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Trigonometria

Capítulo IIFunciones Inversas. Identidades.Triángulos no

Rectángulos

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS .

2.1 Definición .

Por su definición matemática, una función es una relación entre dos variables x e y tal que a cada valor de la variable x ( llamada variable independiente ) , corresponde un sólo valor de la variable y ( llamada variable dependiente o función ) .

En el plano cartesiano, ésto significa que cualquier línea recta vertical de la forma x b= (

que represente un valor constante b de la variable independiente) , intersecta a la gráfica de la

función en un solo punto ( lo cual equivale a asociar un solo valor de la variable dependiente ).

Asi por ejemplo, en las gráficas de las funciones seno y sen x( )= o secante y sec x( )= , ( ó en cualquiera de las gráficas de las funciones trigonométricas ) podemos apreciar que tal definición se cumple .

3

2

1

1

2

3

1

1

Y

X

Por eso se dice que el seno, coseno , tangente , etc. son funciones matemáticas .

Ahora bién, si una función tiene inversa, ésta realiza las operaciones opuestas a las que hace la función , por ejemplo :

Dado un número x , con la función y 5 x= , se obtiene el quíntuplo de x . Con la función

inversa xy5

= se obtiene la división de tal número, es decir resulta el valor inicial x .

Dado un número x , con la función y x2= , se obtiene el cuadrado de x . Con la función

inversa x y= se obtiene la raíz cuadrada de tal número, es decir resulta el valor inicial x .

Pedro Ferreira Herrejón 1

Trigonometria

Dado un número x , con la función y 10x= , se obtiene el valor y de la función exponencial de base 10 . Con la función inversa x log y( )= se calcula el logaritmo

común de tal valor, es decir resulta el exponente x .

Dado un ángulo x , con la función y sen x( )= , se obtiene el número y de la función seno asociado a ese ángulo . Con la función inversa x arcsen y( )= se calcula el ángulo

inicial asociado al valor y mediante la función seno .

De manera que al aplicar la función y su inversa a un número dado x , regresamos al mismo

valor x . El proceso de determinar la función inversa implica invertir en algún momento los papeles de las variables x e y , lo cual equivale a intercambiar los ejes de coordenadas X y Y , es

decir en el plano cartesiano Y será ahora el eje horizontal y X será el eje vertical .

1 0 1

XAsi por ejemplo, la gráfica obtenida para la función seno después de intercambiar los ejes de coordenadas, tendrá la apariencia que se representa en la gráfica de la derecha .

Ésta no es realmente la gráfica de una función matemática, puesto que no cumple con la condición que define a una función dado que cualquier recta vertical comprendida entre los valores 1 y 1 , intersecta a la gráfica en una infinidad de puntos y no en uno sólo.

Para tener realmente la gráfica de la función inversa del seno, se puede escoger una parte de la gráfica que cumpla con la definición de función .

Como consecuencia de invertir los ejes de coordenadas X

e Y , la gráfica de una función y la gráfica de su inversa

deben ser simétricas respecto a la línea recta y x= , es decir , la gráfica de una función inversa es la imagen reflejada de la función con respecto a la recta diagonal y x= .

Por ésta razón, la parte o porción de la gráfica invertida del seno que representa su función inversa es la que queda

comprendida entre x2

= y x2

= como se indica en

la figura de la derecha .

De éste modo, cualquier recta vertical intersecta a éste pedazo de la curva "senoidal vertical " en un solo punto y se satisface la condición que define a una función.

Y

1 0 1

3.14

1.57

1.57

3.14

4.71

X

Y


Trigonometria

La función inversa de la función seno se denomina arco seno y se denota por :

y arcsen x( )= que se lee como : " y es el ángulo ( medido en radianes ) cuyo seno es el número x " .

Para representar la función inversa del seno suele utilizarse también la notación : y sen1

x( )= ; sin embargo tal notación podría causar confusión al interpretarse como la potencia 1 del seno,

es decir como y1

sen x( )= que es algo completamente diferente . Por ésta razón, evitaremos en

lo posible su uso .

Siguiendo los mismos principios que los ilustrados anteriormente para la obtención de la gráfica de la función inversa del seno, es posible obtener las funciones inversas de todas las funciones trigonométricas, las cuales se muestran en las siguientes gráficas: ( La gráfica de la función inversa se indica con una línea continua , mientras que la parte de la curva trigonométrica

que se refleja en la recta y = x se indica en línea punteada )

2 1 0 1 2

2

21 1

sen x( )

arcsen x( )

y x=

La parte de la curva seno comprendida entre x=/2 y x=/2 , se refleja en la recta y x= para definir la función inversa del seno , el "arco seno" como :

y arcsen x( )= si y solo si sen y( ) x=

donde 1 x 1 ; 2

y2

que se lee : " y es el ángulo cuyo seno es x "


Trigonometria

1

1

1 1 y x=

arccos x( )

cos x( )

La parte de la curva coseno comprendida entre x 0= y x = , se refleja en la recta

y x= para definir la función inversa del coseno , el "arco coseno" como :

y arccos x( )= si y solo si cos y( ) x=donde 1 x 1 ; 0 y

2

2

2

2

arctan x( )

tan x( )

La parte de la curva coseno comprendida entre x=/2 y x= /2, se refleja en la recta y x= para definir la función inversa de la tangente: "arco tangente" como :

y arctan x( )= si y solo si tan y( ) x=

donde x ; 2

y2


Trigonometria

2

2

2

2 y x=

cot x( )

arccot x( )

La parte de la curva cotangente que está entre x = /2 y x = /2 , se refleja en la recta y x= para definir la función inversa de la tangente , el "arco cotangente" como:

y arccot x( )= si y solo si cot y( ) x=

para x ; 2

y2

2

11

arcsec x( )

sec x( )

y x=

La parte de la curva secante comprendida entre x = 0 y x = , se refleja en la recta y x= para definir su función inversa : "arco secante " como :

y arcsec x( )= si y solo si sec y( ) x=

para x 1 , 1 x ; 0 y , y2


Trigonometria

2

2

1 1 y x=

csc x( )

arccsc x( )

Reflejando respecto a la recta y x= la parte de la curva cosecante que está entre

x = /2 y x = , se define la función inversa "arco cosecante " como :

y arccsc x( )= si y solo si csc y( ) x=

para x 1 , 1 x ; 2

y2

, y 0

Ejemplo 1. Sin usar calculadora, hallar el valor de . . .

a) arcsen1

2

b) arccos3

2

c) arctan 1( )

Solución : a) Aplicando la definición de la función inversa del seno :

Si arcsen1

2

= entonces sen 12

= .

en otras palabras, es el ángulo cuyo seno vale 1/2 .

X

Y

A B

O-1 -12 2

Dado que sen ordenada

radio= y

r= =

12

se sigue que y 1= , r 2= , x 3=

Reconociendo éstos como los lados de un triángulo 30° 60° 90° en el plano cartesiano, hay dos ángulos cuyo seno vale

1/2, que son: 210°76= ; 30 °

6

=


Trigonometria

6

1

2Sin embargo, dado que en el rango de

definición del arco seno es : [ /2 , /2 ] se concluye que debe estar en el

cuadrante IV , esto es 30 °= 6

=

y por lo tanto :

arcsen1

2

6

=

b) Aplicando la definición de la función inversa del coseno :

Si arccos3

2

= entonces cos 3

2= .

asi que es un ángulo cuyo coseno vale 3

2 .

X

A

B

O

2

2

YPor definición: cos abscisa

radio= x

r= =

32

se deduce que x 3= , r 2= , y = 1

Éstos son los lados de un triángulo 30° 60° 90° , asi que en el plano cartesiano hay dos ángulos cuyo coseno vale

32

, que son: 30°6

= y 30 °6

=

como se muestra en la figura de la derecha.

Finalmente , se sabe que el rango de definición del arco coseno es [0 , ] asi que debe ser un ángulo del cuadrante I ,

esto es 30°= 6

= y por lo tanto :

arccos3

2

6

=1 0 1

6

3

2


Trigonometria

c) De la definición para la función inversa de la tangente : Si arctan 1( )= entonces tan 1= .

es un ángulo cuyo tangente vale : 13

.

X

Y

A

B

O-1-1

1

1

Se sabe que tan ordenada

abscisa= y

x= = 1

es decir y = 1 , x= 1 y por lo tanto

r 12 12= = 2

Reconociendo éstos como los lados de un triángulo 45° 45° 90° en el plano cartesiano, hay dos ángulos cuya tangente vale

1 , que son: 135°3 4

= y 45 °4

=

como se muestra en la figura de la derecha.

4

1Sin embargo, para que esté en el rango de definición del arco tangente : [ /2 , ] se concluye que debe estar en el cuadrante IV , esto es

45 °= 4

= y por lo tanto :

arctan 1( )4

=

Es muy importante tener siempre en cuenta los rangos o intervalos de definición de las funciones trigonométricas inversas, con el fin de facilitar su aplicación . Es conveniente que Usted memorize ésos intervalos .Es necesario reconocer éstops rangos por ejemplo en ls siguientes identidades :

PROPIEDADES INVERSAS

Si 1 x 1 ; 2

2

entonces sen arcsen x( )( ) x= ; arcsen sen =

Si 1 x 1 ; 0 entonces cos arccos x( )( ) x= ; arccos cos =

Si x ; 2

2

entonces tan arctan x( )( ) x= ; arctan tan =

etc.


Trigonometria

Con el fin de obtener un mejor entendimiento de las funciones trigonométricas , trate usted de no usar la calculadora siempre que sea posible como en el siguiente ejercicio :

Ejemplo 2. Sin usar calculadora, determinar el valor exacto de:

a) arcsen sen 0.2447( )( ) b) arccos2

2

c) arccos cos

5 3

d) arcsen sen5 3

e) tan arcsec32

f) cos arcsen3

5

Solución : a) Puesto que el ángulo dado 0.2447= está en el rango 2

2

de

definición del arco seno, la identidad arcsen sen = existe y vale :

arcsen sen 0.2447( )( ) 0.2447=

b) De la identidad inversa arccos cos = que existe si 0

y sabiendo que cos4

1

2= 2

2= se sigue que :

arccos2

2

arccos cos

4

= 4

=

c) El ángulo 5/3 usado como argumento, no es un valor dentro del rango de definición de la función arco coseno 0 , por lo cual

arccos cos5 3

no existe ( aunque la calculadora diga que si ).

d) El ángulo 5 3

no es un valor en el rango permitido 2

2

de la

función arco seno . Sin embargo, es coterminal con 3

, el cual si queda

dentro del rango de definición. Por lo tanto :

arcsen sen5 3

3

=

e) Si arcsec32

= se sigue que sec 32

= y recordando la definición de

la función secante :

sec radio

abscia= r

x= 3

2=


Trigonometria

X

A

B

O 2

3

Y

3y

es decir r 3= , x 2= .Del teorema de Pitágoras se deduce que:

y r2

x2= 32 22= = 5

por lo cual la función tangente es :

tan y

x= = 5

2

Sin embargo, dado que el rango de definición de

arcsec x( )= es 0 ; 2

se concluye que debe ser el ángulo positivo del primer cuadrante, esto es :

tan arcsec32

52

=

f) Si arcsen3

5

= entonces sen 35

= y recordando la definición de la

función seno :

sen ordenada

radio= y

r= 3

5=

se deduce r 5= , y 3= . Del teorema de Pitágoras se obtiene además que:

x r2

y2= 52 3( )

2= = 4Pero tomando en cuenta que rango de definición de la función arco seno es 2

2

, el ángulo debe estar en el IV cuadrante, es decir x 4= y

finalmente resulta :

cos arcsen3

5

x

r= 4

5=


Trigonometria

2.2 Identidades recíprocas .

Como las funciones cotangente, secante y cosecante son las recíprocas de las funciones tangente, coseno y seno respectivamente, ahora que ya conocemos las funciones trigonométricas inversas, podemos obtener las siguientes identidades que nos permiten evaluar las funciones inversas arccot x( ) , arcsec x( ) y arccsc x( ) , en términos de las

funciones arctan x( ) , arccos x( ) y arcsen x( )

Si x 1 , 1 x entonces :

arcsec x( ) arccos1

x

=

arccsc x( ) arcsen1

x

=

Si x 0 entonces :

arccot x( ) arctan1

x

=

DEMOSTRACIÓN .

Si arcsec x( )= entonces sec x= ( con 0 ; 2

)

1

sec 1

x= . ( tomando el recíroco, x 0 )

cos 1

x= ( porque

1

sec cos = )

arccos cos arccos1

x

= (aplicando la función inversa )

arccos1

x

= ( que existe en 0 )

arcsec x( ) arccos1

x

= ( puesto que arcsec x( )= )

La demostración de las otras dos identidades sigue un razonamiento similar .

* Muchas calculadoras sólo tienen indicadas las funciones trigonométricas inversas para el seno, el coseno y la tangente . Con las identidades anteriores, usted será capaz de calcular también las funciones trigonométricas inversas para la secante , cosecante y cotangente .


Trigonometria

Ejemplo 3. Usando una calculadora (en el modo deg ) se obtiene :

a) arcsec 4.3( ) arccos1

4.3

= 76° _ 33´ _ 8.18 ´´=

b) arccsc 2.1( ) arcsen12.1

= 28º_26´_12.8´´.=

c) arccot1

3

arctan 3( )= 60º=

EJERCICIOS II.1

1. Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones sin usar tablas o calculadora :

a) arcsen 0( ) b) arccos12

c) arcsen2

2

d) arcsec 2( )

e) arctan3

3

f) sen arcsen 0.3( )( ) g) sen arctan

34

h) cos arcsen5

13

i) tan arsen56

j) sec arctan1

3

k) cos arctan 1( )( ) l) cot arccos

12

m) csc arctan 1( )( ) n) tan arccos12

o) sen arccos3

2

2. Completar las siguientes equivalencias :

a) arctan9

x

arcsen.............

= arcsec.............

=

b) arcsen36 x

26

arcos.............

= arccot............

=

c) arccos3

x2

4

arcsen..............

= arccot............

=

3. ¿ Son verdaderas las siguientes identidades ?a) arcsen u( ) arcsen u( )= ; 1 u 1b) arccos u( ) arccos u( )= ; 1 u 1c) arctan u( ) arctant u( )=

d) arctan x( )arcsen x( )

arccos x( )=


Trigonometria

4. Calcular (sin usar calculadora) :

a) arcsec 2( ) b) arccot 3( ) c) arccsc2

3

5. Graficar las siguientes funciones :

a) arctan x( )2

b) arctan x2

c) arccosx4

d) arcsen x 1( )

d

D

C

6. Demostrar que la longitud L de la banda alrededor de dos poleas como se muestra en la figura de la derecha, está dada por : L D d D( ) 2 C sen =

donde el ángulo se mide en radianes y está dado por :

arccosD d2 C

=

Calcule L si D 6 cm= , d 4= ,

C 10 cm=

E

x

D

A

Cr

sombra

r

d

7. La figura representa un patio circular rodeado por una pared alta de piedra. Un foco localizado en E , brilla en el patio.

Si una persona camina a x metros hacia

el centro a lo largo de DC , su sombra proyectada en la pared circular, se moverá una distancia de arco d .

Hallar una fórmula para d y calcule esa

distancia si r 20 m= y x 5 m=


Trigonometria

Respuestas ( Ejercicio II.1 )

1 . a) 0 b) 3

c) 4

d) 23

e) 6

f) 0.3 g) 35

h) 1213

i) 5

11j)

2

3k)

1

2l)

1

3

m) 2 n) 3 o) 12

.

2. a) arctan9

x

arcsen9

x2

81

= arcsecx

281

x

=

b) arcsen36 x

26

arcosx6

= arccotx

36 x2

=

c) arccos3

x2

4

arcsenx

25

x2

4

= arccot3

x2

5

=

3. a) Si , arcsen x( ) es una función impar, es decir simétrica respecto al origen.

b) No, arccos x( ) no tiene simetria

c) Si, arctan x( ) es una función impar simétrica respecto al origen .

d) No, atan x( ) se define en x ; pero arcsen x( ) o arccos x( ) se definen en

1 x 1 .

4. a) arcsec 2( ) arccos12

= 3

= b) arccot 3( ) arctan1

3

=

6=

c) arccsc2

3

arcsen

32

= 3

=

2

5. a) Se trata de la gráfica de la función arctan x( ) pero desplazada verticalmente hacia arriba sobre el eje Y una distancia

de 2


Trigonometria

2

2

2b) Se trata de la gráfica de la

función arctan x( ) pero desplazada horizontalmente hacia la izquierda sobre el eje X la

distancia 2

.

4 4c) Se trata de la gráfica de la

función arccos x( ) pero definida

en el intervalo 4 x 4

2

21 1d) Se trata de la gráfica de la

función arcsen x( ) pero desplazada horizontalmente hacia la derecha sobre el eje X la distancia 1

C

Dd

A

B

E

F

6. La longitud de la distancia AB

se obtiene de la función seno : sen AB C = esto es . . .

AB

C

sen =

La longitud del arco BE es 2 2 D2

y la del arco AF es 2 d2 .

Por lo tanto, la longitud total L de la banda es :


Trigonometria

L 2 AB BE AF= 2 C

sen 2 2 D

2 2 d

2=

= D D d( ) 2 C sen

Además cos D2

d2

C = =

D d

2 C

, de donde arccosD d

2 C

= . asi que finalmente

resulta :

L D D d( ) 2 C sen arccos

D d

2 C

=

rr

A

B

E

x

7. El triángulo EAO es isósceles, por lo cual la longitud del arco circular AB es :

d r=

y dado que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es , entonces 2 = Queda finalmente :

d 2 r=

= 2 arctanx

r

r

Para r 20 m= , x 5 m= se obtiene :

d 2 arctan14

20 m= = 9.78 m


Trigonometria

2.2 Identidades trigonométricas para la suma y la diferencia de dos ángulos .

De manera semejante a como las siguientes expresiones algebráicas son falsas . . .

x y x y= , ln x y( ) ln x( ) ln y( )= , x y( )2

x2

y2=

(y que también son errores que muchos estudiantes cometen fácilmente), vamos a demostrar que expresiones trigonométricas tales como . . .

sen sen sen = , cos cos cos =

tan tan tan = etc.

también son falsas.

En general, se puede afirmar que las funciones trigonométricas para la suma ó la diferencia de dos ángulos no son la simple suma o diferencia de las funciones respectivas de esos ángulos .

Consideremos por ejemplo la suma de dos ángulos = DOC y = COB tales que el

lado terminal del ángulo sea el lado inicial del ángulo , como se muestra en la siguiente figura :

Y

XO

P

A

B

C

D

Únase el lado terminal de con el lado terminal de mediante una línea recta CB , de tal

manera que el ángulo BCO sea recto .

Las rectas verticales que pasan por B y C , intersectan al eje X respectivamente en los puntos A y D y la recta horizontal por C, determina un segmento PC que es perpendicular a AB.Por lo tanto, el triángulo rectángulo PBC es semejante al triángulo rectángulo DOC .y en consecuencia el ángulo en B es igual al ángulo en O .


Trigonometria

Apliquemos ahora la definición de la función seno al ángulo , es decir . . .

sen ordenada( )

radio( )= =

AB

OB

sin embargo, el segmento AB es la suma de los segmentos AP PB siendo AP DC= es decir:

sen DC PBOB

= = DC

OB

PB

OB

Recordemoa ahora que el valor de una fracción no cambia si se multiplica su numerador y su denominador por una misma cantidad (que no sea cero), asi que escribamos el resultado anterior como . . .

sen DC

OB

OC

OC

PB

OB

BC

BC

=

y como el orden de los factores no altera el producto, también se puede escribir . . .

sen = DC

OC

OC

OB

PB

BC

BC

OB

Usando las definiciones de las funciones trigonométricas, reconocemos de inmediato que :

en el triángulo DOC : DC

OC

lado_opuesto( )

hipotenusa( )= = sen

en el triángulo COB : OC

OB

lado_adyacente( )

hipotenusa( )= = cos

en el triángulo PBC : PB

BC

lado_adyacente( )

hipotenusa( )= = cos

en el triángulo COB : BC

OB

lado_opuesto( )

hipotenusa( )= = sen

en consecuencia :

sen sen cos cos sen = ( 8 )

Esta es la identidad trigonométrica buscada para el seno de la suma de dos ángulos


Trigonometria

Por otra parte, el seno de una diferencia de dos ángulos se puede interpretar como :

sen sen = asi que aplicando la ídentidad (8 ) anterior, se obtiene . . .

sen sen cos cos sen =

Pero como se puede apreciar en la figura de la derecha , para dos puntos simétricos respecto al eje X , P x y( ) y P´ x y( ) , se tiene que . . .

cos x

r= , cos x

r= es decir: cos cos =

por eso se dice que el coseno de un ángulo es una función par es decir, es simétrica respecto al eje vertical Y mientras que :

sen y

r= , sen y

r= es decir: sen sen =

, por eso decimos que el seno de un ángulo es una función impar o simétrica respecto al origen de coordenadas.

OX

Y P (x , y)

P´ (x , -y)

r

r

De manera que :

sen sen cos cos sen = ( 8a )

que es la identidad para el seno de la diferencia entre dos ángulos.

Usando la misma figura que la empleada en la deducción del seno de una suma de ángulos, también es posible demostrar una identidad para el coseno de una suma de ángulos. El procedimiento es muy similar al de aquél caso y solo se enlistan enseguida los pasos para su deducción . . .

Y

XO

P

A

B

C

D

cos OA

OB= =

OD ADOB

OD PCOB

=

= OD

OB

OC

OC

PC

OB

BC

BC

= OD

OC

OC

OB

PC

BC

BC

OB


Trigonometria

esto es :cos cos cos sen sen = ( 8b )

y dado que cos cos = , sen sen = , se deduce también que . . .

cos cos cos sen sen = ( 8c )

que son las identidades trigonométricas para la suma y la diferencia del coseno de dos ángulos

Las cuatro identidades ( 8 ) , ( 8a ) , ( 8b ) y ( 8c ) son muy importantes en la trigonometría porque a partir de ellas es posible deducir muchas otras identidades . Por esta razón, es muy recomendable que el lector las memorize para que pueda aplicarlas desde ahora en adelante. Enseguida se enlistan nuevamente con el fin de observar su simetría y similitudes :

sen sen cos cos sen =sen sen cos cos sen = (signos iguales en ambos miembros)

cos cos cos sen sen =cos cos cos sen sen = (signos opuestos en ambos miembros)

Caso especial : si 2

= 90°= entonces sen2

1= y cos2

0= y queda . . .

sen2

sen2

cos cos2

sen = = cos

sen2

sen2

cos cos2

sen = = cos

cos2

cos2

cos sen2

sen = = sen

cos2

cos2

cos sen2

sen = = sen

es decir :

cos sen2

= , sen cos2

= y cot tan2

=

que se conocen como identidades de cofunción para el seno, el coseno y la tangente .


Trigonometria

la última de ellas obtenida de : cot cos sen =

sen2

cos2

= = tan2

Una consecuencia inmediata de las identidades ( 8 ) a ( 8c ) son las expresiones correspondientes para las demás funciones trigonométricas de una suma o una diferencia de ángulos , por ejemplo la identidad para la tangente de una suma de ángulos se obtiene como sigue . . .

tan sen cos = =

sen cos cos sen cos cos sen sen

al dividir el numerador y el denominador de ésta fracción entre la misma cantidad queda :

tan =

sen cos cos sen cos cos

cos cos sen sen cos cos

=

sen cos

sen cos

1sen cos

sen cos

Aplicando la definición de la función tangente para los ángulos y , finalmente se resulta :

tan tan tan 1 tan tan

= ( 9 )

Por un procedimiento similar, se obtiene la identidad para la tangente de una diferencia de ángulos:

tan tan tan 1 tan tan

= ( 9a )

De un modo semejante, es posible comprobar que :

cot cot cot 1cot cot

= o cot cot cot 1cot cot

= ( 9c )

etc.

Ahora podemos usar éstas identidades para calcular el valor exacto de las funciones trigonométricas para una combinación de los ángulos especiales 0º , 18º , 30º , 45º , 60° , 90° o los que resulten de ellas. Por ejemplo . . .


Trigonometria

a) sen 105°( ) sen 60° 45°( )= = sen 60°( ) cos 45°( ) cos 60°( ) sen 45°( )

= 3

2

1

2

1

2

1

2

=

3 12 2

b) cos 75°( ) cos 30° 45°( )= = cos 30°( ) cos 45°( ) sen 30°( ) sen 45°( )

= 3

2

1

2

1

2

1

2

=

3 12 2

c) sen 15º( ) sen 45º 30º( )= = sen 45º( ) cos 30º( ) cos 45º( ) sen 30º( )

= 1

2

3

2

1

2

12

= 3 12 2

d) cos 150°( ) cos 90° 60°( )= = cos 90°( ) cos 60°( ) sen 90°( ) sen 60°( )

= 0( )12

1( )3

2

=

32

e) sen 3º( ) sen 18º 15º( )= = sen 18º( ) cos 15º( ) cos 18º( ) sen 15º( )

= 1

5 1

3 12 2

5 52 2

3 12 2

f) tan 27º( )sen 27º( )

cos 27º( )= sen 72º 45º( )

cos 72º 45º( )=

= sen 72º( ) cos 45º( ) cos 72º( ) sen 45º( )cos 72º( ) cos 45º( ) sen 72º( ) sen 45º( )

=

10 2 54

1

2 5 1

4

1

2

5 14

1

2 10 2 5

4

1

2

= 10 2 5 5 1( )

10 2 5 5 1

etc.


Trigonometria

Ejemplo 4. Sin usar calculadora, determinar el valor exacto de sen si se sabe que

sen 23

= , cos 53

= donde es un ángulo en el cuadrante IV y

está en el cuadrante III.

X

Y

23

x

Solución : a) Método gráfico. Recurriendo a la definición de la función seno :

sen ordenada( )

radio( )= y

r= =

23

se sigue que y 2= , r 3= , asi que delteorema de Pitágoras, se deduce que :

x = r2

y2 = 32 2( )

2 = 5

escogiendose el signo negativo por estar en elcuadrante III y por lo tanto

cos x

r= 5

3=

Similarmente, de la definición de la función coseno :

cos abscisa( )

radio( )= x

r= =

53

se sigue que x 3= , r 3= , asi que delteorema de Pitágoras, se deduce que :

y = r2

x2 = 32 5( )

2 = 2

X

Y

y3

escogiendose el signo negativo por estar en el cuadrante IV . Por lo tanto

sen y

r= 2

3=

Aplicando ahora la identidad para el seno de una diferencia de ángulos se obtiene . . .

sen sen cos cos sen =

= 2

3

53

53

23

= 4 5

9


Trigonometria

b) Método analítico

De la identidad pitagórica : sen2 cos

2 1= se sigue que . . .

cos = 1 sen2 = 1

23

2

= 9 4

9 =

53

escogiendose el signo negativo por ser negativa la función coseno en el cuadrante III.

Similarmente, de sen2 cos

2 1= se sigue que . . .

sen = 1 cos2 = 1

53

2

= 9 5

9 =

23

escogiéndose el signo negativo por ser negativa la función seno en el cuadrante IV.

Como éstos valores para sen() y cos() son los mismos que se obtuvieron con el

método gráfico, se llega entonces a la misma solución : sen = 4 5

9

Ejemplo 5. Demuestre la identidad : sen u v( )

sen u v( )

tan u( ) tan v( )tan u( ) tan v( )

=

Solución : Recurriendo a las identidades para el seno de la suma y la diferencia de dos ángulos,

queda:sen u v( )

sen u v( )

sen u( ) ¨cos v( ) sen v( ) cos u( )sen u( ) ¨cos v( ) sen v( ) cos u( )

=

dividiendo ahora entre cos u( ) cos v( ) todos los términos, se obtiene . . .

sen u v( )

sen u v( )

sen u( ) ¨cos v( )cos u( ) cos v( )

sen v( ) cos u( )cos u( ) cos v( )

sen u( ) ¨cos v( )cos u( ) cos v( )

sen v( ) cos u( )cos u( ) cos v( )

= =

sen u( )

cos u( )

sen v( )

cos v( )

sen u( )

cos u( )

sen v( )

cos v( )

= tan u( ) tan v( )tan u( ) tan v( )

como se pedia demostrar.


Trigonometria

2.3 Identidades trigonométricas para ángulos múltiplos :

De las identidades fundamentales para el seno y el coseno de una suma o diferencia de ángulos se pueden derivar otras identidades trigonométricas muy útiles e importantes.

Por ejemplo haciendo = en las identidades de sen y cos se obtiene . . .

sen sen cos sen cos =

es decir, el seno del doble de un ángulo es : sen 2 2 sen cos = ( 10 )

cos cos cos sen sen =

es decir, el coseno del doble de un ángulo es : cos 2 cos2 sen

2 = ( 10b )

Si se usa la identidad pitagórica sen2 cos

2 1= , ésta última identidad también se puede expresar en las siguientes formas equivalentes . . .

cos 2 = cos2 1 cos

2 = 2 cos2 1 ( 10b' )

y

cos 2 = 1 sen2 sen

2 = 1 2 sen2 ( 10b'' )

de las cuales es posible obtener las expresiones :

cos cos 2 12

= y sen 1 cos 2 2

=

que resultan útiles para calcular el seno y el coseno de la mitad de un ángulo , reemplazando

por 2

:

cos2

1 cos 2

= y sen2

1 cos 2

= ( 11 )

Éstas identidades ( 10 - 11 ) nos permiten conocer todas las demás funciones trigonométricas del doble o de la mitad de un ángulo puesto que del seno y el coseno definen a todas las demás funciones trigonométricas.

Consideremos por ejemplo la tangente para el doble de un ángulo y para el ángulo mitad . . .


Trigonometria

tan 2 sen 2 cos 2 = 2 sen cos

cos2 sen

2

= =

2 sen cos

cos2

cos2 sen2

cos2

=

2sen cos

cos2

cos2

sen2

cos2

= 2 tan

1 tan2

Similarmente . . .

tan2

sen2

cos2

=

1 cos 2

cos 12

= = 1 cos 1 cos

Se obtienen expresiones equivalentes para la tangente del ángulo mitad por racionalización de ése radical :

= 1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

1 cos

1 cos2

= = 1 cos

sen

ó también . . .

= 1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

1 cos

2 1 cos

= = sen

1 cos

Son posibles otras combinaciones, por ejemplo reemplazando por 4

, 3

, 3 2

etc. se

obtienen expresiones como :

sen2 3

2

1 cos 3

2= o cos

6

1 cos3

2=

Tambien es posible aplicar las identidades de ángulo doble o de ángulo mitad de manera

recurrente para obtener las funciones trigonométricas de 4 , 8 , 16 . . . o de 4

, 8

,

16

, 32

. . . por ejemplo . . .


Trigonometria

cos2

cos 12

= ( la identidad para el coseno del ángulo mitad )

cos4

cos

2

2

=cos

2

1

2= =

cos 12

1

2 =

2 cos 2 22

cos8

cos

4

2

=cos

4

1

2= =

cos 12

1

21

2 =

2 cos 2 2 22

etc.

o también . . .

cos 2 2 cos2 1= ( la identidad para el coseno del ángulo doble )

cos 4 cos 2 2 = = 2 cos 2 2 1 = 2 2 cos 2 1 2 1

= 8 cos 4 8 cos 2 1

cos 8 cos 2 4 = = 2 cos 4 2 1 = 2 8 cos 4 8 cos 2 1 2 1

= 128 cos 8 256 cos 6 160 cos 4 32 cos 2 1

etc.

Ejemplo 6. Determinar los valores exactos de :

a) cos 22.5°( ) b) cos 11.25°( ) c) sen 15°( ) d) sen 7.5°( )

sin usar calculadora, pero sabiendo que : cos 45°( )1

2= ; cos 30°( )

32

=


Trigonometria

Solución : a) Notemos que 22.5°45°2

= , por lo tanto, usando la identidad para el coseno

de ángulo mitad : cos2

cos 12

= resulta . . .

cos 22.5°( ) cos45°2

= cos 45°( ) 12

= =

1

21

2 =

2 22

b) Notemos que 11.25°45°4

= , asi que usando dos veces la identidad para el

coseno de ángulo mitad : cos2

cos 12

= resulta . . .

cos4

cos2

1

2=

cos 12

1

2= =

2 cos 2 22

cos 11.25°( ) cos45°4

= 2 cos 45°( ) 2 22

= =

21

2 2

2

2

= 2 2 2

2

c) Dado que 15°30°2

= , usando la identidad para el seno de ángulo mitad :

sen2

1 cos 2

= resulta . . .

sen 15°( ) sen30°2

= = 1 cos 30°( )

2 =

13

2

2 =

2 32

b) Notemos que 7.5°30°4

= , asi que aplicando las identidades para el seno y el

coseno de ángulo mitad : sen2

1 cos 2

= , cos2

1 cos 2

=

resulta . . .


Trigonometria

sen4

1 cos2

2=

11 cos

2

2= =

2 2 2 cos 2

sen 7.5°( ) sen30°4

= = 2 2 2 cos 30°( )

2 =

2 2 23

2

2

= 2 2 3

2

Ejemplo 7. Calcular : cos 2 , sen 2 , tan 2 si se sabe que cos 513

= siendo

un ángulo que se localiza en el cuadrante IV

Solución : Localizando el ángulo en el plano cartesiano y recurriendo a la definición :

cos abscisa( )

radio( )= x

r= 5

13=

se deduce que x 5= , r 13= y por lo tanto :

y = r2

x2 = 132 52 = 12

escogiéndose el signo negativo, dado que se localiza en IV cuadrante.

X

Y

y13

5

Asi que sen 1213

= y tan 125

= y por lo tanto, aplicando las

identidades para el doble de un ángulo resulta :

sen 2 2 sen cos = = 212

13

513

= 120169

cos 2 2 cos2 1= = 2

513

2

1 = 119169


Trigonometria

y tan 2 2 tan

1 tan2

= = 2

125

1125

2

=

120119

= sen 2 cos 2

Ejemplo 8. Calcular los valores exactos de cos y de sen 2 si se sabe que

tan 2 43

= para 0 90° .

Solución : Dado que 0 90° es un ángulo en el

cuadrante I, entonces 2 necesariamente es un ángulo en el cuadrante II .

Recurriendo a la definición :

tan 2 ordenada( )

abscisa( )= y

x= 4

3=

se deduce que x 3= , y 4= y por lo tanto :

r = x2

y2 = 3( )

242 = 5

O X

Y

4

3

r

( r siempre es positivo ). De esto se deduce que. . .

sen 2 y

r= =

45

y cos 2 35

=

y por lo tanto, de la identidad para el coseno de ángulo doble se obtiene . . .

cos 2 2 cos 2 1= cos 1 cos 2 2

=

es decir: cos 1

35

2= =

1

5

Asi mismo, de la identidad sen 1 cos 2 2

= se obtiene . . .

sen 1

35

2= sen 4

5= =

2

5


Trigonometria

Ejemplo 9. Expresar sen 3 en términos de sen

Solución : Notemos que sen 3 sen 2 = , asi que de la identidad fundamental :

sen sen cos sen cos =

haciendo 2 = y = se obtiene :

sen 3 = sen 2 cos sen cos 2

substituyendo ahora las identidades para el seno y el coseno de ángulo doble

sen 2 2 sen cos = y cos 2 1 2 sen2 = resulta :

sen 3 2 sen cos cos sen 1 2 sen2 =

= 2 sen cos2 sen 1 2 sen

2

y usando la identidad pitagórica cos2 sen

2 1= se obtiene . . .

= 2 sen 1 sen2 sen 1 2 sen

2

= 3 sen 4 sen3

Ejemplo 10. Sin usar calculadora, determinar el valor exacto de las siguientes funcionestrigonométricas, mediante una identidad de ángulo mitad .

a) tan 105°( ) b) sen 165°( ) c) cos 157.5°( )

Solución : a) Ya que tan 105°( ) tan210°

2

= , de la identidad tan

2

1 cos 1 cos

= se

obtiene . . .

tan 105°( ) = 1 cos 210°( )1 cos 210°( )

= 1 cos 180° 30°( )1 cos 180° 30°( )

= 1

32

13

2


Trigonometria

y dado que la función tan es negativa cuando 90° 180° , se debe escoger el signo negativo, es decir :

tan 105°( ) = 2 32 3

b) Puesto que sen 165°( ) sen330°

2

= , de la identidad sen

2

1 cos 2

= se

obtiene . . .

sen 165°( ) = 1 cos 330°( )2

= 1 cos 270° 60°( )

2 =

13

2

2

y dado que la función sen es positiva cuando 90° 180° , se debe escoger el signo positivo, es decir :

sen 165°( ) = 2 3

2

c) Como cos 157.5°( ) cos315°

2

= , de la identidad cos

2

1 cos 2

= se

obtiene . . .

cos 157.5°( ) = 1 cos 315°( )2

= 1 cos 270° 45°( )

2 =

11

2

2

y dado que la función cos es negativa cuando 90° 180° , se debe escoger el signo negativo, es decir :

cos 157.5°( ) = 2 2

2

Ejemplo 11. Sin usar calculadora, determinar los valores exactos de sen2

y tan2

, si

cos 43

= con el ángulo comprendido en el intervalo 2


Trigonometria

O X

Y

3

4

r

Solución : Dado que 2

es un ángulo en el

cuadrante II, entonces recurriendo a la definición :

cot abscisa( )

ordenada( )= x

y= 4

3=

se deduce que x 4= , y 3= y por lo tanto :

r = x2

y2 = 4( )

232 = 5

Además, si 2

entonces

2

2

2

2

, es decir el ángulo 2

está en el

cuadrante I donde el seno y la tengente son positivos, y

sen2

1 cos 2

= ; tan2

sen 1 cos

=

= 1

45

2; =

3

5

14

5

= 3

10; = 3

8 2

y

Ejemplo 12. Encuentre el valor exacto de y en la figura.

( Sugerencia : use tan 2 2 tan

1 tan2

= )

Solución : La definición de la tangente del ángulo 2 para al triángulo rectángulo es :

tan 2 lado_opuesto( )

lado_adyacente( )= =

8 2y

y se sigue que . . .

y8 2

tan 2 = = 10

2 tan

1 tan2

= 10 1 tan

2 2 tan


Trigonometria

Por otra parte, del triángulo recto de lados 2 y y en la misma figura se tiene que

tan 2

y= , asi que substituyendo en la ecuación anterior resulta . . .

y10 1 tan

2 2 tan

= =

5 12

y

2

2

y

o simplificando : y2

y

5 12

y

2

=

2 520

y2

=

Resolviendo ésta ecuación para y se obtiene : y23

15=

M

N

b

b

O

Ejemplo 13. En la figura de la derecha, M y N son los puntos

medios de los lados de un cuadrado. Encuentre el valor exacto de cos . ( Sugerencia : use el teorema de Pitágoras y una identidad de ángulo mitad )

Solución : Por el teorema de Pitágoras, la longitud de cada una de las diagonales OM y ON es :

M

N

b

b

O

P

x/2 b

2 b2

2

= 5

2b

y además, la longitud x del lado recto MN se calcula del triángulo MNP también con el teorema de Pitágoras . . .

xb2

2b2

2

= = b

2

Por la simetria de la figura, la diagonal OP ( que además es perpendicular a MN ) divide al ángulo y al lado x en dos partes iguales, asi que . . .


Trigonometria

sen2

x2

OM= =

b

2 2

5 b2

= 1

10

y aplicando ahora la identidad sen2

1 cos 2

= se obtiene que . . .

1

10

2 1 cos 2

=

es decir :

cos = 1 21

10

2

= 45

Ejemplo 14. Demuestre la identidad : cos 2

1 sen 2 1 tan 1 tan

=

Solución : Por aplicación directa de las identidades de ángulo doble :

cos 2

1 sen 2 =

cos2 sen

2 1 2 sen cos

pero también 1 sen2 cos

2 = , asi que . . .

cos 2 1 sen 2

= cos

2 sen2

cos2 2 sen cos sen

2 y factorizando . . .

cos 2 1 sen 2

= cos sen cos sen

cos sen 2

= cos sen cos sen

=

cos sen cos

cos sen cos

=

1sen cos

1sen cos

y queda demostrado.


Trigonometria

EJERCICIO II.2

1. Usar las fórmulas de ángulo doble para calcular el seno, el coseno y la tangente del ángulo dado.

a) 90° b) 60° c) 23 d) 120° e) 3

2

2. Hallar el valor exacto de sen 2 , cos 2 y tan 2 dado que :

a) sen 35

= ; 0° 90° b) tan 12

= ; 180° 270°

c) sec 52

= ; 90° 180° d) cot 4= ; 270° 360°

3. Usar las fórmulas de ángulo mitad para calcular el seno, el coseno y la tangente del ángulo dado.

a) 112º 30' b) 67º 30' c) 12

d) 105° e) 52º 30'

4. Demostar las siguientes identidades:

a) sec 2 sec2

2 sec2

= b) csc 2 csc 2 cos

=

c) cos4

x( ) sen4

x( ) cos 2 x( )= d) cos 3 cos 1 4 sen

2 =

e) cot2

sen 1 cos

= f) tan2

csc cot =

g) cos 2

1 sen 2 1 tan 1 tan

= h) cos 1 tan

2 2

1 tan2

2

=

i) 2 csc 2 x( )1 tan

2x( )

tan x( )= j)

1

1 sen 1

1 sen 2 sec

2 =

6

3

x

5. Encuentre el valor exacto de x en los siguientes triángulos

8 7

xa) b)


Trigonometria

Respuestas EJERCICIO II.2

1. a) sen 90°( ) sen 2 45 °( )= = 2 sen 45°( ) cos 45°( ) = 21

2 1

2 = 1

cos 90°( ) cos 2 45 °( )= = cos 45°( )( )2

sen 45°( )( )2 =

1

2

2 1

2

2

= 0

tan 90°( ) tan 2 45 °( )= = 2 tan 45°( )

1 tan 45°( )2

= 2( ) 1( )1 1

=

b) sen 60°( ) sen 2 30 °( )= = 2 sen 30°( ) cos 30°( ) = 212 3

2 =

32

cos 60°( ) cos 2 30 °( )= = cos 30°( )( )2

sen 30°( )( )2 =

32

212

2

= 34

14

= 12

tan 60°( ) tan 2 30 °( )= = 2 tan 30°( )

1 tan 30°( )( )2

=

2( )1

3

11

3

2

=

2

3

113

= 3

c) sen 23

= 2 sen3

cos3

= 23

2 1

2 =

32

cos 23

= cos3

2

sen3

2

= 12

2 32

2

= 14

34

= 12

tan 23

= 2 tan

3

1 tan3

2

= 2( ) 3( )

1 3( )2

= 2( ) 3( )1 3

= 3

etc.

2. a) b) c) d) ___________________________________________________

sen 2 | 2425

45

4 2125

817

cos 2 | 725

35

1725

1517

tan 2 | 247

43

4 2117

815


Trigonometria

3.

a) sen 112.5°( ) = 1 cos 2 112.5 °( )

2 =

1 cos 225°( )2

= 1 cos 45°( )( )

2 = +

2 22

cos 112.5°( ) = 1 cos 2 112.5 °( )

2 = 1 cos 225°( )

2 =

1 cos 45°( )( )2

= 2 2

2

tan 112.5°( ) = 1 cos 2 112.5 °( )1 cos 2 112.5 °( )

= 1 cos 225°( )1 cos 225°( )

= 1 cos 45°( )1 cos 45°( )

= 2 22 2

etc. Se resumen enseguida todos los demás resultados :

| 112.5° 67.5° 12

105° 52.5°

_________________________________________________________________

sen | 2 22

2 22

2 32

2 32

2 2 32

cos | 2 22

2 22

2 32

2 32

2 2 32

tan | 2 22 2

2 22 2

2 3

2 3

2 3

2 3 2 2 3

2 2 3

4. a) sec 2 = 1

cos 2 = 1

2 cos2 1

=

1

cos2 2 cos2 1

cos2

= sec

2 2 sec

2

b) csc 2 = 1

sen 2 = 1

2 sen cos =

1

sen 2 sen cos

sen

= csc

2 cos

c) cos4

x( ) sen4

x( ) = cos2

x( ) sen2

x( ) cos2

x( ) sen2

x( )

= cos2

x( ) sen2

x( ) 1( ) = cos 2 x( )

d) cos 3 cos =

cos 2 cos =

cos 2 cos sen 2 sen cos

= cos 2 2 sen cos sen cos = cos 2 2 sen

2

= 1 2 sen2 2 sen

2 = 1 4 sen2


Trigonometria

e) cot2

= cos

2

sen2

=

1 cos 2

1 cos 2

= 1 cos 1 cos

= 1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

= 1 cos

2 1 cos

= sen

2 1 cos

= sen

1 cos

f) tan2

1 cos sen = =

1

sen cos sen = csc cot

g) cos 2

1 sen 2 =

cos2 sen

2

sen2 cos

2 2 sen cos

= cos sen cos sen

cos sen 2 =

cos sen cos sen

=

1sen cos

1sen cos

= 1 tan 1 tan

h) tan2

= 1 cos 1 cos

; tan2

2

1 cos 1 cos

= ; despejando cos , se

obtiene : cos 1 tan

2 2

1 tan2

2

=

i) 2 csc 2 x( ) = 21

sen 2 x( ) =

2

2 sen x( ) cos x( ) =

1

cos2 x( )

sen x( ) cos x( )

cos2 x( )

= sec

2x( )

tan x( ) =

1 tan2

x( )tan x( )

j) 1

1 sen 1

1 sen =

1 sen 1 sen

1 sen2

= 2

cos2

= 2 sec2

5. a) 22417

b) 3 3


Trigonometria

2.4 Identidades producto-suma :

Recordemos que de las identidades fundamentales del seno o el coseno para la suma o diferencia de dos ángulos se pueden derivar muchas otras identidades trigonométricas .Asi por ejemplo, si se suman algebráicamente un par de éstas identidades, es posible obtener nuevas identidades que relacionan el producto con la suma de funciones trigonométricas o viceversa, las cuales resultan ser muy útiles para resolver problemas en áreas como el Cálculo Diferencial e Integral o la Física.

Sumando por ejemplo las identidades para sen y sen se obtiene . . .

sen sen cos sen cos = + sen sen cos sen cos =________________________________________________

sen sen 2 sen cos =

de donde es posible escribir que :

sen cos 12

sen sen = ( 12 )

O restando por ejemplo cos de cos se obtiene . . .

cos cos cos sen sen = cos cos cos sen sen =________________________________________________

cos cos 2 sen sen =

de donde resulta que :

sen sen 12

cos cos = ( 12a )

De manera similar, al sumar o restar las identidades apropiadas para el seno o el coseno de una suma o diferencia de ángulos, se pueden obtener otras dos identidades producto-suma :

cos cos 12

cos cos = ( 12b )

cos sen 12

sen sen = ( 12c )


Trigonometria

No es indispensable que usted memorice las expresiones de éstas identidades, sólo recuerde que se deducen sumando o restando las identidades trigonométricas fundamentales y sea capaz de deducirlas.

Note que en éstas 4 identidades:

los productos de senos o cosenos son una suma o diferencia de cosenoslos productos de seno por coseno son una suma o diferencia de senos

Nótese también que haciendo = en las identidades anteriores, se obtienen las ya conocidas expresiones:

sen cos 12

sen 2 = y cos2

cos 2 12

=

Ejemplo 15. Escribir el producto cos 5 cos 3 como una suma o una diferencia

Solución : Por aplicación directa de la identidad producto-suma ( 12b ) resulta :

cos 5 cos 3 12

cos 5 3 cos 5 3 =

= 12

cos 8 cos 2

Ejemplo 16. Evalúe de manera exacta el producto cos 105°( ) sen 45°( )

Solución : Si en la identidad producto-suma :

cos sen 12

sen sen = se substituyen 105°= ,

45°= queda :

cos 105°( ) sen 45°( ) 12

sen 105° 45°( ) sen 105° 45°( )( )=

= 12

sen 180° 30°( ) sen 60°(( )

= 12

sen 30°( ) sen 60°( )( ) = 12

12

32

= 1 3

4


Trigonometria

O también de : sen cos 12

sen sen = ,

substituyendo 45°= , 105°= queda :

cos 105°( ) sen 45°( ) 12

sen 45 ° 105 °( ) sen 45 ° 105 °( )( )=

= 12

sen 180° 30°( ) sen 60 °(( )

= 12

sen 30°( ) sen 60°( )( ) = 12

12

32

= 1 3

4

el mismo resultado.

Ejemplo 17. Exprese el producto cos x( ) cos y( ) cos z( ) como una suma

Solución : Usemos la identidad para el producto de cosenos :

cos x( ) cos y( ) cos z( ) = cos x( ) cos y( ) cos z( )( )

= cos x( )12

cos y z( ) cos y z( )( )

= 12

cos x( ) cos y z( ) cos x( ) cos y z( )( )

pero estos también son productos de cosenos, que se pueden expresar como una suma o diferencia de cosenos . . .

= 12

12

cos x y z( )[ ] cos x y z( )[ ][ ]

12

cos x y z( )[ ] cos x y z( )[ ][ ]

= 14

cos x y z( ) cos x y z( ) cos x y z( ) cos x y z( )( )

y como cos = cos , para cualquier valor de , también es posible escribir :

= 14

cos x y z( ) cos x y z( ) cos x y z( ) cos x y z( )( )


Trigonometria

2.5 Identidades suma-producto :

A partir de las identidades producto-suma, es posible transformar una suma de funciones trigonométricas como un producto.

Al substituir : x= es decir : x y2

=

y= x y

2=

en las 4 identidades ( 12 ) , (12a ) , ( 12b ) y ( 12c ) resultan las identidades suma-producto .

Asi por ejemplo, de ( 12 ) : sen cos 12

sen sen = queda . . .

senx y

2

cos

x y2

12

senx y

2

x y

2

sen

x y2

x y2

=

= 12

senx2

x2

seny2

y2

= 12

sen x( ) sen y( )( )

esto es :

sen x( ) sen y( ) 2 senx y

2

cos

x y2

= ( 13 )

y de una manera similar, de (12a ) , ( 12b ) y ( 12c ) resultan . . .

sen x( ) sen y( ) 2 cosx y

2

sen

x y2

= ( 13a )

cos x( ) cos y( ) 2 cosx y

2

cos

x y2

= ( 13b )

cos x( ) cos y( ) 2 senx y

2

sen

x y2

= (13c )

Note que :solo se suman o restan senos con senos o cosenos con cosenosuna suma o diferencia de senos es un producto de seno y cosenouna suma o diferencia de cosenos es un producto de senos o de cosenos


Trigonometria

Ejemplo 18. Escribir la diferencia cos 5 cos 3 como un producto

Solución : Por aplicación directa de la identidad suma-producto ( 13c ) resulta :

cos 5 cos 3 2 sen5 3

2

sen5 3

2

=

= 2 sen 4 sen

Ejemplo 19. Evalúe de manera exacta la suma : sen 15°( ) sen 45°( ) sin usar calculadora

Solución : Si en la identidad suma-producto : sen x( ) sen y( ) 2 senx y

2

cos

x y2

=

se substituyen x 15°= , y 45°= queda :

sen 15°( ) sen 45°( ) 2 sen15° 45°

2

cos

15° 45°2

=

= 2 sen 30°( ) cos 15 °( ) = 2 sen 30°( ) cos 15°( )

y usando la identidad para el coseno de ángulo mitad se obtiene . . .

sen 15°( ) sen 45°( ) = 212

cos 30°( ) 1

2 =

32

1

2 =

3 22

Ejemplo 20. Expresar como un producto las expresiones :a) 3 sen 3 x( ) sen 5 x( )( ) b) cos 195º( ) cos 105º( )

Solución : a) De la identidad suma-producto : sen sen 2 cos

2

sen

2

=

se obtiene . . .

3 sen 3 x( ) sen 5 x( )( ) 3 2 cos3 x 5 x

2

sen

3 x 5 x2

=


Trigonometria

= 6 cos 4 x( ) sen x( ) = 6 cos 4 x( ) sen x( )

se ha usando la propiedad para el coseno de ángulo mitad se obtiene . . .

b) De la identidad ( 13b ) , haciendo x 195°= , y 105°= queda :

cos 195º( ) cos 105º( ) 2 cos195º 105º

2

cos195º 105º

2

=

= 2 cos 150º( ) cos 45º( ) = 2 cos 30º( )( ) cos 45º( )

= 2 32

1

2

=

32

Ejemplo 21. Verificar las siguientes identidades :

a) sen t( ) sen 3 t( )cos t( ) cos 3 t( )

tan 2 t( )= b) sen 6 t( ) sen 2 t( )

sen 2 t( ) cos2

2 t( ) 4=

Solución : Expresamos las sumas de senos y cosenos como productos . . .

a) sen t( ) sen 3 t( )cos t( ) cos 3 t( )

= 2 sen

3 t t2

cos3 t t

2

2 cos3 t t

2

cos

3 t t2

=

sen 2 t( )

cos 2 t( ) = tan 2 t( )

y en efecto, la identidad es verdadera.

b) sen 6 t( ) sen 2 t( )

sen 2 t( ) cos2

2 t( ) =

2 sen6 t 2 t

2

cos

6 t 2 t2

sen 2 t( ) cos2 2 t( )

= 2 sen 4 t( ) cos 2 t( )

sen 2 t( ) cos2 2 t( )

usando ahora la identidad del seno de ángulo doble queda . . .

sen 6 t( ) sen 2 t( )

sen 2 t( ) cos2

2 t( ) =

2 2 sen 2 t( ) cos 2 t( )( ) cos 2 t( )

sen 2 t( ) cos2 2 t( )

= 4

la identidad es verdadera.


Trigonometria

Para facilitar la memorización de las principales identidades trigonométricas que hemos obtenido, se resumen enseguida . Pero si su memoria no es muy buena, recuerde que siempre puede derivar casi todas las demás identidades a partir de las fundamentales .

IDENTIDADES FORMA DESARROLLADA_____________________________________________________________________________

sen2 cos

2 1=Pitagóricas tan

2 1 sec2 =

1 cot2 csc

2 =_____________________________________________________________________________

sen sen cos sen cos =sen sen cos sen cos =

Fundamentales cos cos cos sen sen =cos cos cos sen sen =

_____________________________________________________________________________sen 2 2 sen cos =

cos 2 cos2 sen

2 = = 1 2 sen2

Ángulo doble = 2 cos2 1

tan 2 2 tan

1 tan2

=

_____________________________________________________________________________

sen2

1 cos 2

=

Ángulo mitad cos2

1 cos 2

=

tan2

1 cos 1 cos

= = 1 cos

sen = sen

1 cos _____________________________________________________________________________

sen sen 2 sen

2

cos

2

=

Suma-Producto cos cos 2 cos

2

cos

2

=

cos cos 2 sen

2

sen

2

=

sen sen 2 cos

2

sen

2

=


Trigonometria

sen cos 12

sen sen =

Producto-Suma sen sen 12

cos cos =

cos cos 12

cos cos =

cos sen 12

sen sen =

EJERCICIO II.3

1. Reescribir los siguientes productos como sumas :

a) 6 sen4

cos4

b) cos 2 cos 4 c) cos sen

2. Reescribir las siguientes sumas como productos :

a) cos3 4

cos4

b) cos 6 x( ) cos 2 x( ) c) sen sen

d) sen x2

sen x2

e) cos 2 x2

cos 2 x2

3. Verificar las siguientes identidades :

a) cos 4 x( ) cos 2 x( )sen 4 x( ) sen 2 x( )

cot 3 x( )= b) sen x( ) sen y( )cos x( ) cos y( )

tanx y

2

=

c) sen x( ) sen y( )sen x( ) sen y( )

tanx y

2

tanx y

2

= d) sen 6 t( ) sen 2 t( )cos 2 t( ) cos 6 t( )

tan 2 t( )=

e) cos x( ) cos y( )sen x( ) sen y( )

cosx y

2

= f)

cos x( ) cos y( )cos x( ) cos y( )

cotx y

2

cot

x y2

=


Trigonometria

4. Evalúe de manera exacta las siguientes expresiones usando una identidad adecuada.

a) sen 195°( ) cos 75°( ) b) cos 75°( ) sen 15°( ) c) sen 105°( ) cos 165°( )

d) cos 285°( ) cos 195°( ) e) sen 195°( ) sen 105°( ) f) cos 15°( ) cos 105°( )

g) cos 15°( ) cos 75°( ) h) sen 75°( ) sen 165°( )


1. a) 612

sen4

4

sen4

4

= 3 sen2

sen 0( )

= 3 1 0( ) = 3

b) 12

cos 2 4 cos 2 4 = 12

cos 2 cos 6 = cos 2 cos 6

2

c) 12

sen sen = sen 2 sen 2

2=

sen 2 2

2. a) 2 sen

3 4

4

2

sen

3 4

4

2

= 2 sen2

sen4

= 2

b) 2 cos6 x 2 x

2

cos

6 x 2 x2

= 2 cos 4 x( ) cos 2 x( )

c) 2 cos

2

sen

2

= 2 cos sen

d) 2 senx

2

x2

2

cosx

2

x2

2

= 2 sen x( ) cos2

= 0

e) 2 sen 2 x( ) = 4 sin x( ) cos x( )


Trigonometria

3.

a ) cos 4 x( ) cos 2 x( )sen 4 x( ) sen 2 x( )

= 2 cos

4 x 2 x2

cos4 x 2 x

2

2 sen4 x 2 x

2

cos

4 x 2 x2

=

cos 3 x( ) cos x( )sen 3 x( ) cos x( )

= cot 3 x( )

b ) sen x( ) sen y( )cos x( ) cos y( )

= 2 cos

x y2

senx y

2

2 cosx y

2

cos

x y2

=

senx y

2

cosx y

2

= tanx y

2

c ) sen x( ) sen y( )sen x( ) sen y( )

= 2 sen

x y2

cosx y

2

2 cosx y

2

sen

x y2

=

senx y

2

cosx y

2

1

senx y

2

cosx y

2

= tan

x y2

tanx y

2

d ) sen 6 t( ) sen 2 t( )cos 2 t( ) cos 6 t( )

= 2 cos

6 t 2 t2

sen6 t 2 t

2

2 cos6 t 2 t

2

cos

6 t 2 t2

=

cos 4 t( ) sen 2 t( )cos 4 t( ) cos 2 t( )

= tan 2 t( )

e ) cos x( ) cos y( )sen x( ) sen y( )

= 2 cos

x y2

cosx y

2

2 cosx y

2

sen

x y2

=

cosx y

2

senx y

2

= cotx y

2

f ) cos x( ) cos y( )cos x( ) cos y( )

= 2 cos

x y2

cosx y

2

2 senx y

2

sen

x y2

= cot

x y2

cotx y

2

4. a) 12

sen 195° 75°( ) sen 195° 75°( )( ) = sen 270°( ) sen 120°( )

2 =

1 32

2 =

2 34

b) 12

sen 75° 15°( ) sen 75° 15°( )( ) = sen 90°( ) sen 60°( )

2 =

13

2

2 =

2 34


Trigonometria

c) 12

sen 105° 165°( ) sen 105° 165°( )( ) = sen 270°( ) sen 60 °( )

2 =

1 32

2 =

2 34

d) 2 cos285° 195°

2

cos

285° 195°2

= 2 cos 240°( ) cos 45°( ) = 21

21

2

=

12

e) 2 sen195° 105°

2

cos

195° 105°2

= 2 sen 150°( ) cos 45°( ) = 212

1

2

=

1

2

f) 2 sen15° 105°

2

sen

15° 105°2

= 2 sen 60°( ) sen 45 °( ) = 2 32

12

= 3

2

g) 12

cos 15° 75°( ) cos 15° 75°( )( ) = cos 60 °( ) cos 90°( )

2 =

12

0

2 =

14

h) 2 cos75° 165°

2

sen

75° 165°2

= 2 cos 120°( ) sen 45 °( ) = 21

212

= 1

2


Trigonometria

2.6 Ecuaciones trigonométricas :

Cualquier identidad trigonométrica es una igualdad incondicional , dado que se satisface siempre para cualquiera que sea el valor que se substituya en las variables de la identidad.Es decir, una identidad simplemente establece la igualdad de una expresión trigonométrica escrita en dos o más formas diferentes pero equivalentes, por ejemplo las identiddes :

cos cos 2 cos

2

cos

2

=

cos 2 cos2 sen

2 = 2 cos2 1 = 1 2 sen

2 =

se satisfacen siempre para cualesquiera que sean los valores dados a las variables y .

A diferencia de las identidades, una ecuación trigonométrica es una igualdad condicional entre dos expresiones trigonométricas diferentes que se satisface solo para algunos valores de las variables de la ecuación. Por ejemplo :

tan x( ) csc x( )=

se cumple solo para algunos valores de la variable x , como se puede observar en los puntos

de intersección de gráficas independientes del miembro izquierdo: y tan x( )= y del miembro

derecho: y csc x( )= de esta ecuación:

tan x( )

csc x( )

.90450.9046

x

Estas gráficas se cortan en muchos puntos . En la figura se indican las abscisas x de dos de ellos.

Resolver una ecuación trigonométrica significa determinar los valores de las variables que hacen que ambos miembros de la igualdad condicional valgan lo mismo .

Para resolver algebráicamente las ecuaciones trigonométricas, es frecuente que se recurra al uso de las identidades, a los productos notables y la factorización del álgebra ; aunque algunas veces no es posible resolverlas en forma exacta y en ese caso es necesario emplear un procedimiento gráfico para obtener una solución aproximada, tal como se muestra en el ejemplo de arriba.


Trigonometria

Para resolver una ecuación trigonométrica en forma algebráica, se sugiere usar el siguiente procedimiento :

Considerar como variable a una función trigonométrica en particular y 1.despejarla de la ecuación trigonométrica. ( Usar las identidades trigonométricas y manipulaciones algebráicas como factorización, separación de fracciones, combinación de términos etc. )Despejar la variable de la expresión obtenida para la función 2.trigonométrica en el paso anterior para un intervalo de longitud 2 ( o según la periodicidad ) y comprobar las soluciones en la ecuación inicialUsar la periodicidad de las funciones trigonométricas para sumar a las 3.soluciones anteriores múltiplos de un periodo ( o 2

Ejemplo 22. Hallar la solución de la ecuación : cot x( ) cos2 x( ) 2 cot x( )=

Solución : paso # 1 : Usando cot x( )cos x( )

sen x( )= , la ecuación trigonométrica queda :

cos x( )

sen x( )

cos2 x( ) 2

cos x( )

sen x( )= es decir : cos

3x( ) 2 cos x( ) 0=

Considerando como variable a la función coseno y factorizando resulta :

cos x( ) cos2

x( ) 2 0=

paso # 2 : Se deduce asi que alguno de éstos dos factores es cero, es decir . . .i) cos x( ) 0=

pero en un intervalo de un periodo [0, 2 ] el coseno vale cero si x2

= 3 2

O también : ii) cos2

x( ) 2 0= es decir cos x( ) = ± 2

que no es un valor permitido para el coseno, puesto que 1 cos x( ) 1 .

paso # 3 : El coseno es una función periódica de periodo 2 , asi que la solución más general de esta ecuación trigonométrica está dada por :

x

2

n 2

3 2

n 2

= ( siendo n un entero )


Trigonometria

Ejemplo 23. Hallar la solución de la ecuación : 2 sen2 x( ) sen x( ) 1 0=

Solución : paso # 1 : Considérese como variable a la función seno, asi que factorizando la ecuación queda :

2 sen x( ) 1( ) sen x( ) 1( ) 0=

de modo que alguno de éstos dos factores debe ser cero, es decir . . .

1

1

12

76 11

6

paso # 2 : i) 2 sen x( ) 1 0=

sen x( )1

2=

pero en un periodo [0, 2 ] el seno

vale 1

2 si x

7 6

= 11 6

, como

se puede ver en su gráfica

O también :ii) sen x( ) 1 0= es decir : sen x( ) 1=

que en el intervalo de un periodo [0, 2 ] vale 1 solo si x2

=

Es fácil comprobar que las tres soluciones encontradas, x2

= 7 6

11

6 en

efecto satisfacen la ecuación inicial 2 sen2 x( ) sen x( ) 1 0=

paso # 3 : La función seno tiene un periodo de 2 , asi que la solución más general de la ecuación trigonométrica está dada por :

x

7 6

2n

11 6

2n

2

2n

= (siendo n un entero )

La siguiente gráfica muestra la función y 2 sen x( )2 sen x( ) 1= y se puede ver


Trigonometria

4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85

11 6

7 6

que corta al eje X ( la recta horizontal y 0= ) en una infinidad de puntos. En la gráfica se indican las abscisas de solo tres de esos puntos.

Ejemplo 24. Hallar la solución de la ecuación : sen x( ) cos x( ) 1=

Solución : Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación se obtiene :

sen x( )( )2

cos x( ) 1( )2=

sen2

x( ) cos2

x( ) 2 cos x( ) 1=

pero sen2

x( ) se puede substituir por su identidad : 1 cos2

x( ) y queda :

1 cos2

x( ) cos2

x( ) 2 cos x( ) 1=

0 2 cos2 x( ) 2 cos x( )=

paso # 1 : Considerando como variable a la función coseno y factorizando resulta :

2 cos x( ) cos x( ) 1( ) 0=

asi que alguno de éstos factores deber ser cero, es decir . . .

i) 2 cos x( ) 0= es decir cos x( ) 0=

y en un intervalo de [0, 2 ] el coseno vale 0 si x2

= 3 2

O también :ii) cos x( ) 1 0= es decir cos x( ) 1=

en un intervalo de [0, 2 ] el coseno vale 1 solo si x =


Trigonometria

Comprobando las soluciones en la ecuación inicial :

x2

= sen2

cos2

1= 1 0 1= vale

x3 2

= sen3 2

cos3 2

1= 1 0 1= no vale

x = sen cos 1= 0 1 1= vale

de modo que solo dos de las soluciones encontradas son válidas.

Dado que el periodo del coseno es 2 , se concluye que la solución más general de esta ecuación trigonométrica es :

x

2n

2

2n


como muestran las correspondientes gráficas de las funciones y sen x( ) cos x( )=y y 1= .

4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85

1

2

que se cortan en una infinidad de puntos. En la figura se indican las abscisas (rectas verticales) de dos de ellos.

Ejemplo 25. Hallar la solución de la ecuación : cos 2 x( )

sen 3 x( ) sen x( )1=

Solución : Multiplicando los dos miembros de la ecuación por el factor sen 3 x( ) sen x( )se obtiene :

cos 2 x( ) sen 3 x( ) sen x( )=cos 2 x( ) sen 3 x( ) sen x( )( ) 0= (*)


Trigonometria

pero sen 3 x( ) sen 2 x x( )= sen 2 x( ) cos x( ) sen x( ) cos 2 x( )= sen 2 x( ) 2 sen x( ) cos x( )=asi que . . .

sen 3 x( ) 2 sen x( ) cos x( )( ) cos x( ) sen x( ) cos 2 x( )=

y la expresión (*) resulta en :

cos 2 x( ) sen 2 x( ) cos x( ) sen x( ) cos 2 x( ) sen x( )( ) 0=

cos 2 x( ) 2 sen x( ) cos2 x( ) sen x( ) cos 2 x( ) sen x( ) 0=

factorizando . . .

cos 2 x( ) 1 sen x( )( ) sen x( ) 2 cos2 x( ) 1 0=

pero 2 cos2 x( ) 1 cos 2 x( )= , asi que la expresión final factorizada es :

cos 2 x( ) 1 sen x( ) sen x( )( ) 0=cos 2 x( ) 1 2 sen x( )( ) 0=

Se deduce que alguno de ésos factores debe ser cero, es decir . . .

i) cos 2 x( ) 0=

que en el intervalo [0 , 2] se cumple si 2 x2

= 3 2

es decir x4

= 3 4

O también :

ii) 1 2 sen x( ) 0= es decir sen x( )12

=

que en el intervalo [0 , 2] se cumple si x6

= 5 6

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1

11

2

sin x( )

cos x( )

6

5 6

x

Comprobando las cuatro soluciones en la ecuación inicial :

para x4

= queda :


Trigonometria

cos 2

4

sen 34

sen4

1=

01

2

1

2

1= indeterminado

para x3 4

= queda :

cos 2

3 4

sen 33 4

sen3 4

1=

11

2

1

2

1= indeterminado

para x6

= queda :

cos 2

6

sen 36

sen6

1=

1

2

112

1= vale

para x5 6

= queda :

cos 2

5 6

sen 35 6

sen5 6

1=

1

2

112

1= vale

de modo que solo dos de las soluciones encontradas son válidas.

Dado que las funciones coseno y seno son periódicas de periodo 2 se concluye que la solución más general de la ecuación trigonométrica dada es:

x

6

n 2

5 6

n 2


como muestran las correspondientes gráficas de las funciones

ycos 2 x( )

sen 3 x( ) sen x( )= ; y 1= .


Trigonometria

2

1

1

2

3 5 6

6

Ejemplo 26. Hallar la solución de la ecuación : tan x( ) csc x( )=

Solución : Expresando la ecuación en términos de senos y cosenos resulta :

sen x( )

cos x( )

1

sen x( )= es decir sen

2x( ) cos x( )=

1 cos2

x( ) cos x( )=

paso # 1 : Considerando que cos x( ) u= es una variable, se obtiene la ecuación cuadrática:

cos2

x( ) cos x( ) 1 0=

u2

u 1 0=

que tiene las soluciones: u cos x( )=

1 52

1 52

=0.618

1.618

=

paso # 2 : El valor 1.618 no está en el rango del coseno, asi que sólo queda la

solución : cos x( )1 5

2= .

Evidentemente no es posible resolver en forma exacta para la variable x asociada a éste valor del coseno, dado que :

x arccos1 5

2

=


Trigonometria

Una representación gráfica de las funciones y1 cos x( )= y y2 0.618= puede

generar una solución apoximada para la identidad del problema dado .

En un intervalo de un periodo [0, 2 ] , la recta horizontal y21 5

2= corta a la

gráfica de la función coseno en dos puntos , para los cuales la abscisa x vale . . .

x0.9046

2 0.9046

=0.9046

5.3786

=

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1

1

5.37860.9046

De modo que la solución más general de la ecuación trigonométrica es :

x0.9046 n 2

5.3786 n 2

= (donde n es un entero )

EJERCICIO II.4

1. Encontrar las soluciones exactas de las siguientes ecuaciones trigonométricas :

a) 2 cos x 3= b) sec x( ) csc x( ) 2 csc x( ) 0=c) 2 sen

2 x( ) 3 sen x( ) 1 0= d) csc2

x( ) 1 3( ) 1 3( ) cot x( )=

e) 4 sen x( ) cos x( ) 1= f) tan x4

tan x4

4=

g) sen2

3 x( ) sen2

x( ) 0=

2. Resuelva gráficamente para obtener una solución apoximada de las siguientes ecuaciones:

a) 2 sen x( ) cos x( )= b) 2 sen2 x( ) 1 sen x( )=

c) 2 sen x 2( ) 3 x2 d) cos

2x( )

x 32

=


Trigonometria

R

R

A

3. Demostrar que el área A del segmento de un círculo como el mostrado a la derecha, está dada por :

A12

R2 sen =

Si el radio del círculo es R 8 m= y el área del segmento

es A 48 m2= , hallar el ángulo con una precisión de tres

cifras decimales en radianes.

4. Una técnica para corregir el astigmatismo en el ojo humano implica cambiar la curvatura de la córnea. En la sección transversal de la córnea que se muestra en la figura, el árco circular de longitud L

y radio R subtiende un ángulo central de 2 .

a) Si a 5.5 mm= y b 2.5 mm= , calcular L con cuatro cifras decimales. b) Al reducir la longitud de la cuerda 2 a sin cambiar la longitud del arco L cambiará la curvatura de la córnea . Aproxime b con 4 cifras decimales si a

se cambia a 5.4 mm

R

L

ba

córnea

posiciónmás alta

w

posiciónmás baja

posiciónde equilibrio

5. Un objeto de cierto peso w se suspende verticalmente de un resorte y mediante un impulso inicial, se pone a oscilar hacia arriba y hacia abajo de su posición de equilibrio. En ausencia de fricción, la posición vertical y del objeto respecto a su posición de equilibrio cambia con el tiempo t . Supónga que y está dada por :

y 3 sen 8 t( ) 4 cos 8 t( )=

transforme la ecuación a la forma :

y A sen B t C( )=

e identifique la amplitud A , el periodo T y la fase de éste movimiento oscilatorio.


Trigonometria

6. Cierto generador de corriente eléctrica alterna produce una intensidad de corriente I variable

con el tiempo t dada por la ecuación :

I 50 sen 120 t 0.001( ) =donde t se mide en segundos.

Encuentre el valor positivo más pequeño de t para el cual la intensidad de corriente eléctrica

es I 40=

7. Supponga que dos ondas sonoras se describen con las ecuaciones :

y1 0.6 cos 184 t = y y2 0.6 cos 208 t =

Si se emiten ambos sonidos de manera simultánea, se producirá una onda resultante y1 y2

que tiene una frecuencia de interferencia . Calcular dicha frecuencia.

h

32 m

8. Un puente de arco circular con una longitud de arco de 36 m , salva un claro de rio de

32 m de ancho.Determine con una precisión de dos cifras decimales el radio del arco circular y su altura h por encima del agua en el centro del puente.


Trigonometria


1. a) cos x 32

=

pero cos x cos x( ) cos sen x( ) sen = = cos x( ) 1( ) sen x( ) 0( ) = cos x( )

por lo tanto: cos 32

= implica que x

6

n 2

11 6

n 2

=

1.57 3.14 7.85

1

1

cos x 3

2

6

11

6

x

b) sec x( ) csc x( ) 2 csc x( ) csc x( ) sec x( ) 2( )= 0=

y dado que csc x( ) 0= es imposible, entonces de sec x( ) 2= se obtiene que :

3.14 0.79 1.57 3.93 6.28

4

2

2

4

sec x( )

2

3

5

3

x

x

3

n 2

5 3

n 2

=

c) 2 sen2 x( ) 3 sen x( ) 1 2 sen x( ) 1( ) sen x( ) 1( )= = 0

implica que : 2 sen x( ) 1 0= sen x( )1

2= x

7 6

= 11 6

sen x( ) 1 0= sen x( ) 1= x 32=

por lo tanto :

x3

2 n

5 3

2 n

3 2

2 n

=


Trigonometria

d) Usando la identidad pitagórica csc2

x( ) 1 cot2

x( )= , la ecuación algebráica queda como :

1 cot2

x( ) 1 3( ) 1 3( ) cot x( )= y llamando u cot x( )= se obtiene la ecuación cuadrática : u

21 3( ) u 3 0= cuya

solución es:

cot x( ) u=1

3

= x6

= 3 4

7 6

7 4

0 1.57 3.14 4.71 6.28

3

1

1

3

cot x( )

3

1

7 6

6

x

asi que la solución general de la ecuación trigonométrica es :

x76 n

6

n

3 4

n

7 4

n

=

e) Se puede escribir como: 2 sen x( ) cos x( ) 12

= , es decir :

sen 2 x( )12

= 2 x6

= 5 6

x12

5 12

=

0 1.57 3.14

1

1

sin 2 x( )

1

2

5 12

12

x

y la solución general es por lo tanto :

x12

2 n

5 12

2 n

=


Trigonometria

f ) De : tan tan tan 1 tan tan

= tan x4

tan x( ) 11 tan x( )

=

y : tan tan tan 1 tan tan

= tan x4


=

asi que : tan x4

tan x4



= = 21 tan

2x( )

1 tan2

x( )

y la ecuación trigonométrica se trasforma en :

21 tan

2x( )

1 tan2

x( )

4= 3 tan2 x( ) 1= tan x( )

1

3=

1.57 0.52 2.62 4.71

2

1

1

2

3

tan x( )

1

3

6

7 6

x

que implica x6

= 7 6

.

De ésta manera, la solución general es:

x

6

n

7 6

n

=

g ) Factorizando :

sen2

3 x( ) sen2

x( ) sen 3 x( ) sen x( )( ) sen 3 x( ) sen x( )( )= = 0

y usando la identidad sen 3 x( ) sen 2x x( )= sen 2 x( ) cos x( ) sen x( ) cos 2 x( )= junto con sen 2 x( ) 2 sen x( ) cos x( )= ; cos 2 x( ) 2 cos

2 x( ) 1= se obtiene que :

sen 3 x( ) sen x( ) 0= 2 sen x( ) 2 cos x( )2 1 0= x 0=

4

5 4

o

sen 3 x( ) sen x( ) 0= 4 sin x( ) cos x( )2 0= x 0=

2

3 2

De ésta manera, la solución general es:

x 0( )4

5 4

2

3 2

n 2 =


Trigonometria

2. a) 2 sen x( )cos x( )

cos x( )

cos x( )= tan x( )

12

= esto es: x arctan12

= = 0.4636

b) Haciendo sen x( ) u= la ecuación queda : 2 u2 u 1 0= u sen x( )=

112

=

esto es: x

arcsen12

6

=

arcsen 1( )3 2

=

=

3 0 3

2

2

sin x 2( )

3 x22

1.51 1.828

x

c) sen x 2( )3 x

22

Solución : 1.504 x 1.828

0 1 2 3 4 5 6

1

0.5

2

3.952 d) cos x( )

x 32

=

Solución : x 3.952=

R

A

x

y

3. El área sombreada es la diferencia entre el área del sector

circular: A112 R

2= y el área de dos triángulos

rectángulos A2 212

x y

= x y= R cos2

R sen2

= ,

esto es :

A A1 A2= = 12 R

2 R2

cos2

sen2

y de la identidad :

sen x( ) sen 2x2

= 2 senx2

cosx2

=


Trigonometria

se deduce que : A12 R

2

R2

2sen = =

R2

2 sen y queda demostrado.

Calculando : sen 2 A

R2

= esto es : sen 2 48 m2

8 m( )2

= = 32

y usando una graficadora, la solución aproximada es : 2.267 rad=

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

1

0.5

0.5

1

1.5

2.267

4. En el diagrama mostrado a la derecha, si la córnea tiene una longitud circular L entonces . . .

L R 2 =

por lo cual es necesario calcular primero R y en términos

de las longitudes conocidas a y b .Por el teorema de Pitágoras:

R2

R b( )2

a2= R

a2

b2

2 b=

R

Lb

a

y sen a

R= a

b2 a2 2 b

= arcsen2 b a

a2

b2

=

de modo que : L 2 R = = a

2b

2b

arcsen2 b a

a2

b2

= 5.5 mm( )

22.5 mm( )

22.5 mm

arcsen 25.5( ) 2.5( )

5.5( )2

2.5( )2

= 14.60 mm 0.85325( )

= 12.4575 mm


Trigonometria

Si ahora la distancia b es una variable x , se puede escribir :

La

2x

2x

arcsen2 x a

a2

x2

= esto es L x

a2

x2

arcsen2 x a

a2

x2

=

y

senL x

a2

x2

2 x a

a2

x2

=

de manera que con L 12.4575 mm= y a 5.4 mm= , ésta ecuación se resuelve gráficamente,

obteniéndose : x 2.65= . Cambiando asi la curvatura de la córnea

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

1

sinL x

a2 x2

2 x a

a2 x2

2.65

x

5. Si se comparan las expresiones :

y 3 sen 8 t( ) 4 cos 8 t( )=y A sen B t C( )= = A sen B t( ) cos C( ) sen C( ) cos B t( )( )

se deduce que :3 A cos C( )= y B t 8 t= B 8=4 A sen C( )=

asi que sumando los cuadrados de éstas ecuaciones simultáneas se obtiene . . .

3( )2

4( )2 A

2cos

2C( ) sen

2C( ) = A 9 16= = 5

que es la amplitud de las oscilaciones.Dividéndolas . . .

A sen C( )A cos C( )

43

= tan C( )43

= C arctan43

= = 0.9273

que es la diferencia de fase .


Trigonometria

De éste modo la posición vertical y del objeto en movimiento oscilatorio se describe por :

y 3 sen 8 t( ) 4 cos 8 t( )= = 5 sen 8 t 0.9273

= 5 sen 8 t 0.9273

8

= 5 sen 8 t 0.2768( )[ ]

Se concluye que :a) la frecuencia angular es 8= ( 8 veces la de la funcion sen t( ) )

b) el periodo es T2

= 2 8

= 4

=

c) la fase es : 0.9273

8= = 0.2768 (la función sen 8 t( ) desplazada

hacia la derecha la distancia 0.2768 , como se muestra en la siguiente gráfica

0 0.79 1.57

5

5

5 sin 8 x 0.2768( )[ ]

0.27684

0.2768

x

6. 40 50 sen 120 t 0.001( ) = 45

sen 120 t1

1000

=

arcsen45

120 t1

1000

= t1

120 arcsen

45

11000

=

y el instante buscado es : t0.9273

120 0.001= = 0.0035

Frecuencia : 120 = = 377 Hz , Periodo : T2

= 160

= , Fase : 0.001 derecha


Trigonometria

0 0.01 0.02

50

30

10

10

30

50

50 sin 120 t 0.001( )

40

0.00351

600.001

t

7. h t( ) 0.6 cos 184 t tiene:

Amplitud

frecuencia

fase

0.6

184

0

g t( ) 0.6 cos 208 t tiene :

Amplitud

frecuencia

fase

0.6

208

y la suma de las ondas es : f t( ) h t( ) g t( )

1.2

1.2

h t( )

g t( )

f t( )

1

6

1

4

t

Usando la identidad suma-producto:

cos cos 2 sen

2

sen

2

=

resulta :

0.6 cos 184 t 0.6 cos 208 t 0.6 2 sen184 208

2 t

sen184 208

2 t

=

= 1.2 sen 196 t sen 12( ) t


Trigonometria

pero sen 12( ) t sen 12 t = y se obtiene :

f t( ) 1.2 sen 12 t sen 196 t =

la cual se puede interpretar como la función seno sen 196 t que tiene una amplitud variable

en el tiempo 1.2 sen 12 t que oscila con una frecuencia 12 y tiene un periodo de

2 12

16

= ; sin embargo, la amplitud y la función se repetirán exactamente para un intervalo

que sea el inverso del máximo común divisor de las frecuencias , es decir

T1

mcm 12 196( )= 1

4= como se muestra en la figura anterior.

R

L

h

a

8. Si la longitud del arco del puente es L y el claro de

rio que cubre es a , entonces . . .

L R 2 = y sen a2

R= a

2 R=

por lo tanto : sen a

L= esto es sen 32

36= =

89

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

0.4

1.3

0.83

Asi que representando gráficamente las funciones de :

y1 sen = ; y289=

se obtiene una solución grafica aproximada, como se ilustra en la figura de la derecha .

0.83 rad=

Por lo tanto : Ra

2 sen = =

32 m2 sen 0.83( )

= 21.682 m

h R R cos = = R 1 cos = 21.682 m 1 cos 0.83( )( ) = 7.05 m


Trigonometria

2.7 Triángulos no rectángulos .

Aunque las funciones trigonométricas quedan definidas sólo para los triángulos rectángulos , es posible hallar relaciones muy últiles entre los lados de los triángulos que no tienen un ángulo recto .En general un triángulo tiene 6 partes : tres lados y tres ángulos, por eso una pregunta natural es:

¿Cuál es la menor cantidad de información que es necesario conocer de un triángulo cualquiera para determinar todas sus partes faltantes ?

Calcular o determinar los lados y ángulos restantes de cualquier triángulo a partir de saber cuanto valen algunos de sus lados ó angulos se llama resolver el triángulo.

Representando en general por A a un ángulo y L a un lado de un triángulo, las leyes que derivaremos enseguida ( Ley de los senos y Ley de los cosenos ), nos permiten como veremos, resolver un triángulo con la información mínima en los siguientes casos :

LLL : (se dan los tres lados del triángulo)

LAL : (se dan dos lados y el ángulo incluido entre ellos)Ley de los cosenos

LLA : (se dan dos lados y un ángulo que no sea el incluido entre ellos)

ALA o AAL : (se dan dos ángulos y cualquier lado)Ley de los senos

Por convención, se acostumbra denotar a los ángulos de un triángulo dado con las letras mayúsculas A , B y C y a los lados opuestos a esos ángulos con las letras minúsculas

correspondientes a , b y c respectivamente.

2.8 Ley de Senos .

A

B

C

ab

c

h

En el triángulo ABC mostrado a la derecha, consideremos que

h es es segmento perpendicular al lado c Entonces, aplicando la definición de la función seno para los triángulo rectángulos correspondientes se obtiene :

sen A( )h

b= ; sen B( )

h

a=

y substituyendo h b sen A( )= de la primera ecuación en la segunda, queda :

sen B( )b sen A( )

a= esto es

sen B( )

b

sen A( )

a= (*)


Trigonometria

A

B

C

ab

c

H

Por otra parte, si en el mismo triángulo se considera el segmento H perpendicular al lado b , también es cierto que:

sen C( )H

a= ; sen A( )

H

c=

substituyendo H a sen C( )= de la primera ecuación en la segunda, queda :

sen A( )a sen C( )

c= esto es

sen A( )

a

sen C( )

c= (**)

De éstos dos resultados (*) y (**) finalmente se puede concluir que :

sen A( )

a

sen B( )

b= sen C( )

c= ( 8 )

Esta relación es llamada " Ley de Senos " , es válida para todo triángulo (incluyendo los rectángulos )y se puede escribir también en las formas equivalentes :

a

sen A( )

b

sen B( )= c

sen C( )= ( 8

a )

o también

a

b

sen A( )

sen B( )= ;

c

a

sen C( )

sen A( )= ;

b

c

sen B( )

sen C( )= ( 8

b )

es decir . . .

En todo triángulo, la razón de dos lados cualesquiera es igual a la razón de los senos de los ángulos opuestos a esos lados

Ejemplo 27. Un poste inclinado 8º respecto a la vertical proyecta una sombra sobre un pisohorizontal de 7 metros de longitud cuando es Sol está a 63º sobre el horizonte.

¿Cuánto vale es la longitud c del poste ?


Trigonometria

8°

A

B

C

63°

a

7 m

c

Solución : Representado en la figura de la derecha, el ángulo A vale 98º y por consiguiente el ángulo B vale :

180º 63º 98º = 19º

(dado que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º )

Por la Ley de Senos aplicada a este triángulo se deduce que : c

sen C( )

b

sen B( )=

es decir . . . c

sen 63°( )

7 msen 19°( )

=

de donde se obtiene que el lado c del triángulo mide:

c 7 m( )sen 63º( )

sen 19º( )= 19.16 m=

que es la longitud buscada del poste.

Ejemplo 28. Un globo meteorológico flota en el aire exactamente en el plano vertical que unedos observatorios A y B , los cuales están separadas entre si una distancia de 4.8 km sobre un terreno plano horizontal.Cuando el globo se observa desde éstos dos puntos, los ángulos de elevación son B = 63º 23' y A = 43º 32' . Determinar la altura h del globo sobre el

suelo.

A B

ab

c

h

CSolución : Se conocen dos ángulos del triángulo ABC , por lo tanto el tercer ángulo vale :

C = ( A B )

= 180º 43º 32' 63º 23' = 73º 05'

Aplicando la Ley de Senos se obtiene por

ejemplo la longitud del lado b . . .

c

sen C( )

b

sen B( )= b c

sen B( )

sen C( )=


Trigonometria

por lo tanto de sen A( )h

b= y la altura h es :

h b sen A( )= csen B( )

sen C( )

sen A( )=

= 4800 m( )sen 63 ° 23 ´( ) sen 43 ° 32 ´( )

sen 73° 05 ´( )

= 3089 m = 3.089 km

74°

28°

AB

C

a

40°

c

b

Ejemplo 29. Se desea construir un puente a travésde un lago como se indica en lafigura de la derecha. La distancia entre los puntos A y B es 100 metros . ¿Cuál debe ser lalongitud BC del puente ?

Solución : El ángulo A vale : A = 74º 28º = 46ºPor lo tanto, prolongando la línea AB por el punto B , es evidente que el ángulo B del triángulo ABC vale :

B = 180º 74º 40º = 66º

en consecuencia, el ángulo C vale :

C = A B = 180° 46° 66° = 68º

Aplicando la Ley de Senos al triángulo ABC se obtiene : c

sen C( )

a

sen A( )=

y la distancia a vale :

a csen A( )

sen C( )= 100 m( )

sen 46º( )

sen 68º( )= 77.6 m=

Ejemplo 30. En un motor de combustion interna, una biela de largo a 11.5 cm= se une a unpistón que se mueve dentro de un cilindro. El otro extremo de la biela se articulaa un muñon de cigüeñal que gira en un círculo de radio b 6.35 cm= como se ilustra en la siguiente figura .


Trigonometria

d

a b

¿A qué distancia del centrodel cigüeñal está la base delpistón (distancia d )

cuandola biela forma un ángulo de 9° con la línea central ?( hay dos posibles respuestas )

Solución : Este es el caso LLA para la Ley de Senos .

Las dos posiciones posibles para las cuales la longitud a forma un ángulo = 9º con la línea central, se ilustran enseguida:

a b

d

a

b

d

De la Ley de Senos : sen

b

sen d

= se sigue que : dsen sen

b=

sen

b

sen a

= se sigue que : sen a

b

sen =

y arcsena

bsen

=

Dado que = se tiene también que :

sen sen = = sen

por lo tanto:

dsen

sen b= = sen cos sen cos

sen

b

= cos sen cos sen

b

= cos a

bsen

cos sen

b

obteniéndose finalmente : d b cos a cos =


Trigonometria

a b

a cos()

b cos()

Expresión que evidentemente es correcta como se puede apreciar si el triángulo anterior se divide en dos triángulos rectángulos y se aplica la definición de la función coseno .

Calculando : arcsena

bsen

= = arcsen11.5 cm6.35 cm

sen 9°( )

= 0.2872

0.2872

= 16.46°

163.54°

Calculando entonces la distancia d resulta :

d 6.35 cm( ) cos16.46°

163.54°

11.5 cm( ) cos 9°( )=

= 17.45 cm

5.27 cm

2.9 Ley de Cosenos .

Si sólo se conocen las longitudes de los tres lados de un triángulo oblicuo o dos de sus lados y el ángulo entre ellos, la Ley de Senos es insuficiente para determinar las demás cantidades del triángulo. La Ley de Cosenos se aplica en tales casos. Deduzcámosla . . .

A

B

C

ab

c

y

Px

Consideremos el triángulo oblicuo ABC de lados

a , b y c como el ilustrado en la figura de la

derecha, en el cual la línea CP es perpendicular

al lado AB pero además x e y son las longitudes

de los segmentos AP y CP respectivamente.

Apliquemos al triángulo recto PCB el teorema de Pitágoras . . .

CB 2

CP 2

PB 2

=


Trigonometria

es decir :

a2

y2

c x( )2=

pero por definición: sen A( )y

b= ; cos A( )

x

b= , asi que substituyendo x , y en la ecuacion

anterior se obtiene . . .

a2

b sen A( )( )2

c b cos A( )( )2=

y desarrollando y agrupando términos queda . . .

a2

b2

sen2 A( ) c

2 2 c b cos A( ) b2

cos2 A( )=

a2

b2

sen2

A( ) cos2

A( ) c2 2 c b cos A( )=

pero sen2

A( ) cos2

A( ) 1= asi que :

a2

b2

c2 2 c b cos A( )= ( 9 )

Si en ésta deducción, en lugar de la perpendicular al lado AB se hubieran considerado las

líneas perpendiculares a los lados BC y CA se habrían obtenido las relaciones :

b2

a2

c2 2 a c cos B( )= ( 9a )

c2

a2

b2 2 a b cos C( )= ( 9b )

La Ley de Cosenos queda entonces expresada en palabras como . . .

En todo triángulo , el cuadrado del lado opuesto a un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos otros lados por el coseno del ángulo entre ellos

Luego entonces, si se conocen los tres lados de un triángulo, mediante la Ley de Cosenos podemos calcular sus ángulos.

Notemos que si el ángulo dado entre los dos lados del triángulo es recto, entonces cos 90°( ) 1= y la Ley de Cosenos: c

2a

2b

2 2 a b cos C( )= se reduce a :

c2

a2

b2=

el Teorema de Pitágoras. Es decir, éste teorema es un caso especial de la Ley de Cosenos.


Trigonometria

C

a

b

Ejemplo 31. Se desea construir un túnel recto a travésde una montaña . Desde un punto C un topógrafo

determinalas distancias : a = 5630 m. , b = 6725 m.y el ángulo C = 75º . ¿Cuál será la longuitud del túnel ?.

Solución : Se conocen los dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos (caso LAL) , asi

que aplicando la Ley de Cosenos c2

a2

b2 2 a b cos C( )= resulta :

c 5630 m( )2

6725 m( )2 2 5630 m( ) 6725 m( ) cos 75 deg( )=

= 31696900 m2 45225625 m

2 75723500 m2 cos 75 deg( )

= 76922525 75723500 0.258819( )[ ] m2 = 57323844.45 m

= 7571.25 m

L

x

d

a

Ejemplo 32. La torre inclinada de Pisa tiene una longitud L 54.5 m= ; sin embargo, a una distancia

horizontal d 30.5 m= medida desde elcentro de la base de la torre, la distancia ala cima de la torre es a 60 m= .

Determinar la distancia horizontal x deinclinación de la torre respecto a la vertical .

Solución : Es claro que cos x

L= , por lo que x L cos = , por eso a partir de la Ley

de Cosenos : a2

L2

d2 2 L d cos = resulta :

L cos L

2d

2 a2

2 d=


Trigonometria

es decir :

x L cos = = 54.5 m( )

230.5 m( )

2 60 m( )2

2 30.5 m( )

= 2970.25 m

2 930.25 m2 3600 m

261.0 m( )

= 4.92 m

T

S

R

horizonte

O

Ejemplo 33. Un satélite S que gira alrededor de laTierra en una órbita circular, esdetectado por una estación de rastreo T. La distancia Tierra -Satélite TS determinada por el radar es de 1664 kmy el ángulo de elevación por arriba delhorizonte es de 32.4°= .¿A qué altura está el satélite arriba de la Tierra en ese momento ? ( El radioterrestre es R 6380 km= )

Solución : La altura h del satélite por encima de la Tierra es :

h OS

R=

donde la distancia OS

se calcula a partir de la Ley de Cosenos :

OS 2

R2

TS 2

2 R TS cos =

Dado que el radio de la Tierra es perpendicular a la línea del horizonte, entonces el ángulo = OTS vale 90° , por eso. . .

OS

R2

TS 2

2 R TS cos 90° =

= 6380 km( )2

1664 km( )2 2 6380 km( ) 1664 km( ) cos 122.4°( )

= 40704400 km2 2768896 km

2 21232640 km2 0.5358( )

= 43473296 km2 11376448.512 km

2 = 7406 kmy

h 7406 km 6380 km= = 1026 km


Trigonometria

EJERCICIO II.5

1. Dos barcos dejan un puerto a las 9 A.M. , dirigiéndose uno de ellos a 53º al Oeste del Norte a una velocidad de 12 km/h , mientras que el otro se dirige a 67º al Oeste del Sur a 16 km/h . ¿Cuál será la distancia entre ellos para el mediodia ? .

d

d

h

2. Se desea instalar una antena de torre vertical de altura h 100 m= de largo sobre una colina que tiene una pendiente de 30º . Calcular la longitud de los alambres que la sostendrán si éstos se deben atar sobre la colina a una distancia d 75 m= a ambos lados de la base de la antena. .

3. En un mapa hecho a escala, la ciudad A queda a 7 cm de la ciudad B . La ciudad C queda a

10.75 cm . de la ciduad A y el ángulo entre las direcciones AB

y AC

es 37° .

Si en la escala del mapa indica 1 : 1 200 000 , determinar la distancia entre las ciudades B y C

4. Un alpinista se dirige hacia una montaña caminando sobre una pradera horizontal que está a 2000 m sobre el nivel del mar y nota que el ángulo de elevación hasta la cima es 25° . Después

de caminar 3 km sobre la pradera hacia la montaña, observa que el ángulo de elevación a la cima

aumentó a 43° . Determinar la altura de la montaña sobre el nivel del mar.

5. Un avión vuela desde un punto P con una rapidez de 560km

h en la dirección 20° al Oeste del

Sur durante 4 horas y entonces cambia su rumbo a 80° al Oeste del Sur moviéndose ahora con

una rapidez de 640km

h durante 5 horas. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida en

ese momento?

C

s

R

6. Una sección transversal de la córnea de un ojo humano, es un arco circular, como se muesta en la figura de la derecha. La longitud de la cuerda C es 11.8 mm y el

ángulo central vale 98.9°

Encuentre el valor del radio R y longitud s del arco de la córnea .


Trigonometria

S

T

V

7. Las órbitas solares de la Tierra y de Venus son aproximadamente circulares y sus radios valen

RT 1.495 108 km= y Rv 1.085 108 km=

respectivamente.Se envia una señal de radio a Venus desde la Tierra cuando el ángulo STV = es de 18° 40'

¿En cuánto tiempo llegará la señal a Venus ? ( hay dos posibles respuestas )

A C

B

8.1 cm4.3 cm

2.8 cm

D

E

8. La longitud de los lados de un sólido rectangular son como se indican en la figura de la derecha.

Calcular los ángulos CAB y ADE

A

B

9. Para encontrar la longitud de un lago pequeño, un topógrafo midió el ángulo ABC de 96° siendo las

distancias AC

91 m= y BC

71 m= .

¿Cuánto vale el ancho del lago aproximadamente ?

X

Y

O

A

B

10. El punto A tiene coordenadas 3 6( ) y el punto

B tiene coordenadas 7 4( ) . Hallar la medida del

ángulo


Trigonometria

N

37°

SE

a B

11. Un submarino S utiliza el sonar para determinar que un barco B está a 5.4 km al Este y viaja en línea recta a 16 km/h en una dirección a 37º al Este del Norte. Si la velocidad máxima del submarino es 28.8 km/h, ¿en qué dirección debe viajar para interceptar al barco en el menor tiempo posible y cuánto tiempo tardará en hacerlo ?

12. Dos observadores que están a 2 km de distancia entre si , miran un objeto volador no identificado ( ovni ) que flota sobre un pequeño pueblo entre ellos. Los observadoes están a una misma altura y los ángulos de elevación hacia el ovni son 28º y 46º respectivamente . ¿A qué altura sobre los observadores vuela el ovni ?

75°69°

13. Desde un barco que viaja a 20 km/h paralelamente a la orilla de la playa, se determina que la dirección hacia un objeto fijo en la orilla es 75º y 10 minutos después es 69º .

¿ A qué distancia de la orilla está el barco ?


Trigonometria

Respuestas Ejercicio II.5

53°

67°

N

O

S

E

a

b

x

A

B

1. Después de 3 horas de viaje a velocidad constante, los barcos A y B han recorrido las distancias :

a 12km

h

3 h( )= 36 km=

y

b 16km

h

3 h( )= 48 km=

respectivamente

Además, el ángulo entre sus direcciones es 180° 53° 67°( )= 60°= , asi que la distancia x buscada es la longitud del tercer lado del triángulo OAB , la cual se calcula de la ley de cosenos:

x a2

b2 2 a b cos =

= 36 km( )2

48 km( )2 2 36 km( ) 48 km( ) cos 60°( ) = 43.27 km

30°

120°

h

d

d

x

y

60°

A

B

D

C

2. de la construcción ilustrada a la derecha, se deduce que las longitudes buscadas son los lados x e y de los triángulos ADB y DCB respectivamente, para los cuales se conocen dos lados ( h y d ) y el

ángulo entre ellos ( 120° y 60° ) . Por la ley de cosenos, dichos lados valen :

x d2

h2 2 d h cos 120°( )= = 752 1002 2 75( ) 100( ) cos 120°( ) m = 152.1 m

y d2

h2 2 d h cos 60°( )= = 752 1002 2 75( ) 100( ) cos 60°( ) m = 90.14 m


Trigonometria

C

37° A

B

c

b

x

3. La distancia buscada es la longitud del lado x en el triángulo ABC ilustrado a la derecha.

Por la ley de cosenos, ese lado vale :

x c2

b2 2 c b cos 120°( )=

= 7 cm( )2

10.75 cm( )2 2 7 cm( ) 10.75 cm( ) cos 37°( ) = 6.66 cm

y dado que la escala del dibujo es 1 : 1 200 000 , la distancia real entre las ciudades C y B es :

6.67 cm( ) 1200000( ) 8.004 106 cm= = 80 km

x

D

C

h

A B

a

b

4. Aplicando la ley de senos al triángulo ABC se obtiene :

(1) b

sen x

sen =

y en el triángulo BCD , la misma ley queda:

(2)b

sen 90°( )

h

sen =

Entonces , substituyendo b de la ec. (2) en la ec. (1) resulta :

h

sen sen

x

sen = y

resolviendo para h queda :

h xsen sen

sen = = xsen sen

sen

= 3 kmsen 25°( ) sen 43°( )

sen 43° 25°( )

= 2.7981 km

Asi que la altura de la montaña sobre el nivel del mara es : 2000m 2798 m 4798 m=


Trigonometria

80°

20°

O

S

E

a

b

xP

60°P'

A

5. Después de viajar a velocidad constante, las distancias que ha recorrido el avión son :

a 560km

h

4 h( )= 2240 km=

y

b 16km

h

3 h( )= 3200 km=

El ángulo entre sus direcciones es 180° 60°( )= 120°= , asi que la distancia PP´ buscada es la longitud del tercer lado del triángulo PAP' , la cual se calcula de la ley de cosenos:

x a2

b2 2 a b cos =

= 2240 km( )2

3200 km( )2 2 2240 km( ) 3200 km( ) cos 120°( ) = 4735.57 km

R

cs

R

6. Usando la ley de senos se tiene :

c

sen R

sen =

pero 2 = de modo que . . .

c

sen R

sen

2

= = R

cos2

Resolviendo para R queda . . .

R ccos

2

sen = = ccos

2

2 sen2

cos2

=

c2

1

sen2

= 11.8 mm

21

sen98.9°

2

= 5.9 mm 1

sen 49.45°( ) = 7.765 mm

y asi, el arco de la córnea vale . . . s R = = 7.765 mm( ) 98.9°

180°

= 13.403 mm


Trigonometria

S

T

V

RV

RT

d

7. La distancia d entre la Tierra y Venus se obtiene a partir de la ley de senos aplicada al triángulo STV . . .

RV RT 2d

2 2 RT d cos =

es decir . . .

d2

2 RT cos d RT 2RV 2 0=

que es una ecuación cuadrática en d de la forma A d2 B d C 0= cuya solución general es :

dB B

24 A C

2 A=

d2 RT cos 2 RT cos 2

4 1( ) RT 2RV 2

2=

d RT cos RV 2RT 2

sen2 =

= 1.495 108 cos 18.67°( ) 1.085 108 21.495 108 sen

2 18.67°( ) km

= 2.5013 108 km

Cuando se considera el signo negativo del radical resulta :

d 3.3133 107 km= (aproximadamente un octavo de la distancia anterior).

Dado que la velocidad de las ondas de radio es la velocidad de la luz en el vacío c 3 108m

seg= ,

el tiempo pedido vale . . .

td

c= 2.5013 108 km

3 108m

seg

= = 833.77 seg = 13 min 53.4 seg

ó bién

td

c= 3.3133 107 km

3 108m

seg

= = 110.44 seg = 1 min 50.4 seg


Trigonometria

8. Las diagonales CA , AB y BC tienen las longitudes dadas por el teorema de Pitágoras . . .

CA 4.3 cm( )2

8.1 cm( )2= = 9.17 cm

AB 2.8 cm( )2

8.1 cm( )2= = 8.57 cm

BC 4.3 cm( )2

2.8 cm( )2= = 4.96 cm

asi que aplicando la ley de cosenos al triángulo ABC . . .

BC2

AB2

AC2 2 AB( ) AC( ) cos = ;

cos AB2

CA2 BC

22 AB( ) CA( )

= = 8.572 9.172 4.962

2 8.57( ) 9.17( ) = 0.8458

y por lo tanto, el ángulo CAB vale arccos 0.8458( )= = 32° 14.53'.

Por un procedimiento similar, se encuentra que el ángulo ADE vale : 26° 38.7'

A

B

9 . AB AC( )2

CB( )2 2 AC( ) CB( ) cos 96°( )=

= 91 m( )2

71 m( )2 2 91 m( ) 71 m( ) cos 96°( )

= 121.13 m

X

Y

O

A

B

10. Las longitudes del triángulo OAB son

OA x1 2y1 2= = 32 62 = 45

OB x2 2y2 2= = 72 42 = 65

AB x2 x1 2y2 y1 2=

= 7 3( )2

4 6( )2 = 2 5

Despejando el ángulo de la ley de cosenos AB2

OA2

OB2 2 OA OB cos = resulta . . .

arc cosOA

2OB

2 AB2

2 OA( ) OB( )

= = arc cos45 65 20

2 45( ) 65( )

= 33.69°


Trigonometria

b

53°

N

BSE

a

x

B'

11. Si la velocidad del barco es u 16km

h= y B ' es su

posición final en el momento de ser alcanzado por el submarino después de un transcurrido un tiempo t , entonces habrá viajado la distancia

BB´ u t= b= .

En ese mismo tiempo el submarino, viajando a la velocidad v 28.8km

h= , habrá recorrido la

distancia SB´ x= v t= y dado que la distancia SB es a 5.4 km= , se aplica entonces la ley

de cosenos al triángulo SBB ' : x2

a2

b2 2 a b cos = es decir :

v t( )2

a2

u t( )2 2 a u t( ) cos 180° 53°( )=

v2

u2 t

2 2 a u cos 127 °( ) t a2 0=

28.8km

h

2

16km

h

2

t2 2 5.4 km( ) 16

km

h

0.6018( )

t 5.4 km( )2 0=

573.44km

2

h2

t2 103.991

km2

h

t 29.16 km2 0=

Resolviendo ésta ecuación cuadrática para t resulta : t 0.3337 h= 20 min=

28° 46°

a

h

A B

O

x

12. De la figura mostrada a la derecha, es evidente que :

tan 28°( )h

a x( )= (1)

tan 46°( )h

x= (2)

asi que substituyendo x de la ecuación (2) en la ecuación (1) queda :

tan 28°( )h

ah

tan 46°( )

= y de aquí se obtiene : h atan 46 °( ) tan 28 °( )tan 46°( ) tan 28°( )=


Trigonometria

es decir . . . h 702.6 m=

xP

AB

CD

a

h

13. Del triángulo rectángulo PAC se tiene obtiene :

tan 1 h

x a= (1)

y del triángulo rectángulo PBD se tiene obtiene :

tan 2 h

x= (2)

asi que substituyendo x de la ecuación (2) en la ecuación (1) queda :

tan 1 h

h

tan 2

a= , es decir . . . h a

tan 2 tan 1

tan 2 tan 1 =

donde a u t= = 20km

h 10

60h

= 333.3 m es la distancia recorrida por el barco en 10

minutos.

Entonces la orilla se encuentra a la distancia. . .

h 333.3 mtan 75°( ) tan 69°( )

tan 75°( ) tan 69°( )

= = 2875.4 m


capítulo ii funciones inversas. …pferrei/trigo_nom/trigonometria...y x por eso se dice que el...

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