cart and pendulum simulation

8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation

1/15

CART AND PENDULUM SIMULATION

1. Cart and Pendulum

Pada Gambar 1 ditunjukan Cart and Pendulum Model yang mempunyai persamaan

gerak sebagai berikut:

( )

( ) θ θ θ θ θ θ θ

sincos

sincos

2

2

mgl I ml xml

ml xb F ml xm M

=++

+−=++

(1)

Apabila persamaan 1 dibuat dalam bentuk matriks akan tampak seperti pada

persamaan 2

+

−

+

−=

+

+0sin

0

00

sin

cos

cos2

F

mgl

xml b x

I ml ml

ml m M

θ θ

θ θ

θ θ

θ

(2)

Gambar 1 Cart and Pendulum Model

2. Metode Runge uta

Metode runge kuta meruapakan suatu metode numerik untuk mendapatkan nilai

integral !ntuk metode runge kutta orde " dapat menentukan nilai dari integral 1 dan

integral 2# adapun bentuk umum persamaan matematisnya sebagai berikut:


2/15

( )( )

$22%%

$%

2%#%#2

%#2

%2

#22

%#2

%2

#22

)%##(2

)%##(

"$211

$21

11

$$"

21

$

11

2

1

2

2

k k k k y y

k k k yh y y

k yk yh yh x f h

k

k yk

yh

yh

x f h

k

k yk yh yh x f hk

y y x f h

k

y y x f x

y

nn

nnn

++++=

++++=

++++=

+

+++=

+

+++=

=

=∂∂

−

−−

# dimanah

& integration step ($)

!. Peran"angan

Pada persamaan 2 merupakan persamaan di''erensial dengan orde 2 x

percepatan

danθ

percepatan sudut !ntuk mendapatkan nilai dari x

jarak danθ

sudut # dimana x

danθ

merupakan asil dari integeral orde 2 # seingga dapat ditentukan menggunakan

runge kutta order "

Persamaan 2 belum bisa menjadi input dari runge kutta perlu dilakukan modi'ikasi

seingga pada ruas kiri anya ada

θ

x

!ntuk memudakan memodi'ikasinya perlu

memisalkan tiaptiap matriks misal :


3/15

=

−

=

=

−=

=

+

+=

0

sin

0

00

sin

cos

cos2

F F

mgl G

x

ml bC

x

I ml ml

ml m M M

θ

θ δ

θ θ

θ δ

θ

θ

*eingga persamaan 2 akan menjadi sebagai berikut

F GC M ++= δ δ (")

Agar pada ruas kiri anya ada nilaiδ

saja# maka perlu dibagi dengan M

+ilai M

berupa matriks # maka tiap ruas dikalikan dengan nilai in,ers dari matriks M # seingga

persamaan " menjadi

+

+

+

−

+

+

+

−

+

+=

++=

−

−

−

−−−

0cos

cos

sin

0

cos

cos

00

sin

cos

cos

1

2

1

2

1

2

111

F

I ml ml

ml m M

mgl I ml ml

ml m M

xml b

I ml ml

ml m M x

F M G M C M

θ

θ

θ θ

θ

θ

θ θ

θ

θ

θ

δ δ

# dengan$

2ml I =

(-)

.entuk persamaan - ini suda dapat digunakan untuk input dari runge kutta

Pada persamaan 2 tidak menggandung ,ariable /aktu # seingga bila persamaan $

disesuaikan dengan bentuk persamaan - maka menjadi


4/15

( )( )

$22

$

2#2

#222

#222

)%#(2

)#(

"$211

$21

11

$$"

21

$

11

2

1

2

2

k k k k

k k k h

k k h f h

k

k k h

f h

k

k k h f hk

f h

k

f t

nn

nnn

++++=

++++=

+++=

+

++=

+

++=

=

=∂∂

−

−−

δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ

δ δ δ

#dimanah

&t ∆

()

Persamaan merupakan proses runge kutte dengan 2 ,ariabel .entuk matriks

memudakan dalam melakukan peritungan Pada persamaan ditunjukan ba/a asil

output dari proses runge kutte akan menjadi input dari proses runge kutte selanjutntya

dengan kata lain

=

n

n

n

x

θ

δ

dan

=

n

n

n

x

θ

δ

akan menjadi input untuk proses n 1

ari uraian diatas seingga dapat disimpulakan kebutuan akan 'ungsi'ungsi atau

procedure yang perlu dibuat untuk dapat mensimulasikan cart and pendulum pada baasa

pemprograman elpi adala sebagai berikut

a3ungsi penjumlaan matriks # sebagai alat bantu mengitung persamaan -

b3ungsi perkalian matriks# sebagai alat bantu mengitung persamaan -

c3ungsi in,ers matriks # sebagai alat bantu mengitung persamaan -

d3ungsi gerak untuk mengitung persamaan -

e3ungsi runge kutte

'3ungsi untuk membuat cart dan pendulum

!.1. Pen#umla$an matr%&'

ua matriks dapat dijumlakan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo

yang sama Matriks asil penjumlaannya juga akan memiliki ordo yang sama dengan

matriks yang dijumlakan 4omponenkomponen matriks asil penjumlaan diperole


5/15

dengan cara menjumlakan komponenkomponen setiap matriks yang seletak

Persamaan matematisnya sebagai berikut:

++++

=

+

hd g c

f bea

h g

f e

d c

ba

(5)

.erdasarkan persamaan 5# 'ungsi penjumlaan matriks dalam baasa

pemprogrman elpi adala sebagai berikut:

!.2. Per&al%an matr%(

a. Per&al%an matr%&' dengan '&alar

*ebua matriks dapat dikalikan dengan skalar (konstanta) dengan cara

mengalikan setiap komponen matriks dengan skalar Persamaan matematisnya

sebagai berikut:

=

kd kc

kbka

d c

bak

(6)

.erdasarkan persamaan 6# 'ungsi perkalian matriks dengan skalar dalam

baasa pemprogrman elpi adala sebagai berikut:


6/15

b. Per&al%an matr%&' dengan matr%&'

ua matriks dapat dioperasikan dengan perkalian jika banyak kolom matriks

pertama sama dengan banyak baris matriks kedua# sedangkan asil perkalian

matriksnya akan memiliki baris yang sama banyak dengan baris matriks pertama dan

memiliki kolom yang sama banyak dengan kolom matriks kedua# dapat ditulis

sebagai berikut

r mr nnm AB B A ××× =× )((7)

Metode perkalian dua matriks adala memasangkan baris pada matriks

pertama dengan kolom pada matriks kedua Persamaan matematisnya sebagai

berikut

++++

=

×

dhcf dg ce

bhaf bg ae

h g

f e

d c

ba

(10)

.erdasarkan persamaan 10# 'ungsi perkalian matriks dengan matriks dalam

baasa pemprogrman elpi adala sebagai berikut:


7/15

!.!. In)er' Matr%&'

8idak semua matriks memiliki in,ers# anya matriks persegi yang memiliki

in,ers *ecara umum# in,ers dari matriks persegi A atau ditulis A1 adala sebagai

berikut

)()det(

11 Aadj A

A =−

(11)

engan det (A) adala determinan matriks A dan adj(A) adala adjoin matriks A

Adjoin matriks A adala transpose dari matriks ko'aktor A Pada persamaan 2 yang

mempunyai matriks persegi adala matrik 2 9 2# untuk menyederanakan proses in,ers

matriks maka dalam perancangan 'ungsi in,ers matrik #anya untuk matriks yang

berukuran 2 9 2 !ntuk matriks A yang berordo 2 9 2 in,ersnya adala sebagai berikut

−

−−

=⇒

= −

ac

bd

bcad A

d c

ba A

11

(12)

.erdasarkan persamaan 12# 'ungsi in,ers matrik berordo 2 9 2 dalam baasa



8/15

!.*. Per'amaan Gera&

.erdasarkan persamaan # 'ungsi persamaan gerak cart and pendulum dalam baasa



9/15

!.+. De'a%n Cart dan Pendulum

.erdasarkan Gambar 2# desain cart dan pendulum alam baasa pemprogrman elpi

adala sebagai berikut:

Gambar 2 esain Cart dan Pendulum

!.,. De'a%n GUI

.erikut adala tampilan G! dari program diatas:

Gambar $ esain G! dari Cart dan Pendulum

*. Pengu#%an

*.1. Pengu#%an Matr%&

;asil peritungan manual sebagai berikut :


10/15

( )

( ) ( )

−

−

=

×+××

×+=

+

+⇒

5#2-

2-10-

$

10-10-120cos10-

120cos10--100

cos

cos 222

I ml ml

ml m M M

θ

θ

=

=

×−×

=−

0.001513510.00036036

0.000360360.00960960

569375,0003

1002-

2-5#

1

10-2-

2-5#

)2-2-()5#10-(

11 M

( )

−=

×××−=

−⇒

00

010

00

120sin010-10

00

sin

θ θ ml bC

=

⇒

0

0

θ δ

x

( )

−

=

×××−

=

−

⇒

-424.35245

0

120sin106#7-

0

sin

0

θ mgl G

=

⇒

0

0

0

F F

=

++=

⇒ −−−

0.64226-

0.15292-

F M G M C M x

111δ

δ δ

.erikut asil dari nilai !ji coba matrik# pada proses ini ditampilkan nilai dari

matrik in,ers M# nilai dari matrik C# nilai dari matrik in,ers M dikali C# dan asil dari

8eta double dot:


11/15

Gambar " ;asil Pengujian Matrik

*.2. Pengu#%an Pertama

Pada pengujian pertama ini dilakukan sebua pengujian teradat pendalum yang

mendapatkan nilai a/al teta 0 dan 160# dari pemasukan nilai parameter tersebut dapat terjadi

ba/a saat nilai teta di berikan 0 dan 160 maka pendalum dalam keadaan tetap dan tidak

bergerak .erikut gambar dari asil pengujian:


12/15

Gambar - ;asil Pengujian 8eta & 160

Gambar ;asil Pengujian 8eta & 0

"$ Pengujian 4edua

Pengujian kedua in dilakukan dengan meruba nilai dari b# semakin besar nilai b

maka akan semakin cepat pendalum akan berenti# asil pengujian dapat diliat pada gambar

diba/a ini:


13/15

Gambar 5 ;asil Pengujian b&0




14/15

"" Pengujian 4etiga

Pengujian kedua in dilakukan dengan meruba nilai dari m# semakin besar nilai m

maka akan semakin cepat pendalum akan berenti# asil pengujian dapat diliat pada gambar

diba/a ini:

Gambar 5 ;asil Pengujian m&1


15/15

Gambar 5 ;asil Pengujian m&10

Gambar 5 ;asil Pengujian b&-0

cart and pendulum simulation

Documents