《电磁场与电磁波》第13讲 - shandong...
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第 4 章电磁场与电磁波
《电磁场与电磁波》第13讲
1
第四章 时变电磁场(1)
4.1 波动方程
4.2 电磁场的位函数
4.3 电磁能量守恒定律
4.4 惟一性定理
教师姓名: 宗福建
单位: 山东大学微电子学院
2019年4月9日
1
第 4 章电磁场与电磁波
本讲内容
4.1 波动方程
4.2 电磁场的位函数
4.3 电磁能量守恒定律
4.4 惟一性定理
2
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
在无源真空中,则有
无源区的波动方程
波动方程 —— 二阶矢量偏微分方程,揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程 一阶矢量偏微分方程组,描述电场与磁场
间的相互转化关系。(较复杂)
麦克斯韦方程组 波动方程。(较简单)
问题的引入
22
0 0 2 0HHt
22
0 0 2 0EEt
电磁波动方程
3
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
一般情况下,电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组:
0
t
t
BED EB HJ ED
B
其中 DH J
4
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
现在我们研究在没有电荷电流分布的自由空间(或均匀介质)中的电磁
场运动形式。在自由空间中,电场和磁场互相激发,电磁场的运动规
律是齐次的麦克斯韦方程组( ρ = 0 , J = 0 情形 ):
0
0
t
t
BE D
DH B
5
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
真空情形 在真空中,D = ε0 E , B = μ0 H 。取第一式的旋度并利用第
二式得
用矢量分析公式及▽·E = 0 得
2
0 0 2( )t t
EE B
2 2
22
0 0 2
( ) ( )
0t
E E E EEE
6
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
同理取第二式的旋度并利用第一式得
用矢量分析公式及▽·B = 0 得
2
0 0 0 2( )t t
BB D
2 2
22
0 0 2
( ) ( )
0t
B B B BBB
7
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
令
得 0 0
22
2 2
22
2 2
1
1 0
1 0
c
c t
c t
EE
BB
8
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
此即为波动方程。由其解可知电磁场具有波动性,电磁场的能量可
以从一点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场
总是以波动形式运动着。在真空中,一切电磁波(包括各种频率范围
的电磁波,如无线电波、光波、X射线和γ射线等)都以速度c传播,
c就是最基本的物理常量之一,即光速。
22
2 2
22
2 2
1 0
1 0
c t
c t
EE
BB
9
1 2
1 2
( ) ( )( ) ( )x ct x ctx ct x ct
E E EB B B
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
介质情形 研究介质中的电磁波传播问题时,必须给出D和E的关系以及
B和H的关系,当以一定角频率ω作正弦振荡的电磁波入射于介质内时,
介质内的束缚电荷受电场作用,亦以相同频率作正弦振动。在线性介
质中有关系
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
D EB H
10
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
由介质的微观结构可知,对于不同频率的电磁波,介质的介电常数是不
同的,即
ε和μ随频率ω而变化的现象,称为介质的色散。
( ) ( )
11
第 4 章电磁场与电磁波
4.1 波动方程
由于色散,对一般非正弦变化的电场E(t),关系式 D(t)=εE(t)不成立。
因此在介质内,不能够推出E和B的一般波动方程。这是因为
0 0
0
1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 ( ) ( )2
i t i t
i t
t e d e d
e d t
D D E
E E
12
第 4 章电磁场与电磁波
22
2 0HHt
22
2 0EEt
2
2( ) HH Ht
2
( )EHt
0
0
ΕHtHΕt
H
Ε
同理可得
推证
( )H Et
电磁场波动方程
在无源空间中, 。设媒质是线性、各向同
性且无损耗的均匀媒质,则有
0, 0J
13
第 4 章电磁场与电磁波
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
0
0
0
x x x x
y y y y
z z z z
E E E Ex y z tE E E Ex y z tE E E Ex y z t
在直角坐标系中,波动方程可以分解成三个标量方程,每
个方程只含有一个方向上的场分量。
波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。研
究电磁波的传播问题都可归结为在给定的边界条件和初始条件
下,求解波动方程的解。
22
2 0EEt
14
第 4 章电磁场与电磁波
出题优点名签到
第 4 章电磁场与电磁波
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的性质
位函数的定义
位函数的规范条件
位函数的微分方程
16
第 4 章电磁场与电磁波
引入位函数来描述时变电磁场,使一些问题的分析得到简化。
引入位函数的意义
时变电磁场中位函数的定义
( ) 0AΕt
0B
B A
BΕt
AEt
AEt
电磁场的
矢量位电磁场的
标量位
17
第 4 章电磁场与电磁波
把电磁场用矢势和标势表示出来。
注意现在电场E不再是保守力场,一般不存在势能的概念,标势φ失
去作为静电场中势能的意义。
因此,在高频系统中,电压的概念也失去确切的意义。
在变化场中,磁场和电场是相互作用的整体,必须把矢势和标势作为
一个整体来描述电磁场。
t
B AAE
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第 4 章电磁场与电磁波
位函数的不唯一性
( )
( ) ( )
A A A B
A AA Et t t t
A
( 、 ) 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同
一个电磁场问题。
A
( 、 )
A A
t
即
也就是说,对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
A 原因:未规定 A的散度。
为任意标量函数
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第 4 章电磁场与电磁波
规范变换和规范不变性
即(A’ , φ’)与(A , φ )描述同一电磁场。
变换
称为势的规范变换。
每一组(A , φ )称为一种规范。
t
A AA A
20
第 4 章电磁场与电磁波
规范变换和规范不变性
在经典电动力学中,由于表示电磁场属性的可测量的物理量为E和
B,而不同规范有对应着同一的E和B ,因此,如果用势来描述
电磁场,客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。
当势作规范变换时,所有物理量和物理规律应该保持不变,这种
不变性称为规范不变性。
21
第 4 章电磁场与电磁波
规范变换和规范不变性
从数学上来说,规范变换自由度的存在是由于在势的定义式
中,只给出A的旋度,而没有给出A的散度。
我们知道仅由矢场量的旋度是不足以确定这矢量场的。为了确定A,
还必须给定它的散度。电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。
因此,作为确定势的辅助条件,我们可以取▽∙A为任意的值。
.t
B AAE
22
第 4 章电磁场与电磁波
规范变换和规范不变性
每一种选择就对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使基
本方程和计算简化,而且物理意义也较明显。从计算方便
考虑,在不同问题中可以采用不同的辅助条件。应用最广
的是以下两种规范条件:
23
第 4 章电磁场与电磁波
除了利用洛仑兹条件外,另一种常用的是库仑规范条件,即
在电磁理论中,通常采用洛仑兹规范条件,即
位函数的规范条件
0A
0At
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第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
由麦克斯韦方程组推导势A和φ所满足的基本方程。
把
代入
.t
B AAE
0
t
EB J
E
0 0 0
25
第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
得
2
0 0 0 0 0 2( ) ,t t
AA J
2
0t
A
2( ) ( ) A A A
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第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
应用μ0ε0 = 1/c2并将两式加以整理后,得
这是适用于一般规范的方程组。
22
02 2 2
2
0
1 1( )c t c t
t
AA A
A
J
27
第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
若采用库仑规范,得
22
02 2 2
2
0
1 1( )
( 0)
c t c t
t
AA A
A
A
J
28
第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
若采用库仑规范,得
22
02 2 2
2
0
1 1
( 0)
c t c t
AA
A
J
29
第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
这种规范的特点是标势所满足的方程与静电
场情形相同,其解是库仑势。解出φ后代入
第一式可解出A,因而可以确定电磁场。
30
第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
若采用洛伦兹规范,得
22
02 2 2
2
0
2
1 1( )
1(
c t c t
t
c t
AA A
A
A =0)
J
31
第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
若采用洛伦兹规范,得
称为达郎贝尔方程
22
02 2
22
2 20
2
1
1
1( 0)
c t
c t
c t
AA
A
J
32
第 4 章电磁场与电磁波
达朗贝尔(d’Alembert)方程
用这种规范时,方程具有相同形式,其意义也特别明显。
方程称为达郎贝尔方程,它是非齐次的波动方程,其自由项为电流密度
和电荷密度。由该式,电荷产生标势波动,电流产生矢势波动。离开
电荷电流分布区域后,矢势和标势都以波动形式在空间中传播,由它
们导出的电磁场E和B也以波动形式在空间中传播。
当然E和B的波动性质是和规范无关的。
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第 4 章电磁场与电磁波
DH Jt
( )AA Jt t
22
2 ( )AA J At t
EB Jt
22
2
AA Jt
位函数满足的微分方程BD E H
AB A Et
2( )A A A
0At
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第 4 章电磁场与电磁波
D
( )At
22
2t
同样AD E Et
、
0At
22
2t
22
2
AA Jt
达郎贝尔方程: J
电流密度
:电荷密度
35
第 4 章电磁场与电磁波
① 以上方程是在应用“洛仑兹条件”下所得到的。
② 位函数满足的方程在形式上是对称的,且比较简单,易求解;
③解的物理意义非常清楚,明确反映出电磁波具有有限传播速度;
④矢量位只决定于J,标量位只决定于ρ,这对求解方程特别有利。
⑤电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数,应
用不同的规范条件,矢量位 A 和标量位 的解也不相同,但最终
得到的电磁场矢量E、H是相同的。
注意:
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第 4 章电磁场与电磁波
静态场与时变场中位函数的比照
静态场(静电场、恒定磁场)
E 静
0A
B A
恒
22
2
22
2
AA Jt
t
2
2
A J
AEt
变
B A
变
At
时变电磁场
特点:电场、磁场相互独立 特点:电场、磁场是一个整体
矢量磁位
标量电位
库仑规范
电磁场的
矢量位
电磁场的
标量位
洛仑兹规范
泊松方程达郎贝尔
方程
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第 4 章电磁场与电磁波
静态场与时变场中位函数的比照
静态场(静电场、恒定磁场)
E 静
0A
B A
恒
0
0
'( )4
1 ( ')( )4
J xA x dvrxx dvr
( )
AEt
变
B A
变
At
时变电磁场
特点:电场、磁场相互独立 特点:电场、磁场是一个整体
矢量磁位
标量电位
库仑规范
电磁场的
矢量位
电磁场的
标量位
洛仑兹规范
38
0
0
',( , )
4
( ', )1( , )4
rJ x tcA x t dv
rrx tcx t dv
r
( )
第 4 章电磁场与电磁波
4.3 电磁能量守恒定律
讨论内容
能流密度矢量 S
电磁能量守恒原理
坡印廷矢量及其特点
电磁能量的流动
39
第 4 章电磁场与电磁波
电磁能量的定向流动形成“能流”,类似于“水流”。
电磁能量的流动
定性分析:
40
第 4 章电磁场与电磁波
电磁能量的流动
41
第 4 章电磁场与电磁波
电磁能量的流动
42
第 4 章电磁场与电磁波
电场能量密度:e
12
w E D
磁场能量密度: m12
w
H B
电磁场能量密度: e m1 12 2
w w w E D
H B
空间区域V中的电磁能量:1 1d ( )d2 2V V
W w V E D H B V
特点:当场随时间变化时,空间各点的电磁场能量密度也要随
时间改变,从而引起电磁能量流动。
ddWt
VS
定量分析:
43
第 4 章电磁场与电磁波
• 能流密度矢量又称“坡印廷矢量”,用 表示,其单位为
W/m2(瓦/米2)。
坡印廷矢量=能流密度矢量=功率密度矢量
为了描述能量的流动状况,引入“能流密度矢量”,其
方向表示能量的流动方向,其大小表示“单位时间”内穿过
与能量流动方向相垂直的“单位面积”的能量。
能流密度矢量
S
44
第 4 章电磁场与电磁波
进入体积V的能量=体积V内增加的能量+体积V内损耗的能量
电磁能量守恒关系(定性描述):
电磁能量守恒原理—坡印廷定理 ddWt
VS 前提假设:
假设闭合曲面 S 包围的体积 V 中
无外加源,其中媒质是线性和各向同
性的,且参数不随时间变化。
45
第 4 章电磁场与电磁波
其中: —— 单位时间内体积V 中所增加
的电磁能量。
—— 单位时间内电场对体积V中的电流所做的功; 在导电媒质中,即为体积V内总的损耗功率。
—— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。
积分形式:d 1 1( ) d ( )d dd 2 2S V V
V Vt
E H S E D H B E J
dV
V E J
d 1 1( )dd 2 2V
Vt
E D H B
( ) dS
E H S
1 1( ) ( )2 2t
E H E D H B E J
微分形式:
坡印廷定理(能量守恒原理的数学表示):
46
第 4 章电磁场与电磁波
— 单位时间内电磁场对体积V中的电流所做的功; 在导电媒质中,即为体积V内总的损耗功率。
积分形式:d 1 1( ) d ( )d dd 2 2S V V
V Vt
E H S E D H B E J
dV
V E J
1 1( ) ( )2 2t
E H E D H B E J
微分形式:
坡印廷定理(能量守恒原理的数学表示):
47
( )v v F v E J E E
电场力功率密度
( ) 0v B v
磁场力功率密度
第 4 章电磁场与电磁波
在线性和各向同性的媒质中,当参数都不随时间变化时,则有
将以上两式相减,得到
由
DH Jt
BΕt
DΕ H Ε J Εt
BH Ε Ht
D BΕ H H Ε Ε J Ε Ht t
1 ( ) 1( )2 2
D Ε Ε ΕΕ Ε Ε Dt t t t
1 ( ) 1( )2 2
B H H HH H H Bt t t t
推证
48
第 4 章电磁场与电磁波
即可得到坡印廷定理的微分形式
再利用矢量恒等式: ( )Ε H H Ε Ε H
1 1( ) ( )2 2
Ε H Ε D H B Ε Jt
在任意闭曲面S 所包围的体积V上,对上式两端积分,并应用散
度定理,即可得到坡印廷定理的积分形式
d 1 1( ) d ( )d dd 2 2S V V
V Vt
E H S E D H B E J
物理意义:单位时间内,通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于
体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
49
第 4 章电磁场与电磁波
定义: ( W/m2 )S Ε H
物理意义:
的方向 —— 电磁能量传输的方向S
的大小 —— 通过垂直于能量传输方
向的单位面积的电磁功率
S
描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量
坡印廷矢量(电磁能流密度矢量)
H
S
能流密度矢量
E
O
50
第 4 章电磁场与电磁波
由于式中的E(r,t)和H(r,t)都是瞬时值,所以能流密度
S(r,t)也是瞬时值,只有当E(r,t)和H(r,t)同时达到最大值
时, S(r,t)才能达到最大。若某一时刻,E(r,t)或H(r,t)
为零,则S(r,t)=0。
坡印廷矢量的特点
H
S
能流密度矢量
E
O S既垂直于E也垂直于H,又因
为E和H自身也是相互垂直的,
因此, S 、H 、 E三者是相互
垂直,且成右手螺旋关系。
51
( , ) ( , ) ( , )S r t Ε r t H r t
第 4 章电磁场与电磁波
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b,其间
填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ,导体中流过的电
流为I 。(1)在导体为理想导体的情况下,计算同轴线中传输的
功率;(2)当导体的电导率σ为有限值时,计算通过内导体表面
进入每单位长度内导体的功率。
同轴线
52
第 4 章电磁场与电磁波
解:(1)在内外导体为理想导体的情况下,电场和磁场只存
在于内外导体之间的理想介质中,内外导体表面的电场无切向分
量,只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理,容易
求得内外导体之间的电场和磁场分别为
,ln( )UE eb a
( )a b 2πIH e
2[ ] ( )ln( ) 2π 2π ln( )zU I UIS E H e e eb a b a
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
53
第 4 章电磁场与电磁波
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动,即由电源流向
负载,如图所示。
2d 2π d2π ln( )
b
zS a
UIP S e S UIb a
穿过任意横截面的功率为
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量
(理想导体情况)
54
第 4 章电磁场与电磁波
(2)当导体的电导率σ为有限值时,导体内部存在沿电流方
向的电场
2πzJ IE e
a
内
根据边界条件,在内导体表面上电场的切向分量连续,即
因此,在内导体表面外侧的电场为
zzE E
外 内
2ln( ) πza
U IE e ea b a a
外
2πa
IH ea
外
磁场则仍为
内导体表面外侧的坡印廷矢量为2
2 3 2( )2π 2π ln( )zaa
I UIS E H e ea a b a
外 外 外
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量(非理想导体情况)
55
第 4 章电磁场与电磁波
2 21 22 3 20
( )d 2π d2π πS a
I IP S S a z RIa a
外
e
2
1π
Ra
式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见,进入内导
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
由此可见,内导体表面外
侧的坡印廷矢量既有轴向
分量,也有径向分量,如
图所示。进入每单位长度
内导体的功率为
以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的,导体仅起着定向
引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时,进入导体中
的功率全部被导体所吸收,成为导体中的焦耳热损耗功率。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量(非理想导体情况)
56
第 4 章电磁场与电磁波
在电磁波情形中,能量在场中传播的实质,一般是容易理解的。
但是在恒定电流或低频交流电情况下,由于通常只需要解电路
方程,不必直接研究电磁场量,人们往往忽视能量在场中传
播的实质。事实上在这情形下电磁能量也是在场中传输的。
在电路中,物理系统的能量包括导线内部电子运动的动能和导
线周围空间的电磁场能量。
57
第 4 章电磁场与电磁波
一般金属导体内有n ~ 1023 cm-3,对于10 A/mm2电流密度来说,J=107
A/m2,电子电荷e ~ 1.6×10−19 C,把这些数值代入 J=nqv 得 v~
6×10−4 m/s。
金属导体,自由电子的热运动速度,约1×105 m/s 。
电子绕氢核的速度, 2×106 m/s
58
第 4 章电磁场与电磁波
由此可见,导体内自由电子平均漂移速度是很小的,相应的动能也很小。
而且,在恒定情况下,整个回路(包括负载电阻上),电流I都有相
同的值,因此,电子运动的能量并不是供给负载上消耗的能量。在负
载上以及在导线上消耗的功率完全是在场中传输的。
59
第 4 章电磁场与电磁波 60
第 4 章电磁场与电磁波 61
第 4 章电磁场与电磁波 62
第 4 章电磁场与电磁波
4. 4 惟一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 内,
如果给定t=0 时刻的电场强度和磁场强度
的初始值,并且在 t 0 时,给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量,那么,在 t > 0 时,区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
惟一性定理的表述
在分析有界区域的时变电磁场问题时,常常需要在给定的初
始条件和边界条件下,求解麦克斯韦方程。那么,在什么定解条
件下,有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢?这就是麦
克斯韦方程的解的惟一问题。
惟一性问题
V
S
63
第 4 章电磁场与电磁波
惟一性定理的证明
利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟
一的,那么至少存在两组解 、 和 、 满足同样的麦克斯韦
方程,且具有相同的初始条件和边界条件。1E
2H
2E
1H
00 0
EH Et
0
0HEt
0( ) 0H
0( ) 0E
则在区域V 内 和 的初始值为零;在边界面S 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零,且 和 满足麦
克斯韦方程
0E
0H
0E
0H 0E
0H
0 1 2E E E
0 1 2H H H
令
64
第 4 章电磁场与电磁波
根据坡印廷定理,应有
2 2 2
0 0 0d 1 1( )d d 0d 2 2V V
H E V E Vt
所以
由于场的初始值为零,将上式两边对 t 积分,可得
2 2 2
0 0 00
1 1( )d ( d )d 02 2
t
V VH E V E V t
0 0 n n 0 0 0 n 0( ) ( ) ( ) 0S S S
E H e e E H H e E
根据 和 的边界条件,上式左端的被积函数为0E
0H
2 2 2
0 0 n 0 0 0d 1 1( ) d ( )d dd 2 2S V V
E H e S H E V E Vt
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第 4 章电磁场与电磁波
0 0,E
0 0H
1 2 ,E E
1 2H H
上式中两项积分的被积函数均为非负的,要使得积分为零,必有
(证毕)即
惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件,为电磁场
问题的求解提供了理论依据,具有非常重要的意义和广泛的
应用。
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第 4 章电磁场与电磁波
思考题
第 4 章电磁场与电磁波
4. 5 时谐电磁场
复矢量的麦克斯韦方程
时谐电磁场的复数表示
复电容率和复磁导率
时谐场的位函数
亥姆霍兹方程
平均能流密度矢量
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第 4 章电磁场与电磁波
课下作业:
第189页
4.2,4.6,4.7,4.9
69
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第 4 章电磁场与电磁波 70