BOUNDARY LAYER (LAPISAN BATAS)

Sub-chapters11.1. Prandtl’s boundary layer

equations 11.2. The steady-flow laminar boundary

layer on a flat plate parallel to the flow

11.3. Turbulent boundary layers11.4. Turbulent flow in pipes11.5. The steady, turbulent boundary

layer on a flat plate

1. Prandtl’s Boundary Layer EquationsSimplifikasi boundary layer oleh Ludwig Prandtl

• Permukaan padatan dipakai sebagai sumbu x, lihat Gambar 1.

• Gravitasi tidak penting dibanding gaya-gaya lain

• Aliran 2-dimensi dalam arah x dan y. Karena itu Vz = 0, dVx/dz, dVy/dz dan dVz/dz = 0.

• Aliran pada arah y sangat lambat dibanding arah x (Vy << Vx) sehingga P/ y 0

(2Vx/x2) dalam neraca momentum << (2Vx/y2) sehingga (2Vx/y2) diabaikan. Gradien Vx arah y sangat besar.

.

Dengan simplifikasi ini, persamaan neraca momentum menjadi

(11.1)

Neraca massa dengan densitas konstan (11.2)

Pers (11.1) dan (11.2) ini dinamakan boundary-layer eqns atau Prandtl’s boundary-layer equations.

2

2

1x xy

xx

xV V V VPV V

t x y x y

0yxVV

x y

Aliran dalam pipa mungkin laminar atau turbulen. Pers (11.1) dan (11.2) berlaku pada aliran laminar.

.

2. Boundary-layer laminar pada pelat datar sejajar aliran

Pada boundary-layer laminar (lihat Gambar 2) Vx and Vy = 0 pada y = 0

Vx = V pada y jauh dari dinding = V

Vy = 0 pada seluruh x dan y

P/x = 0 di dalam boundary-layer. P di dalam boundary layer P di luar boundary layer

Maka Pers 11.1 menjadi

(11.4)2x

2x

yx

x y

V

y

VV

x

VV

Jika ujung pelat digerakkan dalam fluida diam

(11.5)

dan

di mana erf adalah Gauss’ error function

Maka Vx = f(t) atau f(x/V)

• Gambar 11.3 menunjukkan korelasi di pelat tipis

0 50 1 11 62

.x

yV e

tfV r ( . )

2x

2x

y

V

t

V

2

0 5 0

2 x

.erf x e d

2.1. Boundary Layer Thickness Gambar 3 menunjukkan distribusi Vx sebagai

fungsi dari y. Pada posisi di mana Vx/V 1, 5 (11.9)

adalah boundary layer thickness, yang besarnya fungsi dari jarak x. Maka boundary layer tumbuh sebanding dengan akar jarak dari ujung pelat.

Pers 11.9 dinamakan Blasius’ solution. Rumus ini berlaku pada pelat datar maupun pelat sedikit berkurva seperti permukaan sayap pesawat.

5,0

V

x

Contoh 1. Hitunglah Pada titik di sayap pesawat 2ft dari leading

edge ketika pesawat terbang 200 mi/jam di udara.

Pada titik 2 ft dari hidung kapal ketika bergerak 10 mi/jam di air

Jawaban:

a. Untuk udara,

= 5

b. Untuk air,

= 5

mm6,1ft10x23,5

s3600/hxmi/ft5280xh/mi200

ft2xs/ft10x61,1

3

5,024

mm8,1in07,0ft10x07,6

s3600/hxmi/ft5280xh/mi10

ft2xs/ft10x08,1

3

5,025

Gaya gesek (drag force) pada pelat bisa diperoleh dari

= (1.5)

Diferensial absis di Gambar 3 terhadap Vx pada x konstan menghasilkan

(11.10)

atau

(11.11)

dy

dVx

xx

5,0

xx dV

dy

x

V

dV

d

d

V/Vd

x

VV

dy

dV x5,0

x

Suku kiri Pers (11.11) disubstitusi ke Pers (1.5) untuk mendapatkan shear stress. Kemudian shear stress digunakan untuk menghitung gaya gesek.

Pada y=0 atau = 0 (di permukaan), di Gambar 3= 0,332. Maka, shear stress di sebarang titik di permukaan adalah

0 = 0,332 V (V/(x))0.5 (11.12)Koefisien gesek setempat (local drag coefficient),

dengan tanda apostrop (‘)(11.13)

20

fV5,0

C

d

V/Vd x

maka

(11.14)

(11.15)

maka

(11.16)

5,05,0

2f xV664,0

x

V

V

V..

5,0

332,0C

xV

Rex

f 0,5x

0,664C

Re

Gambar 4 menunjukkan plot untuk local drag coefficient. Plot untuk aliran laminar memenuhi Pers 11.16.

Pada leading edge pelat (x=0) Rex = 0 = Secara fisik tidak realistis sehingga Pers 11.16 tidak benar pada daerah dekat leading edge.

memberikan drag force local, yang mana tidak praktis. Data drag force keseluruhan pelat lebih berguna. Gaya pada pelat dengan lebar W adalah. (11.17)

fC

fC

dxWFx

00

Drag coefficient untuk keseluruhan pelat adalah

(11.18)

Substitusi Pers 11.16 ke Pers 11.18

(11.19)

dACA

1

AV5,0

FC f5,0f

5,0

x2

x

0

5,0

f Re

328,1

WxV5,0

x/dx/VVW332,0C

Contoh 2. Pelat 1 m2 ditarik di belakang kapal menggunakan kawat tipis dan panjang sehingga tak mengganggu aliran. Boundary layer pada kedua sisi pelat adalah laminar. Kecepatan kapal = 15 km/jam. Berapa gaya yang diperlukan untuk menarik pelat?

Jawab:Reynolds number:

6

26

3

x 10x15,4s3600

h.

s/m10x004,1

m1.h/m10x15Re

Maka

dan

=11,3 N=2,54 lbf

4

5,06f 10x52,610x15,4

328,1C

m.kg

s.N.m2.

s

m.

3600

15000.

m

kg2,998.5,0.10x52,6F

22

2

3

4

2.2. Displacement Thickness *Gambar 5 memberikan penjelasan untuk *

untuk system pelat dengan lebar W ( gambar). Streamlines di sebelah kanan ujung pelat menggambarkan seolah-olah terjadi kenaikan tebal aliran sebesar * karena boundary layer. Neraca materialnya adalah:

. (11.20)

Dengan membagi Pers 11.20 dengan W dan mengurangi V* pada kedua sisi, maka

(11.21)

atau (11.22)

. (11.22a)

Pengertian fisik displacement thickness * ditunjukkan oleh Pers (11.22a) dan Gambar 6. Besarnya * adalah ketebalan boundary layer yang seolah-olah mempunyai kecepatan uniform sebesar V. Pers 11.22 berlaku baik aliran laminar maupun turbulen.

*y

0xdyVWyWV

*y

0x

** dyVyVV

dyV

V1

V

dy)VV( *y

0

x

*y

0x

*

*y

*x

0

V V V dy

.

Dengan mengalikan kedua sisi Pers 11.22 dengan maka diperoleh

(11.23)

5.0

x

V

5,0*

5,0

0

x

x

V

x

Vyd

V

V1

• Karena adanya boundary layer, aliran melalui suatu titik pada permukaan berkurang oleh volume ekivalen area hitam di Gambar 6 kanan.

• Pengurangan volume ini diberikan oleh integral .

• Kalau area disamakan dengan area hitam di gambar 6 tengah, yang volumenya *V, maka * didefinisikan sebagai jarak di mana permukaan harus bergerak dalam arah y untuk mengurangi volume yang ekivalen dengan volume karena efek boundary layer.

xV V dy

Integrasi Pers 11.23 dengan menggunakan daerah sebelah kiri di atas kurva Gambar 3 akan diperoleh nilai sebesar 1,72, sehingga Pers 11.23 menjadi

(11.24)

Perbandingan Pers 11.24 dan Pers 11.9 menunjukkan bahwa */ = 1,72/5 atau 1/3.

5,0

*

V

x72,1

2.3. Momentum Thickness Gambar 7 menunjukkan system untuk neraca

momentum.

Neraca momentum:Momentum masuk – momentum keluar + gaya

gesek = 0

Bila gaya gesek diberikan ke fluida yang seolah-olah mengalir dengan kecepatan uniform V, maka perubahan momentum fluida karena perubahan ketebalan sebesar = WV.V dan dari Pers (11.17)

(11.25)

atau (11.26)

Dengan nilai 0 yang diketahui dari Pers 11.12, maka

(11.27)

x

002dx

V

1

dx

dV2

0

5,0x

x

05,0

5,0

2 Re

664,0

x

dxVV322,0

V

1

Perbandingan Pers 11.27 dan Pers 11.9 menunjukkan bahwa /* = 0,664/5 1/8.

Dengan neraca momentum di Gambar 7 maka (11.28)

atau . (11.28a)

Pers (11.28a) menunjukkan momentum ekivalen oleh kecepatan uniform V karena ketebalan = momentum karena kecepatan.

Pers (11.28) berlaku juga untuk aliran turbulen.

dyV

V1

V

V x

0

x

2x x

0

V V V V dy

3. Turbulent Boundary LayersAliran di boundary layer mungkin laminar atau

turbulen. Di pipa transisi terjadi pada Re 2000 atau lebih tinggi bila dinding pipa sangat halus atau vibrasi 0.

Pada pelat datar, transisi terjadi pada Re dari 3,5x105 hingga 2,8x106.

Transisi sangat dipengaruhi oleh kekasaran permukaan dan turbulensi aliran utama.

Gambar 8 menunjukkan boundary layer pada permukaan halus yang cukup panjang. Pada boundary layer turbulen terdapat laminar sublayer.

Aliran laminar mudah diprediksi. Aliran turbulen sulit diprediksi dan memerlukan percobaan.

Pada aliran turbulen kecepatan pada suatu titik berfluktuasi terhadap waktu, maka berlaku

. (11.29)di mana

(11.30)

avV V

t

0av Vdt

t

1V

4. Turbulent Flow in PipesAda shear stress karena friksi antara dinding

pipa dan fluida dan Reynolds stress karena friksi antar fluida yang mempunyai velocity yang berbeda.

Terdapat perbedaan profil velocity sebagai fungsi radius dalam pipa (lihat Gambar 9). Aliran laminar berbentuk parabolic, aliran turbulen berbentuk plug-flow (velocity uniform pada penampang pipa).

Baik aliran laminar maupun turbulen, eddy pada dinding pipa hilang dan memenuhi 0 = . Gradien aliran turbulen lebih besar. dy

dVx

Aliran turbulen memenuhi

(11.31)

di mana nilai n bervariasi dari 1/10 pada Re tertinggi ke 1/6 pada Re terendah.

Gambar 10 adalah distribusi kecepatan universal untuk aliran turbulen untuk pipa halus. Terdapat dua variable, u+ dan y+.

dan di mana x = rwall – r

n

wallcentrelinex

x

r

r1

V

V

local time average velocityu x 2 / f

crosssec tional average velocity

2/f.Rey x

Di Gambar 10 terdapat variabel yang disebut friction velocity u*, yang besarnya

(11.32)

Gambar 10 menunjukkan 3 zone dari dinding pipa hingga sumbu pipa, yaitu: laminar sublayer, buffer layer dan turbulent core.

Laminar sublayer: shear stress karena viscous shear.

Turbulent core: shear stress karena turbulent Re stress.

Buffer layer: viscous and Re stress punya order of magnitude yang sama. Sulit mengukur di laminar sublayer dan buffer layer.

5,0

av,x

5,0

wall*

2

fVu

Contoh 3. Air mengalir dalam pipa halus 3 in ID dengan velocity rata-rata 10ft/s. Berapa jarak tepi laminar sublayer dan buffer layer dari dinding pipa? Berapa kecepatan rata-rata di titik-titik tsb?

Jawab:Dari Gambar 10 untuk pipa halus, f = 0,0037Dari Gambar 10 batas laminar sublayer u+

5 dan y+5, maka=1,2x10-4ft = 0,037mm

Pada tepi buffer layer u+ 12 dan y+ 26, maka

s/m79,0s/ft6,2s/ft44,0.5uuV *x

.

=1,2x10-4ft=0,037mmPada tepi buffer layer u+ 12 dan y+ 26, makaVx = 5,2 ft/s=1,59 m/s, rwall- r = 7 x 10-3 in = 0,18

mm.

s/ft44,0

s/ft10x08,1.5

u

yrr

*wall

5. Steady, Turbulent Boundary Layer on A Flat Plate

Tidak ada solusi analitis untuk boundary layer turbulen pada pelat datar. Asumsi-asumsi Prandtl:

Kecepatan rata-rata dalam arah x pada suatu titk memenuhi Pers 11.31 dengan pangkat 1/7 (Prandtl’s 1/7 power rule) dalam bentuk

(11.33)

Pada Re antara 3 x 103 dan 3 x 105, plot faktor friksi untuk pipa halus bisa digunakan

(11.34)

7/1

x y

V

V

5,0xRe

0791,0f

Kombinasi Pers 11.33 dan 11.34 menghasilkan(11.35)

Pers 11.35 dan persamaan2 lain menghasilkan(11.36)

(11.37)

Contoh 4.Speedboat menarik pelat halus dengan lebar = 1 ft

and panjang = 20 ft melalui air diam dengan kecepatan 50 ft/s.

Tentukan tebal boundary layer pada ujung pelat dan drag pada pelat!

2,0

xVx37,0

2,0x

f Re

0576,0C

2,0x

f Re

072,0C

Jawab:Pada ujung pelat,Dari Pers 11.35,

Sebagai pendekatan pertama, seluruh boundary layer turbulen, maka dengan Pers 11.37

=

=178 lbf =790 N

8

25x 10x93,0s/ft10x08,1

ft20.s/ft50Re

mm58in3,2ft189,010x93,0

ft20.37,02,08

AVCF 25,0f

ft.lbm2,32

s.lbf.ft1.ft20.2.

s

ft50.

ft

lbm3,62.5,0.

10x93,0

072,0 22

32,08

Untuk menentukan besarnya kesalahan dengan asumsi seluruh pelat turbulen, kita asumsikan bahwa transisi dari laminar ke turbulen terjadi pada Rex = 106. Ini berkaitan dengan jarak = 1/100 panjang pelat (=106/108); maka boundary layer untuk jarak 0,2 ft diasumsikan laminar. Untuk daerah ini drag karena laminar boundary layer diberikan oleh Pers 11.19

.

=1,3 lbf = 5,8 N

ft.lbm2,32

s.lbf.ft1.ft2,0.2.

s

ft50.

ft

lbm.3,62.5,0.

10

328,1F

2

5,06

Pada perhitungan yang mengasumsikan seluruh pelat pada kondisi turbulen, maka

= 4,4 lbf = 19,5 N

Dari 0 hingga 0,2 ft, perbedaan F antara laminar dan turbulen = 19,5 – 5,8 = 13,7 N, sangat kecil dibanding 790 N.

ft.lbm2,32

s.lbf.ft1.ft2,0.2.

s

ft50.

ft

lbm.3,62.5,0.

10

072,0F

2

2,06

Corrections for Chap 11.

Four corrections in deNevers’s bookEq. 11.27. = 0.664 x/Rex

0.5.

Eq. 11.34. f = 0.00791/Re0.25

Problem 11.14. 0 = 0.5 ρ Vx,avg2.f

Problem 11.14. 0/ρ = 0.225.V2 (/(V.))1/4