bmgt.files.wordpress.com · i ph›‹ng tr×nh ﬁ„o hµm ri“ng môc lôc lŒi nªi ﬁ˙u iii...

Khoa To¸n - C¬ - Tin häcBé m«n Gi¶i tÝch------------------

Seminar

Ph−¬ng tr×nhvi ph©n

®¹o hµm riªng II

øng dông gi¶i tÝch phi tuyÕn vµo ph−¬ng tr×nhvi ph©n ®¹o hµm riªng kh«ng tuyÕn tÝnh

Hµ Néi, 2006

i Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng

Môc lôc

Lêi nãi ®Çu iii

Ch−¬ng 1 Ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n vµ mét sè ¸p dông vµo ph−¬ng tr×nhvi ph©n ®¹o hµm riªng kh«ng tuyÕn tÝnh 11.1 Mét vµi vÊn ®Ò bæ sung kiÕn thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Kh«ng gian Sobolev vµ ®Þnh lý nhóng . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 TÝnh kh¶ vi cña phiÕm hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Mét sè −íc l−îng c¬ b¶n vÒ ph−¬ng tr×nh elliptic cÊp hai . . 11

1.2 Cùc tiÓu phiÕm hµm. Ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp trong phÐp tÝnh biÕnph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 §iÒu kiÖn bøc (coercive) vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi . . . . . . . 141.2.2 Ph−¬ng ph¸p nh©n tö Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Ph−¬ng ph¸p nghiÖm trªn yÕu, nghiÖm d−íi yÕu . . . . . . . 25

1.3 Mét sè ®Þnh lý vÒ lý thuyÕt ®iÓm tíi h¹n vµ øng dông vµo ph−¬ngtr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1 §iÒu kiÖn Palais-Smale vµ sù tån t¹i ®iÓm tíi h¹n . . . . . . 291.3.2 øng dông ®Þnh lý qua nói vµo bµi to¸n biªn ®èi víi ph−¬ng

tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ch−¬ng 2 Mét sè bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ øng dông 612.1 Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2 Sù tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cho c¸c to¸n tö ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . 642.4 To¸n tö Noncoercive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5 Mét sè øng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.6 Phô lôc: §Þnh lý Lax-Milgram phi tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Ch−¬ng 3 Ph−¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu 803.1 Giíi thiÖu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2 Bµi to¸n xuÊt ph¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 To¸n tö trªn Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4 To¸n tö trªn kh«ng gian Hilbert thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.5 To¸n tö trªn kh«ng gian Hilbert thùc t¸ch ®−îc . . . . . . . . . . . . 87

i

ii Môc lôc

3.6 To¸n tö trªn kh«ng gian Banach ph¶n x¹ . . . . . . . . . . . . . . . . 953.7 Mét sè nhËn xÐt vµ ®¸nh gi¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Ch−¬ng 4 Lý thuyÕt bËc Brouwer (h÷u h¹n chiÒu) 1004.1 X©y dùng bËc cña ¸nh x¹ liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.1 X©y dùng bËc cña ¸nh x¹ thuéc líp C1(Ω;Rn) . . . . . . . . . 1014.1.2 X©y dùng bËc cña ¸nh x¹ thuéc líp C2(Ω;Rn) . . . . . . . . . 1034.1.3 X©y dùng bËc cña ¸nh x¹ thuéc líp C(Ω;Rn) . . . . . . . . . 104

4.2 Mét sè tÝnh chÊt cña bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3 C¸c øng dông cña lý thuyÕt bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.1 §Þnh lý Brower vÒ ®iÓm bÊt ®éng vµ mét sè d¹ng t−¬ng®−¬ng cña nã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.2 §Þnh lý Borsuk vµ c¸c øng dông cña nã . . . . . . . . . . . . . 115

Tµi liÖu tham kh¶o 122

iii Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng

Lêi nãi ®Çu

Trong niªn kho¸ 2005-2006 Seminar chóng t«i ®· ®i s©u vµo çc ph−¬ng ph¸pgi¶i tÝch phi tuyÕn øng dông vµo ph−¬ng tr×nh vi ph©n kh«ng tuyÕn tÝnh. §ångthêi víi nhiÒu b¸o ço chuyªn ®Ò cung cÊp çc kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ çc ph−¬ngph¸p gi¶i tÝch phi tuyÕn vµ çc øng dông cña nã, çc çn bé tham gia Seminar®· lÇn l−ît b¸o ço çc kÕt qu¶ nghiªn cøu cña m×nh. Chóng t«i nhËn thÊy r»ngSeminar ®· cã Ých thùc sù cho çc çn bé míi vµo nghÒ còng nh− çc häc viªn caohäc.Cã thÓ nãi sù h¨ng h¸i nhiÖt t×nh tham gia Seminar cña nhiÒu çn bé trÎ trong

bé m«n gi¶i tÝch ®· lµm s«i ®éng kh«ng khÝ häc tËp vµ nghiªn cøu trong Bé m«n.Mét sè çn bé tuy tuæi ®êi, tuæi nghÒ cßn trÎ nh−ng ®· cã nh÷ng kÕt qu¶ nghiªncøu, nh÷ng bµi b¸o ®−îc ®¨ng ë çc t¹p chÝ to¸n häc trong vµ ngoµi n−íc. §ã lµnh÷ng ‘‘thµnh tùu” b−íc ®Çu mµ Seminar chóng t«i ®· lµm ®−îc.N¨m 2004-2005 chóng t«i in tËp 1 vÒ çc bµi gi¶ng øng dông gi¶i tÝch hµm vµo

ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng. N¨m nay trong tËp 2 chóng t«i giíi thiÖu çcøng dông cña gi¶i tÝch phi tuyÕn vµo viÖc nghiªn cøu çc bµi to¸n biªn cña ph−¬ngtr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng kh«ng tuyÕn tÝnh.Ch−¬ng 1 do Phã Gi¸o s− TiÕn sÜ Hoµng Quèc Toµn viÕt.Ch−¬ng 2 do Th¹c sÜ NguyÔn ThÕ Vinh viÕt.Ch−¬ng 3 do Th¹c sÜ TrÇn TÊt §¹t viÕt.Ch−¬ng 4 do NCS-TiÕn sÜ §Æng Anh TuÊn viÕt.V× lý do nµy hay lý do kh¸c, tËp Seminar cña chóng t«i kh«ng tr¸nh khái nh÷ng

sai sãt. Chóng t«i dÇn dÇn sÏ hiÖu ®Ýnh l¹i, hy väng tr−íc hÕt h÷u Ých cho nh÷ngai míi vµo nghÒ vµ cã quan t©m ®Õn viÖc nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹ohµm riªng.

Hµ Néi ngµy 20.07.2006

1 Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng

Ch−¬ng 1

Ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n vµ mét sè ¸p dông

vµo ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng

kh«ng tuyÕn tÝnh

ViÖc øng dông gi¶i tÝch phi tuyÕn nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng th«ngqua çc ph−¬ng ph¸p chÝnh sau ®©y

- Ph−¬ng ph¸p ®¬n ®iÖu.

- Ph−¬ng ph¸p ¸p dông çc ®Þnh lý vÒ ®iÓm bÊt ®éng.

- Ph−¬ng ph¸p ¸p dông lý thuyÕt bËc Leray-Schauder.

- Ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n-nguyªn lý minimax.

Sau ®©y ta sÏ tr×nh bµy mét ¸p dông cña ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n ®Ó nghiªncøu bµi to¸n biªn ®èi víi ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng kh«ng tuyÕn tÝnh.§Ó hiÓu râ vÊn ®Ò ®−îc ®Æt ra th× tr−íc hÕt ta h·y nãi mét çch ng¾n gän néi

dung cña ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n trong ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng.Nghiªn cøu ®Þnh tÝnh cña lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tËp trung vµo

ba vÊn ®Ò chÝnh lµ: sù tån t¹i, tÝnh duy nhÊt vµ tÝnh tr¬n cña nghiÖm cña bµi to¸nbiªn víi mét líp ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng nµo ®ã.§Ó nghiªn cøu bµi to¸n biªn nãi trªn ng−êi ta cã thÓ x©y dùng mét phiÕm hµm

n¨ng l−îng liªn kÕt d¹ng

J (u) =

∫

Ω

F(x, u,∇u,∇2u, ...

)dx, u ∈ X,

trong ®ã X lµ mét kh«ng gian Banach nµo ®ã vµ J lµ mét phiÕm hµm kh¶ viFrechÐt hay cã ®¹o hµm yÕu (®¹o hµm Gateaux) sao cho nghiÖm cña ph−¬ng tr×nhEuler-Lagrange cña J

DJ(u) = 0

(nÕu tån t¹i) sÏ lµ nghiÖm cña bµi to¸n biªn ®ang xÐt.

2 Ch−¬ng 1. Ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n vµ mét sè ¸p dông

Nh− vËy, viÖc nghiªn cøu bµi to¸n biªn ®èi víi ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cãthÓ ®−a vÒ viÖc nghiªn cøu mét ph−¬ng tr×nh phiÕm hµm d¹ng

K (u) = 0, u ∈ X

trong ®ã K(u) nãi chung lµ phi tuyÕn.Râ rµng tÝnh kh¶ vi FrechÐt cña phiÕm hµm J phô thuéc vµo d¸ng ®iÖu cña

hµm F (x, u,∇u,∇2u, ...).Gi¶ sö u0 ∈ X lµ ®iÓm cùc tiÓu t−¬ng ®èi cña J vµ J ∈ C1(X) th× u0 ph¶i tho¶

m·n ®iÒu kiÖn DJ(u0) = 0. Do ®ã u0 lµ nghiÖm cña bµi to¸n biªn ®ang xÐt.NÕu J kh«ng kh¶ vi liªn tôc FrechÐt nh−ng tån t¹i ®¹o hµm theo nghÜa yÕu

trong X th× u0 tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange theo nghÜa yÕu

〈v,DJ (u0)〉 = 0, ∀v ∈ X.

Nh− vËy, dï J kh¶ vi liªn tôc Frechet hay cã ®¹o hµm theo nghÜa yÕu th× ®iÓm cùctiÓu t−¬ng ®èi u0 còng lµ nghiÖm suy réng cña bµi to¸n biªn liªn kÕt.Tõ ®ã ta thÊy viÖc nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n biªn dÉn ®Õn viÖc

t×m çc ®iÓm tíi h¹n cña phiÕm hµm J , tøc lµ nh÷ng ®iÓm u ∈ X mµ DJ(u) = 0,trong ®ã ngoµi nh÷ng ®iÓm cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng cßn cã çc ®iÓm tíi h¹n kh¸c nãichung lµ çc ®iÓm yªn ngùa.Mét trong nh÷ng tiªu chuÈn tån t¹i ®iÓm tíi h¹n ®−îc ®Ò cao ®ã lµ ”®Þnh lý

qua nói”.N¨m 1950, Courant ®−a ra ®Þnh lý qua nói trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu.N¨m 1973, Ambrosetti vµ Rabinowitz chøng minh ®Þnh lý qua nói ®èi víi phiÕm

hµm J ∈ C1(X) trong kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu.§Þnh lý qua nói gãp phÇn quan träng trong viÖc ¸p dông gi¶i tÝch phi tuyÕn

nghiªn cøu çc bµi to¸n biªn cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng phi tuyÕn.Nh− vËy, ý t−ëng cña ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n trong ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm

riªng lµ: ®Ó chøng minh sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n biªn ta cã thÓ sö dông çcph−¬ng ph¸p cña lý thuyÕt tèi −u ®Ó t×m ®iÓm cùc tiÓu (hoÆc ®iÓm tíi h¹n) cñaphiÕm hµm n¨ng l−îng liªn kÕt víi nã.

1.1 Mét vµi vÊn ®Ò bæ sung kiÕn thøc

1.1.1 Kh«ng gian Sobolev vµ ®Þnh lý nhóng

1. Kh«ng gian Sobolev. Gi¶ sö Ω lµ mét miÒn (më vµ liªn th«ng) trong Rn,

u ∈ L1loc (Ω), α = (α1, α2, .., αn) lµ ®a chØ sè cÊp |α| =

n∑i=1

αi, Dαu lµ ®¹o hµm theo


nghÜa suy réng cña u x¸c ®Þnh theo c«ng thøc

〈Dαu, ϕ〉 = (−1)|α|∫

Ω

u.Dαϕ , ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) .

Ta nãi Dαu ∈ Lp (Ω) nÕu tån t¹i mét hµm gα ∈ Lp (Ω) sao cho

〈ϕ,Dαu〉 = 〈ϕ, gα〉 = (−1)|α|∫

Ω

gα.ϕ.dx,∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) .

Khi ®ã ta ®ång nhÊt Dαu víi gα ∈ Lp (Ω). Víi k ∈ N0, 1 6 p 6 +∞ ta x¸c ®Þnh

W k,p (Ω) = u ∈ Lp (Ω) : Dαu ∈ Lp (Ω) ,∀α : |α| 6 k

víi chuÈn‖u‖p

W k,p =∑

|α|6k

‖Dαu‖pLp , 1 6 p < +∞

vµ‖u‖p

W k,+∞ = max|α|6k

‖Dαu‖L+∞ .

Ta chó ý r»ng phÐp ®¹o hµm cña hµm suy réng lµ liªn tôc theo nghÜa héi tô yÕutrong L1

loc (Ω). NhiÒu tÝnh chÊt cña kh«ng gian Lp (Ω) còng ®óng trong kh«ng gianW k,p (Ω).

§Þnh lý 1.1. Víi k ∈ N0, 1 6 p 6 +∞, W k,p (Ω) lµ mét kh«ng gian Banach. Kh«nggian W k,p (Ω) lµ kh«ng gian ph¶n x¹ nÕu vµ chØ nÕu 1 < p < +∞. H¬n n÷a, W k,2 (Ω)

lµ kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« h−íng

(u, v)W k,2 =∑

|α|6k

∫

Ω

Dαu.Dαv.dx.

Víi 1 6 p < +∞, W k,p (Ω) lµ kh«ng gian t¸ch ®−îc.

§Þnh lý 1.2. Víi mäi k ∈ N0, 1 6 p < +∞, kh«ng gian con W k,p (Ω) ∩C∞ (Ω) trï mËttrong W k,p (Ω)

Bæ sung cña W k,p (Ω)∩C∞ (Ω) trong W k,p (Ω) ®−îc ký hiÖu lµ Hk,p (Ω). §Æc biÖtkhi p = 2 th× ký hiÖu Hk,2 (Ω) ®−îc sö dông th«ng th−êng. W k,p

0 (Ω) lµ bao ®ãngcña C∞

0 (Ω) trong W k,p (Ω). Hk,20 (Ω) lµ bao ®ãng cña C∞

0 (Ω) trong Hk,20 (Ω). §èi

ngÉu cña Hk,2 (Ω) ®−îc ký hiÖu lµ H−k (Ω).2. Kh«ng gian Holder. Gi¶ sö Ω ⊂ Rn. Hµm u : Ω → R ®−îc gäi lµ liªn tôc theoHolder víi sè mò β > 0 nÕu

[u](β) = supx 6=yx,y∈Ω

|u (x)− u (y)||x− y|β

< +∞


Víi m ∈ N0, 0 < β 6 1, ta ký hiÖu

Cm,β (Ω) =u ∈ Cm (Ω) : Dαu liªn tôc theo Holder víi sè mò β > 0 víi mäi |α| = m

.

NÕu Ω lµ comp¾c t−¬ng ®èi th× Cm,β(Ω)lµ kh«ng giam Banach víi chuÈn

‖u‖Cm,β =∑

|α|6m

‖Dαu‖L∞ +∑

|α|=m

[Dαu](β).

Chó ý r»ng víi 0 < β 6 1, tËp hîp çc hµm tr¬n kh«ng trï mËt trong Cm,β(Ω).

Ký hiÖu Cm,0 (Ω) = Cm (Ω).3. §Þnh lý nhóng. Gi¶ sö X vµ Y lµ çc kh«ng gian Banach. Ta nãi X ®−îcnhóng liªn tôc trong Y vµ ký hiÖu

X → Y

nÕu tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh i : X → Y sao cho tån t¹i h»ng sè c > 0 tháa m·n

‖i (x)‖Y 6 c ‖x‖X , ∀x ∈ X.

Khi ®ã ta ®ång nhÊt X víi kh«ng gian con i(X) ⊂ Y . X ®−îc gäi lµ nhóng comp¾cvµo Y nÕu ¸nh x¹ i biÕn tËp con bÞ chÆn trong X thµnh tËp con comp¾c t−¬ng ®èitrong Y . Ta cã çc ®Þnh lý quan träng sau ®©y.

§Þnh lý 1.3. Cho Ω ⊂ Rn cã ®é ®o Lebesgue Ln(Ω) < +∞, 1 6 p 6 q < +∞. Khi ®ã

Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) .

NÕu Ln(Ω) = +∞ th× nãi chung ®Þnh lý kh«ng ®óng.

§Þnh lý 1.4. Gi¶ sö Ω lµ miÒn comp¾c t−¬ng ®èi trong Rn vµ m ∈ N0, 0 6 α < β 6 1.Khi ®ã

Cm,β(Ω)→ Cm,α

(Ω)

lµ comp¾c.

§Þnh lý 1.5 (§Þnh lý nhóng Sobolev). Gi¶ sö Ω ⊂ Rn lµ miÒn bÞ chÆn víi biªnLipschitz, k ∈ N, 1 6 p 6 +∞. Khi ®ã

i) NÕu kp < n, 1 6 q 6 npn−kp

th× ta cã

W k,p (Ω) → Lq (Ω)

vµ phÐp nhóng lµ comp¾c nÕu q < npn−kp

.

ii) NÕu 0 6 m < k − np< m+ 1, 0 6 α 6 k −m− n

pth× ta cã

W k,p (Ω) → Cm,α(Ω)

vµ phÐp nhóng lµ comp¾c nÕu α < k −m− np.


TÝnh comp¾c cña phÐp nhóng W k,p (Ω) → Lq (Ω) lµ hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Rellich-Kondrakov. §Þnh lý nhóng Sobolev ®óng víi c¸c kh«ng gian W k,p

0 (Ω) trªn mäimiÒn Ω bÞ chÆn.

§Þnh lý 1.6 (§Þnh lý trï mËt). Gi¶ sö Ω ⊂ Rn lµ miÒn bÞ chÆn thuéc líp C1, k ∈ Nvµ 1 6 p < +∞. Khi ®ã C∞ (Ω

)trï mËt trong W k,p (Ω).

4. BÊt ®¼ng thøc PoincarÐ. Gi¶ sö Ω lµ miÒn bÞ chÆn trong Rn, d lµ ®−êng kÝnhcña Ω, u ∈ H1,2

0 (Ω). Khi ®ã∫

Ω

|u|2 dx 6 d2

∫

Ω

|∇u|2 dx.

§Þnh lý 1.7. Cho Ω ⊂ Rn lµ miÒn bÞ chÆn thuéc líp C1, tån t¹i h»ng sè c = c(Ω) saocho víi mäi u ∈ H1,2

0 (Ω) ta cã

∫

Ω

|u|2 dx 6 d2

∫

Ω

|∇u|2 dx+

∫

∂Ω

|u|2 dσ

.

1.1.2 TÝnh kh¶ vi cña phiÕm hµm

1. §¹o hµm FrÐchet. Cho V lµ kh«ng gian Banach, f lµ phiÕm hµm x¸c ®Þnhtrªn V . Ta nãi phiÕm hµm f kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm u ∈ V nÕu tån t¹i mét ¸nhx¹ tuyÕn tÝnh bÞ chÆn, ký hiÖu lµ f ′(u) ∈ V ∗ vµ ®−îc gäi lµ ®¹o hµm FrÐchet cña ft¹i u sao cho

lim‖v‖V →0

|f (u+ v) − f (u) − f ′ (u) v|‖v‖V

= 0.

NÕu ¸nh x¹ u→ f ′(u) lµ liªn tôc th× ta nãi phiÕm hµm f thuéc líp C1(V ). ChuÈncña f ′(u) ®−îc x¸c ®Þnh

‖f ′ (u)‖ = sup |f ′ (u) (h)| : h ∈ V, ‖h‖ = 1 .

Gi¶ sö f lµ phiÕm hµm kh¶ vi FrÐchet trong kh«ng gian Banach V , V ∗ lµ ®èi ngÉucña nã. Ký hiÖu 〈, 〉 lµ phÐp to¸n ®èi ngÉu. Nh− vËy

〈, 〉 : V × V ∗ → R

vµf ′ : V → V ∗

lµ ®¹o hµm FrÐchet cña f . Khi ®ã víi mäi h ∈ V ta cã

f ′ (u) (h) = 〈f ′ (u) , h〉 , ∀u ∈ V.


Gi¶ sö v ∈ V . §¹o hµm theo h−íng v cña f t¹i u ∈ V (hay lµ ®¹o hµm Gateaux)®−îc x¸c ®Þnh nh− sau

d

dεf (u+ εv) |ε=0 = 〈f ′ (u) , v〉 = f ′ (u) (v) .

§iÓm u ∈ V tháa m·n ph−¬ng tr×nh f ′(u) = 0 ®−îc gäi lµ ®iÓm tíi h¹n, ng−îc l¹inÕu f ′(u) 6= 0 th× u ®−îc gäi lµ ®iÓm ®Òu (hay ®iÓm chÝnh quy) cña f . Sè β ∈ R®−îc gäi lµ gi¸ trÞ tíi h¹n cña f nÕu tån t¹i mét ®iÓm tíi h¹n u ∈ V sao chof(u) = β, f ′(u) = 0. Gi¶ sö M lµ mét tËp con cña V . §iÓm u0 ∈ M lµ ®iÓm cùctiÓu tuyÖt ®èi cña f trªn M nÕu f(v) ≥ f(u0) víi mäi v ∈M . §iÓm u0 ∈M lµ ®iÓmcùc tiÓu t−¬ng ®èi cña f trªn M nÕu tån t¹i mét l©n cËn W cña u0 trong V sao chof(v) ≥ f(u0) víi mäi v ∈ M ∩W . H¬n n÷a, trong tr−êng hîp f kh¶ vi, ta sÏ nãi®Õn sù tån t¹i ®iÓm yªn ngùa (saddle point), tøc lµ çc ®iÓm tíi h¹n u cña f saocho trong mäi l©n cËn W cña u trong V ®Òu chøa çc ®iÓm v1, v2 ∈ V ∩W sao cho

f (v1) < f (u) < f (v2) .

Trong çc hÖ vËt lý, ®iÓm yªn ngùa xuÊt hiÖn nh− lµ tr¹ng th¸i c©n b»ng kh«ngbÒn v÷ng.2. TÝnh kh¶ vi cña phiÕm hµm tÝch ph©n. §Ó ®¬n gi¶n, ta ký hiÖu H1,2 (Ω),H1,2

0 (Ω) lÇn l−ît lµ H1 (Ω) vµ H10 (Ω). Cho Ω lµ miÒn trong Rn. Ta xÐt phiÕm hµm

d¹ng

f (u) =

∫

Ω

F (x, u (x) ,∇u (x)) dx , u ∈ H1 (Ω)

trong ®ã F : Ω × R × Rn → R. Râ rµng tÝnh kh¶ vi cña f trªn H1 (Ω) phô thuécvµo d¸ng ®iÖu cña F . Ta cã ®Þnh lý sau ®©y.

§Þnh lý 1.8. Gi¶ sö hµm F : Ω × R × Rn → R lµ hµm ®o ®−îc theo x, kh¶ vi liªn tôctheo u ∈ R vµ p ∈ Rn. Ký hiÖu

Fu =∂F

∂u, Fp =

∂F

∂p.

Gi¶ thiÕt F tháa m·n çc ®iÒu kiÖn t¨ng sau ®©y

1. |F (x, u, p)| 6 c(1 + |u|s1 + |p|2

)víi s1 6 2n

n−2nÕu n > 3.

2. |Fu (x, u, p)| 6 c(1 + |u|s2 + |p|t2

)víi t2 < 2 nÕu n 6 2 vµ s2 6 n+2

n−2, t2 6 n+2

n

nÕu n ≥ 3.

3. |Fp (x, u, p)| 6 c (1 + |u|s3 + |p|) nÕu s3 6 nn−2

nÕu n > 3.

Khi ®ã phiÕm hµm f(u), u ∈ H1(Ω) thuéc líp C1(H1). H¬n n÷a, f ′(u) x¸c ®Þnh bëic«ng thøc

〈f ′ (u) , v〉 =

∫

Ω

(Fu (x, u,∇u) v + Fp (x, u,∇u)∇v) dx , ∀v ∈ H1 (Ω)


Ch¼ng h¹n çc phiÕm hµm sau ®©y tháa m·n ®Þnh lý trªn.

a) f (u) =∫Ω

|u|p dx víi p 6 2nn−2

vµ n > 3.

b) D (u) = 12

∫Ω

|∇u|2 dx (tÝch ph©n Dirichlet).

§Þnh lý trªn dùa trªn mét kÕt qu¶ cña Krasnoleski. §Ó ®¬n gi¶n ta ph¸t biÓukÕt qu¶ ®ã ®èi víi hµm

g : Ω × Rm → R.

§Ó ®¶m b¶o tÝnh ®o ®−îc cña hµm g(x, u) víi u ∈ Lp ta gi¶ thiÕt g(x, u) lµ hµmCarathÐodory, tøc g lµ hµm ®o ®−îc theo x ∈ Ω vµ liªn tôc theo u ∈ Rm.

§Þnh lý 1.9. Gi¶ thiÕt g : Ω × Rm → R lµ hµm CarathÐodory tháa m·n ®iÒu kiÖn t¨ng

|g (x, u)| 6 c (1 + |u|s) víi s > 1.

Khi ®ã to¸n tö u 7→ g (x, u) lµ liªn tôc tõ Lsp (Ω) vµo Lp (Ω) víi mäi 1 6 p < +∞.

Chó ý thªm r»ng çc ®iÒu kiÖn t¨ng cña ®Þnh lý tr−íc ®ßi hái cÊu tróc kh¸ ®ÆcbiÖt. Mét çch tæng qu¸t h¬n ta cã thÓ gi¶ thiÕt hµm F tháa m·n çc ®iÒu kiÖnt¨ng sau ®©y.

F1) |p|2 6 F (x, u, p) 6 c (|u|)(1 + |p|2

).

F2) Fu (x, u, p) 6 c (|u|)(1 + |p|2

).

F3) Fp (x, u, p) 6 c (|u|) (1 + |p|).

víi x ∈ Ω, u ∈ R, p ∈ Rn.Víi nh÷ng gi¶ thiÕt nh− vËy, nãi chung phiÕm hµm f(u) kh«ng thÓ kh¶ vi

FrÐchet trong H1,2 (Ω). Tuy nhiªn, cùc tiÓu (trong H1,20 (Ω) ch¼ng h¹n) cã thÓ tån

t¹i. LiÖu nã cã thÓ m« t¶ ®iÒu kiÖn cÇn cña cùc trÞ d−íi d¹ng ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange ®−îc hay kh«ng? §Ó tr¶ lêi cho c©u hái nµy, ta cã ®Þnh lý sau ®©y.

§Þnh lý 1.10. Gi¶ sö phiÕm hµm f x¸c ®Þnh nh− trªn trong ®ã F lµ hµm CarathÐodorythuéc líp C1 theo u vµ p tháa m·n çc ®iÒu kiÖn t¨ng tù nhiªn F1)-F3). Khi ®ã, nÕuu, ϕ ∈ H1,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω), ®¹o hµm theo h−íng ϕ cña f t¹i u tån t¹i vµ ®−îc x¸c ®Þnhbëi c«ng thøc

d

dεf (u+ εϕ) |ε=0 =

∫

Ω

(Fu (x, u,∇u)ϕ+ Fp (x, u,∇u)∇ϕ) dx.

H¬n n÷a, t¹i ®iÓm cùc tiÓu u ∈ H1,2 (Ω)∩L∞ (Ω) cña f trong ®ps F tháa m·n çc ®iÒukiÖn F1)-F3) ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange tháa m·n theo nghÜa yÕu nh− sau

∫

Ω

(Fu (x, u,∇u)ϕ+ Fp (x, u,∇u)∇ϕ) dx = 0

víi mäi ϕ ∈ H1,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω).


Chó ý r»ng gi¶ thiÕt u ∈ L∞ (Ω) th−êng ®−îc tháa m·n tù nhiªn.§Ó gi¶i thÝch kü h¬n vÒ ý nghÜa cña ®Þnh lý nµy ta h·y nh¾c l¹i kh¸i niÖm biÕn

ph©n cÊp 1 cña phiÕm hµm vµ ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange.3. BiÕn ph©n cÊp 1, ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange. Gi¶ sö Ω lµ mét tËp mëbÞ chÆn trong Rn víi biªn ∂Ω tr¬n. F lµ mét hµm tr¬n cho tr−íc

F : Ω × R × Rn → R.

Ta gäi F lµ hµm Lagrange. Ký hiÖu

Fx = (Fx1, Fx2, .., Fxn) ,

Fu =∂F

∂u,

Fp = (Fp1, Fp2, .., Fpn) .

Ta xÐt phiÕm hµm

f (u) =

∫

Ω

F (x, u,∇u) dx , u ∈ H1 (Ω) =: H.

Gi¶ sö u0 ∈ H1 (Ω) lµ ®iÓm cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng cña phiÕm hµm f . Gi¶ sö v ∈ H1 (Ω)

lµ hµm tïy ý trong H1 (Ω). Ta xÐt hµm thùc

I (α) = f (u0 + αv) , |α| < r

trong ®ã r > 0 ®ñ bÐ. V× u0 lµ ®iÓm cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng cña f cho nªn I(α) ®¹tcùc tiÓu t¹i α = 0. NÕu ta ký hiÖu

δf (u0, v) = limα→0

f (u0 + αv) − f (u0)

α, v ∈ H

th× ®¹i l−îng δf (u0, v) (v ∈ H) ®−îc gäi lµ biÕn ph©n cÊp 1 cña phiÕm hµm f t¹iu0.Nh− vËy, ta cã ®iÒu kiÖn cÇn cña cùc trÞ ®Þa ph−¬ng cña phiÕm hµm f(u), u ∈ H

lµ: nÕu phiÕm hµm f ®¹t cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng t¹i ®iÓm u0 ∈ H th× biÕn ph©n cÊp1 cña f t¹i u0 nÕu tån t¹i sÏ b»ng 0, tøc lµ

δf (u0, v) = 0 , ∀v ∈ H.

Gi¶ sö f ∈ C1(H), khi ®ã ta cã

〈f ′ (u) , v〉 = I ′ (0) =

∫

Ω

(Fu (x, u,∇u) v + Fp (x, u,∇u)∇v) dx , ∀v ∈ H10 (Ω)

®ång thêi khi ®ãδf (u, v) = 〈f ′ (u) , v〉 , ∀v ∈ H1 (Ω) .


Nh− vËy, nÕu f ®¹t cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng t¹i u0 th×

δf (u0, v) = 〈f ′ (u0) , v〉 = 0 , ∀v ∈ H1 (Ω) .

Gi¶ sö v ∈ C∞0 (Ω), ¸p dông c«ng thøc Green ta nhËn ®−îc

∫

Ω

(Fu (x, u0,∇u0) − divFp (x, u0,∇u0)) vdx = 0 , ∀v ∈ C∞0 (Ω) .

Tõ ®ã ta suy raFu (x, u0,∇u0) − divFp (x, u0,∇u0) = 0

trong ®ã

divFp =n∑

i=1

∂Fpi

∂xi

.

§Þnh nghÜa. Ph−¬ng tr×nh

Fu (x, u,∇u) − divFp (x, u,∇u) = 0

®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange cña phiÕm hµm f .VËy nÕu u0 ∈ H1(Ω) lµ ®iÓm cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng cña phiÕm hµm f(u), u ∈ H

th× u0 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange theo nghÜa yÕu.VÝ dô. Nguyªn lý Dirichlet

Cho F (x, z, p) = 12|p|2 trong ®ã |p|2 =

n∑i=1

p2i . Fp = (F1, F2, .., Fn), Fz = 0. f (u) =

12

∫Ω

|∇u|2 dx, f ∈ C1 (H) th×

〈f ′ (u) , v〉 =

∫

Ω

∇u∇vdx , ∀v ∈ H.

Ph−¬ng tr×nh Euler-Lagranger cña phiÕm hµm f lµ

−div∇u = −∆u = 0 trong Ω.

Nguyªn lý Dirichlet ®−îc ph¸t biÓu nh− sau: hµm u ∈ H lµ nghiÖm cña bµi to¸nDirichlet

−∆u = g trong Ω,

trong ®ã u ∈ H , g ∈ H−1(Ω), khi vµ chØ khi u lµ phÇn tö lµm cùc tiÓu phiÕm hµmn¨ng l−îng

(1.1) f(u) =

∫

Ω

(1

2|∇u|2 − u · g

)dx, u ∈ H1

0 (Ω).


ThËt vËy, gi¶ sö u ∈ H10 (Ω) lµ nghiÖm cña bµi to¸n Dirichlet ∆u = g trong Ω,

u ∈ H10 (Ω). Khi ®ã

(1.2)∫

Ω

(∇u · ∇v − v · g)dx = 0, ∀v ∈ H10 (Ω).

Gi¶ sö w ∈ H10 (Ω) lµ phÇn tö tuú ý, ®Æt v = w−u, tøc lµ v = w−u, v ∈ H1

0 (Ω). Tacã

f(w) − f(u) = f(u+ v) − f(u)

=1

2

∫

Ω

(|∇(u+ v)|2 − |∇u|2)dx −∫

Ω

(u+ v − u) · gdx

=1

2

∫

Ω

(∇v · ∇(u+ v + u))dx−∫

Ω

v · gdx

=1

2

∫

Ω

∇v · ∇(2u+ v)dx−∫

Ω

v · gdx

=1

2

∫

Ω

|∇v|2dx −∫

Ω

∇u · ∇vdx−∫

Ω

v · gdx

=1

2

∫

Ω

|∇v|2dx −∫

Ω

(∇u · ∇v − v · g)dx.

V× (1.2) ta suy ra

f(w) − f(u) =1

2

∫

Ω

|∇v|2dx > 0,

vËyf(u) 6 f(w), ∀w ∈ H1

0 (Ω).

V× u ∈ H10 (Ω) ta suy ra

f(u) = minw∈H1

0(Ω)f(w).

Ng−îc l¹i, nÕu u lµ ®iÓm lµm cùc tiÓu phiÕm hµm f(u), ta suy ra u lµ nghiÖm cñaph−¬ng tr×nh Euler - Lagrange:

(1.3)∫

Ω

(∇u · ∇v − v · g)dx = 0, ∀v ∈ H10 (Ω).

§iÒu ®ã cã nghÜa lµ u lµ nghiÖm cña bµi to¸n Dirichlet −∆u = g, u ∈ H10 (Ω).

VÝ dô 1. Ph−¬ng tr×nh Poisson phi tuyÕn. Cho tr−íc hµm tr¬n f : R → R vµ nguyªnhµm cña nã lµ

F (z) =

∫ z

0

f(y)dy.

XÐt bµi to¸n biªn Dirichlet ®èi víi ph−¬ng tr×nh Poisson phi tuyÕn

(1.4) −∆u = f(u), x ∈ Ω ⊂ Rn, u|∂Ω = 0.


PhiÕm hµm n¨ng l−îng liªn kÕt víi bµi to¸n Dirichlet ®ã lµ

(1.5) f(u) =1

2

∫

Ω

|∇u|2dx−∫

Ω

F (u)dx, u ∈ H10 (Ω).

vµ ph−¬ng tr×nh Euler - Lagrange t−¬ng øng víi nã lµ

(1.6) 〈f ′(u), v〉 =

∫

Ω

(∇u · ∇v − f(u) · v)dx, ∀v ∈ H10 (Ω).

NÕu u ∈ H10 (Ω) lµ nghiÖm yÕu cña ph−¬ng tr×nh Euler - Lagrange th× ¸p dông c«ng

thøc Green ta suy ra u lµ nghiÖm cña bµi to¸n Dirichlet.

1.1.3 Mét sè −íc l−îng c¬ b¶n vÒ ph−¬ng tr×nh ellipticcÊp hai

Trong miÒn Ω ⊂ Rn ta xÐt to¸n tö vi ph©n elliptic tuyÕn tÝnh cÊp hai cã d¹ng

Lu := −n∑

i,j=1

aij∂2u

∂xi∂xj

+n∑

i=1

bi∂u

∂xi

+ cu,(A)

hoÆc d¹ng divergence (d¹ng tù liªn hîp)

Lu := −n∑

i,j=1

∂

∂xi

(aij

∂u

∂xj

)+ cu,(B)

víi hÖ sè bÞ chÆn aij = aji, bi, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn elliptic

(1.7)n∑

i,j=1

aijξiξj > λ|ξ|2, ∀ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ Rn,

trong ®ã λ lµ mét h»ng sè d−¬ng.

1.1.3.1 ¦íc l−îng Schauder

§Þnh lý 1.11. Gi¶ sö L lµ to¸n tö elliptic cÊp hai tuyÕn tÝnh víi hÖ sè thuéc líp Cα vµgi¶ sö u ∈ C2(Ω). Gi¶ thiÕt Lu = f ∈ Cα(Ω). Khi ®ã u ∈ C2,α(Ω), vµ víi mäi tËp concompact Ω′ ⊂ Ω ta cã −íc l−îng

(1.8) ‖u‖C2,α(Ω′) 6 C‖u‖L∞(Ω) + ‖f‖Cα(Ω)

.

H¬n n÷a, nÕu f thuéc líp C2,α(Ω), u ∈ C0(Ω) vµ u = u0 trªn biªn ∂Ω, trong ®ãu0 ∈ C2,α(Ω) th× u ∈ C2,α(Ω) vµ tho¶ m·n −íc l−îng

(1.9) ‖u‖C2,α(Ω) 6 C‖u‖L∞(Ω) + ‖f‖C2+α(Ω) + ‖u0‖C2,α Ω

.


1.1.3.2 Lý thuyÕt Lp

§Þnh lý 1.12 (BÊt ®¼ng thøc CaldÐron - Zygmund). Gi¶ sö L lµ to¸n tö ellipticd¹ng (A) víi c¸c hÖ sè aij liªn tôc. Gi¶ thiÕt u ∈ H2,p

loc (Ω) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nhLu = f ∈ Lp(Ω), 1 < p < +∞. Khi ®ã víi mäi tËp con compact Ω′ ⊂⊂ Ω, ta cã

(1.10) ‖u‖H2,p(Ω′) 6 C‖u‖Lp(Ω) + ‖f‖Lp(Ω)

.

H¬n n÷a nÕu Ω thuéc líp C1,1 vµ tån t¹i hµm u0 ∈ H2,p(Ω) sao cho u− u0 ∈ H1,p0 (Ω)

th×

(1.11) ‖u‖H2,p(Ω) 6 C‖u‖Lp(Ω) + ‖f‖Lp(Ω) + ‖u0‖H2,p(Ω)

,

trong ®ã C lµ h»ng sè phô thuéc vµo L, p, n, Ω, Ω′.

1.1.3.3 TÝnh ®Òu

Ta xÐt ph−¬ng tr×nh

−∆u = g(·, u) trong Ω ⊂ Rn,

trong ®ã g : Ω × R → R lµ hµm CarathÐodory, tøc lµ ®o ®−îc theo x, liªn tôc theou, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn t¨ng |g(x, u)| 6 C(1 + |u|p), víi p 6 n+2

n−2khi n > 3. Khi ®ã

theo §Þnh lý nhóng Sobolev vµ §Þnh lý ?? ta suy ra g(·, u) ∈ H−1(Ω).

§Þnh lý 1.13. Cho Ω lµ mét miÒn trong Rn, g : Ω × R → R lµ hµm CarathÐodory tho¶m·n ®iÒu kiÖn

|g(x, u)| 6 a(x)(1 + |u|) h.k.n. trong Ω,

trong ®ã a(x) ∈ Ln/2loc (Ω). Gi¶ sö u ∈ H1

0 (Ω) lµ nghiÖm yÕu cña ph−¬ng tr×nh −∆u =

g(·, u). Khi ®ã u ∈ Lqloc(Ω) víi mäi q < +∞. H¬n n÷a, nÕu u ∈ H1

0 (Ω), a ∈ Ln/2(Ω)

th× u ∈ Lq(Ω) víi mäi q < +∞.

¸p dông §Þnh lý 1.13 vµo ph−¬ng tr×nh

−∆u = g(·, u), trong Ω,

trong ®ã g(x, u) 6 C(1 + |u|p−1), p 6 2nn−2, n > 3. Gi¶ sö u ∈ H1

loc(Ω) lµ nghiÖm yÕucña ph−¬ng tr×nh ®ang xÐt, th× u lµ nghiÖm yÕu cña ph−¬ng tr×nh

−∆u = a(x)(1 + |u|),

trong ®ã a(x) = g(x,u(x))1+|u| ∈ L

n/2loc (Ω). Theo ®Þnh lý 1.13 ta suy ra u ∈ Lq

loc(Ω), víi mäiq < +∞, tõ ®ã suy ra g(·, u) ∈ Lq

loc(Ω), ∀q < +∞.¸p dông bÊt ®¼ng thøc CaldÐron - Zygmund (§Þnh lý 1.12), u ∈ H2,q

loc (Ω) víi mäiq < ∞, do ®ã theo ®Þnh lý nhóng Sobolev ta suy ra u ∈ C1,α

loc (Ω), víi α < 1. H¬nn÷a, nÕu u ∈ H1

0 (Ω), ∂Ω ∈ C2 th× u ∈ H2,q(Ω) ∩ H10 (Ω) → C1,α(Ω). NÕu g liªn tôc

Holder, ¸p dông lý thuyÕt Schauder suy ra u ∈ C2(Ω) (xem [7]).


1.1.3.4 Nguyªn lý cùc ®¹i

§Þnh lý 1.14. Gi¶ sö L lµ to¸n tö elliptic trong miÒn Ω ⊂ Rn d¹ng (A), u ∈ C2(Ω) ∩C1(Ω) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

(1.12) Lu > 0 trong Ω, u|∂Ω > 0.

H¬n n÷a, gi¶ sö tån t¹i hµm h ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) sao cho

(1.13) Lh > 0 trong Ω, h|∂Ω > 0.

Khi ®ã hoÆc u > 0 trong Ω hoÆc u ≡ βh, víi β 6 0.

§Æc biÖt, nÕu L lµ to¸n tö elliptic tù liªn hîp d¹ng (B) víi hÖ sè aij ∈ C1,α(Ω),c ∈ Cα(Ω) th× L cã hÖ ®Çy ®ñ çc hµm riªng ϕj trong H1

0 (Ω) ∩ C2,α(Ω) víi çcgi¸ trÞ riªng t−¬ng øng

0 < λ1 < λ2 6 λ3 6 · · · .

H¬n n÷a ϕ1(x) kh«ng ®æi dÊu trong Ω, do ®ã cã thÓ xem ϕ1(x) > 0 trong Ω, vµ khi®ã ta cã

λ1 = infu 6=0

(Lu, u)L2

(u, u)L2

> 0.

¸p dông §Þnh lý 1.14, cã thÓ chän h = ϕ1(x). Khi ®ã mäi nghiÖm u ∈ C2(Ω)∩C1(Ω)

cña bµi to¸n (1.12) sÏ hoÆc d−¬ng trong Ω hoÆc ®ång nhÊt 0. B©y giê ta xÐt to¸ntö elliptic d¹ng tù liªn hîp (B) vµ ký hiÖu

(1.14) L(u, v) =

∫

Ω

(n∑

i,j=1

aij∂u

∂xi

∂v

∂xj+ cuv

)dx, ∀u, v ∈ H1

0 (Ω).

L(u, v) ®−îc gäi lµ phiÕm hµm toµn ph−¬ng (hay d¹ng toµn ph−¬ng) Dirichlet. Tacã nguyªn lý cùc ®¹i yÕu.

§Þnh lý 1.15 (Nguyªn lý cùc ®¹i yÕu). Gi¶ sö L(u, u) > 0 trong H10 (Ω). NÕu u ∈

H1(Ω) lµ nghiÖm yÕu cña bÊt ph−¬ng tr×nh Lu > 0 theo nghÜa

(1.15) L(u, ϕ) > 0 ∀ϕ ∈ H10 (Ω), ϕ(x) > 0 trong Ω,

vµ u > 0 trªn ∂Ω, th× u > 0 trong Ω.

1.2 Cùc tiÓu phiÕm hµm. Ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp trongphÐp tÝnh biÕn ph©n

Trong ch−¬ng nµy ta sÏ xÐt nh÷ng ®iÒu kiÖn ®Ó cho phiÕm hµm tÝch ph©n f(u)

x¸c ®Þnh trong çc kh«ng gian Sobolev tån t¹i ®iÓm cùc tiÓu.


1.2.1 §iÒu kiÖn bøc (coercive) vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi

Ta xÐt phiÕm hµm d¹ng tÝch ph©n

(1.16) f(u) =

∫

Ω

F (x, u,∇u)dx, u ∈ H,

trong ®ã Ω ⊂ Rn, vµ H lµ mét kh«ng gian Sobolev ®−îc x¸c ®Þnh nµo ®ã.

§Þnh nghÜa 1.1. Gi¶ sö V lµ kh«ng gian Banach, f(u), u ∈ V lµ mét phiÕm hµm x¸c®Þnh trªn V . Ta nãi hµm f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bøc nÕu f(u) → ∞ khi ‖u‖ → ∞,(u ∈ V ).

B©y giê ta gi¶ thiÕt r»ng víi 1 < q < ∞, hµm F (x, z, p) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:tån t¹i c¸c h»ng sè α > 0, β > 0 sao cho

(1.17) F (x, y, p) > α|p|q − β, víi mäi x ∈ Ω, z ∈ R, p ∈ Rn.

Khi ®ã tõ (1.16), víi u ∈ W 1,q(Ω) ta suy ra

(1.18) f(u) > α‖∇u|q − γ, víi γ = β · µ(Ω).

V× thÕ f(u) → ∞ khi ‖∇u‖Lq(Ω) → ∞. §iÒu kiÖn (1.18) ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn bøc(coercive) cña f trong W 1,q(Ω). (®iÒu kiÖn (1.17) còng ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn bøc cñahµm F ).Tr−íc hÕt ta chó ý r»ng mét hµm tr¬n f : R → R bÞ chÆn d−íi ch−a ch¾c ®·

®¹t cùc tiÓu (vÝ dô hµm f = ex). Tuy nhiªn mét hµm liªn tôc f : R → R tho¶ m·n®iÒu kiÖn bøc sÏ ®¹t cùc tiÓu. Nh−ng ®iÒu kh¼ng ®Þnh trªn nãi chung kh«ng ®óng®èi víi phiÕm hµm tÝch ph©n ta ®ang xÐt. Nh− vËy t© cÇn mét ®iÒu kiÖn bæ sungnµo ®ã, cô thÓ lµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi yÕu mµ ta sÏ nãi ®Õn d−íi ®©y.Ta xÐt phiÕm hµm f(u), u ∈ W 1,q

0 (Ω) d¹ng (1.16). Gi¶ sö r»ng f(u) tho¶ m·n®iÒu kiÖn bøc.Ký hiÖu m = inf

u∈W 1,q0 (Ω)

f(u), vµ chän d·y uk ⊂W 1,q0 (Ω), sao cho

f(uk) → m khi k → ∞.

D·y uk∞1 nh− vËy ®−îc gäi lµ d·y cùc tiÓu cña phiÕm hµm f . V× f tho¶ m·n®iÒu kiÖn bøc, ta suy ra uk∞1 lµ d·y bÞ chÆn trong W 1,q

0 (Ω). Do 1 < q < ∞, nªnW 1,q

0 (Ω) lµ kh«ng gian ph¶n x¹, vµ ®èi ngÉu cña nã lµ W−1,p(Ω), víi 1p+ 1

q= 1, cho

nªn tõ d·y uk∞1 cã thÓ trÝch ra d·y con ukj héi tô yÕu trong W1,q0 (Ω): ukj u

trong W 1,q0 (Ω). Tuy nhiªn, ta kh«ng thÓ kh¼ng ®Þnh ®−îc r»ng

f(u) = limj→∞

f(ukj ),

do ®ã kh«ng thÓ suy ra u lµ ®iÓm cùc tiÓu, tøc lµ kh«ng thÓ suy ra r»ng f(u) = m.Nh− vËy nÕu phiÕm hµm f liªn tôc theo sù héi tô yÕu th× f(u) = m. Nh−ng ®iÒukiÖn nµy Ên ®Þnh lªn phiÕm hµm f lµ mét ®iÒu kiÖn kh¸ m¹nh, mµ d−íi ®©y tanhËn thÊy r»ng cã thÓ thay thÕ b»ng mét ®iÒu kiÖn kh¸c yÕu h¬n.


§Þnh nghÜa 1.2. Ta nãi phiÕm hµm f(u), u ∈ W 1,q0 (Ω), lµ nöa liªn tôc d−íi yÕu nÕu

víi mäi d·y uk∞0 héi tô yÕu ®Õn u ∈ W 1,q0 (Ω), th×

(1.19) f(u) 6 limk→∞

inf f(uk).

Ta thÊy r»ng nÕu uk lµ d·y cùc tiÓu cña phiÕm hµm f vµ f lµ nöa liªn tôcd−íi yÕu, tøc lµ khi ®ã nÕu

uk u trong W 1,q0 (Ω),

f(u) 6 limk→∞

inf f(uk).

th×

f(u) 6 m = infu∈W 1,q

0 (Ω)f(u).

V× u ∈ W 1,q0 (Ω) nªn f(u) > m, tõ ®ã suy ra f(u) = m, tøc lµ f ®¹t cùc tiÓu trong

W 1,q0 (Ω).Ta cã ®iÒu kiÖn ®ñ sau ®©y vÒ tÝnh nöa liªn tôc d−íi yÕu cña phiÕm hµm

(xem [?]).

§Þnh lý 1.16 (TÝnh nöa liªn tôc d−íi yÕu). Gi¶ sö hµm Lagrange F (x, z, p) lµ bÞchÆn d−íi vµ låi theo p víi mçi x ∈ Ω. Khi ®ã phiÕm hµm f(u) lµ nöa liªn tôc d−íiyÕu trong W 1,q

0 (Ω).

Sau ®©y ta sÏ ®−a ra mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó cho phiÕm hµm bÞ chÆn d−íi vµ®¹t cùc tiÓu. Ta cã ®Þnh lý sau.

§Þnh lý 1.17. Gi¶ sö M lµ mét kh«ng gian Haussdorf vµ f : M → R∪+∞ tho¶ m·n®iÒu kiÖn compact bÞ chÆn: Víi mäi α ∈ R, tËp hîp

(1.20) Kα = u ∈M : f(u) 6 α

lµ compact (tÝnh chÊt Heine - Borel). Khi ®ã f bÞ chÆn d−íi ®Òu trªn M vµ ®¹t cùctiÓu.

Chøng minh. Chóng ta cã thÓ gi¶ thiÕt f 6≡ +∞. Gi¶ sö α0 = infM f > −∞, vµ gi¶sö αm lµ d·y gi¶m thùc sù: αm ↓ α0 khi m → ∞. §Æt Km = Kαm . Theo gi¶ thiÕt,Km lµ compact vµ kh¸c rçng, h¬n n÷a Km ⊃ Km+1, ∀m. Do tÝnh compact cña c¸c tËpKm cho nªn tån t¹i u ∈

⋂m∈N

Km vµ tho¶ m·n f(u) 6 αm víi mäi m. Cho qua giíi

h¹n khi m → ∞, ta nhËn ®−îc f(u) 6 α0 = infMf(u). Tõ ®ã suy ra α0 = f(u), víi

u ∈M .


Chó ý r»ng nÕu phiÕm hµm f : M → R tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1.20) th× víi mäiα ∈ R, tËp hîp

u ∈M : f(u) > m = M\Kα

lµ tËp më, ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ f lµ nöa liªn tôc d−íi. Ng−îc l¹i nÕu f lµ nöa liªntôc d−íi vµ víi mét gi¸ trÞ α ∈ R nµo ®ã tËp Kα la compact th× Kα sÏ compact víimäi α 6 α, vµ tõ ®ã kh¼ng ®Þnh cña §Þnh lý 1.17 lµ ®óng.Trong khi ¸p dông, ta cã ®Þnh lý sau ®©y lµ tr−êng hîp riªng cña §Þnh lý 1.17

mµ c¸c ®iÒu kiÖn cña nã cã thÓ kiÓm tra dÔ dµng h¬n.

§Þnh lý 1.18. Gi¶ sö V lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹, M lµ tËp hîp con ®ãng yÕu cñaV . Gi¶ sö f : M → R ∪ +∞ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bøc vµ nöa liªn tôc d−íi yÕu trªnM , tøc lµ

1. f(u) → ∞ nÕu ‖u‖ → ∞, u ∈M .

2. víi mäi u ∈M , víi mäi d·y um ⊂M sao cho um u trong V , th×

f(u) 6 limm→∞

inf f(um).

Khi ®ã f(u) bÞ chÆn d−íi trªn M vµ ®¹t cùc tiÓu trong M .

Chó ý. Theo §Þnh lý Mazur: mäi tËp con ®ãng, låi cña kh«ng gian Banach V lµ ®ãngyÕu, vµ phiÕm hµm f : V → R x¸c ®Þnh f(u) = ‖u‖ lµ phiÕm hµm nöa liªn tôc d−íiyÕu.

Chøng minh §Þnh lý ??. Gi¶ sö α0 = infMf(u) vµ um ⊂M lµ d·y cùc tiÓu trong M ,

tøc lµ f(um) → α0 khi m → ∞. V× f tho¶ m ·n ®iÒu kiÖn bøc, f(um) lµ d·y bÞchÆn, nªn um lµ d·y bÞ chÆn trong V . V× V lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ nªn tånt¹i mét d·y con ukm héi tô yÕu trong V , tøc lµ tån t¹i u ∈ V sao cho

ukm u khi k → ∞.

Theo gi¶ thiÕt M lµ mét tËp ®ãng yÕu trong V nªn u ∈ M . Nhê tÝnh liªn tôc d−íiyÕu cña f ta suy ra f(u) 6 lim

k→∞inf f(ukm) = α0. MÆt kh¸c ta l¹i cã α0 > f(u). Tõ ®ã

suy ra α0 = f(u). §iÒu ph¶i chøng minh.

¸p dông kÕt qu¶ trªn vµo ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng, ta xÐt bµi to¸n biªn ®èivíi ph−¬ng tr×nh elliptic tùa tuyÕn tÝnh (suy biÕn) sau.

§Þnh lý 1.19. Gi¶ sö Ω lµ miÒn bÞ chÆn trong Rn, p > 2, f ∈ H−1,q(Ω), trong ®ãH−1,q(Ω) lµ ®èi ngÉu cña H1,p

0 (Ω). Khi ®ã tån t¹i nghiÖm yÕu u ∈ H1,p0 (Ω) cña bµi to¸n

biªn


(1.21)

−div(|∇u|p−2∇u) = f trong Ω

u = 0 trªn ∂Ω.

theo nghÜa u tho¶ m·n ®¼ng thøc

(1.22)∫

Ω

(|∇u|p−2∇u∇v− fv)dx = 0 ∀v ∈ C∞0 (Ω)

Chøng minh. Ký hiÖu

f(u) =1

p

∫

Ω

|∇u|pdx−∫

Ω

f.udx ∀u ∈ H1,p0 (Ω)

Khi ®ã f ∈ C1(H),H = H1,p0 (Ω) vµ ®¹o hµm theo h−íng v ∈ H cña f cã d¹ng

< f ′(u), v >=

∫

Ω

(|∇u|p−2∇u∇v− fv)dx

Do ®ã nÕu u lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n ®ang xÐt th×

< f ′(u), v >= 0 ∀v ∈ C∞0 (Ω)

Nãi chÝnh x¸c h¬n, hµm u ∈ H1,p0 (Ω) lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.21) khi vµ chØ khi

< f ′(u), v >= 0 ∀v ∈ C∞0 (Ω)

Chó ý r»ng H = H1,p0 (Ω) lµ kh«ng gian ph¶n x¹. H¬n n÷a phiÕm hµm f(u), u ∈

H1,p0 (Ω) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bøc (coercive). ThËt vËy, ta cã

f(u) =1

p

∫

Ω

|∇u|pdx−∫

Ω

f.udx(1.23)

≥ 1

p‖u‖p

H − ‖f‖H−1,q‖u‖H(1.24)

≥ 1

p(‖u‖p

H − c‖u‖H)(1.25)

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Young: víi 1p

+ 1q

= 1, a, b > 0

ab 6 εap + c(ε)bq, (ε > 0)

chän ε > 0 ®ñ bÐ sao cho εc < 1, ta cã

c‖u‖H 6 c(ε‖u‖pH + c(ε)).


Khi ®ãf(u) ≥ 1 − cε

p‖u‖p

H − C.

Tõ ®ã suy ra tÝnh coercive (®iÒu kiÖn bøc) cña f . §Ó chøng minh f lµ nöa liªn tôcd−íi yÕu ta chó ý r»ng ∫

Ω

|∇u|pdx = ‖u‖pH

lµ nöa liªn tôc d−íi yÕu, cho nªn ta chØ cÇn chøng minh r»ng khi um u trongH1,p

0 (Ω) th× ∫

Ω

fumdx→∫

Ω

fudx.

Nh−ng ®iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn v× um u trong H1,p0 (Ω) vµ f ∈ H−1,q(Ω).

¸p dông ®Þnh lý 1.18 ta suy ra phiÕm hµm f ®¹t cùc tiÓu u ∈ H1,p0 (Ω), ®ång thêi

u lµ nghiÖm yÕu cña ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange

< f ′(u), v >= 0 ∀v ∈ H.

Do ®ã u lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n ®ang xÐt.Chó ý: Víi p ≥ 2 p−Laplacian lµ ®¬n ®iÖu m¹nh theo nghÜa

∫

Ω

(|∇u|p−2∇u− |∇v|p−2∇v)(∇u−∇v) ≥ c‖u− v‖pH.

Tõ ®ã ta suy ra u lµ nghiÖm yÕu duy nhÊt.

1.2.2 Ph−¬ng ph¸p nh©n tö Lagrange

1.2.2.1 Bµi to¸n gi¸ trÞ riªng phi tuyÕn vµ nh©n tö La-grange

Trong môc nµy ta xÐt viÖc øng dông ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n ®Ó gi¶i bµi to¸ntèi −u cã rµng buéc

Gi¶ sö g : R → R lµ hµm liªn tôc. Ký hiÖu G(u) =u∫0

g(s)ds.

Gi¶ thiÕt r»ng

(1.26) |g(u)| 6 c(1 + |u|), u ∈ R.

Do ®ã

(1.27) |G(u)| 6 c(1 + |u|2), u ∈ R.

trong ®ã C lµ sè d−¬ng nµo ®ã.


XÐt phiÕm hµm

f(u) =1

2

∫

Ω

|∇u|2dx−∫

Ω

G(u)dx, u ∈ H10 (Ω),

trong ®ã Ω lµ miÒn bÞ chÆn trong Rn víi biªn tr¬n.Ký hiÖu

I(u) =1

2

∫

Ω

|∇u|2dx, u ∈ H10 (Ω)

vµ

(1.28) M = u ∈ H10 (Ω) :

∫

Ω

G(u)dx = 0.

Ta cã ®Þnh lý sau ®©y vÒ sù tån t¹i cùc tiÓu cã rµng buéc.

§Þnh lý 1.20. Gi¶ sö tËp M kh¸c rçng. Khi ®ã tån t¹i u ∈M sao cho

I(u) = minv∈M

I(v).

Chøng minh. Chän d·y cùc tiÓu uk∞k=1 ⊂M sao cho

I(uk) → m = infv∈M

I(v).

V× I(uk) lµ tËp bÞ chÆn, do ®ã d·y uk∞k=1 bÞ chÆn trong H10 (Ω). Khi ®ã tån t¹i

d·y con ukj∞j=1 héi tô yÕu trong H10 (Ω) vµ tån t¹i u ∈ H1

0 (Ω) sao cho ukj u trongH1

0 (Ω). §ång thêi ta cã I(u) 6 m = infv∈M

I(v).

Theo ®Þnh lý nhóng Sobolev, ukj → u trong L2(Ω).V× vËy

|J(u)| =

∣∣∣∣∣∣

∫

Ω

G(u)dx

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

∫

Ω

G(u)dx−∫

Ω

G(ukj )dx

∣∣∣∣∣∣

6∫

Ω

∣∣G(u) −G(ukj )∣∣ dx.

¸p dông tÝnh kh¶ vi cña G(u), vµ tõ (1.26) ta suy ra∣∣G(u) −G(ukj )

∣∣ 6 |u− ukj ||g(u+ θ(u− ukj))|6 c|u− ukj |(1 + |u| + |ukj |).

Tõ ®ã

|J(u)| 6 c

∫

Ω

c|u− ukj |(1 + |u|+ |ukj |)dx

6 c1

∫

Ω

∣∣u− ukj

∣∣ dx 6 c2‖u− ukj‖L2(Ω) → 0 (j → +∞).


VËy J(u) =∫Ω

G(x)dx = 0, do ®ã u ∈M .

H¬n n÷a, v× I(u) 6 m = infv∈M

I(v) , ta suy ra I(u) = m.

§Þnh nghÜa 1.3. Bµi to¸n biªn Dirichlet d¹ng

−∆u = λg(u) trong Ω,

u = 0 trªn ∂Ω,(1.29)

®−îc gäi lµ bµi to¸n gi¸ trÞ riªng phi tuyÕn.Gi¸ trÞ tham sè λ sao cho ®èi víi nã bµi to¸n gi¸ trÞ riªng cã nghiÖm u kh¸c kh«ng

trong H10 (Ω) ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ riªng, cßn nghiÖm u 6≡ 0 ®−îc gäi lµ hµm riªng t−¬ng

øng víi gi¸ trÞ riªng λ.Sù tån t¹i hµm riªng vµ gi¸ trÞ riªng phi tuyÕn ®−îc suy ra tõ ®Þnh lý 1.20 vµ ®Þnh

lý 1.21 sau ®©y

§Þnh lý 1.21 (Nh©n tö Lagrange). Gi¶ sö u ∈M lµ phÇn tö lµm cùc tiÓu cña phiÕmhµm I(v)

I(u) = minv∈M

I(v) = minv∈M

1

2

∫

Ω

|∇v|2dx.

Khi ®ã tån t¹i sè thùc λ sao cho∫

Ω

∇u.∇vdx= λ

∫

Ω

g(u).vdx, ∀v ∈ H10 (Ω).

(gi¸ trÞ λ ®−îc gäi lµ nh©n tö Lagrange)

Chøng minh. 1. Cè ®Þnh hµm v ∈ H10 (Ω). Gi¶ sö g(u) 6= 0 hÇu kh¾p n¬i trong Ω. Khi

®ã chän ®−îc hµm w ∈ H10(Ω) sao cho

∫

Ω

g(u).wdx 6= 0.

XÐt hµm hai biÕn sè

h(t, τ ) =

∫

Ω

G(u+ tv + τw)dx, (t, τ ) ∈ R2.

Khi ®ã: h(0, 0 =∫Ω

G(u)dx = 0 vµ h(t, τ ) ∈ C1, ®ång thêi ta cã

∂h

∂t(t, τ ) =

∫

Ω

g(u+ tv + τw).vdx

∂h

∂τ(t, τ ) =

∫

Ω

g(u+ tv + τw).wdx


Do ®ã∂h

∂τ(0, 0) =

∫

Ω

g(u).wdx 6= 0.

Theo ®Þnh lý hµm Èn, tån t¹i t0 > 0 ®ñ bÐ vµ hµm φ : [−t0, t0] → R sao cho

φ(0) = 0

h(t, φ(t)) = 0 ∀t ∈ [−t0, t0].

LÊy ®¹o hµm ta cã

∂h

∂t(t, φ(t)) +

∂h

∂τ(t, φ(t))φ′(t) = 0

Tõ ®ã∂h

∂t(0, φ(0)) +

∂h

∂τ(0, φ(0))φ′(0) = 0.

suy ra

φ′(0) = −∂h∂t

(0, 0)∂h∂τ

(0, 0)= −

∫Ω

g(u)vdx

∫Ω

g(u)wdx.

§Ætwt = tv + φ(t)w, |t| 6 t0.

i(t) = I(u+ wt) =1

2

∫

Ω

|∇(u+ wt)|2dx.

Nh− vËy

h(t, φ(t)) =

∫

Ω

G(u+ tv + φ(t)wt)dx = 0.

Do ®ã u+ wt ∈ M . MÆt kh¸c i(t) = I(u+ wt) ®¹t cùc tiÓu t¹i t = 0 vµ i(0) = I(u) =

minv∈M

I(v). Do ®ã i′(0) = 0. TÝnh i′(t) :

i′(t) =

∫

Ω

(∇(u+ t∇v + φ(t)∇w)(∇v+ φ′(t)∇w)dx

i′(0) =

∫

Ω

(∇u∇v + φ′(0)∇u∇w)dx

=

∫

Ω

∇u∇v−

∫Ω

g(u)vdx

∫Ω

g(u)wdx

dx

Tõ ®iÒu kiÖn i′(0) = 0, ta suy ra

∫

Ω

∇u∇vdx =

∫Ω

∇u∇wdx∫Ω

g(u)wdx

∫

Ω

g(u)vdx


§Æt

λ =

∫Ω

∇u∇wdx∫Ω

g(u)wdx

Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.∫

Ω

∇u∇vdx = λ

∫

Ω

g(u)vdx ∀v ∈ H10 (Ω).

2. NÕu g(u) = 0 hÇu kh¾p n¬i trong Ω. Khi ®ã ta cã

G′(u) = g(u).∇u = 0 h.k.n.

Do Ω liªn th«ng, nªn G(u) lµ h»ng sè hÇu kh¾p n¬i. V×∫Ω

G(u)dx = 0 nªn G(u) = 0

hÇu kh¾p n¬i.MÆt kh¸c ta cã G(0) = 0 cho nªn 0 ∈M .NÕu u 6≡ 0 hÇu kh¾p n¬i th× I(u) = 1

2

∫Ω

|∆u|2dx > 0 = I(0). §iÒu ®ã chøng tá u

kh«ng ph¶i lµ ®iÓm cùc tiÓu, tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy u = 0 hÇu kh¾p n¬i, trong tr−ênghîp nµy ta lÊy λ lµ sè thùc tuú ý. §Þnh lý ®−îc chøng minh xong.

1.2.2.2 ¸p dông

Ta xÐt mét ¸p dông cña ph−¬ng ph¸p nh©n tö Lagrange vµo ph−¬ng tr×nhelliptic nöa tuyÕn tÝnhGi¶ sö Ω lµ miÒn tr¬n bÞ chÆn trong Rn, p ∈ (2, 2∗), víi λ ∈ R ta xÐt bµi to¸n

Dirichlet

−∆u+ λu = u.|u|p−2 trong Ω,(1.30)

u ≥ 0 trong Ω,(1.31)

u = 0 trªn ∂Ω,(1.32)

0 < λ1 < λ2 6 λ3 6 λ lµ d·y c¸c gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö −∆ trong H10 (Ω). Ta

cã ®Þnh lý sau

§Þnh lý 1.22. Víi mäi λ > −λ1 bµi to¸n (1.30)-(1.32) tån t¹i nghiÖm yÕu kh«ng ©mtheo nghÜa ∫

Ω

(∇u∇v+ λuv − u|u|p−2v)dx = 0 ∀v ∈ C∞0 (Ω)

Chøng minh. Tr−íc hÕt ta cã nhËn xÐt r»ng nghiÖm yÕu cña ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange cña phiÕm hµm

f(u) =1

2

∫

Ω

(|∇u|2 + 2λ|u|2

)dx− 1

p

∫

Ω

|u|pdx


trong H10 (Ω) lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.30)-(1.32). Tuy nhiªn víi u ∈ H1

0 (Ω) nãichóng u /∈ Lp(Ω), cho nªn f(u) cã thÓ kh«ng bÞ chÆn trªn còng kh«ng bÞ chÆn d−íitrong H1

0 (Ω)

§Ó t×m nghiÖm bµi to¸n biªn ®ang xÐt ta ®−a vÒ bµi to¸n cùc tiÓu ho¸ phiÕm hµm

f(u) =1

2

∫

Ω

(|∇u|2 + 2λ|u|2

)dx ∀u ∈ H1

0 (Ω)

víi rµng buéc ∫

Ω

|u|pdx = 1.

Ta ký hiÖu

M = u ∈ H10 (Ω) :

∫

Ω

|u|pdx = 1.

Ta xÐt h¹n chÕ cña phiÕm hµm f trªn M

f|M : M → R.

Ta sÏ chøng minh r»ng phiÕm hµm f |M tho¶ m·n c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý 1.18.Tr−íc hÕt ta chøng tá M lµ tËp con ®ãng yÕu trong H1

0 (Ω).LÊy d·y uk ⊆ M : uk u trong H1

0 (Ω). Theo ®Þnh lý nhóng Sobolev uk → u

trong Lp(Ω), p ∈ (2, 2∗). V×∫Ω

|uk|pdx = 1, cho nªn qua giíi h¹n ta còng cã∫Ω

|u|pdx = 1,

do ®ã u ∈M . VËy M lµ tËp ®ãng yÕu. Chó ý r»ng, v×

λ1 = inf0 6=u∈H1

0 (Ω)

∫Ω

|∇u|2dx∫Ω

|u|2dx

ta cã thÓ −íc l−îng f(u) nh− sau: Víi λ ≥ 0 th×

f(u) =1

2

∫

Ω

|∇u|2dx+λ

2

∫

Ω

|u|2dx ≥ 1

2

∫

Ω

|∇u|2dx =1

2‖u‖2

H10(Ω)

víi −λ1 < λ < 0, v× ∫

Ω

|∇u|2dx ≥ λ1

∫

Ω

|u|2dx

cho nªn ta cãλ

∫

Ω

|u|2dx ≥ λ

λ1

∫

Ω

|∇u|2dx.

Do ®ã

f(u) ≥ 1

2

∫

Ω

|∇u|2dx +λ

λ1

∫

Ω

|∇u|2dx

≥ 1

2(1 +

λ

λ1)‖u‖2

H10 (Ω).


VËy nªn

f(u) ≥ 1

2min

1, 1 +

λ

λ1

‖u‖2

H10(Ω).

Tõ ®ã suy ra f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bøc víi mäi λ > −λ1.TÝnh nöa liªn tôc d−íi yÕu cña f suy ra tõ tÝnh nöa liªn tôc d−íi yÕu cña chuÈn

trong kh«ng gian Banach. Theo ®Þnh lý 1.18, phiÕm hµm f ®¹t cùc tiÓu u trong tËpM , nãi c¸ch kh¸c u lµ cùc tiÓu cã ®iÒu kiÖn cña f .Chó ý r»ng f(u) = f(|u|) cho nªn ta suy ra u ≥ 0. Nh−ng v× u ∈ M nªn suy ra

u 6= 0.MÆt kh¸c f lµ phiÕm hµm kh¶ vi trªn H1

0 (Ω), vµ

< f ′(u), v >=

∫

Ω

(∇u∇v+ λuv)dx ∀v ∈ H10 (Ω).

§Æt G(u) =∫Ω

|u|pdx− 1 th×

G : H10 (Ω) → R

còng kh¶ vi vµ

< G′(u), v >= p

∫

Ω

u|u|p−2vdx, ∀v ∈ H10 (Ω)

Do ®ã víi mäi u ∈M ta cã

< G′(u), u >= p

∫

Ω

|u|pdx = p 6= 0.

Theo ®Þnh lý hµm Èn th× M = G−1(0) lµ ®a t¹p kh¶ vi trong H10 (Ω). ¸p dông ph−¬ng

ph¸p nh©n tö Lagrange, tån t¹i h»ng sè µ ∈ R sao cho

< f ′(u) − µG′(u), v >=

∫

Ω

(∇u∇v + λuv − µu|u|p−2v)dx = 0, ∀v ∈ H10 (Ω).

Thay v = u, ta cã

< f ′(u) − µG′(u), u >=

∫

Ω

(|∇u|2 + λ|u|2 − µ|u|p)dx = 0.

Tõ ®ã suy ra ∫

Ω

(|∇u|2 + λ|u|2)dx = µ

∫

Ω

|u|pdx = µ.

hay 2f(u) = µ. V× f(u) > 0 nªn µ > 0. §Æt

u = µ1

p−2u.


Ta cã ∫

Ω

(µ− 1

p−2∇u∇v+ λµ− 1p−2uv − µ− 1

p−2u|u|p−2v)dx = 0

hay ∫

Ω

(∇u∇v+ λuv − u|u|p−2v

)dx = 0, ∀v ∈ H1

0 (Ω).

VËy u = µ1

p−2u ≥ 0 lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.30)-(1.32). Chøng minh xong ®Þnhlý 1.22.

Chó ý: Ng−êi ta cã thÓ chøng minh ®−îc nghiÖm u ∈ H10 (Ω) cña bµi to¸n

(1.30)-(1.32) thuéc C0(Ω) ∩ C2(Ω). (xem [7]).

1.2.3 Ph−¬ng ph¸p nghiÖm trªn yÕu, nghiÖm d−íi yÕu

Trong môc nµy ta xÐt mét ¸p dông cña ®Þnh lý 1.21 vµo bµi to¸n biªn ®èi víiph−¬ng t×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh.Gi¶ sö Ω lµ miÒn tr¬n bÞ chÆn trong Rn, g : Ω × R → R lµ hµm CarathÐodory.

Gi¶ sö u0 ∈ H1(Ω) lµ hµm cho tr−íc. Ta xÐt bµi to¸n Dirichlet

−∆u = g(·, u) trong Ω(1.33)

u = u0 trªn ∂Ω.(1.34)

§Þnh nghÜa 1.4. Ta nãi u ∈ H1(Ω) lµ nghiÖm (yÕu) d−íi cña bµi to¸n (1.33)-(1.36) nÕu

u 6 u0 trªn ∂Ω.

vµ ∫

Ω

∇u∇φdx−∫

Ω

g(·, u)φdx 6 0, ∀φ ∈ C∞0 (Ω), φ ≥ 0 trong Ω

T−¬ng tù ta nãi u ∈ H1(Ω) lµ nghiÖm (yÕu) d−íi cña bµi to¸n (1.33)-(1.36) nÕu

u ≥ u0 trªn ∂Ω.

vµ ∫

Ω

∇u∇φdx−∫

Ω

g(·, u)φdx ≥ 0, ∀φ ∈ C∞0 (Ω), φ ≥ 0 trong Ω

Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta suy ra u ∈ H1(Ω) lµ nghiÖm (yÕu) cña bµi to¸n (1.33)-(1.36)khi vµ chØ khi u võa lµ nghiÖm (yÕu) trªn võa lµ nghiÖm (yÕu) d−íi cña bµi to¸n®ã.Ta cã ®Þnh lý sau ®©y


§Þnh lý 1.23. Gi¶ sö u ∈ H1(Ω) lµ nghiÖm d−íi, cßn u ∈ H1(Ω) lµ nghiÖm trªn cña bµito¸n (1.33)-(1.36)Gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i c¸c h»ng sè c vµ c ∈ R sao cho

−∞ < c 6 u 6 u 6 c h.k.n. trong Ω

Khi ®ã tån t¹i nghiÖm yÕu u ∈ H1(Ω) cña bµi to¸n (1.33)-(1.36) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

u 6 u 6 u h.k.n. trong Ω.

Kh«ng gi¶m tæng qu¸t ta gi¶ thiÕt u0 ≡ 0. §Æt G(x, u) =u∫0

g(x, s)ds.

Tr−íc hÕt ta chó ý r»ng: vÒ h×nh thøc bµi to¸n (1.33)-(1.36) lµ ph−¬ng tr×nhEuler-Lagrange cña phiÕm hµm

f(u) =1

2

∫

Ω

|∇u|2dx−∫

Ω

G(x, u)dx, u ∈ H10 (Ω).

Tuy nhiªn gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý ch−a ®ñ ®Ó ®¶m b¶o cho phiÕm hµm f x¸c ®ÞnhhoÆc kh¶ vi trªn H1

0 (Ω). Ta ký hiÖu

M = u ∈ H10 (Ω) : u 6 u 6 u h.k.n.

V×u, u ∈ L∞(Ω)

do ®ã M ⊂ L∞(Ω) vµ h¬n n÷aG(x, u) 6 c

h.k.n. trong Ω víi mäi u ∈M .Ta chó ý r»ng H1

0 (Ω) = V lµ kh«ng gian ph¶n x¹ vµ tËp hîp M ⊆ H10 (Ω) lµ tËp

låi vµ ®ãng trong H10 (Ω). ThËt vËy, tÝnh ®ãng cña tËp M lµ hiÓn nhiªn. §Ó thÊy

M lµ tËp låi trong H10 (Ω), ta lÊy θ bÊt kú, 0 6 θ 6 1 vµ xÐt hµm

u = θu+ (1 − θ)u ∈ H10 (Ω).

Râ rµng v× u 6 u nªnu 6 u 6 u

Do ®ã u ∈M .V× M lµ tËp låi ®ãng trong H1

0 (Ω) nªn theo ®Þnh lý Mazur, M lµ tËp ®ãng yÕutrong H1

0 (Ω). V× M lµ tËp bÞ chÆn thùc sù cho nªn

f(u) ≥ 1

2‖u‖2

H10(Ω) − c

vµ f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bøc (tÝnh coercive) trªn M .


§Ó chØ ra tÝnh nöa liªn tôc d−íi yÕu cña f trªn M , ta chØ cÇn chØ ra r»ng: nÕuum ∈M héi tô yÕu ®Õn u ∈ M trong H1

0 (Ω) th×∫

Ω

G(x, um)dx→∫

Ω

G(x, u)dx

Nh−ng v× um u nªn tån t¹i d·y con umkhéi tô hÇu kh¾p n¬i trong Ω, vµ h¬n

n÷a v× umk∈M nªn |G(x, umk

)| 6 C ®Òu trong Ω.¸p dông ®Þnh lý Lebesgue vÒ héi tô tréi, ta suy ra

limk→∞

∫

Ω

G(x, umk)dx =

∫

Ω

G(x, u)dx

Tõ ®ã suy ra ∫

Ω

G(x, u)dx 6 limm→+∞

inf

∫

Ω

G(x, um)dx.

Nh− vËy c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý 1.18 ®−îc tho¶ m·n, do ®ã tån t¹i ®iÓm u ∈M

lµ cùc tiÓu t−¬ng ®èi cña f .Ta sÏ chøng minh r»ng u lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.33)-(1.36)Víi φ ∈ C∞

0 (Ω), ε > 0 tuú ý, ta ®Æt

vε = minu,maxu, u+ εφ= u+ εφ− φε + φε

trong ®ã

φε = max0, u+ εφ− u ≥ 0

φε = −min0, u+ εφ− u ≥ 0.

Chó ý r»ngφε, φε ∈ H1

0 (Ω) ∩ L∞(Ω)

vµ f cã ®¹o hµm theo h−íng vε − u.V× u lµ cùc tiÓu cña f trªn M ta cã

0 6< vε − u, f ′(u) >= ε < φ, f ′(u) > − < φε, f ′(u) > + < φε, f′(u) > .

Tõ ®ã

(∗) < φ, f ′(u) >≥ 1

ε[< φε, f ′(u) > − < φε, f

′(u) >]

V× u lµ nghiÖm trªn cña bµi to¸n (1.33)-(1.36) cho nªn ta cã

< φε, f ′(u) > =< φε, f ′(u) > + < φε, f ′(u) − f ′(u) >


≥< φε, f ′(u) − f ′(u) > .

Tõ ®ã ta cã

< φε, f ′(u) > ≥∫

Ωε

∇(u− u)∇(u+ εφ− u) − (g(x, u) − g(x, u))(u+ εφ− u)dx

≥ ε

∫

Ωε

∇(u− u)∇φdx− ε

∫

Ωε

|g(x, u) − g(x, u)||φ|dx.

trong ®ãΩε = x : u+ εφ ≥ u > u

Chó ý r»ng khi ε → 0 th× ®é ®o cña Ωε dÇn vÒ 0, tøc lµ Ln(Ωε) → 0. V× vËy tacã −íc l−îng

< φε, f ′(u) >≥ o(ε)

trong ®ã o(ε) lµ v« cïng bÐ bËc cao h¬n ε khi ε→ 0.T−¬ng tù ta còng cã

< φε, f′(u) >6 o(ε)

Tõ hai −íc l−îng nµy vµ tõ −íc l−îng (∗) ta suy ra

< φ, f ′(u) >≥ 0 ∀φ ∈ C∞0 (Ω).

§æi dÊu cña φ ta l¹i cã

< −φ, f ′(u) >≥ 0 ∀φ ∈ C∞0 (Ω).

VËy< φ, f ′(u) >= 0 ∀φ ∈ C∞

0 (Ω).

Do C∞0 (Ω) trï mËt trong H1

0 (Ω), nªn ta cã

< φ, f ′(u) >= 0 ∀φ ∈ H10 (Ω).

hayf ′(u) = 0.

§iÒu ®ã cã nghÜa lµ u lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.33)-(1.36).Chó ý: Ta xÐt tr−êng hîp ®Æc biÖt khi Ω lµ miÒn tr¬n bÞ chÆn trong Rn, n ≥ 3.

(1.35) g(x, u) = k(x)u− u|u|p−2, p =2n

n− 2

trong ®ã k(x) lµ hµm liªn tôc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

1 6 k(x) 6 K < +∞, ∀x ∈ Ω.

Gi¶ sö u0 ∈ C1(Ω), u0 ≥ 1 trªn ∂Ω.Chän u = 1 lµ nghiÖm d−íi, u = c > 1 lµ nghiÖm trªn. Khi ®ã theo ®Þnh lý 1.23,

tån t¹i nghiÖm u ≥ 1 cña bµi to¸n (1.33)-(1.36).


1.3 Mét sè ®Þnh lý vÒ lý thuyÕt ®iÓm tíi h¹n vµ øng dôngvµo ph−¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh trong Rn

Trong môc nµy ta sÏ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ lý thuyÕt ®iÓm tíi h¹n vµmét vµi øng dông cña nã ®Ó chøng minh sù tån t¹i nghiÖm ®èi víi ph−¬ng tr×nhelliptic nöa tuyÕn tÝnh trong Rn.

1.3.1 §iÒu kiÖn Palais-Smale vµ sù tån t¹i ®iÓm tíi h¹n

Trong môc nµy ta xÐt ®iÒu kiÖn Palais-Smale vµ mét vµi ®Þnh lý vÒ ®iÓm tíih¹n. §Æc biÖt ta sÏ xÐt tr−êng hîp khi d·y Palais-Smale bÞ chÆn nh−ng kh«ng tiÒncompact. Tr−êng hîp nµy sÏ ¸p dông cho c¸c môc sau. Ta chØ h¹n chÕ xÐt trongkh«ng gian Hilbert, nh−ng tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ ®Òu cã thÓ më réng trong kh«ng gianBanach.

§Þnh nghÜa 1.5. Gi¶ sö H lµ mét kh«ng gian Hilbert, f lµ mét phiÕm hµm x¸c ®Þnhtrªn H . Gi¶ thiÕt f ∈ C1(H). Ta nãi r»ng d·y un ⊂ H lµ mét d·y Palais-Smale t¹iβ cña f-ký hiÖu lµ (PS)β nÕu

f(un) → β, f ′(un) → 0 khi n→ ∞

trong ®ã f ′ lµ ®¹o hµm Frechet cña f trong H .Ta nãi r»ng f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Palais-Smale t¹i β nÕu mäi d·y (PS)β ®Òu chøa

mét d·y con héi tô.Ta nãi r»ng f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS) nÕu nã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS)β víi mäi

β.

Chó ý r»ng ®Þnh nghÜa nµy chÆt h¬n ®Þnh nghÜa tæng qu¸t cña d·y (PS) nh−sau: D·y un ⊂ H ®−îc gäi lµ d·y (PS) cña f nÕu

|f(un)| 6 c, f ′(un) → 0 khi n→ ∞

§Þnh lý 1.24. Cho f ∈ C1(H). Gi¶ sö r»ng

i) Mäi d·y (PS) cña f lµ bÞ chÆn;

ii) Víi mäi u ∈ H, f ′(u) = Lu+K(u)

trong ®ã

L lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh kh¶ nghÞch,

K lµ to¸n tö compact.

Khi ®ã f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS) .


Chøng minh. Cho un lµ mét d·y (PS) cña f trong H , theo gi¶ thiÕt i) th× d·y nµybÞ chÆn. Tõ ®Þnh nghÜa d·y (PS) ta cã

f ′(un) = Lun +K(un) → 0 khi n→ ∞.

§Æt yn = K(un). V× K compact cho nªn tån t¹i d·y con unk cña un sao cho ynk

héi tô ®Õn y trong H . Tõ ®ã suy ra

unk= L−1(f ′(unk

) − ynk) → −L−1y khi k → ∞.

VËy theo ®Þnh nghÜa f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS) . §Þnh lý ®−îc chøng minh.

Sau ®©y ta sÏ ký hiÖu

Aα = u ∈ H : f(u) < α, α ∈ R.

MÖnh ®Ò 1.25. Gi¶ sö f ∈ C1(H) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS)β . Khi ®ã

a) Kβ = u ∈ H : f(u) = β vµ f ′(u) = 0 lµ tËp compact.

b) NÕu Kβ = ∅ th× tån t¹i δ > 0 sao cho ‖f ′(u)‖ ≥ δ víi mäi u ∈ H : |f(u)−β| < δ.

Chøng minh. a) LÊy mét d·y um bÊt kú (nÕu cã) trong Kβ , ta sÏ chøng minhr»ng cã thÓ trÝch ra mét d·y con cña um héi tô trong Kβ ®Õn u ∈ Kβ . ThËtvËy, tõ ®Þnh nghÜa tËp Kβ ta cã

f(um) = β vµ f ′(um) = 0.

Do ®ã, um lµ mét d·y (PS)β cña f . V× theo gi¶ thiÕt, f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn(PS)β nªn tån t¹i d·y con umk

cña um héi tô ®Õn u trong H . V× f ∈ C1(H)

nªn qua giíi h¹n k → ∞ ta cã

f(u) = β vµ f ′(u) = 0.

§iÒu nµy cã nghÜa lµ u ∈ Kβ . VËy Kβ lµ mét tËp compact.

b) NÕu Kβ = ∅. Gi¶ sö ng−îc l¹i víi mäi δ > 0 ®Òu tån t¹i

u ∈ H : |f(u) − β| < δ mµ ‖f ′(u)‖ < δ.

VËy víi d·y δk : δk → 0 ta cã d·y

uk ⊂ H : |f(uk) − β| < δk mµ ‖f ′(uk)‖ < δk.

§iÒu nµy suy raf(uk) → β vµ f ′(uk) → 0,


tøc lµ uk lµ mét d·y (PS)β cña f . V× theo gi¶ thiÕt, f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn(PS)β nªn tån t¹i d·y con ukj cña uk héi tô ®Õn u trong H .V× f ∈ C1(H)

nªn qua giíi h¹n k → ∞ ta cã

f(u) = β vµ f ′(u) = 0.

Nh− vËy u ∈ Kβ hay Kβ 6= ∅, tr¸i gi¶ thiÕt. VËy ®iÒu gi¶ sö lµ kh«ng ®óng hayta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

MÖnh ®Ò 1.25 lµ ch×a kho¸ ®Ó chøng minh Bæ ®Ò biÕn d¹ng-mét b−íc c¬ b¶ntrong lý thuyÕt ®iÓm tíi h¹n.

§Þnh lý 1.26 (Bæ ®Ò biÕn d¹ng). Cho H lµ mét kh«ng gian Hilbert, f ∈ C1(H) tho¶m·n ®iÒu kiÖn (PS)β . Khi ®ã víi mäi ε > 0 vµ víi mäi l©n cËn U cña Kβ , tån t¹i ε > 0

vµ hµm η ∈ C(H × R,H) sao cho

a) η(u, 0) = u ∀u ∈ H,

b) f ′(u) = 0 th× η(u, t) = u ∀t > 0,

c) |f(u) − β| > ε th× η(u, t) = u ∀t,

d) t 7→ f(η(u, t)) lµ hµm kh«ng t¨ng,

e) NÕu u ∈ Aβ+ε \ U th× η(u, 1) ∈ Aβ−ε,

f) NÕu u ∈ Aβ+ε th× η(u, 1) ∈ Aβ−ε ∪ U,

g) η(η(u, t), s) = η(u, t+ s),

h) NÕu Kβ = ∅ th× η(1, Aβ+ε) ⊂ Aβ−ε.

§Ó chøng minh §Þnh lý 1.26, tr−íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau ®©y.

Bæ ®Ò 1.27. Cho H lµ mét kh«ng gian Hilbert thùc, f ∈ C1(H). Cho A,B,C lµ c¸c tËpcon cña H sao cho

A lµ tËp më; B,C lµ c¸c tËp ®ãng,

C ⊂ A, B ∩ C = ∅, A ∪B = H ,

Ký hiÖuH = u ∈ H : f ′(u) 6= 0

Gi¶ sö tån t¹i b > 0 sao cho ‖f ′(u)‖ ≥ b ∀u ∈ A. Khi ®ã tån t¹i tr−êng vect¬ e : H → H

tho¶ m·n:

i) ‖e(u)‖ 6 1 ∀u ∈ H, ‖e(u)‖ = 0 ∀u ∈ B,


ii) f ′(u)e(u) ≥ b2

∀u ∈ C vµ f ′(u)e(u) ≥ 0 ∀u ∈ H

iii) e(u) liªn tôc Lipschitz ®Þa ph−¬ng trªn H .

Chøng minh. Víi mçi u ∈ H ta chän vect¬ g(u) ∈ H sao cho

‖g(u) = 1‖ vµ f ′(u)g(u) ≥ 2

3‖f ′(u)‖.

NÕu u ∈ A, theo gi¶ thiÕt ‖f ′(u)‖ ≥ b do ®ã

f ′(u)g(u) ≥ 2

3‖f ′(u)‖ > b

2.

Khi ®ã, do f ′(u) ∈ C(H) nªn tån t¹i lËn cËn Wu ⊂ A sao cho

f ′(w)g(u) >b

2, ∀w ∈ Wu.

Ta cã Wuu∈A lµ mét phñ më cña A, do ®ã tån t¹i phñ më Mjj ∈ J cña A cã tÝnhchÊt

i) ∀j ∈ J, ∃ uj ∈ A : Mj ⊂Wuj

ii) Víi mçi v ∈ A, chØ tån t¹i mét sè h÷u h¹n çc tËp Mj chøa v.

Ký hiÖu ρj : A→ R, v 7→ d(v,H \Mj). Ta cã

ρj(v) 6= 0 nÕu v ∈Mj

ρj(v) = 0 nÕu v 6∈Mj .

NhËn xÐt r»ng∑k∈J

ρk(v) lµ tæng h÷u h¹n vµ kh¸c 0 v× mçi v ∈ A chØ n»m trong h÷u

h¹n çc tËp Mj , do ®ã x¸c ®Þnh hµm

βj : A→ R, v 7→ ρj(v)∑k∈J

ρk(v), j ∈ J,

vµ hµmg0 : A→ R, v 7→

∑

j∈J

βj(v)g(uj),

trong ®ã tæng chØ gåm h÷u h¹n sè h¹ng v× chØ cã h÷u h¹n çc tËp Mj chøa v tøc lµ chØcã h÷u h¹n sè h¹ng βj(v) 6= 0. Khi ®ã g0(v) lµ liªn tôc Lipschitz ®Þa ph−¬ng vµ h¬nn÷a

‖g0(v)‖ 6∑

j∈J

βj(v)‖g(uj)‖ =∑

j∈J

βj(v) = 1.

XÐt hµm

α : H → R, v 7→ d(v,B)

d(v,B) + d(v,C).


Khi ®ã, α liªn tôc Lipschitz ®Þa ph−¬ng trªn H vµ

α(u) = 0 nÕu u ∈ B,

α(u) = 1 nÕu u ∈ C,

0 6 α(u) 6 1 nÕu u ∈ H.

XÐt hµm e : H → R x¸c ®Þnh bëi

e(u) =

α(u)g0(u) , u ∈ A.

0 u ∈ H \A.

Ta cã

i) ‖e(u)‖ 6 1 ∀u ∈ H, ‖e(u)‖ = 0 ∀u ∈ B,

ii) f ′(u)e(u) ≥ b2

∀u ∈ C vµ f ′(u)e(u) ≥ 0 ∀u ∈ H

iii) e(u) liªn tôc Lipschitz ®Þa ph−¬ng trªn H . Bæ ®Ò ®· ®−îc chøng minh.

B©y giê ta chøng minh Bæ ®Ò biÕn d¹ng

Chøng minh. V× f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS)β , do ®ã Kβ lµ mét tËp compact. V× vËyta cã thÓ chän δ ®ñ bÐ sao cho l©n cËn

Nδ = u ∈ H : d(u,Kβ) < δ ⊂ U.

Tr−íc hÕt ta chøng minh r»ng tån t¹i c¸c sè b, ε : 0 < b, ε < 1 sao cho

(1.36) ‖f ′(u)‖ ≥ b ∀u ∈ Aβ+ε

Gi¶ sö ng−îc l¹i ®iÒu kiÖn (1.36) kh«ng ®óng víi mäi b vµ ε. Khi ®ã tån t¹i d·ybk → 0, εk → 0 vµ phÇn tö

uk ∈ Aβ+εk\ (Aβ−εk

∪N δ8) ⊂ H \N δ

8.

sao cho ‖f ′(uk)‖ < bk.Ta thÊy

f(uk) → β vµ f ′(uk) → 0 khi k → ∞,

cã nghÜa lµ uk lµ mét d·y (PS)β cña f . Theo gi¶ thiÕt, f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS)β

nªn tån t¹i d·y conukj héi tô ®Õn u trong H .V× f ∈ C1(H) cho nªn f(u) = β vµ f ′(u) = 0. Nh− vËy u ∈ Kβ . Do ®ã Kβ 6= ∅.Nh−ng v× uk ∈ H \N δ

8víi mäi k = 1, 2, λ vµ H \N δ

8lµ tËp ®ãng. Do ®ã u ∈ H \N δ

8

vµ do ®ã u 6∈ Kβ . M©u thuÉn.§Æt

ε =1

2min

ε, ε,

bδ

32,b

4

.


Ta x¸c ®Þnh c¸c tËp A,B,C nh− sau:NÕu Kβ = ∅,

A = u ∈ H : β − ε < f(u) < β + ε

B =

u ∈ H : f(u) < β − 4ε

3hoÆc f(u) > β +

4ε

3

C = u ∈ H : β − ε 6 f(u) 6 β + ε

Chó ý r»ng β − ε < β − 4ε3v× 4ε

3< 4

3ε = 2

3ε < ε vµ β − ε < β − ε.

Do ®ã A ∪B = H , B ®ãng, C ®ãng, B ∩ C = ∅ vµ C ⊂ A.NÕu Kβ 6= ∅,

A =

u ∈ H : β − ε < f(u) < β + ε vµ d(u,Kβ) >

δ

8

B =

u ∈ H : f(u) < β − 4ε

3hoÆc f(u) > β +

4ε

3hoÆc d(u,Kβ) 6

3δ

16

C =

u ∈ H : β − ε 6 f(u) 6 β + ε vµ d(u,Kβ) ≥ δ

4

.

T−¬ng tù trªn ta còng cã A ∪B = H , B ®ãng, C ®ãng, B ∩ C = ∅ vµ C ⊂ A.VËy ¸p dông bæ ®Ò, tån t¹i tr−êng vect¬ e : H → H tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trong

bæ ®Ò.Víi mçi u ∈ H ta xÐt bµi to¸n Cauchy sau ®©y

(1.37)

dη

dt= −e(η),

η(0) = u.

V× e liªn tôc Lipschitz ®Þa ph−¬ng trªn H vµ ‖e(u)‖ 6 1, do ®ã tån t¹i nghiÖmη(t, u) ∈ C1([0,∞) ×H,H) Râ rµng

(a) η(u, 0) = u, ∀u ∈ H

NÕu f ′(u) = 0 th× u 6∈ A,u ∈ B, do ®ã e(u) = 0. Khi ®ã hµm η(u, t) = u lµ nghiÖmcña bµi to¸n Cauchy

dη(u, t)

dt= −e(η(u, t)) = −e(u) = 0,

η(0) = u.

Do ®ã

(b) NÕu f ′(u) = 0 th× η(u, t) = u

NÕu u ∈ H : |f(u) − β| > ε, tøc lµ

f(u) < β − ε hay f(u) > β + ε.


V× 4ε3< ε nªn tõ ®Þnh nghÜa tËp B ta suy ra u ∈ B, e(u) = 0 vµ lý luËn nh− trªn ta

còng cã

(c) η(u, t) = u.

Tõ (3.2) vµ bæ ®Ò trªn ta cã

df(η(u, t))

dt= f ′(η(u, t))

dη(u, t)

dt= −f ′(η(u, t))e(η(u, t)) 6 0.

do ®ã

(d) f(η(u, t)) lµ hµm kh«ng t¨ng theo t

§Ó chøng minh (e) ta chó ý r»ng: V× Nδ ⊂ U nªn ta sÏ chøng minh r»ng NÕuu ∈ Aβ+ε \Nδ th× η(u, 1) ∈ Aβ−ε. Nh−ng nÕu u ∈ Aβ−ε th× v× f(η(u, t)) lµ hµm kh«ngt¨ng nªn f(η(u, 1)) 6 β − ε, do ®ã η(u, 1) ∈ Aβ−ε v× thÕ chóng ta chØ cÇn chøng minhr»ng NÕu u ∈ Aβ+ε \ (Aβ−ε∪Nδ

th× η(u, 1) ∈ Aβ−ε. ThËt vËy, gi¶ sö u ∈ Aβ+ε \ (Aβ−ε∪Nδ.

Víi t ≥ 0, ta dÆtD(t) = η(u, s) : 0 6 s 6 t.

V× f(η(u, t)) lµ hµm kh«ng t¨ng theo t, cho nªn

f(η(u, t)) 6 f(η(u, 0)) = f(u) 6 β + ε, ∀t ≥ 0.

Tõ ®ã suy ra D(1) ⊂ Aβ+ε.

Gi¶ thiÕt ng−îc l¹i r»ng

(1.38) D(1) ∩ Aβ−ε = ∅.

Do D(0) = u lµ tËp con cña tËp ®ãng C , cho nªn tån t¹i t0 sao cho

(1.39) t0 = maxt ∈ [0, 1] : D(t) ⊂ C.

(do tÝnh liªn tôc cña η(u, t) theo t).Theo c¸ch x¸c ®Þnh tËp hîp C , th× râ rµng

C ⊂ Aβ+ε \ (Aβ−ε ∪N δ8).

Do ®ã tõ (1.36) ta suy ra víi mäi 0 6 s 6 t0

f ′(η(u, 0))e(η(u, 0)) ≥ b

2.

Cho nªn ta nhËn ®−îc

f(η(u, 0)) − f(η(u, t0)) =

0∫

t0

df(η(u, s))

dsds


=

t0∫

0

f ′(η(u, s)e((η(u, s))ds

≥t0∫

0

b

2ds =

b

2t0.

MÆt kh¸c v× η(u, 0), η(u, t0) ∈ D(1) ⊂ Aβ+ε \Aβ−ε ta cã

f(η(u, 0)) − f(η(u, t0)) < 2ε

Tõ ®ã

(1.40)b

2t0 < 2ε hay t0 <

4ε

b<δ

8.

Chó ý r»ng tõ (3.2) ta nhËn ®−îc −íc l−îng sau ®©y

‖η(u, t)− η(u, 0)‖ =‖t∫

0

e(η(u, s))ds‖ 6t∫

0

‖e(η(u, s))‖ds

=

t∫

0

ds = t, ∀t ≥ 0.

Do ®ã víi mäi t ∈ [0, t0] vµ víi u ∈ Aβ+ε \ (Aβ−ε ∪ Nδ) nªn η(u, 0) = u ∈ H \Nδ, tacã ‖η(u, t)− η(u, 0)‖ 6 t 6 t0 <

δ8.

V× vËy η(u, t) ∈ H \N 7δ8, 0 6 t 6 t0. Tõ ®ã suy ra D(t0) ⊂ H \N 7δ

8. Ta sÏ chøng

minh t0 = 1. ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i t0 < 1. Khi ®ã tån t¹i t1 ∈ (t0, 1] sao choD(t1) ⊂ H \N δ

4. Khi ®ã

D(t0) ⊂ D(t1) ⊂ Aβ+ε \ (Aβ−ε ∪N δ4) ⊂ C.

§iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch x¸c ®Þnh t0. VËy t0 = 1. MÆt kh¸c tõ (1.40) ta l¹i cã

1 = t0 <4ε

bhay ε >

b

4

§iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch x¸c ®Þnh ε : ε < b8.

Nh− vËy ta sÏ chøng minh ®−îc r»ng nÕu D(1) ∩Aβ−ε = ∅ th× ε > b4, dÉn ®Õn m©u

thuÉn. VËy D(1) ∩ Aβ−ε 6= ∅.Tõ ®ã suy ra tån t¹i t2 ∈ [0, 1] sao cho f(η(u, t2)) 6 β − ε.V× f(η(u, t)) kh«ng t¨ng tbeo t cho nªn f(η(u, 1)) 6 β − ε hay η(u, 1) ∈ Aβ−ε. Ta

chøng minh xong (e).Tõ (e) suy ra (f).TÝnh chÊt (g) suy ra tõ tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy (3.2).


§Þnh lý 1.28 (Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland). Gi¶ sö f : M → (−∞,∞) trong ®ãM lµ mét kh«ng gian metric ®ñ, vµ gi¶ thiÕt

i) f lµ nöa liªn tôc d−íi, tøc lµ u ∈M : f(u) > α më trong M víi mäi α

ii) f lµ bÞ chÆn d−íi, tøc lµ β = inf f > −∞

iii) f 6≡ ∞

Khi ®ã víi mäi ε, δ > 0 vµ víi mäi u ∈ M sao cho f(u) 6 β + ε th× tån t¹i v ∈ M saocho

a) f(v) 6 f(u)

b) dist(u, v) < δ

c) f(v) < f(w) +ε

δdist(v,w) ∀w ∈M,w 6= v

¸p dông bæ ®Ò biÕn d¹ng (hay nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland) ta cã thÓ chøngminh nguyªn lý Min-Max tæng qu¸t sau ®©y.

§Þnh lý 1.29 (Nguyªn lý Min-Max tæng qu¸t). Gi¶ sö f ∈ C1(H) tho¶ m·n ®iÒukiÖn (PS). Gi¶ thiÕt Γ lµ líp c¸c tËp con trong H sao cho

1) β = infA∈Γ

supAf(u) ∈ R

2) Víi mäi tËp A ∈ Γ vµ víi mäi ¸nh x¹ η ∈ C(H × R,H), tån t¹i ε tho¶ m·n ®iÒukiÖn a), b), c), d) vµ g) trong bæ ®Ò biÕn d¹ng th× η(A, 1) ∈ Γ.

Khi ®ã β lµ gi¸ trÞ tíi h¹n cña f .

Chøng minh. ¸p dông bæ ®Ò biÕn d¹ng. Gi¶ sö ®Þnh lý kh«ng ®óng. Khi ®ã Kβ = ∅.¸p dông §Þnh lý 1.26 (bæ ®Ó biÕn d¹ng) suy ra r»ng víi ε ®· cho, tån t¹i hµm biÕnd¹ng η vµ ε > 0 cã c¸c tÝnh chÊt cña bæ ®Ò biÕn d¹ng. V× β = inf

A∈Γsup

Af(u) ∈ R nªn

tån t¹i tËp A ∈ Γ sao chosup

Af(u) < β + ε.

Nh− vËy víi mäi u ∈ A th× u ∈ Aβ+ε hay A ⊂ Aβ+ε. Khi ®ã theo ®Þnh lý 1.26 th×η(A, 1) ⊂ Aβ−ε. Do ®ã f(η(A, 1)) < β − ε.Theo gi¶ thiÕt η(A, 1) ∈ Γ, mµ f(η(A, 1)) < β − ε ®iÒu ®ã tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy

tån t¹i u0 ∈ H sao cho f(u0) = β, f ′(u0) = 0, tøc lµ β lµ mét ®iÓm tíi h¹n.

Mét trong nh÷ng tr−êng hîp riªng cña ®Þnh lý Min-Max tæng qu¸t lµ ®Þnh lýqua nói næi tiÕng.

§Þnh lý 1.30 (§Þnh lý qua nói). Cho H lµ mét kh«ng gian Hilbert, f ∈ C1(H). Gi¶thiÕt r»ng


1) f(0) = 0

2) Tån t¹i r > 0 sao cho f(u) > α > 0∀u : ‖u‖ = r

3) Tån t¹i u ∈ H sao cho ‖u‖ > r vµ f(u) < 0.

Khi ®ã, ®Æt

(1.41) Γ = γ ∈ C([0, 1],H) : γ(0) = 0, γ(1) = α

vµ β = infγ∈Γ

maxt∈[0,1]

f(γ(t)). NÕu f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS)β th× β lµ gi¸ trÞ tíi h¹n cña

hµm f .

Chøng minh. 1) Râ rµng

(1.1) β ≥ α

2) Gi¶ sö ng−îc l¹i β kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ tíi h¹n cña f . Khi ®ã Kβ = ∅. Chän sèε > 0 ®ñ bÐ sao cho

(1.2) 0 < ε <α

2

Theo ®Þnh lý 1.26 (bæ ®Ò biÕn d¹ng), tån t¹i δ > 0 sao cho 0 < δ < ε vµ métphÐp ®ång ph«i

(1.3) η : H → H, η(Aβ+δ) ⊂ Aβ−δ

vµ η(u) = u nÕu u 6∈ f−1([β − ε, β + ε])

3) Chän γ ∈ Γ sao cho

(1.4) maxt∈[0,1]

f(γ(t)) < β + δ

vµ ®Æt γ(t) = η γ = η(γ(t)). Khi ®ã γ(t) ∈ Γ. Chó ý r»ng

γ(0) = η(γ(0)) = η(0), γ(1) = η(γ(1)) = u.

Do ®ã γ(t) ∈ Γ vµ v× γ ∈ Aβ+δ nªn γ(t) = η(γ) ∈ Aβ−δ. Cho nªn

maxt∈[0,1]

f(γ(t)) 6 β − δ.

Nh− vËy ta l¹i cãβ = inf

γ∈Γmaxt∈[0,1]

f(γ(t)) 6 β − δ.

®iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn. VËy β lµ mét gi¸ trÞ tíi h¹n cña hµm f .


§Þnh nghÜa 1.6. Gi¶ sö f ∈ C1(H) vµ u lµ mét ®iÓm tíi h¹n cña f víi f(u) = β. Tanãi u lµ ®iÓm tíi h¹n lo¹i qua nói nÕu víi mäi l©n cËn N cña u, tËp N ∩Aβ lµ kh«ngliªn th«ng.

§Þnh lý 1.31. Víi nh÷ng gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý qua nói (®Þnh lý 1.30). Khi ®ã

1) HoÆc f cã ®iÓm cùc tiÓu t−¬ng ®èi u 6= 0 víi f(u) = β;

2) hoÆc f cã ®iÓm tíi h¹n lo¹i qua nói víi f(u) = β.

§Þnh lý 1.32. Gi¶ sö f ∈ C1(H) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS) . Gi¶ sö 0 lµ gi¸ trÞ cùc tiÓut−¬ng ®èi: f(0) = 0 vµ f cã ®iÓm cùc tiÓu t−¬ng ®èi thø 2: u1 6= 0. Khi ®ã:

1) HoÆc tån t¹i ®iÓm tíi h¹n u cña f kh«ng ph¶i lµ ®iÓm cùc tiÓu;

2) hoÆc çc ®iÓm 0 vµ u1 liªn th«ng víi nhau trong mäi l©n cËn cña tËp hîp çc ®iÓmcùc tiÓu t−¬ng ®èi u cña f mµ f(u) = 0. Khi ®ã β = f(u1) = f(0) = 0.

Chøng minh. (§Þnh lý 1.32) Gi¶ sö Γ vµ β nh− trong ®Þnh lý 1.30, tøc lµ

Γ = γ ∈ C([0, 1],H) : γ(0) = 0, γ(1) = u1

vµ β = infγ∈Γ

maxt∈[0,1]

f(γ(t)). Gi¶ sö Kβ lµ tËp çc ®iÓm cùc tiÓu t−¬ng ®èi cña f cã gi¸ trÞ

β. Khi ®ã, víi mçi ®iÓm u ∈ Kβ tån t¹i l©n cËn N(u) sao cho

f(u) = β 6 f(v) ∀v ∈ N(u).

§Æt N0 =⋃

u∈Kβ

N(u)

Gi¶ sö N lµ mét l©n cËn bÊt kú cña Kβ , ε vµ η ®−îc x¸c ®Þnh nh− trong bæ ®Ò biÕnd¹ng 1.26 víi ε = 1 vµ N = N0 ∩ N .Chän γ(t) ∈ Γ sao cho γ([0, 1]) ⊂ Aβ+ε. §Æt γ′ = η(·, 1) γ ∈ Γ. Khi ®ã γ tho¶

m·n ®iÒu kiÖnγ′([0, 1]) ⊂ η(Aβ+ε, 1) ⊂ N ∪Aβ−ε ⊂ N0 ∪Aβ−ε

Nh−ng N0 vµ Aβ−ε kh«ng t−¬ng giao víi nhau v× vËy tËp N0 ∪Aβ−ε kh«ng liªn th«ng.Nh− vËy hoÆc γ′([0, 1]) ⊂ N hoÆc γ′([0, 1]) ⊂ Aβ−ε. §iÒu ®ã m©u thuÉn víi çch x¸c®Þnh β

β = infγ∈Γ

maxt∈[0,1]

f(γ(t)).

Tõ ®ã ta kÕt luËn r»ng γ′([0, 1]) ⊂ N ⊂ N vµ γ(0) = 0, γ(1) = u1 liªn th«ng víi nhautrong l©n cËn N cña Kβ . §Æc biÖt 0 ∈ Kβ vµ u1 ∈ Kβ , β = f(0) = f(u1) = 0.

Chøng minh. (§Þnh lý 7.1) Gi¶ sö ng−îc l¹i r»ng Kβ kh«ng chøa ®iÓm cùc tiÓu t−¬ng®èi vµ kh«ng chøa ®iÓm tíi h¹n d¹ng qua nói. Khi ®ã mäi u ∈ Kβ cã l©n cËn N(u)

sao cho: N(u) ∩ Aβ 6= ∅ vµ liªn th«ng ®−êng. H¬n n÷a Kβ ⊂ Aβ = u : f(u) < β.PhÇn cßn l¹i cña chøng minh ta dïng bæ ®Ò sau ®©y


Bæ ®Ò 1.33. Gi¶ sö (M,d) lµ mét kh«ng gian metric, K vµ Λ lµ çc tËp con kh¸c rçngcña M sao cho K compact, Λ më vµ K ⊂ Λ, lµ bao ®ãng cña Λ.Gi¶ sö N(u) : u ∈ K lµ mét phñ më cña K sao cho mçi u ∈ K tËp N(u) ∩ Λ lµ

liªn th«ng.Khi ®ã tån t¹i mét sè h÷u h¹n çc tËp më U1, λ, UL çc tËp më kh«ng giao nhau

phñ K sao cho Ul ∩Λ víi mçi l (1 6 l 6 L) ®−îc chøa trong mét thµnh phÇn liªn th«ngcña Λ.

¸p dông chøng minh ®Þnh lý 1.32 víi K = Kβ ,Λ = Aβ.Gi¶ sö U1, λ, UL lµ mét phñ më kh«ng t−¬ng giao víi nhau cña Kβ vµ N = ∪L

l=1Ul.Chän ε = α (nh− trong ®Þnh lý 1.29, ®Þnh lý qua nói). Víi ε, β vµ N , tån t¹i ε > 0

vµ biÕn d¹ng η theo bæ ®Ó biÕn d¹ng 1.26.LÊy γ ∈ Γ sao cho γ([0, 1]) ⊂ Aβ+ε. Khi ®ã

γ′(t) = η(·, 1) γ(t) = η[γ(t), 1] ∈ Γ

vµγ′([0, 1]) = η(Aβ+ε, 1) ⊂ Aβ−ε ∪N = Aβ−ε ∪ U1 ∪ · · · ∪ UL.

Cã thÓ gi¶ thiÕt γ′ ∈ C1.Chän α0 ∈ (β − ε, β) sao cho α0 lµ gi¸ trÞ ®Òu cña f γ = f(η(γ(t), 1)).Gi¶ sö 0 < t1 < t2 < · · · < t2k−1 < t2k < 1 sao cho

f γ′(ti) = f [η(γ(ti), 1)] = α0, i = 1, 2, λ, 2k.

NÕu ®Æt Ij = [t2j−1, t2j], i = 1, 2, λ, k, th×

β − ε < f γ′(∂Ij) = α0 < β.

Tõ ®ã suy raγ′(t)|t∈Ij

6∈ Aβ−ε.

MÆt kh¸c ta l¹i cãγ′([0, 1]) ⊂ η(Aβ+ε, 1) ⊂ Aβ−ε ∪NL

cho nªn γ′(t)|t∈Ij⊂ N = ∪L

l=1Ul. V× çc tËp U1, λ, UL kh«ng t−¬ng giao víi nhau, do®ã víi mäi j tån t¹i sè l sao cho γ′(Ij) ⊂ Ul.Nh−ng f γ′(∂Ij) = α0 < β vµ Ul ∩ Aβ liªn th«ng. Cho nªn ta cã thÓ thay γ′(Ij)

bëi ®−êngγ : Ij → Ul ∩ Aβ

sao cho γ|t∈Ij= γ|t∈Ij

, ∀j = 1, 2, λ, k.Nh− vËy ta nhËn ®−îc γ ∈ Γ sao cho

supu∈γ

f(u) < β.

§iÒu ®ã dÉn ®Õn m©u thuÉn. §Þnh lý ®−îc chøng minh xong.


NhiÒu t¸c gi¶ ®· nghiªn cøu bµi to¸n mµ trong ®ã ®iÒu kiÖn (PS) kh«ng tho¶m·n. Sau ®©y sÏ xÐt tr−êng hîp khi d·y (PS) bÞ chÆn nh−ng kh«ng compact. Tachøng minh bæ ®Ò sau ®©y.

Bæ ®Ò 1.34. Gi¶ sö f ∈ C1,1(H,R), trong ®ã H lµ kh«ng gian Hilbert. Gi¶ thiÕt r»ng:

1. D·y (PS) bÞ chÆn.

2. Víi mäi R > 0, tån t¹i K > 0 sao cho:

(1.5) ‖f ′(u) − f ′(v)‖ 6 K‖u− v‖, ∀u, v ∈ B(O,R),

trong ®ã B(0, R) lµ h×nh cÇu t©m O b¸n kÝnh R.

Gi¶ sö η(u, s) : H × [0, T+(u)] → H lµ nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy

(1.6)

dηds

= −f ′(η),

η(u, 0) = u,

trong ®ã [0, T+(u)] lµ kho¶ng lín nhÊt mµ trong ®ã nghiÖm η(u, s) x¸c ®Þnh. Khi ®ãmét trong hai kh¶ n¨ng sau tho¶ m·n

• HoÆc f(η(u, s)) → −∞ khi s→ T+(u).

• HoÆc T+(u) = +∞ vµ f ′(η(u, s)) → 0 khi s→ +∞.

Chøng minh. Tr−íc hÕt ta thÊy r»ng v×

d

dsf(η(u, s)) = f ′(η(u, s))

dη

ds= −(f ′(η))2 6 0

nªn f(η(u, s)) lµ hµm kh«ng t¨ng theo s. NÕu f(η(u, s)) kh«ng dÇn ra −∞ th× sÏ héitô ®Õn sè c khi s→ T+(u) vµ

(1.7) f(η(u, 0)) = f(u) > f(η(u, s)) > c víi s > 0.

Gi¶ sö T+(u) < +∞. Víi s′ > s > 0, ta cã:

‖η(u, s)− η(u, s′)‖ 6∫ s

s′

∥∥∥∥d

dsη(u, t)

∥∥∥∥dt =

∫ s

s′‖f ′(η)‖ dt

6√s′ − s

(∫ s

s′‖f ′(η)‖ dt

)1/2

.

MÆt kh¸c ta chó ý r»ng víi s′ > s > 0,

f(η(u, s)) − c > f(η(u, s)) − f(η(u, s′)) =

∫ s

s′

d

dsf(η(u, t))dt


=

∫ s

s′f ′(η) · dη

dtdt = −

∫ s

s′f ′(η) · f ′(η)dt

Tõ ®ã

f(η(u, s)) − c >∫ s

s′‖f ′(η)‖2dt.

(∫ s

s′‖f ′(η)‖2dt

)1/2

6√f(η(u, s)) − c 6

√f(η(u, 0)) − c

Chó ý r»ng η(u, 0) = u, ta cã

‖η(u, s)− η(u, s′)‖ 6√

|s− s′|√f(u) − c ∀s, s′ > 0.

BÊt ®¼ng thøc nµy chøng tá η(u, s) liªn tôc ®Òu theo s ∈ [0, T+(u)], do ®ã cã thÓ x¸c®Þnh c¶ víi t > T+(u). V× vËy ta cã thÓ gi¶ thiÕt T+(u) = +∞ vµ

f(η(u, s)) → c,

khi s→ +∞. Sau ®©y ta sÏ chøng minh r»ng tån t¹i d·y sn → ∞ sao cho d·y t−¬ngøng un = η(u, sn) lµ d·y (PS), cã nghÜa lµ

‖f ′(η(u, sn)‖ → 0,(1.8)

‖η(u, sn) − η(u, sn+1)‖ → 0.(1.9)

Tr−íc hÕt, v× khi s → +∞ th× f(η(u, s)) → c > −∞ nªn ta suy ra tån t¹i d·y snsao cho f ′(η(u, sn)) → 0 khi sn → +∞. ThËt vËy gi¶ sö ng−îc l¹i víi mäi d·ysn : sn → +∞ nh−ng ‖f ′(η(u, sn)‖ kh«ng dÇn vÒ 0, Khi ®ã ‖f ′(η(u, s)‖ kh«ng dÇnvÒ 0 khi s → +∞. Do ®ã tån t¹i sè s0 sao cho ‖f ′(η(, s)‖ > α > 0 víi mäi s > s0.Khi ®ã ‖f ′(η(u, u, sn)‖ kh«ng dÇn vÒ 0 khi s → +∞. Do ®ã tån t¹i sè s0 sao cho‖f ′(η(u, s))‖ > α > 0 víi mäi s > s0. Khi ®ã, tõ chøng minh trªn ta cã

(1.10) f(η(u, s)) − c >∫ s+1

s

‖f ′(η)‖dt > α0 > 0 ∀s > s0.

Cho s→ ∞ th× f(η(u, s))− c→ 0. §iÒu nµy v« lý, vËy tån t¹i d·y sn sao cho

‖f ′(η(u, sn))‖ → 0 khi n→ +∞.

H¬n n÷a nÕu∫ +∞

0

‖f ′(η(u, s))‖ds < +∞

th×

lims,s′→+∞

∫ s′

s

‖f ′(η(u, t))‖dt = 0.


V× vËy tõ −íc l−îng

‖η(u, sn) − η(u, sn+1)‖ 6∫ sn+1

sn

‖f ′(η(u, t))‖dt.

Cho n→ +∞ ta suy ra ®iÒu kiÖn (3). Ta chó ý r»ng trong tr−êng hîp nµy khi s→ +∞th× η(u, s) →0 vµ f(u0) = c. B©y giê t gi¶ thiÕt r»ng

∫ +∞

0

‖f ′(η(u, s))‖ds = +∞.

Tr−íc hÕt, tõ gi¶ thiÕt 2 ta suy ra ‖f ′(η(u, s))‖ lµ hµm liªn tôc theo s > 0, do ®ã hµm

F (c) =

∫ c

s0

‖f ′(η(u, s))‖ds

lµ hµm liªn tôc vµ t¨ng khi c→ +∞. B©y giê ta x¸c ®Þnh d·y sn nh− sau:

s0 = 0, sn 6 sn+1∫ sn+1

sn

‖f ′(η(u, s))‖ds =√f(η(u, sn)) − c.

Khi ®ã ta cã

f(η(u, sn)) − c > f(η(u, sn)) − f(η(u, sn+1))

=

∫ sn+1

sn

d

dtf(η(u, t))dt

= −∫ sn+1

sn

f ′(η)dη(u, t)

dtdt = −

∫ sn+1

sn

f ′(η)(−f ′(η))dt.

Do ®ã

f(η(u, sn)) − c >∫ sn+1

sn

‖f ′(η)‖2dt > infs∈[sn,sn+1 ]

‖f ′(η(u, s)‖

Tõ ®ã suy ra

infs∈[sn,sn+1 ]

‖f ′(η(u, s)‖ 6√f(η(u, sn) − c(1.11)

Gi¶ sö S = limn→+∞

sn. NÕu s < +∞ vµ f(η(u, s)) > c th× ta cã

∫ s

0

‖f ′(η(u, s))‖ds =∞∑

n=0

∫ sn+1

sn

‖f ′(η(u, s))‖ds

>∞∑

n=0

√f(η(u, s))− c = +∞.


§iÒu nµy lµ v« lý. VËy hoÆc S < +∞ vµ f(η(u, s)) = c hoÆc S = +∞.NÕu S < +∞ vµ f(η(u, s)) = c th× f ′(η(u, s)) = 0. V× f(η(u, s)) = c lµ gi¸ trÞ cùc

tiÓu. §ång thêi η(u, s) = η(s, u) nªn çc ®iÒu kiÖn (2) vµ (3) ®−îc tho¶ m·n. NÕuS = +∞, ta lÊy sn ∈ [sn, sn+1] sao cho

(1.12) ‖f ′(η(u, sn)‖ 6 2√f(η, sn) − c

(sn tån t¹i lµ do (1.11)), vµ khi n→ +∞ th×

(1.13) ‖f ′(η(u, sn)‖ 6 2√f(η, sn) − c→ 0.

Do ®ã

‖η(u, sn) − η(u, sn+1)‖ 6∫ sn+2

sn

‖f ′(η(u, t))dt

=

∫ sn+1

sn

‖f ′(η(u, t))dt+

∫ sn+2

sn+1

‖f ′(η(u, t))dt

6√f(η, sn) − c+

√f(η, sn+1) − c→ 0.

Tõ ®ã suy ra ngay (2) vµ (3). Nh− vËy d·y vn = η(u, sn) lµ d·y (PS), theo gi¶ thiÕtd·y nµy bÞ chÆn bëi h»ng sè R nµo ®ã. Gi¶ sö K lµ h»ng sè Lipschitz øng víi R + 1,tøc lµ

(1.14) ‖f ′(u) − f ′(v)‖ 6 K‖u− v‖, ∀u, v ∈ B(0, R + 1).

Khi ®ã víi S ®ñ lín, sn 6 S 6 sn+1,

‖f ′(η(u, s))‖ 6 ‖f ′(η(u, s))− f ′(η(u, sn)‖ + ‖f ′(η(u, sn)‖6 K‖η(u, s)− η(u, sn)‖ + ‖f ′(η(u, sn))‖

6 K

(∫ sn+2

sn

‖f ′(η(u, t)‖dt)

+ ‖f ′(η(u, sn)‖

6 K(√

f(η(u, sn) − c+√f(η(u, sn+1) − c

)+ o(n) → 0.

VËy f ′(η(u, s)) → 0 khi s→ ∞. Ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

Tõ Bæ ®Ò 1.34 ta chøng minh ®−îc MÖnh ®Ò sau ®©y nh− mét hÖ qu¶.

MÖnh ®Ò 1.35. Gi¶ sö H lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ f ∈ C1,1(H,R), Γ lµ tËp hîptÊt c¶ çc tËp con compact cña H . Gi¶ thiÕt:

1. Çc d·y (PS) cña f lµ bÞ chÆn.

2. Víi mäi R > 0, tån t¹i K > 0 sao cho

(1.15) ‖f ′(u) − f ′(v)‖ 6 K‖u− v‖, u, v ∈ B(0, R),


3. β = infA∈Γ

supu∈A f(u) ∈ R.

4. Víi mäi tËp A ∈ Γ vµ víi mäi ¸nh x¹ η ∈ C(H × R,H) tháa m·n ®iÒu kiÖn: Víiε nµo ®ã tháa m·n c¸c tÝnh chÊt a), b), c), d) vµ g) cña Bæ ®Ò biÕn d¹ng 1.26 th×η(A, 1) ∈ Γ.

Khi ®ã víi mäi ε > 0, tån t¹i u ∈ H sao cho

a) β 6 f(η(u, s)) 6 β + ε,

b) NghiÖm cña bµi to¸n Cauchy (1.6) x¸c ®Þnh víi mäi s ∈ [0,+∞).

c) f(η(u, s) → c víi c ∈ [β, β + ε].

d) f ′(η(u, c)) → 0 khi s→ ∞.

Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt 3):

(1.16) β = infA∈Γ

supu∈A

f(u).

Cè ®Þnh tËp A compact thuéc Γ sao cho

(1.17) supu∈A

f(u) < β + ε, ε > 0.

Theo gi¶ thiÕt 1) vµ 2) cña MÖnh ®Ò, tån t¹i biÕn d¹ng η(u, t) th¶o m·n c¸c ®iÒu kiÖna)-d) cña Bæ ®Ò biÕn d¹ng. Gi¶ sö mäi u ∈ A, f(η(u, s)) < β khi s → T+(u). Khi ®ãvíi mäi u ∈ A, tån t¹i τ (u) > 0 sao cho

(1.18) f(η(u, τ (u)) < β.

Do tÝnh liªn tôc, ta suy ra víi mäi u ∈ A, tån t¹i δ(u) > 0 sao cho

(1.19) f(η(v, τ (u)) < β, ∀v : ‖u− v‖ < δ(u).

Do A compact, cã thÓ phñ A bëi mét sè h÷u h¹n h×nh cÇu B(uj, δ(uj)), j = 1, 2, . . . ,m,sao cho

A ⊂⋃

j

B(uj, δ(uj)),

f(η(v, τ (uj)) < β, ∀v : ‖uj − v‖ < δ(uj), j = 1, 2, . . . ,m.

§Æt τ = maxτ (u1, . . . , τ (um). Ta cã

∀v ∈ A,∃j ∈ 1, 2, . . . ,m : v ∈ B(uj, δ(uj)).

Do ®ã f(η(u, τ )) < β. Khi ®ã víi ε′ > 0 nµo ®ã, f(η(v, τ )) < β − ε′, ∀v ∈ A, hay lµf(η(A, τ )) < β − ε′. Tõ ®ã suy ra

η(Aτ ) ∈ Aβ−ε′ = u ∈ A : f(u) < β − ε′.


Nh− vËy ta cã biÕn d¹ng η(u, τ ) sao cho η(A, τ ) ∈ Aβ−ε′ . H¬n n÷a, kh«ng gi¶m tængqu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt

f ′(u) = 0, ∀u ∈ H : |f(u) − β| > ε > 0

víi ε > 0 nµo ®ã. (V× nÕu kh«ng thay cho f ′(u) ta xÐt hµm φ(u).f ′(u), trong ®ãφ(u) = 0 bªn ngoµi l©n cËn nµo ®ã cña Kβ!). Khi ®ã η(u, t) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖna), b), c), d) vµ g) cña ®Þnh lý 1.26 (bæ ®Ò biÕn d¹ng), theo gi¶ thiÕt 3) th× η(A, 1) ∈ Γ

vµ f [η(A, 1)] < β − ε.§iÒu nµy v« lý v× ta cã thÓ chän ®−îc τ > 1, khi ®ã

∀u ∈ A : f(η(u, 1)) 6 f(η(u, τ )) < β − ε′.

Do ®ã tr¸i víi gi¶ thiÕt 2)β = inf

A∈Γsupu∈A

f(u) ∈ R.

VËy tån t¹i u ∈ H sao cho β 6 f(η(u, s)) 6 β + ε. H¬n n÷a theo bæ ®Ò 8

f(η(u, s)) → c ∈ [β, β + ε], khi s→ +∞,

f ′(η(u, s)) → 0 khi s→ +∞.

Tõ ®ã suy ra tån t¹i d·y (PS) cña phiÕm hµm f . MÖnh ®Ò 1.35 chøng minh xong.

1.3.2 øng dông ®Þnh lý qua nói vµo bµi to¸n biªn ®èi víiph−¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh

§Þnh lý 1.36. Cho Ω lµ miÒn tr¬n bÞ chÆn trong Rn, n > 3. g : Ω × R → R lµ hµmCaratheodory, ®Æt

G(x, u) =

∫ u

0

g(x, v)dv.

Gi¶ thiÕt r»ng c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y tho¶ m·n

1. lim supu→0

g(x, u)

u6 0, ∀x ∈ Ω.

2. Tån t¹i p < 2∗ = 2nn−2, h»ng sè c > 0 sao cho

|g(x, u)| 6 c(1 + ||p−1), ∀ ∈ Ω, u ∈ R.

3. Tån t¹i q > 2, R0 > 0 sao cho

0 < qG(x, u) 6 ug(x, u), h.k.n. x ∈ Ω

nÕu |u| > R0.


Khi ®ã bµi to¸n −∆u = g(·, u) trong Ω, (1)

u|∂Ω = 0, (2)

cã nghiÖm kh«ng tÇm th−êng.

Chøng minh. XÐt phiÕm hµm

f(u) =1

2

∫

Ω

|∇u|2dx−∫

Ω

G(x, u)dx, u ∈ H10 (Ω).

Gi¶ thiÕt 2 cña §Þnh lý ®¶m b¶o cho f ∈ C1(H10 (Ω)), vµ ta cã

〈f ′(u), v〉 =

∫

Ω

∇u · ∇vdx−∫

Ω

g(x, u) · vdx, v ∈ H10 (Ω).

B©y giê ta ®i xÐt ®iÒu kiÖn PS cña phiÕm hµm f . Gi¶ sö um lµ d·y PS:

|f(um)| 6 c, ∀m, f ′(um) → 0 khim→ +∞.

Ta cã

qf(um) − 〈um, f′(um)〉 =

q

2∈ |∇um|2dx− q

∫

Ω

G(x, um)dx

−(∫

Ω

|∇um||∇um|dx−∫

Ω

umg(·, um)dx

)

=q − 2

2

∫

Ω

|∇um|2dx+

∫

Ω

umg(·, um) − qG(x, um)dx

> q − 2

2‖um‖2

H10 (Ω) + Ln(Ω)esssup

x∈Ω,v∈R(vg(v)− qG(·, v)),

trong ®ã Ln(Ω) lµ ®é ®o Lebesgue cña Ω. Nhê gi¶ thiÕt 3., (vg(v) − qG(·, v)) > 0,∀v, |v| > R0. Do ®ã, tõ gi¶ thiÕt 1 vµ 2, sè h¹ng cuèi ë vÕ ph¶i lµ h÷u h¹n. MÆt kh¸cta l¹i cã

qf(u+m) − 〈um, f′(um)〉 6 o(1)‖um‖H1

0(Ω) + C,

o(1) → 0 khi m→ ∞. Tõ ®ã suy ra d·y um bÞ chÆn trong H10 (Ω).

TiÕp theo ta sÏ chøng minh r»ng f ′(um) cã d¹ng

f ′(u) = Lu+Ku,

trong ®ã L lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh kh¶ nghÞch, cßn K lµ ¸nh x¹ compact. ThËt vËy, tõgi¶ thiÕt 2, ta suy ra ¸nh x¹ u→ g(·, u) sÏ ¸nh x¹ tËp bÞ chÆn trong Lp(Ω) thµnh tËpbÞ chÆn trong Lp′(Ω) ⊂ H−1(Ω), víi p′ = p

p−1. MÆt kh¸c víi p < 2∗ = 2n

n−2, theo ®Þnh

lý Rellich - Konchakov, ¸nh x¹ nhóng H10 (Ω) vµo Lp(Ω) lµ compact, do ®ã ¸nh x¹

H10 (Ω) → Lp(Ω) → Lp′(Ω) → H−1(Ω)


x¸c ®Þnh bëi u→ Ku = g(·, u) lµ ¸nh x¹ compact. Nh− vËy, víi u ∈ H10 (Ω),

f ′(u) = −∆u−Ku = −∆u− g(·, u),

trong ®ã L = −∆ : H10 (Ω) → H−1(Ω) lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, kh¶ nghÞch, vµ

(−∆)−1 : H−1(Ω) → H10 (Ω).

VËy, kÕt hîp víi chøng minh trªn ta ®−îc: mäi d·y PS ®Òu bÞ chÆn, do ®ã f tho¶m·n ®iÒu kiÖn PS: Mäi d·y PS ®Òu cã d·y con héi tô m¹nh.Sau ®©y ta kiÓm tra c¸c gi¶ thiÕt h×nh häc cña ®Þnh lý qua nói. Tr−íc hÕt thÊy

r»ng

• f(0) = 0.

• Theo gi¶ thiÕt 1,

lim supu→0

g(·, u)u

6 0,

cho nªn ∀ε > 0, ∃δ0 = δ0(ε) > 0 sao cho

g(x, u)

u6 ε, ∀x ∈ Ω, ∀u, |u| 6 δ0

Tõ ®ã suy ra |g(x, u)| 6 2ε|u|, ∀x ∈ Ω, ∀u, |u| 6 δ0. VËy ta cã

G(x, u) 6 ε|u|2, x ∈ Ω, ∀u, |u| 6 δ0.

Tõ gi¶ thiÕt 2|g(x, u)| < C(1 + |u|)p−1,

ta suy ra

víi u > 0,

G(x, u) =

∫ u

0

g(x, v)dv 6 C(1 +1

pup)

víi u < 0:

G(x, u) =

∫ u

0

g(·,+v)dv 6∫ −u

0

|g(·,−v)|dv

6 C(|u|+ |u|p), x ∈ Ω

vËy

G(x, u) 6 C(|u|+ |u|p).


¸p dông bÊt ®¼ng thøc: víi a, b > 0,

ab 6 εaq + C(ε)bp,1

p+

1

q= 1, ε > 0,

ta cã |u| 6 ε+ C(ε)|u|p víi ε > 0 tuú ý bÐ. Tõ ®ã,

(1.20) G(x, u) 6 Cε+ C(ε)|u|p, x ∈ Ω, u ∈ R.

KÕt hîp (3) vµ (1.20), víi ε > 0 tuú ý bÐ ta cã

(1.21) G(c, u) 6 Cε+ ε2|u|2 + C(ε)|u|p.

Do ε tuú ý bÐ nªn tõ ®ã suy ra

(1.22) G(c, u) 6 ε2|u|2 + C(ε)|u|p.

¸p dông −íc l−îng (1.22) ®Ó cã ®−îc −íc l−îng ®èi víi f(u) sau ®©y

(1.23) f(u) > 1

2

∫

Ω

|∇u|2 − ε

∫

Ω

|u|2 − C(ε)

∫

Ω

|u|2dx.

Chó ý r»ng gi¸ trÞ riªng thø nhÊt cña to¸n tö −∆ trong H10 (Ω) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:

λ1 = supu 6=0

∫Ω|∇u|2dx∫

Ω|u|2dx

, u ∈ H10 (Ω),(1.24)

do ®ã∫

Ω

|u|2dx 61

λ1

∫

Ω

|∇u|2dx =1

λ1‖u‖2

H10(Ω).(1.25)

MÆt kh¸c, ¸p dông ®Þnh lý nhóng Sobolev ta cã phÐp nhóng

H10 (Ω) → Lp(Ω)

liªn tôc, cho nªn tån t¹i C > 0 sao cho

‖u‖pLp(Ω) 6 ‖u‖p

H10(Ω)

, u ∈ H10 (Ω).(1.26)

KÕt hîp l¹i ta ®−îc −íc l−îng

f(u) >(

1

2− ε

λ1− C(ε)‖u‖p−2

H10(Ω)

)‖u‖2

H10 (Ω).(1.27)

Chän ε ®ñ bÐ vµ ρ ®ñ bÐ, khi ®ã víi u ∈ H10 (Ω) vµ ‖u‖H2

0(Ω) = ρ, th×

f(u) >(

1

2− ε

λ1− C(ε)‖u‖p−2

H10(Ω)

)‖u‖2

H10(Ω) > α > 0.


VËy tån t¹i α, ρ > 0 sao cho

f(u) > α nÕu ‖u‖H10(Ω) = ρ.

Cu«i cïng tõ ®iÒu kiÖn 3, ta cã

u|u|q ddu

(|u|−qG(x, u)) > 0, ∀u, |u| > R0.

LÊy tÝch ph©n tõ R0 ®Õn u (hoÆc tõ −R0 ®Õn −u nÕu u > 0), sau mét sè tÝnh to¸n®¬n gi¶n ta ®−îc...

G(x, u) ≥ γ0(x).|u|q, x ∈ Ω, |u| ≥ R0,

trong ®ãγ0(x) = R−q

0 minG(x,R0), G(x,−R0) > 0.

Víi u ∈ H10 (Ω), t ∈ R, ta cã

f(tu) =t2

2

∫

Ω

|∇u|2dx−∫

Ω

G(x, tu)dx

6C(u)t2 − c(u)tq + Ln(Ω) esssupx∈Ω,|v|6R0

|G(x, u)|

Cho t→ +∞, vÕ tr¸i dÇn vÒ 0. Do ®ã víi u ∈ H10 (Ω), u 6= 0 cè ®Þnh, víi t > 0 ®ñ lín,

ta cãf(tu) = f(u1) < 0.

Nh− vËy c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý qua nói ®Òu tho¶ m·n ®èi víi f , ®iÒu ®ã suy ra

β = infg∈Γ

maxt∈[0,1]

f(g(t)),

trong ®ãΓ = g ∈ C([0, 1],H1

0(Ω)) : g(0) = 0, g(1) = u1

lµ gi¸ trÞ tíi h¹n cña f tøc lµ tån t¹i u0 6= 0, f(u0) = β, f ′(u0) = 0, vµ u0 lµ métnghiÖm kh«ng tÇm th−êng cña bµi to¸n theo nghÜa suy réng

∫

Ω

∇u∇vdx−∫

Ω

g(x, u)vdx = 0 ∀v ∈ H10 (Ω).

Chó ý. Gi¸ trÞ β = infg∈Γ

maxt∈[0,1]

f(g(t)) ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ qua nói cña phiÕm hµm f .

D−íi ®©y chóng ta sÏ gi¶ thiÕt Ω lµ mét tËp më trong Rn, n ≥ 3, vµ xÐt bµi to¸nbiªn trong Ω

−∆u+ u = g(x, u), x ∈ Ω

u = 0, x ∈ ∂Ω

NÕu Ω lµ mét miÒn kh«ng bÞ chÆn trong Rn th× ®iÒu kiÖn biªn u = 0 ®−îc hiÓu lµu ∈ H1

0 (Ω). Gi¶ thiÕt


g1) g ∈ C1(Rn × R,R), g(x, 0) = ∂g(x,u)∂u

|u=0 = 0, x ∈ Ω.

g2) Tån t¹i çc h»ng sè c, c1, c2 > 0 sao cho

c1|u|p−1 6 |g(x, u)| 6 c2|u|p−1,∀x ∈ Ω, p ∈ (2, 2∗)

vµ|g′u(x, u)| 6 c|u|p−2

g3) Tån t¹i µ > 2 sao cho0 < µG(x, u) 6 g(x, u).u

víi mäi x ∈ Ω, u 6= 0, G(x, u) =u∫0

g(x, s)ds.

Chó ý r»ng çc gi¶ thiÕt nµy cã thÓ lµm yÕu h¬n (nh− ®· chØ ra trong M. Struwe), ®ÆcbiÖt lµ trong tr−êng hîp Ω lµ mét miÒn bÞ chÆn.Ký hiÖu H = H1

0 (Ω)

u ∈ H, ‖u‖2 =∫Ω

(|∇u|2 + |u|2)dx

vµ u, v ∈ H, < u, v >=∫Ω

(∇u∇v+ uv)dx.

®Æt

f(u) =1

2

∫

Ω

(|∇u|2 + |u|2)dx−∫

Ω

G(x, u)dx

=1

2‖u‖2 −

∫

Ω

G(x, u)dx, u ∈ H.

Bæ ®Ò 1.37. f ∈ C1(H).

PhiÕm hµm f(u), u ∈ H ®−îc x©y dùng d−íi trªn ®©y tho¶ m·n çc gi¶ thiÕth×nh häc cña ®Þnh lý qua nói nh− trong bæ ®Ò sau ®©y.

Bæ ®Ò 1.38. PhiÕm hµm f(u), u ∈ H tho¶ m·n çc gi¶ thiÕt h×nh häc cña ®Þnh lý quanói, cã nghÜa lµ

a) ∃ρ > 0 : f(u) ≥ α > 0 ∀u ∈ H : ‖u‖ = ρ

b) ∀u 6= 0 cã f(λu) → −∞ khi λ→ +∞.

Chøng minh. a) Theo gi¶ thiÕt g2) vµ chó ý r»ng víi u ≥ 0 th× g(x, u) ≥ 0, ta cã

G(x, u) =

u∫

0

g(x, s)ds 6 C2

p|u|p.


Tõ ®ã, ¸p dông ®Þnh lý nhóng Sobolev, ta cã∫

Ω

G(x, u)dx 6C2

µ

∫

Ω

|u|p 6 C‖u‖pLp 6 C‖u‖p.

V× vËy

f(u) =1

2‖u‖2 −

∫

Ω

G(x, u)dx ≥ 1

2‖u‖2 − C‖u‖p.

Víi ‖u‖ = ρ ®ñ bÐ, chó ý p > 2, ta suy ra

f(u) ≥ 1

4‖u‖2 = α > 0 víi ‖u‖ = ρ ®ñ bÐ .

b) Chó ý r»ng víi u > 0 th× g(x, u) > 0

G(x, u) =

u∫

0

g(x, s)ds ≥ C1

pup = c|u|p.

T−¬ng tù víi u < 0, ta cã G(x, u) ≥ c|u|p.

V× thÕ víi u 6= 0, λ > 0

f(λu) 6 λ2

2‖u‖2 − λpc

∫

Ω

|u|pdx→ −∞ khi λ→ ∞.

®Ó ¸p dông ®Þnh lý qua nói, ta sÏ nghiªn cøu c¸c d·y (PS) cña phiÕm hµm f .

Bæ ®Ò 1.39. C¸c d·y (PS) cña phiÕm hµm f lµ bÞ chÆn.

Chøng minh. LÊy um ⊂ H10 (Ω) lµ d·y (PS) tøc lµ

|f(um)| 6 c, ξm = ‖f ′(um)‖ → 0 khi m→ +∞.

Khi ®ã

c+ξmµ‖um‖ ≥f(um) − 1

µ(f ′(um), um)

=(1

2− 1

µ)‖um‖2 −

∫

Ω

[G(x, um) − 1

µg(x, um).um]dx

≥(1

2− 1

µ)‖um‖2.

Tõ ®ã suy ra tÝnh bÞ chÆn cña d·y (PS) .

Bæ ®Ò 1.40. Gi¶ sö Ω lµ mét miÒn bÞ chÆn. Khi ®ã ®iÒu kiÖn (PS) tho¶ m·n.


Chøng minh. Chó ý r»ng gradient f ′(u) ∈ H ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc

< f ′(um), v >=< u, v > −∫

Ω

g(x, u)vdx.

Nh− vËy, f ′(u) = u−K(u), trong ®ã K : H → H x¸c ®Þnh bëi

< K(u), v >=

∫

Ω

g(x, u)vdx, ∀v ∈ H.

Gi¶ sö um ⊂ H lµ mét d·y bÞ chÆn vµ cè ®Þnh p ∈ [2, 2∗). Theo ®Þnh lý nhóngSobolev, tån t¹i d·y con (l¹i ký hiÖu lµ um) sao cho um → u trong Lp(Ω) vµ um → u

hÇu kh¾p n¬i. Nh− vËy

|um(x)|p 6 h(x) ∈ L1(Ω)∀m,x ∈ Ωhkn.

Chó ý r»ng|g(x, u)| 6 c|u|p−1 6 c(1 + |u|p−1).

Do ®ã víi g : Lp(Ω) → Lp

p−1 (Ω) liªn tôc. Theo ®Þnh lý vÒ sù héi tô tréi, ta suy ra

g(x, um) → g(x, u) trong Lq(Ω) = Lp

p−1 (Ω).

Tõ ®ã

‖K(um) −K(u)‖ = sup‖v‖61

< K(um) −K(u), v >

6‖g(x, uM) − g(x, u)‖q‖v‖p → 0 ∀v ∈ Lp(Ω).

VËy K(um) → K(u) trong H hay K compact. Do ®ã f ′(u) lµ tæng cña mét to¸n töcompact vµ mét to¸n tö kh¶ nghÞch. KÕt hîp víi kÕt qu¶ cña bæ ®Ò 1.39, mäi d·y(PS) ®Òu bÞ chÆn, ta suy ra f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS) .¸p dông ®Þnh lý qua nói, çc bæ ®Ò 1.38, 1.40 vµ chó ý r»ng f(0) = 0 ta cã ®Þnh lý

sau.

§Þnh lý 1.41. Gi¶ sö g(x, u) tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn g1 − g3 trong mét tËp më bÞ chÆnΩ ⊂ Rn. Khi ®ã bµi to¸n cã nghiÖm kh«ng tÇm th−êng.

Sau ®©y ta sÏ xÐt tr−êng hîp Ω lµ mét miÒn kh«ng bÞ chÆn Ω = Rn. ®Ó ý r»ngvíi çc gi¶ thiÕt vÒ hµm g(x, u) nh− trªn, phiÕm hµm f(u), u ∈ H thuéc C1,1(H),tøc lµ gradient cña f lµ Lipschitz ®Þa ph−¬ng, ta cã kÕt qu¶ sau ®©y (xem [7]).Gi¶ sö hµm g(x, u) tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn g1 − g3 vµ chó ý r»ng nÕu

|g′(x, u)| 6 c|u|p−2, x ∈ Ω, u ∈ R

th× g(x, u) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau ®©yg4) Tån t¹i h»ng sè c > 0 sao cho

|g(u)− g(v)| 6 c(|u|p−2 + |v|p−2)|u− v|,∀u, v ∈ R.


Khi ®ã, víi mäi sè R > 0 tån t¹i k > 0 sao cho

|f ′(u) − f ′(v)| 6 k‖u− v‖,∀u, v ∈ B(0, R).

Nh− vËy tõ mÖnh ®Ò 1.35, ta suy ra phiÕm hµm f(u), u ∈ H cã d·y (PS) . D−íi®©y víi mét sè gi¶ thiÕt bæ sung ta chøng minh bµi to¸n (??) tån t¹i nghiÖm.Ta b¾t ®Çu b»ng bæ ®Ò sau ®©y.

Bæ ®Ò 1.42. Gi¶ sö um ⊂ H , lµ mét d·y (PS) cña phiÕm hµm f . Khi ®ã theo bæ ®Ò1.39 th× d·y um bÞ chÆn. Gi¶ thiÕt r»ng u ∈ H sao cho

1. um u trong H

2. um → u trong Lploc vµ hkn víi mäi p ∈ [2, 2∗).

Khi ®ã u lµ mét ®iÓm tíi h¹n cña f .

Chøng minh. Gi¶ sö ϕ ∈ C∞0 (Rn), ta cã

< f ′(um), ϕ >=< um, ϕ > −∫

Ω

g(x, um)ϕ.

V× um u nªn< um, ϕ >→M < u,ϕ >

vµ ∫

Ω

g(x, um)ϕ→∫

Ω

g(x, u)ϕ

ë ®©y ta chó ý theo gi¶ thiÕt g2) th× um → u trong Lploc nªn g(x, um) → g(x, u) trong

Lqloc. Tõ ®ã suy ra r»ng

< f ′(u), ϕ >= < u,ϕ > −∫

Ω

g(x, u)ϕ

= limm→∞

< um, ϕ > −

∫

Ω

g(x, um)ϕ

= limm→∞

< f ′(um), ϕ >= 0.

Do ®ã f ′(u) = 0 vµ u lµ mét ®iÓm tíi h¹n cña f .

Chó ý. Bæ ®Ò 1.42 chØ ra r»ng mäi giíi h¹n yÕu cña d·y (PS) lµ nghiÖm. MÆt kh¸c tal¹i thÊy u = 0 còng lµ nghiÖm. Nh− vËy cßn ph¶i chøng minh r»ng nghiÖm yÕu u lµkh«ng tÇm th−êng? Trong chøng minh ®Þnh lý 1.41 nghiÖm t×m ®−îc lµ kh«ng tÇmth−êng v× chóng ta ®· t×m nghiÖm ®ã t¹i gi¸ trÞ qua nói d−¬ng β > 0. Trong tr−ênghîp nµy, v× chóng ta chØ biÕt r»ng um u vµ f chØ nöa liªn tôc d−íi yÕu cho nªnchóng ta chØ cã thÓ biÕt r»ng: 0 6 f(u) 6 β (v× r»ng víi mäi ®iÓm tíi h¹n v > 0 th×f(v) ≥ 0, theo gi¶ thiÕt g3)).


§Ó tiÕp tôc nghiªn cøu, chóng ta h·y chøng minh mét kÕt qu¶ tæng qu¸t vÒd·y bÞ chÆn trong H1(Rn).

Bæ ®Ò 1.43. Gi¶ sö um ⊂ H1(Rn) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau

1. ‖um‖ 6 c ∀m

2. Tån t¹i sè R > 0 tho¶ m·n

limm→+∞ supy∈Rn

∫

BR(y)

|um|2dx = 0.

Khi ®ã tån t¹i mét d·y con um → 0 trong Lq(Rn) víi mäi q ∈ (2, 2∗).

Chøng minh. Nh¾c l¹i r»ng, nhê ®Þnh lý nhóng Sobolev ta cã

‖u‖Lq(BR(y)) 6 c‖u‖1−θLq(BR(y)).‖u‖

θH1(BR(y))

trong ®ã θ = q−22qn. Khi ®ã

∫

(BR(y))

|u|q 6 c‖u‖(1−θ)q

L2(BR(y)).‖u‖θqH1(BR(y)).

Ta xÐt hai tr−êng hîp

1. Tr−êng hîp θq > 2

qq − 2

2qn > 2 ⇔ q > 2 +

1

n

vµ ta cã∫

(BR(y))

|u|q 6c‖u‖(1−θ)q

L2(BR(y)).‖u‖θq−2H1(BR(y)).‖u‖

2H1(BR(y))

6c supy∈Rn

‖u‖(1−θ)q

L2(BR(y))‖u‖θq−2

H1(Rn).

∫

(BR(y))

|∇u|2 + |u|2

B©y giê lÊy yk ∈ Rn sao cho

(a) Rn =⋃k

Bk(yk)

(b) Tån t¹i l ∈ N sao cho víi mçi ®iÓm x ∈ Rn thuéc vµo nhiÒu nhÊt lµ l tËpBk(yk).


Khi ®ã∫

Rn

|u|q 6∑

k

∫

(Bk(yk))

|u|q

6c supy∈Rn

‖u‖(1−θ)q

L2(BR(y))‖u‖θq−2H1(Rn).

∑

k

∫

(Bk(yk))

|∇u|2 + |u|2

6lc supy∈Rn

‖u‖(1−θ)qL2(BR(y))‖u‖

θqH1(Rn)

¸p dông −íc l−îng võa nhËn ®−îc vµ gi¶ thiÕt g2) ta suy ra

limm→+∞

∫

Rn

|um|q = 0, q ∈ (2, 2∗).

2. Tr−êng hîp θq < 2. Khi ®ã 2 < q < 2 + 1n

= q.

Ta chó ý r»ng θq = q−22qn(2 + 1

n) > 2 cho nªn theo chøng minh trªn

limm→+∞

∫

Rn

|um|q = limm→+∞

∫

Rn

|um|q = 0

víi mäi q > 2 ta ®Æt

q = λ2 + (1 − λ)q = 2 +1 − λ

n, λ = 1 − n(q − 2).

Ta cã‖u‖Lq(Rn) 6 ‖um‖λ

L2(Rn).‖um‖1−λLq(Rn) → 0 (m→ +∞).

Chó ý. Ta sÏ thÊy r»ng nÕu um lµ mét d·y (PS) th× bæ ®Ò 1.43 kh«ng x¶y ra.

Bæ ®Ò 1.44. Gi¶ sö Ω = Rn vµ um lµ mét d·y (PS)β víi β > 0. Khi ®ã tån t¹i d·yym ⊂ Rn sao cho d·y vm(x) = um(x− ym) héi tô yÕu ®Õn v 6= 0 trong H1(Rn).

Chøng minh. Tõ bæ ®Ò 1.39 ta suy ra r»ng d·y um bÞ chÆn trong H1(Rn). B©y giêta gi¶ sö tån t¹i mét sè R > 0 sao cho

limm→+∞ supy∈Rn

∫

BR(y)

|um(x)|2dx = 0.

Khi ®ã ¸p dông bæ ®Ò 1.43 ta suy ra r»ng

‖um‖Lq(Rn) → 0 (m→ +∞)


víi mäi q ∈ (2, 2∗).V× vËy tõ ®¼ng thøc

< f ′(um), um >= ‖um‖2 −∫

Rn

g(x, um(x))um(x)dx

ta cã −íc l−îng

‖um‖2 6 ‖f ′(um)‖‖um‖ + c‖um‖pLp(Rn) → 0 (m→ +∞).

ë ®©y ta chó ý r»ng∣∣∣∣∣∣

∫

Rn

g(x, um(x))um(x)dx

∣∣∣∣∣∣6 c

∫

Rn

|um(x)|pdx = c‖um‖pLp(Rn) → 0 (m→ +∞).

vµ ∣∣∣∣∣∣

∫

Rn

G(x, um(x))um(x)dx

∣∣∣∣∣∣6 c2

p

∫

Rn

|um(x)|pdx =c2p‖um‖p

Lp(Rn) → 0.

Do ®ãf(um) =

1

2‖um‖2 −

∫

Rn

G(x, um(x))um(x)dx→ 0 (m→ +∞).

®iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt uM lµ d·y (PS)β víi β > 0, tøc lµ f(um) → β > 0

khi m→ +∞. Chøng minh trªn ®©y chØ ra r»ng víi mäi R > 0 tån t¹i d·y ym ⊂ Rn

sao cho ∫

BR(ym)

|um|2 ≥ δ > 0.

®Æt vm(x) = um(x− ym). Khi ®ã ‖vm‖ = ‖um‖ 6 c vµ∫

BR(0)

|vm|2 ≥ δ > 0.

V× vËyd·y vm lµ bÞ chÆn trong H1(Rn) nªn tån t¹i d·y con vmk héi tô yÕu ®Õn

v ∈ H1(Rn) vµ do ®Þnh lý nhóng Sobolev th× vmk→ v trong Lp

loc víi mäi p ∈ [2, 2∗).Khi ®ã ∫

BR(0)

|vm|2 →∫

BR(0)

|v|2 ≥ δ (m→ +∞).

Mét hÖ qu¶ trùc tiÕp cña bæ ®Ò 1.44 lµ ®Þnh lý tån t¹i sau ®©y (xem [?])


§Þnh lý 1.45. Gi¶ sö g ∈ C1(Rn × R,R) tho¶ m·n c¸c gi¶ thiÕt (g1 − g4) víi Ω = Rn.Gi¶ thiÕt thªm r»ngg5) g(x, s) tuÇn hoµn theo x ∈ Rn, tøc lµ

g(x1 + k1, λ, xn + kn, s) = g(x1, λ, xn, s) ∀k = (k1, λ, kn) ∈ Zn.

Khi ®ã bµi to¸n − ∆u+ u = g(x, u)

u ∈ H1(Rn)

cã nghiÖm kh«ng tÇm th−êng.

Chøng minh. Theo mÖnh ®Ò 1.35, tån t¹i d·y (PS)β cña phiÕm hµm f(u), u ∈ H1(Rn).Theo bæ ®Ò 1.44, tån t¹i d·y ym ⊂ Rn sao cho d·y vm(x) = um(x− ym) héi tô

yÕu ®Õn hµm v kh¸c kh«ng trong H1(Rn).Ta chän d·y ym ⊂ Zn, ym = (y1

m, y2m) trong ®ã yj

m = [yjm] + 1. Khi ®ã

‖ym − ym‖ 6√n.

®Æt Ωm(x) = um(x+ ym). Theo gi¶ thiÕt g5) ta cã

f(um) = f(Ωm), ‖f ′(um)‖ = ‖f ′(Ωm)‖.

Do ®ã v× um lµ d·y (PS) th× Ωm còng lµ d·y (PS) cña phiÕm hµm f . Theo bæ®Ò 1.39, d·y Ωm lµ mét d·y bÞ chÆn. Tån t¹i d·y con (l¹i ký hieôe lµ Ωm) héi tôyÕu ®Õn Ω ∈ H1(Rn).

¸p dông ®Þnh lý nhóng Sobolev th×

Ωm → Ω trong Lq(Rn), q ∈ [2, 2∗)

vµΩm → Ω hkn

Do ®ã theo bæ ®Ò 1.42, Ω lµ ®iÓm tíi h¹n cña f . V× vËy Ω lµ nghiÖm cña bµi to¸n ®angxÐt.Ngoµi ra ta chó ý r»ng

vm(x) = um(x− ym) = um(x+ ym − ym) = vm(x+ ym)

mµΩm(x) = um(x+ ym)

do ®ãvm(x) = Ωm(x− ym) = vm(x+ ym).

Tõ ®ã ∫

BR+√

n(0)

|Ωm|2 =

∫

BR(0)

|vm|2.


Cho m→ +∞ ta cã ∫

BR+√

n(0)

|Ω|2 =

∫

BR(0)

|v|2 ≥ δ > 0.

víi mét R > 0 nµo ®ã. VËy Ω 6= 0. ®Þnh lý ®−îc chøng minh xong.

Chó ý. Nãi chung chóng ta chØ cã thÓ chøng minh ®−îc r»ng

0 < f(Ω) 6 β, β lµ gi¸ trÞ qua nói.

ThËt vËy, ph©n tÝch mét c¸ch chi tiÕt, ta cã thÓ thÊy r»ng

a) NÕu um lµ mét d·y (PS)α cña f th× α ≥ 0 (®Æc biÖt nÕu u lµ ®iÓm tíi h¹nkh«ng tÇm th−êng th× f(u) > 0).

b) NÕu um lµ mét d·y (PS)α cña f cã giíi h¹n yÕu u. Khi ®ã um − u lµ d·y(PS)α−f(u).

®Æc biÖt ngay c¶ khi chóng ta cã kh¶ n¨ng t×m ®−îc nghiÖm th× còng kh«ng thÓ nãir»ng phiÕm hµm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (PS) t¹i β.

Bæ ®Ò 1.46. Gi¶ sö g(x, u) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn (g1 − g3) vµg6)

g(x,u)u

lµ hµm kh«ng t¨ng víi u ≥ 0, kh«ng gi¶m víi u 6 0.Khi ®ã gi¸ trÞ qua nói β tho¶ m·n

β 6 inff(u) : f ′(u) = 0, u 6= 0.

Chøng minh. LÊy u 6= 0 : f ′(u) = 0. XÐt ¸nh x¹ γ : R → H1 x¸c ®Þnh bëi: γ(λ) = λu.Khi ®ã ta cã

f(γ(λ)) =λ2

2‖u‖2 −

∫G(x, λu),

vµd

dλf(λu) = λ‖u‖2 −

∫g(x, λu).u.

V×f(u) =

1

2

∫|∇u|2 −

∫G(x, u)

cho nªn< f ′(u), u >= ‖u‖2 −

∫g(x, u).u = 0.

Do ®ã ‖u‖2 =∫g(x, u).u. V× vËy

d

dλf(λu) = λ

∫[g(x, u).u− g(x, λu)

λ.u]


Chó ý r»ng g(x, u).u− g(x,λu)λ

.u = u2[g(x,u)u

− g(x,λu)λu

] kh«ng ©m nÕu λ ∈ [0, 1] vµ kh«ngd−¬ng nÕu λ ≥ 1. Ta suy ra df

dλ≥ 0 nÕu λ ∈ [0, 1] vµ df

dλ6 0 nÕu λ ≥ 1. V× vËy

maxλ≥0

f(λu) = f(u) nÕu u lµ ®iÓm tíi h¹n. V× γ lµ mét phÇn tö cña Γ, cho nªn

β = infγ∈Γ

maxλ∈[0,1]

f(γ(λ)) 6 infγ∈Γ

maxλ≥0

f(λu) = infu:f ′(u)=0

f(u).

Tõ ®ã suy ra kÕt luËn cña bæ ®Ò 1.46.

Nh− lµ mét hÖ qu¶ cña bæ ®Ò trªn ®©y, ta suy ra.

MÖnh ®Ò 1.47. Gi¶ sö g(x, u) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn (g1 − g6) trong Ω = Rn. Khi ®ãgi¸ trÞ qua nói β lµ gi¸ trÞ tíi h¹n.

Chøng minh. ThËt vËy, chóng ta biÕt r»ng f cã ®iÓm tíi h¹n kh«ng tÇm th−êng t¹igi¸ trÞ tíi h¹n α : 0 < α 6 β (xem chó ý trªn). Nh−ng theo bæ ®Ò 1.46 th× α ≥ β. VËyα = β.


Ch−¬ng 2

Mét sè bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ øng

dông

Trong phÇn nµy chóng t«i sÏ giíi thiÖu mét sè bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cæ ®iÓncña F. E. Browder, P. Hartman, J. L. Lions, G. Stampacchia, . . . cïng mét sè øngdông trong gi¶i tÝch vµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. C«ng cô ®Ó tiÕp cËn víi çcbÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n mµ chóng t«i sö dông ë ®©y lµ lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng.TÊt nhiªn, chóng t«i sÏ tr¸nh viÖc dïng Bæ ®Ò KKM b»ng çch chØ ¸p dông §Þnhlý Brouwer (xem Takahashi [Ta], Simons [Si]).

2.1 Më ®Çu

Gi¶ söH lµ mét kh«ng gian Hilbert thùc, tÝch trong vµ chuÈn ký hiÖu lµ (·, ·), ‖·‖.H ′ lµ kh«ng gian liªn hîp cña H , cÆp ®èi ngÉu ký hiÖu bëi 〈·, ·〉. Gi¶ sö a(u, v) lµd¹ng song tuyÕn tÝnh liªn tôc (kh«ng nhÊt thiÕt ®èi xøng) trªn H , nghÜa lµ, tån t¹ih»ng sè M > 0 sao cho

(2.1) |a(u, v)| 6 M‖u‖.‖v‖ víi u, v ∈ H

Gi¶ sö C lµ mét tËp con låi cña H vµ f lµ mét phÇn tö cña H ′.Chóng ta xÐt çc bµi to¸n d¹ng sau (bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n):

Bµi to¸n 1. T×m u ∈ C sao cho

(2.2) a(u, v − u) > 〈f, v − u〉 ∀v ∈ C.

Chó ý khi C = H , (2.2) t−¬ng ®−¬ng víi: a(u, v) = 〈f, v〉∀v ∈ H; bµi to¸n nµy®· ®−îc xÐt bëi Lax vµ Milgram (xem trong cuèn s¸ch [11]).Chóng ta sÏ lÇn l−ît xÐt çc tr−êng hîp sau:(i) NÕu C lµ tËp con låi, ®ãng cña H vµ a(u, v) lµ coercive, nghÜa lµ

(2.3) a(v, v) > α‖v‖2 ∀ v ∈ H,

62 Ch−¬ng 2. Mét sè bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ øng dông

th× Bµi to¸n 1 cã nghiÖm duy nhÊt.(ii) NÕu ta chØ gi¶ sö r»ng

(2.4) a(v, v) > 0 ∀ v ∈ C.

th× tËp nghiÖm X cña (2.2) lµ tËp låi ®ãng (cã thÓ rçng); trong tr−êng hîp X 6= ∅ta tr×nh bµy ph−¬ng ph¸p xÊp xØ çc ®iÓm cña X .Ta sÏ lÇn l−ît gi¶i quyÕt çc vÊn ®Ò trªn ë trong çc môc sau.

2.2 Sù tån t¹i nghiÖm

Môc ®Ých cña môc nµy lµ gi¶i Bµi to¸n 1 trong tr−êng hîp (i).

§Þnh lý 2.48. Gi¶ sö a(u, v) lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh coercive trªn H , C ⊂ H låi ®ãngvµ f ∈ H ′. Khi ®ã Bµi to¸n 1 cã nghiÖm duy nhÊt. Ngoµi ra, ¸nh x¹ f 7→ u lµ Lipschitz,nghÜa lµ, nÕu u1, u2 lµ çc nghiÖm cña Bµi to¸n 1 øng víi f1, f2 ∈ H ′, th×

(2.5) ‖u1 − u2‖ 6 (1/α)‖f1 − f2‖H ′.

Chó ý r»ng ¸nh x¹ f 7→ u lµ tuyÕn tÝnh nÕu C lµ mét kh«ng gian con cña H .

Chøng minh. Ta chøng minh (2.5). Gi¶ sö tån t¹i u1, u2 ∈ H lµ nghiÖm t−¬ng øngcña çc bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n

ui ∈ C : a(ui, v − ui) > 〈fi, v − ui〉 víi v ∈ C, i = 1, 2.

Cho v = u2, v = u1 trong bÊt ®¼ng thøc chøa u1, u2 t−¬ng øng ta cã

a(u1 − u2, u1 − u2) 6 〈f1 − f2, u1 − u2〉.

Do ®ã tõ gi¶ thiÕt vÒ tÝnh coercive cña a,

α‖u1 − u2‖2 6 〈f1 − f2, u1 − u2〉 6 ‖f1 − f2‖H ′.‖u1 − u2‖,

vµ do ®ã (2.5) ®óng.VÊn ®Ò cßn l¹i lµ chØ ra sù tån t¹i cña u. §Çu tiªn gi¶ sö a(u, v) ®èi xøng, vµ x¸c

®Þnh phiÕm hµmI(u) = a(u, u)− 2〈f, u〉, u ∈ H.

§Æt d := infC I(u). V×

I(u) > α‖u‖2 − 2‖f‖H ′ .‖u‖> α‖u‖2 − (1/α)‖f‖2

H ′ − α‖u‖2

> −(1/α)‖f‖2H ′ ,


ta thÊy r»ngd > −(1/α)‖f‖2

H ′ > −∞.

Gi¶ sö un lµ d·y cùc tiÓu ho¸ phiÕm hµm I trong C sao cho

un ∈ C : d 6 I(un) 6 d+ (1/n).

Theo c«ng thøc h×nh b×nh hµnh, vµ ®Ó ý r»ng C låi, ta cã

α‖un − um‖2 6 a(un − um, un − um)

= 2a(un, un) + 2a(um, um) − 4a(1

2(un + um),

1

2(un + um))

= 2I(un) + 2I(um) − 4I(1

2(un + um))

6 2[(1/n) + (1/m)].

ë trªn ta ®· sö dông

4〈f, un〉 + 4〈f, um〉 − 8〈f, 12(un + um)〉 = 0.

Do ®ã d·y un lµ Cauchy vµ tËp ®ãng C chøa mét phÇn tö u sao cho un → u trongH vµ I(un) → I(u). V× vËy I(u) = d.B©y giê víi mäi v ∈ C, u + ε(v − u) ∈ C, 0 6 ε 6 1, vµ I(u+ ε(v − u)) > I(u).

Khi ®ã2εa(u, v − u) + ε2a(v − u, v − u)− 2ε〈f, v − u〉 > 0

hoÆc

a(u, v − u) > 〈f, v − u〉 − 1

2εa(v − u, v − u) víi mäi ε, 0 6 ε 6 1.

Cho ε = 0 ta thÊy r»ng u lµ mét nghiÖm cña Bµi to¸n 1.B©y giê ta chøng minh cho tr−êng hîp tæng qu¸t. Tr−íc hÕt ta ®−a vµo d¹ng songtuyÕn tÝnh

at = a0(u, v) + tb(u, v), 0 6 t 6 1,

trong ®ã

a0(u, v) =1

2(a(u, v) + a(v, u))

vµb(u, v) =

1

2(a(u, v)− a(v, u))

lµ c¸c phÇn ®èi xøng vµ kh«ng ®èi xøng cña a. Ta thÊy a1(u, v) = a(u, v) vµ at(u, v)

lµ coercive víi cïng h»ng sè α.

Bæ ®Ò 2.49. NÕu Bµi to¸n 1 gi¶i ®−îc víi aτ(u, v) vµ víi mäi f ∈ H ′, trong ®ã τ 6 t 6τ + t0, t0 < α/M , vµ

M := supb(u, v)

‖u‖.‖v‖ < +∞.


Chøng minh. NÕu

u ∈ C : aτ(u, v − u) > 〈Fτ , v − u〉 víi mäi v ∈ C,

trong ®ã〈Fτ , v〉 = 〈f, v〉 − (t− τ )b(w, v) vµ τ 6 t 6 τ + t0

th× ta x¸c ®Þnh ¸nh x¹T : H → C

bëi u = Tw.Theo gi¶ thiÕt, T hoµn toµn x¸c ®Þnh. Cho u1 = Tw1 vµ u2 = Tw2 ta cã thÓ ¸p dông(2.5)

‖u1 − u2‖ 6 (1/α)(t − τ )M‖w1 − w2‖ 6 (1/α)t0M‖w1 − w2‖

víi t0M/α < 1. Do ®ã T lµ ¸nh x¹ co vµ theo ®Þnh lý ¸nh x¹ co Banach T cã ®iÓmbÊt ®éng duy nhÊt. Víi u = w = Tw, ta cã

u ∈ C : at(u, v − u) > 〈f, v − u〉 ∀ v ∈ C

vµ víi mçi t, τ 6 t 6 τ + t0.

§Ó kÕt thóc chøng minh, ta chØ cÇn ®Ó ý r»ng Bµi to¸n 1 gi¶i ®−îc víi a0(u, v) (®èixøng). ¸p dông Bæ ®Ò 2.49 mét sè h÷u h¹n b−íc, ta thÊy r»ng Bµi to¸n 1 cã nghiÖmvíi t = 1.

2.3 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cho c¸c to¸n tö ®¬n ®iÖu

Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian Banach víi ®èi ngÉu X ′, 〈., .〉 kÝ hiÖu cÆp ®èi ngÉugi÷a X vµ X ′ vµ C ⊂ X lµ tËp con låi ®ãng.

§Þnh nghÜa 2.7. ¸nh x¹ A : C → X ′ ®−îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu

〈Au−Av, u− v〉 > 0 víi mäi u, v ∈ C.

¸nh x¹ ®¬n ®iÖu A gäi ®¬n ®iÖu ngÆt nÕu

〈Au−Av, u− v〉 = 0 kÐo theo u = v.

B©y giê ta chøng minh

§Þnh lý 2.50. Gi¶ sö C lµ mét tËp con låi, compact yÕu cña X (6= ∅) vµ A : C → X ′

®¬n ®iÖu vµ liªn tôc theo tia tõ t«p« cña X vµo t«p« yÕu∗ cña X ′. Khi ®ã tån t¹i métphÇn tö

(2.6) u ∈ C : 〈Au, v− u〉 > 0, víi mäi v ∈ C.


L−u ý r»ng nÕu A ®¬n ®iÖu ngÆt th× nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (2.6)lµ duy nhÊt.§Çu tiªn chóng ta chøng minh mét bæ ®Ò cña Ky Fan [4].

Bæ ®Ò 2.51. Gi¶ sö X lµ mét tËp con låi, compact cña mét kh«ng gian vÐct¬ t«p«Hausdorff vµ f, g : X ×X → R tho¶ m·n

1. Víi mçi x cè ®Þnh, f(x, y) lµ hµm nöa liªn tôc d−íi theo y;

2. Víi mçi y cè ®Þnh, tËp A := x ∈ X : g(x, y) > 0 låi;

3. g(x, x) 6 0 víi mäi x ∈ X .

Khi ®ã tån t¹i y∗ ∈ X sao cho f(x, y∗) 6 0 víi mäi x ∈ X .

Chøng minh. Gi¶ sö r»ng víi mçi y ∈ X , tån t¹i x ∈ X sao cho f(x, y) > 0. §ÆtAx = y ∈ X : f(x, y) > 0, tõ tÝnh nöa liªn tôc d−íi cña f(x, .), suy ra Ax më. Tacã

X =⋃

x∈X

Ax.

V× X compact nªn tån t¹i mét hä h÷u h¹n x1, x2, ..., xm ⊂ X sao cho

X =m⋃

i=1

Axi.

Chóng ta x¸c ®Þnh ¸nh x¹ liªn tôc q : Sm → X bëi

q(λ) =m∑

i=1

λixi,

trong ®ã λ ∈ Sm := (λ1, λ2, ..., λm) : λ1, λ2, ..., λm > 0, λ1 + λ2 + ...+ λm = 1.Râ rµng

Sm =

m⋃

i=1

λ : λ ∈ Sm, f(xi, q(λ)) > 0.

Gi¶ sö p1, p2, ..., pm lµ ph©n ho¹ch ®¬n vÞ t−¬ng øng víi phñ më nµy cña Sm vµ x¸c®Þnh p : Sm → Sm bëi

p(λ) = (p1(λ), ..., pm(λ)) (λ ∈ Sm).

Râ rµng p liªn tôc. Chóng ta sÏ chøng minh r»ng

(2.7) p(λ) 6= λ víi mäi λ ∈ Sm.

§iÒu nµy m©u thuÉn víi ®Þnh lý cña Brouwer vµ ta sÏ cã kÕt luËn cña bæ ®Ò.


ThËt vËy, gi¶ sö λ ∈ Sm, ®Æt I := i : pi(λ) > 0. Khi ®ã

q(p(λ)) =m∑

i=1

pi(λ)xi ∈ convxi : i ∈ I.

Còng vËy

i ∈ I ⇐⇒ pi(λ) > 0 =⇒ f(xi, q(λ)) > 0 =⇒ g(xi, q(λ)) > 0;

do ®ã, tõ tÝnh tùa lâm cña hµm g(., q(λ)),

g(q(p(λ)), q(λ)) > 0

tõ ®ã(q(p(λ)), q(λ)) 6∈ ∆.

§iÒu nµy chøng minh (2.7) vµ ta cã kÕt luËn cña bæ ®Ò. Chó ý r»ng ë bæ ®Ò trªn, ta ®· ph¸t biÓu ë d¹ng tæng qu¸t h¬n kÕt qu¶ cña Ky

Fan vµ trong chøng minh gèc cña Ky Fan, ta thÊy «ng ®· sö dông Nguyªn lý ¸nhx¹ KKM. ë ®©y ta ®· dïng kü thuËt cña Takahashi [10] vµ Simons [9] ®Ó tr¸nhph¶i dïng ®Õn Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM. B¹n ®äc cã thÓ tham kh¶o c¸ch chøngminh cña Ky Fan trong c¸c cuèn s¸ch cña L. Nirenberg [8], §. H. T©n vµ N. T. T.Hµ [12]. Ngµy nay, Bæ ®Ò trªn th−êng ®−îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc minimax cña KyFan.Chøng minh cña §Þnh lý 2.50.Râ rµng 〈A(x), y − x〉 6 〈A(y), y − x〉, ∀x, y ∈ C (do tÝnh ®¬n ®iÖu cña A). Ta®Æt f(x, y) := 〈A(x), y − x〉, g(x, y) := 〈A(y), y − x〉. Ta thÊy ngay, f(x, y) 6g(x, y) ∀x, y ∈ C vµ g(x, x) = 0 ∀x ∈ C .

∗ Víi mçi x ∈ C , f(x, y) nöa liªn tôc d−íi yÕu theo y trªn C; tøc lµ ta chØ ray 7→ 〈A(x), y〉 lµ liªn tôc theo t«p« σ(X,X ′). Víi mäi yo ∈ X vµ ε > 0;

W (A(x), ε) = y ∈ X : |〈A(x), y〉| < ε

lµ l©n cËn cña O. Do ®ã N(y0) = y0 +W (A(x), ε) = y ∈ E : |〈A(x), y − y0〉| < ε lµl©n cËn cña y0. Ta suy ra

|〈A(x), y〉 − 〈A(x), y0〉| = |〈A(x), y − y0〉| < ε ∀y ∈ N(y0).

VËy y 7→ 〈A(x), y − x〉 liªn tôc theo t«p« σ(X,X∗).∗ Víi mçi y ∈ C , tËp A := x ∈ C : g(x, y) > 0 låi. ThËt vËy, x1, x2 ∈

A, α ∈ [0, 1], ta cã g(x1, y), g(x2, y) > 0. Gi¶ sö 0 < s < mini=1,2

g(xi, y). Tõ ®ã

〈A(y), y − xi〉 = g(xi, y) > s hay 〈A(y), xi〉 < 〈A(y), y〉 − s, ∀i = 1, 2. VËy

〈A(y), αx1 + (1 − α)x2〉 < α(〈A(y), y〉 − s) + (1 − α)(〈A(y), y〉 − s) = 〈A(y), y〉 − s


=⇒ 〈A(y), y − (αx1 + (1 − α)x2)〉 > s hay g(αx1 + (1 − α)x2, y) > s > 0.Theo Bæ ®Ò 2.49, tån t¹i y∗ ∈ C : 〈A(y), y∗ − x〉 6 0 ∀x ∈ C .LÊy x ∈ C cè ®Þnh tuú ý, gi¶ sö zt := tx+ (1 − t)y∗ = y∗ − t(y∗ − x) víi t ∈ [0, 1].V× C låi nªn zt ∈ C víi t ∈ [0, 1]. Do ®ã 〈A(zt), y

∗ − zt〉 6 0 ∀t ∈ [0, 1] hayt〈A(zt), y

∗−x〉 6 0 ∀t ∈ [0, 1]. §Æc biÖt 〈A(zt), y∗−x〉 6 0 ∀t ∈ (0, 1]. Víi mçi ε > 0,

gi¶ söUA(y∗) := w ∈ X∗ : |〈A(y∗) − w, y∗ − x| < ε

Tøc UA(y∗) lµ σ(X∗,X)-l©n cËn cña A(y∗). Do A liªn tôc theo tia nªn tån t¹i l©ncËn N(y∗) cña y∗: A(z) ⊂ UA(y∗) ∀z ∈ N(y∗). Khi t → 0+: zt → y∗, do ®ã tån t¹i0 < δ < 1 sao cho víi mäi t ∈ (0, δ) ta cã zt ∈ N(y∗). Nh−ng A(zt) ⊂ UA(y∗) ∀t ∈(0, δ). Tõ ®ã |〈f(y∗) − f(zt), y

∗ − x〉| < ε

=⇒ 〈A(y∗), y∗ − x〉 < 〈f(zt, y∗ − x)〉 + ε =⇒ 〈f(y∗), y∗ − x〉 < ε.

V× ε > 0 tuú ý nªn 〈A(y∗), y∗ − x〉 6 0 ∀x ∈ C. Hartman vµ Stampacchia (xem trong [5]) n¨m 1966 ®· chøng minh r»ng nÕu

T : Rn → Rn liªn tôc trªn tËp con låi, compact X cña Rn, th× tån t¹i x0 ∈ X saocho 〈Tx0, x0 − x〉 > 0 víi mäi x ∈ X . F. E. Browder [3] ®· më réng kÕt qu¶ nµycho tr−êng hîp kh«ng gian låi ®Þa ph−¬ng nh− sau:

§Þnh lý 2.52. Gi¶ sö X lµ mét tËp con låi, compact cña mét kh«ng gian låi ®Þa ph−¬ng E,T lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc tõ X vµo E′. Khi ®ã, tån t¹i x0 ∈ X sao cho 〈Tx0, x0 − y〉 > 0

víi mäi y ∈ X .

Chøng minh. Tr−íc hÕt, ta chØ ra r»ng víi mçi y ∈ X hµm gy : X → R x¸c ®Þnhbëi

gy(x) := 〈Tx, x− y〉

liªn tôc. Nhí l¹i r»ng t«p« m¹nh trªn E′ ®−îc sinh bëi hä

U(B, ε) : B bÞ chÆn ⊂ E, ε > 0

lµ c¬ së l©n cËn cña gèc; U(B, ε) := f ∈ E′ : supx∈B

|〈f, x〉| < ε. V× X compact nªn

bÞ chÆn trong E. Gi¶ sö x1 lµ mét phÇn tö X vµ ε > 0 cho tr−íc. Do T liªn tôc, tachän mét l©n cËn V cña x1 trong E sao cho ∀x ∈ X ∩ V , vµ víi mäi y, z ∈ X:

|(T (x)− T (x1), y − z)| < ε/2.

Do T (x) ∈ E′, ta cã thÓ t×m mét l©n cËn V1 cña x1 trong E sao cho

∀x ∈ V1 ∩X : |〈T (x1), x− x1〉| < ε/2.

Do ®ã víi x ∈ X ∩ V ∩ V1, ta cã

|〈T (x), y − x〉 − 〈T (x1), y − x1〉| 6 |〈T (x1), x1 − x〉| + |〈T (x) − T (x1), y − x〉| < ε.


B©y giê ta trë l¹i chøng minh ®Þnh lý b»ng çch x©y dùng hµm f : X ×X → Rbëi f(x, y) := 〈Tx, x− y〉. Ta kiÓm tra çc ®iÒu kiÖn cña Bæ ®Ò 2.49:(i) Víi mçi y, f(., y) lµ hµm liªn tôc theo x (ta võa chøng minh);(ii) Víi mçi x, f(x, .) lµ hµm affine theo y;(iii) f(x, x) = 0 ∀x ∈ X .

Theo Bæ ®Ò 2.49 tån t¹i x0 ∈ X: f(x0, y) = 〈Tx0, x0 − y〉 > 0 ∀y ∈ X . Chó ý. Ta ®· dïng d¹ng ®èi ngÉu cña Bæ ®Ò 2.49.§Þnh lý sau ®©y cung cÊp mét ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cho sù tån t¹i nghiÖm cña çcbÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.

§Þnh lý 2.53. Gi¶ sö C lµ tËp con låi ®ãng cña X vµ A : C → X ′ ®¬n ®iÖu vµ liªn tôctheo tia tõ t«p« cña X vµo t«p« yÕu∗ cña X ′. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó bÊt ®¼ng thøc biÕnph©n sau cã nghiÖm

(2.8) u ∈ C : 〈Au, v − u〉 > 0 víi mäi v ∈ C,

lµ tån t¹i R > 0 sao cho Ýt nhÊt mét nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n

uR ∈ CR : 〈AuR, v − uR〉 > 0 víi mäi v ∈ CR, CR := C ∩ v : ‖v‖ 6 R,

tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc

(2.9) ‖uR‖ < R.

Chøng minh. Râ rµng nÕu tån t¹i mét nghiÖm cho bµi to¸n (2.6), th× u lµ métnghiÖm cña (2.8) khi ‖u‖ 6 R.Gi¶ sö r»ng uR ∈ CR tho¶ m·n (2.9). Khi ®ã uR còng lµ nghiÖm cña (2.6). ThËt

vËy, v× ‖uR‖ < R, cho v ∈ C, w = uR + ε(v − uR) ∈ CR víi ε > 0 ®ñ nhá. Do ®ã

uR ∈ CR ⊂ C : 0 6 〈A(uR), w − uR〉 = ε〈A(uR), v − uR〉 víi v ∈ C,

cã nghÜa lµ uR lµ nghiÖm cña (2.6).

2.4 To¸n tö Noncoercive

XÐt tr−êng hîp sau: khi X = H - kh«ng gian Hilbert, (., .) kÝ hiÖu tÝch trongcña H , vµ 〈., .〉 kÝ hiÖu cÆp ®èi ngÉu gi÷a H vµ H ′. Gi¶ sö a(u, v) lµ d¹ng song tuyÕntÝnh trªn H ×H sao cho

(2.10) a(v, v) > 0 víi mäi v ∈ H.

H¬n n÷a, ta gi¶ sö r»ng

(2.11) C lµ tËp con låi ®ãng cña H


vµ f ∈ H ′. X¸c ®Þnh to¸n tö A : H → H ′ bëi

〈Au, v〉 = a(u, v).

Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sau tån t¹i Ýt nhÊt mét nghiÖm

u0 ∈ C : 〈Au0, v − u0〉 > 〈f, v − u0〉 víi mäi v ∈ C,

hay t−¬ng ®−¬ng

(2.12) u0 ∈ C : a(u0, v − u0) > 〈f, v − u0〉 víi mäi v ∈ C

(víi ®iÒu kiÖn C bÞ chÆn hoÆc C kh«ng bÞ chÆn nh−ng A(·)− f ph¶i tho¶ m·n ®iÒukiÖn cña §Þnh lý 2.53).Tuy nhiªn, nÕu c¸c ®iÒu kiÖn nµy kh«ng ®−îc tho¶ m·n, th× nghiÖm u0 ∈ C cña

bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn cã thÓ kh«ng tån t¹i. §Ó xem liÖu mét nghiÖm nh−thÕ cã tån t¹i hay kh«ng, th× ®Þnh lý sau sÏ cho ta mét c©u tr¶ lêi. PhÐp chøngminh cña nã dùa vµo mét ph−¬ng ph¸p ®−îc gäi lµ chÝnh qui elliptic.§Æt

χ = u0 ∈ C : 〈Au0, v − u0〉 > 〈f, v − u0〉 víi mäi v ∈ C.

Ta sÏ chØ ra r»ng χ lµ tËp låi, ®ãng. Tuy nhiªn χ cã thÓ rçng.

Bæ ®Ò 2.54. Gi¶ sö (2.10), (2.11) ®óng. Khi ®ã χ lµ mét tËp con låi ®ãng cña C .

Chøng minh. Ta viÕt χ d−íi d¹ng

χ = u0 ∈ C : a(u0, v − u0) > 〈f, v − u0〉 ∀v ∈ C

HiÓn nhiªn tËp χ ®ãng trong C; do ®ã, ®Ó chøng minh Bæ ®Ò 2.54, ta chØ cÇn chØra χ låi. Víi u1, u2 ∈ χ vµ víi ϑ ∈ [0, 1] ta cã

a(ϑu1 + (1 − ϑ2)u2, v − (ϑu1 + (1 − ϑ2)u2)) =

= a(ϑu1, v) + a((1 − ϑ)u2, v)− a(ϑu1 + (1 − ϑ2)u2, ϑu1 + (1 − ϑ2)u2)

= ϑa(u1, v) + (1 − ϑ)a(u2, v)− ϑ2a(u1, u1) − ϑ(1 − ϑ)a(u1, u2)−− ϑ(1 − ϑ)a(u2, u1) − (1 − ϑ)2a(u2, u2)

= ϑ2a(u1, v − u1) + ϑ(1 − ϑ)a(u1, v) + (1 − ϑ)2a(u2, v − u2)+

+ ϑ(1 − ϑ)a(u2, v) + ϑ(1 − ϑ)a(u1, u2) − ϑ(1 − ϑ)a(u2, u1)

= ϑ2a(u1, v − u1) + (1 − ϑ)2a(u2, v − u2) + ϑ(1 − ϑ)a(u1, v − u2)+

+ ϑ(1 − ϑ)a(u2, v − u1)

= ϑ[ϑ+ 1 − ϑ]a(u1, v − u1) + (1 − ϑ)[1 − ϑ+ ϑ]a(u2, v − u2)+

+ ϑ(1 − ϑ)a(u1, u1 − u2) + ϑ(1 − ϑ)a(u2, u2 − u1)

= ϑa(u1, v − u1) + (1 − ϑ)a(u2, v − u2) + ϑ(1 − ϑ)a(u2 − u1, u2 − u1)


> ϑa(u1, v − u1) + (1 − ϑ)a(u2, v − u2) (theo gi¶ thiÕt (2.10))

Chó ý r»ng ë trªn ta ®· sö dông c¸c ph©n tÝch:a(u1, v − u2) = a(u1, v − u1 + u1 − u2), a(u2, v − u1) = a(u2, v − u2 + u2 − u1).Khi ®ã nÕu u1, u2 ∈ χ vµ λ ∈ [0, 1], suy ra λu1 + (1 − λ)u2 ∈ χ vµ ®iÒu nµy chøngminh Bæ ®Ò 2.54. B©y giê gi¶ sö β(u, v) lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn H ×H , kh«ng nhÊt

thiÕt ®èi xøng nh−ng coercive vµ g ∈ H ′. V× tËp C låi ®ãng nªn theo §Þnh lý 2.50tån t¹i duy nhÊt u0 cña C tho¶ m·n

(2.13) β(u0, v − u0) > 〈g, v − u0〉 víi v ∈ C

Víi mçi ε > 0 ta xÐt d¹ng (chÝnh qui elliptic cña a ®èi víi β)

a(u, v) + εβ(u, v).

Râ rµng ®©y lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh vµ coercive trªn H , v× vËy theo §Þnh lý 2.50,tån t¹i mét nghiÖm duy nhÊt uε cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n

(2.14) uε ∈ C : a(uε, v − uε) + εβ(uε, v − uε) > 〈f + εg, v − uε〉 víi mäi v ∈ C

Chóng ta cã ®Þnh lý sau.

§Þnh lý 2.55. Gi¶ sö (2.1), (2.10), (2.11), (2.12) ®óng. Khi ®ã Bµi to¸n 1 cã nghiÖmnÕu vµ chØ nÕu tån t¹i h»ng sè L, ®éc lËp víi ε, sao cho nghiÖm uε cña (2.13) tho¶ m·n

(2.15) ‖uε‖ 6 L

Trong chøng minh cña ®Þnh lý, ta cÇn c¸c bæ ®Ò sau:

Bæ ®Ò 2.56. Gi¶ sö C lµ tËp con låi ®ãng cña X vµ A : C → X ′ ®¬n ®iÖu vµ liªn tôctheo tia tõ t«p« cña X vµo t«p« yÕu∗ cña X ′. Khi ®ã u tho¶ m·n

(2.16) u ∈ C : 〈Au, v − u〉 > 0 víi mäi v ∈ C

khi vµ chØ khi nã tho¶ m·n

(2.17) u ∈ C : 〈Av, v− u〉 > 0 víi mäi v ∈ C

Chøng minh. §Çu tiªn ta chØ ra (2.16) =⇒ (2.17). Do tõ tÝnh ®¬n ®iÖu cña A,

0 6 〈Av −Au, v− u〉 = 〈Av, v− u〉 − 〈Au, v − u〉 víi u, v ∈ C.

Do ®ãu ∈ C : 0 6 〈Au, v − u〉 6 〈Av, v− u〉 víi v ∈ C


B©y giê ta chØ ra (2.17) =⇒ (2.16). Gi¶ sö w ∈ C vµ víi 0 6 t 6 1, v = u+t(w−u) ∈ C

v× C låi. Do ®ã do (2.17) víi t > 0,

〈A(u+ t(w − u)), t(w − u)〉 > 0,

hay〈A(u+ t(w − u)), w − u〉 > 0 víi mäi w ∈ C.

V× A liªn tôc theo tia tõ t«p« cña X vµo t«p« yÕu∗ cña X ′, cho t→ 0 ta cã

u ∈ C : 〈Au,w − u〉 > 0 víi mäi w ∈ C.

Bæ ®Ò 2.57. NÕu a(u, v) lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh liªn tôc tªn H sao cho a(v, v) > 0 víiv ∈ H , th× hµm v 7→ a(v, v) lµ nöa liªn tôc d−íi yÕu.

Chøng minh. Trong chøng minh Bæ ®Ò 2.54 ta cho v = 0, ta cã

a(ϑu1 + (1 − ϑ2)u2, ϑu1 + (1 − ϑ2)u2) 6 ϑa(u1, u1) + (1 − ϑ)a(u2, u2).

Do ®ã f(v) := a(v, v) lµ hµm låi, tõ ®ã tËp v ∈ V : f(v) 6 λ låi víi mäi λ ∈ R.MÆt kh¸c v× f liªn tôc nªn tËp nµy ®ãng. Theo ®Þnh lý Mazur nã còng ®ãng yÕu.Ta cã kÕt luËn cña Bæ ®Ò.NhËn xÐt. Ta nhí l¹i ®Þnh nghÜa vÒ hµm nöa liªn tôc d−íi yÕu:Cho F : M ⊆ X → R lµ mét phiÕm hµm trªn tËp con M cña kh«ng gian tuyÕntÝnh ®Þnh chuÈn X . PhiÕm hµm F gäi lµ nöa liªn tôc d−íi yÕu nÕu vµ chØ nÕuF (u) 6 lim inf

n→∞F (un), ∀u ∈M vµ mçi un ⊂M, un u khi n→ ∞.

Tõ ®ã, ta cã thÓ lý luËn ë b−íc cuèi cña Bæ ®Ò 2.57 nh− sau: Gi¶ sö f kh«ng ph¶ilµ nöa liªn tôc d−íi yÕu. Suy ra tån t¹i u ∈ M vµ mét d·y un ⊂M, un u khin→ ∞ sao cho

f(u) > lim infn→∞

f(un)

Do ®ã, tån t¹i r ∈ R : r < f(u) vµ un ∈Mr := u : f(u) 6 r ∀n > n0(ε). V× Mr låi®ãng nªn u ∈Mr hay f(u) 6 r, ®iÒu ®ã v« lý.Chøng minh §Þnh lý 2.55. §Çu tiªn gi¶ sö χ 6= ∅. V× χ lµ mét tËp con låi ®ãng cñaC ⊂ H , nªn tån t¹i mét nghiÖm duy nhÊt cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n

u0 ∈ χ : β(u0, v − u0) > 〈g, v − u0〉 víi mäi v ∈ χ.

H¬n n÷a, v× u0 ∈ χ, ta cã

u0 ∈ χ : a(u0, v − u0) > 〈f, v − u0〉 víi mäi v ∈ C.

Cho v = uε trong bÊt ®¼ng thøc thø hai vµ v = u0 trong bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©nx¸c ®Þnh uε, råi céng vÕ víi vÕ ta ®−îc

a(u0, uε − u0) + a(uε, u0 − uε) + εβ(uε, u0 − uε) > ε〈g, u0 − uε〉.


Nh−ng a(u0, uε − u0) + a(uε, u0 − uε) = −a(uε − u0, uε − u0) 6 0. Do ®ã

β(uε, u0 − uε) > 〈g, u0 − uε〉

vµ do tÝnh coercive cña β(., .),

β0‖u‖2 6 β(uε, uε) 6 β(u0, uε) + 〈g, u0 − uε〉6 C1‖uε‖.‖u0‖ + C2(‖uε‖ + ‖u0‖) 6 C(1 + ‖uε‖),

trong ®ã C = C(‖u0‖, g, β). Do ®ã, v× C‖uε‖ 6 (β0/2)‖uε‖2 + [C2/(2β0)],

‖uε‖ 6 L = 2 + (C/β0),

trong ®ã L ®éc lËp víi ε.B©y giê, gi¶ sö ‖uε‖ 6 L, ®éc lËp víi ε. Khi ®ã tån t¹i mét d·y con uη cña uε

sao cho uη w trong H . Do ®ã w ∈ C vµ ta sÏ chØ ra

w ∈ χ.

Sö dông Bæ ®Ò 2.56 ta cã

a(v, v− uη) + ηβ(v, v− un) > 〈f, v − uη〉 + η〈g, v − uη〉.

Cho η → 0, v× uη w, ¸p dông Bæ ®Ò 2.57, ta cã

a(v, v− w) > 〈f, v − w〉 víi mäi v ∈ C

vµ sö dông l¹i Bæ ®Ò 2.56 mét lÇn n÷a, ta cã

a(w, v −w) > 〈f, v − w〉 víi mäi v ∈ C

vµ do ®ã w ∈ χ. §Þnh lý sau ®©y cho ta mét ph−¬ng ph¸p x©y dùng xÊp xØ cña u0.

§Þnh lý 2.58. Gi¶ sö (2.1), (2.10)-(2.12) ®óng vµ u0 lµ phÇn tö cña χ x¸c ®Þnh bëi(2.13) vµ uε ∈ C x¸c ®Þnh bëi (2.14). NÕu d·y uε bÞ chÆn ®Òu th× uε → u0 trong H khiε→ 0 vµ u0 ∈ χ : β(u0, v − u0) > 〈g, v − u0〉 víi mäi v ∈ χ.

Chøng minh. V× ‖uε‖ 6 L (®éc lËp víi ε), th× χ 6= ∅ tõ ®Þnh lý tr−íc vµ ng−îc l¹i.Do ®ã tån t¹i nghiÖm duy nhÊt cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n

u0 ∈ χ : β(u0, v − u0) > 〈g, v − u0〉 víi mäi v ∈ χ.

V× ‖uε‖ < L nªn tån t¹i mét d·y con uη cña uε sao cho uη w trong H . TrongphÇn ®Çu cña ®Þnh lý tr−íc ta ®· chøng minh r»ng

β(uη, u0 − uη) > 〈g, u0 − uη〉.


V× β(v, v) nöa liªn tôc d−íi yÕu (Bæ ®Ò 2.57) nªn

β(w,w) 6 lim infη→0

β(uη, uη)

vµ do ®ãβ(w, u0 − w) > 〈g, u0 − w〉.

TiÕp theo ta chØ ra r»ng uε → u0 trong H , theo çc b−íc sau(i) w = u0;(ii) uε u0 trong H , vµ(iii) uε → u0 trong H .

V× u0 ∈ χ vµ β(u0, v − u0) > 〈g, v − u0〉 víi mäi v ∈ χ vµ w ∈ χ, ta cã

β(u0, w − u0) > 〈g,w − u0〉.

Khi ®ã tõ β(w − u0, w − u0) 6 0 vµ tõ tÝnh coercive cña β ta cã: ‖w − u0‖ = 0; do®ã w = u0.V× u0 lµ giíi h¹n duy nhÊt cña mäi d·y con héi tô yÕu cña uε, ta cã uε u0

trong H . PhÇn cßn l¹i ta chØ ra héi tô lµ m¹nh. ThËt vËy,

β0‖uε − u0‖2 6 β(uε − u0, uε − u0) = β(uε, uε − u0) − β(u0, uε − u0).

Cho ε→ 0, β(u0, uε − u0) → 0. MÆt kh¸c,

β(uε, uε − u0) 6 〈g, uε − u0〉 → 0 khi ε→ 0.

Do ®ã uε → u0 trong H .

Trªn ®©y, chóng t«i ®· kh¶o s¸t ®−îc mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña çc bÊt®¼ng thøc biÕn ph©n. PhÇn lín çc kÕt qu¶ vµ chøng minh chóng t«i lÊy tõ çctµi liÖu [5], [6]. Chóng t«i ®· bæ sung vµ chÝnh x¸c l¹i mét sè chi tiÕt ch−a chÝnhx¸c trong çc chøng minh gèc. Riªng §Þnh lý 2.50, chóng t«i ®· sö dông mét kÕtqu¶ vÒ bÊt ®¼ng thøc minimax ®Ó chøng minh. Trong çc øng dông cña lý thuyÕtKKM th× hai lÜnh vùc nµy cã mèi quan hÖ rÊt chÆt chÏ. TiÕp theo chóng t«i sÏ cungcÊp mét sè øng dông cña çc kÕt qu¶ võa tr×nh bµy ë trªn.

2.5 Mét sè øng dông

1. §Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung gian cho kh«ng gian Rn:Chóng ta sÏ ¸p dông §Þnh lý 2.52 ®Ó chøng minh kÕt qu¶ thó vÞ sau ®©y

§Þnh lý 2.59 (§Þnh lý Bolzano-PoincarÐ-Miranda). XÐt h×nh hép

J = x ∈ Rn| 0 6 xi 6 1 víi mäi i.


¸nh x¹ f : J → Rn liªn tôc vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

fi(x)fi(y) 6 0 khi xi = 0, yi = 1 (i = 1, 2, ..., n).

Chøng minh r»ng tån t¹i x∗ ∈ J sao cho f(x∗) = 0.

Chøng minh:• Tr−êng hîp n = 1: ®ã lµ ®Þnh lý Bolzano cæ ®iÓn;• Víi mäi ε > 0 ®ñ nhá, xÐt hµm f ε := f + εI . Víi mäi i, ta cã f ε

i (x) = fi(x)

víi x cã xi = 0 vµ f εi (y) = fi(y) + ε víi y cã yi = 1. Tõ ®ã

∗ NÕu fi(y) > 0 th× ta cã f εi (y) > 0. Do gi¶ thiÕt nªn fi(x) 6 0, v× vËy f ε

i (x) 6 0.∗ NÕu fi(y) < 0 th× f ε

i (y) < 0 (v× ta chän ε > 0 ®ñ nhá). Tõ gi¶ thiÕt suy rafi(x) > 0, vµ v× vËy f ε

i (x) > 0. Tãm l¹i víi mäi i ta cã

xi = 0 vµ yi = 1 =⇒hoÆc f ε

i (y) > 0 vµ f εi (x) 6 0

hoÆc f εi (y) < 0 vµ f ε

i (x) > 0

• Tõ ®ã, ta x©y dùng hµm f ε, trong ®ã to¹ ®é f εi = ±f ε

i , víi c¸ch chän thÝchhîp vÒ dÊu, ta sÏ cã víi mçi i: f ε

i (x) 6 0 víi x cã thµnh phÇn xi = 0 vµ f εi (x) > 0

víi x cã thµnh phÇn xi = 1.¸p dông §Þnh lý 2.52 cho tr−êng hîp Rn, ta suy ra tån t¹i xε sao cho

(f ε(xε), y − xε) > 0 víi mäi y ∈ J

⇐⇒n∑

i=1

f εi (x

ε)(y − xε)i > 0

⇐⇒∑

(xε)i=0

f εi (x

ε)yi +∑

(xε)i=1

f εi (x

ε)(yi − 1)

︸︷︷︸60

+∑

0<(xε)i<1

f εi (x

ε)(y − xε)i

︸︷︷︸s.h.3

> 0

Do ®ã nÕu f ε(xε) 6= 0, th× ta cã thÓ chän y sao cho s.h.3 < 0 vµ v× vËy tr¸i víi (2.17).Tãm l¹i, f ε(xε) = 0, ®ång thêi suy ra

f(xε) + εxε = 0.

V× J compact nªn xε trÝch ra mét l−íi con héi tô, vÉn ký hiÖu lµ xε, xε → x∗.Cho ε→ 0 ta thu ®−îc f(x∗) = 0. B¹n ®äc cã thÓ xem c¸ch chøng minh kh¸c trong phÇn Lý thuyÕt bËc h÷u h¹n

chiÒu. Còng chó ý r»ng §Þnh lý gi¸ trÞ trung gian lµ mét d¹ng t−¬ng ®−¬ng cñaNguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer.

2. §iÓm bÊt ®éng cña ¸nh x¹ kh«ng gi·n.Trong môc nµy ta ph¸t biÓu vµ chøng minh sù më réng nguyªn lý ¸nh x¹ co sangtr−êng hîp ¸nh x¹ kh«ng gi·n trong kh«ng gian Hilbert.


§Þnh nghÜa 2.8. ¸nh x¹ A : X → X cña kh«ng gian Banach vµo chÝnh nã ®−îc gäilµ kh«ng gi·n, nÕu:

‖A(x)−A(y)‖ 6 ‖x− y‖.

§Þnh lý 2.60. Gi¶ sö H lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ C ⊂ H lµ tËp con låi ®ãng bÞ chÆn(6= ∅). Gi¶ sö F : C → C lµ ¸nh x¹ kh«ng gi·n. Khi ®ã F cã ®iÓm bÊt ®éng.

Chøng minh. Ta cã thÓ lÊy H ′ = H vµ cÆp ®èi ngÉu (., .) lµ tÝch v« h−íng cña H .NÕu F kh«ng gi·n th× I − F lµ ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu. ThËt vËy, ∀x, y ∈ C ta cã

((I − F )x− (I − F )y, x− y) = (x− y − (Fx− Fy), x− y)

> ‖x− y‖2 − ‖Fx− Fy‖.‖x− y‖> ‖x− y‖2 − ‖x− y‖2 = 0 (do F kh«ng gi·n)

Theo §Þnh lý 2.50 ta suy ra tån t¹i x0 ∈ C : ((I − F )x0, y − x0) > 0 ∀y ∈ C . Chäny = Fx0, ta cã ngay x0 = Fx0. Chó ý r»ng ®Þnh lý trªn vÉn ®óng trong tr−êng hîp kh«ng gian Banach låi ®Òu

(n¨m 1965 F. E. Browder vµ D. Gohde chøng minh kÕt qu¶ nµy ®éc lËp nhau). Tuynhiªn, ®Þnh lý cßn ®óng cho tr−êng hîp kh«ng gian Banach víi cÊu tróc chuÈn t¾c(do W. A. Kirk chøng minh còng vµo n¨m 1965, b¹n ®äc cã thÓ xem chøng minhtrong cuèn s¸ch [12]).

3. Bµi to¸n Minimum.Chóng ta h·y xÐt Bµi to¸n Minimum sau:

(2.18) F (u) := 2−1

∫

G

N∑

i=1

(∂ju)2 −

∫

G

fudx = min !

trong ®ã

M := u ∈o

W 12 (G) : u(x) > 0 víi hÇu hÕt x ∈ G,

cïng víi bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sau ®©y:

(2.19) u ∈M :

∫

G

N∑

i=1

∂ju(∂jv − ∂ju)dx−∫

G

f(v − u)dx > 0 víi mäi v ∈M

MÖnh ®Ò 2.61. Gi¶ sö f ∈ L2(G), trong ®ã G lµ tËp con më, bÞ chÆn, kh¸c rçng cñaRN , N > 1. Khi ®ã Bµi to¸n Minimum (2.18) cã nghiÖm duy nhÊt u, ®ång thêi còng lµnghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (2.19).

Ta cÇn c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n sau:


Bæ ®Ò 2.62. Gi¶ sö un → u trong L2(G) khi n→ ∞, trong ®ã G lµ tËp më, kh¸c rçngtrong RN , N > 1. Khi ®ã tån t¹i mét d·y con un′ vµ mét hµm w ∈ L2(G) sao cho

un′ → u(x) víi hÇu hÕt x ∈ G,

vµ |un′(x)| 6 w(x) víi mäi n′ vµ víi mäi x ∈ G.

B¹n ®äc cã thÓ xem chøng minh cña Bæ ®Ò trªn trong tµi liÖu [11].

Bæ ®Ò 2.63 (BÊt ®¼ng thøc PoincarÐ-Friedrichs). Gi¶ sö G lµ mét tËp con më bÞchÆn cña RN , N = 1, 2, ... Khi ®ã, tån t¹i mét h»ng sè C > 0 sao cho bÊt ®¼ng thøc sau®óng:

C

∫

G

u2dx 6∫

G

N∑

j=1

(∂ju)2 víi mäi u ∈

o

W 12 (G).

MÖnh ®Ò. §Æt X :=o

W 12 (G) vµ

a(u, v) :=

∫

G

N∑

j=1

∂ju∂jvdx,

b(u) :=

∫

G

fudx, víi mäi u, v ∈ X.

∗ Ta chØ ra a : X ×X → R lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh liªn tôc, coercive vµ b : X → Rlµ tuyÕn tÝnh vµ liªn tôc. §Æt

‖v‖2 :=

(∫

G

v2dx

)1/2

,

vµ nhí r»ng

‖v‖1,2 =

(∫

G

(v2 +

N∑

i=1

(∂jv)2

))1/2

lµ chuÈn trªn X . Theo bÊt ®¼ng thøc Schwarz, víi mäi v,w ∈ X , ta cã

|a(v,w)| 6∫

G

N∑

i=1

|∂jv∂jw|dx

6N∑

j=1

‖∂jv‖2‖∂jw‖2 6 N‖v‖1,2‖w‖1,2,


nghÜa lµ, a(., .) bÞ chÆn. HiÓn nhiªn, a(., .) lµ song tuyÕn tÝnh, vµ a(v,w) = a(w, v) haya(., .) lµ ®èi xøng. Tõ bÊt ®¼ng thøc PoincarÐ-Friedrichs

C

∫

G

(v2 +

N∑

j=1

(∂jv)2

)dx 6 (1 + C)

∫

G

N∑

j=1

(∂jv)2dx víi mäi v ∈ X.

Do ®ã C(1 + C)−1‖v‖21,2 6 a(v, v) víi mäi v ∈ X , nghÜa lµ a(., .) lµ coercive.

PhiÕm hµm b : X → R. Theo bÊt ®¼ng thøc Schawrz,

|b1(u)| 6∫

G

|fu|dx 6 ‖f‖2‖v‖2

6 ‖f‖2‖u‖1,2 víi mäi u ∈ X.

b(.) lµ tuyÕn tÝnh vµ do ®ã b lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc.∗ HiÓn nhiªn, tËp M lµ låi. H¬n n÷a, M còng ®ãng. ThËt vËy, nÕu

un → u trong M khi n→ ∞,

th× tån t¹i mét d·y con un′ sao cho

un′ → u(x) khi n′ → ∞ víi hÇu hÕt x ∈ G,

do Bæ ®Ò 2.62. Do ®ã, un(x) > 0 víi hÇu hÕt x ∈ G vµ víi mäi n, suy ra u(x) > 0 víihÇu hÕt x ∈ G, vµ do ®ã u ∈M .¸p dông §Þnh lý ?? ta thu ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

2.6 Phô lôc: §Þnh lý Lax-Milgram phi tuyÕn

Chóng ta muèn gi¶i ph−¬ng tr×nh to¸n tö phi tuyÕn

(2.20) Au = z v ∈ H.

Ta gi¶ thiÕt r»ng:

(H1) To¸n tö A : H → H lµ ®¬n ®iÖu m¹nh trªn kh«ng gian Hilbert thùc H , nghÜalµ, tån t¹i h»ng sè c > 0 sao cho

(Au−Av, u− v) > c‖u− v‖2 víi mäi u, v ∈ H.

(H2) To¸n tö A lµ liªn tôc Lipschitz, nghÜa lµ tån t¹i L > 0 sao cho

‖Au−Av‖ 6 L‖u− v‖ víi mäi u, v ∈ H.


§Þnh lý 2.64 (Zarantonello, 1960). Víi mçi z cho tr−íc thuéc H , bµi to¸n (2.20) cãmét nghiÖm duy nhÊt u.

Chøng minh. Ph−¬ng tr×nh (2.20) t−¬ng ®−¬ng víi bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng

(2.21) u = Bu u ∈ H,

trong ®ã Bu := u− t(Au− z) víi t > 0 cè ®Þnh.NÕu H = 0, th× mÖnh ®Ò lµ tÇm th−êng. Gi¶ sö H 6= ∅. Víi mäi u, v ∈ H ,

(2.22) ‖Bu−Bv‖2 = ‖u− v‖2 − 2t(Au−Av, u− v) + t2‖Au−Av‖2 6 m‖u− v‖2,

trong ®ã m := 1 − 2tc+ t2L2.Tõ (22), m > 0. NÕu t = 0 hoÆc t = 2c

L2 , th× m = 1. §iÒu nµy kÐo theo

k :=√m < 1 víi mäi t ∈

(0,

2c

L2

)

Do ®ã,‖Bu−Bv‖ 6 k‖u− v‖ víi mäi u, v ∈ H,

nghÜa lµ, to¸n tö B lµ k - co víi mçi t ∈ (0, 2cL2 ).

Theo ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Banach, bµi to¸n (2.21) cã mét nghiÖm u duy nhÊt.Ngoµi ra, tõ ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Banach, ta suy ra víi mçi u0 cho tr−íc thuéc

H vµ mçi t cè ®Þnh thuéc (0, 2cL2 ), phÐp lÆp

un+1 = un − t(Aun − z), n = 0, 1, ...

héi tô tíi nghiÖm duy nhÊt u cña bµi to¸n (2.20). H¬n n÷a, ta cã −íc l−îng sai sè

‖u− un‖ 6 kn(1 − k)−1‖u1 − u0‖ víi n = 1, 2, ...

B©y giê chóng ta muèn t×m u sao cho

(2.23) a(u, v) = b(v) víi mäi v ∈ H

Ta gi¶ thiÕt

(H1) Gi¶ sö b : H → R lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn kh«ng gian Hilbertthùc H;

(H2) Gi¶ sö a : H ×H → R lµ mét hµm sao cho, víi mçi w ∈ X ,

v 7→ a(w, v)

biÓu diÔn mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn H;


(H3) Tån t¹i c¸c h»ng sè d−¬ng L vµ c sao cho, víi mäi u, v,w ∈ H ,

c‖u− v‖2 6 a(u, u− v)− a(v, u− v)

vµ|a(u,w)− a(v,w)| 6 L‖u− v‖‖w‖.

§Þnh lý 2.65 (§Þnh lý Lax-Milgram phi tuyÕn). Bµi to¸n (2.23) cã mét nghiÖm duynhÊt.

Chøng minh. Tõ (H2) vµ ®Þnh lý Riesz, víi mçi w ∈ H , tån t¹i mét phÇn tö gäi lµAw sao cho

a(w, u) = (Aw, u) víi mäi u ∈ H.

Ta cã ¸nh x¹ A : H → H . Tõ (H3) ta suy ra

c‖u− v‖2 6 (Au−Av, u− v) víi mäi u, v ∈ H,

nghÜa lµ, A ®¬n ®iÖu m¹nh. H¬n n÷a,

|(Au−Av,w)| 6 L‖u− v‖‖w‖ víi mäi u, v,w ∈ H.

Do ®ã

‖Au−Av‖ = sup‖w‖61

|(Au−Av,w)| 6 L‖u− v‖ víi mäi u, v ∈ H.

L¹i theo ®Þnh lý Riesz, tån t¹i z ∈ H sao cho

b(u) = (z, u) víi mäi u ∈ X.

Do ®ã, bµi to¸n (2.23) t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh to¸n tö

(2.24) Au = z, u ∈ X.

Theo §Þnh lý 2.64, ph−¬ng tr×nh (2.24) cã mét nghiÖm duy nhÊt u. Trong tr−êng hîp ®Æc biÖt khi a : H×H → R lµ song tuyÕn tÝnh, bÞ chÆn, coercive,nghÜa lµ

a(w,w) > c‖w‖2 víi mäi w ∈ H vµ c > 0 cè ®Þnh,

c¸c gi¶ thiÕt (H2), (H3) tho¶ m·n. Khi ®ã, §Þnh lý 2.65 chÝnh lµ ®Þnh lý Lax-Milgram tuyÕn tÝnh.


Ch−¬ng 3

Ph−¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu

3.1 Giíi thiÖu chung

Gi¶i tÝch phi tuyÕn lµ mét lÜnh vùc t−¬ng ®èi réng. VÒ mét khÝa c¹nh nµo ®ã,nã cho chóng ta nh÷ng bµi to¸n thùc tÕ h¬n so víi gi¶i tÝch tuyÕn tÝnh. V× thÕviÖc gi¶i çc bµi to¸n phi tuyÕn còng khã kh¨n h¬n vµ ta th−êng sö dông çc kÕtqu¶ cña bµi to¸n tuyÕn tÝnh t−¬ng øng. Mét sè ph−¬ng ph¸p truyÒn thèng th−êng®−îc sö dông khi gi¶i quyÕt çc bµi to¸n phi tuyÕn ®ã lµ: Ph−¬ng ph¸p hµmGreen, ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n, ph−¬ng ph¸p bËc ¸nh x¹, ph−¬ng ph¸p nghiÖmtrªn-nghiÖm d−íi, ph−¬ng ph¸p ®iÓm bÊt ®éng, ph−¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu. . . . Mçi ph−¬ng ph¸p ®Òu cã nh÷ng −u-nh−îc ®iÓm mµ nÕu n¾m râ chóng, ta cãthÓ lùa chän sö dông ®èi víi tõng bµi to¸n cô thÓ. Trong ch−¬ng nµy chóng ta sÏt×m hiÓu vÒ mét ph−¬ng ph¸p trong sè nµy: ph−¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu.

3.2 Bµi to¸n xuÊt ph¸t

§Þnh nghÜa 3.9. Cho mét to¸n tö F : R → R. Ta nãii) F ®¬n ®iÖu t¨ng nÕu

F (x) 6 F (y) ∀x < y.

ii) F ®¬n ®iÖu gi¶m nÕuF (x) ≥ F (y) ∀x < y.

iii) F ®¬n ®iÖu t¨ng thùc sù nÕu

F (x) < F (y) ∀x < y.

81 Ch−¬ng 3. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu

iv) F ®¬n ®iÖu gi¶m thùc sù nÕu

F (x) > F (y) ∀x < y.

v) F ®¬n ®iÖu nÕu F ®¬n ®iÖu t¨ng hoÆc ®¬n ®iÖu gi¶m.vi) F ®¬n ®iÖu thùc sù nÕu F ®¬n ®iÖu t¨ng hoÆc ®¬n ®iÖu gi¶m thùc sù.

§Þnh lý 3.66. Cho mét to¸n tö F : R → R liªn tôc. ThÕ th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Óph−¬ng tr×nh

(3.1) F (x) = y

cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ R víi mçi y ∈ R lµi) F ®¬n ®iÖu thùc sù.ii) |F (x)| → ∞ khi |x| → ∞.

Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn: i) Gi¶ sö ng−îc l¹i F kh«ng ®¬n ®iÖu thùc sù. ThÕ th×tån t¹i ch¼ng h¹n u < v < x tho¶ m·n F (u) 6 F (x) 6 F (v). V× F liªn tôc nªn tån t¹iz ∈ (u, v) sao cho F (z) = F (x). §iÒu nµy mÉu thuÉn víi tÝnh duy nhÊt nghiÖm cñaph−¬ng tr×nh F (x) = y. Do ®ã F ®¬n ®iÖu thùc sù.ii) HiÓn nhiªn.§iÒu kiÖn ®ñ: Cã F liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu thùc sù suy ra F lµ song ¸nh trªn R. Tõ ®ãta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

3.3 To¸n tö trªn Rn

§Þnh nghÜa 3.10. Cho mét to¸n tö F : Rn → Rn. Ta nãii) F ®¬n ®iÖu nÕu

(F (x)− F (y)) · (x− y) ≥ 0 ∀x, y ∈ Rn.

ii) F ®¬n ®iÖu chÆt nÕu

(F (x)− F (y)) · (x− y) > 0 ∀x, y ∈ Rn : x 6= y.

iii) F ®¬n ®iÖu m¹nh nÕu ∃c > 0 :

(F (x)− F (y)) · (x− y) ≥ c|x− y|2 ∀x, y ∈ Rn.

Bæ ®Ò 3.67 (Bæ ®Ò c¬ b¶n). Gi¶ sö F : Rn → Rn liªn tôc vµ tån t¹i r > 0 tho¶ m·n

F (x).x > 0 ∀x ∈ Rn : |x| = r.

Khi ®ã tån t¹i nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh F (x) = 0 trong h×nh cÇu ®ãng

Br := x ∈ Rn : |x| 6 r.


Chøng minh. Gi¶ sö ng−îc l¹i

F (x) 6= 0 ∀x ∈ Br.

ThÕ th× ¸nh x¹g : Br → Br, g(x) = − r

|F (x)|F (x).

®−îc x¸c ®Þnh vµ tõ tÝnh liªn tôc cña F (x) suy ra g(x) liªn tôc trªn h×nh cÇu ®ãng Br.Theo ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer lu«n tån t¹i x∗ ∈ Br sao cho

g(x∗) = x∗.

Suy ra |x∗| = |g(x∗)| = r. Do ®ã r2 = x∗ · x∗ = g(x∗) · x∗ = − r|F (x∗)|F (x∗) · x∗ < 0. §iÒu

v« lý nµy chøng tá ®iÒu gi¶ sö lµ kh«ng ®óng. Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

§Þnh lý 3.68. Cho mét to¸n tö F : Rn → Rn liªn tôc vµ tho¶ m·n

(3.2) lim|x|→∞

F (x) · x|x|

= ∞.

ThÕ th× ph−¬ng tr×nhF (x) = y

cã nghiÖm x ∈ Rn víi mçi y ∈ Rn. H¬n thÕ, nÕu F ®¬n ®iÖu chÆt, tøc lµ

(F (x)− F (y)) · (x− y) > 0, x 6= y.

th× nghiÖm nµy lµ duy nhÊt.

Chøng minh. XÐt ¸nh x¹

G : Rn → Rn, G(x) = F (x) − y.

V× F (x) liªn tôc nªn G(x) liªn tôc. MÆt kh¸c tõ (3.2) suy ra víi mçi y ∈ Rn cè ®Þnh

G(x) · x = F (x) · x− y · x > 0 khi |x| = r ®ñ lín.

Theo bæ ®Ò c¬ b¶n tån t¹i x ∈ Br :

G(x) = 0 hay F (x) = y.

H¬n thÕ nÕu F ®¬n ®iÖu chÆt, gi¶ sö x1, x2 ∈ Rn lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

F (x) = y.

Suy ra (F (x1) − F (x2)) · (x1 − x2) = 0. Do ®ã x1 = x2 hay nghiÖm lµ duy nhÊt. §Þnhlý ®· ®−îc chøng minh.


3.4 To¸n tö trªn kh«ng gian Hilbert thùc

§Þnh nghÜa 3.11. Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert thùc víi tÝch v« h−íng < ·, · >vµ cho mét to¸n tö F : X → X . Ta nãii) F ®¬n ®iÖu nÕu

< F (x)− F (y), x− y >≥ 0 ∀x, y ∈ X.


< F (x)− F (y), x− y >> 0 ∀x, y ∈ X : x 6= y


< F (x)− F (y), x− y >≥ c|x− y|2 ∀x, y ∈ X.

Bæ ®Ò 3.69. Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert thùc. Cho mét to¸n tö F : X → X liªntôc yÕu vµ tho¶ m·n

(3.3) < y − F (z), x− z >≥ 0 ∀z ∈ X.

ThÕ th× F (x) = y.

Chøng minh. §Ætz = x± tω (t > 0).

ThÕ th× tõ (3.3) suy ra∓ < y − F (x± tω), ω >≥ 0.

V× F liªn tôc yÕu nªn khi cho t ↓ 0 ta cã

∓ < y − F (x), ω >≥ 0.

Do ®ã< y − F (x), ω >= 0 ∀ω ∈ X.

Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.

§Þnh lý 3.70 (Zarantonello-1960). Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert thùc. Cho métto¸n tö F : X → X ®¬n ®iÖu m¹nh vµ liªn tôc Lipschitz, tøc lµ ∃L > 0 :

|F (x)− F (y)| 6 L|x− y| ∀x, y ∈ X.

ThÕ th× ph−¬ng tr×nh

(3.4) F (x) = y

cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ X víi mçi y ∈ X .


Chøng minh. XÐt ¸nh x¹

G : X → X, G(x) = x− t(F (x)− y) víi t > 0 ®ñ nhá ®−îc cè ®Þnh.

DÔ thÊy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh F (x) = y lµ ®iÓm bÊt ®éng cña G vµ ng−îc l¹i. MÆtkh¸c tõ tÝnh ®¬n ®iÖu m¹nh vµ liªn tôc Lipschitz cña F ta cã

|G(x) −G(x)|2 = |x− x|2 − 2t < F (x)− F (x), x− x > +t2|F (x)− F (x)|2

6 (1 − 2tc+ t2L2)|x− x|2.

Víi t ∈ (0,2c

L2) ta cã k2 = 1 − 2tc + t2L2 < 1. Do ®ã G lµ co vµ theo ®Þnh lý ¸nh x¹

co Banach ta cã G cã ®iÓm bÊt ®éng duy nhÊt hay ph−¬ng tr×nh

F (x) = y

cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ X víi mçi y ∈ X . §Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.

§Þnh lý 3.71 (Lax-Milgram phi tuyÕn). Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert thùc. Choc¸c phiÕm hµm thùc a : X ×X → R vµ b : X → R tho¶ m·ni) b(·) lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc.ii) a(x, ·) lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc víi mçi x ∈ X .iii) Tån t¹i L, c > 0 tho¶ m·n

a(x, x− y) − a(y, x− y) ≥ c|x− y|2 ∀x, y ∈ X.

|a(x, z)− a(y, z)| 6 L|x− y||z| ∀x, y, z ∈ X.


(3.5) a(x, y) = b(y) ∀y ∈ X

cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ X .

Chøng minh. Theo ®Þnh lý Riesz, tõ i) vµ ii) suy ra tån t¹i t, F (x) ∈ X sao cho

b(y) =< t, y > vµ a(x, y) =< F (x), y > ∀y ∈ X.

Tõ iii) ta cã

< F (x)− F (y), x− y >= a(x, x− y) − a(y, x− y) ≥ c|x− y|2 ∀x, y ∈ X.

vµ

|F (x)− F (y)| = sup|z|61

| < F (x)− F (y), z > |

= sup|z|61

|a(x, z)− a(y, z)|


6 L|x− y| ∀x, y ∈ X.

Theo ®Þnh lý Zarantonello suy ra ph−¬ng tr×nh

F (x) = t

cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ X víi mçi t ∈ X . Do ®ã ph−¬ng tr×nh

a(x, y) = b(y) ∀y ∈ X

cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ X . §Þnh lý ®−îc chøng minh.

§Þnh lý 3.72 (Lax-Milgram tuyÕn tÝnh). Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert thùc. Choc¸c phiÕm hµm thùc a : X ×X → R vµ b : X → R tho¶ m·ni) b(·) lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc.ii) a(·, ·) lµ song tuyÕn tÝnh liªn tôc.iii) a coercive tøc lµ tån t¹i c > 0 tho¶ m·n

a(x, x) ≥ c|x|2 ∀x ∈ X.


(3.6) a(x, y) = b(y), ∀y ∈ X

cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ X .

Chøng minh. Ta suy trùc tiÕp tõ ®Þnh lý trªn v× lóc nµy

a(x, x− y) − a(y, x− y) = a(x− y, x− y) ≥ c|x− y|2 ∀x, y ∈ X.

|a(x, z)− a(y, z)| = a(x− y, z) 6 L|x− y||z| ∀x, y, z ∈ X.

VÝ dô 2. XÐt bµi to¸n biªn Dirichlet cña ph−¬ng tr×nh elliptic cÊp 2−

n∑i,j=1

∂∂xi

(Aij(x)∂u∂xj

) +n∑

j=1

Bj(x)∂u∂xj

+ C(x)u = f, x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0.

trong ®ã Ω lµ miÒn më bÞ chÆn cã biªn tr¬n trong Rn. Ký hiÖu

a0 := infx∈Ω; e∈Sn

eiAij(x)ej > 0; b0 := supx∈Ω; j=1,n

|Bj(x)|; c0 := infx∈Ω

C(x)

Gi¶ thiÕt Aij(x), Bj(x), C(x), f(x) bÞ chÆn trªn Ω. Khi ®ã nÕu

4a0c0 > b20

th× bµi to¸n cã nghiÖm yÕu duy nhÊt trong kh«ng gian H10 (Ω).


Chøng minh. Ta biÕt r»ng H10 (Ω) lµ kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« h−íng

< u, v >=

∫

Ω

∇u∇vdx.

NghiÖm yÕu cña bµi to¸n lµ hµm u ∈ H10 (Ω) tho¶ m·n

∫

Ω

[n∑

i,j=1

Aij(x)∂u

∂xj

∂v

∂xi+

n∑

j=1

Bj(x)∂u

∂xjv + C(x)uv

]dx =

∫

Ω

fvdx, ∀v ∈ H10 (Ω).

XÐt c¸c phiÕm hµm thùc

a(u, v) =

∫

Ω

[n∑

i,j=1

Aij(x)∂u

∂xj

∂v

∂xi+

n∑

j=1

Bj(x)∂u

∂xjv + C(x)uv

]dx, ∀u, v ∈ H1

0 (Ω).

b(v) =

∫

Ω

fvdx, ∀v ∈ H10 (Ω).

DÔ thÊy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

a(u, v) = b(v), ∀v ∈ H10 (Ω)

lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n vµ ng−îc l¹i. Ta sÏ chøng minh a lµ phiÕm hµm songtuyÕn tÝnh ®èi xøng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn coercive vµ b lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnhliªn tôc. ThËt vËy, tÝnh song tuyÕn tÝnh cña a bµ tÝnh tuyÕn tÝnh cña b lµ râ rµng. TõbÊt ®¼ng thøc Buniakowski vµ PoincarÐ-Friedrichs ta suy ra a, b bÞ chÆn

|a(u, v)| 6∫

Ω

[n∑

i,j=1

M | ∂u∂xj

|| ∂v∂xi

| +n∑

j=1

M | ∂u∂xj

||v|+M |u||v|]dx

6 Mn∑

i,j=1

∫

Ω

| ∂u∂xj

|2dx

12∫

Ω

| ∂u∂xj

|2dx

12

+Mn∑

j=1

∫

Ω

| ∂u∂xj

|2dx

12∫

Ω

|v|2dx

12

+M

∫

Ω

|u|2dx

12∫

Ω

|v|2dx

12

6 Mn2‖u‖‖v‖+Mn‖u‖c‖v‖+Mc2‖u‖‖v‖= C‖u‖‖v‖.

|b(v)| 6∫

Ω

|f ||v|dx


6 M |Ω| 12

∫

Ω

|v|2dx

12

6 Mc‖v‖.

VËy a, b lµ c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc. H¬n thÕ tõ bÊt ®¼ng thøc Cauchy tacã

n∑

j=1

| ∂u∂xj

u| 6 εn∑

j=1

| ∂u∂xj

|2 +1

4ε|u|2

6 ε|∇u|2 +1

4ε|u|2.

Do ®ã

a(u, u) ≥∫

Ω

[n∑

j=1

a0|∂u

∂xj|2 − b0

n∑

j=1

| ∂u∂xj

u|+ c0|u|2]dx

=

∫

Ω

[a0|∇u|2 − b0

n∑

j=1

| ∂u∂xj

u|+ c0|u|2]dx

≥ (a0 − b0ε)

∫

Ω

|∇u|2dx + (c0 −b04ε

)

∫

Ω

|u|2dx

≥ (a0 − b0ε)‖u‖2.

víib04c0

< ε <a0

b0

VËy theo ®Þnh lý Lax-Milgram tuyÕn tÝnh ph−¬ng tr×nh (3.6) cã nghiÖm hay bµi to¸ncã nghiÖm yÕu. §iÒu ph¶i chøng minh.

3.5 To¸n tö trªn kh«ng gian Hilbert thùc t¸ch ®−îc

§Þnh lý 3.73 (Browder, Minty). Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert thùc t¸ch ®−îc vµcho mét to¸n tö F : X → X liªn tôc yÕu, ®¬n ®iÖu vµ tho¶ m·n

(3.7) lim|x|→∞

< F (x), x >

|x| = ∞.


(3.8) F (x) = y

cã nghiÖm x ∈ X víi mçi y ∈ X . H¬n thÕ, nÕu F ®¬n ®iÖu chÆt th× nghiÖm lµ duy nhÊt.


Chøng minh. V× X lµ kh«ng gian Hilbert t¸ch ®−îc nªn tån t¹i mét c¬ së trùc chuÈnek∞k=1 trong X . §Æt Xn := spanekn

k=1. XÐt hä c¸c phÐp chiÕu

Pn : X → Xn, Pnx =n∑

k=1

< x, ek > ek.

vµ to¸n töFn : Xn → Xn, Fn(xn) = PnF (xn).

Tõ tÝnh ®¬n ®iÖu vµ liªn tôc yÕu cña F suy ra

< Fnx− Fnx, x− x > =< PnF (x)− PnF (x), x− x >

=< F (x)− F (x), Pnx− Pnx >

=< F (x)− F (x), x− x >≥ 0 ∀x, x ∈ Xn.

vµ víi mçi xk → x trong Xn suy ra ∀y ∈ Xn

< Fnxk − Fnx, y >=< F (xk) − F (x), y >→ 0 (k → ∞).

suy ra |Fnxk − Fnx| = sup|y|61

| < Fnxk − Fnx, y > | → 0 (k → ∞). VËy Fn ®¬n ®iÖu

vµ liªn tôc trªn kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu Xn. Víi mäi y ∈ X cho tr−íc, ®Ætyn = Pny ∈ Xn ta cã

|yn − y|2 =

∣∣∣∣∣∞∑

k=n+1

< y, ek > ek

∣∣∣∣∣

2

=

∞∑

k=n+1

| < y, ek > |2 → 0 (n→ ∞).

nªn tån t¹i M > 0 tho¶ m·n |yn| < M ∀n vµ |y| < M . MÆt kh¸c tõ (3.7) tån t¹ir > 0 tho¶ m·n

< F (x), x >≥M |x| ∀|x| ≥ r.

Suy ra ∀xn ∈ Xn : |xn| = r

| < Fn(xn) − yn, xn > | = | < F (xn) − y, xn > | ≥ (M − |yn|)|xn| ≥ 0.

Theo bæ ®Ò c¬ b¶n ph−¬ng tr×nh

Fn(xn) = yn

lu«n cã nghiÖm xn ∈ Xn tho¶ m·n |xn| 6 r. V× X lµ kh«ng gian Hilbert nªn ta cã thÓtrÝch ra tõ xn mét d·y con ký hiÖu lu«n lµ xn héi tô yÕu trong X ®Õn x ∈ X . TasÏ chøng minh x lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh F (x) = y. ThËt vËy, víi mäi z ∈ X ®Ætzn = Pnz ∈ Xn. Ta cã

< y − F (zn), xn − zn > =< y − F (zn), Pnxn − Pnzn >

=< Pny − PnF (zn), xn − zn >


=< yn − Fn(zn), xn − zn >

=< Fn(xn) − Fn(zn), xn − zn >

≥ 0

Cho n→ ∞ víi chó ý zn → z trong X , xn x trong X ta ®−îc

< y − F (z), x− z >≥ 0.

Theo bæ ®Ò 3.69 suy ra F (x) = y. §Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.

VÝ dô 3. XÐt bµi to¸n biªn cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cã cÊu trócdivergence

(3.9)

−div a(∇u) = f, x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0.

trong ®ã Ω lµ miÒnmë bÞ chÆn cã biªn tr¬n trong Rn, f ∈ L2(Ω). Gi¶ thiÕt a : Rn → Rn

tr¬n tho¶ m·ni) a ®¬n ®iÖu,ii) ∃c > 0 :

(3.10) |a(p)| 6 c(1 + |p|),

iii) a coercive tøc lµ ∃α > 0, β ≥ 0 :

(3.11) a(p) · p ≥ α|p|2 − β.

iv) To¸n tö Nemyski cña a (vÉn ký hiÖu lµ a) trong kh«ng gian L2(Ω)

a : L2(Ω) → L2(Ω), a(u)(x) = a(u(x))

liªn tôc yÕu tøc lµ víi mçi v ∈ L2(Ω)

∫

Ω

a(um)(x)v(x)dx→∫

Ω

a(u)(x)v(x)dx khi um → u trong L2(Ω)

Khi ®ã bµi to¸n lu«n cã nghiÖm yÕu. H¬n thÕ nÕu a ®¬n ®iÖu m¹nh th× nghiÖm lµ duynhÊt.

Chøng minh. Ta biÕt r»ng kh«ng gian H10 (Ω) lµ mét kh«ng gian Hilbert t¸ch ®−îc víi

tÝch v« h−íng

(3.12) < u, v >=

∫

Ω

∇u(x)∇v(x)dx.


Ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (3.9), ®ã lµ hµm u ∈ H10 (Ω) tho¶ m·n

®ång nhÊt thøc

(3.13)∫

Ω

a(∇u(x))∇v(x)dx=

∫

Ω

f(x)v(x)dx ∀v ∈ H10 (Ω)

XÐt çc phiÕm hµm thùc trªn H10 (Ω)

b(·) : H10 (Ω) → R, b(v) =

∫

Ω

f(x)v(x)dx

vµ víi mçi u ∈ H10 (Ω)

A(u, ·) : H10 (Ω) → R, A(u, v) =

∫

Ω

a(∇u(x))∇v(x)dx.

Tõ (3.10) vµ çc bÊt ®¼ng thøc Buniakowski, PoincarÐ-Friedrich ta dÔ dµng chøng minh®−îc A(u, ·), b(·) lµ çc phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc.

|b(v)|2 6

∫

Ω

|f(x)v(x)|dx

2

6∫

Ω

|f(x)|2dx∫

Ω

|v(x)|2dx

6 ‖f‖2L2(Ω)M

∫

Ω

|∇v(x)|2dx

6 C‖v‖2

|A(u, v)|2 6

∫

Ω

|a(∇u(x))∇v(x)|dx

2

6 c2

∫

Ω

|∇v(x)|dx+

∫

Ω

|∇u(x)∇v(x)|dx

2

6 2c2

∫

Ω

|∇v(x)|dx

2

+

∫

Ω

|∇u(x)∇v(x)|dx

2

6 2c2(|Ω|‖v‖2 + ‖u‖2‖v‖2)

= C‖v‖2

V× vËy theo ®Þnh lý Riesz tån t¹i F (u), z ∈ H10 (Ω) tho¶ m·n

< F (u), v >= A(u, v) vµ < z, v >= b(v) ∀v ∈ H10 (Ω).


§Ó ý r»ng u ∈ H10 (Ω) lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (3.9) khi vµ chØ khi u lµ nghiÖm cña

ph−¬ng tr×nh F (u) = z.

Ta sÏ chøng minh to¸n tö F trªn H10 (Ω) lµ ®¬n ®iÖu, liªn tôc yÕu vµ tho¶ m·n

(3.7). ThËt vËy, tõ tÝnh ®¬n ®iÖu cña a suy ra F ®¬n ®iÖu v×

< F (u)− F (v), u− v >=

∫

Ω

a(∇u(x)−∇v(x))(∇u(x)−∇v(x))dx ≥ 0.

Tõ tÝnh liªn tôc yÕu cña a suy ra F liªn tôc yÕu v× víi mäi um → u trong H10 (Ω) kÐo

theo ∇um → ∇u trong L2(Ω) do ®ã víi mäi v ∈ H10 (Ω)

< F (um), v >=

∫

Ω

a(∇um(x))∇v(x)dx→∫

Ω

a(∇u(x))∇v(x)dx=< F (u), v > .

Tõ tÝnh coercive cña a suy ra F coercive v×

< F (u), u > =

∫

Ω

a(∇u(x))∇u(x)dx

≥∫

Ω

α|∇u(x)|2dx− β|Ω|

≥ α‖u‖2 − β|Ω|

H¬n thÕ tõ tÝnh ®¬n ®iÖu m¹nh cña a suy ra F ®¬n ®iÖu m¹nh v×

< F (u)− F (v), u− v > =

∫

Ω

a(∇u(x)−∇v(x))(∇u(x)−∇v(x))dx

≥ c

∫

Ω

|∇u(x)−∇v(x)|2dx

= c‖u− v‖2

VËy tõ ®Þnh lý Browder-Minty suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.

NhËn xÐt. KÕt qu¶ trong vÝ dô trªn vÉn ®óng nÕu ta bá ®i ®iÒu kiÖn iv) (xem [13]).

Chøng minh. Ta tiÕn hµnh c¸c b−íc t−¬ng tù nh− trong chøng minh ®Þnh lý Browder-Minty. Ta cã H1

0 (Ω) lµ kh«ng gian Hilbert t¸ch ®−îc víi tÝch v« h−íng (3.12) vµ xÐtc¬ së trùc chuÈn ek∞k=1 trong ®ã.

Bæ ®Ò 3.74 (NghiÖm xÊp xØ). Víi mäi m ∈ N lu«n tån t¹i m sè thùc djmj=1 tho¶ m·n

(3.14)∫

Ω

a

(m∑

j=1

dj∇ej

)∇ekdx =

∫

Ω

fekdx ∀k = 1,m.


Chøng minh. XÐt to¸n tö liªn tôc

v : Rm → Rm, vk(d) =

∫

Ω

[a

(m∑

j=1

dj∇ej

)∇ek − fek

]dx ∀k = 1,m.

Ta biÕt r»ng víi hµm f ∈ L2(Ω), ph−¬ng tr×nh

−∆u = f

cã nghiÖm duy nhÊt u ∈ H10(Ω) tho¶ m·n ‖u‖2 6 C . Tõ bÊt ®¼ng thøc Bessel ta cã

m∑

j=1

∫

Ω

fejdx

2

=m∑

j=1

∫

Ω

∇u∇ejdx

2

=m∑

j=1

| < u, ej > |2

6 ‖u‖2 6 C.

MÆt kh¸c tõ bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã∣∣∣∣∣∣dj

∫

Ω

fejdx

∣∣∣∣∣∣6α

2d2

j +1

2α

∫

Ω

fejdx

2

Suy ra

m∑

j=1

∣∣∣∣∣∣dj

∫

Ω

fejdx

∣∣∣∣∣∣6α

2

m∑

j=1

d2j +

1

2α

m∑

j=1

∫

Ω

fejdx

2

6α

2|d|2 + C.

V× vËy tõ tÝnh coercive cña a ta cã

v(d) · d =

∫

Ω

[a

(m∑

j=1

dj∇ej

)·(

m∑

j=1

dj∇ej

)− f

(m∑

j=1

djej

)]dx

≥∫

Ω

α∣∣∣∣∣

m∑

j=1

dj∇ej

∣∣∣∣∣

2

− β

dx−

m∑

j=1

dj

∫

Ω

fejdx

≥ α‖d‖2 − β|Ω| −m∑

j=1

∣∣∣∣∣∣dj

∫

Ω

fejdx

∣∣∣∣∣∣

≥ α

2‖d‖2 −C.

Do ®ã v(d) · d > 0 khi |d| = r ®ñ lín. Theo bæ ®Ò c¬ b¶n suy ra ph−¬ng tr×nh v(d) = 0

cã nghiÖm d = (d1, . . . , dm) ∈ Rm. DÔ thÊy bé dkmk=1 tho¶ m·n (3.14). Bæ ®Ò ®· ®−îc

chøng minh.


Bæ ®Ò 3.75 (§¸nh gi¸ n¨ng l−îng). Víi mçi m ∈ N, vµ bé m sè thùc dkmk=1 t×m

®−îc ë trªn, ®Æt

um =

m∑

j=1

djej.

ThÕ th× ta cã ®¸nh gi¸ n¨ng l−îng

(3.15) ‖um‖ 6 C(1 + ‖f‖L2(Ω)).

trong ®ã h»ng sè C chØ phô thuéc vµo Ω vµ a.

Chøng minh. Tõ (3.14) suy ra

(3.16)∫

Ω

a (∇um)∇umdx =

∫

Ω

fumdx.

H¬n thÕ tõ bÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ PoincarÐ-Friedrich ta cã∫

Ω

fumdx 6 ε

∫

Ω

u2mdx+

1

4ε

∫

Ω

f2dx

6 εc

∫

Ω

|∇um|2dx+1

4ε‖f‖2

L2(Ω)

= εc‖um‖2 +1

4ε‖f‖2

L2(Ω).

MÆt kh¸c, tõ (3.10) suy ra

α‖um‖2 = α

∫

Ω

|∇um|2 dx 6∫

Ω

a (∇um)∇umdx+ β|Ω|

=

∫

Ω

fumdx+ β|Ω|

6 εc‖um‖2 +1

4ε‖f‖2

L2(Ω) + C.

VËy, víi ε > 0 ®ñ nhá ta sÏ cã ®¸nh gi¸ n¨ng l−îng. Bæ ®Ò ®· ®−îc chøng minh.

§Ó chøng minh tån t¹i nghiÖm yÕu ta sÏ chØ ra nghiÖm yÕu nh− mét giíi h¹n yÕutrong H1

0 (Ω) cña mét d·y con nµo ®ã cña um. §iÒu nµy ®−îc chøng minh chi tiÕtnh− sau

Tõ bæ ®Ò §¸nh gi¸ n¨ng l−îng suy ra d·y um bÞ chÆn trong kh«ng gian HilbertH1

0 (Ω). Do ®ã tån t¹i d·y con umj ⊂ um vµ u ∈ H10(Ω) sao cho

(3.17) umj u trong H10 (Ω).


V× H10 (Ω) nhóng compact trong L2(Ω) nªn

(3.18) umj → u trong L2(Ω).

MÆt kh¸c tõ ®iÒu kiÖn (3.10) suy ra a(∇umj) bÞ chÆn trong kh«ng gian Hilbert L2(Ω).

Do ®ã tån t¹i mét d·y con cña a(∇umj) (coi nh− lµ a(∇umj) mµ kh«ng lµm mÊt tÝnhtæng qu¸t) vµ ξ ∈ L2(Ω) sao cho

(3.19) a(∇umj) ξ trong L2(Ω).

KÕt hîp (3.14) suy ra∫

Ω

ξ∇ekdx = limj→∞

∫

Ω

a(∇umj

)∇ekdx =

∫

Ω

fekdx ∀k ≥ 1.

Do ®ã

(3.20)∫

Ω

ξ∇vdx =

∫

Ω

fvdx ∀v ∈ H10 (Ω).

Tõ tÝnh ®¬n ®iÖu cña a ta cã∫

Ω

(a(∇um) − a(∇w)) · (∇um −∇w)dx ≥ 0 ∀w ∈ H10 (Ω).

KÕt hîp víi (3.16) suy ra∫

Ω

[fum − a(∇um)∇w − a(∇w)(∇um −∇w)]dx ≥ 0 ∀w ∈ H10 (Ω).

Cho m = mj → ∞ víi chó ý (3.17)-(3.19) ta ®−îc∫

Ω

[fu− ξ∇w − a(∇w)(∇u−∇w)]dx ≥ 0 ∀w ∈ H10 (Ω).

Cho v = u trong (3.20) råi thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc∫

Ω

(ξ − a(∇w))(∇u−∇w)]dx ≥ 0 ∀w ∈ H10 (Ω).

Cè ®Þnh v ∈ H10 (Ω). §Æt w = u− λv (λ > 0). Ta cã

∫

Ω

(ξ − a(∇u− λ∇v))∇vdx ≥ 0.

Cho λ ↓ 0 ta ®−îc ∫

Ω

(ξ − a(∇u))∇vdx ≥ 0 ∀v ∈ H10 (Ω).


Thay v bëi −v ta ®−îc ®¼ng thøc vµ do ®ã∫

Ω

a(∇u)∇vdx=

∫

Ω

ξ∇vdx =

∫

Ω

fvdx ∀v ∈ H10 (Ω).

VËy u lµ mét nghiÖm yÕu cña bµi to¸n.

NÕu a ®¬n ®iÖu m¹nh, gi¶ sö u, u lµ c¸c nghiÖm yÕu cña bµi to¸n. Ta cã∫

Ω

a(∇u)∇vdx =

∫

Ω

a(∇u)∇vdx ∀v ∈ H10 (Ω).

§Æt v = u− u ta suy ra tõ tÝnh ®¬n ®iÖu m¹nh cña a

c

∫

Ω

|∇u−∇u|2dx 6∫

Ω

(a(∇u)− a(∇u))(∇u−∇u)dx = 0.

Do ®ã ta cã u = u trong H10 (Ω) hay nghiÖm lµ duy nhÊt. §iÒu ph¶i chøng minh.

3.6 To¸n tö trªn kh«ng gian Banach ph¶n x¹

§Þnh nghÜa 3.12. Cho X lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ víi t¸c ®éng

f(x) :=< f, x > ∀x ∈ X, f ∈ X∗

vµ cho mét to¸n tö F : X → X∗. Ta nãii) F ®¬n ®iÖu nÕu

< F (x)− F (y), x− y >≥ 0 ∀x, y ∈ X.


< F (x)− F (y), x− y >> 0 ∀x, y ∈ X : x 6= y


< F (x)− F (y), x− y >≥ c|x− y|2 ∀x, y ∈ X.

§Þnh lý 3.76. ChoX lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ vµ cho mét to¸n tö F : X → X∗

liªn tôc, ®¬n ®iÖu vµ tho¶ m·n

(3.21) lim|x|→∞

< F (x), x >

|x| = ∞.


(3.22) F (x) = y

cã nghiÖm x ∈ X víi mçi y ∈ X∗.


Chøng minh.

VÝ dô 4. XÐt bµi to¸n biªn cña ph−¬ng tr×nh elliptic tùa tuyÕn tÝnh

(3.23)

−

n∑i=1

Di(|Diu|pDiu) + |u|qu = f(x), x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0.

trong ®ã Ω ⊂ Rn lµ mét miÒn bÊt kú, p, q ≥ 0 vµ f ∈ Lq+2(Ω). Cho kh«ng gian Banachph¶n x¹

X = W 1,p+20 (Ω) ∩ Lq+2(Ω).

víi chuÈn

‖u‖ =

(n∑

i=1

‖Diu‖p+2p+2

) 1p+2

+ ‖u‖q+2.

Khi ®ã bµi to¸n (3.23) lu«n tån t¹i nghiÖm yÕu u ∈ X tøc lµ ta cã

(3.24)∫

Ω

[n∑

i=1

|Diu|pDiuDiv + |u|quv − fv

]dx = 0 ∀v ∈ X.

Chøng minh. Tr−íc hÕt ta chøng minh viÖc ®Þnh nghÜa nghiÖm yÕu nh− trªn lµ hîplý. Ta cÇn chøng minh sù tån t¹i c¸c tÝch ph©n sau

i)

∫

Ω

fvdx

ii)

∫

Ω

|u|quvdx

iii)

∫

Ω

n∑

i=1

|Diu|pDiuDivdx

ThËt vËy, víi p, q ≥ 0 ta cã

(p + 2)∗ :=1

1 − 1p+2

=p+ 2

p+ 16 p+ 2.

(q + 2)∗ :=1

1 − 1q+2

=q + 2

q + 16 q + 2.

Do ®ã f ∈ Lq+2(Ω) ⊂ L(q+2)∗(Ω). Suy ra víi mäi u, v ∈ X cã∫

Ω

|fv|dx 6 ‖f‖(q+2)∗‖v‖q+2 <∞.

97 Ch−¬ng 3. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu∫

Ω

||u|quv|dx 6 ‖|u|qu‖(q+2)∗‖v‖q+2 = ‖u‖q+1q+2‖v‖q+2 <∞.

vµn∑

i=1

∫

Ω

||Diu|pDiuDiv|dx 6n∑

i=1

‖Diu‖p+1p+2‖Div‖p+2

6p + 1

p + 2

n∑

i=1

‖Diu‖p+2p+2 +

1

p+ 2

n∑

i=1

‖Div‖p+2p+2

=p + 1

p + 2‖u‖p+2

W 1,p+20

+1

p + 2‖v‖p+2

W 1,p+20

<∞.

VËy ta ®· cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc mét ¸nh x¹

F : X → X∗, < F (u), v >=

∫

Ω

[n∑

i=1

|Diu|pDiuDiv + |u|quv]dx

Tõ kh¼ng ®Þnh i) suy ra f ∈ L10(Ω) cã thÓ xem nh− f ∈ X∗ víi t¸c ®éng

f(v) =

∫

Ω

fvdx.

DÔ thÊy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh to¸n tö

F (u) = f, f ∈ X∗

còng lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (3.23) vµ ng−îc l¹i. V× vËy ®Ó chøng minh tånt¹i nghiÖm yÕu ta cÇn chøng minh F liªn tôc, ®¬n ®iÖu vµ tho¶ m·n (3.21). §Ætg(x) = |x|px, h(x) = |x|qx. ThÕ th× ta viÕt l¹i hµm F nh− sau

< F (u), v >=

∫

Ω

[n∑

i=1

g(Diu)Div + h(u)v

]dx

DÔ thÊy g, h lµ c¸c hµm ®¬n ®iÖu, liªn tôc

< g(x) − g(y), x− y >=|x|p+2 + |y|p+2 − (|x|p + |y|p)x · y

=1

2[(|x|p + |y|p)(|x|2 + |y|2 − 2x · y)

+ (|x|p − |y|p)(|x|2 − |y|2)]≥0.

F liªn tôc v× víi um → u trong X ta cã

| < F (um) − F (u), v > | =

∫

Ω

[

n∑

i=1

(g(Dium) − g(Diu))Div


+ (h(um) − h(u))v]dx

6L‖um − u‖‖v‖.

F ®¬n ®iÖu do tÝnh ®¬n ®iÖu cña g, h

< F (u)− F (v), u− v >=

∫

Ω

[n∑

i=1

(g(Diu) − g(Div))(Diu−Div)

+ (h(u) − h(v))(u− v)]dx

≥0.

§Æt

a =

(n∑

i=1

‖Diu‖p+2p+2

) 1p+2

, b = ‖u‖q+2.

Ta cã ‖u‖ = a+ b. Khi ‖u‖ → ∞ ta cã a+ b > 1. Do ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸tgi¶ sö p 6 q

ap+2 + bq+2

a+ b=

[(a

a+ b

)p+2

+bq+2

(a+ b)p+2

](a+ b)p+1.

≥[(

a

a+ b

)q+2

+bq+2

(a+ b)q+2

](a+ b)p+1.

≥ (a+ b)p+1

2q+1.

Suy ra F tho¶ m·n (3.21) v×

< F (u), u >

‖u‖ =

∫Ω

[n∑

i=1

|Diu|p+2 + |u|q+2

]dx

‖u‖

=ap+2 + bq+2

a+ b

≥ ‖u‖p+1

2q+1→ ∞ khi ‖u‖ → ∞.

VËy theo ®Þnh lý trªn ph−¬ng tr×nh

F (u) = f

cã nghiÖm hay bµi to¸n (3.23) cã nghiÖm yÕu. §iÒu ph¶i chøng minh.

3.7 Mét sè nhËn xÐt vµ ®¸nh gi¸

1. ¦u ®iÓm cña ph−¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu


(a) Nã ®¬n gi¶n vµ dÔ hiÓu.

(b) §©y lµ ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t, cã thÓ gi¶i quyÕt mét líp lín çc ph−¬ngtr×nh elliptic tùa tuyÕn tÝnh cÊp 2m(m ≥ 1) trong çc miÒn tæng qu¸t.

2. Nh÷ng h¹n chÕ cña ph−¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu

(a) §iÒu kiÖn ®¬n ®iÖu lµ chÆt ®èi víi çc ph−¬ng tr×nh vi ph©n nãi chung,®Æc biÖt lµ ®èi víi çc hÖ elliptic phi tuyÕn.

(b) NghiÖm nhËn ®−îc theo nghÜa yÕu.


Ch−¬ng 4

Lý thuyÕt bËc Brouwer (h÷u h¹n chiÒu)

4.1 X©y dùng bËc cña ¸nh x¹ liªn tôc

BËc cña mét ¸nh x¹ liªn tôc f : Ω → Rn, trong ®ã Ω lµ mét tËp më, bÞ chÆntrong Rn, t¹i mét ®iÓm y (kh«ng n»m trong ¶nh cña biªn ∂Ω) trong Rn ®èi víi tËpΩ cã thÓ h×nh dung nh− lµ sè (®¹i sè) çc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x) = y trongΩ. NÕu bËc b»ng 0 th× ta ch−a kÕt luËn ®−îc nhiÒu, nh−ng nÕu bËc lµ mét sè kh¸c0 (ch¼ng h¹n lµ sè lÎ) th× ta ch¾c ch¾n ph−¬ng tr×nh f(x) = y cã nghiÖm trong Ω.

Cã nhiÒu çch ®Ó x©y dùng lý thuyÕt bËc Brower, ch¼ng h¹n t«p« ®¹i sè hoÆcgi¶i tÝch. ë ®©y, chóng t«i sÏ dïng c«ng cô gi¶i tÝch, mµ cô thÓ lµ çc §Þnh lý Hµmng−îc, §Þnh lý Hµm Èn, §Þnh lý Sard, §Þnh lý Schwarz (vÒ viÖc ®æi thø t¹o lÊy ®¹ohµm riªng). §Ó x©y dùng lý thuyÕt bËc cho ¸nh x¹ liªn tôc f : Ω → Rn, t¹i mét®iÓm y (kh«ng n»m trong ¶nh cña biªn ∂Ω) trong Rn ta chia lµm ba b−íc nh− sau:

• ta ®Þnh nghÜa bËc cho f lµ ¸nh x¹ thuéc líp C1(Ω;Rn) t¹i ®iÓm y mµ nghÞch¶nh cña nã kh«ng chøa ®iÓm nµo cã Jacobien t¹i ®ã b»ng 0,

• ta ®Þnh nghÜa bËc cho f lµ ¸nh x¹ thuéc líp C2(Ω;Rn) t¹i ®iÓm y kh«ng n»mtrong ¶nh cña biªn ∂Ω,

• ta ®Þnh nghÜa bËc cho f lµ ¸nh x¹ thuéc líp C(Ω;Rn) t¹i ®iÓm y kh«ng n»mtrong ¶nh cña biªn ∂Ω.

101 Bµi 4. Lý thuyÕt bËc Brouwer

4.1.1 X©y dùng bËc cña ¸nh x¹ thuéc líp C1(Ω;Rn)

Cho Ω lµ mét tËp më, bÞ chÆn trong Rn vµ f lµ ¸nh x¹ thuéc líp C1(Ω;Rn). Taký hiÖu S = x ∈ Ω

∣∣Jf (x) = 0, tËp nÕp (crease) cña ¸nh x¹ f , tËp gåm nh÷ng ®iÓmx n»m trong Ω mµ Jacobien cña ¸nh x¹ f t¹i ®ã b»ng 0. Khi ®ã, víi mçi ®iÓm y mµkh«ng n»m trong f(S) còng nh− f(∂Ω) th× tËp f−1(y) chØ gåm h÷u h¹n phÇn tö.ThËt vËy, v× gi¶ sö kh«ng ph¶i vËy, do f−1(y) ⊂ Ω lµ tËp ®ãng, bÞ chÆn (compact)nªn nã cã mét d·y xn∞n=1 (gåm c¸c ®iÓm ph©n biÖt), héi tô ®Õn x0 ∈ f−1(y). Cã

f(x0) = y = f(xn),

vµ Jf(x0) 6= 0 hay ∃||(f ′(x0))−1||−1.

Do ®ã,

||(f ′(x0))−1||−1 6 lim

n→∞

||f(xn) − f(x0) − f ′(x0)(xn − x0)||||xn − x0||

= 0 (v« lý).

Tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa bËc cña f lµ ¸nh x¹ thuéc líp C1(Ω;Rn) t¹i ®iÓm y kh«ngn»m trong ¶nh cña biªn ∂Ω, vµ nghÞch ¶nh cña nã kh«ng chøa ®iÓm nµo mµ Jacobient¹i ®ã b»ng 0.

§Þnh nghÜa 4.13. Cho Ω ⊂ Rn lµ mét tËp më, bÞ chÆn, vµ y ∈ Rn\(f(S)∪f(∂Ω)), f ∈C1(Ω;Rn). BËc cña ¸nh x¹ f ®èi víi miÒn Ω t¹i ®iÓm y ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:

deg(f,Ω, y) :=

∑x∈f−1(y) sgn Jf(x), nÕuf−1(y) 6= ∅,

0, nÕu f−1(y) = ∅.

B»ng ®Þnh nghÜa ta cã thÓ tÝnh bËc cña mét sè ¸nh x¹ ®Æc biÖt (tuyÕn tÝnh) sau.

VÝ dô 5. BËc cña ¸nh x¹ ®ång nhÊt I : Ω → Rn, Ix = x, ®èi víi tËp Ω t¹i ®iÓm y ∈ Rn

lµ

deg(I,Ω, y) :=

1, nÕu y ∈ Ω,

0, nÕu y 6∈ Ω.

VÝ dô 6. BËc cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh kh«ng suy biÕn T : Ω → Rn, ®èi víi tËp Ω t¹i®iÓm y ∈ Rn lµ

deg(T,Ω, y) :=

sgn(detT ), nÕu y ∈ Ω,

0, nÕu y 6∈ Ω.

VÝ dô sau ®©y sÏ cho ta thÊy deg(f,Ω, y) = 0 nh−ng ph−¬ng tr×nh f(x) = y vÉncã (sè ch½n) nghiÖm.

VÝ dô 7. Cho ¸nh x¹ f : (−1, 1) → R, f(x) = x2 − ε2, (0 < ε < 1). Cã f ′(x) = 2x, 0 6∈f(−1, 1) ∪ f(0) vµ f−1(0) = −ε, ε 6= ∅, nh−ng deg(f, (−1, 1), 0) = 0.


§Ó chuyÓn sang b−íc thø hai ta cÇn ®Õn mét c¸ch x¸c ®Þnh kh¸c cña bËc.

MÖnh ®Ò 4.77. Cho Ω ⊂ Rn lµ mét tËp më, bÞ chÆn, vµ y ∈ Rn \ (f(S) ∪ f(∂Ω)), f ∈C1(Ω;Rn). Khi ®ã, tån t¹i mét sè d−¬ng ε0 sao cho víi bÊt kú ε, ϕε nµo mµ

0 < ε < ε0, ϕε ∈ C∞0 (Rn;R), suppϕε ⊂ B(0, ε) vµ

∫

Rn

ϕε(x)dx = 1

th×deg(f,Ω, y) =

∫

Ω

ϕε(f(x) − y)Jf(x)dx.

Chøng minh. NÕu f−1(y) = ∅, hay y 6∈ f(Ω), th× do Ω lµ tËp compact (®ãng, bÞ chÆntrong Rn) cã f(Ω) lµ tËp compact, nªn tån t¹i mét sè d−¬ng ε0 < ρ(y, f(Ω)). Khi ®ã,víi 0 < ε < ε0, x ∈ Ω cã ϕε(f(x) − y) = 0. Do ®ã, ta cã

∫

Ω

ϕε(f(x) − y)Jf(x)dx = 0 = deg(f,Ω, y).

NÕu f−1(y) 6= ∅, mµ y 6∈ f(S) ∪ f(∂Ω), nªn

f−1(y) = x1, . . . , xm, Jf (xi) 6= 0 ∀i = 1, . . . ,m.

Do f 6∈ C1(Ω : Rn), víi mçi i cã Jf (xi) 6= 0, nªn theo §Þnh lý Hµm ng−îc tån t¹i l©ncËn më Ui cña xi, l©n cËn më Vi cña y sao cho

f : Ui → Vi lµ vi ph«i vµ Jf |Ui kh«ng ®æi dÊu.

Tån t¹i sè d−¬ng ε1 sao cho B(y, ε1) ⊂ ∩mi=1Vi. Ta ®Æt Wi = f−1(B(y, ε1)) ∩ Ui.

Khi ®ã, Ω \ (∪mi=1Wi) lµ tËp compact nªn tån t¹i mét sè d−¬ng ε0 < ε1 mµ ε0 <

ρ(y, f(Ω \ (∪mi=1Wi))). Khi ®ã, víi ε, ϕε nµo mµ

0 < ε < ε0, ϕε ∈ C∞0 (Rn;R), suppϕε ⊂ B(0, ε) vµ

∫

Rn

ϕε(x)dx = 1

th× nÕu x 6∈ Wi(∀i = 1, . . . ,m) : ρ(y, f(x)) > ε0 > ε, hay ϕε(f(x) − y) = 0; cßn nÕux ∈ Wi : sgn Jf (x) = sgn Jf (xi) 6= 0, do ®ã

∫

Ω

ϕε(f(x) − y)Jf(x)dx =

m∑

i=1

∫

Wi

ϕε(f(x) − y)Jf(x)dx

=m∑

i=1

sgn Jf (xi)

∫

f(Wi)=B(y,ε1)

ϕε(f(x) − y)Jf(x)dx

=m∑

i=1

sgn Jf (xi).


4.1.2 X©y dùng bËc cña ¸nh x¹ thuéc líp C2(Ω;Rn)

§Ó x©y dùng kh¸i niÖm bËc cho ¸nh x¹ f thuéc líp C2(Ω;Rn) ®èi víi tËp Ω t¹i®iÓm y kh«ng n»m trong ¶nh cña biªn ∂Ω ta cÇn ®Õn mÖnh ®Ò sau.

MÖnh ®Ò 4.78. Cho Ω lµ mét tËp më, bÞ chÆn trong Rn, mét ®iÓm y ∈ Rn\f(∂Ω), (ρ0 =

ρ(y, f(∂Ω)) > 0), vµ f ∈ C2(Ω;Rn). Khi ®ã, víi bÊt kú y1, y2 nµo ta còng cã

bi ∈ B(y, ρ0), bi 6∈ f(S), i = 1, 2, th× deg(f,Ω, y1) = deg(f,Ω, y2).

Chøng minh. LÊy 0 < δ < ρ0 − |y − yi|, i = 1, 2. Theo MÖnh ®Ò 4.77, tån t¹i mét sèd−¬ng ε < δ vµ mét hµm ϕε ∈ C∞

0 (Rn;R), suppϕε ⊂ B(0, ε), sao cho víi i = 1, 2 ta®Òu cã

deg(f,Ω, yi) =

∫

Ω

ϕε(f(x) − yi)Jf(x)dx.

Cã

ϕε(z − y1) − ϕε(z − y2) =

∫ 1

0

d

dtϕε(z − y1 + t(y1 − y2))dt

= div(w(z)),(4.1)

trong ®ã, w(z) = (∫ 1

0ddtϕε(z − y1 + t(y1 − y2))dt)(y1 − y2).

Chó ý r»ng, víi z ∈ f(∂Ω), 0 < t < 1 cã

||z − (1 − t)y1 − ty2|| = ||(z − y) + (1 − t)(y − y1) + t(y − y2)|| > δ > ε

nªn víi x ∈ ∂Ω th× wj(f(x)) = 0.

Do ®ã, nÕu ®Æt

vi(x) =

∑nj=1wj(f(x))Aij(x), nÕu x ∈ Ω,

0, nÕu x ∈ Rn \ Ω,

trong ®ã, Aij(x) = (−1)i+jdet∂lfkk 6=i,l 6=j ,th× vi ∈ C0(R

n;R), supp vi ⊂ Ω, vµ

(4.2)∂vi(x)

∂xi=

n∑

j,k=1

∂wj(f(x))

∂xk

∂fk(x)

∂xiAij(x) +

n∑

j=1

w(f(x))∂Aij(x)

∂xi.

L¹i cã, nÕu ®Æt gj = (f1, . . . , fj−1, fj+1, . . . , fn)t, vµ

(4.3) cj,i,k =

det(∂1g, . . . , ∂i−1g, ∂i+1g, . . . , ∂k−1g, ∂ikg, ∂k+1g, . . . , ∂ng), nÕu k > i,

0, nÕu k = i,

det(∂1g, . . . , ∂k−1g, ∂ikg, ∂k+1g, . . . , ∂i−1g, ∂i+1g, . . . , ∂ng), nÕu k < i,


mµ f ∈ C2(Ω;Rn), theo §Þnh lý Schwarz, ∂ikg = ∂kig hay cj,i,k = (−1)i+k−1cj,k,i

nªn

(4.4)∂Aij(x)

∂xi=

n∑

k=1

(−1)kcj,i,k = 0.

Ngoµi ra,∑n

i=1∂fk(x)

∂xiAij(x) = δjkJf (x) nªn tõ (4.1)-(4.4), ta cã

deg(f,Ω, y1) − deg(f,Ω, y2) =

∫

Ω

(ϕε(f(x) − y1) − ϕε(f(x) − y2))Jf (x)dx

=

∫

Ω

div(w(f(x)))Jf (x)dx

=

∫

Ω

div(v(x))dx

=

∫

Rn

div(v(x))dx (vi ∈ C0(Rn;R), supp vi ⊂ Ω)

=m∑

i=1

∫

Rn−1

∫ ∞

−∞

∂ivi(x))

∂x(i)dx(i)dx′ = 0, (vi(x) = 0, x ∈ ∂Ω).

Tõ MÖnh ®Ò 4.78, víi mçi ®iÓm y kh«ng n»m trong ¶nh cña biªn th× trong métl©n cËn B(y, ρ0), ρ0 = ρ(y, f(∂Ω))(ρ lµ kho¶ng c¸ch Euclid trong kh«ng gian Rn),

cña y trõ ra mét tËp f(S) cã ®é ®o 0 (§Þnh lý Sard), bËc cña f ®èi víi tËp Ω lµ nh−nhau t¹i bÊt kú ®iÓm nµo. Ta cã thÓ ®Þnh nghÜa bËc cho ¸nh x¹ f ∈ C2(Ω;Rn) ®èivíi tËp Ω t¹i ®iÓm y 6∈ f(∂Ω) nh− sau.

§Þnh nghÜa 4.14. Cho Ω ⊂ Rn lµ mét tËp më, bÞ chÆn, vµ y ∈ Rn \ f(∂Ω), ρ0 =

ρ(y, f(∂Ω)) > 0, f ∈ C2(Ω;Rn). BËc cña ¸nh x¹ f ®èi víi miÒn Ω t¹i ®iÓm y ®−îc x¸c®Þnh nh− sau:

deg(f,Ω, y) = deg(f,Ω, z),

trong ®ã, z ∈ B(y, ρ0) \ f(S).

NhËn xÐt. 1. BËc deg(f,Ω, y) lµ hµm h»ng ®Þa ph−¬ng ®èi víi y trªn tËp Rn \ f(∂Ω).

2. Trªn mçi tËp liªn th«ng A ⊂ Rn \ f(∂Ω) bËc deg(f,Ω, y) lµ kh«ng thay ®æi.

4.1.3 X©y dùng bËc cña ¸nh x¹ thuéc líp C(Ω;Rn)

ViÖc x©y dùng bËc cho ¸nh x¹ f thuéc líp C(Ω;Rn) ®èi víi tËp Ω t¹i ®iÓm y

kh«ng n»m trong ¶nh cña biªn ∂Ω còng cÇn ®Õn mét MÖnh ®Ò, gièng nh− MÖnh®Ò 4.78, cho ta thÊy tÝnh h»ng ®Þa ph−¬ng cña bËc ®èi víi c¸c ¸nh x¹ f thuéc lípC2(Ω;Rn).


MÖnh ®Ò 4.79. Cho Ω lµ tËp bÞ chÆn trong Rn, f, g lµ c¸c ¸nh x¹ thuéc líp C2(Ω;Rn)

vµ y lµ mét ®iÓm kh«ng n»m trªn ¶nh cña biªn ∂Ω cña ¸nh x¹ f . Khi ®ã, tån t¹i métsè d−¬ng ε (phô thuéc vµo f, g,Ω) sao cho

deg(f + tg,Ω, y) = deg(f,Ω, y), ∀0 < |t| < ε.

Chøng minh. Khi ||g||∞ = supx∈Ω|g(x)| = 0 th× ta dÔ dµng cã ®iÒu ph¶i chøng minh.Khi ||g||∞ > 0, ®Ó chøng minh MÖnh ®Ò nµy, ta chia thµnh ba tr−êng hîp sau.TH1: y 6∈ f(Ω) hay ρ = ρ(y, f(Ω)) > 0.

Víi ε = ρ2||g||∞ th×

ρ(y, (f + tg)(Ω)) > ρ(y, f(Ω)) − t||g||∞ >ρ

2> 0, ∀0 < |t| < ε

nªndeg(f + tg,Ω, y) = 0 = deg(f,Ω, y), ∀0 < |t| < ε.

TH2: y ∈ f(Ω) \ (f(S) ∪ f(∂Ω)) cã f−1(y) = x1, . . . , xm, Jf(xi) 6= 0, i = 1, . . . ,m.

XÐt ¸nh x¹ h(t, x) = f(x) − tg(x) − y cã

h(0, xi) = 0, Dxh(0, xi) = f ′(xi),

mµ f ∈ C2(Ω;Rn), f ′(xi) kh«ng suy biÕn, nªn theo §Þnh lý Hµm Èn tån t¹i sè d−¬ngεi, l©n cËn më Ui cña xi vµ ¸nh x¹ liªn tôc ϕi : (−εi, εi) → Ui sao cho

ϕi(0) = xi, h(t, ϕi(t)) = 0 ∀t ∈ (−εi, εi),∀i = 1, . . . ,m,

vµ (t, ϕi(t)) lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh h(t, x) = 0 trong (−εi, εi) × Ui.

Do f, g ∈ C2(Ω;Rn) nªn ta cã thÓ thu nhá (−εi, εi) × Ui sao cho

• c¸c Ui ®«i mét rêi nhau,

• sgn Jf+tg(x) = sgn Jf (x) = sgn Jf (xi) ∀(t, x) ∈ (−εi, εi) × Ui,

• y 6∈ (f + tg)(Ω \ (∪mi=1Ui)) ∀t ∈ (−εi, εi).

§Æt ε = min16i6m

εi, víi 0 < |t| < ε :

(f + tg)−1(y) = ϕ1(t), . . . , ϕm(t)sgn Jf+tg(ϕi(t)) = sgn Jf(ϕi(t)) = sgn Jf (xi) 6= 0 ∀t ∈ (−ε, ε),y ∈ (f + tg)(Ω) \ ((f + tg)(S) ∪ (f + tg)(∂Ω)).

Khi ®ã,

deg(f+tg,Ω, y) =

m∑

i=1

sgn Jf+tg((ϕi(t))) =

m∑

i=1

sgn Jf (xi) = deg(f,Ω, y), ∀0 < |t| < ε.


TH3: y ∈ f(S) \ f(∂Ω) cã z ∈ B(y, ρ3) \ f(S) sao cho

(4.5) deg(f,Ω, y) = deg(f,Ω, z).

Mµ z ∈ B(y, ρ3)\f(S) hay z ∈ f(Ω)\ (f(S)∪f(∂Ω)) nªn tõ TH2 tån t¹i mét sè d−¬ng

ε0 sao cho

(4.6) deg(f + tg,Ω, z) = deg(f,Ω, z), ∀0 < |t| < ε0.

Chän sè d−¬ng ε sao cho ε < minε0, ρ(y,f(∂Ω))3||g||∞ . Víi 0 < |t| < ε cã

ρ(y, (f + tg)(∂Ω)) > ρ(y, f(∂Ω)) − t||g||∞ >2ρ(y, f(∂Ω))

3,

ρ(y, z) 6ρ(y, f(∂Ω))

3

nªnρ(y, (f + tg)(∂Ω)) > 2ρ(y, z)

do ®ã, tõ (4.5), (4.6) cã

deg(f + tg,Ω, y) = deg(f + tg,Ω, z) = deg(f,Ω, z) = deg(f,Ω, y).

Víi mçi f ∈ C(Ω;Rn), y 6∈ f(∂Ω) nÕu g0, g1 ∈ C2(Ω;Rn), ||f−gi||∞ 6 ρ(y,f(∂Ω))2

, i =

0, 1 th×deg(g1,Ω, y) = deg(g2,Ω, y).

ThËt vËy, víi 0 6 t 6 1 cã

||f − (g0 + t(g1 − g0))||∞ 6 (1 − t)||f − g0||∞ + t||f − g1||∞ 6 ρ(y, f(∂Ω))

2,

mµ g0, g0 + t(g1 − g0) ∈ C2(Ω;Rn) nªn theo MÖnh ®Ò 4.79 th× hµm deg(g0 + t(g1 −g0),Ω, y) lµ h»ng ®Þa ph−¬ng theo t trªn tËp compact [0, 1], do ®ã lµ h»ng trªn [0, 1]

haydeg(g0,Ω, y) = deg(g1,Ω, y).

Do Ω lµ tËp bÞ chÆn nªn tËp c¸c ¸nh x¹ g thuéc líp C2(Ω;Rn)mµ ||f−g||∞ < ρ(y,f(∂Ω))2

kh¸c rçng, tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa bËc cho ¸nh x¹ f thuéc líp C(Ω;Rn) ®èi víi tËpΩ t¹i ®iÓm y kh«ng n»m trong ¶nh cña biªn ∂Ω nh− sau.

§Þnh nghÜa 4.15. Cho Ω ⊂ Rn lµ mét tËp më, bÞ chÆn, vµ y ∈ Rn \ f(∂Ω), ρ0 =

ρ(y, f(∂Ω)) > 0, f ∈ C2(Ω;Rn). BËc cña ¸nh x¹ f ®èi víi miÒn Ω t¹i ®iÓm y ®−îc x¸c®Þnh nh− sau:

deg(f,Ω, y) = deg(g,Ω, y),

trong ®ã, g ∈ C2(Ω;Rn), ||f − g||∞ 6 ρ0

2.


Chó ý. §èi víi tr−êng hîp ¸nh x¹ f inC1(Ω;Rn), ®iÓm y ∈ f(Ω) \ (f(∂Ω) ∪ f(S)) tacã hai çch x¸c ®Þnh bËc nh− sau

• deg(f,Ω, y) x¸c ®Þnh bëi b−íc 1,

• deg(f,Ω, y) th«ng qua c¶ ba b−íc, ®Çu tiªn xÊp xØ bëi ¸nh x¹ thuéc líp C2(Ω;Rn),

sau ®ã x¸c ®Þnh theo b−íc 2.

Tuy nhiªn, hai çch nµy ®Òu cho ta cïng mét kÕt qu¶ . §iÒu nµy ®−îc kiÓm tra nh−çch chøng minh ë TH2 cña MÖnh ®Ò 4.79

4.2 Mét sè tÝnh chÊt cña bËc

Nh− vËy ta ®· ®Þnh nghÜa ®−îc kh¸i niÖm bËc cho ¸nh x¹ liªn tôc f tõ mét tËpbÞ chÆn Ω trong Rn vµo Rn ®èi víi tËp Ω t¹i mét ®iÓm y kh«ng n»m trong ¶nhcña biªn ∂Ω. Hay nãi çch kh¸c, ta ®· x©y dùng ®−îc mét hµm tõ tËp çc bé ba(f,Ω, y), trong ®ã Ω lµ mét tËp bÞ chÆn trong Rn, f lµ ¸nh x¹ liªn tôc tõ Ω vµo Rn,y lµ mét ®iÓm kh«ng n»m trong ¶nh cña biªn ∂Ω, vµo tËp çc sè nguyªn:

deg : (f,Ω, y)|f : Ωliªn tôc−→ Rn,Ω

bÞ chÆn⊂ Rn, y ∈ Rn \ f(∂Ω) → Z.

Tõ viÖc x©y dùng bËc ta th©ý bËc cã mét sè tÝnh chÊt sau.

§Þnh lý 4.80. (d1) deg(id,Ω, y) = 1, nÕu y ∈ Ω.

(d2) deg(f,Ω, y) = deg(f,Ω1, y) + deg(f,Ω2, y), trong ®ã Ω1 ∩ Ω2 = ∅,Ω1 ∪ Ω2 ⊂Ω, y 6∈ f(Ω \ (Ω1 ∪ Ω2)).

(d3) deg(h(t, .),Ω, y(t)) lµ hµm kh«ng phô thuéc vµo t trªn [0, 1], trong ®ã h : [0, 1] ×Ω → Rn, y : [0, 1] → Rn lµ çc ¸nh x¹ liªn tôc, y(t) 6∈ h(t, ∂Ω),∀t ∈ [0, 1].

(d4) nÕu deg(f,Ω, y) 6= 0 th× f−1(y) 6= ∅.

(d5) deg(.,Ω, y) lµ hµm h»ng ®Þa ph−¬ng trªn tËp çc ¸nh x¹ liªn tôc f : Ω → Rn, mµy 6∈ f(∂Ω).

deg(f,Ω, .) lµ hµm h»ng ®Þa ph−¬ng trªn tËp Rn \ f(∂Ω). Do ®ã, deg(f,Ω, .) lµh»ng sè trªn tõng thµnh phÇn liªn th«ng cña tËp Rn \ f(∂Ω).

(d6) deg(g,Ω, y) = deg(f,Ω, y) nÕu y 6∈ f(∂Ω), f |∂Ω = g|∂Ω.

(d7) deg(f,Ω, y) = deg(f,Ω1, y) nÕu Ω1 lµ tËp më trong Ω, y 6∈ f(Ω \ Ω1).


Chó ý. Ng−êi ta ®· chøng minh ®−îc r»ng cã duy nhÊt mét hµm

deg : (f,Ω, y)|f : Ωliªn tôc−→ Rn,Ω

bÞ chÆn⊂ Rn, y ∈ Rn \ f(∂Ω) → Z,

mµ tho¶ m·n ba tÝnh chÊt (d1), (d2), (d3).

Chøng minh. Çc tÝnh chÊt (d1), (d4) dÔ dµng kiÓm tra.TÝnh chÊt (d7) ®−îc suy ra tõ tÝnh chÊt (d2) b»ng çch lÊy Ω2 = ∅ vµ deg(f, ∅, y) = 0.

TÝnh chÊt (d6) ®−îc suy ra tõ tÝnh chÊt (d3) b»ng çch chän çc ¸nh x¹ h, y nh− sau

h : [0, 1]× Ω → Rn, h(t, x) = tf(x) + (1 − t)g(x)

y : [0, 1] → Rn, y(t) = y.

TÝnh chÊt d(3) ®−îc suy ra tõ tÝnh chÊt (d6) b»ng çch sau. Víi mçi t0 ∈ [0, 1], dodeg(.,Ω, y(t0)) lµ hµm h»ng ®Þa ph−¬ng trªn tËp çc ¸nh x¹ liªn tôc f : Ω → Rn mµy(t0) 6∈ f(∂Ω), vµ h, y lµ çc ¸nh x¹ liªn tôc, y(t0) 6∈ h(t0, ∂Ω), nªn tån t¹i mét l©n cËnwt0 cña t0 trong [0, 1] mµ

(4.7) deg(h(t, .),Ω, y(t0)) = deg(h(t0, .),Ω, y(t0)) ∀t ∈ wt0.

B»ng çch thu nhá l©n cËn wt0 sao cho ρ(y(t), y(t0)) < ρ(y(t0), h(t, ∂Ω)) ta cã

(4.8) deg(h(t, .),Ω, y(t)) = deg(h(t, .),Ω, y(t0)) ∀t ∈ wt0.

Tõ (4.7), (4.8) ta cã

deg(h(t, .),Ω, y(t)) = deg(h(t0, .),Ω, y(t0)) ∀t ∈ wt0

hay deg(h(t, .),Ω, y(t)) lµ hµm h»ng ®Þa ph−¬ng trªn tËp compact [0, 1], hay lµ hµmh»ng trªn ®ã.Nh− vËy ta chØ cßn ph¶i chøng minh hai tÝnh chÊt (d2), (d5).

Ta chøng minh tÝnh chÊt (d2). Tõ gi¶ thiÕt y 6∈ f(Ω \ (Ω1 ∪ Ω2)) cã

ρ(y, f(∂Ω)) > ρ0(= ρ(y, f(Ω \ (Ω1 ∪ Ω2)))), ρ(y, f(∂Ω1)) > ρ0, ρ(y, f(∂Ω2)) > ρ0.

Khi ®ã, tån t¹i g ∈ C2(Ω), ||f − g||∞ 6 ρ0

4, ρ1 = ρ(y, g(Ω \ (Ω1 ∪ Ω2)) > 0 mµ

deg(f,Ω, y) = deg(g,Ω, y),(4.9)

deg(f,Ωi, y) = deg(g,Ωi, y), i = 1, 2.(4.10)

Theo §Þnh nghÜa, tån t¹i z ∈ B(y, ρ1) \ g(S)

deg(g,Ω, y) = deg(g,Ω, z),(4.11)

deg(g,Ωi, y) = deg(g,Ωi, z), i = 1, 2.(4.12)


Do ρ1 = ρ(y, g(Ω \ (Ω1 ∪ Ω2)) > 0 nªn z 6∈ (g(Ω \ (Ω1 ∪ Ω2) ∪ g(S)), do ®ã tõ §ÞnhnghÜa cã

(4.13) deg(g,Ω, z) = deg(g,Ω1, z) + deg(g,Ω2, z).

Tõ (4.9)-(4.13) ta cã

deg(f,Ω, z) = deg(f,Ω1, z) + deg(f,Ω2, z).

B©y giê, ta chøng minh tÝnh chÊt (d5). LÊy f ∈ C(Ω), y 6∈ f(∂Ω)(ρ0 = ρ(y, f(∂Ω)) >

0). Chän l©n cËnU(f) = g ∈ C(Ω)| ||f − g||∞ <

ρ0

4.

Ta sÏ chøng minh trong l©n cËn U(f) bËc deg(.,Ω, y) lµ kh«ng ®æi. ThËt vËy, tõ §ÞnhnghÜa cã mét ¸nh x¹ g0 ∈ U(f) ∩ C2(Ω;Rn) sao cho

(4.14) deg(f,Ω, y) = deg(g0,Ω, y).

Víi g ∈ U(f) cã

||g − g0||∞ 6 ||f − g||∞ + ||f − g0||∞ 63ρ0

8,

ρ(y, g(∂Ω)) > ρ(y, f(∂Ω))− ||f − g||∞ >3ρ0

4,

nªn ||g − g0||∞ 6 12ρ(y, g(∂Ω)), do ®ã theo MÖnh ®Ò 4.79 cã

(4.15) deg(g,Ω, y) = deg(g0,Ω, y).

Tõ (4.14), (4.15) cãdeg(f,Ω, y) = deg(g,Ω, y)

hay deg(.,Ω, y) lµ hµm h»ng trong l©n cËn U(f).

Cuèi cïng, ta chøng minh deg(f,Ω, .) lµ hµm h»ng ®Þa ph−¬ng theo y vµ lµ h»ng sètrªn tõng thµnh phÇn liªn th«ng cña tËp Rn \ f(∂Ω).NÕu y 6∈ f(Ω) hay ρ = ρ(y, f(Ω)) > 0 ta chän l©n cËn

U(y) = z ∈ Rn|ρ(y, z) < ρ.

Khi ®ã, z ∈ U(y) th× f−1(z) = ∅ hay

deg(f,Ω, y) = deg(f,Ω, z), ∀z ∈ U(y).

NÕu y ∈ f(Ω) \ f(∂Ω) th× theo §Þnh nghÜa tån t¹i y0 ∈ B(y, ρ0

2) \ f(S) sao cho

(4.16) deg(f,Ω, y) = deg(f,Ω, y0).


Víi z ∈ B(y, ρ0

4) \ f(∂Ω) cã

ρ(z, f(∂Ω)) > ρ(y, f(∂Ω))− ρ(y, z) >3ρ0

4,

ρ(z, y0) 6 ρ(z, y) + ρ(y, y0) 63ρ0

4,

nªn ρ(z, f(∂Ω)) > ρ(z, y0) do ®ã theo MÖnh ®Ò 4.78 cã

(4.17) deg(f,Ω, z) = deg(f,Ω, y0).

Tõ (4.16), (4.17) cã

deg(f,Ω, z) = deg(f,Ω, y), ∀z ∈ B(y,ρ0

4) \ f(∂Ω).

ViÖc chøng minh deg(f,Ω, .) lµ h»ng sè trªn tõng thµnh phÇn liªn th«ng cña tËpRn \ f(∂Ω) ®−îc suy ra dÔ dµng tõ tÝnh chÊt h»ng ®Þa ph−¬ng cña nã.


4.3 C¸c øng dông cña lý thuyÕt bËc

§Çu tiªn, ta sÏ dïng lý thuyÕt bËc ®Ó chøng minh mét sè §Þnh lý ch¼ng h¹n§Þnh lý co rót, §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Brower, §Þnh lý Miranda-Poincare, vµ ®ÆcbiÖt §Þnh lý Borsuk. §Þnh lý Borsuk cã nhiÒu ¸p dông, nh− §Þnh lý vÒ Qu¶ bãngtãc (Hairy ball), §Þnh lý b¸nh Sandwich, vµ mét sè §Þnh lý hÊp dÉn kh¸c.

Tr−íc hÕt, ta chøng minh §Þnh lý Qu¶ cÇu tãc. §Ó chøng minh §Þnh lý nµy tacÇn Bæ ®Ò sau.

Bæ ®Ò 4.81. Víi n lµ mét sè lÎ, kh«ng thÓ cã ®«ng lu©n

H : [0, 1] × Sn−1 → Sn−1

mµ H(., 0) = id,H(., 1) = −id.

Chøng minh. Gi¶ sö cã mét ®ång lu©n

H : [0, 1] × Sn−1 → Sn−1

mµ H(0, .) = id,H(1, .) = −id. Tõ §Þnh lý th¸c tiÓn Tietze, ta cã thÓ th¸c triÓn ®ånglu©n trªn thµnh ®ång lu©n

H : [0, 1] × Bn → Rn.

Mµ H(0, x) = x,H(1, x) = −x khi x ∈ Sn−1 nªn theo tÝnh chÊt (d3), (d6) trong §Þnhlý 4.80 cã

1 = deg(id,Bn, 0) = deg(H(0, .),Bn, 0)

= deg(H(1, .),Bn, 0) = deg(−id,Bn, 0) = (−1)n n lÎ= −1.

§iÒu nµy lµ v« lý.

§Þnh lý 4.82. (§Þnh lý Qu¶ cÇu tãc) Víi n lµ mét sè lÎ. Víi mét tr−êng vect¬ bÊt kútrªn mÆt cÇu ®¬n vÞ Sn−1 ®Òu cã thÓ t×m ®−îc trªn mÆt cÇu Sn−1 mét ®iÓm mµ t¹i ®ãtr−êng vect¬ cã gi¸ trÞ lµ vect¬ 0.

Chøng minh. Ta chøng minh §Þnh lý nµy b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö cã tr−¬ng vect¬ϕ trªn Sn−1 mµ nã kh¸c 0 t¹i mäi ®iÓm trªn mÆt cÇu Sn−1, nghÜa lµ

ϕ : Sn−1 liªn tôc−→ Rn,


(ϕ(x), x) = 0,∀x ∈ Sn−1,

ϕ(x) 6= 0,∀x ∈ Sn−1.

XÐt ®ång lu©n sau

H : [0, 1] × Sn−1 → Rn,

H(t, x) = cos(πt)x+ sin(πt)||x||

||ϕ(x)||ϕ(x),

th×

||H(t, x)|| = ||x|| = 1,∀(t, x) ∈ [0, 1] × Sn−1,

H(0, x) = x,H(1, x) = −x,∀x ∈ Sn−1.

§iÒu nµy tr¸i víi Bæ ®Ò 4.81.

4.3.1 §Þnh lý Brower vÒ ®iÓm bÊt ®éng vµ mét sè d¹ngt−¬ng ®−¬ng cña nã

§Þnh lý 4.83. (§Þnh lý co rót) H×nh cÇu ®ãng ®¬n vÞ Bn trong kh«ng gian Rn kh«ng lµtËp co rót ®−îc. Nãi c¸ch kh¸c, kh«ng thÓ cã mét ¸nh x¹ liªn tôc f tõ h×nh cÇu ®ãngBn lªn mÆt cÇu Sn−1 mµ h¹n chÕ cña nã trªn mÆt cÇu Sn−1 lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt.

Chøng minh. Gi¶ sö ta cã thÓ x©y dùng ®−îc mét ¸nh x¹ liªn tôc f tõ h×nh cÇu ®ãngBn lªn mÆt cÇu Sn−1 mµ h¹n chÕ cña nã trªn mÆt cÇu Sn−1 lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt.Khi ®ã, ta xÐt ®ång lu©n sau

h :[0, 1] × Bn → Rn

h(t, x) = tx+ (1 − t)f(x).

Cã

h(0, x) = f(x),

h(1, x) = x,

h(t, x) = tx+ (1 − t)f(x) = tx+ (1 − t)x = x 6= 0,∀x ∈ Sn−1,∀t ∈ [0, 1],

nªn theo tÝnh chÊt (d3), (d1) trong §Þnh lý 4.80 cã

deg(f, Bn, 0) = deg(id, Bn, 0) = 1

do ®ã, theo tÝnh chÊt (d4) trong §Þnh lý 4.80 th× f−1(0) 6= ∅.§iÒu nµy lµ tr¸i víi gi¶ thiÕt f lµ ¸nh x¹ tõ Bn vµo Sn−1. Hay ®iÒu gi¶ sö lµ sai, nghÜa


lµ kh«ng cã mét ¸nh x¹ liªn tôc f nµo tõ h×nh cÇu ®ãng Bn lªn mÆt cÇu Sn−1 mµ h¹nchÕ cña nã trªn mÆt cÇu Sn−1 lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt.

§Þnh lý 4.84. (§Þnh lý Brower) Cho f lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc tõ h×nh cÇu ®ãng Bn vµochÝnh nã. Khi ®ã, f cã ®iÓm bÊt ®éng, nghÜa lµ

∃x ∈ Bn : f(x) = x.

Chøng minh. Cã nhiÒu çch chøng minh §Þnh lý nµy. ë ®©y chóng t«i tr×nh bµy haiçch chøng minh. Thø nhÊt, dïng lý thuyÕt bËc ®Ó chøng minh. Thø hai, nã lµ HÖqu¶ cña §Þnh lý co rót.Çch 1. NÕu cã mét ®iÓm x ∈ Sn−1 mµ f(x) = x th× §Þnh lý ®−îc chøng minh.NÕu víi mäi x ∈ Sn−1 mµ f(x) 6= x hay x− tf(x) 6= 0,∀0 6 t 6 1.

XÐt ®ång lu©n sau

h :[0, 1] × Bn → Rn

h(t, x) = x− tf(x).

Cã

h(0, x) = x,

h(1, x) = x− f(x),

h(t, x) = x− tf(x) 6= 0,∀x ∈ Sn−1,∀t ∈ [0, 1],


deg(id− f, Bn, 0) = deg(id, Bn, 0) = 1

do ®ã, theo tÝnh chÊt (d4) trong §Þnh lý 4.80 th× (id− f)−1(0) 6= ∅.Hay

∃x ∈ Bn : f(x) = x.

Çch 2. Gi¶ sö ¸nh x¹ liªn tôc f tõ Bn vµo chÝnh nã kh«ng cã ®iÓm bÊt ®éng, nghÜalµ

f(x) 6= x,∀x ∈ Bn.

Khi ®ã, ta lu«n cã thÓ nèi x vµ f(x) thµnh mét tia Tx = tf(x) + (1 − t)x|t > 0 cãgèc t¹i x. Tia Tx nµy sÏ c¾t mÆt cÇu Sn−1 t¹i duy nhÊt mét ®iÓm ϕ(x). Nh− vËy, ta®· x©y dùng ®−îc mét ¸nh x¹ liªn tôc

ϕ : Bn → Sn−1

cã tÝnh chÊt ϕ(x) = x nÕu x ∈ Sn−1.

§iÒu nµy tr¸i víi §Þnh lý co rót. Do ®ã, ®iÒu gi¶ sö sai hay mét ¸nh x¹ liªn tôc f tõBn vµo chÝnh nã cã ®iÓm bÊt ®éng.


NhËn xÐt. TÝnh chÊt ®iÓm bÊt ®éng lµ bÊt biÕn ®èi víi mét phÐp ®ång ph«i, nªn mét¸nh x¹ liªn tôc tõ mét tËp ®ång ph«i víi h×nh cÇu ®ãng Bn vµo chÝnh nã ®Òu cã ®iÓmbÊt ®éng. Ch¼ng h¹n, ¸nh x¹ liªn tôc f tõ mét tËp låi, compact, kh¸c rçng D vµochÝnh nã cã ®iÓm bÊt ®éng. Ta cã thÓ chøng minh kÕt qu¶ nµy b»ng §Þnh lý th¸ctriÓn Tietze, mµ kh«ng cÇn x©y dùng phÐp ®ång ph«i tõ h×nh cÇu ®ãng Bn lªn tËplåi, compact, kh¸c rçng D, nh− sau. B»ng §Þnh lý th¸c triÓn Tietze, tån t¹i mét ¸nhx¹ liªn tôc

f : Rn → Rn, f |D = f, f(Rn) ⊂ conv(f(D)) ⊂ D.

Mµ D lµ tËp compact nªn tån t¹i mét sè d−¬ng R ®Ó D ⊂ B(0, R).Khi ®ã, f |B(0,R) : B(0, R) → (D ⊂)B(0, R).Do ®ã, f |B(0,R) cã ®iÓm bÊt ®éng hay

∃x ∈ B(0, R) : x = f |B(0,R)(x)

mµ f |B(0,R)(B(0, R)) ⊂ D nªn

x ∈ D : x = f |B(0,R)(x) = f(x).

Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

§Þnh lý 4.85. (§Þnh lý Miranda-Poincare) Ký hiÖu [a, b] = x ∈ Rn|a(i) 6 x(i) 6b(i), i = 1, . . . , n, trong ®ã a = (a(1), . . . , a(n)), b = (b(1), . . . , b(n)), a(i) < b(i), i =

1, . . . , n. Cho f lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc tõ [a, b] vµo Rn tho¶ m·n

fi(x(1), . . . , x(i−1), a(i), x(i+1), . . . , x(n)) > 0, fi(x

(1), . . . , x(i−1), b(i), x(i+1), . . . , x(n)) 6 0.

Khi ®ã, tån t¹i x ∈ [a, b] mµ f(x) = 0.

Chó ý. §©y lµ më réng tù nhiªn cña §Þnh lý Bonzano-Cauchy (§Þnh lý gi¸ trÞ trungb×nh) lªn nhiÒu chiÒu. Tuy nhiªn viÖc chøng minh th× kh«ng ph¶i lµ mét më réngtÇm th−êng. Cã thÓ chøng minh trùc tiÕp §Þnh lý nµy b»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹pnh−ng ph¶i sö dông thµnh th¹o c¸c §Þnh lý Hµm ng−îc, Hµm Èn, Sard vµ phÐp ®ånglu©n. ë ®©y, chóng t«i sö dông lý thuyÕt bËc ®Ó chøng minh.

Chøng minh. LÊy x0 = 12(a+ b).

Gi¶ sö (1 − t)f(x) = t(x− x0), víi t ∈ [0, 1], x ∈ ∂[a, b].Do x ∈ ∂[a, b] nªn cã mét chØ sè i sao cho hoÆc x(i) = a(i) hoÆc x(i) = b(i).

NÕu x(i) = a(i) th× x(i) − x(i)0 < 0, fi(x) > 0 nªn t = 0 do ®ã f(x) = 0.

NÕu x(i) = b(i) th× x(i) − x(i)0 > 0, fi(x) 6 0 nªn t = 0 do ®ã f(x) = 0.

Nh− vËy, nÕu cã x ∈ ∂[a, b] mµ f(x) = 0 th× ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.Cßn nÕu kh«ng ph¶i vËy th×

(1 − t)f(x) − t(x− x0) 6= 0,∀t ∈ [0, 1],∀x ∈ ∂[a, b].


Khi ®ã, xÐt ®ång lu©n sau XÐt ®ång lu©n sau

h :[0, 1]× Bn → Rn

h(t, x) = (1 − t)f(x) − t(x− x0).

Cã

h(0, x) = f(x),

h(1, x) = x0 − x,

h(t, x) = (1 − t)f(x) − t(x− x0) 6= 0,∀x ∈ ∂[a, b],∀t ∈ [0, 1],


deg(f, [a, b], 0) = deg(x0 − id, [a, b], 0) = (−1)n 6= 0

do ®ã, theo tÝnh chÊt (d4) trong §Þnh lý 4.80 th× f−1(0) 6= ∅.Hay tån t¹i x ∈ [a, b] mµ f(x) = 0.

NhËn xÐt. Ng−êi ta ®· chøng minh ®−îc r»ng §Þnh lý Brower vµ §Þnh lý Miranda-Poincare lµ t−¬ng ®−¬ng nhau. ë ®©y, chóng t«i sÏ dïng §Þnh lý Miranda-Poincare®Ó chøng minh §Þnh lý Brower nh− sau.Gi¶ sö f lµ ¸nh x¹ liªn tôc tõ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng Bn (theo chuÈn max) vµo chÝnhnã. Víi mçi m > 1, xÐt ¸nh x¹ sau

gm : Bn → Rn, gmi (x) = fi(x)−

m

m− 1xi.

NÕu x = (x(1), . . . , x(i−1), 1, x(i+1), . . . , x(n)) th×

gmi (x) < 1 − m

m− 1< 0.

NÕu x = (x(1), . . . , x(i−1),−1, x(i+1), . . . , x(n)) th×

gmi (x) > −1 +

m

m− 1> 0.

Do ®ã theo §Þnh lý Miranda-Poincare tån t¹i xm ∈ Bn mµ gm(xm) = 0.Mµ Bn lµ tËp compact nªn d·y xm∞m=2 cã d·y con héi tô ®Õn x0 ∈ Bn.L¹i cã, gm héi tô ®Òu ®Õn ¸nh x¹ f(x) − x trªn Bn khi m tiÕn ra v« cïng.Do ®ã, f(x0) = x0.

4.3.2 §Þnh lý Borsuk vµ c¸c øng dông cña nã

§Þnh lý 4.86. (§Þnh lý Borsuk) Cho Ω lµ mét tËp më, bÞ chÆn, ®èi xøng (x ∈ Ω ↔(−x) ∈ Ω) vµ chøa gèc to¹ ®é trong Rn, f ∈ C(Ω;Rn) lµ ¸nh x¹ lÎ (f(−x)) = −f(x)

vµ ¶nh cña biªn f(∂Ω) kh«ng chøa gèc to¹ ®é. Khi ®ã, deg(f,Ω, 0) lµ sè lÎ.


Chó ý. Tr−íc khi ®i vµo chøng minh §Þnh lý Borsuk, ta ®Ó ý r»ng víi mét ¸nh x¹ liªntôc f bÊt kú trªn mét tËp ®èi xøng cã nhiÒu c¸ch ®Ó t¹o ra mét ¸nh x¹ lÎ ch¼ng h¹n(f(x) − f(−x)) lµ mét ¸nh x¹ lÎ, liªn tôc. Ngoµi ra, nÕu biÕt bËc lµ mét sè lÎ, nghÜalµ nã kh¸c 0, th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.

Chøng minh. Ta cã thÓ gi¶ sö r»ng f ∈ C1(Ω;Rn), 0 6∈ f(∂Ω) vµ Jf(0) 6= 0. V× nÕukh«ng ta cã thÓ x©y dùng mét ¸nh x¹ lÎ f ∈ C1(Ω;Rn), 0 6∈ f(∂Ω) vµ Jf (0) 6= 0 mµdeg(f,Ω, 0) = deg(f ,Ω, 0) nh− sau.LÊy mét ¸nh x¹ g1 ∈ C1(Ω;Rn) sao cho ||f − g1||∞ lµ mét sè ®ñ nhá (§iÒu nµy lµm®−îc do Ω lµ compact ). §Æt

g2(x) =1

2(g1(x) − g1(−x)).

Cã g2 ∈ C1(Ω;Rn) lµ ¸nh x¹ lÎ vµ g′2(0) cã ®óng n gi¸ trÞ riªng (kÓ c¶ béi) nªn ta cãthÓ chän mét sè d−¬ng λ ®ñ nhá mµ kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ riªng cña g′2(0). Ta ®Æt

f(x) = g2(x) − λx,

cã

f ∈ C1(Ω;Rn) lµ ¸nh x¹ lÎ, Jf (0) = Jg2−λid(0) 6= 0,

||f − f ||∞ 61

2supx∈Ω

||(g1(x) − f(x)) − (g1(−x)− f(−x)) + λx||

6 ||g1 − f ||∞ + λ supx∈Ω

||x||

mµ Ω lµ compact, nªn víi ||g1 − f ||∞ ®ñ nhá, λ ®ñ nhá th×

deg(f ,Ω, 0) = deg(f,Ω, 0).

Chó ý r»ng, mÆc dï Jf(0) 6= 0 nh−ng 0 vÉn cã thÓ lµ ®iÓm nÕp cña f.Trong tr−êng hîp 0 6∈ f(Sf ) th× do f lµ ¸nh x¹ lÎ nªn nÕu f(x) = 0, Jf (x) 6= 0 th×f(−x) = 0, Jf (−x) = (−1)nJf (x). Do ®ã, cã

deg(f,Ω, 0) = sgn Jf(0) +∑

x∈f−1(0)\0

sgn Jf (x)

lµ sè lÎ.Ta sÏ x©y dùng mét ¸nh x¹ lÎ g ∈ C1(Ω;Rn) mµ 0 6∈ (g(Sg) ∪ g(∂Ω)) vµ

deg(f,Ω, 0) = deg(g,Ω, 0).0

Chän ϕ ∈ C1(R;R) mµ ϕ(−t) = −ϕ(t)∀t ∈ R, ϕ′(0) = 0, ϕ(t) = 0 chØ khi t = 0 (ch¼ngh¹n ϕ(t) = t3). §Æt

Ωk = x ∈ Ω|∃i ∈ 1, . . . , k : x(i) = 0,


f1(x) =f(x)

ϕ(x(1))(f1 : Ω1 → Rn).

Cã f1 ∈ C1(Ω1;Rn) lµ ¸nh x¹ lÎ.

Do m(f1(Sf1)) = 0 nªn ta cã thÓ chän y1 gÇn gèc to¹ ®é tuy ý sao cho y1 6∈ f1(Sf1

).

§Ætg1(x) = f(x) − ϕ(x(1))y1.

Do g′1(x) = ϕ(x(1))f ′1(x) nªn

• g1 ∈ C1(Ω;Rn) lµ ¸nh x¹ lÎ,

• 0 6∈ g1(Sg1 ∩ Ω1),

• g1 ®ñ gÇn f (khi ||y1|| ®ñ nhá).

Gi¶ sö ta ®· x©y dùng ®−îc ¸nh x¹ lÎ gk ∈ C1(Ω;Rn)(1 6 k < n) ®ñ gÇn f vµ0 6∈ gk(Sgk

∩ Ωk).

§Æt

fk+1(x) =gk(x)

ϕ(x(k+1))(fk+1 : x ∈ Ωk+1|xk+1 6= 0 → Rn).

Do m(fk+1(Sfk+1)) = 0 nªn ta cã thÓ chän yk+1 gÇn gèc to¹ ®é tuy ý sao cho

yk+1 6∈ fk+1(Sfk+1).

§Ætgk+1(x) = gk(x)− ϕ(x(k+1))yk+1.

Do g′k+1(x) = g′k(x) − (0, . . . , ϕ′(x(k+1))yk+1, . . . , 0)t xk+1 6=0

= ϕ(x(k+1))f ′k+1(x) nªn

• gk+1 ∈ C1(Ω;Rn) lµ ¸nh x¹ lÎ,

• 0 6∈ gk+1(Sgk+1∩ x ∈ Ωk+1|x(k+1) 6= 0),

x ∈ Ωk+1, xk+1 = 0 th× gk+1(x) = gk(x) vµ g′k+1(x) = g′k(x),

do ®ã 0 6∈ gk+1(Sgk+1∩ Ωk+1),

• gk+1 ®ñ gÇn f (khi ||y1||, . . . , ||yk+1|| ®ñ nhá).

Nh− vËy, b»ng quy n¹p ta sÏ x©y dùng ®−îc ¸nh x¹ g = gn ∈ C1(Ω;Rn) sao cho

• gn ∈ C1(Ω;Rn) lµ ¸nh x¹ lÎ,


• 0 6∈ gn(Sgn ∩ Ωn),

x ∈ Ω \ Ωn, nghÜa lµ x = 0 th× g′n(0) = g′k(0) = f ′(0),

do ®ã 0 6∈ gn(Sgn ∩ Ω),

• gn ®ñ gÇn f (khi ||y1||, . . . , ||yn|| ®ñ nhá) hay

deg(gn,Ω, 0) = deg(f,Ω, 0).

Sau ®©y lµ mét vµi øng dông cña §Þnh lý Borsuk.

§Þnh lý 4.87. (§Þnh lý Borsuk- Ulam) Cho ϕ : Bn → Rn lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. Khi®ã, tån t¹i x ∈ Bn mµ f(−x) = f(x).

Chøng minh. ¸p dông §Þnh lý Borsuk cho ¸nh x¹ sau

ψ : Bn → Rn,

ψ(x) =1

2(ϕ(x) − ϕ(−x)),

lµ mét hµm liªn tôc, lÎ trªn tËp bÞ chÆn, ®èi xøng, chøa gèc to¹ ®é.NÕu 0 6∈ ψ(Sn−1) th× deg(ψ,Bn, 0) lµ sè lÎ, kh¸c 0, nªn tån t¹i x ∈ Bn mµ ψ(x) =12(ϕ(x) − ϕ(−x)) = 0 hay ϕ(x) = ϕ(−x).NÕu 0 ∈ ψ(Sn−1) nghÜa lµ tån t¹i x ∈ Bn mµ ψ(x) = 1

2(ϕ(x) − ϕ(−x)) = 0 hay

ϕ(x) = ϕ(−x).

§Þnh lý 4.88. (§Þnh lý b¸nh Sandwich) Cho A1, . . . , An lµ c¸c tËp bÞ chÆn, ®o ®−îc trongRn. Khi ®ã, tån t¹i mét siªu ph¼ng H = y ∈ Rn| (y, a) = b, trong ®ã a ∈ Rn, b ∈ R

lµ cè ®Þnh, chia ®Òu c¸c Ai, i = 1, . . . , n theo ®é ®o, nghÜa lµ

m(Ai ∩H+) = m(Ai ∩H−),∀i = 1, . . . , n,

trong ®ã, H+ = y ∈ Rn| (y, a) > b,H− = y ∈ Rn| (y, a) 6 b.

Chøng minh. Ta cã nhËn xÐt sau

Bn = x ∈ Rn| ∃x(n+1) > 0 : (x, x(n+1)) ∈ Sn

lµ mét tËp compact, ®èi xøng vµ chøa gèc to¹ ®é.Víi mçi x ∈ Bn cã duy nhÊt mét x(n+1) > 0 mµ (x, x(n+1)) ∈ Sn, ta ®Æt

Hx = y ∈ Rn| (y, x) = x(n+1),


H+x = y ∈ Rn| (y, x) > x(n+1).

Ta x©y dùng ®−îc ¸nh x¹ sau

ϕ : Bn → Rn,

ϕi(x) = m(Ai ∩H+x ).

DÔ thÊy ϕ tho¶ m·n §Þnh lý Borsuk- Ulam, nªn tån t¹i x0 ∈ Bn mµ ϕi(−x0) =

ϕi(x0),∀i = 1, . . . , n hay

m(Ai ∩H+x0

) = m(Ai ∩H−x0

),∀i = 1, . . . , n.

Trong Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh elliptic cã mét ®iÒu thó vÞ sau. Trong kh«nggian cã sè chiÒu lín h¬n 3, to¸n tö vi ph©n

∑|α|6m

aαDα lµ elliptic th× bËc cña nã m

ph¶i lµ sè ch½n. §iÒu nµy nghÜa lµ víi n > 3, nÕu ®a thøc sau

P (ξ) =∑

|α|=m

aαξα, aα ∈ C

kh«ng cã nghiÖm ξ ∈ Rn \ 0 th× bËc m cña nã lµ sè ch½n.Chó ý r»ng, nÕu hÖ sè aα lµ çc sè thùc th× dÔ dµng chøng minh. Tuy nhiªn, ë ®©yçc hÖ sè aα lµ çc sè phøc th× kh«ng qu¸ hiÓn nhiªn. Bëi v×, khi n = 2 ®iÒu nµykh«ng cßn ®óng, ch¼ng h¹n ®a thøc sau

P2(ξ1, ξ2) = ξ1 + (−1)1/2ξ2.

§Þnh lý 4.89. Víi n > 3, nÕu ®a thøc sau

P (ξ) =∑

|α|=m

aαξα, aα ∈ C

kh«ng cã nghiÖm ξ ∈ Rn \ 0 th× bËc m cña nã lµ sè ch½n.

Chøng minh. Ta chøng minh §Þnh lý b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö m lµ sè lÎ.XÐt ¸nh x¹

f : R2 → R2,

f(ξ1, ξ2) = (ReP (ξ1, ξ2, 0, . . . , 0), ImP (ξ1, ξ2, 0, . . . , 0)).

Cã

• f(−ξ1,−ξ2) = (−1)mf(ξ1, ξ2)m lÎ= −f(ξ1, ξ2),


• f(ξ1, ξ2) 6= 0,∀||ξ1||2 + ||ξ2||2 6= 0,

nªn theo §Þnh lý Borsuk deg(f,B(0, 1), 0) lµ sè lÎ.Víi mçi h > 0 xÐt ¸nh x¹

fh : R2 → R2,

fh(ξ1, ξ2) = (ReP (ξ1, ξ2, h, 0, . . . , 0), ImP (ξ1, ξ2, h, 0, . . . , 0)).

Víi h > 0 ®ñ nhá th× fh ®ñ gÇn f nªn theo tÝnh chÊt (d5) trong §Þnh lý 4.80 cã

deg(fh, B(0, 1), 0) = deg(f,B(0, 1), 0)

lµ mét sè lÎ, kh¸c 0, nªn tån t¹i (ξ1, ξ2) ∈ B(0, 1) sao cho fh(ξ1, ξ2) = 0 hay

P (ξ1, ξ2, h, 0, . . . , 0) = 0 víi (ξ1, ξ2, h, 0, . . . , 0) ∈ Rn \ 0.

§iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt hay m lµ sè ch½n.

§Þnh lý d−íi ®©y lµ mét §Þnh lý thó vÞ trong gi¶i tÝch nhiÒu chiÒu. Khi sè chiÒub»ng 1 viÖc chøng minh kh«ng khã. Nh−ng khi sè chiÒu lín h¬n 1 viÖc chøng minhkh«ng cßn ®¬n gi¶n.

§Þnh lý 4.90. Cho f : Rn → Rn lµ ¸nh x¹ liªn tôc, ®¬n ¸nh tho¶ m·n ||f(x)|| → ∞khi ||x|| → ∞. Khi ®ã, f lµ mét ®ång ph«i.

Chøng minh. §Çu tiªn, ta chøng minh f lµ toµn ¸nh. Khi ®ã, tõ gi¶ thiÕt, f cã ¸nhx¹ ng−îc.§Ó chøng minh f lµ toµn ¸nh, ®Ó ý r»ng Rn lµ tËp liªn th«ng, ta sÏ chøng minh f(Rn)

võa ®ãng, võa më.LÊy y ∈ Rn sao cho cã d·y xn∞n=1 trong Rn mµ f(xn) → y khi n→ ∞.

D·y xn∞n=1 lµ d·y bÞ chÆn v× nÕu kh«ng nã cã mét d·y con xnk→ ∞, theo gi¶ thiÕt

th× f(xnk) → ∞ khi nk → ∞. §iÒu nµy m©u thuÉn víi viÖc f(xn) → y khi n→ ∞.

Khi ®ã, xn∞n=1 cã mét d·y con xnk→ x ∈ Rn, mµ f liªn tôc, f(xnk

) → f(x) khink → ∞. Do ®ã, y = f(x) hay y ∈ f(Rn).

Do ®ã, f(Rn) ®ãng.Ta chøng minh f(Rn) më, nghÜa lµ víi mçi x0 ∈ Rn ta ph¶i chØ ra c¸c sè d−¬ng r,Rsao cho B(f(x0), R) ⊂ B(x0, r).

Ta chØ cÇn chøng minh ®iÒu nµy ®èi víi ®iÓm x0 = 0 vµ hµm f mµ f(0) = 0. V× nÕukh«ng ta xÐt hµm

f (x) = f(x+ x0) − f(x0)

th×


• f : Rn lt,1−1−→ Rn, ||f(x)|| → ∞ khi ||x|| → ∞, f(0) = 0,

• B(0, r) + x0 = B(x0, r), B(0, R) = B(f(x0), R) − f(x0).

Do f lµ ®¬n ¸nh nªn f |Bn : Bn → f(Bn) lµ song ¸nh.XÐt ®ång lu©n

H : [0, 1]× Bn → Bn,

H(t, x) = f |Bn(1

1 + tx) − f |Bn(

−t1 + t

x).

Cã

1)H(0, x) = f |Bn(x),H(1, x) = f |Bn(x2) − f |Bn(−x

2),

2) nÕuH(t, x) = 0, (t, x) ∈ [0, 1]×Sn−1 th× f |Bn( 11+tx) = f |Bn( −t

1+tx) do ®ã 1

1+tx = −t

1+tx

hay x = 0 (v« lý), nªn H(t, x) = 0,∀(t, x) ∈ [0, 1] × Sn−1,

3) H(1, x) lµ ¸nh x¹ lÎ nªn theo §Þnh lý Borsuk deg(H(1, .),Bn, 0) lµ sè lÎ.

Khi ®ã, theo tÝnh chÊt (d3), (d5) trong §Þnh lý 4.80 cã mét sè d−¬ng R sao cho

deg(f |Bn , Bn, y) = deg(f |Bn, Bn, 0) = deg(H(1, .), Bn, 0),∀y ∈ B(0, R),

lµ sè lÎ hay B(0, R) ⊂ f(Bn).

ViÖc chøng minh f−1 liªn tôc kh«ng khã.


Tµi liÖu tham kh¶o

[1] A. Ambrossetti, P.H. Rabinowitz, Dual variational methods in critial pointtheory and applications, J. Funct. Anal. 14 (1973) 349-381

[2] A. Ambrossetti, K.C. Chang, I. Ekeland, ‘‘Nonlinear functional analysis andapplications to differential equations’’, Proceedings of the second school,ICTP, Triest, Italy, 1997.

[3] F. E. Browder, On a new generalization of the Schauder fixed point theorem,Math. Ann., 174 (1967), 285-290.

[4] K. Fan, ‘‘A minimax inequality and applications”, Inequalities, Vol. III,(edited by O. Shisha), Academic Press, New York (1972), 103-113.

[5] D. Kinderlehrer, G. Stampacchia, ”An Introduction to Variational Inequalitiesand their Applications”, Academic Press, New York, 1980.

[6] J. L. Lions, G. Stampacchia, ”Variational Inequalities”, Comm. Pure and Appl.Math., XX (1967), 493-519.

[7] Michael Struwe, ‘‘Variational methods’’, Springer-Verlag, 2000.

[8] L. Nirenberg, ‘‘Bµi gi¶ng vÒ gi¶i tÝch hµm phi tuyÕn” (b¶n dÞch), NXB §H vµTHCN, Hµ néi, 1986.

[9] S. Simons, ‘‘Two-Function Minimax Theorems and Variational Inequalitiesfor Functions on Compact and Noncompact Sets, with Some Comments onFixed-Point Theorems”, Proc. Symp. Pure Math., 45 (1986), 377-392.

[10] W. Takahashi, Nonlinear variational inequalities and fixed point theorems,J. Math. Soc. Japan., 28 (1976), 168-181.

[11] E. Zeidler, ‘‘Applied Functional Analysis”, vol. 108-109, Springer-Verlag, NewYork 1999.

[12] §ç Hång T©n vµ NguyÔn ThÞ Thanh Hµ, ‘‘C¸c ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng’’, NhµxuÊt b¶n §¹i häc S− ph¹m Hµ néi, 2003.

122

bmgt.files.wordpress.com · i ph›‹ng tr×nh ﬁ„o hµm ri“ng môc lôc lŒi nªi ﬁ˙u iii...

Documents