CHAOS

Heinz Horner

Institut fur Theoretische Physik

Ruprecht-Karls-Universitat Heidelberg

WS 1999/2000

Inhalt

1 Literatur 2

2 Einige Beispiele 2

2.1 Logistische Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Rossler Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Periodisch angetriebenes Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Vorlaufige Charakterisierung von Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Eindimensionale Abbildungen 9

3.1 Fixpunkte, periodische Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Vollstandiges Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Logistische Abbildung mit a < 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Fenster im chaotischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Periodenverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Attraktoren in dynamischen Systemen 22

4.1 Poincare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Backer Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Fraktale Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Lyapunov Exponenten und Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Hamiltonsche Systeme 31

5.1 Periodisch angestoßener Rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Hamiltonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Integrable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 Schwach gestorte Systeme, Resonanzschichten . . . . . . . . . . . . 38

5.5 Heterokline (homokline) Orbits und Chaos . . . . . . . . . . . . . . 42

1

1 Literatur

E. Ott Chaos in Dynamical Systems Cambridge University Press 1993

K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke Chaos, an Introduction to DynamicalSystems Springer New York Berlin Heidelberg 1996

J. Briggs, F.D. Peat Die Entdeckung des Chaos Carl Hansen Munchen Wien1990

2 Einige Beispiele

2.1 Logistische Abbildung

Einfaches Beispiel eines Marktes:

Preis am Tag n : xn

Preis am Tag n+ 1 : xn+1

Geschatzter Wert : x

Falls xn < x : xn+1 > xn

Falls xn > x : xn+1 < xn

xn+1 = a xn − (a− 1)x2n x := 1 (2.1)

2

Logistische Abbildung: verschiedene Werte von a

Stationar Stationar

Periode 2 Periode 8

Chaos 2 Bander Chaos

3

Chaos Periode 3

Chaos Chaos

Sensitive Abhangigkeit vonAnfangsbedingungen

Verteilung der Startwerte:xo = 10−4 ± 10−8

4

2.2 Rossler Oszillator

Teig kneten:

Den Teig drehen:Oszillator mit konstanter Amplitude:

x = y y = −x (2.2)

Den Teig ausbreiten:Oszillator mit wachsender Amplitude:

x = y y = −x+ a y (2.3)

Den Teig zuruckfalten:Anharmonischer Oszillator in drei Variablen:

x = y − z y = −x+ a y (2.4)

z := b+ z (x− c) (2.5)

Rossler Oszillator: b = 1 c = 4 verschiedene Werte von aFarbkodierung: z

Periode 1 Periode 2

5

Rossler Oszillator: b = 1 c = 4 verschiedene Werte von a

Periode 8 Chaos 2 Band

Chaos Periode 3

Chaos 3 Band Chaos

6

2.3 Periodisch angetriebenes Pendel

Masse m = 1

H = 12p2 − cosϕ + a sinϕ cosωt (2.6)

x = p p = − sin(x) + a cosϕ cos(ω t) (2.7)

E(t) = H(t) − H(0) (2.8)

Phasenraum-Trajektorien p(t) chaotisch / quasiperiodisch

7

2.4 Vorlaufige Charakterisierung von Chaos

Empfindliche Abhangigkeit von Anfangswerten:Ungenauigkeit in der Anfangsbedingung: ∆x(0)

limt→∞

lim∆x(0)

∆x(t)/∆x(0) ∼ eλt (2.9)

mit λ > 0 ?

Kontinuierliches Spektrum, keine periodische oder quasiperiodische Bewegung:Spektrum

P (ω) = limt→∞

1

t

∫ t

0dt′ x(t′) cosωt′ (2.10)

oder

P (ω) = limn→∞

1

n

n∑m=0

xm cosωm (2.11)

Dimension der Trajektorie x(t)Stationar x(t)−→

t→∞x∞

Periodisch x(t+ τ) = x(t)Quasiperiodisch, m-Torus x(t) = f(cosω1t , cosω2t, · · · , cosωmt)Fraktal ?

Attraktoren, konservative Systeme:Infinitisimales Volumen im Phasenraum ∆V (t)Konservativ, Liouville-Satz: d ∆V (t)/dt = 0Dissipativ, Attraktor: d ∆V (t)/dt < 0

Ergodizitat, Entropie25.10.99

8

3 Eindimensionale Abbildungen

3.1 Fixpunkte, periodische Orbits

x

xn

n+1

Eindimensionale Abbildung

xn+1 = f(xn) (3.1)

Fixpunkte

x∗ = f(x∗) (3.2)

Linearisierte Abbildung in der Nahe eines Fixpunktes

x = x∗ + δx δxn+1 = f ′(x∗) δxn (3.3)

Attraktiver (stabiler) Fixpunkt: |f ′(x∗)| < 1

Repulsiver (instabiler) Fixpunkt: |f ′(x∗)| > 1

Iterierte Abbildung

xn+p = fp(xn) fp(x) = f(fp−1(x)

)f 1(x) = f(x) (3.4)

9

Periode p-Orbit:

x∗p = fp(x∗p) (3.5)

Beispiel logistische Abbildung:

f(x) = a x (1 − x) f 2(x) = a2 x (1 − x) − a3 x2 (1 − x)2 (3.6)

0

1

0 1

x

f (x)

f 2(x)

f 3(x)

f n(x)

x

Logistische Abbildung

f(x) = a x (1 − x) (3.7)

a = 4

2 instabile Fixpunktex∗ = 0 x∗ = 3/4

1 instabiler Periode 2 Orbit2 instabile Periode 3 Orbits

Zahl der Periode p Orbits fur eine unimodulare Abbildung eines Intervalls, z.B.[0 · · · 1] auf sich selbst: f(0) = 0 f(x0) = 1 f(1) = 0Die Abbildung fp(x) hat 2p−1 Maxima mit Wert fp(xmax) = 1 und 2p−1 + 1Minima mit Wert fp(xmin) = 1. Damit hat fp(x) 2p Fixpunkte. Falls pPrimzahl ist, existieren 2 Fixpunkte und mindestens

Np =1

p

(2p − 2

)(3.8)

10

Orbits der Periode p.

Fur unimodulare Abbildungen mit negativer Schwarz’scher Ableitung

Sf(x) =f ′′′(x)f ′(x) − 3

2f ′′(x)2

f ′(x)2< 0 (3.9)

existiert maximal ein stabiler periodischen Orbits und ein attraktiver Fixpunkt.

Charakteristikum von Chaos ?Exponentell mit p wachsende Zahl von istabilen Orbits der Periode p ?

11

3.2 Vollstandiges Chaos

Zelt Abbildung:

0 1

1

0 x

f(x)

0

1

2

3

Abbildung: Strecken und falten

Lyapunov Exponent:

∆xn+1 = 2 ∆xn λ = ln 2 > 0 (3.10)

Invariante Dichte:Verteilung von Startwerten ρ0(x)Verteilung nach n Iterationen ρn(x)Abbildung xn+1 = f(xn) : Frobenius Peron Gleichung

ρn+1(x) =∫

dy ρn(y) δ(x− f(y)

)(3.11)

Invariante Dichte:

limn→∞

ρn(x) = µ(x) µ(x) =∫

dy µ(y) δ(x− f(y)

)(3.12)

Invariante Dichte der Zelt-Abbildung: µ(x) = 1

Invertierbare Transformation:x = X(y) Inverse Transformation y = Y (x) mit X(0) = 0 und X(1) = 1

yn+1 = f(yn) xn+1 = F (xn) = X(f(Y (xn))

)(3.13)

Invariande Dichte M(x)

M(x)|dx| = µ(y)|dy| M(x) = µ(Y (x)

) ∣∣∣dY (x)

dx

∣∣∣ (3.14)

12

Beispiel: X(y) = sin2 πy f(y): Zelt AbbildungFur y < 1

2f(y) = 2 y

F (x) = X(f(Y (x))

)= sin2 2πy = 4 sin2 πy

(1 − sin2 πy

)= 4x(1 − x) (3.15)

Entsprechend fur y > 12: F (x) = 4x(1 − x)

Invariante Dichte der logistischen Abbildung mit a = 4: µ(y) = 1

M(x) =1

dX(y)/dy=

1

π√x(1 − x)

(3.16)

Lyapunov Exponent:Linearisierte Abbildung fur ∆x→ 0

∆xn+1 = f ′(xn) ∆xn =n∏

l=0

f ′(xl) ∆x0 (3.17)

λ = limn→∞

1

n

n∑l=0

ln |f ′(xl)| =∫

dxµ(x) ln |f ′(x)| (3.18)

Transformation x = X(y): Mit F(X(y)

)= X

(f(y)

)

Λ =∫

dxM(x) ln |F ′(x)| =∫

dy µ(y) ln |F ′(X(y))|

=∫

dy µ(y)

ln |f ′(y)| + ln |X ′(f(y))| − ln |X ′(y)|

=∫

dy µ(y) ln |f ′(y)| = λ (3.19)

Beispiel: Λ = λ = ln 2 = 0.6912 · · ·8.11.99

13

3.3 Logistische Abbildung mit a < 4

Logistische Abbildung:xn+1 = a xn (1 − xn) (3.20)

Fixpunkt x∗ = 0 fur a < 1Fixpunkt x∗ > 0 fur 1 < a < 3Perode 2n fur 3 < a < 3.57 · · ·Chaos, Fenster · · · fur 3.57 · · · < a < 4

Bifurkationsdiagramm Ausschnitt

Ausschnitt Lyapunov Exponent

14

Invariante Dichte

µ(x) =∫

dy µ(y) δ(x− f(y)

)= lim

n→∞1

n

n∑l=0

δ(x− xl) (3.21)

Periode 8 2 Band Chaos

Chaos Vollstandiges Chaos

Singularitaten in µ(x) fur n-fach Iterierte von x0 = 12

Falls x0 Teil eines instabilen periodischen Orbits oder instabiler Fixpunkt (logis-tische Abbildung mit a = 4) ist, existieren endlich viele Singularitaten

15

3.4 Fenster im chaotischen Bereich

Logistische Abbildung:

Periode 3 Fenster fur 3.829 < a < 3.856

0

1

0 1

x

f (x)

f 3(x)

f n(x)

x

a=3.8

Chaos

0

1

0 1

x

f (x)

f 3(x)

f n(x)

x

a=3.835

Periode 3

0

1

0 1

x

f (x)

f 3(x)

f n(x)

x

a=3.855

3 Band Chaos

0

1

0 1

x

f (x)

f 3(x)

f n(x)

x

a=3.865

Chaos

Offnen eines Fensters mit Periode p :Neuer entarteter Fixpunkt in fp(x) mit fp(x∗p) = x∗p und f ′pn (x∗p) = 1 fur a = a

(p)0

16

Intermittentes Chaos kurz vor dem Offnen eines Fensters oder vor dem Entsteheneines neuen Fixpunktes

Intermittenz Logistische Abbildung

Krise kurz nach dem Schließen eines Fensters

Krise Logistische Abbildung

15.11.99

17

Abschatzung der Periode p Fenster:

p sei Primzahl. Fur vollstandiges Chaos, a = 4 , hat fp(x) 2p−1 Maxima mitf = 1 und 2p−1 − 1 Minima mit f = 0 und damit 2p Fixpunkte.

Fur a → 4 entstehen an jedem Fenster 2 p neue Fixpunkte. Damit ist dieGesamtzahl der Fenster

ZpFenster =

2p−1 − 1

p(3.22)

Damit ist die Zahl der Fenster uberabzahlbar.Zu jedem Fenster gehort ein Wert von a mit vollstandigem Chaos.

Abschatzung des Anteils von a-Werten mit Fenster:

Breite des i-ten Fensters mit Periode p: ∆pi

∑p,i

∆pi < 0.43 (3.23)

Superstabiler Fixpunkt von fp(x) bei a(p)0 : fp(1

2) = 1

2

Fur x = 12

+ δ:fp(1

2+ δ) − fp(1

2) ∼ ap δ2 (3.24)

Vollstandiges p-Band Chaos bei a(p)1 so da

fp(12

+ δ) − fp(12) ∼ δ δ ∼ a−p (3.25)

Mit ∆ ∼ a(p)1 − a(p)

0 und p ap−1∆ = δ:

∆ ∼ a−2p (3.26)

und

∑p,i

∆pi ∼ 1

ln 12a

(3.27)

Diese Summe erhalt Haubtbeitrag von kleinen p. Die zugehorigen Fenster fullennur einen kleinen Teil des Intervalls 3.57 < a < 4.

18

Ubrigbleibende a-Werte:Keine endlichen Intervalle, da in der Nahe jeden Wertes von a ein periodischesFenster existiert. Das Lebesque-Maß dieser Werte ist endlich.

Uberabzahlbarkeit der Fenster:

Betrachte die ersten n Fenster der Periode p mit p Primzahl, z.B. fur n = 10

k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9pk: 3 5 5 5 7 7 7 7 7 7

Betrachte reelle Zahl zur Basis n: 0.k1k2k3k4 · · ·Zuordnung: Fenster mit Periode pk1 , darin Fenster mit Periode pk2 , darinFenster mit Periode pk3 , · · ·Diese Zuordnung erfaßt nur eine Teilmenge aller Fenster, da pn endlich ist.

3.5 Periodenverdopplung

Feigenbaum (1978), May,Großmann (1977)

Logistische Abbildung; (n = 2k)-fach iterierte Abbildung;Superstabiler Fixpunkt von fn: ak so daß

fn(12) = 1

2fn′(1

2) = 0 (3.28)

0

1

0 1

x

f (x)

f 2(x)

∆1

f n(x)

x

a=3.2361

0

1

0 1

x

f (x)

f 2(x)

∆2

f n(x)

x

a=3.2361

f 4(x)

19

Mit ∆k =∣∣∣fn/2(1

2) − 1

2

∣∣∣

αk =∆k−1

∆k

δk =ak−1 − ak−2

ak − ak−1

(3.29)

k n ak δk αk

0 1 2.0000001 2 3.2360682 4 3.498562 4.708943 2.6547443 8 3.554640 4.680771 2.5318384 16 3.566667 4.662960 2.5087185 32 3.569243 4.668404 2.504113

· · · · · · · · · · · · · · ·∞ ∞ 3.569946 4.669201 2.502908

22.11.99

Renormierungsgruppenrechnung

Vergleich der Abbildungen fn mit fn/2 fur a = ak mit n = 2k.Mit ak → a∗ und εk = a∗ − ak und

F (y, ε) = f(y + 12) − 1

2(3.30)

Ubergang von ak−1 nach ak, fn/2 nach fn und Reskalierung um Faktor

∆k/∆k−1 liefert ahnliche Abbildung:

F n(y, εk) = (−1)k 1

∆k

(fn(∆ky + 1

2) − 1

2

)

≈ − ∆k

∆k−1

F n/2(− ∆k−1

∆k

y, εk−1

)

≈ − 1

αk

F n/2(− αky, δkεk

)(3.31)

Fixpunkt fur k → ∞: F n(y, ε) → F ∗(y, ε), αk → α und δk → δ

F ∗(y, ε) = −αF ∗2(− yα,ε

δ

)(3.32)

20

Approximative Rechnung

f(x) = (a∗ − ε)x (1 − x)

F (y, ε) =1

4(a∗ − ε− 2) − (a∗ − ε) y2 (3.33)

F 2(y, ε) =1

4(a∗ − ε− 2) − (a∗ − ε)

(1

4(a∗ − ε− 2) − (a∗ − ε) y2

)2

=1

4(a∗ − ε− 2)

(1 − 1

4(a∗ − ε)(a∗ − ε− 2)

)

+1

2(a∗ − ε− 2)(a∗ − ε)2 y2 − (a∗ − ε)3 y4

Vernachlassigung von Termen ∼ y4 e.t.c. Mit (3.32)

F 2(y, ε) = − 1

αF (αy, δε) = − 1

4α(a∗ − δε− 2) + α(a∗ − δε) y2 (3.34)

Koeffizientenvergleich fur kleine y und ε :

O(ε0, y2) :α = 1

2a∗ (a∗ − 2) (3.35)

O(ε0, y0) :1

α=a∗ (a∗ − 2)

4− 1 (3.36)

α = 1 +√

3 = 2.732 · · · a∗ = 1 +√

3 + 2√

3 = 3.542 · · · (3.37)

O(ε1, y2) :

δ =a∗ (3a∗ − 4)

2α= 4.297 · · · (3.38)

Exakta∗ = 3.5699 · · · α = 2.5029 · · · δ = 4.6692 · · · (3.39)

Die Exponenten α und δ sind universell, d.h. sie werden auch bei Periodenver-dopplungskaskaden in anderen Systemen gefunden.

21

4 Attraktoren in dynamischen Systemen

4.1 Poincare Abbildungen

Dynamisches System mit N Variablen:

dxk

dt= fk(x1 · · ·xN) (4.1)

z.B. Rossler Oszillator:

dx

dt= y − z

dy

dt= −x+ a y (4.2)

dz

dt= b+ z (x− c)

Poincare Abbildung:

xk(tn+1) = Fk

(x1(tn) · · ·xN(tn)

)(4.3)

Beispiel: Rossler Oszillatormit Schnittflache x(tn) = 0 y(tn) > 0

yn = y(tn) = f(yn−1, zn−1) (4.4)

zn = z(tn) = g(yn−1, zn−1)

22

Rossler Oszillator: a = 0.33 Detail: yn−1 = 3.00 · · · 3.05

Farbkodierung: blau: yn−2 < ymax rot: yn−2 > ymax

Die resultierende Abbilung ist naherungsweise eindimensional. Bei starkererAuflosung wurde man blattrige Struktur erkennen.

29.11.99

4.2 Backer Transformation

0

1

0 1

00

01

10

11

α

1−α

γ γ0 1

0 10

1

Charakterisierung einesBereichs nach n Schrit-ten durch n-stelligeBinarzahl bn

23

Anfangspunkt → n-stellige Binarzahlmit n0 mal 0 und n1 mal 1n = n0 + n1

Bereich: 0 1Breite: γ0 γ1

Lange:α

γ0

1 − αγ1

Gesamtbreite: γn00 γ

n11

Gesamtlange: α−n0 (1 − α)−n1

Dichte: αn0 γ−n00 (1 − α)n1 γ−n1

1

Zahl der Binarzahlen: Z(n0, n1) =(n0 + n1)!

n0!n1!

Stirling Formel: ln n! ≈ n lnn− n

Mit n0 = βn und n1 = (1 − β)n : lnZ(n0, n1) = nβ lnα

β+ (1 − β) ln

1 − α1 − β

Wahrscheinlichkeit fur Binarzahl: Pn0,n1 = αn0 (1 − α)n1 Z(n0, n1)

≈ enβ ln αβ

+ (1−β) ln 1−α1−β

Wahrscheinlichster Wert:∂P

∂β= 0 : ln

α(1 − β)(1 − α)β = 0 β = α

Lange, Lyapunov Exponent λ1 : e−nα ln α+(1−α) ln(1−α) = en λ1

Breite, Lyapunov Exponent λ2 : enα ln γ0+(1−α) ln γ1 = en λ2

Volumen: enα lnγ0α

+(1−α) lnγ1

1−α = en (λ1+λ2)

λ1 = −α lnα− (1 − α) ln(1 − α) ≥ 0

λ2 = α ln γ0 + (1 − α) ln γ1 ≤ 0 (4.5)

λ1 + λ2 ≤ 0

24

4.3 Fraktale Dimension

Hausdorff Dimension, Mandelbrot

Geometrisches Objekt MWieviele Kugeln mit Radius ε sind notig um das Objekt zu bedecken?

•

Punkt: N(ε) = ε 0 Linie: N(ε) = ε−1 Flache: N(ε) = ε−2

Fraktale Dimension:

N(ε) ∼ ε−dfr dfr = limε→0

lnN(ε)

ln 1/ε(4.6)

Beispiel:

n-te Generation:

Zahl der Kanten: Nn = N0 4n

Lange einer Kante: ln = cn

mit 14< c < 1

2

Bedeckung mit Kugelndes Radius ε = cn

N(ε) = No 4n = N0 4 ln ε / ln c dfr =ln 4

ln 1/c

< 2> 1

(4.7)

Pentagramm: c ≈ 0.38 dfr ≈ 1.44

25

Backer Transformation:

Nach n Schritten: Breite = ε = en λ2 Lange = εN(ε) = en λ1

dfr = 1 − λ1

λ2

(4.8)

Beispiel: α = 12γ0 = 1

4γ1 = 1

2

λ1 = ln 2 λ2 = −32ln 2 dfr = 5

3

6.12.99

4.4 Lyapunov Exponenten und Dimensionen

Zeitliche Entwicklung von kleinen Abweichungen

Autonomes dynamisches System x(t) = x1(t), · · · , xn(t)

dx(t)

dt= f

(x(t)

)(4.9)

oderx+1 = f

(x

)(4.10)

Betrachte Trajektorie x(t) und benachbarte Trajektorie x′(t) = x(t) + δx(t)

Linearisierte Bewegungsgleichung fur infinitesimale δx(t)

dδxi(t)

dt=

∑j

∂fi(x(t)

)∂xj(t)

δxj(t) =∑

j

Aij

(x(t)

)δxj(t) (4.11)

Helmholtzscher Fundamentalsatz:

Aij = Sij + Ωij mit Sij = Sji und Ωij = −Ωji (4.12)

Sij beschreibt lokale Verzerrung, Ωij beschreibt lokale Drehung

Zeitliche Entwicklung des Fehlers

∆2(t) =∑

i

δx2i (t) (4.13)

26

d∆2(t)

dt= 2

∑i,j

δxi(t)Sij

(x(t)

)δxj(t) (4.14)

Integrierte zeitliche Entwicklung

δxi(t) =∑

j

Lij

(x(0), t

)δxj(0) (4.15)

d

dtLij

(x(0), t

)=

∑k

Aik

(x(t)

)Lkj

(x(0), t

)mit Lij

(x(0), 0

)= δi,j (4.16)

MitΛij(x, t) = Λji(x, t) =

∑k

Lki(x, t)Lkj(x, t) (4.17)

∆2(t) =∑i,j

δxi(0)Λij(x, t)δxj(0) (4.18)

Eigenwerte von Λij

(x(0), t

):

∑j

Λij(x, t)ηj,(x, t) = e2 λ(x,t) t ηi,(x, t) (4.19)

Lyapunov Exponentenλ = lim

t→∞λ(x, t) (4.20)

Es existiert ein λm = 0: Betrachte δx(t) = x(t+ δt) − x(t)

Chaotisches System mit n Variablen: Numerierung so daß λ ≥ λ−1

λ1 · · ·λm−1 > 0 λm = 0 λm+1 · · ·λn < 0

Attraktor:n∑

=0

λ < 0

Lokale Struktur:

m-dimensionale Manigfaltigkeit⊗

(n−m)-fache Cantor Menge

Codimension dco = n−m

27

Der Attraktor sei beschrankt auf ein Gebiet mit linearer Ausdehnung ∼ 1

Anfangskonfiguration: Flache F (t = 0) ∼ 1

F (t) ∼ et∑m−1

=1λ (4.21)

Zahl der Blatter: N(t) ∼ F (t)

Dicke der Blatter in k-Richtung: δk(0) ∼ 1 δk(t) ∼ et λk

Wahl: ε(t) = δk(t) fur k ≥ m+ 1

εk−1N(ε) = et∑k−1

=1λ (4.22)

Fraktale Dimension:Optimale Wahl von k ≥ m+ 1 so daß N(ε) minimal ist

dfr = maxk

(k − 1)λk −k−1∑=1

λ

λk

(4.23)

20.12.99

4.5 Entropie

Ereignisse i mit Wahrscheinlichkeit Pi mit∑

i

Pi = 1

Shannon-Information:

I = −∑

i

Pi log2 Pi (4.24)

Entropie und fraktale Dimension:Einteilung in Zellen Vi(ε) der Große ε

Pi =

0 falls Zelle i leer istp sonst

(4.25)

N(ε) Zellen sind nicht leer:∑

i

Pi = N(ε) p = 1

Mit (4.6)Ifr(ε) = −dfr log2 ε (4.26)

28

Entropie und Wahrscheinlichkeit:

Pi = limτ→∞

1

τ

∫ τ

0dtΘi(x(t)) mit Θi(x) =

1 falls x ∈ Vi(ε)0 sonst

=∫

Vi(ε)dµ(x) (4.27)

Iµ(ε) =∑

i

Pi log2 Pi = −dµ log2 ε ≤ Ifr (4.28)

Korrelationsfunktion und Dimension(Grassberger, Procaccia)

Korrelationsfunktion:

c(r) = limτ→∞

1

τ 2

∫ τ

0dtdt′ δ(r − |x(t) − x(t′)|)

=∫

dµ(x)dµ(x′) δ(r − |x− x′|) (4.29)

Korrelationsintegral

C(ε) =∫ ε

0dnr c(r) ≈

∑i

∫Vi(ε)

dµ(x)dµ(x′) =∑

i

P 2i (ε) = εν

≥ p2N(ε) = ε dfr (4.30)

Genauere Abschatzung: ν ≤ dµ ≤ dfr

Beispiele:

Logistische Abbildung mit a = 3.5699.. ν = 0.5 dµ = 0.517 dfr = 0.538

Lorenz-Gleichung mit σ = 16, b = 4 und r = 40λ = (1.37, 0, −22.37) ν = 2.05 ± 0.01 dfr = 2.06 ± 0.01und mit (4.22) dfr = 2.061

29

Analyse von Zeitreihen

Gegeben sei y(t), z.b. aus Experiment.

Konstruiere Trajektorie in einem k-dimensionalen Parameterraum

x(t) =y(t), y(t− τ), y(t− 2 τ), · · · , y(t− (k − 1) τ)

(4.31)

Bestimme ν oder d... fur verschiedene Werte von k

k

ν

mit Rauschen

ideal

kmin

Zur Rekonstruktion der dynamischen Gleichungen, F(· · ·)

d y(t− 8 τ)d t

= F

(y(t), · · · , y(t− (k − 1) τ)

)(4.32)

ist k ≥ kmin notwendig.10.1.00

30

5 Hamiltonsche Systeme

5.1 Periodisch angestoßener Rotator

Koordinaten: Winkel ϕ(t), Impuls ψ(t)

Periodische Kraft F (t) = f cos(ϕ(t)) δ(tmod τ)

Bewegungsgleichungen: fur t = n τ + t′ mit 0 ≤ t′ < τ

ϕ(n τ + t′) = ϕ(n τ) + ψ(n τ) t′

ψ(n τ + t′) = ψ(n τ) (5.1)

ψ((n+ 1) τ) = ψ(n τ) + f cos(ϕ((n+ 1) τ))

Abbildung: ϕ(n τ), ψ(n τ) → ϕ((n+ 1) τ), ψ((n+ 1) τ)Mit ϕn = ϕ(n τ) und ψn = ψ(n τ)

ϕn+1 = ϕn + τ ψn (5.2)

ψn+1 = ψn + f cosϕn+1

Abbildung:ψn cos(ϕn);ψn sin(ϕn)

Tori, ψ irrational(blau)

Geschlossene Tra-jektorien, ψ rational(rot)

31

Abbildung:ψn cos(ϕn);ψn sin(ϕn)

Tori (blau)

Mehrfache Tori (grun)

Chaotische Bereiche(rot)

Zusammenwachsenvorher getrennterchaotischer Bereichebei starkerer Storung

32

Zusammenwachsenvorher getrennterchaotischer Bereichebei starkerer Storung

5.2 Hamiltonsche Mechanik

Hamilton Funktion: H(p, q) mit p = p1 · · · pN und q = q1 · · · qN.Hamiltonsche Gleichungen

∂tpi = −∂H∂qi

∂tqi =∂H

∂pi

(5.3)

Losung mit Anfangsbedingung:Trajektorien pi(t) · · · pN(t) q1(t) · · · qN(t) im 2N -dimensionalen Phasenraum.Frage: Dimension der Trajektorie?Beispiel: Kepler-Bewegung, geschlossene Bahnen: d = 1

Periheldrehung, Rosettenbahnen: d = 2

Poisson Klammern: A(p, q), B(p, q)

A(p, q), B(p, q)

=

∑

∂A(p, q)

∂q

∂B(p, q)

∂p

− ∂B(p, q)

∂q

∂A(p, q)

∂p

(5.4)

Hamiltonsche Gleichungen

∂tpi =pi , H

∂tqi =

qi , H

(5.5)

qi , qj

= 0

pi , pj

= 0

qi , pj

= δij (5.6)

33

Liouville SatzBetrachte Volumelement

δV =N∏

i=1

δpi δqi (5.7)

mit

∂t δqi =∂2H

∂qi ∂pi

δqi ∂t δpi = − ∂2H

∂pi ∂qiδpi (5.8)

d δV

d t=

∑i

(∂t δqiδqi

+∂t δpi

δpi

)δV = 0 (5.9)

Lyapunov Exponenten: allgemein

∂tδV =∑

λ δV (5.10)

in Hamiltonschen Systemen2 N∑=1

λ = 0 (5.11)

17.1.00

Kanonische Transformationen

Neue Variable Pi(p, q) und Qi(p, q) so daß

Qi , Qj

= 0

Pi , Pj

= 0

Qi , Pj

= δij (5.12)

mit neuer Hamiltonfunktion K(P ,Q) so daß

∂tPi =Pi , K

= − ∂K

∂Qi

∂tQi =Qi , K

=∂K

∂Pi

(5.13)

Explizite Konstruktion: Finde erzeugende Funktion S(q,P , t) so daß

pi =∂S(q,P , t)

∂qiQi =

∂S(q,P , t)

∂Pi

(5.14)

K(P ,Q, t) = H(p, q) +∂S(q,P , t)

∂t(5.15)

34

5.3 Integrable Systeme

Erhaltungsgroßen Fn(p, q) so daß

∂tFn =Fn , H

= 0 Fn

(p(t), q(t)

)= fn (5.16)

Integrables System:Es existieren N unabhangige Erhaltungsgroßen F1 · · ·Fn so daß Fn , Fm = 0

Beispiel: Eindimensionale Bewegung in einem zeitunabhangigen Potential:

H(p, q) =p2

2m+ V (q) = E (5.17)

Beispiel: Dreidimensionale Bewegung in einem zeitunabhangigen Zentralpotential:

H(p, q) =p2

2m+ V (|q|) = E

Lz(p, q) = px qy − py qx = 8z (5.18)

L2(p, q) = (p × q)2 = 82

Trajektorie [p(t) q(t)] mit Anfangsbedingungen f1 · · · fn im 2N -dimensionalenPhasenraum: auf Manigfaltigkeit (N -Torus)

M(f) = F1(p q) = f1 ∩ F2(p q) = f2 · · · ∩ FN(p q) = fN (5.19)

Wirkungs- und WinkelvariableKanonische Transformation auf neue Variable:Wirkungsvariable I = I

(F (p, q)

)und Winkelvariable Θ = Θ(p, q) so daß K = K(I).Mit I = I(f)

∂t Θ =∂K(I)

∂I= ω(f) Θ(t) = ϑ + ω t (5.20)

Es existiert eine erzeugende Funktion S(q, I) so daß (5.14)

pi =∂S(q, I)

∂qiΘ =

∂S(q, I)

∂I(5.21)

35

Es seien q und q0 Punkte auf M(f) und C und C ′ Verbindungen dieserPunkte, ebenfalls auf M(f). Falls C stetig nach C ′ verformbar ist, ist

S(q, I) =∫ q

q0

∑i

pi dqi (5.22)

unabhangig vom gewahlten Weg.

Wahle N Wege C (nicht stetig ineinander oder auf einen Punkt verformbar)

C1111

C2222C’2222

C0000

und

I =1

2π

∫C

∑i

pi dqi =1

2π

∫C′

∑i

pi dqi = I(f) (5.23)

Dann ist S(q, I) mehrdeutig: d.h. falls der Integrationsweg um C erweitertwird, gilt S(q, I) → S(q, I) + 2π I

Ursprungliche Variable

qi = qi(Θ, I) = qi(Θ + 2πn, I) pi = pi(Θ, I) = pi(Θ + 2πn, I) (5.24)

mit n = n1 · · · nN und n ganzzahlig, d.h. qi und pi sind periodisch.

Fourierdarstellung

qi(t) =∑nai,n e

i∑

nωt pi(t) =

∑nbi,n e

i∑

nωt (5.25)

Nicht entartet: alle ωk/ω irrational: Trajektorie belegt M(f) dichtVollstandig entartet: Trajektorie ist geschlossene Kurve auf M(f)

36

Bemerkung zur Quantenmechanik:Bohr-Sommerfeld Quantisierung: I muß ganzzahliges Vielfaches von h sein.

Freier RotatorErhaltungsgroße f = ψ, Ortsvariable ϕ.Erzeugende Funktion, (5.22): S(ϕ, I(f)) = ϕfMit (5.23) I = f = ψ und K(I) = 1

2I2

Ebenes PendelOrtsvariable ϕ Impulsvariable ψ = m82ϕ

H(ϕ, ψ) =ψ2

2m82−mg 8 cosϕ (5.26)

Wahle Einheiten so daß m82 = mg8 = 1.

Erhaltungsgroße H(ϕ, ψ) = 12ψ2 − cosϕ = E

Impuls ψ = ψ(ϕ,E) = ±√

2(E + cosϕ)

Erzeugende Funktion mit ϕ0 = 0

S(ϕ, I(E)) = ±∫ ϕ

0dα

√2(E + cosα) (5.27)

= ±2√

2(E + 1) E(

sin(12ϕ),

√2

E + 1

)

wobei E(x, y) ein unvollstandiges elliptisches Integral 2. Gattung ist.

Schwingungen: −1 < E < 1 Umkehrpunkte: ϕ± = ±ϕ = ±arc cos(−E)

I =2

π

∫ ϕ

0dϕ

√2(E + cosϕ) =

4

π

√2(E + 1) E

(√E + 1

2,

√2

E + 1

)(5.28)

Uberschlage: e > 1

I =1

π

∫ π

0dϕ

√2(E + cosϕ) =

2

π

√2(E + 1) E

(1,

√2

E + 1

)(5.29)

31.1.00

37

5.4 Schwach gestorte Systeme, Resonanzschichten

Es sei

K(o

I,o

Θ) =o

K (o

I) + λK ′(o

I,o

Θ)

=o

K (o

I) + λ∑mK ′

m(o

I) ei∑

m

oΘ (5.30)

mit m = m1 · · ·mN und m ganzzahlig.

Kanonische Transformation auf neue Variable I und Θ mit erzeugender Funktion

S(o

Θ, I) =∑

o

Θ I + λ∑mSm(I) ei

∑

m

oΘ (5.31)

wobei, (5.14),

Θi =o

Θi +λ∑m

∂Sm(I)

∂Iiei

∑

m

oΘ

o

I i = Ii + i λ∑mmi Sm(I) ei

∑

m

oΘ (5.32)

Mit (5.30) und (5.20) in Ordnung λ

K(I,Θ) =o

K (I) + λ∑m

i∑

moω (I)Sm(I) +K ′

m(I)ei

∑

m

oΘ (5.33)

Falls∑

moω (I) = 0 wahle

Sm(I) =iK ′

m(I)∑m

oω (I)

(5.34)

Bedingung fur∑

moω (I) = 0:

Alle Verhaltnisse ωk(I)/ω(I) mussen irrational sein.

Entartung: ωk(I)/ω(I) = nk/n ist rational.∑ m

oω (I) = 0 fur mk = ±n, m = ∓nk und mn = 0 sonst.

38

Resonanzschicht

Einfacher Fall: Nur ein Verhaltnis ωk(I)/ω(I) ist rational.Damit konnen alle K ′

m(I) fur m = n m in Ordnung λ kompensiert werden.

Lineare Transformation auf neue Ortsvariableϕ =

∑ mΘ ; Θ1 · · · ΘN−1

und neue Impulsvariable

ψ ; I1 · · · IN−1

S(Θ;ψ, I) = ψ∑

mΘ + S ′(Θ; I) (5.35)

K(ψ, ϕ, I) = Ko(ψ, I) + λ∑n

K ′n(ψ, I) einϕ + λ2K ′′(ψ, I;ϕ, Θ) (5.36)

Entwicklung von Ko(ψ, I): mit

∂Ko(ψ, I)

∂ψ= ∂tϕ =

∑

m ω = 0∂2Ko(ψ, I)

∂ψ2

∣∣∣ψ=0

=1

M(I)(5.37)

K(ψ, I;ϕ, Θ) = Ko(I) +ψ2

2M(I)+ λ

∑n

K ′n(I) cos(nϕ+ αn) + · · · (5.38)

Dies ist bezuglich ψ und ϕ die Hamiltonfunktion eines Pendels mitTragheitsmoment M im Potential λ

∑n K

′n cos(nϕ+ αn).

Abschatzung von K ′n: mit (5.30)

Kn =∫ ∏

dΘ

2πe−in

∑

mΘK ′(I,Θ) (5.39)

Dabei ist m =√m2

k + m2 .

Falls K ′(I,Θ) stetig p-fach differenzierbar ist, ist

Kn ∼(n m

)−p−3(5.40)

Falls K ′(I,Θ) fur |mΘl| < γ analytisch ist, ist

Kn ∼ e−γnm (5.41)

Abschatzung von M∂I∂ψ

= m M ∼ m−2 (5.42)

39

Dicke der Resonanzschicht

∆ψm ∼ m√λK1 ∼

√λ

m(p+5)/2oder ∼

√λ

me−γm/2 (5.43)

Resonanzschicht:Flachen konstanterEnergie

Abschatzung der Summe aller Resonanzschichten:

∑mk m

∆ψm ∼∫ ∞

1dm m∆ψm ∼

√λ (5.44)

Fur hinreichend kleine Stohrungen bleiben invariante Tori erhalten.

KAM-Tori

Es sei

η =ωk(I)

ω(I)(5.45)

irrational.Benachbarte Resonanzschicht? Rationale Naherung ηr = Z/NKettenbruchentwicklung:

η = a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +R3

(5.46)

40

mit an ganzzahlig und ≥ 1 fur n ≥ 1.

Restglied

0 < Rn =1

an+1 +Rn+1

< 1 (5.47)

Rationale Naherung ηn: Kettenbruch mit Rn = 0.ηn: Alternierende Reihe mit Grenzwert η.

Rekursionsformel: [x] sei großte ganze Zahl < x

a0 = [η] Z0 = a0 N0 = 1 (5.48)

a1 =[ 1

η − a0]

Z1 = a0 a1 + 1 N1 = a1 (5.49)

an =[Zn−2 − η Nn−2

η Nn−1 − Zn−1

]Zn = Zn−2+an Zn−1 Nn = Nn−2+anNn−1 (5.50)

Fehler

δn = |ηn − η| =Nn−1

Nn

δn−1

an+1

(5.51)

Frequenzen der zu ηn gehorigen Resonanzschicht

ηn =ωk(I + m ψn)

ω(I + m ψn)(5.52)

Daraus erhalt man ψn = ψ(δn).Der zu η gehorige Torus bleibt erhalten falls fur alle Resonanzschichtenψn > ∆ψmn , (5.43).

Damit δn moglichst groß wird, mussen die an moglichst klein sein, also a0 = 0und an = 1 fur n ≥ 1. Damit wird (goldener Schnitt)

η = 12

(√5 − 1

)= 0.618033989 · · · (5.53)

Beispiele fur Kettenbruchdarstellung

π quad π ≈ 355/113: Lao-Tze 604-531 v.C.

n 0 1 2 3 4an 3 7 15 1 292Zn 3 22 333 355 103993Nn 1 7 106 113 33102δn 0.14 1.3 · 10−3 8.2 · 10−5 2.7 · 10−7 5.8 · 10−10

41

Goldener Schnitt 12(√

5 − 1)

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8an 0 1 1 1 1 1 1 1 1Zn 0 1 1 2 3 5 8 13 21Nn 1 1 2 3 5 8 13 21 34δn 0.6 0.4 0.1 0.05 0.02 7 · 10−3 3 · 10−3 1 · 10−3 4 · 10−4

7.2.00

5.5 Heterokline (homokline) Orbits und Chaos

Pendel als Prototyp der Bewegung in einer Resonanzschicht mit Storung ∼ ε ∼ λ2

H(P,Q) = Ho(P,Q) + εW (P,Q, t) = 12P 2 + cos Q+ εW (P,Q, t) (5.54)

Losung des ungestorten Problems Po(t), Qo(t).

Fixpunkte P ∗, Q∗ (stationare Punkte von Ho).Elliptischer Fixpunkt: P ∗ = 0, Q∗ = πEigenwerte der Matrix der zweiten Ableitungen von Ho am Fixpunkt > 0Hyperbolischer Fixpunkt: P ∗ = 0, Q∗ = 0Ein Eigenwert der Matrix der zweiten Ableitungen von Ho am Fixpunkt < 0

Heterokliner Orbit:Trajektorie zwischen zweihyperbolischen Fixpunkten

Po(t), Qo(t)

z.B. mit AnfangsbedingungPo(0) =

√2, Qo(0) = 1

2π

P

Q

Familie von Losung des gestorten Problems

P (t; τ) = Po(t− τ) + ε p(t), Q(t; τ) = Qo(t− τ) + ε q(t), (5.55)

Linearisierte Bewegungsgleichung

∂tp = −ΩP Q(t− τ) p− ΩQQ(t− τ) q − fQ(t; τ)

42

∂tq = −ΩP P (t− τ) p− ΩP Q(t− τ) q − fP (t; τ) (5.56)

mit

ΩP P =∂2Ho(Po, Qo)

∂Po ∂Po

ΩP Q =∂2Ho(Po, Qo)

∂Po ∂Qo

ΩQQ =∂2Ho(Po, Qo)

∂Qo ∂Qo

(5.57)

fQ =∂W (Po, Qo, t)

∂Qo

fP =∂W (Po, Qo, t)

∂Po

(5.58)

Stabile gestorte Losung P−(t), Q−(t) mit Anfangsbedingung

P−(t) −→t→−∞

Po(t) Q−(t) −→t→−∞

Qo(t) (5.59)

Instabile gestorte Losung P+(t), Q+(t) mit Anfangsbedingung

P+(t)−→t→∞Po(t) Q+(t)−→

t→∞Qo(t) (5.60)

P

Q

P–,Q–

P+,Q+

Abstand ∆(t) zwischenTrajektorie (P+(t), Q+(t))und (P−(t), Q−(t)) (Po,Qo)

(P–,Q–)

(P+,Q+)

(Po,Qo)• •

(Qo,-Po)• •

∆ = (P+–P–, Q+–Q–)

Berechnung von ∆(t)

d

dtH

(P (t), Q(t), t

)= ε

∂

∂tW (P,Q, t)

∣∣∣P (t),Q(t)

(5.61)

43

In Ornung ε mit H±(t) = H(P±(t), Q±(t), t

)

H+(t) = Ho(P∗, Q∗) + ε

∫ t

−∞ds∂

∂sW (Po, Qo, s)

∣∣∣Po(s−τ),Qo(s−τ)

H−(t) = Ho(P∗, Q∗) − ε

∫ ∞

tds∂

∂sW (Po, Qo, s)

∣∣∣Po(s−τ),Qo(s−τ)

(5.62)

Mit (5.55) und

Ho

(P±(t), Q±(t), t

)= Ho

(Po(t− τ), Qo(t− τ)

)(5.63)

+εQo(t− τ)p±(t) − Po(t− τ)q±(t)

+ · · ·

in Ordnung ε

Po(t− τ)(q+(t) − q−(t)

)− Qo(t− τ)

(p+(t) − p−(t)

)(5.64)

=√P 2

o (t− τ) + Q2o(t− τ) ∆⊥(t) = M(τ)

Mit

M(τ) =∫ ∞

−∞ds∂

∂sW (Po, Qo, s)

∣∣∣Po(s−τ),Qo(s−τ)

(5.65)

Damit ist der transversale Abstand ∆⊥(t)

∆⊥(t) =M(τ)√

P 2o (t− τ) + Q2

o(t− τ)(5.66)

Fur t→ ±∞ geht Po(t) → 0 und Qo(t) → 0 und damit ∆⊥(t) → ∞

Angetriebenes Pendel:Frequenz ω

Poincare Schnittω t = 2nπ

Manigfaltigkeit τ =0 · · · 2π/ω

Die Stabile (instabile)Manigfaltigkeit kann sichnicht selbst schneiden.

Die eingeschlossenenFlachen sind gleich(Liouville Satz)

44

Asteroidenverteilung, Resonanzen mit Jupiterbahn

Dichte der Asteroiden

4 3 2 1 ω /ωJupiter

Troj

aner

3/25/27/2

Saturnringe und Saturnmonde

2ωΕ2ωΜ

3ωΕ

2ωJ

3ωΜ

3ωJ

Saturn

A-Ring

B-Ring

Crepe

Janu

s

Mim

as

Enc

elad

us

Roche Grenze: Gezeitenkräfte = Gravitation

14.2.00

F I N I S

45