Carlos Ivorra Castillo

ALGEBRA

Mathematics, rightly viewed, possesses not onlytruth, but supreme beauty a beauty cold and aus-tere, like that of sculpture.

Bertrand Russell

Indice General

Introduccion ix

Preliminares conjuntistas xv

Captulo I: Los numeros enteros y racionales 11.1 Construccion de los numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Cuerpos de cocientes. Numeros racionales . . . . . . . . . . . . . 71.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Captulo II: Anillos de polinomios 152.1 Construccion de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 152.2 Evaluacion de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Captulo III: Ideales 253.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Captulo IV: Divisibilidad en dominios ntegros 294.1 Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Captulo V: Congruencias y anillos cociente 455.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Numeros perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

v

vi INDICE GENERAL

Captulo VI: Algunas aplicaciones 656.1 Ternas pitagoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Sumas de dos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3 Sumas de cuatro cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.4 Numeros de la forma x2 + 3y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5 La ecuacion x2 + 3y2 = z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6 El Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.7 Enteros ciclotomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Captulo VII: Modulos y espacios vectoriales 877.1 Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2 Suma de modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3 Modulos libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Captulo VIII: Extensiones de cuerpos 1058.1 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.2 Homomorfismos entre extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.4 Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.5 Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.6 El teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Captulo IX: Grupos 1359.1 Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.2 Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.3 Generadores, grupos cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.4 Conjugacion y subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.5 Producto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.7 Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Captulo X: Matrices y determinantes 15710.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.3 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Captulo XI: Enteros algebraicos 17911.1 Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . 18511.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19111.4 Factorizacion unica en cuerpos cuadraticos . . . . . . . . . . . . . 19511.5 Aplicaciones de la factorizacion unica . . . . . . . . . . . . . . . . 201

INDICE GENERAL vii

Captulo XII: Factorizacion ideal 20712.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20812.2 Factorizacion ideal en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . 21412.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorizacion unica . . . . . 220

Captulo XIII: Factorizacion en cuerpos cuadraticos 22313.1 Los primos cuadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22313.2 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22613.3 Calculo del numero de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Captulo XIV: La ley de reciprocidad cuadratica 24314.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24314.2 El smbolo de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24714.3 El smbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25214.4 Los teoremas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Captulo XV: La teora de Galois 25915.1 La correspondencia de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25915.2 Extensiones ciclotomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26515.3 Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27315.4 Polinomios simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Captulo XVI: Modulos finitamente generados 28116.1 Los teoremas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28116.2 La estructura de los grupos de unidades . . . . . . . . . . . . . . 289

Captulo XVII: Resolucion de ecuaciones por radicales 29317.1 Extensiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29417.2 Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29717.3 Caracterizacion de las extensiones radicales . . . . . . . . . . . . 30317.4 La ecuacion general de grado n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Apendice A: El teorema de la base normal 307

Apendice B: Extensiones inseparables 311

Apendice C: La resultante 315

Bibliografa 319

Indice de Tablas 321

Indice de Materias 322

Introduccion

El proposito de este libro es introducir a un lector con conocimientos mnimosde matematicas en el estudio de los numeros naturales

0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Quiza esta afirmacion sorprenda al lector por dos posibles motivos: bienporque crea que los numeros naturales son algo tan simple que difcilmente sepuede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro as no deberallamarse Algebra. El primer caso es facil de rectificar. Consideremos porejemplo la ecuacion

x2 + xy 3y2 = 15.

Sabra decidir el lector si existen numeros naturales (x, y) que satisfaganesta condicion? Tenemos aqu un problema de planteamiento elemental cuyasolucion no es nada facil. Si existiera un par as podramos tener suerte y en-contrarlo por tanteo, pero si no lo hay necesitaremos algun tipo de razonamientoque lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya.Si el problema fuera x2 + xy + 3y2 = 15 el asunto sera muy diferente, puespodramos hacer 4(x2 + xy + 3y2) = (2x + y)2 + 11y2 y de aqu sacaramos unacota a las posibles soluciones, con lo que un numero finito de comprobacionesbastara para decidir si las hay. Aun as habramos necesitado un pequeno trucoque requerira un mnimo de perspicacia.

De nada sirve despejar la y en funcion de x, o viceversa, pues entonces nosencontraremos con el problema de determinar si una expresion con una razcuadrada puede o no ser un numero natural, y no podremos ir mucho mas lejos.

Sin duda el lector que crea dominar los numeros naturales reconocera ya laprecariedad de ese dominio. Sin embargo esta situacion suele causar rechazo almatematico acostumbrado a otra clase de problemas mas . . . abstractos? Lareaccion natural es: pero que importa si existen o no soluciones naturales? Unapregunta interesante podra ser si existen funciones reales continuas no deriva-bles en ningun punto, por ejemplo, porque una solucion negativa consolidaranuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que unasolucion positiva sera (y de hecho es) algo verdaderamente curioso e intrigante.Sin embargo, tanto si alguien encuentra una solucion a esa ecuacion como siprueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un datoirrelevante.

ix

x Introduccion

Esta objecion entronca con la posible sorpresa de que un libro que prometeabordar estas banalidades tenga la osada de titularse Algebra. El reprocheestara justificado si lo unico que fueramos a ver en este libro fuera una co-leccion de recetas o, aun peor, de trucos para resolver ecuaciones como la deantes. Tambien en tal caso sera razonable opinar que el contenido del librosera irrelevante, al menos segun los gustos matematicos al uso. Sin embargo,el interes de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta.Parafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas ocultauna disciplina que merece el ttulo de Reina de las Matematicas. Por que unmatematico que destaco tan prodigiosamente en analisis, geometra diferencial,fsica y estadstica, entre otras partes de la ma