bobinas de rogowski
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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
DOCTORADO EN INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y AUTOMATICA
ESTUDIO DE UNA BOBINA DE ROGOWSKI
COMO SONDA DETECTORA DE PULSOS DE
ALTA FRECUENCIA
TRABAJO DE INVESTIGACION EN INGENIERIA ELECTRICA
MARTA ARGUESO MONTERO
Departamento de Ingenierıa Electrica
Directores:
Dr. D. Javier Sanz Feito
Dr. D. Guillermo Robles Munoz
Febrero 2005
Indice general
1. Introduccion 5
1.1. Objetivos y estructura del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. La bobina de Rogowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 8
2.1. Principio de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Modelos de la bobina de Rogowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1. Modelo de parametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2. Modelo de parametros distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3. Modelo de la bobina autointegradora . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Respuesta en frecuencia teorica de la bobina . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Influencia de la impedancia de terminacion, Z . . . . . . . . . . 16
2.3.2. Influencia de los parametros electricos del modelo de parametrosconcentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Calculo teorico de los parametros electricos 21
3.1. Calculo teorico de la sensibilidad y del ancho de banda de la bobina . . 24
4. Diseno de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta
frecuencia 25
4.1. Especificaciones de la bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
INDICE GENERAL 2
4.2. Implementacion de la bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Resultados experimentales 30
5.1. Medida de senales senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2. Medida de pulsos de un calibrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Conclusiones 34
6.1. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Lista de sımbolos
a diametro interior del nucleo de la bobina
A seccion transversal de la bobina
b diametro exterior del nucleo de la bobina
B induccion magnetica
Cc capacidad del modelo de parametros concentrados
Cd capacidad del modelo de parametros distribuidos
d diametro del hilo de la bobina
dl elemento de longitud infinitesimal
fres frecuencia de resonancia de la bobina
g distancia entre espiras
H intensidad de campo magnetico
i corriente medida
l longitud del nucleo de la bobina
Lc inductancia del modelo de parametros concentrados
Ld inductancia del modelo de parametros distribuidos
Lesp longitud de una espira
lCu longitud del hilo de la bobina
M inductancia mutua
N numero de espiras
r radio de la seccion del nucleo de la bobina
R radio medio del nucleo de la bobina
Rc resistencia del modelo de parametros concentrados
Rcir resistencia por la que circula la corriente, en los experimentos realizados
Rd resistencia del modelo de parametros distribuidos
3
Rout resistencia de terminacion o de medida
vcoil tension inducida total
vespira tension inducida en una espira
vout tension medida
W altura del nucleo de la bobina
Z impedancia de terminacion o de medida
α angulo formado entre la direccion del campo magnetico y la direccion de dl
∆Q carga desplazada en una descarga
ε0 permitividad electrica del aire
κ sensibilidad de la bobina
µ0 permeabilidad magnetica del aire
ρ resistividad del cobre
τ constante de tiempo del sistema
Φ flujo magnetico
4
Capıtulo 1
Introduccion
En las ultimas decadas, debido al desarrollo de la electronica de potencia, se haextendido el uso de inversores de alta frecuencia para el control de motores electricos.La tecnologıa IGBT (Insulated-Gate Bipolar Transistor, o transistor bipolar de puertaaislada) puede proporcionar pulsos muy rapidos, con un tiempo de subida de hasta 20ns, y con una frecuencia de conmutacion de 20 KHz. Cuando estas ondas con frentesde subida tan rapidos se desplazan desde el inversor hasta el motor, se produce unareflexion debido al desajuste de impedancias entre el cable y el motor. Esta ondareflejada regresa hacia el inversor, donde se induce otra reflexion debido al desajustede impedancias entre el cable y el inversor. Estas se suman a la tension original, conlo que, en los terminales del motor, se genera una sobretension en el frente de la ondade tension. En funcion de la longitud del cable, la magnitud de la sobretension puedellegar a ser de hasta tres veces la tension nominal.
Por tanto, el aislamiento de los motores alimentados mediante inversores es-tara sometido a esfuerzos mayores que cuando alimenta mediante tension senoidal.Si la tension en los terminales del motor supera la tension de aparicion de descargasparciales (PDIV, Partial Discharge Inception Voltage) del aislamiento, se pueden pro-ducir descargas parciales (DP) en los huecos del aislamiento. Las DP son uno de losfenomenos mas influyentes en el envejecimiento de los sistemas de aislamiento. Ası pues,su deteccion durante el funcionamiento de los motores puede ser un buen metodo paraconocer el estado del aislamiento del motor.
1.1. Objetivos y estructura del documento
El objetivo de este trabajo de investigacion es estudiar las posibilidades deaplicacion de una bobina de Rogowski para medir pulsos de alta frecuencia como los
5
1. Introduccion 6
que se producen en las DP.
Para ello, es necesario hallar la respuesta en frecuencia de la bobina y la sensibilidadque puede proporcionar. Ademas, se debe tener en cuenta como afectan sobre ambosdiversos factores de construccion de la bobina.
Este documento comienza explicando brevemente, en el capıtulo 2, el principio defuncionamiento de la bobina de Rogowski y exponiendo los modelos planteados en labibliografıa para explicar su comportamiento. En el ultimo apartado de este capıtulo,se expone cual es la respuesta en frecuencia teorica de la bobina. En el capıtulo 3se calcula el valor teorico de los parametros electricos de la bobina, ası como de susensibilidad y ancho de banda. Con los resultados obtenidos, se diseno una bobina quecumpliese las especificaciones requeridas para medir pulsos de alta frecuencia, segunse expone en el capıtulo 4. Los resultados experimentales se resumen en el capıtulo 5.Finalmente, en el capıtulo 6 se recogen las conclusiones de este trabajo.
1.2. La bobina de Rogowski
Una bobina de Rogowski [1] es esencialmente un solenoide toroidal que rodea unconductor por el que circula la corriente que se pretende medir. La bobina esta acopladamagneticamente al conductor y, por ello, se induce una tension proporcional al cambioen el tiempo de la corriente medida.
La implementacion de una bobina se puede hacer de diversas formas. El conductorse arrolla sobre un nucleo no ferromagnetico. Este nucleo puede ser simplemente untoroide rıgido, o tambien, puede ser flexible y no cerrado, de modo que pueda ser abiertopara colocarse alrededor del conductor en el que se va a medir la corriente. Algunosautores [2] senalan que aquellas bobinas devanadas sobre un nucleo rıgido ofrecen mejorprecision. Por el contrario, aquellas que pueden abrirse son propensas a cambiar suscaracterısticas debido al desplazamiento de las espiras.
El diseno mas simple de una bobina de Rogowski consiste en un devanado de unasola capa, como el que se muestra en la Figura 1.1.
El avance a lo largo del toroide del devanado helicoidal sumado a lo largo de todala circunferencia crea una vuelta perpendicular al eje del toroide. En caso de que existaalgun flujo magnetico paralelo a la bobina, este inducira una tension que se sumara ala inducida por el flujo creado por la corriente que se pretende medir. Para compensareste efecto indeseado, el devanado de la bobina se hace con una vuelta de retorno porel eje central de las espiras y en direccion opuesta al avance del devanado helicoidal.Como esta conectado electricamente en serie con la salida de la bobina, si existen flujosparalelos al eje de la bobina se induce una tension igual y opuesta en polaridad a la
1. Introduccion 7
Figura 1.1: Esquema de una bobina de Rogowski de una sola capa, con vuelta deretorno, [2].
inducida por el avance del devanado helicoidal, de modo que se compensa.
Las ventajas de una bobina de Rogowski para la medida de pulsos de corriente,respecto a los transformadores de corriente, son:
Linealidad. La medida es lineal debido a que el nucleo es de un material noferromagnetico y, por tanto, no se producen fenomenos de saturacion o histeresis.Esto significa que la misma bobina se puede utilizar para medir un amplio rangode corrientes.
Aislamiento galvanico. Por tanto, el circuito de medida esta aislado del circuitode potencia. Esto constituye una gran ventaja cuando se quieren medir grandesintensidades.
Buen ancho de banda. En la bibliografıa [3] hay ejemplos de bobinas que puedenmedir corrientes de frecuencias de algunos Hz hasta cientos de KHz.
Facilidad de uso, ya que no requieren un montaje especial.
Capıtulo 2
Funcionamiento y modelado de la
bobina de Rogowski
2.1. Principio de funcionamiento
Una bobina de Rogowski es un transformador de corriente. Consiste basicamenteen una bobina con nucleo de aire de forma toroidal a traves de la cual se hace circularla corriente que se desea medir.
Su uso como medidor de corrientes variables en el tiempo fue planteado porRogowski y Steinhaus [1] en 1912. Su principio de operacion es muy sencillo y aparecedescrito en la bibliografıa [4] [5]. Se basa, esencialmente, en que la corriente que sepretende medir crea un campo magnetico alrededor del conductor por el que circula.Al situar la bobina rodeando este conductor, el campo magnetico induce una diferenciade potencial entre los extremos de la bobina.
Tension inducida
La bobina de Rogowski puede ser considerada como un ejemplo de las leyes deAmpere y de Faraday. La primera describe como es el campo magnetico que se creaalrededor de un conductor por que el circula una corriente. En concreto, dice que lacirculacion del campo magnetico sobre un camino cerrado γ es igual a la corriente totalque atraviesa cualquier superficie apoyada en la curva. Matematicamente se expresa dela siguiente forma:
i =
∮
−→H−→dl =
∫ l
0
H cos αdl (2.1)
8
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 9
donde:
H es la intensidad de campo magnetico
dl es un elemento de longitud infinitesimal a lo largo del camino cerrado
α es el angulo formado entre la direccion del campo magnetico y la direccion de dl,como se ve en la Figura 2.1
La ley de Faraday-Lenz explica como este campo magnetico crea una diferenciade potencial entre los extremos de la bobina debido a la variacion del flujo de campomagnetico. En concreto, dice que la f.e.m. inducida en un circuito estacionario cerradoes igual y de signo contrario a la variacion del flujo magnetico que atraviesa el circuitorespecto del tiempo.
En la Figura 2.1 se muestra una bobina helicoidal, con n vueltas por metro y unaseccion transversal A, que rodea a un conductor por el que circula la corriente i que sepretende medir.
Figura 2.1: Elemento infinitesimal de longitud dl de la bobina, [6].
El flujo magnetico que atraviesa la seccion en un elemento infinitesimal de longituddl es dΦ. Este se obtiene a partir de la integral de superficie de la induccion magnetica~B en la superficie de la seccion del nucleo. La tension inducida en dl se obtiene, segunla ley de Faraday-Lenz, como la derivada respecto del tiempo del flujo magnetico.
vespira = −dΦ
dt= −
d
dt(
∫
S
−→Bd
−→S ) = −
d
dt(
∫
S
µ0
−→Hd
−→S ) = −µ0A
dH
dtcos α (2.2)
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 10
Integrando a lo largo de la longitud de toda la bobina se obtiene la expresion de latension inducida total.
vcoil =
∫ l
0
vespiraNdl = −µ0AN
∫ l
0
dH
dtcos αdl = (2.3)
= −µ0ANd
dt
∫ l
0
dH cos αdl = −µ0ANdi
dt
Ası, queda establecida la relacion entre la corriente que se pretende medir y latension inducida en la bobina. De forma general, se puede decir que el campo magneticoproducido por la variacion de corriente que circula por el conductor induce en labobina una tension proporcional al cambio de la corriente, di/dt, siendo la constante deproporcionalidad la inductancia mutua de la bobina, M . El resultado queda expresadoen la siguiente ecuacion:
vcoil = −Mdi
dt(2.4)
siendo la inductancia mutua M igual a:
M = µ0AN (2.5)
La integral de lınea de la ley de Ampere requiere una bobina con una secciontransversal nula. En ese caso, la tension proporcionada a la salida de la bobina deRogowski serıa independiente de la forma del camino cerrado y de la posicion delconductor respecto de la bobina. Sin embargo, el devanado helicoidal de la bobinase realiza sobre un nucleo que tiene una seccion transversal no nula, por lo que secrea un volumen que solo se aproxima al requerimiento estricto de la ley de Ampere.Por tanto, la bobina tendra un error de posicion asociado. Este error se puede hacermınimo si todas las vueltas se realizan con la misma seccion transversal y se distribuyenuniformemente alrededor de una trayectoria circular.
Integracion de la tension inducida
Como se ha visto, la tension inducida en la bobina es proporcional a la derivada dela corriente que se pretende medir. Por tanto, para obtener una senal proporcional ala corriente hay que integrar la tension medida.
En la bibliografıa se plantean varias alternativas:
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 11
Circuito integrador pasivo, utilizando resistencias y condensadores [3], como seve en la Figura 2.2. Este tipo de integracion se utiliza para frecuencias elevadasya que integra a partir de una decada por encima del polo del sistema.
Circuito integrador activo, mediante el uso de amplificadores operacionales, comoel de la Figura 2.3. Mediante modificaciones de este circuito [7] se pueden obteneranchos de banda desde muy bajas frecuencias hasta frecuencias altas (del ordende algunos MHz).
Autointegracion [4], que aprovecha la inductancia de la bobina y, por tanto,no requiere un circuito integrador externo. Esta tecnica proporciona un anchode banda limitado pero permite realizar medidas a frecuencias muy elevadas.Dado que para la aplicacion que se le quiere dar a la bobina de Rogowski senecesita medir frecuencias del orden de decenas MHz, esta es la opcion elegidapara integrar. Mas adelante, se explica su funcionamiento a distintas frecuencias.
Figura 2.2: Modelo del circuito integrador pasivo, [3].
2.2. Modelos de la bobina de Rogowski
Para estudiar el comportamiento teorico de la bobina, tanto en tiempo como enfrecuencia, se han empleado dos modelos: el modelo de parametros concentrados [8],[3], [6] y el modelo de parametros distribuidos [4].
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 12
Figura 2.3: Modelo del circuito integrador activo mediante el uso de amplificadoresoperacionales, [3].
2.2.1. Modelo de parametros concentrados
Este modelo resulta mas sencillo e intuitivo que el de parametros distribuidos. Seconsidera que la bobina es equivalente al circuito de la Figura 2.4 donde Rc es laresistencia de la bobina, Lc su inductancia y Cc la capacidad parasita. Segun la fuenteconsultada, el modelo tiene en cuenta [6] o no [3] la resistencia serie de la bobina Rc.
+− ZCc
LcRc
vcoil=M di/dt
+
-
vout
Figura 2.4: Modelo de parametros concentrados, [6].
Si a la salida de la bobina se coloca una impedancia de medida Z la funcion detransferencia de este modelo queda:
vout
vcoil
=Z
LcZCcs2 + (Lc + RcZCc)s + Rc + Z(2.6)
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 13
2.2.2. Modelo de parametros distribuidos
En este modelo, desarrollado en 1963 por Cooper [4], se considera la bobinacomo una lınea de parametros distribuidos de longitud infinitesimal. Las ecuacionesresultantes se integran a lo largo de toda la longitud de la bobina para obtener lasmagnitudes macroscopicas. Los componentes del elemento diferencial se representanen la Figura 2.5. Ldx y R′dx representan la inductancia y la resistencia de la bobinapropiamente dicha y Rdx representa la resistencia del hilo de retorno. La capacidadentre las espiras de la bobina y la vuelta de retorno se representa por el elemento Cdx.Ademas, se representa dos tensiones:
vdx que es la tension por unidad de longitud inducida por el campo magnetico creadopor la corriente i.
v′dx que es la tension por unidad de longitud inducida por los campos magneticosperpendiculares al plano de la bobina y que se contrarresta con la vuelta deretorno.
Figura 2.5: Circuito equivalente del modelo de parametros distribuidos, [4].
Las ecuaciones que rigen el comportamiento del elemento diferencial descrito sonlas siguientes:
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 14
∂v1
∂x= −L
∂i1∂x
− u1R′ + v + v′ (2.7)
∂v2
∂x= −i2R + v′ (2.8)
∂i1∂x
= −C∂
∂t(v1 − v2) (2.9)
δi1 + δi2 = 0 (2.10)
Si se parte de estas ecuaciones y se integran a lo largo de la longitud de la bobina,suponiendo que el hilo por el que circula la corriente esta centrado en el lazo de labobina, se obtiene la tension en bornes de la bobina. Para ello, hay que tener en cuentalas siguientes condiciones de contorno:
x = 0
vout = V (0)i1(0) = vout
Z
v2(0) = 0
x = l
i1 = −i2V (l) = 0
siendo vout = v1 − v2.
De este modo, cuando se conecta a la bobina una impedancia de terminacion Z latension vout entre sus extremos en funcion de la tension inducida queda:
vout
vcoil
=1
l
ZsLd+Rd
1 + ZZ0
· 1+e−2γl
1−e−2γl
(2.11)
donde l es la longitud de la bobina y Z0 y γ se definen como:
Z0 =√
(sLd + Rd)/sCd
γ =√
sCd(sLd + Rd)
2.2.3. Modelo de la bobina autointegradora
A partir del modelo de parametros distribuidos, Cooper [4] explico el comportamien-to de la bobina autointegradora. Consiste en la integracion de la senal de tension querealiza la inductancia de la propia bobina junto con la impedancia de terminacioncuando esta cumple unas determinadas caracterısticas.
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 15
Si la impedancia Z es mucho menor que la impedancia caracterıstica de la bobina(Z Z0), el denominador de la ecuacion 2.11 tiende a 1 y la funcion de transferenciaqueda de la siguiente forma:
vout
vcoil
=1
l
Z
sLd + Rd
(2.12)
La bobina integra si la constante de tiempo del sistema, τ = Ld/Rd, es mayor queel pulso de corriente que se pretende medir.
En ese caso, Rd se puede despreciar frente a sLd y la ecuacion 2.12 queda:
vout
vcoil
=1
l
Z
sLd
(2.13)
Si tomamos Z como un elemento resistivo puro la bobina se comporta como unintegrador. En este caso, para medir corrientes de alta frecuencia no es necesario utilizarun circuito externo a la bobina.
En el siguiente apartado, donde se explica el comportamiento en frecuencia dela bobina, se vera que si en el modelo de parametros concentrados se conecta unaimpedancia de terminacion Z suficientemente pequena la bobina integra en una bandade frecuencias.
2.3. Respuesta en frecuencia teorica de la bobina
Para comparar los distintos modelos de la bobina y contrastar su equivalencia en elrango de frecuencias en el que se quieren medir pulsos de corriente, se analizara lainfluencia de la impedancia de terminacion en la respuesta de la sonda y de losparametros electricos del modelo.
Se supondran unos valores iniciales de los parametros de la bobina. De este modo,se puede estudiar tambien su influencia en la respuesta en frecuencia. Se partira, portanto, de los siguientes valores:
Rc = 0,1 Ω
Lc = 0,1 µH
Cc = 1 pF
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 16
Resumiendo lo expuesto en apartados previos, las funciones de transferencia de losmodelos considerados eran:
Modelo de parametros distribuidos
vout
vcoil
=1
l
ZsLd+Rd
1 + ZZ0
· 1+e−2γl
1−e−2γl
(2.14)
donde l es la longitud de la bobina, y Z0 y γ se definen como:
Z0 =√
(sLd + Rd)/sCd
γ =√
sCd(sLd + Rd)
Modelo de parametros concentrados
vout
vcoil
=Z
LcZCcs2 + (Lc + RcZCc)s + Rc + Z(2.15)
Suponiendo que en los extremos de la bobina se ha conectado una resistenciaZ = Rout = 1 Ω, los diagramas de Bode correspondientes a ambos modelos son los de laFigura 2.6, donde la lınea de puntos corresponde al modelo de parametros concentrados,y la lınea continua corresponde al modelo de parametros distribuidos.
Ambas funciones de transferencia son equivalentes, tanto en fase como en frecuencia,hasta 10 GHz. A partir de entonces, en la grafica correspondiente al modelo deparametros concentrados, aparece un segundo polo. De cualquier modo, se consigueintegrar en la banda de frecuencias de interes. En el resto del documento setrabajara con el modelo de parametros concentrados, ya que este resulta mas sencilloy ademas es mas restrictivo en cuanto a la banda de frecuencias en la que integra.
2.3.1. Influencia de la impedancia de terminacion, Z
Segun el modelo de parametros distribuidos, la bobina es autointegradora cuandola impedancia de terminacion es suficientemente pequena, Z Z0.
En el caso del modelo de parametros concentrados se puede obtener la expresion2.16, correspondiente a los polos del sistema. A partir de esta se deduce que, en funciondel valor de Z, los polos seran reales y distintos, reales e iguales o imaginarios.
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 17
102
104
106
108
1010
1012
−200
−100
0
Gan
anci
a (d
B)
Frequencia (Hz)
102
104
106
108
1010
1012
−200
−150
−100
−50
0
Fas
e (º
)
Frequencia (Hz)
Figura 2.6: Diagramas de Bode de los dos modelos, para una resistencia de terminacionde Rout = 1 Ω.
s =−(1 + RcZ
Z2e
) ±√
1 + R2cZ2
Z4e
− 2RcZZ2
e− 4Z2
Z2e
2Lc
Z2e
Z(2.16)
donde Ze =√
Lc/Cc.
Los polos seran:
Imaginarios si Z Ze.
Reales e iguales si se anula el discriminante, es decir, si Z = Rc±2Ze
(Rc/Ze)2−4.
Reales y distintos si Z Ze.
En el primer caso el sistema resulta oscilante. Si los polos son reales e iguales, elsistema esta crıticamente amortiguado y no integra la senal de entrada. Por ultimo, silos polos son reales y distintos, existe una banda de frecuencias en las que el sistemaintegra la senal de entrada. De hecho, cuanto menor sea Z, mayor es la banda en la quese puede integrar. Todo esto queda reflejado en diagrama de Bode de la Figura 2.7.
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 18
102
104
106
108
1010
1012
−200
−100
0
Gan
anci
a (d
B)
Frecuencia (Hz)
102
104
106
108
1010
1012
−200
−150
−100
−50
0
Fas
e (º
)
Frecuencia (Hz)
Z = 2e5 ohms
Z = Z0
Z = 0.2 ohms
Z = 2e5 ohmsZ = Z0
Z = 0.2 ohms
Figura 2.7: Diagramas de Bode del modelo de parametros concentrados, con diferentesimpedancias de terminacion.
2.3.2. Influencia de los parametros electricos del modelo de
parametros concentrados
A continuacion se estudia como influye el valor de los parametros electricos enla respuesta en frecuencia de la bobina. El estudio se ha hecho para el modelo deparametros concentrados. La extrapolacion al modelo de parametros distribuidos sepuede hacer considerando que en este ultimo solo aparece el primero de los polos.
Para el desarrollo de los diagramas se han fijado dos de los parametros concentradosy se varıa el tercero. Los valores de los parametros fijos son los del apartado anterior.En todos los casos se ha considerado una resistencia de terminacion de Rout = 1 Ω.
Influencia de la resistencia, Rc
En la grafica de la Figura 2.8 se representan los diagramas de Bode correspondientesa Rc =0.01, 0.02, 0.05, 1, 2, 5 y 100 Ω. La flecha senala hacia donde se desplaza eldiagrama de Bode a medida que aumenta Rc. Se observa que la frecuencia del primerpolo aumenta y, por tanto, el ancho de banda disminuye.
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 19
−200
−150
−100
−50
0
Mag
nitu
de (
dB)
106
108
1010
1012
1014
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Rc aumenta
Rc aumenta
Figura 2.8: Variacion en el diagramas de Bode ante un cambio de Rc.
Influencia de la inductancia, Lc
En la Figura 2.9 se representan los diagramas de Bode correspondientes a Lc =0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5 y 1 µH. Se observa que el aumento de Lc supone unadisminucion en la frecuencia del primer polo, mientras que el segundo polo no varıa.Esto conlleva un aumento del ancho de banda pero tambien una disminucion de lasensibilidad en la banda de integracion.
Influencia de la capacitancia, Cc
En este caso, se han representado los diagramas de Bode correspondientes a Cc =1, 2, 5, 10, 20, 50 y 100 pF . Como se puede ver en la Figura 2.10 cuando aumenta Cc
es la frecuencia del segundo polo la que disminuye. Esto supone una disminucion delancho de banda.
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski 20
−200
−150
−100
−50
0
Mag
nitu
de (
dB)
104
106
108
1010
1012
1014
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Lc aumenta
Lc aumenta
Figura 2.9: Variacion en el diagramas de Bode ante un cambio de Lc.
−200
−150
−100
−50
0
Mag
nitu
de (
dB)
106
108
1010
1012
1014
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Cc aumenta
Cc aumenta
Figura 2.10: Variacion en el diagramas de Bode ante un cambio de Cc.
Capıtulo 3
Calculo teorico de los parametros
electricos
Para obtener los parametros caracterısticos de ambos modelos, se calcularan losparametros concentrados de la bobina. A partir de ellos, y suponiendo una distribucionhomogenea de parametros distribuidos a lo largo de la longitud de la bobina, seobtendran estos dividiendo por la longitud de la lınea media del nucleo de la bobina.
Se deben tener en cuenta las siguientes caracterısticas geometricas de la bobina ylos materiales empleados:
El diametro interior y exterior y la altura del nucleo de la bobina: a, b y W
La longitud y el diametro del hilo de cobre que forma la bobina: lCu y d
El numero de espiras: N
La resistividad del cobre: ρ = 1,56 · 10−8 Ω · m
La permeabilidad magnetica del nucleo de la bobina, que se aproximara a la delvacıo: µ0 = 4π · 10−7 H/m
La permitividad electrica del nucleo de la bobina, que tambien se aproxima a ladel vacıo: ε0 = 8,85 · 10−12 F/m
En la Figura 3.1 se identifican claramente las caracterısticas geometricas del nucleode la bobina definidas.
21
3. Calculo teorico de los parametros electricos 22
Figura 3.1: Dimensiones del nucleo de la bobina.
Resistencia, Rc
La resistencia Rc representa la oposicion al paso de la corriente electrica. Depende delas dimensiones del hilo conductor y de la resistividad del material con que este hecho,en este caso cobre. Su valor viene dado por la siguiente expresion:
Rc = ρlCu
πd2(3.1)
Inductancia propia, Lc
La inductancia propia Lc representa la influencia del campo magnetico creado porlas corrientes que circulan por la bobina sobre la tension inducida. Se calcula teniendoen cuenta la geometrıa del nucleo de la bobina, su permeabilidad y el numero de vueltas.En este caso, se trabajara con un nucleo de seccion rectangular, con lo que queda:
Lc =µ0N
2W
2πln
b
a(3.2)
3. Calculo teorico de los parametros electricos 23
Capacidad, Cc
La capacidad Cc tambien depende de las caracterısticas geometricas del nucleo dela bobina, ası como de la permitividad dielectrica del nucleo, que se ha consideradoequivalente a la de vacıo, ε0.
Se deben tener en cuenta las dos capacidades que aparecen en la bobina: lacapacidad entre espiras de la bobina, dada por la expresion 3.3, y la capacidad entrelas espiras y el hilo de retorno, dada por la expresion 3.4.
Cc =πε0Lesp
N ln( gd
+√
( gd)2 − 1)
(3.3)
donde:
Lesp = 2 · ( b−a2
+ W ) es la longitud de una espira.
g = 2πN
a+b2
es la distancia entre espiras.
Cc =2πε0l
ln Rr
(3.4)
donde
l = 2πR es la longitud del nucleo de la bobina.
R = a+b2
es el radio medio del nucleo de la bobina.
r = b−a2
es el radio de la seccion del nucleo de la bobina.
Influye mas la capacidad entre la vuelta de retorno y el resto de las espiras (ecuacion3.4).
Inductancia mutua, M
La inductancia mutua M representa la influencia de los campos magneticos creadospor corrientes externas a la bobina, en concreto, por la corriente i que se pretendemedir. Este parametro esta ıntimamente relacionado con la sensibilidad de la sonda.Su valor depende, de nuevo, de la geometrıa del nucleo y de la permeabilidad magneticay se puede calcular mediante la siguiente expresion:
3. Calculo teorico de los parametros electricos 24
M =µ0
2πNW ln
b
a(3.5)
Dada su relacion con la sensibilidad de la sonda, el calculo de M tambien se puedehacer experimentalmente a partir de los resultados de los ensayos.
3.1. Calculo teorico de la sensibilidad y del ancho
de banda de la bobina
La sensibilidad es el factor de proporcionalidad entre la senal de tension obtenida yla corriente que se desea medir y se expresa en V/A. Para calcularla hay que recordarlas ecuaciones 2.4 y 2.13. Si se expresa la primera de ellas en el dominio de la frecuenciaqueda:
vout =1
l
Rout
sLd
· vcoil =Rout
sLc
· Msi =Rout
Lc
Mi = κi (3.6)
de modo que la sensibilidad de la bobina, κ, es igual a:
κ =Rout
Lc
M (3.7)
El ancho de banda donde la bobina es autointegradora abarca desde una decadapor encima del primer polo hasta una decada por debajo del segundo. El valor de lospolos del sistema se calcula mediante la expresion 2.16.
Capıtulo 4
Diseno de una bobina de Rogowski
para detectar pulsos de alta
frecuencia
Conocido el funcionamiento y los modelos a partir de los que se estudia sucomportamiento, se puede pasar al diseno e implementacion de una bobina de Rogowskique permita detectar pulsos de alta frecuencia, como los que se producen en lasdescargas parciales.
4.1. Especificaciones de la bobina
El diseno de la bobina debe hacerse teniendo en cuenta el uso que se le quieredar. Se pretende medir pulsos del tipo de las descargas parciales (DP). Las DP tienentıpicamente una duracion de 5 a 500 ns, por lo que para su deteccion y medida serequiere una instrumentacion con un ancho de banda de 640 KHz a 64 MHz.
Por otro lado, la sensibilidad de la bobina debe ser suficientemente elevada paraque su deteccion sea posible. Las DP generan una carga aparente de, al menos, 300 pC.Suponiendo una duracion estandar de 5 ns, este movimiento de carga supone unacorriente de i = ∆Q/∆t = 60 mA. Para poder detectar esta corriente, es necesario quela sensibilidad de la bobina sea unos 0,08 V/A, de modo que se induzcan unos 5 mVen los extremos de la bobina, que pueden ser medidos por el osciloscopio disponible ydistinguidos del ruido que aparece durante el proceso de medida.
Se deben estudiar, por tanto, los parametros que influyen en el ancho de banday en la sensibilidad de la bobina. Ası, se puede elegir una geometrıa acorde a las
25
4. Diseno de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta frecuencia 26
especificaciones expuestas.
Analisis del ancho de banda
El ancho de banda de la bobina en el modelo de parametros concentradoscomo bobina autointegradora (es decir, cuando su resistencia de terminacion essuficientemente pequena) esta definido por la frecuencia de los polos del sistema. Sepueden calcular mediante la expresion 2.16. Se pretende que sea lo mayor posible y queabarque las frecuencias de interes, es decir, de unos 600 KHz a unos 100 MHz.
Anteriormente, se vio como afectaban los parametros electricos al ancho de banda.Se dedujo, de acuerdo a los diagramas de Bode calculados, que el ancho de banda esmayor cuanto mayor sea Lc y menores sean Rc y Cc.
En las expresiones 3.1, 3.2 y 3.4, que se muestran de nuevo a continuacion, se apreciacomo influyen los factores geometricos en los parametros Rc, Lc y Cc.
Rc = ρlCu
πd2
Lc =µ0N
2W
2πln
b
a
Cc =2πε0l
ln Rr
Para incrementar Lc, el numero de espiras N y la anchura del nucleo de la bobinaW deben aumentar. Tambien debe aumentar el cociente b/a, lo que supone incrementarel diametro exterior b y disminuir el diametro interior a.
Por otro lado, para que disminuya Cc deberıa disminuir el radio medio del nucleo, Ro aumentar el cociente R/r, aunque este segundo factor es menos determinante, puestoque es el argumento de un logaritmo.
Por tanto, para aumentar el ancho de banda debe disminuir R e incrementar N yW .
Analisis de la sensibilidad
Segun las estimaciones expuestas, la sensibilidad de la bobina debe ser de 0,08 V/Aaproximadamente. Los parametros que influyen en ella se pueden deducir a partir dela ecuacion 3.7.
4. Diseno de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta frecuencia 27
κ =Rout
Lc
M
Si se quiere aumentar la sensibilidad κ, con resistencia de terminacion Rout dada,debe disminuir Lc. Para ello, segun la formula 3.2 se deberıan disminuir N , W y elcociente b/a.
Si se modifica la geometrıa de la bobina en un sentido de modo que aumente lasensibilidad, el ancho de banda disminuira, y viceversa. Por tanto, es necesario adoptaruna solucion de compromiso.
4.2. Implementacion de la bobina
En primer lugar, se elige un nucleo no ferromagnetico que cumpla las especifica-ciones expuestas. La construccion de la bobina consiste basicamente en arrollar 12espiras de hilo de cobre sobre el nucleo, haciendolo retornar en una vuelta perpendicu-lar a todas las espiras para compensar la induccion de tension debido a cualquier flujoparalelo a la bobina que exista. En la Figura 4.1 se muestra una foto con el aspectofinal de la bobina fabricada, que tiene las dimensiones expuestas en la Tabla 4.1.
Tabla 4.1: Geometrıa del nucleo de la bobina.
Parametro geometrico Especificacion
Diametro interior, a 13 mmDiametro exterior, b 50 mm
Altura, W 50 mmNumero de vueltas, N 12
Parametros esperados
Teniendo en cuenta las ecuaciones 3.1 a 3.5, y segun las caracterısticas geometricaselegidas, el valor de los parametros electricos del modelo de parametros concentradosse especifican en la Tabla 4.2.
A partir de estos datos, se pueden calcular la sensibilidad y el ancho de banda queteoricamente deberıa proporcionar la bobina.
Dado que se quiere una sensibilidad de unos 0,08 V/A, de acuerdo con la ecuacion3.7, la resistencia de terminacion debe ser aproximadamente Rout = 1 Ω.
4. Diseno de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta frecuencia 28
Figura 4.1: Bobina fabricada.
Tabla 4.2: Parametros electricos calculados para el modelo de parametros concentrados.
Parametro Especificacion
Rc 0.23 ΩLc 1.94 µHCc 15 pFM 0.16 µH
A partir de la expresion 2.16, se calculan los polos del sistema para obtener el anchode banda de la bobina. Con los parametros calculados teoricamente, las frecuencias enlas que la bobina es autointegradora son las que estan entre 100 KHz y 7.7 GHz, conlo que se cumplen las especificaciones anteriormente expuestas.
Parametros obtenidos
Los parametros electricos del modelo de parametros concentrados se puedenobtener experimentalmente mediante el medidor de impedancias SOLARTRON SI1260, disponible en el Laboratorio de Alta Tension. Este equipo aplica una tensionconocida de distintas frecuencias, registrando la corriente que circula por la impedancia.Mediante el software proporcionado por el fabricante, se pueden ajustar estas medidasa un modelo determinado, con lo que se obtienen el valor de los parametros deese modelo. Si se ajustan los datos obtenidos al circuito equivalente del modelo deparametros concentrados (Figura 2.4) para tensiones entre 10 Hz y 10 MHz, el valorde la resistencia, inductancia y capacidad de la bobina son los que se muestran en laTabla 4.3.
4. Diseno de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta frecuencia 29
Tabla 4.3: Parametros electricos obtenidos por el medidor de impedancias.
Parametro Especificacion
Rc 0,2746 ± 0,0004 ΩLc 3,083 ± 0,005 µHCc 25,2 ± 0,4 pF
Al comparar estos valores con los obtenidos teoricamente se observa que el valor deRc resulta bastante similar en ambos casos. En cambio, el valor de Lc y de Cc, aunquedel mismo orden de magnitud, presentan una discrepancia apreciable. En el caso de lacapacidad Cc puede ser debido a que la permitividad relativa del plastico del nucleoes 3 o 4 y no 1 como se ha supuesto en los calculos. En cuanto a Lc, puede deberse ala suposicion de que el toroide tiene un devanado uniforme de muchas vueltas, y laslıneas de flujo magnetico estan confinadas en el interior del toroide, suponiendo cero ladensidad de flujo magnetico B en el exterior.
Capıtulo 5
Resultados experimentales
La bobina construida se sometio a varios ensayos en los que se trataba de medir lacorriente que circula por una resistencia. Se midieron dos tipos de senales: senoidalesy pulsos. Las resistencias de terminacion utilizadas se eligieron para cumplir loexpuesto en el apartado 2.3.1: deben ser menores que la impedancia caracterısticaZe =
√
Ll/Cl =√
Lc/Cc = 360 Ω para que la bobina sea autointegradora.
5.1. Medida de senales senoidales
El esquema utilizado para la medida de corrientes senoidales se muestra en la Figura5.1. La corriente i que se pretende medir es la que circula por la resistencia Rcir = 1 KΩalimentada por el generador de funciones. La bobina de Rogowski se situa rodeando alconductor que alimenta la resistencia Rcir.
Para comparar la corriente real que circula por esta resistencia con la senal captadapor la bobina de Rogowski, se mide en el canal 1 del osciloscopio la tension en Rcir.En el canal 2 se mide la caıda de tension vout que se produce en Rout promediandolamediante una de las funciones del osciloscopio.
Se realizaron medidas con varias resistencias de terminacion Rout. En la Figura 5.2se representan las ondas obtenidas con una tension de alimentacion de 9 V de pico y10 MHz para dos resistencias de terminacion:
Rout = 1 Ω
Rout = 10 Ω
30
5. Resultados experimentales 31
Figura 5.1: Esquema para la medida de senales senoidales.
En la Figura 5.2 se observa que, al medir con la resistencia de 10 Ω, la senal detension de salida se retrasa unos 30o, aunque su amplitud es mucho mayor que latension medida con la resistencia de 1 Ω. El desfase con esta ultima se hace nulo, conlo que se confirma que con una resistencia de terminacion suficientemente pequena labobina es autointegradora.
La sensibilidad κ es de 0.5 V/A y 0.06 V/A para Rout = 10 y 1 Ω, respectivamente.Esto concuerda con la proporcionalidad que debe existir entre las dos sensibilidades,de acuerdo con la expresion 3.7.
El valor de M que se deduce segun la expresion 3.7, a partir de la sensibilidadobtenida, es:
M =κLc
Rout
≈ 0,1 µH (5.1)
El valor calculado teoricamente era de 0,16 µH. El error es del 50 %, pero lamagnitud es del mismo orden.
5.2. Medida de pulsos de un calibrador
En la medida de pulsos, el esquema de medida es el que se muestra en la Figura5.3. En este caso, el generador de funciones es sustituido por un calibrador que genera
5. Resultados experimentales 32
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x 10−6
−0.01
−0.008
−0.006
−0.004
−0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
tiempo (s)
I (A
), V
out (
V)
I
VoutRout = 10 ohms
VoutRout = 1 ohms
Figura 5.2: Medidas obtenidas con dos resistencias de terminacion diferentes: 1 Ω y10 Ω.
pulsos con un tiempo de subida de 50 ns. En este caso es necesario medir la tensionen Rcir de modo diferencial ya que no existe una referencia de tierra en el generador.Por ello, la corriente i se calcula restando las entradas que se senalan como Ch1 y Ch2
en la Figura 5.3 y dividiendo por el valor de Rcir. Teniendo en cuenta los resultadosobtenidos en la medida de ondas senoidales, la resistencia de terminacion utilizada esRout = 1 Ω para evitar que exista desfase.
El pulso de salida se mide en el canal 3 del osciloscopio. En la senal original apareceuna oscilacion de unos 100 MHz superpuesta al pulso. Ray [7] indica que este tipo deoscilacion a la frecuencia de resonancia de la bobina aparece cuando la corriente medidapresenta discontinuidades o asimetrıas, como ocurre al medir un pulso. La frecuenciade resonancia de la bobina es:
fres =1
2√
LcCc
= 92,7 MHz (5.2)
Para eliminar la oscilacion que aparece en el pulso original a la frecuencia deresonancia se ha empleado un filtro matematico. Este filtro se basa en la convolucionen frecuencia de las componentes espectrales de la senal y una funcion de valor unidaden todo el espectro, salvo en la banda de frecuencias que se quiere suprimir, en dondesu valor es nulo. Es decir, se aplica una ventana a la parte de la senal que interesa y elresto se elimina. El filtro es ideal porque la ventana es cuadrada. Esto implica subidasy bajadas muy bruscas en frecuencia que se traducen en senales infinitamente largas
5. Resultados experimentales 33
Figura 5.3: Esquema para la medida de pulsos.
en el tiempo. La realizacion fısica de este filtro ideal es imposible pero se puede hacerun calculo matematico de la respuesta del filtro.
Despues de procesar la salida con este filtro, los pulsos obtenidos son los que semuestran en la Figura 5.4.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10−6
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Exc
itatio
n C
urre
nt (
A)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10−6
−3
−2
−1
0
1
2
3x 10
−3
Time (s)
Out
put V
olta
ge (
V)
Figura 5.4: Pulso medido con una resistencia de terminacion Rout = 1 Ω.
Capıtulo 6
Conclusiones
Con este trabajo de investigacion se ha hecho el estudio previo necesario para eldesarrollo de una sonda capaz de medir descargas parciales.
Se ha construido una sonda capaz de medir pulsos de alta frecuencia. Ası, se tieneun metodo simple y barato para detectar descargas parciales.
De este modo, es posible registrar la forma de los pulsos de DP en un osciloscopio,para poder estudiar cambios en las caracterısticas de los pulsos a medida que eldielectrico envejece.
Se ha deducido cual es la influencia de los parametros geometricos del nucleo de labobina sobre su respuesta en frecuencia, pudiendose comprobar que el cambio de losparametros que mejoran la sensibilidad, empeoran el ancho de banda y viceversa.
Experimentalmente, se ha verificado la equivalencia entre los dos modelos queaparecen en la bibliografıa estudiada, ya que se vio que ambos predicen la mismarespuesta de la bobina hasta una frecuencia muy elevada. A partir de esta no se hanpodido deducir conclusiones, puesto que no se disponıa de ningun medio para generarsenales de esas frecuencias.
6.1. Publicaciones
Este estudio ha dado lugar a un artıculo que en estos momentos esta siendo revisadopara su publicacion en Review of Scientific Instruments, cuyo tıtulo es Implementation
of a Rogowski coil for the measurement of partial discharges.
34
Indice de figuras
1.1. Esquema de una bobina de Rogowski de una sola capa, con vuelta deretorno, [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1. Elemento infinitesimal de longitud dl de la bobina, [6]. . . . . . . . . . 9
2.2. Modelo del circuito integrador pasivo, [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Modelo del circuito integrador activo mediante el uso de amplificadoresoperacionales, [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Modelo de parametros concentrados, [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5. Circuito equivalente del modelo de parametros distribuidos, [4]. . . . . 13
2.6. Diagramas de Bode de los dos modelos, para una resistencia determinacion de Rout = 1 Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7. Diagramas de Bode del modelo de parametros concentrados, condiferentes impedancias de terminacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8. Variacion en el diagramas de Bode ante un cambio de Rc. . . . . . . . . 19
2.9. Variacion en el diagramas de Bode ante un cambio de Lc. . . . . . . . . 20
2.10. Variacion en el diagramas de Bode ante un cambio de Cc. . . . . . . . . 20
3.1. Dimensiones del nucleo de la bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1. Bobina fabricada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1. Esquema para la medida de senales senoidales. . . . . . . . . . . . . . . 31
35
INDICE DE FIGURAS 36
5.2. Medidas obtenidas con dos resistencias de terminacion diferentes: 1 Ω y10 Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3. Esquema para la medida de pulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4. Pulso medido con una resistencia de terminacion Rout = 1 Ω. . . . . . . 33
Bibliografıa
[1] W. Rogowski and W. Steinhaus, “Die Messung der magnetische Spannung”, ArchElectrotech, vol. 1, pp. 141–150, 1912.
[2] J. D. Ramboz, “Machinable Rogowski coil. Design and calibration”, IEEETransactions on Instrumentation and Measurement, vol. 45, no. 2, pp. 511–515,April 1996.
[3] W. F. Ray and C. R. Hewson, “High performance Rogowski current transducers”,IEEE - IAS Conf. Proc., Sept. 2000.
[4] J. Cooper, “On the high-frequency response of a rogowski coil”, Plasma Physics(Journal of Nuclear Energy. Part C), vol. 5, pp. 285–289, 1963.
[5] W. F. Ray, “Wide bandwidth rogowski current transducers. part i: The rogowskicoil”, EPE Journal, vol. 3, no. 1, pp. 51–59, March 1993.
[6] D. A. Ward and J. La T. Exon, “Using rogowski coils for transient currentmeasurements”, Engineering Science and Education Journal, pp. 105–113, June1993.
[7] W. F. Ray, “Wide bandwidth rogowski current transducers. part ii: The integrator”,EPE Journal, vol. 3, no. 2, pp. 116–122, June 1993.
[8] D. G. Pellinen, M. S. Di Capua, S. E. Sampayan, H. Gerbracht, and M. Wang,“Rogowski coil for measuring fast, high-level pulsed currents”, Rev. Sci. Instrum.,vol. 51, no. 11, pp. 1535–1540, Nov. 1980.
37