Calcul

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Table des matières N° Leçon Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Page

CALCUL MENTAL 3 Ca1 Tables d’addition X X X 4 Ca2 Tables de multiplication X X X 5 Ca3 Les compléments à 100 X X X 6 Ca4 Les compléments à 10 X X X 7 Ca5 Multiplier par 10 X X X 8 Ca6 Multiplier par une puissance de 10 X X 8

Ca7 Multiplier mentalement un nombre entier par un nombre entier X X 8

Ca8 Multiplier par une puissance de 10 (2) X X 9 Ca9 Diviser par une puissance de 10 X 9 Ca10 Estimer mentalement un ordre de grandeur X X 10

CALCUL POSE AVEC DES NOMBRES ENTIERS

11

Ca11 Addition de deux nombres entiers X X X 12

Ca12 Soustraction de deux nombres entiers (sans retenue) X X X 13

Ca13 Soustraction à retenue : technique des échanges X X X 14

Ca14 Soustraction à retenue : technique des différences égales X X X 15

Ca15 Multiplication à un chiffre X X X 16 Ca16 Multiplication à plusieurs chiffres X X X 17 Ca17 Division à un chiffre X X X 19 Ca18 Division à plusieurs chiffres X X 21 Ca19 Vérifier une division X X X 22

CALCUL POSE AVEC DES NOMBRES DECIMAUX

23

Ca20 Addition de deux nombres décimaux X X 24 Ca21 Soustraction de deux nombres décimaux X X 24

Ca22 Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier X X 25

Ca23 Multiplication de deux nombres décimaux X 26 Ca24 Division décimale de deux entiers X X 27

USAGE DE LA CALCULATRICE 29 Ca25 Utiliser la calculatrice (1) X X X 30 Ca26 Utiliser la calculatrice (2) X X 30

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Calcul mental

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Tables d’addition Ca1

Niveau 1

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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Tables de multiplication Ca2

Niveau 1

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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Les compléments à 100 Ca3

Niveau 1

Les compléments à 100 à connaître par cœur :

0 + 100 = 100 5 + 95 = 100

10 + 90 = 100 15 + 85 = 100 20 + 80 = 100 25 + 75 = 100 30 + 70 = 100 35 + 65 = 100 40 + 60 = 100 45 + 55 = 100 50 + 50 = 100

Les compléments à 100 des autres nombres : Méthode 1 : 74 + ? = 100

7 4 + 2 6 = 100

Les compléments à 100 des autres nombres : Méthode 2 : 74 + ? = 100 74 + 1 = 75 74 + 6 = 80 75 + 25 = 100 80 + 20 = 100 1 + 25 = 26 donc 74 + 26 = 100 6 + 20 = 26 donc 74 + 26 = 100

Complément à 10

Complément à 9

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Les compléments à 1000 Ca4

Niveau 1

Les compléments à 1000 à connaître par cœur :

0 + 1000 = 1000 100 + 900 = 1000 200 + 800 = 1000 300 + 700 = 1000 400 + 600 = 1000 500 + 500 = 1000

Les compléments à 1000 des autres nombres : Méthode 1 : 854 + ? = 1000

8 5 4 + 1 4 6 = 1000

Les compléments à 1000 des autres nombres : Méthode 2 : 854 + ? = 1000 854 + 6 = 860 860 + 40 = 900 900 + 100 = 1000 6 + 40 + 100 = 146 donc 854 + 146 = 1000

Complément à 10

Compléments à 9

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Multiplier par 10 Ca5

Niveau 1

Quand on multiplie un nombre par 10, il suffit de lui ajouter un « 0 » à la fin. 6 x 10 = 60 73 x 10 = 730 902 x 10 = 9 020

Multiplier par une puissance de 10 Ca6

Niveau 2

Quand on multiplie un nombre entier par une puissance de 10 ( 10, 100, 1 000, 10 000…), il suffit de lui ajouter autant de « 0 » qu’en a la puissance de 10. 45 x 100 = 4 500 139 x 10 = 1 390 38 x 10 000 = 380 000

Multiplier mentalement un nombre entier par un nombre entier Ca7 Niveau 2

Pour multiplier un nombre par un autre, il faut le décomposer. Pour multiplier un nombre par 13, je le multiplie par 10 et par 3, et j’additionne les résultats.

(13 = 10 + 3) 21 x 13 = (21 x 10) + (21 x 3) = 210 + 63 = 273

Pour multiplier un nombre par 20, je calcule son double, puis je multiplie son double par 10. (20 = 2 x 10) 17 x 20 = 340 (34 est le double de 17)

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Multiplier par une puissance de 10 (2) Ca8

Niveau 2

Quand on multiplie un nombre entier ou un nombre décimal par une puissance de 10 (1, 10, 100, 1 000, 100 000…), il suffit de décaler la virgule vers la droite autant de fois qu’il y a de « 0 ». 45,37 x 10 = 453,7 0,56 x 1 000 = 560 87 x 100 = 8 700

ATTENTION En réalité, quand on multiplie par une puissance de 10, ce n’est pas la virgule qui se déplace, c’est le nombre qui se décale dans le tableau de numération.

Diviser par une puissance de 10 Ca9

Niveau 3

Quand on divise un nombre entier ou un nombre décimal par une puissance de 10 (1, 10, 100, 1 000, 100 000…), il suffit de décaler la virgule vers la gauche autant de fois qu’il y a de « 0 ». 35,8 ÷ 10 = 3,58 7 590 ÷ 100 = 75,90 = 75,9 6,8 ÷ 1000 = 0,0068

ATTENTION En réalité, quand on divise par une puissance de 10, ce n’est pas la virgule qui se déplace, c’est le nombre qui se décale dans le tableau de numération.

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Estimer mentalement un ordre de grandeur Ca10 Niveau 2

Estimer mentalement un ordre de grandeur, c’est prédire le nombre de chiffre qu’aura le résultat d’une opération, en arrondissant les termes de l’opération. Pour trouver l’ordre de grandeur d’une addition : 7 650 + 913 = ?

7 500 + 900 = 8400 l’ordre de grandeur de cette opération est un nombre à 4 chiffres, proche de 8400. (En effet, le résultat exact est 8563)

Pour trouver l’ordre de grandeur d’une soustraction : 561 – 78 = ?

550 – 80 = 470 l’ordre de grandeur de cette opération est un nombre à 3 chiffres proche de 470. (En effet, le résultat exact est 483)

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Calcul posé avec des nombres

entiers

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Addition de deux nombres entiers Ca11 Niveau 1

Additionner, c’est réunir deux quantités. Additionner, c’est calculer une somme.

Dans une école, il y a 253 élèves en primaire, et 74 élèves en maternelle. Combien y a-t-il d’élèves au total ? 253 + 74 = ?

Pour effectuer une opération portant sur des grands nombres, on peut poser l’opération. Pour poser une opération, on aligne les chiffres appartenant à la même classe. 1 1

2 5 3 2 5 3 2 5 3 + 7 4 + 7 4 + 7 4 7 2 7 3 2 7 3 + 4 = 7 5 + 7 = 12 2 + 1 = 3 J’écris 7 unités. J’écris 2 dizaines et

retiens 1 centaine. J’écris 3 centaines.

Il y a 327 élèves dans cette école.

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Soustraction de deux nombres entiers (sans retenue) Ca12 Niveau 1

Soustraire, c’est enlever une quantité.

Soustraire, c’est calculer une différence, ou un reste.

Quelle est la différence de prix entre un vélo à 117 € et un vélo d’une autre marque à 138 € ? 138 – 117 = ?

Pour effectuer une opération portant sur des grands nombres, on peut poser l’opération. Pour poser une opération, on aligne les chiffres appartenant à la même classe.

1 3 8 1 3 8 1 3 8 - 1 1 7 - 1 1 7 - 1 1 7 1 2 1 0 2 1 8 – 7 = 1

J’écris 1 unité. 3 – 1 = 2

J’écris 2 dizaines. 1 – 1 = 0

J’écris 0 centaine.

ATTENTION Pour poser une soustraction, il faut toujours poser en premier le nombre le plus

grand (138) puis le nombre le plus petit (117)

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Soustraction avec retenue : technique des échanges Ca13 Niveau 1

Vasco de Gama est né en 1491 et est mort en 1557. Combien d’années a-t-il vécu ? 1557 – 1491 = ?

1 5 5 7 1 54 15 7 - 1 4 9 1 - 1 4 9 1 6 6 6 7 – 1 = 6

J’écris 6 unités 5 – 9 n’est pas possible !

Je prends une centaine à 5 pour les transformer en 10 dizaines. 15 – 9 = 6

J’écris 6 dizaines et enlève une centaine.

1 54 15 7 1 54 15 7 - 1 4 9 1 - 1 4 9 1 0 6 6 0 0 6 6 4 – 4 = 0

J’écris 0 centaine. 1 – 1 = 0

J’écris 0 millier.

Vasco de Gama a vécu 66 ans.

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Soustraction avec retenue : technique des différences égales Ca14 Niveau 1

Vasco de Gama est né en 1491 et est mort en 1557. Combien d’années a-t-il vécu ? 1557 – 1491 = ?

1 5 5 7 1 5 15 7 - 1 4 9 1 - 1 45 9 1 6 6 6 7 – 1 = 6

J’écris 6 unités 5 – 9 n’est pas possible !

J’ajoute 10 dizaines à 5 et une centaine à 4. 15 – 9 = 6

J’écris 6 dizaines et enlève une centaine.

1 5 15 7 1 5 15 7 - 1 45 9 1 - 1 45 9 1 0 6 6 0 0 6 6 5 – 5 = 0

J’écris 0 centaine. 1 – 1 = 0

J’écris 0 millier.

Vasco de Gama a vécu 66 ans.

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Multiplication à 1 chiffre Ca15 Niveau 1

Multiplier, c’est reproduire une quantité.

Multiplier, c’est calculer un produit. Marie possède quatre boîtes contenant chacune 6 œufs.

6 + 6 + 6 + 6 =24

4 x 6 = 24 Dans cette ferme, il y a 7 poulaillers contenant chacun 43 poules. Combien y a-t-il de poules au total ? 7 x 43 = ? Pour effectuer une multiplication portant sur des grands nombres, on peut poser l’opération. 2 2

4 3 4 3 x 7 x 7 1 3 0 1 7 x 3 = 21

Je pose 1 et retiens 2.

7 x 4 = 28

retenue : 28 + 2 = 30 Je pose 30.

On dit que la multiplication est commutative : 4 x 6 = 6 x 4 = 24

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Multiplication à plusieurs chiffres Ca16 Niveau 1

- Multiplication à 2 chiffres :

Un entrepreneur achète 32 palettes de granulés de bois pour le chauffage valant 288 € chacune. Combien cela lui coûte-t-il ? 32 x 288 = ? 1 1 1 1 1 2 7 8 2 7 8 2 7 8 x 3 2 x 3 2 x 3 2 6 2 x 288 5 6 2 x 288 5 5 6 2 x 288

30 x 288 30 x 288 30 x 288

2 x 8 = 16

Je pose 6 et retiens 1.

2 x 8 = 14

retenue : 14 + 1 = 15 Je pose 5 et retiens 1.

2 x 2 = 4

retenue : 4 + 1 = 5 Je pose 5.

1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 7 8 2 7 8 2 2 7 8 2 x 3 2 x 3 2 x 3 2 5 5 6 2 x 288 5 5 6 2 x 288 5 5 6 2 x 288

4 0 30 x 288 3 4 0 30 x 288 8 3 4 0 30 x 288 Comme on multiplie par

30, il faut mettre un 0 3 x 8 = 24

Je pose 4 et retiens 2

3 x 7 = 21 retenue : 21 + 2 = 23 Je pose 3 et retiens 2.

3 x 2 = 6 retenue : 6 + 2 = 8

Je pose 8.

1 1 2 2 7 8 2 x 3 2 5 5 6 2 x 288

+ 8 3 4 0 30 x 288 8 8 9 6

J’additionne 576 et 8340

Cela lui coûte 8 896 €.

A B C

D E F

G

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- Multiplication à 3 chiffres : Un agriculteur plante 189 rangées de pins. Chaque rangée compte 275 pins. Combien y a-t-il de pins au total ? 189 x 275 = ? 4 4 6

1 8 9 6 6 1

x 2 7 5 1

9 4 5 5 x 189 + 1 3 2 3 0 70 x 189 + 3 7 8 0 0 200 x 189 5 1 9 7 5

Il y a 51 975 pins.

- Multiplication à 4 chiffres : Un piscinier fait ses comptes : depuis qu’il a ouvert son commerce, il a vendu 1 484 piscines à 5 791 €. Combien cela lui a-t-il rapporté ? 1484 x 5791 = ? 3 3 7

5 7 9 1 6 3 3

x 1 4 8 4

2 3 1 6 4 4 x 5791 + 4 6 3 2 8 0 80 x 5791 + 2 3 1 6 4 0 0 400 x 5791 + 5 7 9 1 0 0 0 1000 x 4791 8 5 9 3 8 4 4

Cela lui a rapporté 8 593 844 €

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Division à un chiffre Ca17 Niveau 1

Diviser, c’est partager une quantité. Diviser, c’est trouver un quotient.

Un jardinier veut planter 142 salades en 6 rangées. Chaque rangée doit avoir le même nombre de salades. Il y a 23 salades dans chaque rangées, mais il en reste 4 qui ne peuvent pas être mises dans la rangées, car sinon elles ne seraient pas égales. On peut écrire : 142 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 4

142 = 6 x 23 + 4 142 ÷ 6 = 23, reste 4

Dans une division, chaque terme a un nom :

142 = 6 x 23 + 4

Dividende : le nombre que l’on veut diviser

Diviseur : le nombre par lequel on veut diviser

Quotient : le résultat de la division

Reste : la quantité que l’on ne peut pas diviser, car sinon les parts ne seraient pas égales

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Une mercière dispose de 462 boutons. Elle voudrait les offrir à ses 8 principaux clients, en leur envoyant des paquets. Mais pour être polie, elle souhaite envoyer à chacun le même nombre de boutons.

a. Combien de boutons y aura-t-il dans chaque paquet ? b. Combien de boutons lui restera-t-il ?

4562 ÷ 8 = ?

Pour résoudre une division, il faut tracer une « potence » :

4 6 2 8 d u

4 6 2 8 d u

4 6 2 8

- 4 0 d u

6 2 5

4 6 2 8

- 4 0 d u

6 2 5 7 - 5 6 6

Il y aura 57 boutons dans chaque part. Il en restera 6.

Quotient : si je connais le nombre de chiffres du quotient, je peux préparer le bon nombre de colonnes

Dividende

Diviseur

Je divise 46 dizaines par 8.

Je cherche combien de fois 8 dans 46 : 8 x 5 = 40 8 x 6 = 48 Je mets 5 dizaines dans chaque part. J’enlève 40 dizaines à 46 dizaines, il reste 6. 46 – 40 = 6 Je descends les 2 unités pour les diviser.

Je divise 4 centaines par 8. 4 < 8 donc ce n’est pas possible.

Je divise 62 unités par 8.

Je cherche combien de fois 8 dans 62 : 8 x 7 = 56 8 x 8 = 64 Je mets 7 unités dans chaque part. J’enlève 56 unités à 62 unités, il reste 6. 62 – 56 = 6 6 < 8, c’est le reste.

Reste

Il y a 5 fois 8 dans 46

Il y a 7 fois 8 dans 62

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Division à plusieurs chiffres Ca18 Niveau 2

Un agriculteur a récolté 3 517 œufs. Il veut les vendre en paquets de 16. Combien de paquets pourra-t-il faire ? 3517 ÷ 16 = ?

3 5 1 7 16 - 3 2 c d u

3 1 2 1 9 - 1 6 1 5 7 - 1 4 4 1 3

Comme on ne connaît pas la table de 16, il faut l’écrire sur un brouillon avant de faire l’opération. L’agriculteur pourra faire 219 paquets de 16 œufs, et il restera un paquet de 13 œufs.

16 x 1 = 16 16 x 2 = 32 16 x 3 = 48 16 x 4 = 64 16 x 5 = 80 16 x 6 = 96 16 x 7 = 112 16 x 8 = 128 16 x 9 = 144

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Vérifier une division Ca19 Niveau 1

Pour vérifier qu’une division est bonne, on peut employer plusieurs méthodes :

1. Si le reste est plus grand que le diviseur, c’est que la division est FAUSSE :

3 4 7 6 - 3 0 d u

4 7 5 6 - 3 6 1 1

2. On peut calculer le nombre de chiffres au quotient :

60 < 347 < 6000

6 x 10 < 6 x ? < 6 x 100

10 < ? < 100 Le quotient est compris entre 10 et 100, il a donc forcément 2 chiffres.

Si le nombre de chiffres au quotient est différent de ce qui est trouvé par la méthode ci-dessus, c’est que mon opération est fausse.

3. On peut vérifier le résultat par la multiplication du quotient par le diviseur, en ajoutant le reste.

3 4 7 6 - 3 0 d u

4 7 5 7 - 4 2 0 5

diviseur x quotient + reste = dividende

57 x 6 = 342

342 + 5 = 347

L’opération est juste.

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Calcul posé avec des nombres

décimaux

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Addition de deux nombres décimaux Ca20 Niveau 2

Marion voudrait connaître sa taille lorsqu’elle porte son chapeau. Elle mesure 1,2 m et son chapeau mesure 0,13 m. 1,2 + 0,13 = ? Quand on pose une addition avec des nombres décimaux, il faut aligner les chiffres de même classe, il faut donc que les virgules soient alignées.

1 , 2 0

+ 0 , 1 3 1 , 3 3

Marion mesurera 1,33 m avec son chapeau.

Soustraction de deux nombres décimaux Ca21 Niveau 2

Catherine dispose d’une réserve de lessive de 3,7 L. Si elle utilise 0,21 L pour mettre en route une machine à laver, quel volume de lessive lui restera-t-il ? 3,7 – 0,21 = ? Quand on pose une soustraction avec des nombres décimaux, il faut aligner les chiffres de même classe, il faut donc que les virgules soient alignées.

3 , 7 10

+ 0 , 2+1 1 3 , 4 9

Il lui restera 0,49 L de lessive.

3,7 = 3,70 on peut ajouter un 0 pour effectuer l’opération

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Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier Ca22 Niveau 2

Florent achète 12 boîtes de sauce tomate valant 2,17 € chacune. Combien va-t-il payer ? 12 x 2,17 = ? Quand on pose une multiplication avec des nombres décimaux, on ne tient pas compte de la classe de chaque chiffre et de la place de la virgule. On fait comme si il s’agissait de deux nombres entiers.

2, 1 7 1 x 1 2 4 2 4 + 2 1 7 0 2 5, 9 4

Il faut placer la virgule dans le résultat de manière à ce qu’il y ait le même nombre de chiffres dans la partie décimale qu’il n’y en a dans les membres de l’opération. Il y a 2 chiffres dans la partie décimale de 2,17. Il faut donc en mettre 2 dans le résultat de l’opération : 25,94 Il paiera 25,94 €.

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Multiplication d’un nombre décimal par un nombre décimal Ca23 Niveau 3

Un jardin fait 12,2 m sur 5,65 m. Quelle est sa superficie totale ? 12,2 x 5,65 = ? Quand on pose une multiplication avec des nombres décimaux, on ne tient pas compte de la classe de chaque chiffre et de la place de la virgule. On fait comme si il s’agissait de deux nombres entiers.

5, 6 5 1 1 1

x 1 2, 2 1 1 1 3 0 1 1 3 0 0

+ 5 6 5 0 0 6 8, 9 3 0

Il faut placer la virgule dans le résultat de manière à ce qu’il y ait le même nombre de chiffres dans la partie décimale qu’il n’y en a dans les membres de l’opération. Il y a 2 chiffres dans la partie décimale de 5,65 et 1 chiffre dans la partie décimale de 12,2. Il faut donc en mettre 3 dans le résultat de l’opération : 68,930 Sa superficie totale est de 68,93 m².

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Division décimale de deux entiers Ca24 Niveau 2

6 amis se sont fait de l’argent de poche en vendant des brins de muguets. Au total, ils ont récolté 213 €. Combien chacun va-t-il récupérer ? 213 ÷ 6 = ?

2 1 3 6 - 1 8 d u

0 3 3 3 5 - 3 0 0 3

Chaque ami aura 35 € et il restera 3 €. Est-il possible de diviser les 3 € en 6 ? C’est possible, si on va plus loin dans la division. On résout l’opération comme d’habitude en prenant soin de laisser 2 ou 3 carreau à droite du dividende, et des colonnes pour les décimales du quotient.

2 1 3 6 - 1 8 d u 1/10 1/100

0 3 3 3 5 - 3 0 0 3

A

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On continue l’opération en abaissant les « 0 » qui sont dans les classes de la partie décimale (213 = 213,00)

2 1 3, 0 0 6 - 1 8 d u 1/10 1/100

0 3 3 3 5, 5 0 - 3 0 0 3 0 - 3 0 0 0 - 0 0

Chaque ami aura 35,50 €.

B

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Usage de la calculatrice

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Utiliser la calculatrice (1) Ca25 Niveau 1

Utiliser la calculatrice (2) Ca26 Niveau 2