที่�$ส่0ด้)

7.4. เงื่��อนไขอะไรทุ��คำ�ณจะใช้�พิ!จ�รณ�ว��จะเล�อกว!ธี�ก�รแก�ปั$ญห�โดยใช้� Corner point method หร�อ isoprofit line methodSol Isoprofit line : ใช้�ได้�ด้�เมื�$อ Constraints หลายข้�อ Corner point : ใช้�ได้�ด้�เมื�$อ Constraints นั้�อยข้�อ

7.5 Under what condition is it possible for an LP problem to have more than one optimal solution?

Answer :

เมื�$อส่มืการ Objective มื� slope เที่�าก�บ slope ข้องส่มืการ Constraint ส่มืการใด้ส่มืการหนั้4$ง โด้ยที่�$ส่มืการนั้��นั้ต�องมื�ส่�วนั้ในั้การก"าหนั้ด้ คื�าคื"าตอบที่�$เปั%นั้ไปัได้� (feasible solution)

7-6.Develop your own set of constraint equations and inequations and use them to illustrate graphically each of the following condition.an unbounded problem

@

Discussion Questions : Chapter 7 3 Of 17

constrain เก�ด้ conflict ที่"าให� model ข้าด้คืวามืเหมืาะส่มืเพื่ราะคื"าตอบในั้ส่�วนั้ที่�$ 1,2 ไมื�อย'�ในั้ช้�วงข้องคืวามืเปั%นั้ไปัได้� เนั้�$องจากมื� constrain x1 >=7x1+2x2 <= 62x1+x2 <= 8x1 >=7

a) an infeasible problemเปั%นั้ล�กษณ์ะข้องคื"าตอบที่�$ไมื�มื�ข้อบเข้ตส่��นั้ส่0ด้ เนั้�$องจาก model ข้าด้ constrain ที่�$ปั;ด้ Feasible Region ที่"าให�คื"าตอบมื�ข้อบเข้ตไมื�ส่��นั้ส่0ด้Max = 3x1+5x2X1 >=5X2 <=10X1+2x2 >=10

b) a problem containing redundant constraintsเก�ด้เนั้�$องจากเรามื� constrain มืากเก�นั้คืวามืจ"าเปั%นั้ และ constrain นั้��นั้ไมื�มื�ผลต�อการเปัล�$ยนั้แปัลงข้อง model ไมื�ได้�ที่"าให� Feasible region ข้องคื"าตอบเราเปัล�$ยนั้ไปัจากเด้�มื

2x1+x2 <=30 x1+x2 <=20 x1 <25

7.9Discuss the role of sensitivity analysis in LP. Under what circumstances is it needed, and under what conditions do you think it is not necessary?

เนั้�$ องด้�วย ในั้คืวามืเปั%นั้จร�งแล�วการหา Optimal solution ด้�วยว�ธี�การข้อง Linear Programming จะไมื�ส่ามืารถุส่ร0ปัหา Solution ที่�$ด้�ที่�$ส่0ด้ได้�อย�างส่มืบ'รณ์. หากไมื�มื�การนั้"า sensitivity analysis มืาร�วมืพื่�จารณ์าด้�วย เนั้�$องจากปั�ญหาบางปั�ญหามื�คืวามืเก�$ยวข้�อง หร�อมื�คืวามืส่�มืพื่�นั้ธี.ก�บหลายๆปั�จจ�ย เง�$อนั้ไข้และ input data รวมืถุ4ง resources ต�างๆ อาจเก�ด้การเปัล�$ยนั้แปัลงได้� ที่"าให�การส่ร0ปัหา Solution ที่�$ด้�ที่�$ส่0ด้ต�องมื�การว�เคืราะห. พื่�จารณ์าอย�างละเอ�ยด้มืากข้4�นั้ ด้�งนั้��นั้ Sensitivity Analysis จ4งมื�บที่บาที่ที่�$ถุ'กนั้"ามืาใช้�ในั้ข้บวนั้การ Linear Programming และเปั%นั้ว�ธี�ที่�$พื่�จารณ์าว�าเมื�$ อ Input Data หร�อ Model มื�การเปัล�$ยนั้แปัลงจะมื�ผลที่"าให� Solution ที่�$ได้�เปัล�$ยนั้ไปัมืากนั้�อยแคื�ไหนั้ ได้� Solution เพื่�$อนั้"าไปัส่'�การได้�ร�บ optimal solution ในั้ที่�$ส่0ด้

ในั้ส่ถุานั้การณ์.ที่�$ปั�ญหาต�างๆ เหล�านั้��นั้มื�คืวามืเก�$ยวข้�องก�บปั�จจ�ยหลายๆ ด้�านั้ และปั�จจ�ยต�างๆ เหล�านั้��มื�โอกาส่ที่�$จะเก�ด้การเปัล�$ยนั้แปัลง คืวรจะมื�การนั้"า Sensitivity analysis เข้�ามืาใช้�คืวบคื'�ไปัก�บการใช้�ว�ธี�ข้อง Linear Programming ด้�วย

7-10. Is sensitivity analysis a concept applied to LP only, or should it also be used when analyzing other techniques? Provide examples to prove your point.

Sensitivity analysis ส่ามืารถุ apply ใช้�ได้�ก�บที่0กๆเที่คืนั้�คื เนั้�$องจากเราไมื�ส่ามืารถุคืวบคื0มื input value ให�มื�คืวามืแนั้�นั้อนั้ได้�ตลอด้ไปั ด้�งนั้��นั้เราจ4งต�องคื"านั้วณ์หาว�าถุ�า input value เหล�านั้��ถุ'กที่"าให�เปัล�$ยนั้แปัลงแล�ว จะมื�ผลอะไรบ�างต�อ solution เพื่ราะ solution บางอย�างไมื�ได้�เปั%นั้การหา max หร�อ min จ4งไมื�ต�อง apply ใช้�ก�บ LP ก1ได้�

7-11 What is the value of the computer in solving LP problem today?

Answer : 1. ช้�วยในั้การที่"างานั้ที่�$ต�องการคืวามื แมื�นั้ย"าส่'ง เนั้�$องจากแรงงานั้คืนั้เมื�$อที่"างานั้ที่�$ซ้�บซ้�อนั้ อาจเก�ด้ ข้�อผ�ด้พื่ลาด้ได้�ง�าย2. ปัระหย�ด้เวลาในั้การที่"างานั้ ในั้งานั้ที่�$มื�คืวามืซ้"�าๆ computer ส่ามืารถุที่"างานั้ได้�เร1วกว�า3. computer ส่ามืารถุจด้จ"าได้�มืากกว�ามืนั้0ษย. 4. ข้�อมื'ลที่�$เก1บไว�ในั้ computer มื�คืวามืเส่�$ยงในั้การส่'ญหายนั้�อยกว�าส่มืองข้องมืนั้0ษย. หมืายถุ4งเปัร�ยบเที่�ยบก�บ

คืวามืล�มืข้องมืนั้0ษย.         5. computer ส่ามืารถุปัระมืวลผลได้�รวด้เร1วกว�าส่มืองมืนั้0ษย.

Discussion Questions : Chapter 7 4 Of 177-13. Explain how a change in a technological coefficient can affect a problem’s

optimal solution. How can a change in resource availability affect a solution?การเปัล�$ยนั้แปัลง coefficient มื�ผลที่"าให�ร'ปัร�างข้อง feasible solution region เปัล�$ยนั้แปัลง แต�อาจที่"าให�คื�า

optimal solution เปัล�$ยนั้แปัลงไปัหร�อไมื�ข้4�นั้อย'�ก�บคื�าข้อง coefficient ที่�$เปัล�$ยนั้แปัลง พื่ร�อมืก�บส่มืการ constraint ว�าจะมื�ผลที่"าให� optimal solution เปัล�$ยนั้แปัลงไปัหร�อไมื� เนั้�$องจากในั้บางกรณ์�คื�า coefficient ข้องส่มืการ constraint

เปัล�$ยนั้แปัลงแต�ไมื�มื�ผลต�อ optimal solution ในั้ที่างตรงก�นั้ข้�ามื บางกรณ์�คื�า coefficient ข้องส่มืการ constraint ก1มื�ผลต�อคื�า optimal solution

จากต�วอย�าง ร'ปัที่�$ 1 มื�คื�า Optimal Solution = 2,400 อย'�ที่�$ x1 = 0, x2 = 20

ร'ปัที่�$ 1ร'ปัที่�$ 2 ได้�เปัล�$ยนั้คื�า coefficient จาก 3x1 + 1x2 <=60 เปั%นั้ 2x1 + 1x2 <=60 ปัรากฏว�าคื�า Optimal

Solution ย�งคืงเปั%นั้ 2,400 อย'�ที่�$ x1 = 0, x2 = 20

ร'ปัที่�$ 2

ร'ปัที่�$ 3 ได้�เปัล�$ยนั้คื�า coefficient จาก 2x1 + 4x2 <=80 เปั%นั้ 2x1 + 5x2 <=80 ปัรากฏว�าคื�า Optimal

Solution เปัล�$ยนั้ไปัเปั%นั้ 1,953.85 อย'�ที่�$ x1 = 16.92308, x2 = 9.230769

Discussion Questions : Chapter 7 5 Of 17

ร'ปัที่�$ 3การเปัล�$ยนั้แปัลง resource มื�ผลที่"าให� optimal solution เปัล�$ยนั้แปัลง เนั้�$องจากส่มืการ constraint เมื�$อมื�

การเปัล�$ยนั้แปัลงคื�าคืงที่�$ มื�ผลที่"า ให�ล�กษณ์ะข้องกราฟเปัล�$ยนั้แปัลงไปั ด้�งนั้��นั้ feasible region ที่�$ต�องการก1มื�การเปัล�$ยนั้แปัลงจากส่มืการด้��งเด้�มื จ4งมื�ผลกระที่บต�อ optimal solution

ต�วอย�าง จากร'ปัที่�$ 1 เมื�$อเปัล�$ยนั้คื�า resource จากส่มืการ 2x1 + 4x2 <=80 เปั%นั้ 2x1 + 4x2 <=100

ที่"าให�คื�า Optimal Solution เปัล�$ยนั้แปัลงเปั%นั้ 3,000 อย'�ที่�$ x1 = 0, x2 = 25

Discussion Questions : Chapter 7 6 Of 17

7-14. The Electrocomp Corporation manufactures two electrical products; air conditioners and large fans. The assembly process for each is similar in that both require a certain amount of wiring and drilling. Each air condition takes 3 hours of wiring and 2 hours of drilling. Each fan must go through 2 hours of wiring and 1 hour of drilling. During the next production period, 240 hours of wiring time are available and up to 140 hours of drilling time may be used. Each air condition sold yields a profit of $25. Each fan assembled may be sold for a $15 profit. Formulate and solve this LP production mix situation to find the best combination of air conditioners and fans that yields the highest profit. Use the corner point graphical approach.

Maximise profit = 25X1 + 15X2 ( $ )Subject to :3X1 + 2X2 <= 240 ( hours )( Production period of wiring of air condition and fans available)2X1 + X2 <= 140 ( hours )( Production period of drilling of air condition and fans available) X1 , X2 >= 0 ( units ) Where X1 = Number of airs condition to produce ( units )

X2 = Number of fans to produce ( units )Solution

An evaluation of the four corner points of the accompanying graph indicateds that corner point D produces the greatest earning. Refer to the graph and table.

CORNER POINT VALUES OF X1,X2

OBJJECTIVE FUNCTION VALUE

A (0,0) 0B (0,120) 1,800C (70,0) 1,750D (40,60) 1,900

Discussion Questions : Chapter 7 7 Of 17

Corner Points

X1 X2 Z

0 0 0.

0 120 1,800.

70 0 1,750.

40 60 1,900.

Created by QM for Windows

7.15 Electrocomp’s management realizes that it forgot to include two critical constraints (see Problem 7-14). In particular, management decides that to ensure an adequate supply of air conditioners for a contract, at least 20 air conditioners should be manufactured. Because Electrocomp incurred an oversupply of fans the preceding period, management also insists that no more than 80 fans be produced during this production period. Resolve this product mix problem to find the new optimal solution.

Air Conditioner

(X1)

Fans (X2)

Wiring 3 hrs 2 hrs ≤ 240 hrs

Drilling 2 hrs 1 hrs ≤ 140 hrs

Profit $25 $15

Maximize profit (max $Z) = 25(X1) + 15(X2)

Discussion Questions : Chapter 7 8 Of 17Subject to 3(X1) + 2(X2) ≤ 240 2(X1) + 1(X2) ≤ 140 X1 ≥ 20

X2 ≤ 80Where

X1 = number of Air Conditioner manufactured. X2 = number of Fans manufactured.

7-17 The Outdoor Furniture Corporation manufactures tow products, benches and picnic table, for use in yards and parks. The firm has two main resources: its carpenters (labor force) and a supply of redwood for use in the furniture. During the next production cycle, 1200 hours of labor are available under a union agreement. The firm also has a stock of 3,500 feet of good-quality redwood. Each bench that Outdoor Furniture produces require 4 labor hours and 10 feet of redwood; each picnic table takes 6 labor hours and 35 feet of redwood. Completed benches will yield a profit of $9 each, and tables will result in a profit of $20 each. How many benches and tables should Outdoor Furniture produce to obtain the largest possible profit?

Answer : Outdoor Furniture Corporation product1. benches2. picnic table

Limit Product hour <= 1,200 hoursRedwood <= 3,500 feet

X1 = Number of BenchesX2 = Number of Picnic table

Objective Function : maximize profit = $9X1 + $20X2

Subject to 4X1+6X2 <= 1200 (hours) 10X1+35X2 <= 3500 (red wood)

Discussion Questions : Chapter 7 9 Of 17From LP graph, we will gain highest profit is 2862.5

maximum pieces of benches and picnic tables that will gain highest profits isbenches = 262 pieces ( round down from 262.25 )picnic table = 25 piecesreal profit = 2858 due to in real we can not produce 262.25 of benches.

7-18. The dean of the Western College of Business must plan the school’s courses offerings for the fall semester. Student demands make it necessary to offer at least 30 undergraduate and 20 graduate courses in the term. Faculty contracts also dictate that at least 60 courses be offered in total. Each undergraduate course taught costs graduate course costs $3,000. How many undergraduate and graduate courses should be taught in the fall so that total faculty salaries are kept to a minimum?

Solution : X1 = No. of undergraduate coursesX2 = No. of graduate courses

Minimize faculty salaries = 2,500 X1 + 3,000 X2 DollarsSubject to : X1 >= 30 Courses

X2 >= 20 Courses X1 + X2 >= 60 Courses

7.19 A Computer Corporation manufactures two models of minicomputers, the Alpha 4 and the Beta 5. The firm employs five technicians, working 160 hours each per month, on its assembly line. Management insists that full employment (that is, all 160 hours of time) be maintained for each worker during next month’s operations. It requires 20 labor hours to assemble each Alpha 4 computer and 25 labor hours to assemble each Beta 5 model. MSA wants to see at least 10 Alpha 4s and at least 15 Beta 5s produced during the production period. Alpha 4s generate a $1,200 profit per unit, and Beta 5s yield $1,800 each. Determine the most profitable number of each of minicomputer to produce during the coming month.

Answer

Company name Assemble (hrs) at least MarginAlpha 4 20 10 1,200$Beta 5 25 15 1,800$Max 160 ต�อ 5 Technicians: 160 x 5 = 800

Function

Max Profit :

A)

B)

C)

Discussion Questions : Chapter 7 10 Of 17

A) , :B) , : MAXC) , :

ผล�ต Alpha 4 10 เคืร�$องผล�ต Beta 5 24 เคืร�$องProfit = 55,200$

7-24 The stock brokerage firm of Blank, Leibowitz, and Weinberger has analyzed and recommended two stocks to an investors’ club of college professors. The professors were interested in factors such as short-term growth, intermediate growth, and dividend rates. These data on each stock are as the follows:

STOCK ($)FACTOR LOUISIANIA

GAS AND POWER

TRIMEXINSULATION COMPANY

Short-term growth potential, per dollar invested

.36 .24

Intermediate growth potential (over next three years), per dollar invested

1.67 1.50

Dividend rate potential 4% 8%

Each member of the club has an investment goal of (1) and appreciation of no less than $720 in the short term, (2) an appreciation of at least $5,000 in the next three year, and (3) a dividend income of at least $200 per year. What is the smallest investment that a professor can make to meet these goals?

Smallest investment (min Z) = X1 + X2

Subject to

Discussion Questions : Chapter 7 11 Of 170.36X1 + 0.24X2 ≥ $7201.67X1 + 1.50X2 ≥ $5,0000.04X1 + 0.08X2 ≥ $200

WhereX1: number of dollar of Louisiana gas and power investmentX2: number of dollar of Trimex Insulation Company investment

7-25. The advertising agency promoting the new Breem dishwashing detergent wants to get the best exposure possible for the product within the 100,000 adversting budget ceiling placed upon it. To do so, the agency needs to decide how much of the budget to spend on each of its two most effective media: (1) television spots during the afternoon hours and (2) large ads in the city’s Sunday newspaper. Each television spot costs 3,000; each Sunday newspaper ad costs 1,250. The expected eposure, based on industry ratings, is 35,000 viewers for each TV commercial and 20,000 reader for each newspaper advertisement. The agency director, Mavis Early, knows form experience that it is iimportant to user both medai in order to reach the broadest spetrum of potential Breem customers. She decides that at leaset 5 but no more than 25 television spots should be ordered; and that at least 10 newspaper ads should be contracted. How many times should each of the two media be used to obtain maximum exposure while staying within the budget? Use the graphical method to solve.

Maximise television and newspaper ads spots = 35,000X1 + 20,000X2 ( times )

Subject to :

3,000X1 + 1,250X2 < 100000 ( $ ) (Advertising bugget available) 5 < X1 < 25 ( times ) (television ads spots times required )

X2 > 10 ( times ) (newspaper ads spots times required )Where

X1 = Number of television spots ( times )X2 = Number of newspaper spots ( times )

Solution An evaluation of the four corner points of the accompanying graph indicateds that

corner point B produces the greatest earning. Refer to the graph and table.

CORNER POINT VALUES OF X1,X2

OBJJECTIVE FUNCTION VALUE

A (5,10) 375,000B (5,68) 1,535,000C (25,20) 1,275,000D (25,10) 1,075,000

Discussion Questions : Chapter 7 12 Of 17

Corner Points

X1 X2 Z

25 20 1,275,000.

5 68 1,535,000.

25 10 1,075,000.

5 10 375,000.

Created by QM for Windows

7.26Pruning process X1 Normal process X2 available

Labor hours 5 2 <= 250Acre of land 1 2 <= 150Max barrels 1 0 <= 40Price of barrels $20 $30

Objective function Maximize profit = 20X1 + 30X2Labors hours Constraints 5X1 + 2X2 <= 250Acre of Land Constraints 1X1 + 2X2 <= 150Maximize barrels 1X1 + 0X2 <= 40ได้�กราฟตามื file ที่�$แนั้บมืา

Discussion Questions : Chapter 7 13 Of 17

(a) the maximum possible profit $2375 (b) the best combination of barrels of pruned and regular olives

pruned olives = 25 barrelsregular olives = 62.5 barrels

(c) the number of acres that the olive grower should devote to each growing process.the number of pruned olives acres = 25 acresthe number of regular olives acres = 125 acres

7-33.SerendipityThe three princes of Serendip Went on a little trip.They could not carry too much weight;More than 300 pounds made them hesitate.They planned to the ounce. When they returned to CeylonThey discovered that their supplies were just about goneWhen ,what to their joy,prince William found A pile of coconuts on the ground.“Each will bring 60 rupees,” said Prince Richard with a grin As he almost tripped over a lion skin.“Look out ” cried Prince Robert with glee As he spied some more lion skins under a tree.“These are worth even more 300 rupees each If WE CAN JUST CARRY THEM ALL DOWN TO THE BEACH.”Each skin weighted fifteenn pounds and each coconut,five ,But they carried them all and made it alive.The boat back to the island was very small 15 cubic feet baggage capacity – that was all.Each lion skill took up one cubic footWhile eight coconuts the same space took.With everything stowed they headed to sea and on the way calculated what their new weath wight be.“Eureka!”cried Prince Robert , “Our worth is so great ”That there’s no other way we could return in this state .Any other skins or nut that we might have brougth Would now have us poorer .And now I know what I’ll write my friend Horace in England ,for surelyOnly he can appreciate our Serendipity.”Formulate and solve Serendipity by graphical LP in order to calculate “ what their new wealth might be.”X1 = จ"านั้วนั้ Coconuts , x2 = จ"านั้วนั้ Skin Max benefit = 60x1 + 300X2 rupeesส่มืการ เง�$อนั้ไข้ : 5X1 + 15X2 <= 300 pounds

(1/8)X1 + X2 <= 15 poundsCoconuts = 24 , skins = 12 Max Benefit = 5040 rupees

Discussion Questions : Chapter 7 14 Of 17

7.34 The feed ‘N Ship Ranch fattens cattle for local farmers and ships them to meat markets in Kansas City and Omaha. The owners of the ranch seek to determine the amounts of cattle feed to buy so that minimum nutritional standards are satisfied, and at the same time total feed costs are minimized. The feed mix used can be made up of the three grains that contain the following ingredients per pound of feed:

IngredientFeed(Oz)

Stock X Stock Y Stock ZA 3 2 4B 2 3 1C 1 0 2D 6 8 4

The cost per pound of stocks X, Y and Z are $2, $4,and $2.50, respectively. The minimum requirement per cow per month is 4 pounds of ingredient A, 5 pounds of ingredient B, 1 pound of ingredient C, and 8 pounds of ingredient D.The ranch faces one additional restriction : it can only obtain 500 pounds of stock Z per month from the feed supplier regardless of its need. Because there are usually 100 cows at the Feed ‘N Ship Ranch at any given time, this means that no more than 5 pounds of stock Z can be counted on for use in the feed of each cow per month.

(a) Formulate this as an LP problem.(b) Solve using LP software.

Answer : ให� x1 คื�อปัร�มืาณ์การส่�$งซ้��ออาหาร Stock X หนั้�วยเปั%นั้ pound

x2 คื�อปัร�มืาณ์การส่�$งซ้��ออาหาร Stock Y หนั้�วยเปั%นั้ pound

x3 คื�อปัร�มืาณ์การส่�$งซ้��ออาหาร Stock Z หนั้�วยเปั%นั้ pound

Objective function min. cost = 2x1 + 4x2 + 2.5x3 [หนั้�วยเปั%นั้ US dollar]

subject to 3x1 + 2x2 + 4x3 >= 64 [ปัร�มืาณ์ส่ารอาหาร A, unit : lbs]

2x1 + 3x2 + x3 >= 80 [ปัร�มืาณ์ส่ารอาหาร B, unit : lbs]

x1 + 2x3 >= 16 [ปัร�มืาณ์ส่ารอาหาร C, unit : lbs]

6x1 + 8x2 + 4x3 >= 128[ปัร�มืาณ์ส่ารอาหาร D, unit : lbs]

x3 <= 80 [ปัร�มืาณ์อาหาร Stock z, unit : lbs]x1, x2, x3 >= 0

remark : อส่มืการ constraint พื่�จารณ์าจากปัร�มืาณ์อาหารข้��นั้ต"$าต�อว�ว 1 ต�วในั้ 1 เด้�อนั้ (1 pound = 16 ounce)

7.35 บร!ษั+ทุฯ Weinberger Electronics Corporation manufactures ม�คำว�มเทุคำโนโยล�ทุ��จะสร��งื่ ผล!ตภั+ณฑ์1ได� 4 ช้น!ด ทุ+2งื่ 4 ช้!2นเปั3นส�วนปัระกอบของื่ย�นอวก�ศของื่องื่คำ1ก�ร NASA ทุ��ทุ�งื่บร!ษั+ทุฯ ได�ทุ��ส+ญญ�ไว� แต�ละผล!ตภั+ณฑ์1จะต�องื่ผ��นกระบวนก�รข+2นตอนต��งื่ๆ โดยกระบวนก�รต��งื่ๆ ม�ด+งื่น�2 ก�รว�งื่ส�ย, ก�รเจ�ะ, ก�รปัระกอบ และก�รตรวจสอบ แต�ละข+2นตอนใช้�เวล�ในก�รทุ��ไม�เทุ��ก+นและผล!ตภั+ณฑ์1แต�ละช้!2นก6ม�ก��ไรแตกต��งื่ก+นต�มต�ร�งื่ด��นล��งื่

Department Product Wiring Drilling Assembly Inspection Unit Profit

($)X1201 0.5 0.3 0.2 0.5 9XM897 1.5 1 4 1 12TR29 1.5 2 1 0.5 15

BR788 1 3 2 0.5 11บร�ษ�ที่ฯมื�เวลาในั้การที่"างานั้แต�ละกระบวนั้การจ"าก�ด้ และแต�ละเด้�อนั้มื�เปั?าหมืายในั้การผล�ตข้��นั้ต"$าตามืส่�ญญาไว�ด้�งนั้��

Product Min Production

Levet

XJ201 150XM897 100TR29 300

BR788 400

Department Capacity(Hours)

Wiring 15,000Drilling 17,000

Assemble 26,000Inspection 12,000

Discussion Questions : Chapter 7 15 Of 17

ผ'�จ�ด้การฝ่Aายผล�ต มื�คืวามืร�บผ�ด้ช้อบต�องผล�ตและส่�งส่�นั้คื�าให�ได้�ตามืส่�ญญาที่�$ก"าหนั้ด้ไว�ในั้แต�ละเด้�อนั้ ช้�วยเข้�ยนั้ส่'ตรให�เคื�าในั้การคื"านั้วณ์หาคื"าตอบโด้ยใช้� linear programming model

Maximum Profit ก"าไรส่'งส่0ด้เปั%นั้ Z จ"านั้วนั้ที่�$ผล�ตในั้แต�ละ Unit ก"าหนั้ด้เปั%นั้ XJ201 = X1

XM897 = X2

TR29 = X3

BR788 = X4

จะได้�ส่มืการเปั%นั้ 1) 0.5*X1+ 1.5*X2 +1.5*X3+1*X4 <= 15,000

2) 0.3*X1+ 1*X2 +2*X3+3*X4 <= 17,000 3) 0.2*X1+ 4*X2 +1*X3+2*X4 <= 26,000 4) 0.5*X1+ 1*X2 +0.5*X3+0.5*X4 <= 12,000 5) MAX Z = 9*X1 +12*X2 + 15*X3 + 11*X4

และจะมื�ข้�อบ�งคื�บเพื่�$มืเต�มืด้�งนั้��1) X1 >= 1502) X2 >= 1003) X3 >= 3004) X4 >= 400

7-36 Androgynous Bicycle Company (ABC) has the hottest new products on the upscale toy markets-boy’s and girl’s bikes in bright fashion colors , with oversized hubs and axles , shell design safety tires , a strong padded frame , chrome-plated chains , brackets and valves , and a nonslip handlebar. Due to the seller’s market for high-quality toy for the newest baby boomers , ABC can sell all the bicycles it manufactures at the following prices : boys’ bikes -- $220 , girls’ bikes --$175. This is the price payable to ABC at its Orlando plant.The firm’s accountant has determined that direct labor costs will be 45% of the price ABC receives for the boys’ model and 40% of the price receives for the girls’ model. Production costs other than labor , but excluding painting and packaging , are $44 per boys’ bicycle and $30 per girls’ bicycle. Painting and packaging are $20 per bike , regardless of model.The Orlando plant’s overall production capacity is 390 bicycles per day. Each boys’ bike requires 2.5 labor hours and each girls’ model ,2.4 hours , to complete. ABC currently employs 120 workers , who each put in an 8-hour day. The firm has no desire to hire or fire to affect labor availability , for it believes its stable workforce is one of its biggest assets. Using a graphical approach, determine the best product mix for ABC.

ANSWERProduct mixให� Xb = จ"านั้วนั้ที่�$ผล�ต boys’ bikes

Xg = จ"านั้วนั้ที่�$ผล�ต girls’ bikes

Department Capacity(Hours)

Wiring 15,000Drilling 17,000

Assemble 26,000Inspection 12,000

Product Min Production

LevetXJ201 150XM897 100TR29 300

BR788 400

Discussion Questions : Chapter 7 16 Of 17

Max z = max profit

Max z = revenue – labor cost – production cost – painting & packaging $= [220Xb+175Xg]-[(0.45*220Xb)+(0.40*175Xg)+44Xb+30Xg+20Xb+20Xg] $= (220Xb+175Xg)-(99Xb+70Xg+44Xb+30Xg+20Xb+20Xg) $= (220Xb+175Xg)-(163Xb+120Xg) $= 57Xb+55Xg $

Constrain1. Xb+Xg <= 390 คื�นั้ / ว�นั้2. 2.5Xb+2.4Xg <= 960 ช้�$วโมืง / ว�นั้

7.37x1 = number of MCA regular modems sold in Nov.x2 = number of MCA intelligent modems sold in Nov.

MCA regular MCA Intelligent

Net sales 424,000 47.11 613,000 58.94

Var. costs

Direct labor 60,000 6.67 76,800 7.38

Indirect labor

9,000 1.00 11,520 1.11

Materials 90,000 10.00 128,000 12.31

General exp. 30,000 3.33 35,000 3.37

Sales commission

31,000 3.44 60,000 5.76

Total 220,000 24.44 311,320 29.93

Contribution margin

204,000 22.67 301,380 29.01

MCA regular = 5,000 hrs / 9,000 modems = 0.555 hr/modemMCA Intelligent = 10,400 hrs / 10,400 modems = 1.0 hrs/modem

Max Z = 22.67X1 + 29.01X2 $ 0.555X1 + 1.0X2 <= 15,400 (direct labor hr) X2 <= 8,000 (intelligent modems)

7.38 Working with chemists at Virginia Tech and George Washington Universities, landscape contractor Kenneth Golding blended his own fertilizer, called “Golding-Grow.” It consists of four chemical compounds, C-30, C92, D-21, and E-11. The cost per pound for each compound is indicated as follows:

CHEMICAL COMPOUND COST PER POUND ($)C-30 0.12C-92 0.09D-21 0.11E-11 0.04

The specifications for Golding-Grow are as follows: (1) E-11 must constitute at least 15% of the blend; (2) C-92 and C-30 must together constitute at least 45% of the blend; (3) D-21 and C-92 can together constitute no more than 30% of the blend; and

(4) Golding-Grow is packed and sold in 50-pound bags.

(a) Formulate an LP problem to determine what blend of the four chemicals will allow Golding to minimize the cost of a 50-pound bag of the fertilizer.

Define variable X1 = C-30; X2 = C-92; X3 = D-21; X4 = E-11

Discussion Questions : Chapter 7 17 Of 17

Minimize Cost: Z = 0.12X1 + 0.09X2 + 0.11X3 + 0.04X4 BathSubject to: X1 7.5 pound

X1 + X2 22.5 pound X2 + X3 15.0 poundX1 + X2 + X3 + X4 = 50.0 pound