信号処理の実例逆フィルター - kyoto u...$ s3¸s\kzÔ¹Ý ìm a#ú_>e ms>&...

$: 信号処理の実例逆フィルター - Kyoto U...$ s3¸s\KZÔ¹Ý ìM a#ú_>E Ms>& n>'4#&ì 逆フィルタ畳み込みを使った劣化信号の復元変換器・通信路$
信号処理の実例

逆フィルター

情報ネットワーク社会

実世界

２１世紀社会の構造

？

物理化学法則

（従う）

法律・規則

（守る）

物理・化学モデル

計算・情報モデル


実世界

ＩＤ付与

認証

対象認識

実世界対象

人

自動車

犬

猫

不動産

情報世界対象

数値

文字

図形

グラフ

木構造

関係・相互作用

計算・処理

変化のモデル化

シミュレーション

予測


実世界

光景

実世界対象

人

自動車

犬

猫

不動産

情報世界対象

数値

文字

図形

グラフ

木構造

写真カメラ撮影（ボケ、ブレ）

ディジタル化

ディジタル化

逆フィルタ

実世界での変換のモデル化

)(*)()(

)(

)(

)(

thtftg

th

tg

tf

　　　　　

を表わす関数：歪み（変換）の特性

換後の）対象：実世界の歪んだ（変

のない）対象：実世界の真の（歪み

化する。畳み込みとしてモデル

変換）過程を実世界における歪み（

逆フィルタ畳み込みを使った劣化信号の復元

変換器・通信路（線形で時不変な変換）

入力出力 ≠入力

との畳み込みによる歪み

画像の場合…

逆フィルタ

理想的な画像劣化画像

ピンボケ = 2次元ガウス関数

逆フィルタ畳み込みを使った劣化信号の復元




フーリエ変換逆フーリエ変換

逆フィルタ

との積による復元

とすれば

一般に，この逆フィルタはうまく働かない！


画像劣化のモデル

＋

雑音関数 h ：点広がり関数（PSF） ⇒ 画像劣化の性質を表す．

位置不変な

画像劣化の

モデル

とすると，この項の影響は？

フーリエ変換

復元画像：



点広がり関数の例

原画像

フーリエ

変換

劣化(ボケ）画像

逆フーリエ

変換

0 0

B：横方向のブレ

u

v

A：ピンボケ

0

0 u

v

劣化（ブレ）画像

逆フィルタの問題点と改良

0 0

A：ピンボケ

B：横方向のブレ

u

v

0

0 u

v

◆単純な逆フィルタ

の場合，

が小さな範囲では，

雑音成分が非常に大きくなる．

例えば，Aの場合，

が大きな範囲のみを利用．

閾値

ウィーナ・フィルタ

◆単純な逆フィルタ：

◆低周波成分のみの逆フィルタ：

⇒ ノイズ項を無視している

⇒ SN比が比較的大きいと考えられる

低周波領域のみを利用する．

⇒ 原画像と復元画像の

平均2乗誤差を最小とするような

変換を求める．

雑音に弱い！

雑音に関する（統計的）性質を

積極的に利用

◆ウィーナ・フィルタ（Wiener filter）

* は複素共役を表す．

PN, PS はそれぞれ，雑音と

原信号のパワースペクトル．

ウィーナ・フィルタの導出

劣化：

復元：

･･･①

･･･②

②

①

平方完成

M について整理

平均

を最小とするを求める． ※以下では，(u, v)を

省略して表記する．

),(),(

),(),(

vuMvuH

vuNvuF

と決定的関数：

と確率場　　：

は独立と ),(),( vuNvuF

ウィーナ・フィルタの導出

誤差の最小値ウィーナ・フィルタ（Wiener filter）

※ 雑音成分がない（PN = 0）とすると，このフィルタは

に一致し，平均二乗誤差の最小値は 0 となる．

※ 確率場を用いた厳密な説明は，

「ディジタル画像処理（監訳：長尾眞，近代科学社，1978）」の第7章を参照すること．

で平均2乗誤差は最小となる．

※ 通常，正確に求めることができないので，適当な定数で近似する．

結果の比較

ピンボケ

劣化画像単純な逆フィルタ低周波成分のみの

逆フィルタウィーナ・フィルタ

横方向のブレ

課題９課題１７

１．真黒な紙に針で穴を開け、紙の後ろに電球を置く。

カメラでフォーカスを色々変えながら、前から紙の画像を撮影すると、ピンボケによる点広がり関数を画像データとして求めることができる。

２．紙にフォーカスを合わせた状態で、カメラのシャッタースピードを遅くし、紙を縦や横に動かして画像を撮影すると、ブレによる点広がり関数を画像データとして求めることができる。

３．２枚の色の異なった紙を前後に離して置き、フォーカスを変えながら画像を撮影をするとどうなるかを考えてみよう。

４．撮影した風景写真１枚を分析して、撮影時に生じた劣化を求めるには、どうすればよいか考えてみよう。

★最近米国で発売されたlight field cameraでは、撮影後に

画像のフォーカスを自由に変えることができる。

https://www.lytro.com/science_inside

これまでの復習とこれからの課題アナログ信号

・フーリエ変換とラプラス変換

・デルタ関数の導入によるフーリエ変換の拡張

・２次元フーリエ変換（２次元周波数）・畳み込み演算、相関関数

・CTの原理（１次元フーリエ変換と２次元フーリエ変換の関係）・逆フィルター

標本化

・デルタ関数の周期系列

・標本化定理（折り返し歪み・エイリアシング）・補間関数

・２次元標本化定理

標本化

信号の標本化

n

T nTtt )()( 標本化パルス系列

標本化された信号 )()()( ttxtx Ts

n

s nTttxtx )()()(

),( ][

),( )}({)( )(

は整数

は整数

nnnx

nnnTxttxs

t

連続関数数列

T

数学の世界実世界

対象

実世界対象

人

自動車

犬

猫

不動産

情報の世界

情報世界対象

数値

文字

図形

グラフ

木構造

計測信号

)(tx

ディジタル化

ディジタル信号

][nx

標本化信号

)(txs

標本化

量子化

数学の世界実世界

対象

実世界対象

人

自動車

犬

猫

不動産

情報の世界

情報世界対象

数値

文字

図形

グラフ

木構造

計測信号

)(tx

ディジタル化

ディジタル信号

][nx

標本化信号

)(txs

標本化

量子化（符号化）

離散時間信号

)(txc

標本化された信号のフーリエ変換


)(*)(2

1)(

Ts XX

n

s

n

ss

ss

nXT

duuXnu

XXs

)(1

)(])([2

1

)](*)([2

1)(

標本化パルス系列のフーリエ変換

)()(

][1

)()(

s

s

s

n

ss

tjn

n

tj

TT

n

eT

dtet

F

n

tjn

Tse

Tt

1

)(フーリエ級数展開

Ts 2

標本化定理

０

１

MM

MX 0)(帯域制限信号

標本化間隔Tで標本化

n

ss nXT

X )(1

)( Ts 2

０ Ms Ms M s

T

1

の場合Ms 2

０ Ms s

T

1

Ms

の場合Ms 2

)()()( 2 MPTXX s

逆フーリエ変換

)2/()( SatP

の畳み込みと )]([F)()( 2

1 MTPtxtx s

なので、

の時

)(2)(

)()(

ftF

Ftf

)()]([F 2

1 tSaT

TP MM

M

n

M

n

M

M

n

Ms

M

MMM

M

MsMs

nTtSanTx

dnTtSax

dtSanTxtSatxtx

t

ttSatSa

TTP

T

M

))(()(

)())(()(

))(()}()({)(*)()(

sin)()()]([F

22

2

1

なので、としたとき、

いる！異なったものになってがいつのまにか定義ととしており、

では教科書３２ページ式

)(

sin*)()()(*)()(*)()(

(2.67)

tx

t

tnTtnTxtSatxthtxtx

s

M

M

n

Mss

標本化定理

０

１

MM

MX 0)(帯域制限信号

):( 整数nnTn M

n

M

n M

M

nTtSanTx

nTt

nTtnTxtx

))(()(

)(

)](sin[)()(

のとき、Ms 2

標本化された信号のフーリエ変換

標本化パルス系列

n

T nTtt )()(

t

フーリエ変換

T

n

ssT n )()(

s


)()(,)()( GtgFtf

)()()()(*)()( GFWtgtft

duuGuFtgtf )()(

2

1)()(

フーリエ変換と畳み込み

(b) 処理対象の信号

)( 0tf

)(tf

)()( 00 ttgtf

(c) フィルタ関数を平行移動して倍する 0t )( 0tf

畳み込み：

dtgftgtf )()()(*)(

(a) フィルタ関数（インパルス応答）

(d) を変化させたときの波形 0t

(e) (d)の波形を全て重ね合わせて加算した信号

)(*)( tgtf

０

１

MM

n

ssT n )()(

s

０ Ms Ms M s

T

1

の場合Ms 2

畳み込み：

duuGuF )()(

２次元信号の標本化

２次元フーリエ変換

dxdyvyuxjyxfvuF )}(exp{),(),(

dudvvyuxjvuFyxf )}(exp{),()2(

1),(

2

標本化格子： ,...)2,1,0, ),(( 21 nmyxrrnrmrmn

周波数領域の

双対格子：

ji

jir

qpvuqp

ji

pq

0

1

,...))2,1,0, ),(( 21

　　　　

但し

x

y

u

v

標本化格子： ,...)2,1,0, ),(( 21 nmyxrrnrmrmn

周波数領域の

双対格子：

ji

jir

qpvuqp

ji

pq

0

1

,...))2,1,0, ),(( 21

　　　　

但し

2r

1r

2

1

２次元信号の標本化定理

１次元信号の場合

２次元信号の場合

n

s nTttxtx )()()(

n

ss nXT

X )(1

)(

の面積で作られる平行四辺形21, :A

)(A

1 )(

)()( )(

rr

FF

rrrfrf

p q

pqs

m n

mns

２次元信号の標本化

標本化定理の意味

０ Ms Ms M s

T

1

の場合Ms 2

)()()( MPTXX s

逆フーリエ変換

の畳込みと )]([F)()( 1 MTPtxtx s

):( 整数nnTn M

n

M

n M

M

nTtSanTx

nTt

nTtnTxtx

))(()(

)(

)](sin[)()(

る。間と見なすことができこれは、離散信号の補

の値が求められる。における以外の任意の

てを畳み込むことによっと標本化された信号

つまり、

)(

)()(

txtnTt

tSatx Ms

t

離散信号の補間法(I)

t

t t Tt Tt

　

1

のとき　　

のとき　　　　

t

tttxtx )()(ˆ

１．最近傍補間

　)()()(ˆ txtxtx

２．線形補間

離散信号の補間法(II)

３．３次多項式補間

|)|2(0

)2||1(||||5||84

)1||0(||||21

)()()()(ˆ 32

32

t

tttt

ttt

tCnTtCnTxtxn

　　　　　　　　　　

　　　

　　　　　

　

４．標本化定理

):( 整数nnTn M

n

M

n M

M

nTtSanTx

nTt

nTtnTxtx

))(()(

)(

)](sin[)()(

tnT

課題９課題１８

行いなさい。

の値をいろいろ変えて、計算においては、

。との誤差を描きなさいそれぞれ計算で求め、

をの復元結果の関数補間、標本化定理で元

補間、３次多項式から最近傍補間、線形関数

で標本化したを標本化周波数また、

なさい。両者の誤差関数を描き

の近似関数であるが、は補間関数

s

s

s

tx

txtx

tx

ttx

tSatC

0

0

)(

)(ˆ)(

)(

sin)(

)()(

補間が必要となる処理

• サンプリング周波数の変換

– Downsampling：サンプリング周波数を下げる

– Upsampling：サンプリング周波数を上げる

• 画像の拡大縮小・回転・座標系の変換

画像の幾何学的変換・補正

計算

幾何学的変換幾何学的変換

原画像（白枠の部分を拡大）

最近傍補間線形補間

１．ホームページにある音データに対して、

1/2のdownsamplingおよび2倍のupsamplingを行ったものを

そのまま音として聞くとどのようになるかを調べなさい。

（音再生ソフトは再生する音データのサンプリング周波数が

固定あるいは可変になっている。）

２．通常のＮＴＳＣ規格のビデオ映像（640x480画素）を

ハイビジョンテレビ（ 1920×1080 画素）で映す場合および

その逆の場合には、どのような処理をすればよいか

考えなさい。

課題１９

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