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CAPITULO I
SUPERFICIES: TEORÍA Y PROBLEMAS
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL
El presente trabajo empieza con presentar las técnicas de la
Geometría Espacial en el campo de la Ingeniería y trabajaremos usando una
teoría adecuada de fácil entendimientos para estudiantes que recién
empiezan a trabajar el calculo de varias variables de tal manera que sea
este curso amigable y de fácil comprensión y que en forma autodidacta el
alumno aprecie las bondades de todos los temas tratados, ya que el que sabe
identificar la superficie y ubicarlo en el espacio de tres dimensiones podrá
bosquejar su grafica y dar solución a los problemas que se les presente ya
sea de, funciones vectoriales, funciones vectoriales de varias variables de
máximos y mínimos, de integrales de línea y de las aplicaciones de
integrales múltiples.
En este trabajo se describe en forma detallada la teoría y ejercicios y
problemas e implementamos algunos graficadores en el especio de tres
dimensiones.
La matemática actual y en especial el Cálculo se caracteriza por la
importancia que le confiere a la Geometría Espacial y a las funciones de
varias variables, por considerar que tanto las operaciones numéricas como
las lógicas en las funciones de varias variables usando la Geometría
Espacial representan procesos estrechamente ligados.
Aquí sugerimos algunas características deseables del estudiante:
Habilidad para encontrar similitudes y relaciones entre cosas
aparentemente distintas.
Facilidad para abstraer.
Tener pensamiento lógico y ordenado.
Que le guste aclarar las cosas hasta entenderlas perfectamente.
Profundizar en los temas que sean necesarios.
Perceverancia suficiente para trabajar en la resolución de los problemas
que se le presenten hasta encontrar alguna solución.
Habilidad para analizar y construir.
Capacidad para generalizar.
2
1. SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL ESPACIO
Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, Pxy, PXz, Pyz, que se
cortan en un mismo punto O. En la figura identificamos los siguientes elementos
geométricos.
a) EJES COORDENADOS.- Los ejes generalmente son identificados por letras
X, Y, Z y se habla frecuentemente del eje X, del eje Y y del eje Z, donde:
El eje X es la recta determinada por la intersección
de los planos Pxy y Pxz, el eje Y es la recta
determinada por la intersección de los planos Pxy y
Pyz y El eje Z es la recta determinada por la
intersección de los planos Pxz y Pyz.
La dirección positiva se indica por medio de una
flecha. Los ejes coordenados tomados de dos en dos
determinan tres planos, llamados planos
coordenados.
b) PLANOS COORDENADOS.- El plano coordenado XY que denotaremos por
Pxy, es determinado por las rectas: eje X y eje Y.
El plano coordenado XZ que denotaremos por Pxz,
es determinado por las rectas: eje X y eje Z.
El plano coordenado YZ que denotaremos por Pyz,
es determinado por las rectas: eje Y y eje Z.
Los planos coordenados dividen al espacio
tridimensional en 8 sub-espacios llamados octantes.
Consideramos un punto p(x, y, z), cualquiera en el
espacio tridimensional, a través de p(x, y, z) se
construye tres planos un plano perpendicular a cada
uno de los ejes coordenados.
Sean A(x, 0, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, B(0, y,
0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea C(0, 0, z)el
punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z
3
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
TEOREMA.- La distancia no dirigida entre dos puntos p1(x1, y1, z1)
y p2(x2, y2, z2) del espacio tridimensional está dado
por:
DEMOSTRACIÓN
Sea 1 2a p p un vector de origen p1 y extremo p2,
entonces:
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1, ,a p p p p x x y y z z por lo
tanto la longitud del vector a es:
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1, || ||d p p a x x y y z z
3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTOSEGÚN RAZÓN DADA
TEOREMA.- Si los puntos p1(x1, y1, z1) y p2(x2, y2, z2) son
extremos de un segmento dirigido; las coordenadas
de un punto p(x, y, z) que divide al segmento 1 2p p
en la Razón 1 2r p p pp es:
DEMOSTRACIÓN
Del gráfico se tiene: 1 2// r Rp p pp tal que: 1 2p p r pp ,de donde
1 2p p r p p al despejar p se tiene: 1 2
1
1p p rp
r
, ahora reemplazamos
por sus coordenadas respectivas:
1 1 1 2 2 2
1, , , , , ,
1x y z x y z r x y z
r
1 2 1 2 1 2, , , ,1 1 1
x rx y ry z rzx y z
r r r
, por igualdad
se tiene:
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1,d p p x x y y z z
1 2 1 2 1 2, , , 11 1 1
x rx y ry z rzx y x r
r r r
1 2 1 2 1 2, , , 11 1 1
x rx y ry z rzx y z r
r r r
4
COROLARIO.- Si p(x, y, z) es el punto medio segmento 1 2p p entonces 1
2
1p p
rpp
.
Luego las coordenadas del punto medio son:
4. ÁNGULOS DIRECTORES, COSENO DIRECTORES Y NÚMEROS
DIRECTORES
Consideremos el vector 1 2 3, ,a a a a en el espacio tridimensional y los
ángulos , y formados por los ejes de coordenadas positivos y el vector
1 2 3, ,a a a a ; es decir: ,i a , ,j a , ,k a . Si //a L
(recta) donde 1 2 3, ,a a a a diremos que:
i) 1 2 3, ,a a a son los números directores de la recta L.
ii) Los ángulos , y se llaman ángulos directores de la recta L, y
son formados por los rayos positivos de los ejes coordenadas y la recta,
respectivamente.
Los ángulos directores toman valores entre 0o y 180
0, es decir:
0 00 , , 180
iii) A los cosenos de los ángulos directores de la recta L, es decir: se
denominan cosenos directores.
5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA
DETERMINADOS POR DOS DE SUS PUNTOS
Sea L una recta que pasa por los puntos
1 1 1 1, ,p x y z y 2 2 2 2, ,p x y z
Si 1 2 1 2, || ||d p p p p , y son los
ángulos directores de la recta L, entonces se
tiene:
2 1
1 2
cos,
x x
d p p
,
2 1
1 2
cos,
y y
d p p
,
2 1
1 2
cos,
z z
d p p
1 2 1 2 1 2, ,2 2 2
x x y y z zx y z
5
6. RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UN RECTA
TEOREMA
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta L igual
a 1, es decir: 2 2 2cos cos cos 1
Aplicando la parte 5 se tiene:
2 1cosx x
d
, 2 1cos
y y
d
, 2 1cos
z z
d
, de donde
2 2 2
2 1 2 1 2 1d x x y y z z , por lo tanto
2 2 2
2 1 2 1 2 12 2 2
2 2 2cos cos cos 1
x x y y z z
d d d
OBSERVACIÓN
Si 1 2 3, ,a a a a es un vector dirección de la recta L, donde:
2 2 2
1 2 3|| ||a a a a , entonces:
,i a 1.cos
|| || || ||
i a a
a a 1 || || cosa a
,j a 2.cos
|| || || ||
j a a
a a 2 || || cosa a
,k a 3.cos
|| || || ||
ak a
a a 3 || || cosa a
|| || cos ,|| || cos ,|| || cos || || cos ,cos ,cosa a a a a
LA RECTA
7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL
Dado un punto 0 0 0 0, ,p x y z y un vector 1 2 3, ,a a a a no nulo, llamaremos
recta que pasa por 0 0 0 0, ,p x y z paralela al vector 1 2 3, ,a a a a al conjunto.
8. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Sea L la recta que pasa por el punto 0 0 0 0, ,p x y z
paralelo al vector 1 2 3, ,a a a a . Si , ,p x y z de R3
es un punto cualquiera de la recta L, entonces el
2 2 2cos cos cos 1
3
0/ ,L p R p p ta t R
6
vector 0p p es paralelo al vector a , es decir: 0 // Rp p a t tal que:
0 ap p t , de donde entonces 0p p ta , por lo tanto la recta L es dado por:
Ecuación vectorial de la recta L.
OBSERVACIONES.
Para cada par de puntos distintos de R3, hay una y solo una recta que pasa
por ellos.
Consideramos la recta 0 /L p ta t R . Un punto p de R3 pertenece a la
recta L si 0p p ta para algún t en R, es decir:
9. ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Consideremos la ecuación vectorial de la recta L:
De la observación anterior se tiene:
De donde, al reemplazar las coordenadas de P, P0 y de las componentes del
vector a se tiene: 0 0 0 1 2 3, , , , , ,x y z x y z t a a a , es decir:
Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L.
OBSERVACIÓN
Las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el par de puntos
P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) esta dado por
0 /L p p ta t R
0p L p p ta para algún t real
0 /L P ta t R
0p L p p ta para algún t real
0 1
0 2
0 3
: , t R
x x a t
L y y a t
z z a t
1 2 1
1 2 1
1 2 1
: , t R
x x x x t
L y y y y t
z z z z t
7
10. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
Consideremos las ecuaciones paramétricas de la recta L:
Suponiendo que 1 2 30, 0, 0a a a , despejando el parámetro t de cada
ecuación tenemos: 0 0 0
2 2 2
x x y y z zt
, de donde por igualdad:
0 0 0
1 2 3
:x x y y z z
La a a
Que se denomina simétrica de la recta L.
OBSERVACIÓN
1. Si a3 =0, la ecuación simétrica de la recta L se describe en la forma
0 00
1 2
: x x y y
L z za a
2. Si 1 3 0a a . La ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma
0 0: L x x z z
11. RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES
Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se dan
comparando sus vectores direccionales
Consideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas.
1 0 /L p ta t R Y 2 0 /L q b R
La recta L1 y la recta L2 son paralelas (L1 // L2) si y solo si, sus vectores
direccionales son paralelos, es decir: 1 2// //L L a b
La Recta L1 y la recta L2 son ortogonales 1 2L L si y
solo si sus vectores sus vectores direccionales son
ortogonales, es decir:
1 2L L a b
OBSERVACIOES
1. Si L1 y L2 son paralelas (L1 // L2), entonces L1 = L2 ó 1 2L L
1 1
1 2
1 3
: , t R
x x a t
L y y a t
z z a t
8
2. Si L1 y L2 no son paralelas (L1 // L2), entonces 1 2L L (las rectas se
cruzan) ó 1 2L L consta de un solo punto.
12. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Consideremos las ecuaciones de dos rectas
1 0 /L p ta t R y 2 0 /L q b R
Un ángulo entre las rectas L1 y L2 se define como el ángulo
formado por sus vectores direccionales a y b , es decir:
1 2, ,L L a b , y es dado por la formula
.cos , 0
|| || || ||
a b
a b
13. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS QUE SE
CRUZAN)
Si 1 0 /L p ta t R y 2 0 /L q b R son dos rectas no paralelas
(rectas que se cruzan), entonces a la distancia mínima entre L1 y L2 denotaremos
por d(L1,L2) y es definido como el segmento perpendicular común entre ambas
rectas.
Si las rectas L1 y L2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que
contienen a las rectas L1 y L2 respectivamente.
Si d es la distancia entre los planos P1 y P2 de donde N es normal al plano P2;
por lo tanto N es ortogonal a los vectores y a b entre N a x b .
Ahora consideremos el vector unitario en la dirección de la normal N ;
y como , entonces|| ||
. .cos , de donde . || || cos ...(1)
|| || || || || ||
N N
N NN
N
NAC
N
AC ACAC AC
AC AC
Por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene:
|| || cosd AC …(2)
de donde al comprar (1) y (2) se tiene: 1 2, | . |Nd L L AC
9
14. TEOREMA
Sean 1 0 /L p ta t R y 2 0 /L q b R dos rectas no paralelas (rectas
que se cruzan). La distancia mínima entre L1 y L2 esta dado por:
0 0
1 2
| . |,
|| ||
p q a x bd L L
a x b
15. TEOREMA
La distancia del punto P a la recta 1 0 /L p ta t R es dado por:
2
0 0
1 2
|| || || || .,
|| ||
p p a p p ad L L
a
16. PROYECCION ORTOGONAL SOBRE UN PUNTO
Consideremos una recta 1 0 /L p ta t R y un punto p, que no pertenece a la
recta L.
Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de la
recta L, al cual denotaremos P
Lproy de tal manera que el vector AP sea
ortogonal a la recta L.
Observando el gráfico se tiene:
0 0
0
0
0 0
0
0
de donde
, es decir:
P P P P
a a
P P
a
P PP
L a
P A proy A P proy
A P proy
A proy p proy
10
PROBLEMAS DE RECTAS EN R3
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,1,-2) y es perpendicular
y corta a la recta 1 2 1
:1 1 1
x y zL
SOLUCIÓN
Si 1, 2, 1 1,1,1 /L t t R
La recta pedida que pasa por A(3,1,-2) es: 1 3,1, 2 , , /L a b c R
Como 1 1,1,1 . , , 0 0L L a b c a b c
0a b c ...(1)
Sea 1p L L entonces 1p L p L de donde:
Si 11 , 2 , 1 , 3 ,1 , 2p L p t t t p L p a b c ,
entonces: 1 , 2 , 1 3 ,1 , 2t t t a b c de donde:
1 3
2 1
1 2
t a
t b
t c
5
1
a c
b a
Entonces 5 4c b a ...(2)
De (1) y (2) se tiene: a = 2b, c = -3b, (a,b,c)= (2b,b,-3b) = b(2,1,-3)
Por lo tanto la recta pedida:
3,1, 2 2,1, 3 /L R
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3,4) y es perpendicular a
cada una de las rectas 1
2 3 2:
2 1 5
x y zL
y 2
3 2 7 3:
1 2 3
x y zL
SOLUCION
Rectas L1 y L2 en su forma vectorial
1 2,3, 2 2, 1,5 /L t t R y 2 3,7 / 2,3 1,1,3 /L R
como
1
2
2, 1,5 , , 2, 1,5 , , 0
1,1,3 , , 1,1,3 , , 0
L L a b c a b c
L L a b c a b c
entonces
2 5 0
3 0
a b c
a b c
de donde
3
8
ac ,
8
ab ,
3, , , , 8,1,3
8 8 8
a a aa b c a
Por lo tanto 3, 3,4 8,1, 3 /L t t R
11
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(-1,2,-3) es perpendicular
al vector 6, 2, 3a y se corta con la recta 1
1 1 3:
3 2 5
x y zL
SOLUCION
Escribiendo la recta L1 en su forma vectorial:
1 1, 1,3 3,2, 5 /L t t R
Sea 1 1p L L p L P L :
Si 1 1 3 , 1 2 ,3 5p L p t t t para algún t R
Como 3 2,2 3, 5 6b MP P M t t t
Además
. 0 6, 2, 3 . 3 2,2 3, 5 6 0a b a b t t t
6 3 2 2 2 3 3 5 6 0t t t 0, 2, 3,6t b
Por lo tanto:
1,2, 3 2, 3,6 /L t t R
4. Dados los puntos A(3,1,1) y B(3,-2,4). Hallar el punto C de la recta
1, 1,1 1,1,0 /L t t R tal que 0, 60AB AC
SOLUCIÓN
Sea 1 . 1 ,1C L C t t
0. || |||| || cos60AB AC AB AC , donde
0, 3,3 , 2, 2,0AB AC t t
|| || 9 9 3 2AB , 2
|| || 2 2 2 | 2 |AC t t
Como 0. || |||| || cos60AB AC AB AC , reemplazando:
16 3 3 2. 2 | 2 | | 2 | 2
2t t t t de donde 2 0t como 2t entonces
1 , 1 ,1C t t para 2t
5. Una recta pasa por el punto p(1,1,1) y es paralela al vector 1,2,3a , otra
recta pasa por el punto Q(2,1,0) y es paralela al vector 3,8,13b . Demostrar
que las dos rectas se cortan y determinar su punto de intersección.
SOLUCION
Sean 1 1,1,1 1,2,3 /L t t R y 2 2,1,0 3,8,13 /L R
Las recatas L1y L2 se cortan si y solo si 0P tal que 0 1 2P L L como
0 1 2 0 1 0 2P L L P L P L
12
0 1 0Si 1 ,1 2 ,1 3P L P t t t
0 2 0 2 3 ,1 8 ,13P L P
Como P0 es punto común a L1y L2 entonces:
1 ,1 2 ,1 3 2 3 ,1 8 ,13t t t
1 2 3
1 2 1 8 resolviendo se tiene t 4, 1
1 3 13
t
t
t
Remplazando el punto de intersección es P0(5,9,13)
6. Dadas las rectas 1 3,1,0 1,0,1 /L t t R y
2 1,1,1 2,1,0 /L R
Hallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mínima, además hallar
esta distancia
SOLUCION
Sea 1 23 ,1, ,A L A t t B L
1 2 ,1 ,1B , 2 2, ,1AB B A t t
. 0,a AB a AB 1,0,1 . 2 2, ,1t t
de donde 2 2 1 0t …(1)
. 0 2,1,0 . 2 2, ,1 0b AB b AB t t
5 2 1 0t …(2)
formando el sistema de (1) y (2) se tiene 2 2 1 0
5 2 4 0
t
t
resolviendo el sistema se tiene1
,2
t 1
como Q es punto equidistante de A y B entonces13 3 3
, ,2 4 2 4
A BQ Q
La distancia mínima 1 6
,2 4
d d A B
Dadas las tres rectas 1 1,1,2 1,2,0 /L t t R
2 2,2,0 1, 1,1 /L R
3 0,3, 2 5,0,2 /L r r R
13
7. Hallar la ecuación de la recta que corte a estas tres rectas en M, N y P
respectivamente de tal manera que MN NP
SOLUCION
1 1,1,2 1,2,0 / 1 ,1 2 ,2M L t t R M t t
1 2,2,0 1, 1,1 / 2 ,2 ,N L R N
1 0,3, 2 5,0,2 / 5 ,3, 2 2P L r r R P r r
Como MN NP entonces se tiene
1, 2 1, 2
5 2,1 ,2 2 ,
MN N M t t
NP P N r r
de
donde 1, 2 1, 2t t = 5 2,1 ,2 2r r , por igualdad de
vectores se tiene
1 5 2
2 1 1
2 2 2
t r
t
r
5 2 3 ...(1)
2 2 0 ...(2)
2 2 0 ...(3)
r t
t
r
de (2) y (3) se tiene ,t r ahora reemplazamos en la ecuación (1).
3 3 3, , ,
2 2 2t r Luego
1 7 1 3 15, 2,2 , , , , ,3, 1
2 2 2 2 2M N P
Por lo tanto: 1
, 2,2 8,5, 1 /2
L t t R
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por p(19,0,0) y corta a las rectas
1 5,0, 1 1,1,1 /L t t R , y 2 1,2,2 2,1,0 /L r r R
SOLUCION
14
Sean 1 5,0, 1 1,1,1 / 5, , 1A L t t R A t t t
2 1,2,2 2,1,0 / 2 1, 2,2B L r r R B r r
como los puntos P, A, B son colineales, entonces:
// m tal que de donde
que al reemplazar por sus coordenadas se tiene:
PA AB R PA mAB A P m B A
14, , 1 2 6, 2, 3
14 2 6 ...(1)
por igualdad de vectores se tiene: 2 ...(2)
1 3 ...(3)
3 1de la ecuación (3) y (2) se tiene:
t t t m r t r t t
t mr mt m
t rm mt r
t mt m
mt
1, de la ecuación(1)
1
1 2 6 14 reemplazando y se tiene:
15 28 4, ,
11 13 15
28 145 28 15luego 14, , 1 para , , ,
13 13 13 3
19.0.0 154,
mr
m m
m t mr m t r
m t r
a PA t t t t a
L t
28,15 / t R
9. Encuentre el punto de intersección de las rectas:
1 1,7,17 1,2,3 /L t t R y 2
7:
4 1 5
x y zL
SOLUCION
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
Escribiendo la ecuación L en forma vectorial. 7,0,0 4,1,5 /
Sea p L L entonces p L p L .
Si p L 1 ,7 2 ,17 3 p L 7 4 , ,5
como p L L 1 ,7 2 ,17 3 7 4 , , 5
1 7 4
7 2
L R
p t t t p
t t t
t
t
entonces 4, 1 Luego: 3, 1,5
17 3 5
t p
t
10. Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas
1 3,3,4 2,2,3 /L t t R , 2 1,6, 1 1,2,0 /L R
SOLUCION
15
1
2
Sean A 3 2 ,3 2 ,4 3
B 1 ,6 2 , 1
como A, B son puntos sobre la recta L
entonces el vector dirección de la recta L es
de donde se tiene:
L A t t t
L B
a AB B A
1 22 2 ,3 2 2 , 5 3 como L L , L entonces:a t t t
. 2,2,3 0
. 1,2,0 0
a
a
17 2 132
resolviendo el sistema se tiene t = -1, = -22 5 8
t
t
por lo tanto los puntos son A(1,1,1), B(3,2,-1), 2, 1.2 ,a AB B A
entonces la recta pedida es:
1,1,1 2, 1,2 /L t t R
11. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto p(7,-2,9) y es
perpendicular a las rectas
SOLUCION:
Los vectores direcciones de L1 y L2 (2, 2,3), (2,5, 2)a b respectivamente.
1 2
Sea L la recta que pasa por el punto p(7,-2,9), luego la recta pedida L= (7,-2,9)+t /
pero como L L ,L en tonces , entonces:
2 -2 3 ( 11,10,14)
2 5 -2
Por lo tanto: L= (7,-2,
b t R
c a b
i j k
c a b
9)+t( 11,10,14) / t R
12. Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas
1 2L = (3,3,4)+t(2,2,3) / ,L = (1,6,-1)+ ( 1,2,0) /t R R
SOLUCION:
1
2
Sean A L (3 2 ,3 2 ,4 3 )
B L (1 ,6 3 2 , 1)
A t t t
B
Como A,B son puntos sobre la recta L entonces el vector dirección de la recta L es
16
1 2
de donde se tiene:
( 2 2 ,3 2 2 , 5 3 ) como L L ,L entonces:
.(2,2,3) 0 17 2 13 resolviendo el sistemas se tiene t= -1, 2,
2 5 8( 1,2,0) 0
a AB B A
a t t t
a t
ta
por lo tanto los puntos son A(1,1,1), B(3,2,-1), ( 2, 1,2).
Luego la ecuacion vectorial de la recta pedida es:
a AB B A
L= (1,1,1)+t( 2, 1,2) / t R
13. Determinar una recta tal que con las rectas
1 1(2,1,4) (1,1,0) / y (2 ,1 ,3 ) /L t t R L R determinan un
triangulo de area 5u2.
SOLUCION:
1 2 1 1
1
2
1 2
Sea p p p
Si p (2 ,1 ,4)
p (2 ,1 ,3 )
como p , entonces:
(2 ,1 ,4) (2 ,1 ,3 )
L L L L
L p t t
L p
L L
t t
2 2
de donde: 1 1 al resolver el sistema se tiene que: t= 1
4 3
t
t
por lo tanto el punto p es p(3,2,4), ahora tenemos en t cercano a p asi como t=2 entonces
el punto A de L2 es A(4,3,4),
1
2
1 2
ademas B (2 ,1 ,3 ) entonces se tiene:
a AB ( 2, 2, 1) por otra parte b AP ( 1, 1,0)
1ademas el area A= a b 5 de donde a b =10 entonces 2 49 0 de
2
donde se tiene: 1 5 2, 1 5 2 por
L B
B A P A
lo tanto las rectas pedidas son:
L= (4,3,4)+t(-1 5 2,-1 5 2,5 2) /
L= (4,3,4)+t(-1 5 2,-1 5 2, 5 2) /
t R
t R
14.Sea A(1,1,2) un punto y supongamos que la recta L tiene por ecuaciones
paramétricas a: x=4-t, y y=5+3t,z=3+t, t R , encontrar un punto B en L, tal que
A-B y la recta sean perpendicular.
17
SOLUCION:
Sea L= (4,5,3)+t(-1,3,1) / t R
0 0
0 2
( 3, 4, 1)
..
|| ||
b
a
b P A A P
a bP B proy a
a
0
0
( 1,3,1).( 3, 4, 1).( 1,3,1)
11
10 10 30 10( 1,3,1) ( , , )
11 11 11 11
P B
P B
0 0
10 30 10 10 30 10( , , ) (4 ,5 ,3 )11 11 11 11 11 11
P B B P B
10 30 10( , , )11 11 11
B
15. Determinar los ángulos entre una recta L paralela al vector y los ejes
coordenadas.
SOLUCION:
0
1
Sea / , donde (1,1,1)
es la dirección de la recta L y
|| || 3 entonces:
1 1cos cos( )
|| || 3 3
L P ta t R a
a
aarc
a
2
3
1 1cos cos( )
|| || 3 3
1 1cos cos( )
|| || 3 3
aarc
a
aarc
a
16. Hallar la longitud del menor segmento horizontal (paralelo al plano XY) que une
las rectas
SOLUCION:
1
2
1 2
L = (1,2,0) t(1,2,1) /
L = (0,0,0) (1,1,1) /
Si A L (1 ,2 2 , ), B L ( , , )
t R
R
A t t t B
18
como // al plano XY entonces
Luego A(1 ,2 2 , ) y ( , , )
AB t
t t t B t t t
2 2
2
|| || 1 2 0 de donde ( ) 4 5
2'( ) 0 2 número critico
4 5
d AB t f t t t
tf t t
t t
|| || 1 0 0 1 1d AB d
17. Dadas las rectas .Hallar la ecuación de la perpendicular comun.
SOLUCION:
Las rectas L1 y L2 no son paralelas, es decir L1// L2.
1 2 1 2
1 2
Ahora veremos si p p p
Si p (1 2 , 2 3 ,5 4 ), p ( 2,1 ,2 2 )
(1 2 , 2 3 ,5 4 ) ( 2,1 ,2 2 ) de donde
L L L L
L p t t t L p
t t t
3
21 2 215
2 3 12
5 4 2 213
2
t
t
t
t
por lo tanto las rectas L1 y L2 son rectas que se cruzan
2 3 4 10 4 2
0 1 2
L= (1, - 2,5) t(10, 4,2) / ; L'= (-2,1,-2) (10, 4, 2) /
i j k
a i j k
t R R
18. Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula
desde el punto A(2,2,3), hacia la recta L (0,1 , ) / R para que lo
alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad 3 /V u seg
2 2
2
Sea B L (0,1 , ) para algún
R además donde ( , ) para
2 . 3 , 2 3
( , ) 4 ( 1) ( 3) 2 3
de donde 2 1 0 1
B
e vt e d A B
t seg V u e
d A B
Luego B(0,0,1) entonces está dado por el vector ( 2, 2, 2)AB B A
( 2, 2, 2)AB
19
19. Determinara la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta
bajo un ángulo de 60º a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,0),
B(0,0,-2), R(3,3,3), S(-1,3,3).
SOLUCION
El punto medio del segmento AB es M(1,2,-1), y
observando el grafico este problema tiene dos soluciones.
La ecuación de la recta L1 que pasa por R y S es:
1 ( 1,3,3) (0,0,0) /L t t R
Sea N el Punto de intersección de L con L1 es decir:
1
1
2
Si N L ( 1 ,3,3) pasa algún . Definimos
( 2,1,4), como 60º ( , ) ( , ) entonce :
.cos 60 ; donde (1,0,0) y ( 2,1,4)
.
(1,0,0).( 2,1,4) 1 ( 2)cos60°
2( 2) 1 16
N t t R
b MN N M t L L a b s
a ba b t
a b
t t
t
2
2 2
( 2) 17
17 17( 2) 17 4( 2) 2 ( ,1,4)
3 3
por lo tanto las soluciones son:
17 17(1,2, 1) ( ,1,4) / ; ' (1,2, 1) ( ,1,4) /
3 3
t
t t t b
L R L r r R
20. Dados los vértices del triángulo A(3,-1,-1), B(1,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar las
ecuaciones simétricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.
SOLUCION
Tomemos los vectores unitarios y u v en las direcciones de
y BA BC y respectivamente donde:
(2, 3,6), ( 6,12,4)
1 1(2, 3,6) y ( 3,6,2)
7 7|| || || ||
BA BC
BA BCu v
BA BC
1(2, 3,6)
7
entonces sea b u v el vector de la dirección de la directriz BD es decir:
20
1 1( 1,3,8) (1, 3, 8).
7 7b Luego los números directores de la bisectriz BD son
1, 3, 8. Si B(1,2,-7) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones simétricas son:
1 2 7:
1 3 8
x y zL
EL PLANO
DEFINICIÓN.-
Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3. Si existe un punto p0(x0,y0,z0) de R
3
y dos vectores no paralelos 1 2 3 ( , , ) a a a ay 1 2 3 ( , , ) b b b b
de R3
de tal manera
que:
3
0 0 0 0( , , ) / ( , , ) ( , , ) , ,P P x y z R P x y z P x y z ta b t R
ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO.-
Consideremos un plano P que pasa por el punto
p0(x0,y0,z0) y que es paralelo a los vectores paralelos
1 2 3 ( , , ) a a a ay 1 2 3 ( , , ) b b b b
.
Sea Pp entonces existen Rt , tal que:
0p p ta b ,de donde 0p p ta b
entonces:
0p p ta b , luego
0 / ,P p ta b t R
Que es la ecuación vectorial del plano P.
OBSERVACION.-
1. De la ecuación vectorial del plano 0 / ,P p ta b t R
se obtiene la
normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano: N a b .
21
2. Si N es una normal al plano 0 / ,P p ta b t R
y si 1 2,p p P
entonces N es ortogonal a 1 2 2 1p p p p .
3. Si N es la normal al plano 0 / ,P p ta b t R
y si 2 1p p es ortogonal
a N entonces p P .
4. Si p0 es un punto fijo del plano P y N es su normal, entonces la ecuación del
plano es 0: .( ) 0P N p p
Es la ecuación del plano que pasa por p0 y cuya normal es N .
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO.-
Consideremos el plano. 0 / ,P p ta b t R
Si p P entonces 0p p ta b para ,t R , reemplazando por sus respectivas
componentes se tiene: 0 0 0 1 2 3 1 2 3(x,y,z) = (x ,y ,z )+t( , , ) ( , , ) a a a b b bde donde por
igualdad se tiene:
22
0 1 1
0 2 2
0 3 3
P: t, ,
x x a t b
y y a t b R
z z a t b
Que son las ecuaciones paramétricas del plano P.
ECUACION GENERAL DEL PLANO.-
Sea P el plano que pasa por el punto 0 0 0 0(x ,y ,z )p
cuyo vector normal es:
N =(A,B,C). Si p P entonces: 0p p N, de donde
0 . 0p p N entonces: 0.( ) 0N p p
. Ahora
reemplazando por sus componentes:
(A,B,C).(x-x0,y-y0,z-z0) = 0 entonces A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-Cz0) = 0, de donde P: Ax + By +Cz + D = 0.
Que es la ecuación general P.
PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.-
Consideremos los planos: P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
donde 21 1 1 2 2 2( , , ) y ( , , )N A B C N A B C son sus normales, respectivamente, entonces:
i)El plano P1 es paralelo al plano P2 (P1// P2) si y solo si sus normales 1 2 y N N son
paralelas, es decir:
1 21 2// //P P N N
Si,
23
2121 que tal// NNRrNN , lo que quiere decir que los coeficientes de las
ecuaciones cartesianas de los planos deben ser proporcionales, o sea que debe
cumplirse:
rC
C
B
B
A
A
2
1
2
1
2
1
Si los planos P1 y P2 son paralelos puede ocurrir que: 21 21 PP óP P es decir:
212121 ó // PPPPPP
ii) El plano P es ortogonal al plano 212 PPP si y solo si sus normales 21 y NN son
ortogonales, es decir:
2121 NNPP
00. Si 2121212121 CCBBAANNNN , por lo tanto
021212121 CCBBAAPP
INTERSECCIÓN DE PLANOS.-
Consideremos los planos: P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Si el plano P1 no es paralelo al plano P2 (P1 // P2) entonces la intersección de P1 y P2 nos
da una recta L. es decir:
1 2 1 2Si // L tal que P P P P L
24
ECUACIÓN BIPLANAR DE LA RECTA.-
A la ecuación de una recta que es la intersección de dos plano se denomina ecuación
biplanar de la recta y se expresa en la forma siguiente:
0 D zC y B x A
0 D zC y B x A:
2222
1111L
La ecuación biplanar de la recta se expresa en forma vectorial, paramétrica y simétrica.
El vector dirección a de la recta se determina en la forma siguiente:
1 2 1 2= , donde y a N N N N son las normales de los planos P1
y P2 respectivamente:
1 2 1 1 1
2 2 2
= (0,0,0)
i j k
a N N A B C
A B C
El punto 0 0, 0 0( , )p x y z por donde pasa la recta se determina
resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos P1 y P2.
INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.-
Consideremos la ecuación general de un plano:
P: Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuación vectorial de la recta
RttapL /0
si L y P no son paralelos entonces al intercectarse nos da un
punto Q, es decir:
QPL
Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones de la recta
L y el plano P.
PLANO PARALELO A UNA RECTA Y PLANO PERPENDICULAR A UNA
RECTA.-
Consideremos la ecuación general del plano P: Ax +
By + Cz + D = 0. donde N = (A,B,C) es la normal y
la ecuación vectorial de la recta RtatpL /0
donde a es el vector dirección.
25
La recta L es paralela al plano P si solo si el vector dirección a es ortogonal
al vector normal N es decir: NaPL //
Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L está contenida en el
plano P ó que la intersección es el , es decir:
PL ó PLL//P Si
La recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector dirección a de L paralelo al
vector normal N de P, es decir: NaPL //
FAMILIA DE PLANOS.-
En forma similar que en la geometría analítica plana, en donde se consideraba una
familia de rectas, en este caso se puede considerar una familia de planos, por ejemplo, la
ecuación 2x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos
paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos importante, es el
sistema de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuyas ecuaciones
se expresan:
P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ….(1)
P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuación (1) están sobre la recta de intersección,
dichos puntos p(x,y,z) también satisfacen a la ecuación:
K1(A1x + B1y + C1z + D1) + K2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 ….(2)
donde K1 y K2 son números reales cualesquiera excepto que sean ceros
simultáneamente.
Si en la ecuación (2) se tiene que 01 K , entonces a la ecuación (2) se puede expresar
en la forma:
A1x + B1y + C1z + D1 + K2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 ….(3)
A la ecuación (3) se denomina la familia ce planos que pasan pors la intersección de los
planos P1 y P2
26
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.-
Consideremos la ecuación general de un plano P: Ax + By +Cz + D = 0 y un punto
p1(x1,y1,z1) que no pertenece al plano P.
Consideremos un vector unitario N en la dirección del vector normal, es decir
2 2 2
0 1 0 1 0 1
1, 0 1
1, 0 1 1 0 1 0 1 02 2 2
1( , , )
como = ( , ) entonces . cos
En el triangulo rectangulo se tiene: ( ) cos
de (1) y (2) se tiene que:
1( ) . ( , , ).( , , )
(
N
N N
N
NA B C
N A B C
p p p p p p
d p P p p
d p P p p A B C x x y y z zA B C
A x
1 1 1 0 0 01 0 1 0 1 0
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1,2 2 2
( )) ( ) ( )
( )
Ax By Cz Ax By Czx B y y C z z
A B C A B C
Ax By Cz Dd p P
A B C
OBSERVACION.- Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos
P1: Ax + By + Cz + D1 = 0 y P2: Ax + By + Cz + D2 = 0
La distancia entre dichos planos esta dado por la formula.
1 2
1, 22 2 2
( )D D
d P PA B C
27
ANGULO ENTRE RECTAS Y PLANO.-
Consideremos la ecuación vectorial de una recta 0 /L p ta t R
y la ecuación
general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector normal es ( , , )N A B C
Sea ( , ) angulo entre los vectores y . entonces:
.cos , ademas tiene = , entonces:
2
. .sen =sen( ) cos por lo tanto: sen =
2
Que es la expresion para calcular el angulo forma
a N a N
a N
a N
a N a N
a N a N
do por una recta y un plano
PROYECION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO.-
La proyección ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By +Cz + D = 0 con
normal ( , , )N A B C es el punto p0 del plano P, al cual denotaremos por Prp
Poy , de tal
manera que el vector 0 1p p es ortogonal al plano P. Para hallar el punto p0 trazamos por
el punto p una recta L ortogonal al plano P es decir: /L p tN t R
de donde
0L P p
28
PROYECCION ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO.-
La proyección ortogonal de la recta 0 /L p ta t R
sobre el plano P: Ax + By + Cz
+ D = 0, es la recta L , el cual denotaremos por PrL
Poy que esta contenida en el plano P
y que pasa por dos puntos de P que son las proyecciones ortogonales de dos puntos de L
sobre el plano P.
DISTANCIA MINIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA QUE NO ESTA
CONTENIDA EN EL PLANO.-
La distancia mínima entre una recta
0 /L p ta t R y un plano 0( ) 0N p Q
,
donde la recta L no esta contenida en el plano P y
además L es paralela a P es dado por la formula.
0 0
0 0
.( , )
N
Q p Nd L P comp Q p
N
ANGULO ENTRE DOS PLANOS.-
Consideremos las ecuaciones generales de dos planos P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
cuya normal es
21 1 1 2 2 2 2 2 2 2( , , ) y : 0 cuya normal es ( , , )N A B C P A x B y C z D N A B C .
El angula ө formado por los planos P1 y P2 es igual
al ángulo entre sus vectores normales 1 2 y N N
respectivamente y es dado por la expresión
siguiente:
1 2
1 2
. cos =
N N
N N
29
PROBLEMAS DE PLANO EN R3
1. Hallar la ecuación vectorial de la recta L, dado por la intersección de los planos
P1: 3x + y – 2z = 5 ; P2: x + 2y + z + 5 = 0.
SOLUCIÓN:
Calculando el vector dirección a de la recta L.
3 1 -2 (5, 5,5) 5(1, 1,1)
1 2 1
i j k
a
ahora calculamos un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones.
3x + y - 2z = 5 5x +5 y = -5 entonces , simplificando
2 5 0 0x y z x y
ahora damos un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejemplo para x = 0, y = -
1, z = -3 entonces p0(0,-1,3).
Luego la ecuación de la recta L en forma vectoriales: (0, 1, 3) (1, 1,1) /L t t R
2. Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x – y – z + 8
= 0, x + 6y – 2z – 7 =0 y por el punto (1,-2,2)
SOLUCIÓN: Aplicando el concepto de familia de planos se tiene:
P: 2x – y – z + 8 +k( x + 6y – 2z – 7) =0
como (1,-2,2)
5P 2 2 2 8 (1 12 4 7) 0
11k k
P: 2x – y – z + 8 +5/11 ( x + 6y – 2z – 7) =0
: 27 19 21 53 0P x y z
30
3. Hallar el punto de intersección de la recta 2 4
:3 1 2
x y zL
y el plano
: 2 3 11 0P x y z
SOLUCIÓN:
Escribiendo la recta L en forma vectorial. ( 2,0,4) (3, 1,2) /L t t R
como L//P p tal que p . Si p entonces p
como entonces p(-2+3t,-t,4+2t) para algun .
ademas 2( 2 3 ) 3( ) (4 2 ) 11 0 3
Luego: p(-11,3,-2)
L P L P L p P
p P t R
p P t t t t
4. Demostrar que la recta ( 2,1, 5) (3, 4,4) /L t t R es paralelo al plano
: 4 3 6 5 0P x y z
SOLUCIÓN:
Para demostrar que la recta L es paralela al plano P debe cumplirse que el vector
dirección a de la recta es perpendicular al vector normal N del plano. Es decir:
Luego como a.N= 0 entonces a N. Por lo tanto la recta L es paralela al plano P.
5. Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos de A(1,0,-1) y B(2,1,3) y
que además es perpendicular al plano 02/),,( 3
1 zyxRzyxP
SOLUCIÓN:
31
entonces , )4,1,1(BA, :que tienese ademas P, //PcomP 1121 NABNcomoABPN
N 1 1 4 5(1, 1,0)
1 1 -1
i j k
de donde tenemos que: N= 5(1, 1,0)
0 0 0Luego P: N.(( , , ) ( , , )) 0 de donde P: x-y=1x y z x y z
6. Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x –y +3z = 2
y 4x+ 3y – z = 1y es perpendicular al plano 3x – 4y – 2z = 9
SOLUCIÓN:
Sea Pα la familia de planos que pasan por la intersección de los planos
2x –y +3z = 2 y 4x+ 3y – z = 1
Pα: 2x –y +3z – 2 + α(4x + 3y – z -1) = 0
Pα: (4α + 2)x + (3α – 1)y + (3 – α)z – 2 – α = 0, donde su normal es:
N (4 2.3 1.3 ) y sea P: 3x-4y-2z=9 cuya normal es:
N (3, 4, 2) como P N N N .N 0P
(3,-4,-2).(4α + 2,3α – 1.3α) = =, de donde 12α + 6 - 12α + 4 – 6 + 2α = 0 entonces α = -2
P : 6 7 -5 0x y z
7. Hallar el ángulo θ que forma la recta con el plano
SOLUCIÓN:
Sea =(L,P) donde (1,1,2) vector direccion de la recta (2, 1,1)a N el vector
normal del plano P. Ahora aplicamos la relación para calcular el ángulo θ.
32
. (1,1,2).(2, 1,1) 2 1 2 1sen =
6 26 6
1de donde: sen = entonces =60°
2
a N
a N
8. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto p0(3,1,-2) y hace ángulos iguales
con las rectas 1 2 3(1,4,2) (1,1,1) / : , :L t t R L ejeOX L ejeOY
SOLUCIÒN:
El plano pedido es: P: 0.( ) 0N p p , de donde ( , , )N A B C y p0(3,1,-2) el punto por
donde pasa el plano.
La condición del problema es:
1 2 3 1 2( , ) ( , ) ( , ), donde para ( , ) ( , ), se tiene:L P L P L P L P L P
2 3
. .sen = , donde (1,1,1), (1,0,0), ( , , )
efectuando operaciones se tiene que: ( 3 1) 0 .....(1)
para ( , ) ( , ), se tiene:
. .sen = , donde (1,0,0), (0,1,1
N a N ba b N A B C
N a N b
A B C
L P L P
N b N cb c
N b N c
), ( , , )
efectuando operaciones se tiene: A=B .....(2)
N A B C
ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: ( 3 2)C B
como ( , , ) ( , , ( 3 2) ) (1,1, 3 2) B 0N A B C B B B B
Por lo tanto P: (1,1, 3 2) .(x-3,y-1,z+2) = 0
P:x+y+( 3 2) 2 3 8 0z
33
9. Sea ( , , ) y ( , , )a b c N A B C vectores no nulos de R3 tal que N si p0(x0, y0,
z0) es un punto del plano π = Ax + By + Cz + D = 0. Demostrar que
0 /L p t t R esta contenida en π.
SOLUCIÓN:
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
como . 0 0 ademas
/ ( , , ) ( , , ) / por demostrar que
L : 0
Sea p L p( , , )
como ( ) ( ) ( ) 0
N N Aa Bb Cc
L p t t R x y z t a b c t R
Ax By Cz d
x ta y tb z tc
p A x ta B y tb C z tc D
0 0 0
0
( ) 0Ax By Cz D t Aa Bb Cc
0= 0 + t( ) 0 0, entonces luego LAa Bb Cc t p
10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A83,4,1) y es ortogonal a los
planos P1: x-y = 4, P2: x+y = 6
SOLUCIÓN:
1 21
22
1 2
1 2
Sea P : 4 de donde (1, 1,0) (1, 1,0) :
P : 6 de donde (1,0,1)
P: .( ) 0 es el plano pedido como P P ,P
entonces , // de donde la normal de P es:
x y N N
x y N
N p A
N N P N
1 2
1 -1 0 ( 1, 1,1)
1 0 1
i j k
N N N
como P: .( ) 0N p A , al reemplazar se tiene. P: (-1,-1,1).(x-3,y-4,z-1) = 0
: 6P x y z
34
11. Si P es un plano tal que:
P eje x = (a,0,0)/a 0,a R , P eje y = (0,b,0)/b 0,a R . Demostrar que P
tiene la ecuación: P: 1
x y z
a b c
SOLUCION:
Sea a AB ( , ,0)
b = AC = - ( ,0, )
N = a b = -a b 0 =(bc,ac,ab)
-a 0 c
B A a b
C A a c
i j k
La ecuacion del plano es: P: N.(p - A) = 0, reemplazando se tiene:
P: (bc,ac,ab).(x-a,y,z) = 0 P: bcx +acy + abz = abc
P: 1 x y z
a b c
12. Si A,B,C y D son todos no nulos. Demuéstrese que el tetraedro formado por los
planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volumen igual a
31
6
DV
ABC
SOLUCION:
Sean P, Q, R, los puntos de intersección del plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los ejes
coordinados respectivamente, es decir: ( ,0,0), Q(0,- ,0) y R(0,0, )
B
D D DP
A C
El volumen del tetraedro OPQRS es:
1 de donde se tiene:
6
= ( ,0,0), = (0,- ,0) y (0,0, )B
V OPOQOR
D D DOP OQ OR
A C
3 3 3
0 0
1 D 1 1 1 0 - =
6 B 6 6 6
D 0 0 -
C
D
A
D D DV V
ABC ABC ABC
35
13. Un plano pasa por el punto A(3,1,-1), es perpendicular al plano 2x – 2y + z = -4, y
un intercepto Z es igual a -3, hallase su ecuación.
SOLUCION:
Sea P1: 2x – 2y + z = -4, de donde 1 (2, 2,1)N y P el plano por calcular. Luego como
1 1 //P P N P y como intercepto Z con P es -3 entonces B(0,0,3) es un punto del
plano P y además
1, // de donde ( 3, 1, 2) como , // entonces la normal es dado porA B P AB P AB N AB P N
1
N 2 -2 3 ( 11,10,14)
2 5 -2
i j k
N AB
: N.( 3, 1, 1) 0, de donde P: ( 5, 1,8).( 3, 1, 1) 0, por lo tanto:P x y z x y z
P: 5x + y - 8z - 24 = 0
14. Hallar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del origen
y tiene una normal que hace ángulos de 60° con los semi ejes positivos OX y OY.
SOLUCION:
Sea P el plano buscado, cuya normal es cos ,cos ,cosN
2 2 2 2como = =60° cos cos cos 1 cos =
2
1 1 2 1( , , ) (1,1, 2) 2 2 2 2
N
La ecuación del plano es: P: x + y 2z + D = 0
1
2
0 0 0como (0, ) 2 =2 de donde D =4 D = 4 D = -4
1 1 2
Si D = 4 entonces P : x + y 2z + 4 = 0
D =-4 entonces P : x + y 2z - 4 = 0
Dd P
36
15. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga al punto
(2,2,2) y que haga un ángulo de 60° con el plano 3 2 3 2 0x y z
SOLUCION:
La ecuación del plano pedido es d la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es
perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XY. La normal del plano P es:
N ( , , )A B O
1 1
11
1
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
Si P : 3 2 3 2 0, de donde N ( 3,2, 3)
N .NEl angulo formado por P y P es =60° que es dado por: cos =
N N
3 2 1 3 2cos 60 de donde 2 3 2
24 4
4( ) 3 4 4 3 4 3
x y z
A B A BA B A B
A B A B
A B A B AB A B
...(1)
como (2,2,2) P 2A+2B+D = 0 ...(2)
de (1) y (2) se tiene D = (8 3 2) ...(3)
reemplazando (
B
1) y (3) en P: Ax + By + D = 0
P: 4 3 x + By - (8 3 2) 0, 0 : 4 3x + y - 8 3 2 0B B B P
16. La recta 1 (5 , ,0) /L t t t R se refleja en el plano : 2x y z . Hallar la
ecuación de la recta reflejada
SOLUCION
2 1 2 1 2
2 1 2
2
2 1 1
3
Se observa que p p p
Si p p (5 , ,0) para algun
además p : 2(5 ) 0 1 0 3
de donde p (2,3,0) también p (5,0,0)
como : 2 1 0,de donde (2, 1,1)
entonces //
L L
L t t t R
t t t
L
x y z N
N N L
3
3 3
(5,0,0) (2, 1,1) /L R
A L A L A
37
3
1 1 1 1
1 2 1 2 2
5 2 , , para algún , además A entonces
32(5 2 ) 1 0 entonces , de donde:
2
3 3 3 3 3 3(2, , ) (2, , ) 2 2(3, , ) (6, 3,3)
2 2 2 2 2 2
( 3,3,0)
A L A R
A AP Bp p B Ap
p p p p Bp p
2 2 2(3,0,3) como // y B Bp L p L
entonces (2,3,0) (3,0,3) /L r r R
17. Dado el plano 4 5
: 2 3 8 y la recta : , 1.4 3
x zP x y z L y
Hallar la
ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 2, -1) paralela al plano dado y corta la
recta L.
A la ecuación de la recta 4 5
: , 1,4 3
x zL y
escribiremos en forma vectorial
( 4, 4,5) (4,0,3) / .L t t R
Sea L1 la recta por determinara, es decir: 1 (0,2, 1) ( , , ) /L r a b c r R como
1 1 1 corta a L L p L L p L p L
1Si ( ,2 , 1 ) ( 4 4 , 1,5 3 )
de donde por igualdad ( ,2 , 1 ) ( 4 4 , 1,5 3 ) entonces.
p L p ra rb rc p L p t t
ra rb rc t t
4 4
4 43
1 2 ...(1)
5 3 16 3
ta
rt ra
rb br
b rct
cr
1como : 2 3 8 de donde (1, 2,3) como // entonces
donde ( , , ) Si . 0 0 2 3 0 ...(2)
4 - 4 6 18 9reemplazando (1) en (2) se tiene. 0 4
12 3de donde: , ,
P x y z N L P
a N a a b c a N a N a b c
t tt
r r r
a b cr r
6 3
como ( , , ) (4, 1, 2)a a b cr r
1 (0,2, 1) (4, 1, 2) /L R
38
18. El intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z y mayor en
dos unidades que su intercepto X, si el volumen encerrado por el plano y los tres planos
coordenados es 15u3, hallar la ecuación del plano.
SOLUCION:
Los puntos por donde pasa el plano π son: (0,0,a), (0,a-1,0),(a-3,0,0) y la ecuación del
plano es:
: .( , , ) donde ( , , )
(0,0, ) ( , , ).(0,0, )
(0, 1,0) ( , , ).(0, 1,0)
( 1) ( 3,0,0)
N x y z d N A B C
a A B C a d aC d
a A B C a d
B a d a
33
3
( , , ).(3 ,0,0) ( 3) . de donde
1, , además se tiene que: donde 15
3 1 6
115 ( 3)( 1) 90 6 de donde , ,
6 3 5 6. .
3 1
1 1 1como : .( , , ) : ( ).( , ,
3 5 6
A B C a d A a d
d d d dA B C V V u
a a a ABC
d d d dV a a a a A B C
d d d
a a a
N x y z d d x y z
) d
: 13 5 6
x y z
19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,1), perpendicular a la recta
3x = 2y = z y paralela al plano x + y – z = 0
1
1
1
Sean : (1, 1,1) ( , , ) / la recta buscada : 3 2
1 1entonces: ( , ,1)
1 1 1 3 23 2
1 1( , , )( , ,1) 0 2 3 6 0 ...(1)
3 2
como el plano P: 0, de donde (1,1, 1) p
L a b c R L x y z
x y zL b
L L a b c a b c
x y z N
or ser // ( , , ) 0
(1,1, 1).( , , ) 0 entonces 0 ...(2)
2 3 0 9ahora resolvemos el siguiente sistema:
0 8
P L N a b c
a b c a b c
a b a c
a b c b c
39
( , , ) (9 , 8 , ) (9, 8,1) por lo tanto (1, 1,1) (9, 8,1) /a b c c c c c L R
lo que es igual a expresar de la forma: 1 1 1
:9 8 1
x y zL
20. Sean 1 2:3 1 y 3 1,x y z x y z dos planos. Hallar las ecuaciones
paramétricas de la recta L que pasa por las proyecciones del punto Q(1,1,1) sobre cada
plano.
Del grafico se observa que la recta l pasa por los puntos Ay B que son las proyecciones
del punto Q sobre cada plano, por lo tanto calcularemos los puntos A y B
Para el punto A trazamos la recta L1, es decir: 1 (1,1,1) (3,1, 1) /L t t R
1 1 1 1 1
1
2
2
como A L entonces A L A . Si A (1 3 ,1 ,1 )
2para algún , ádemas A 3(1 3 ) 1 1 1 ,
11
5 9 13de donde el punto A( , , ). Para el punto B trazamos la recta L , es
11 11 11
decir: (1,1
L A t t t
t R t t t t
L
2 2 2 2
2
2
,1) (1, 1,3) / como B L B L B
B L (1 ,1 ,1 3 ) para algún
2además B 1 1 3(1 3 ) 1
11
9 13 5de donde el punto B( , , )
11 11 11
4 (1,1, 2) por lo tanto la recta L
11
t t R
Si B t t t t R
t t t t
Sea a AB B A
pedida es:
5 9 13( , , ) (1,1, 2) / cuyas ecuaciones paramétricas son:11 11 11
L R
5
11
9: ,
11
132
11
x
L y R
z
40
SUPERFICIES CUÁDRATICAS
1. INTRODUCCION
Superficies la ecuación E(x,y) = 0 nos representa un lugar geométrico en el plano
XY, la ecuación E(x,y) = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación
rectangular en tres variables representaremos por:
También se conoce que todo plano se representa analíticamente por una única
ecuación lineal de la forma:
De una manera más general, veremos se existe una representación analítica de una
figura geométrica, al cual denominaremos superficie, tal representación consistirá de
una única ecuación rectangular de la forma:
Por Ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la
superficie esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por
la ecuación:
2. DEFINICIÓN 1.
Definir una superficie, consiste en, caracterizarla por medio de una propiedad
común a todos sus puntos. ( es decir expresarlo como un lugar geométrico) o por su
ley de generación.
Las superficies así definidas solo son estudiadas vía analítica, expresadas por la
ecuación: z f x y , o F x,y,z 0 a la cual satisfacen las coordenadas de
cada punto punto situado en esta superficie y no satisfacen las coordenadas de
ningún otro punto situado fuera de ella a esta ecuación se denomina “ECUACION
DE UNA SUPERFICIE”, la naturaleza de esta ecuación depende de la forma y
posición de la superficie así como del sistema en el que se trabaja. En conclusión
una superficie se representa por una sola ecuación de tres variables. A continuación
presentamos algunas definiciones de Superficie:
DEFINICIÓN: 2.- Supongamos un punto X cuyas coordenadas x , y , z sean
funciones de dos parámetros u , v :
x x u v y y u v z z u v , , , , , (ecuaciones paramétricas de Superficie)
Representando por la misma letra X al vector OX cuyas componentes son las
coordenadas x , y , z , las tres ecuaciones paramétricas se pueden condensar en una
ecuación vectorial única:
X X u v x u v i y u v j z u v k , , , ,
(ecuación vectorial de Superficie)
, , 0P x y z
: 0P Ax By Cz D
( , , ) 0 (1)F x y z
2 2 2 2x y z r
41
DEFINICIÓN: 3.- Sea A n un espacio afín de dimensión n; tomamos un origen O y
la estructura vectorial V correspondiente. Se llama cuádrica al conjunto de
puntos x An tales que:
X X k 2 0 donde es una forma cuadrática no nula de V , una
forma lineal y k K siempre que
La ecuación F(x,y,z) = 0 contiene tres variables, sin embargo la ecuación de una
superficie pueden contener solamente una o dos variables.
Por ejemplo la ecuación x = k constante, representa un plano paralelo al plano YZ.
De igual manera la ecuación x
2 +y
2 = 4 considerada en el espacio representa un
cilindro circular recto.
Toda ecuación de la forma F(x,y,z) = 0, no necesariamente representa una
superficie, por ejemplo la ecuación x2 +y
2+z
2+9 = 0, no representa ningún lugar
geométrico, además la ecuación x2+y
2+z
2 = 0 tiene una sola solución real que es:
x = y = z = 0, cuyo lugar geométrico esta constituido por un solo punto, el origen.
3. SUPERFICIES CUADRÁTICAS
LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.-
El estudio de un lugar geométrico en el espacio corresponde, al igual que en el
plano de dos fases distintas:
i ) Mediante la definición del lugar geométrico el cual se deduce de sus ecuaciones o
ecuación.
ii ) Por el estudio de las propiedades algebraicas de éstas no solo la forma del lugar
geométricos, sino también sus propiedades geométricas.
El estudio de la geometría espacial de acuerdo al último análisis se reduce al
estudio de una superficie; lo que podemos expresarlo de la siguiente manera:
a ) Dada una superficie definida geométricamente; determinar su ecuación.
b ) Dada una ecuación, determinar la superficie que representa.
PRIMER PROBLEMA FUNDAMENTAL
Este problema podemos resolverlo de la misma manera que en plano, por dos
métodos: el directo y el indirecto.
42
LUGAR GEOMÉTRICO:
Lamamos un lugar geométrico al conjunto de puntos del espacio que gozan de
una misma propiedad expresada por la definición del lugar. Para demostrar que un lugar
geométrico es una línea alabeada o superficie hay que probar:
1º Que todo punto del espacio que goza de la propiedad del lugar está sobre la línea o
superficie.
2º Recíprocamente, todo punto situado sobre la línea o superficie considerada goza de
la propiedad del lugar.
La ecuación o ecuaciones existentes entre las coordenadas de los puntos de la
línea o superficie en cuestión se llaman la ecuación o ecuaciones del lugar. Para obtener
un lugar pueden aplicarse dos métodos generales: el directo y el indirecto.
El método directo, cuando puede aplicarse, basta representar por variables x , y,
z las coordenadas de un punto del lugar y traducir en seguida en forma algebraica, por
medio de una o dos ecuaciones, la propiedad de que gozan todos los puntos del lugar.
El método indirecto ( o de los parámetros ), que el más generalmente
empleado, se consideran las superficies como lugares de líneas o generatrices obtenidas
por intersección de dos superficies variables que dependen de uno o más parámetros y
que se mueven con arreglo a leyes determinadas que condicionan estos parámetros
cuando hay más de uno.
Ejemplos:
1.- Determinar la ecuación del lugar geométrico de los planos cuya distancia al
origen es igual al cuádruple de las abscisas respectivas.
Solución
Usando el método directo:
Sea P x y z, , un punto que satisface las condiciones dadas: OP x4
Pero: OP x y z 2 2 2 luego se tiene: 4 2 2 2x x y z
de donde: 15 02 2 2x y z ecuación del lugar geométrico
correspondiente.
2.- Determinar la ecuación de la superficie generada por la familia de curvas:
x y k z y k x 2 0 2, , siendo k un parámetro variable.
Solución
Usando el método indirecto:
de: x y k z kx y
z
2 0
2 en
y k x
x y x
z2
2
y z x x y2 2 2 0 es la ecuación de la superficie pedida.
3.- Determinar la ecuación de la superficie generada por la recta que pasa por el
punto P 3 0 0, , y se apoya en la circunferencia de ecuación: y z
x
2 2 1
0
Solución
Usando el método indirecto:
43
Como la directriz es una línea recta P x y z D1 1 1 1, , la ecuación de
la generatriz G es: x
x
y
y
z
z
3
31 1 1
. Además
P D x z x1 1
2
1
2
11 0 ; ... (1)
x y
yy
y
x
3
3
3
31
luego 1 ............................................................(2)
x z
zz
z
x
3
3
3
31
1 luego .........................................................(3)
Ahora (3) y (2) en (1) obtenemos: 9 9 3 02 2 2y z x
SEGUNDO PROBLEMA FUNDAMENTAL:
La determinación de la superficie representativa de una ecuación dada se procesa
mediante el estudio sistemático de la misma, al cual se denomina: DISCUSIÓN DE LA
ECUACIÓN.
Para la discusión, caracterización y construcción de la superficie representativa
de una ecuación, de manera análoga a como se hace en geometría plana se adoptará el
siguiente procedimiento para construir la gráfica de una superficie consideremos la
siguiente discusión, mediante los pasos siguientes: 1) Intersección con los ejes coordenados.
2) Trazas sobre los planos coordenados.
3) Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordinados y el origen.
4) Secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados.
5) Extensión de la superficie.
6) Construcción de la superficie.
Consideremos la ecuación de una superficie.
Ahora describiremos todo el proceso a realizar en la construcción de la gráfica de
dicha superficie.
1. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados:
Para obtener la intersección de una superficie con determinado eje se anulan, en la
ecuación de la superficie, las variables, las variables no correspondientes al eje
considerado, obteniendo así, la coordenada del mismo nombre de su eje:
x F x y z
y F x y z
z F x y z
: , ,
: , ,
: , ,
en hacer z = y = 0
en hacer x = z = 0
en hacer x = y = 0
0
0
0
Si en F x y z, , 0 se verifica x y z 0 , la superficie pasa por el origen.
Esto sucede cuando no contiene términos independientes.
( , , ) 0F x y z
44
2. Determinación de las trazas sobre los planos coordenados:
La traza de la superficie F x y z, , 0 sobre el plano XY , por ejemplo en la
intersección con el plano: Z = 0 .
Haciendo, Z = 0 en F x y z, , 0 se obtendrá f x y, 0 ; que define en el
plano XY, una curva que es la traza buscada.
Podemos concluir que, para obtener la ecuación de la traza de una superficie con uno
de los planos coordenados, bastará anular en la ecuación de la superficie
F x y z, , 0 la variable no correspondiente a los ejes del plano coordenado
considerado. Esto es:
i ) Traza sobre el plano XY :
en F x y z, , 0 , hacer Z = 0 , y se obtiene: f x y
z
,
0
0
ii ) Traza sobre el plano XZ :
en F x y z, , 0 , hacer Y = 0 , y se obtiene: f x z
y
,
0
0
iii ) i ) Traza sobre el plano YZ :
en F x y z, , 0 , hacer X = 0 , y se obtiene: f y z
x
,
0
0
Las trazas de una superficie sobre los planos coordenados se denominan:
TRAZAS PRINCIPALES.
3.- SIMETRÍA
La simetría de una Superficie se considera en relación a los planos coordenados, a
los ejes coordenados y al origen.
i ) Simetría en relación a los planos coordenados:
Si la ecuación de una superficie algebraica sólo tiene potencias pares de una de las
variables, esa superficie es simétrica en relación al plano correspondiente a las
otras dos variables. Esto es con respecto a los planos:
XY debe cumplirse; F x y z F x y z, , , ,
XZ debe cumplirse; F x y z F x y z, , , ,
YZ debe cumplirse; F x y z F x y z, , , ,
ii ) Simetría en relación con los ejes coordenados:
Si la ecuación de una superficie algebraica contiene potencias pares de dos
variables e impares de la tercera variable, esa superficie es simétrica en relación a
los ejes correspondiente a la tercera variables. Esto es con respecto a los ejes:
X debe cumplirse : F x y z F x y z, , , ,
Y debe cumplirse : F x y z F x y z, , , ,
Z debe cumplirse : F x y z F x y z, , , ,
iii ) Simetría en el origen:
Una superficie es simétrica en relación al origen cuando su ecuación algebraica
solo contiene términos de grado par y de grado impar en relación a las variables.
En la primera hipótesis la superficie es simétrica en relación a los ejes
coordenados, a los planos coordenados y al origen, en la segunda, solo al origen.
45
4.- Sección y extensión:
Las secciones planas se pueden obtener cortando la superficie por una serie de
planos paralelos a los planos coordenados; por ejemplo los planos paralelos al
plano XY, se obtienen de la ecuación Z = k ; k es una constante arbitraria.
Si
F x y zF x y k
z k, ,
, ,
0
0 .................................. ( * )
( * ) representa las ecuaciones de la curva de intersección del plano con las
superficies, donde a cada valor de k le corresponde una curva.
El campo de variación de k en (*) representa una curva real y define la extensión
de la superficie en relación a los ejes coordenados, Sea aclara este asunto con el
siguiente ejemplo:
Ejemplo: 1.- Discutir la siguiente ecuación : x y z2 2 4 ; Grafique.
Solución
1º ) Intersecciones con los ejes: con F x y z x y z, , : 2 2 4 0
x F x y z
y F x y z
z F x y z
: , ,
: , ,
: , ,
en hacer z = y = 0 x = z
en hacer x = z = 0 y = z
en hacer x = y = 0 z = -4
0
0
0
2º ) Trazas: i ) Traza sobre el plano XY :
en F x y z, , 0 , hacer Z = 0 , y se obtiene: x y
z
2 2 4
0
Circunferencia
de: r = 2
ii ) Traza sobre el plano XZ :
en 0,, zyxF , hacer Y = 0 , y se obtiene: x z
y
2 4
0 Parábola V(0,-4) = (x ,z)
iii ) Traza sobre el plano YZ :
en F x y z, , 0 , hacer X = 0 , y se obtiene: y z
x
2 4
0 Parábola
de vértice V(0,-4) = (y ,z)
3º ) Simetría:
La superficie es simétrica en relación a los planos ( XZ ) y ( YZ ) y en relación
al eje Z
4º ) Sección y extensión: Para Z = k ; se tiene: x y k2 2 4 ( círculos de radio
crecientes para k 0 y decrecientes para - 4 k 0 ).
Si k = - 4 su radio es igual cero; las secciones paralelos al plano XY son
imaginarios para k - 4 ; la superficie no existe abajo del plano Z = - 4.
- Para y = k se tiene : x z k2 24 son parábolas de vértices
v x z k, , 0 42
k R . Las parábolas son reales, luego la superficie se extiende indefinidamente
a lo largo del eje X.
5º ) Esbozo de la imagen geométrica. GRAFICA : Con los elementos proporcionados
por la discusión anterior, se puede hacer un esbozo de la superficie:
46
Seccion : Y Z
Seccion : X Z
Seccion : X Y
EJE Z
EJE Y
EJE X
Llamaremos superficies cuadráticas a toda ecuación de segundo grado en las
variables x,y,z que tiene la forma: 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L donde A, B, C, D, E, F,
G, H, K son constantes , y por lo menos una es diferente de cero.
Ejemplo 2.- Discutir y hacer la gráfica de la superficie cuya ecuación es 2 2 2 1x y z
Solución
A) Intersecciones con los ejes coordenados.
a. Con el eje X, se hace y = z= 0, de donde 2 1x entonces 1x , de donde los puntos
son: (1,0,0) , (-1,0,0)
b. Con el eje Y, se hace x = z= 0, de donde 2 1y entonces 1y , de donde los puntos
son: (0,1,0) , (0,-1,0)
c. Con el eje Z, se hace x = y= 0, de donde 2 1z entonces no existe intersección con el eje Z
B) Las trazas sobre los planos coordenados.
a. La traza con el plano XY: se hace z = 0; 2 2 1x y es una circunferencia
b. La traza con el plano XZ: se hace y = 0; 2 2 1x z es una hipérbola
c. La traza con el plano YZ: se hace x = 0; 2 2 1y z es una hipérbola
C) Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes
coordenados y al origen.
La superficie es simétrica al origen, a los ejes
coordenados y a los planos coordenados, puesto que
la ecuación no cambia al aplicar el criterio
establecido.
D) Las secciones transversales o paralelas a los planos
coordenados:
Consideramos las secciones paralelas al plano XY;
sea z = k entonces 2 2 21x y k es una familia
de circunferencias.
E) Extensión: 2 2 1z x y ,
2 2 1x y
47
4. DISCUCIÓN DE LAS PRINCIPALES SUPERFICIES CUADRÁTICAS
Una superficie muy común es la dada por una ecuación de la forma
0222 GzFyExDzCyBxA
que denominamos superficie cuádratica o simplemente cuádrica. Veremos la
discusión de las cuádricas de aquellas cuyo centro está en el origen de
coordenadas y cuyos ejes siguen la dirección de los ejes coordenados. Las
seis cuádricas fundamentales son:
i) Elipsoide
ii) Hiperboloide de una hoja
iii) Hiperboloide de dos hojas
iv) Paraboloide Elíptico
v) Paraboloide Hiperbólico
vi) Cono
La manera más sencilla de representar el gráfico de una cuádrica es
hallar sus intersecciones con los ejes y determinar las secciones producidas
por cada uno de los planos coordenados o planos paralelos a los coordenados
1) ELIPSOIDE.- Es el lugar de todos los puntos p(x,y,z) de 3R que
satisfacen a la ecuación de la forma: 2 2 2
2 2 21
x y z
a b c ,
0a , 0b , 0c , a b , a c ó b c .
Graficando el elipsoide se tiene:
a) Intersecciones con los ejes coordenados
- Con el eje X, se hace 0,y z x a , 1 2,0,0 , ,0,0A a A a
- Con el eje Y, se hace 0,x z y b , 1 20, ,0 , 0, ,0B b B b
- Con el eje X, se hace 0,x y z c , 1 20,0, , 0,0,C c C c
b) Las Trazas sobre los planos coordenados.
- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0
2 2
2 21
x y
a b , es una elipse en el plano XY
- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0
2 2
2 21
x z
a c , es una elipse en el plano XZ
- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0
2 2
2 21
y z
b c , es una elipse en el plano YZ
c) Simetrías con respecto al origen, ejes y planos coordenados.
Sea 2 2 2
2 2 2: 1
x y zE
a b c , entonces
- Con respecto al origen ; sí , , , ,a b c x y z
- Con respecto al eje X ; sí , , , ,a b c x y z
- Con respecto al eje Y ; sí , , , ,a b c x y z
- Con respecto al eje Z ; sí , , , ,a b c x y z
- Con respecto al plano XY ; sí , , , ,a b c x y z
48
- Con respecto al plano XZ ; sí , , , ,a b c x y z
- Con respecto al plano YZ ; sí , , , ,a b c x y z
d) Las secciones paralelas a los planos coordenados.
Los planos z = k, corta la superficie en la curva
2 2 2
2 2 21
x y k
a b c , que es una familia
de elipses donde c k c .
e) Extensión de la superficie de 2 2 2
2 2 21
x y z
a b c se tiene
2 2
2 2| | 1
x yz c
a b
de donde 2 2
2 21
x y
a b
2) Esfera.- La superficie es el lugar geométrico de todos los puntos p(x,y,z)
en el espacio que equidistan de un punto fijo, la distancia
constante se llama radio y el punto fijo centro.
Si la ecuación del elipsoide 2 2 2
2 2 21
x y z
a b c se tiene a = b = c 0, el
elipsoide se transforma en 2 2 2 2x y z R , que es la ecuación de la esfera
de radio R y centro en el origen de las coordenadas.
Graficando la esfera se tiene:
a) Intersecciones con los ejes coordenados.
- Con el eje X, se hace, 0y z , x R , 1 ,0,0A R , 2 ,0,0A R
- Con el eje Y, se hace, 0x z , y R , 1 0, ,0B R , 2 0, ,0B R
- Con el eje Z, se hace, 0x y , z R , 1 0,0,C R , 2 0,0,C R
b) Las trazas sobre los planos coordenados.
- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0. 2 2 2x y R , es una circunferencia del plano XY
- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 2 2 2x z R , es una circunferencia en el plano XZ
- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 2 2 2y z R , es una circunferencia en el plano YZ
c) Simétricas respecto al origen, ejes y planos coordenados.
La ecuación de la esfera 2 2 2 2x y z R es simétrica respecto al origen, a los ejes
y planos coordenados.
d) Las secciones paralelas a los planos
coordenados.
49
Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano coordenado XY, es decir,
Z = K se tiene 2 2 2 2x y R k , R k R , que es una familia de
circunferencia.
TEOREMA.- La ecuación de la superficie esférica con centro en el punto
c(h,k,l) y de radio la constante R > 0 es: 2 2 2 2x h y k z l R
Demostración
Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de la esfera,
luego por definición de esfera se tiene:
3, , / ( , )E P x y z R d p c R
2 2 2( ) ( )x h y k z l R de donde:
2 2 2 2x h y k z l R
OBSERVACIÓN.- La ecuación 2 2 2 2x h y k z l R se
conoce con el nombre de forma ordinaria de la ecuación
de la esfera, si desarrollamos la ecuación de la esfera se tiene: 2 2 2 2 2 2 22 2 2 0x y z hx ky lz h k l R , de donde se tiene:
3)
PARABOLOIDE ELÍPTICO.- Es el lugar geométrico de todos los
puntos p(x,y,z) de R3 que satisfacen la
ecuación de la forma 2 2
2 2
x yz
a b , de donde 0, 0,a b a b
Graficando el paraboloide elíptico tenemos:
a) Intersecciones con los ejes coordenados.
- Con el eje X, se hace, 0y z , 0x , (0,0,0)A
- Con el eje Y, se hace, 0x z , 0y , (0,0,0)B
- Con el eje Z, se hace, 0x y , 0z , (0,0,0)C
b) Las trazas sobre los planos coordenados - La traza sobre el plano XY, se hace z = 0
2 2
2 20
x y
a b que representa un punto
- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 2
2
xz
a que representa a una parábola en el plano XZ
- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 2
2
yz
b que representa a una parábola en el plano YZ
c) Simetrías respecto al origen, ejes y planos coordenados.
- Con respecto al origen puesto que , ,x y z P
2 2 2 0x y z Ax By Cz D
50
- Con respecto al eje X, puesto que , ,x y z P
- Con respecto al eje Y, puesto que , ,x y z P
- Con respecto al eje Z, puesto que , ,x y z P
- Con respecto al plano XY, puesto que , ,x y z P
- Con respecto al plano XZ, puesto que , ,x y z P
- Con respecto al plano YZ, puesto que , ,x y z P
d) Secciones paralelas a los planos coordenados. Las secciones paralelas tomaremos con respecto al plano XY para esto se tiene z = k
que corta en la superficie en la curva
2 2
2 2
x yk
a b que es de la familia de elipses
e) Extensiones de la superficie: 2 2
2 2
x yz
a b es definido
2( , )x y R
OTRAS VARIANTES
4) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA.- Es el lugar geométrico de todos
los puntos P(x,y,z) de R3 que
satisfacen a la ecuación 2 2 2
2 2 21
x y z
a b c , donde 0a , 0b , 0c .
Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene.
a) Intersecciones con los ejes coordenados
- Con el eje X, se hace 0y z , x a , 1 ,0,0A a 2 ,0,0A a
- Con el eje Y, se hace 0x z , y b , 1 20, ,0 , 0, ,0B b B b
- Con el eje Z, se hace 0x y , 2 2z c ,
51
b) Las trazas sobre los ejes coordenados.
- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; donde
2 2
2 21
x y
a b , es elipse
- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; donde
2 2
2 21
x z
a c , es hipérbola
- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; donde
2 2
2 21
y z
b c , es hipérbola
c) Simetrías - Con respecto al origen es simétrica.
- Con respecto a los ejes coordenados es simétrica
- Con respecto a los planos coordenados es simétrica
d) Secciones paralelas a los planos coordenados
Los planos z = k corta a la superficie en la curva 2 2 2
2 2 21
x y k
a b c , que es una familia
de elipses y los planos y = k corta a
la superficie en la curva 2 2 2 2 2
2 2 2 21
x z k b k
a c c b
,
b k b , que es una familia de hipérbola.
OTRAS VARIANTES
5) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS.- Es el lugar geométrico de
todos los puntos P
(x,y,z) de R3 que satisfacen la ecuación:
2 2 2
2 2 21
x y z
a b c , donde a ≠ 0, b ≠
0, c ≠ 0.
Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene:
a) Intersecciones con los ejes coordenados
- Con el eje X, se hace 0y z , x a , 1 ,0,0A a 2 ,0,0A a
- Con el eje Y, se hace 0x z , 2 ,y b
- Con el eje Z, se hace 0x y , 2 ,z c
52
b) Las trazas sobre los ejes coordenados.
- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; donde
2 2
2 21
x y
a b , es hipérbola
- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; donde
2 2
2 21
x z
a c , es hipérbola
- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; donde
2 2
2 21,
y z
b c
c) Simetrías - Con respecto al origen existe simetría.
- Con respecto a los ejes coordenados, existe simetría
- Con respecto a los planos coordenados es simétrica
d) Secciones paralelas a los planos coordenados
Los planos z = k, corta a la superficie, dando la curva
2 2 2
2 2 21
x y k
a b c que es una
familia de hipérbolas.
Los planos y = k, corta a la superficie, dando la curva
2 2 2
2 2 21
x z k
a c c que es una
familia de hipérbolas.
Los planos x = k, corta la superficie dando la curva
2 2 2 2
2 2 2
y z k a
b c a
donde K > a
ó k < -a, que es una familia de elipses.
53
OTRAS VARIANTES
6) HIPERBOLOIDE PARABOLICO.- Es el lugar geométrico de todos los
puntos P (x,y,z) de R3 que satisfacen la ecuación:
2 2
2 2
y x z
b a c , donde a y b
son positivos y c ≠ 0.
Graficando el hiperboloide parabólico para el caso c > 0.
a) Intersecciones con los ejes coordenados
- Con el eje X, se hace 0y z , 0 0,0,0x A
- Con el eje Y, se hace 0x z , 0, B(0,0,0)y
- Con el eje Z, se hace 0x y , 0, C(0,0,0)z
b) Las trazas sobre los ejes coordenados.
- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; , b b
y x y xa a
, rectas.
- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0;
22
2
cz x
a , parábola.
- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0;
22
2
cz y
b , parábola.
c) Simetrías
- Con respecto al origen
- Con respecto a los ejes coordenados, con el eje Z en los demás eje
- Con respecto a los planos coordenados , ,xy xz yzP P P
d) Secciones paralelas a los planos coordenados
- Al plano XY, se hace z = k;
2 2
2 2
y x k
b a c , familia de hipérbolas.
- Al plano XZ, se hace y = k;
2 2
2 2
x z k
a c b , familia de parábola.
54
- Al plano YZ, se hace x = k;
2 2
2 2
y z k
b c a , familia de parábola.
OTRAS VARIANTES
7) EL CONO ELÍPTICO O CIRCULAR.- Es el lugar geométrico de todos
los puntos P (x,y,z) de R3 que satisfacen
la ecuación: 2 2 2
2 2 2
x y z
a b c , a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.
Graficando el cono elíptico.
a) Intersecciones con los ejes coordenados
- Con el eje X, se hace 0y z , 0 0,0,0x A
- Con el eje Y, se hace 0x z , 0, B(0,0,0)y
- Con el eje Z, se hace 0x y , 0, C(0,0,0)z
b) Las trazas sobre los ejes coordenados.
- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; x = y = 0 p(0,0,0).
- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; a
x zc
dos rectas.
- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; b
y zc
dos rectas.
55
c) Simetrías - Con respecto al origen existe.
- Con respecto a los ejes coordenados, existe
- Con respecto a los planos coordenados existe
d) Secciones paralelas a los planos coordenados
- Al plano XY, se hace z = k;
2 2 2
2 2 2
x y k
a b c , familia de elipses.
- Al plano XZ, se hace y = k;
2 2 2
2 2 2
z x k
c a b , familia de hipérbolas.
Al plano YZ, se hace x = k;
2 2 2
2 2 2
z y k
c b a , familia de hipérbolas.
OTRAS VARIANTES
5. SUPERFICIES CILÍNDRICAS
Llamaremos superficies cilíndrica a la superficie que es generada por una recta que
se mueve a lo largo de una curva plana dad, de tal manera que siempre se mantenga
paralela a una recta fija dad que no está en el plano de dicha curva.
La recta móvil se llama generatriz y la curva plana se llama directriz de la superficie
cilíndrica.
Si la generatriz de una superficie cilíndrica es perpendicular al plano de la directriz;
la superficie se llama cilindro recto, en caso contrario cilindro oblicuo.
56
0 ' ':
x y y z zG
a b c
6. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓNDE UNA SUPERFICIE
CILÍNDRICA
Consideramos la directriz en uno de los planos coordenados por ejemplo, tomamos
el plano YZ, entonces la ecuación de la directriz
es: F(y,z) 0
: 0
Dx
Si p(x, y, z) es un punto cualquiera de la
superficie, cuya generatriz tiene por números
directores [a, b, c] y si p’(0, y’, z’) es el punto de
intersección de la directriz que pasa por el punto
p(x,y,z) entonces el punto p’(0,y’,z’) satisface a la
ecuación de la directriz
… (1)
Y la ecuación de la Generatriz es dado por:
… (2)
De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar x’, y’, z’ se tiene la ecuación de la superficie
cilíndrica.
7. SUPERFICIE CÓNICA
Llamaremos superficie cónica a la superficie que es generada por una recta que se
mueve de tal manera que siempre pasa por una curva plana dada fija y por un punto
fijo que no está contenido en el plano de la curva fija dada.
La recta móvil se llama generatriz y la curva fija dada directriz y el punto fijo se
llama vértice de la superficie cónica.
El vértice divide a la superficie cónica en dos porciones cada una de los cuales se
llama hoja o rama de la superficie cónica
F(y', z') 0:
' 0D
x
57
F(y', z') 0:
' 0D
x
0 0 0
0 0 0
:' ' '
x x y y z zG
x x y y z z
8. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA SUPERFICIE CÓNICA
Consideremos la ecuación de la directriz en uno
de los planos coordenados, por ejemplo en el
plano YZ, cuya ecuación esF(y,z) 0
: 0
Dx
y el
vértice 0 0 0( , , )V x y z .
Como P’(x’,y’,z’) pertenece a la directriz, por lo
tanto lo satisface, es decir:
... (1)
La ecuación de la generatriz que pasa por V y p’ es dado por:
…(2)
De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parámetros x’, y’, z’ se obtiene la
ecuación de la superficie cónica.
9. SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Llamaremos Superficie de revolución a la superficie que es generada por la rotación
de una curva plana de una recta fija contenida en el plano de esa curva.
La curva plana se llama generatriz y la recta fija eje de revolución ó eje de la
superficie.
Por el punto p(x, y, z) se hace pasar un plano perpendicular al eje de revolución, la
intersección de la superficie con el plano es una circunferencia.
Si c es el punto de intersección del plano con la recta L y Q es el punto de
intersección con la curva C entonces se cumple d(P,C) = d(Q,C) que es la ecuación
de la superficie de revolución.
Si la superficie de revolución es obtenida por la rotación de una curva que está en
uno de los planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenados, su
ecuación se determina mediante el siguiente cuadro:
58
Ecuación de la Generatriz Eje de Revolución Ecuación de la superficie
z = f(y); x = 0 Eje Y 22 2 ( )x z f y
x = f(y); z = 0 Eje Y 22 2 ( )x z f y
z = f(x); y = 0 Eje X 22 2 ( )y z f y
y = f(x); z = 0 Eje X 22 2 ( )y z f y
y = f(z); x = 0 Eje Z 22 2 ( )x y f y
x = f(z); y = 0 Eje Z 22 2 ( )x y f y
Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie de revolución engendrada al girar la
curva dada alrededor del eje señalado.
E : 2yx en el plano y z al rededor del eje y.
Solución
Sabemos que: 2yx es una curva en el plano yx cuyas ecuaciones son:
0,0, zyxf ............................................(1)
también que si una curva rota alrededor del eje y entonces la función
generatriz tiene la forma: 222 yfzx ....................(2)
Además SzyxP ,, y que el paralelo que pasa por P corta a la generatriz G en un
punto del plano: x y es zyxP ,, y su centro es C que pertenece al eje x ( ver
figura ) . Por ser radios del mismo paralelo se tiene que:
PCCP pero 22 zyCP por la ecuación (2) y también
22 zyyyPC ................................................(3)
Además PP están en el mismo plano entonces:
xx .......................................................................(4)
Como GP (generatriz que tiene la forma de la ecuación (1)
0;0, zyxf ................................. (5)
Por eliminación de parámetros zyx ,, entre la ecuaciones 1,2,3,4,5
Obtenemos: 0, 22
zyxf
Luego reemplazamos en la curva dada: 2yx se tiene:
2
22
22222
4
42
xzy
zyxzyx
El cual representa un cono
10. TRASLACIÓN DE EJES
La Traslación de ejes en el espacio tridimensional se realiza en forma similar que la
traslación en el plano cartesiano; si O’(x0, y0, z0) es un punto en el sistema
cartesiano OXYZ, entonces en el punto O’(x0, y0, z0) construiremos el nuevo
sistema o’x’y’z’ de tal manera que los rayos positivos de los nuevos ejes sean
59
paralelos y tengan el mismo sentido que el sistema cartesiano original, es decir, en
la forma:
Un punto p en el espacio correspondiente al sistema OXYZ, se tiene por
coordenadas a (x, y, z) es decir p(x, y, z) y el sistema O’X’Y’Z’ tiene por
coordenadas a (x’, y’, z’) es decir p(x’, y’, z’). La relación entre estas coordenadas
esta dada por:
0
0
0
x x x
y y y
z z z
11. ROTACIÓN DE LOS EJES EN UNO DE LOS PLANOS COORDENADOS
Veremos la rotación de los ejes de los planos coordenados manteniéndose el otro
fijo y el mismo origen.
Suponiendo que efectuamos una transformación de coordenadas del plano XY en
otro sistema X’Y’ en donde se mantiene fijo el origen y los ejes X’ e Y’ son
obtenidos rotando los ejes X e Y en forma antihoraria en un ángulos como se
ilustra en la figura.
Esta transformación en el plano XY es:
Cada punto p tendrá dos representaciones una en coordenadas (x,y) con respecto al
sistema original otras en coordenadas (x’, y’) con respecto al nuevo sistema.
60
cos cos
cos cos
x OP OPsen sen
y OPsen OPsen
Ahora determinaremos la relación (x,y) y(x’, y’), para esto tracemos las rectas OP,
AP y BP (ver figura)
Se observa que x OA , y AP , x OB , y BP
Luego el triangulo OAP se tiene: cosx OP , y OPsen , donde
…(1)
En el triangulo OBP se tiene: cosx OP , y OPsen …(2)
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene cos
cos
x x y sen
y x sen y
al resolver el sistema
se tiene: cos
cos
x x ysen
y x ysen
…(3)
Por tratarse del plano XOY veremos el caso de la ecuación de segundo grado: 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F , donde A, B, C no nulos simultáneamente.
Como cosx x y sen , cosy x sen y se tiene:
2 2( cos ) ( cos )( cos ) ( cos )
( cos ) ( cos ) 0
cos 2cos 2 2
2
2
A x y sen B x y sen x sen y C x sen y
D x y sen E x sen y F
A CB A C sen
sen B
A Cctg
B
desarrollado y simplificando se tiene:
2 2 2 2 2 2cos cos cos cos
cos 2 2 2 cos cos cos 0
A Bsen Csen x Asen Bsen C y
B Asen Csen x y D Esen x E D y F
Como el coeficiente de x’y’ debe ser cero, entonces se tiene:
cos2 2 2 0B Asen Csen de donde:
cos 2
cos 2 22
A CB A C sen
sen B
por lo tanto 2
A Cctg
B
que es la
relación para obtener el ángulo de rotación.
61
Rotación de los ejes coordenados rectangulares en el espacio:
Si hacemos girar los ejes coordenados rectangulares en torno de su origen “O”
como punto fijo de manera que los ángulos directores de los nuevos ejes zyx ,, con
respecto a los originales x , y , z sean:
333222111 ,,;,,;,, , respectivamente, y las coordenadas de un
punto cualquiera P del espacio antes y después de la rotación son
zyxyzyx ,,,, respectivamente, entonces las ecuaciones de transformación de
las originales a las nuevas son:
321
321
321
coscoscos
coscoscos
coscoscos
:
zyxz
zyxy
zyxx
T ....................................................(1)
y las ecuaciones de la transformación inversa de las coordenadas nuevas a las
originales son:
333
222
111
coscoscos
coscoscos
coscoscos
:
zyxz
zyxy
zyxx
T ....................................................(2)
Se observa que el sistema formado por (1) incluye 9 coeficientes variables, que son los
cosenos de los ángulos directores de los nuevos ejes en relación a los antiguos. Estos
coeficientes no son entretanto independientes, estando ligados por las siguientes
relaciones:
1coscoscos
1coscoscos
1coscoscos
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
T .........................................................................(3)
y , por ser los ejes perpendiculares entre si:
zy
zx
yx
T
,0coscoscoscoscoscos
,0coscoscoscoscoscos
,0coscoscoscoscoscos
:
323232
313131
212121
........(4)
De manera que es necesario que se den por lo menos tres ángulos directores
para que el sistema esté constituido por las fórmulas de transformación queda
determinado y se pueden calcular las nuevas coordenadas en función de las antiguas ó
viceversa.
Transformación General Combinando los dos casos anteriores, este es, una translación de los ejes que
transporte el origen hacia el punto 000 ,, zyxO y una rotación de manera que los
ángulos directores de los ejes finales zOyOxO ,, en relación a los semiejes
zOyOxO ,, sean los indicados en el artículo anterior se tiene:
3210
3210
3210
coscoscos
coscoscos
coscoscos
:
zyxzz
zyxyy
zyxxx
T ...................................................(5)
62
Obs: Como las fórmulas generales de transformación de coordenadas son funciones
lineales de las variables, se concluye que la ecuación de una superficie o de una línea
en el espacio no cambiará de grado o de orden ante cualquier transformación que
sufran los ejes coordenados.
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
El sistema de coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio tridimensional
está representado por la Terna coordenada donde y son las coordenadas
polares de la proyección de en el planos al punto .
Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, emplearemos las ecuaciones:
zz
rSeny
rCosx
Mientras que para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas usamos:
zz
x
yTan
yxr
222
Ejemplo:
1.- Determine el punto con coordenadas y encuentre sus coordenadas
rectangulares.
)1,3,1(
1
3732.11202
11202
P
z
Seny
Cosx
2.- Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto (3,-3,-7)
7,4/,18
7
2426.418
33
45
3
3
22
1
P
z
r
r
Tan
63
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de su
eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría.
Por ejemplo el eje de un cilindro circular con ecuación cartesiana 222 cyx es el eje
. En las coordenadas cilíndricas, este cilindro tiene ecuación cr . Esta es la razón del
nombre que recibe como coordenadas cilíndricas.
Ejemplo:
3.- Encuentre la ecuación en coordenadas cilíndricas de un elipsoide 144 222 zyx .
Sabemos que 222 ryx
Retomando la ecuación de la elipsoide
22
22
222
222
41
41
41
441
cz
crcomorz
yxz
yxz
Ecuación del elipsoide en coordenadas cilíndricas.
COORDENADAS ESFÉRICAS
Las coordenadas esféricas de un punto en el espacio
Un sistema de coordenadas esféricas se aplica en un problema donde hay simetría
alrededor de un punto y el origen se pone en ese punto. Por ejemplo, la esfera con
centro en el origen de radio tiene la ecuación ; esta es la razón por la cual
reciben el nombre de coordenadas esféricas.
Sabemos que rCosx y rSeny ; de modo que para convertir de coordenadas
esféricas a rectangulares empleamos las ecuaciones:
Cosz
SenSeny
CosSenx
Del mismo modo, la fórmula de la distancia muestra que 2222 zyx .
64
Ejemplo:
4.- Dado el punto
3,
4,2
. Hallar el punto y encontrar sus coordenadas
rectangulares.
2247.1
45602
x
CosSenx
CosSenx
2247.1
45602
y
SenSeny
SenSeny
1
602
z
Cosz
Cosz
1,
23,
23Rec
5.- El punto 2,32,0 está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus
coordenadas esféricas.
4
16
412
2320222
60
4
21
Cos
Cosz
PROBLEMAS DE SUPERFICIES EN R3
1. Hallar la ecuación de la esfera que están en los planos paralelos 6 3 2 35 0x y z ,
6 3 2 63 0x y z . Sabiendo que el punto P(5,-1,-1) es el punto de contacto de uno
de ellos.
Solución
Sea 5, 1, 1 (6, 3, 2) /L t t R
Sea 2 2A L P A L A P
Si 5 6 , 1 3 , 1 2A L A t t t
Para algún t R , como 2A P entonces:
6 5 6 3 1 3 2 1 2 63 0t t t
de donde:
2t , ( 7,5,3)A , como c es punto medio de
Ay p
se tiene: 5 7 1 5 1 3
, , 1,2,12 2 2
c c
Además, r = d(c,p) =7 por lo tanto: 2 2 2
: 1 2 1 49E x y z
65
2. Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera x2 +y
2 + z
2 = 49 en el punto
M(6,-3,-2)
SOLUCION
// pero 6, 3,2
Luego 6, 3,2 entonces la ecución
del plano tangente en M será;
: . 6, 3, 2 0
: 6 3 2 49 0
OM N OM M O
N
P N x y z
P x x z
3. Demostrar que el plano 2x – 6y + 3z – 49 = 0, es tangente a la esfera x2
+ y2
+ z2
= 49.
Calcular las coordenadas del punto de contacto
SOLUCION
2 2 2
Si : 2 6 3 49 0 es tangete a la esfera
49 entonces ,
: Centro de la esfera 0,0,0
: radio de la esfera 7
| 2(0) 6(0) 3(0) 49 | 49, 7
4 36 9 49
P x y z
x y z d C P r
C
r
d C P
Por lo tanto P es tangente al Plano
Para hallar el punto de contacto. Hallamos la recta que pasa por el centro y el punto de
contacto, que por definición tendrá como vector direccional el vector normal del plano
tangente: 2, 6,3 /L t t R intersectando L con el plano
2(2 ) 6( 6) 3(3 ) 49 0 4 36 9 49 1t t t t t t
0 2, 6,3P
4. Hallar la ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector
2, 3,4a , si las ecuaciones de la directriz son: 2 2 9
1
x y
z
SOLUCIÓN
2 2
2 2
9Sea : . la directriz.
1
Sea ´ ,́ ,́ ´
' ' 9entonces la satiface : ...(1)
' 1
ahora calculamos la generatriz, es decir:
' ' ': ,
2 3 4
' ' 1de donde :
2 3 4
x yD
z
P x y z D
x yD
z
x x y y z zG
x x y y zG
...(2)
66
Eliminando los parámetros x’, y’ de la ecuaciones (1) y (2)
' 1 2 1'
2 4 2Luego de la ecuacion (2) se tiene ...(3)
' 1 4 3 3'
3 4 4
x x z x zx
y y z y zy
reemplazamos (3) en (1) y se tiene:
2 2
2 22 1 4 3 349 4 2 1 4 3 3 144
2 4
x z y zx z y z
2 2 2 16 16 13 16 24 16 24 26 131x y z xz yz x y z
5. Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferencias 2 2 2 225, 2; 16, 3x z y x z y
SOLUCIÓN
Con los datos haremos un gráfico para visualizar
el planteamiento del problema
Del grafico se tiene A(0,2,5) en el Triangulo
ACD.
22 22 25r b también
22 3 16r b por
tanto al igualar se tiene.
2 22
2
2 25 3 16 2
Luego el centro es 0. 2,0 y el radio r 41
b b b
C
22 22 41x y z
6. Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferencias x2 +y
2 =25,
z = 2; x2 +y
2 =16, z = 3
SOLUCIÓN
Sea C el centro de la esfera de radio R luego en el :ACD 22 3 25R a
En el :CBE se obtiene: 22 3 16R a
Luego igualando se tiene:
2 2
2 25 3 16
2 4 de donde 2
a a
a a
Luego el centro es C(-2,0,0) y el radio R2
= 41 por lo tanto la ecuación de la esfera es:
2 2 22 41x y z
7. Encontrar la ecuación del cono, con vértice en el origen, cuyas generatrices hacen un
ángulo de 300 con el vector unitario que forman ángulos iguales con los ejes X, Y, Z.
SOLUCIÓN
67
2 2 2 2
Por datos del problema se tiene:
u= (cos ,cos ,cos )
como cos cos cos 1 3cos 1
puesto que cos cos cos
3 3cos u 1,1,1
2 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Sea r , , el vector de posición de un punto cualquiera del cono, como
por dato se tiene entonces. . || || . || || cos30
3 3, , 1,1,1 .
3 2
1 2 3
3 2
o
x y z
r u r u
x y z x y z
x y zx y z x y z x y z
8. Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el punto (0,0,C); si las ecuaciones
de la directriz son 2 2
2 21
x y
a b , z = 0
2 2
2 2
2 2
2 2
1Sea : , la curva directriz. Si ' , ,
0
' '1
entonces lo satisface : ...(1)
' 0
x y
D P x y z Da b
z
x y
D a b
z
Ahora calcularemos la ecuaci{on de la generatriz donde V 0,0,C es el vértice de la
0 0superficie cónica. : y como z' 0
' 0 ' 0 '
x y z cG
x y z c
�
9. Una vez comprobado que el punto M(1,3,-1) esta situado en el paraboloide hiperbólico
4x2 – z
2 = y, hallar las ecuaciones de sus generatrices que pasa por el punto M.
SOLUCIÓN
2 2
1
2
1
Sea : 4 1,3, 1 4 1 3
de donde: : 2 2 ...(1)
: 2 2 ...(2)
de la ecuación (1) 2 2 1 1
: 2 1 2
H x z y M H
yL x z k x z
k
yL x z k x z
k
x z k k k
L x z x z y
1
2 2
2
2
1 1 :
1 4 2
de la ecuación(2), 2 2 1 3
: 2 3 2 : 2 3 12 93
, , , , ,12 9,2 3 0, 9, 3 1,12,2
9 3:
1 12 2
x y zL
x z k k k
yL x z x z L z x y x
x y z L x y z x x x x
x y zL
68
10. Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el origen de coordenadas, si las
ecuaciones de la directriz son: 2 2 1 0
1 0
x z
y z
SOLUCION
2 22 1 0 ' 2 ' 1 0Sea : sí P'(x',y',z') : ...(1)
1 0 ' ' 1 0
x z x zD D
y z y z
0 0 0La ecuación de la generatriz es: :
' 0 ' 0 ' 0
de donde : .....(2)' ' '
de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos los parámetros x',y',z'
x ''
x' '
''
'
remp
x y zG
x y z
x y zG
x y z
z xzx
z z
y z yzy
y z z
lazando (3) en la ecuación y'+z'+1=0
2
2 2 2
x 2Ahora reemplazamos (4) en x'-2z'+1= 0, se tiene: ( ) 1 0
z-y
simplificando tenemos la ecuación x 0
z
z y
z y
11. Las generatrices de un cilindro circunscrito en la esfera x2 + y
2 +z
2 = 1 son
perpendiculares al plano x + y – 2z + 5 = 0. Hallar la ecuación de este cilindro.
SOLUCION
Considerando la curva directriz en el plano XY para esto z = 0, por lo tanto, la directriz
es dado por: 2 2 1
: ,0
x yD
z
la curva directriz.
2 2
Sea ' ', ', ' el punto de intersección
de la directriz entonces la
' ' 1satisface: : , ...(1)
' 0
Calculando la ecuación de la generatriz
' ':
1 1 2
P x y z
x yD
z
x x y y zG
69
De la ecuación (1) y (2) eliminamos los parametros ', '.
2' '
2 2
2' '
2 2
x y
z x zx x z x
z y zy y y
2 2
2 2 2
2 2reemplazando (3) en (1) se tiene ( ) ( ) 1, desarrolando se
2 2
tiene: 2 2 2 2 2
x z y z
x y z xz yz
12. Hallar la ecuación de la superficie cónica cuya directriz es la elipse 4x2 + z = 1,y = 4
y cuyo vértice es el punto V(1,1,3)
SOLUCION
La ecuación directriz es:
2 24 1: como p'(x',y'.z') D,
4
x zD
y
2 24 ' ' 1entonces : ...(1)
4
x zD
y
La ecuación de la directriz es: 1 1 3
: ...(2)' 1 3 ' 3
x y zG
x z
De (2) despejamos los parámetros x’, y’, z’:
3 41 1 '1' 1 3
3 1 3 3 12
'' 3 3 1
x yx y xyx
z y y zz
z y
2 2
2 2 2
3 4 3 3 124( ) ( ) 1 de donde
1 1
36 12 9 24 18 96 102 72 207
x y y z
y y
x y z xy xz x y z
13. El eje OZ es el eje de un cono circular que tiene el vértice en el origen de
coordenadas; el punto M(3,-4,7) está situado en su superficie. Hallar la ecuación de este
cono.
SOLUCIÓN
70
Sea A(0,0,7), M(3,-4,7)
3,4,0MA A M
|| || 9 16 5R MA es el radio de la sección
circular del cono.
Si z = 7, entonces la directriz es:
2 2 2 22 ' ' 25Sea : pero como p'(x',y',z') D entonces: : ...(1)
7 ' 7
x y x yD D
z z
Ahora calculamos la ecuación de la generatriz
0 0 0: , de donde : ...(2)
' 0 ' 0 ' 0 ' ' 7
x y z x y zG G
x y z x y
De la ecuación (2) despejamos x’, y’ se tiene:
7'
' 7 ...(3)
7'
' 7
x z xx
x z
y z yy
y z
Ahora reemplazando (3) en (1) se tiene.
2 2 2 2 27 7( ) ( ) 25 de donde 49 49 25
x yx y z
z z
14. Hallar la ecuación de la superficie cuya directriz es la parábola x2 = 4y, z = 0,
contenida en el plano XY, y cuya directriz tiene por primeros directores [1,1,3].
SOLUCIÓN
2 4La ecuación de la directriz es: :
0
x yD
z
2
Sea p'(x',y',z') punto de intersección de la
directriz y la generatriz entonces satisface a la
' 4 'ecuación de la directriz: : ...(1)
' 0
x yD
z
La ecuación de la directriz que pasa por el punto
p'(x',y',z') con números directores 1,1,3 es:
71
2
' ' ': , : ' ' ...(2)
1 1 3 3
Ahora eliminamos los parámetros (1) y (2)
3' '
3 3 3 ...(3)
3' '
3 3 3
3Reemplazando (3) en (1): ( ) 4
3
x x y y z z zG G x x y y
z z x zx x x x
z z y zy y y y
x z
2
2 2
3( )
3
9 6 36 12 0
y z
x z xz y z
15. Demostrar que la ecuación 2 2 22 2 2 1x y z xz yz representa a una superficie
cilíndrica; hallar las ecuaciones de su directriz y los números directores de su generatriz.
SOLUCIÓN
Consideremos las secciones paralelas al plano
coordenado XY, z = k, obteniendo:
2 2 22 2 2 1x y k kx ky . Completando cuadrado
2 2( ) ( ) 1x k y k
Luego 2 2( ) ( ) 1x k y k , z = k, es una familia de
circunferencia caso particular k=0, se tiene la
ecuación de la directriz 2 2 1, 0x y z que es una
circunferencia en el plano XY por lo tanto
2 2 22 2 2 1x y z xz yz es una superficie cilíndrica circular.
La recta que une los centros (-k, k, k) de las circunferencias es paralela a la generatriz,
por los tanto los números directores de la generatriz son 1,1,1 . Luego el grafico es:
16. Hallar la ecuación de la superficie generada por la rotación de la hipérbola
2 24 4, 0, entorno al eje Yy x z
SOLUCION
La generatriz es de la forma x = f(y), z = 0 y el eje de rotación es el eje Y, por lo tanto la
ecuación de la superficie de revolución es: 2 2 2( ),x z f y como
22 2 2 24
4 4 ( )4
yy x x f y
ahora reemplazando se tiene:
22 2 4
4
yx z
de
donde 2 2 24 4 4 0x z y
72
17. Hallar la ecuación den la superficie engendrada por la rotación de de la elipse.
2 2
2 21
: , alreddedor del eje OX
0
x y
D a b
z
Consideremos un punto arbitrario en el espacio
( , , )M x y z y c es pie de la perpendicular del
punto M al eje OX.
El punto M lo trasladamos al plano OXY,
mediante una rotación de esta perpendicular
alrededor del eje OX designemos a este punto
( ', ',0)N x y .
Luego se tiene 2 2, de donde CM CN CM y z
2 2| '|' entonces se tiene: ...(1)
'
M está situado en la superficie de revolución, si y solo si, el unto N está en la elipse
dada es decir:
y y zCN y
x x
2 2
2 2
2 2 2
2 2
' ' 1 ...(2)
ahora reemplazamos (1) en (2) tenemos: 1, que es la ecuación de la
superficie de la revolción bu
x y
a b
x y z
a b
scada.
18. Discutir y graficar la superficie 2 2
2xz
x y
SOLUCIÓN
- Intersecciones con los ejes coordenados: x2
+ y2
≠ 0 x ≠ 0,y ≠ 0
o Con el eje X, se hace y = z = 0;
o Con el eje Y, se hace x = z = 0;
73
o Con el eje Z, se hace x = y = 0;
- Las trazas sobre los planos coordenados
o Sobre el plano XY, se hace z = 0; x = 0, y R
o Sobre el plano XZ, se hace y = 0; 2
zx
o Sobre el plano YZ, se hace x = 0; z = 0
- Simetrías
o En el origen, existe
o En los ejes coordenados, eje X, eje Y, eje Z
o En los planos coordenadas, plano XY, plano XZ, plano YZ
- Secciones transversales
o En el plano XY; se hace z = k, obteniéndose k(x2
+ y2) = 2x, familia de
circunferencias de centro 1
( ,0)k
y radio 1
, 0.r kk
19. Discutir la grafica de la superficie 2 2lnz x y
SOLUCIÓN
- Intersecciones con los ejes coordenados
o Con el eje X, se hace y = z = 0; x = ± 1
o Con el eje Y, se hace x = z = 0; y = ± 1
o Con el eje Z, se hace x = y = 0; z R
- Las trazas sobre los planos coordenados
o Sobre el plano XY, se hace z = 0; 2 2 2 2ln 0 de donde 1 x y x y
circunferencia
74
o Sobre el plano XZ, se hace y = 0; 2ln | |z x
o Sobre el plano YZ, se hace x = 0; 2ln | |z y
- Simetrías
o En el origen
o En los ejes coordenados, eje X, eje Y, eje Z
o En los planos coordenadas, plano XY, plano XZ, plano YZ
- Secciones transversales
o En el plano XY; se hace z = k, de donde 2 2 2 2ln kx y k x y e
familia de circunferencias
20. Discutir y graficar la superficie |x| + |y| = 1
SOLUCIÓN
Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje X, se hace y = z = 0; x = ± 1
Con el eje Y, se hace x = z = 0; y = ± 1
Con el eje Z, se hace x = y = 0; z R
Las trazas sobre los planos coordenados
Sobre el plano XY, se hace z = 0; 1 es un rombox y
Sobre el plano XZ, se hace y = 0; x = ± 1
Sobre el plano YZ, se hace x = 0; y = ± 1
Simetrías
En el origen
En los ejes coordenados, eje X, eje Y, eje Z
En los planos coordenadas, plano XY, plano XZ, plano YZ
75
Secciones transversales
En el plano XY; se hace z = k, 1x y
21. Discutir y graficar la superficie cuya ecuación es dada por 2 2 4 0x y z
SOLUCIÓN
Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje X, se hace y = z = 0; x = 0
Con el eje Y, se hace x = z = 0; y = 0
Con el eje Z, se hace x = y = 0; z = 0
Las trazas sobre los planos coordenados
Sobre el plano XY, se hace z = 0; 2 2 0 es un punto (0,0)x y
Sobre el plano XZ, se hace y = 0; 24 es una parábolaz x
Sobre el plano YZ, se hace x = 0; 24 es una parábolaz y
Simetrías
En el origen
En los ejes coordenados, eje X, eje Y, eje Z
En los planos coordenadas, plano XY, plano XZ, plano YZ
Secciones transversales
En el plano XY; se hace z = k, 2 2 4 , familia de circunferenciasx y k
22. Trazar la superficie cuya ecuación es 2 2 22 2 1x y z x
SOLUCIÓN
76
2 22 2 2 2( 1)
2 2 1, completando cuadrados 12 2
es un hiperboloide de dos hojas de centro en (-1,0,0)
su intersección en el eje x es -1+ 2, -1- 2,
haciendo el traslado del origen (0,0,0)al punto C(-
x yx y z x z
1,0,0) se tiene
23. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la elipse
2 2
2 21
entorno del eje OY
0
y z
b c
x
SOLUCIÓN
Consideremos un punto arbitrario del espacio M(x,y,z) y que C es el pie de la
perpendicular bajada del punto M al eje OY al punto M lo trasladamos al plano OYZ
mediante una rotación de esta perpendicular alrededor del eje OY y a este punto
designamos por N(0,y,z) ahora haremos el dibujo correspondiente a la superficie,
mediante el cual daremos la ecuación de dicha superficie.
77
2 2 2 2
1 1
1
donde , de donde ...(1)
además es evidente que ...(2)
El punto M(x,y,z) está situado en la superficie de r
CM CN CM x z CN z z x z
y y
2 2
1 11 1 2 2
2 2 2
2 2
evolución si y solo si
N( , , ) estáen la elipse dada, es decir: 1 ...(3)
de las igualdades (1) y (2) en (3) se tiene 1 que es la ecuación buscada
y zo y z
b c
y x z
b c
24. Sean 2 2 2: 2 2 10 29E x y z x y z y la recta
6, 10,4 3,5, 4 /L t t R .
Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuyos números directores de las
generatrices resultan al efectuar el producto vectorial de los vectores normales a los
planos tangentes a la esfera E en el punto de intersección de este cilindro es la curva que
resulta de interceptar la esfera con el plano XZ
SOLUCION
2 2 2
2 2 2
: 2 2 10 29, completando cuadrados
: 1 1 5 56 donde 1,1 5 centro de la esfera:
E x y z x y z
E x y z C
2 2 2
1 2 1 1
6, 10,4 3,5, 4 / 6 3 , 10 5 ,4 4 /
Sea P L E entonces P L P E de donde
Si P L 6 3 , 10 ,4 4 para algun t R
Como P 5 3 11 5 9 4 56, de donde
2, 3 para =2, 1, 1,1 ; y para
L t t R t t t t R
P t dt t
E t t t
t t t P
2 2 3, 4,4 3 t P
Los vectores normales a los planos tangentes son:
1 1 1 2 2 2(2, 2,6), (5,3,2)CP P C CP P C
calculando el producto vectorial de las normales a los planos tangentes
1 2 2 2 6 ( 22,26,16)
5 3 2
i j k
x
La curva directriz resulta de interceptar la esfera E con el plano XZ entonces y = 0por lo
tanto: 2 2( 1) ( 5) 55
: la curva directriz0
x zD
y
78
Sea P’(x’,y’,z’) un punto de la intersección de la directriz con la generatriz, entonces la
satisface: 2 2( ' 1) ( ' 5) 55
: ...(1)' 0
x zD
y
Calculando la recta generatriz del cilindro ' ' '
:22 26 16
x x y y z zG
de donde:
' ' '
: ...(2)11 13 8
x x y y z zG
de la ecuación (1) y (2) eliminamos los parámetros x’,z’, de la ecuación (2) se tiene:
' 11'
11 13 13 ...(3)
' 8'
8 13 13
x x y yx x
z z y yy z
ahora reemplazamos (3) en (1) tenemos:
2 211 8( 1) ( 5) 55, desarrolando se tiene:
13 13
y yx z
2 2 2169 198 169 286 208 338 754 1690 5070x y z xy yz x y z
25. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la hipérbola
2 2
2 21, 0,
x zy
a c alrededor del eje OZ
SOLUCIÓN
Sean M(x,y,z) un punto en el espacio tomado
arbitrariamente, y D el pie de la perpendicular trazada
desde el punto M al eje OZ. El punto M lo trasladamos al
plano OXZ mediante una rotación de esta perpendicular
al eje OZ. Designemos este punto en dicha situación por
N(x’,0y’).
Luego || || || ||DM DN donde
2 2 2 2 2|| || ( 0) ( 0) ( )DM x y z z x y
Además || || | ' |DN x por lo tanto 2 2| ' | además ' ...(1)x x y z z
El punto M esta situado en la superficie de revolución si y solamente si, el punto N está
en la hipérbola dada, es decir: si 2 2
2 2
' '1 ...(2)
x z
a c
79
Ahora reemplazamos (1) en (2) se tiene2 2 2 2
2 2
( )1 simplificando
x y z
a c
2 2 2
2 21, ecuación de la superficie engendrada.
x y z
a c
26.- Una esfera tiene el centro en la esfera:
01454
0742:
zyx
zyxL
y es tangente a los planos: 422:,222: 21 zyxzyx .
Hallar su ecuación:
Solución
Como el centro C(h,k,l) de la esfera está en L
)2(..........01454
)1.........(0742
lkh
lkh
resolviendo estas dos ecuaciones se tiene:
de (1) + (2) se tiene : 2
73
kh
luego (2) – 2 (2) se tiene que k = l
Ahora como 2211 ,, PCdPCd
3
422
3
222
21
lkhd
lkhd ........................(3)
de esto tenemos que h = -1 entonces k = l = 3 en (3) se tiene el radio r =1
y el centro C(h,k,l) = ( -1, 3 , 3 ).
Luego la ecuación de la esfera será: 1331222 zyx
27.- Hallar la ecuación de la esfera de radio 3 que es tangente al plano:
0322: zyx en el punto M (1 , 1 ,- 3 ).
Solución
Si: 0322: zyx su vector normal
De este plano es 2,2,1n
En la figura se observa que la ec. de la recta es:
2
3
2
1
1
1:
zyxL de esto se tiene que:
k = 2 h – 1 , l = 2 h – 5 ...............(1)
Luego la esfera que buscamos es:
9:222 lzkyhxE ............(2)
M(1,1,- 3)
P1
P2
C(h,k,l)
C(h,k,l)
80
Como M E 9311:222 lkhE ...(3)
Reemplazando (1) en (3) se tiene que
h1 = 0 y h2 = 2
Si h1 = 0 entonces k1 = 1 ; l1 = - 5 951: 222
1 zyxE
Si h2 = 2 entonces k2 = 3 ; l1 = - 1 9132: 222
2 zyxE
28.- Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera
E: 11326210222 zyxzyx y paralelos a las rectas:
0
8
2
1
3
7:,
2
13
3
1
2
5: 21
zyxL
zyxL
Solución Completando cuadrados la esfera dada se tiene:
3081315: 222 zyxE
de la recta L1 se obtiene su dirección 2,3,2 a
y la recta L2 se obtiene su dirección 0,2,3 b
Luego como las rectas dadas son paralelas a los
Planos tangentes buscados el vector normal de estos
planos es: 5,6,4
023
232
kji
ban
De la figura dada se observa que la recata L pasa
Por el centro de la esfera dada cuyo centro es:
C = (5 , - 1 , - 13 ) cuya ec. es:
tzyx
L
5
13
6
1
4
5: cuya ecuación paramétrica es:
135,16,54: tttL ..........( * ) ,
Ahora interceptamos la recta L con la esfera E dada y se tiene:
30813135116554 222 tttEL de esto tenemos el valor
de 2t que reemplazado en ( * )
Para t = 2 se tiene P1 (13, 11, - 3)
Para t = - 2 se tiene P2 (-3 , -13, -23)
Entonces como la ecuación del plano es 01 PPn
. Ya conocemos el vector
normal : 5,6,4n
Para: P1 (13, 11, - 3) 03,11,13,,5,6,4 zyx . Operando se tiene:
0103564:1 zyx
Para: P2 (-3, - 13, - 23) 023,13,3,,5,6,4 zyx . Operando se
tiene:
P2
P1
C(h,k,l)
81
0205564:2 zyx
29.- El punto C (1,-1,-2) es el centro de una circunferencia que corta en la recta:
0674
01222:
zyx
zyxL ; una cuerda de longitud igual a 8. Hallar la ecuación
de esta circunferencia.
Solución.
La recta dada está en forma biplanar, resolviendo el sistema de los dos planos que se
interceptan para dar origen a la recta dada se tiene:
)2........(0674
)1(..........01222
zyx
zyx , de esto
hacemos (2) – 2(1) se tiene:
92
3,6
zxzy ,haciendo z = t
se tiene la recta L en forma vectorial:
RttL /1,1,
2
30,6,9:
De la figura A y B pertenecen a la recta L
/,6,
2
39A ; RrrrrB
/,6,
2
39
222
22
2
4
964
662
39
2
398
rrr
rrrAB
17
4642 r .................................................................(1)
Se sabe que: 22
2
21612
39
R ........(2)
También que: 22
2
21612
39
rrrR ........(3)
De que (2) = (3) rr 8
Si r reemplazando en (1) se tiene que es falso
Si 8 r en (1) se tiene que17
1784 ................(4)
(4) en 8 r se tiene que: 17
1784 r .....................(5)
para: 17
1784 en A se tiene
17
1784,
17
1782,
17
17123A
C(h,k,l)
82
Luego el radio es la distancia de A al centro C que desarrollando se tiene el radio es
65211:2,1,1652222 zyxECr
Para encontrar la ecuación de la circunferencia nos falta la ecuación del plano que
intercepta a la esfera E para esto ahora encontramos el valor de B, tomamos el
valor de 17
1784 r
17
1784,
17
1782,
17
17129B
0: 0 PPn
pero CACBn
17
40,
17
176,
17
144
17
86
17
83
17
122
17
86
17
83
17
122
kji
n
5,22,188
17
17
40,
17
176,
17
144
n
Luego la ecuación del plano es:
03052218:
02,1,1,,5,22,18:
zyx
zyx
Por lo tanto la ecuación de la circunferencia es:
03052218:
65211::
222
zyx
zyxEC
30.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la línea de intersección de las
dos esferas:
0123:
0523222:
222
2
222
1
zyxzyxE
zyxzyxE
Solución
De las esferas dadas obtenemos el plano restando:
07585:2 21 zyxEE ......................(*)
(*) viene hacer la ecuación del plano radical de las esferas dadas.
83
31.- La recta 1
1
2
1
2
2:
zyxL es el eje de un cono circular cuyo vértice está
situado en el plano OYZ. Hallar la ecuación de este cono, si se sabe que el punto
2
5,1,1P está situado en la superficie.
Solución
Paremos la recta dada en una ecuación paramétrica:
tzyx
L
1
1
2
1
2
2:
1
12
22
:
tz
ty
tx
L , Como el vértice pertenece a la recta L
y 10220,,,,0: txtxzyxVbaVOYZV
Luego el vértice será V (0,1,0)
RttL /2,2,21,1,2:
donde el punto es 1,1,2 Q
y la dirección de la
recta es: 1,2,2 a
Ahora por el punto P
trazamos un plano
perpendicular al eje del
cono, el cual interceptado con
el cono nos dará una circunferencia
que es la directriz de este cono;
se sabe que: PCr . Además LC
RC /1,21,22 ......................(1)
2
3,2,1QP Además
1,2,2 QC
Como 1,2,2
9
1,2,223,2,1Pr
aa
aQPQPQC oy
a
2
11,2,21,2,2
2
1
QC ............(2)
remplazando (2) en (1) obtenemos 21,0,1 C
2,1,025,1,121,0,1 PCPC
5210 222 PCr
Luego la ecuación del plano es: 0: 1 PPn
84
Como 025,1,1,,1,2,2: zyxan
que desarrollando se
tiene : 05244: zyx y como 21,0,1 C y el radio 5r
Entonces la esfera es: 5211:222 zyxE
Luego la ecuación de la directriz será:
05244:
5211::
222
zyx
zyxED
Además como su vértice es V (0,1,0) tenemos la generatriz:
z
z
y
y
x
xG
1
1: .............................................................................(3)
Como DP entonces:
05244:
5211::
222
zyx
zyxED
..............(4)
De (3) y (4) se obtiene que: 4244
9
zyx
xx
4244
9,
4244
5254
zyx
zz
zyx
zyxy
Luego por eliminación de parámetros reemplazando estos valores en la ec. de 2do.
Orden de la ec(4) se tiene la ec. del cono:
03511670232116116232523535 222 zyxzyzxyxzyx
32.- Hallar la ecuación del plano que es perpendicular al vector 2,1,2 a
y tangente al paraboloide elíptico: zyx
243
22
Solución
Sea ),,( 0000 zyxP punto de tangencia entre
el paraboloide y el plano tangente 0: 0 PPn
Se sabe que: F(x,y,z) = 0243
22
zyx
Se sabe que el vector gradiente zyx FFFF ,, es paralelo al vector normal
del plano tangente tal que: anF
ayx
FFFF zyx
2,
3,
3
2,, 00
2,312,1,22,3
,3
200
00
yx
yx
Pero SP 0 0
2
0
2
0 243
zyx
reemplazando los valores hallados en esta ecuación se
tiene que 20 z se tiene la ec. del plano:
02,2,3,,2,1,2: zyx o sea : 2 x – y –2 z – 4 =0
85
33.- El Plano tangente en 1111 , zyxP al elipsoide 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x corta a los ejes
coordenados en L, M y N. Demostrar que el área del triángulo LMN es: 111
222
2 zyxp
zya,
donde p es la longitud de la perpendicular desde el origen hasta el plano tangente.
Solución
El Plano tangente al elipsoide en el punto 1111 , zyxP
Es: 1:2
1
2
1
2
1 c
zz
b
yy
a
xxPT
Ahora interceptamos este plano tangente con los ejes
coordenados para hallar los puntos
L,M,N .
Con el eje x: 1
2
0x
axzy
Con el eje y: 1
2
0y
byzx
Con el eje z: 1
2
0z
czyx
De esto se tiene que:
0,0,
1
2
x
aL ,
0,,0
1
2
y
bM ,
1
2
,0,0z
cN
Luego se tiene que el área del triángulo es:
111
222
1
21
21
2
2
00
00
00
2
1
zyxp
cba
z
c
y
b
x
a
pA NML , donde p es la longitud de la
perpendicular desde el origen hasta el plano tangente.
Nota: Cuando no se sabe cuál es la ec. del plano tangente al elipsoide en P1 se deduce
de la ec. 01 PPn
. Se sabe que el vector gradiente
zyx FFFF ,, es paralelo al vector normal
34.- Hallar la transformación de la ecuación
0247248314123 222 zyzxyxzyx al hacer girar los ejes
coordenados de tal manera que los cosenos directores de los nuevos ejes con
respecto a los originales sean:
7
2,
7
6,
7
3,
7
3,
7
2,
7
6,
7
6,
7
3,
7
2
Solución
Las ecuaciones de transformación de las originales a las nuevos ejes son:
P1
86
321
321
321
coscoscos
coscoscos
coscoscos
:
zyxz
zyxy
zyxx
T .....................(1)
de donde:
7
2cos,
7
6cos,
7
3cos
7
3cos,
7
2cos,
7
6cos
7
6cos,
7
3cos,
7
2cos
333
222
111
.............................(2)
0247248314123 222 zyzxyxzyx ........................(3)
Reemplazando (2) en (1) obtenemos:
)........(..........7
2
7
3
7
6
)........(..........7
6
7
2
7
3
)....(..........7
3
7
6
7
2
:
Czyxz
Bzyxy
Azyxx
T ......................................(4)
Ahora reemplazamos (4) en (3) obtenemos:
0247248314123 222 CBCABACBA ......................(5)
desarrollando (5) obtenemos:
0240124012401 222 zyx
0222 zyx
el cual es un cono circular recto.
87
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.- Discutir y graficar. 72548 222 zyyxx
Sugerencia: Usar la transformación
cos
cos:
ysenxy
senyxxT
2.- Probar que las normales a la elipsoide: 123
222
zyx
a sus puntos
de intersección con el cilindro: 54916 22 yx , intersectan al plano z =
0 en puntos sobre un circulo cuya ecuación es : 322 22 yx .
3. Las generatrices de un cilindro circunscrito en la esfera:
03242222 zyxzyx , son paralelas a la recta:
52
7
3
:
tz
ty
tx
L .
Hallar la ecuación de este cilindro. 4. Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el origen de
coordenadas, si las generatrices son tangentes a la esfera:
9312222 zyx
5. Hallar la ecuación del cilindro circunscrito en las esferas:
16113:,16215:222
1222
1 zyxEzyxE
6. Los puntos A(3,-2,5); B(-1,6,-3) son los extremos de un diámetro de
una circunferencia que pasa por el punto C(1,-4,1). Hallar la ecuación de esta circunferencia
7. Identificar que superficie representa la ecuación:
022432 222 zxzyzyx .
Determine sus elementos.
8. Encuentre la ecuación del cono cuya generatriz pasa por los puntos
(0,2,2) y (0,3,4) y su eje es el eje z.
9. Discutir y graficar: 144916 222 zyx
88
10. Hallar la ecuación paramétrica del diámetro de la esfera:
01162222 zyxzyxE que es perpendicular al plano
01725: xyx
11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasador los tres puntos:
M1(3,-1,-2) , M2(1,1,-2) , M3(-1,3,0).
12. Encuentre la ecuación del cono cuya generatriz pasa por los puntos
(0,2,2) y (0,3,4) y su eje es el eje z.
13. El Plano tangente en 1111 , zyxP al elipsoide 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x corta a
los ejes coordenados en L, M y N. Calcular el área del triángulo LMN,
y se tiene p es la longitud de la perpendicular desde el origen hasta el
plano tangente al elipsoide.
14. Hallar la ecuación del cilindro circular que pasa por el punto
S(2,-1,1), si la recta:
x = 3 t +1 , y = - 2 t - 2 , z = t + 2, es eje del mismo
15. ¿En qué punto de la elipsoide: 144
: 222
zyx
E . La normal trazada
a ésta forma ángulos iguales con los ejes coordenados. 16. Determinar el centro C y el radio R de la circunferencia:
0922
100123222
zyx
zyx