basics of boolean algebra

1

Basics of Boolean Algebraأساسيات اجلرب البولياين : الوحدة الثانية

حمتويات الوحدة متهيد

أهداف الوحدة (Logical Variable)املتغري املنطقي .1 (Logical Operations)العمليات املنطقية .2 للبوابة املنطقية (Fan-In)تغيري عدد أطراف الدخل .3 (Logical Expression)التعبري املنطقي .4 (Logic Circuit)الدائرة املنطقية .5 (Logic Diagram)املخطط املنطقي .6 (Truth Table)جدول الصواب .7 (Boolean Algebra Theorems)نظريات اجلرب البولياين .8 استخدام نظريات اجلرب البولياين ىف تبسيط التعبريات املنطقية .9

متهيد أساسيات هذه الوحدة تتناول ".املنطقي أساسيات التصميم"مقرر من لثانيةمرحباً بك عزيزي الدارس يف الوحدة ا

و املتغريات املنطقية هو نوع املتغريات الذي يتم .، و هو جرب املتغريات املنطقية(Boolean Algebra)اجلرب البولياين اليت حنتاج إليها يف حيث نتعرف على بعض املفاهيم األساسية. (Logic Circuits)التعامل معه يف الدوائر املنطقية

.لألجزاء التالية من املقرردراستنا

أهداف الوحدة :ىالوحدة ينبغي أن تكون قادراً عل عزيزي الدارس، بعد دراسة هذه

.كتابة التعبريات املنطقية و التعامل معها • .إنشاء جداول الصواب و استخدامها • .فهم نظريات اجلرب البولياين • .باستخدام النظريات تبسيط التعبريات املنطقية •

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com

2

(Logical Variable) املتغري املنطقي -1 :مثالً .من قيمتني فقط قيمة واحدةمتغري ميكن أن يأخذ املتغري املنطقي هو أي

خطأ أو صوابTrue أو False ON أو OFF

+5 Volts 0 أو Volts High أو Low

أسود أو أبيضMale أو Female

فأي متغري منطقي ال ميكن أن يأخذ إال إحدى هاتني . .. 0 و للقيمة األخرى بالرمز 1 لقيمتني بالرمزيرمز إلحدى ا

.x=0 أو x=1 أن يكون متغري منطقي فإنه إما x إذا كانف .و ال يوجد أي احتمال ثالث ،القيمتني (Logical Operations) العمليات املنطقية -2بعض هذه العمليات هي عمليات . جراؤها على املتغريات املنطقيةإميكن العمليات اليتالعمليات املنطقية هي

و NORو NAND، و بعضها عمليات غري أساسية، مثل عمليات ORو ANDو NOTأساسية، و هي عمليات XORتعبري عنها باستخدام العمليات األساسية، و هذه العمليات ميكن ال .

NOTعملية 2-1

الدخل، فإذا معكوسعن ، وفيها يكون اخلرج عبارة(Logical Inversion) عملية العكس املنطقي يطلق عليها أيضاًيرمز . 1فإن اخلرج يكون مساوياً 0، و إذا كان الدخل مساوياً 0يكون مساوياً فإن اخلرج 1مساوياً كان الدخل

.مما يعين أنه معكوس ،للعملية بوضح خط فوق املتغري

Ax

ANOTx

=

=



3

جدول الصواب و، NOTلعملية ، وهو جدول الصواب(Truth Table)جدول الصواب اجلدول التايل يسمى .و اخلرج املقابل لكل منهاالدخل مجيع احتماالتيوضح

x A 1 0 0 1

و الدخل يف هذه احلالة عبارة عن متغري واحد ميكن أن يأخذ واحدة من . xو اخلرج هو Aخل هنا هو دالحظ أن ال .، أي أن هناك احتمالني فقط للدخل1أو 0قيمتني، إما

، اليت يطلق عليها أيضاً NOT (NOT Gate)تقوم بإجراء هذه العملية هي بوابة اليت (Logic Gate)املنطقية البوابة

:NOTو ميكن استخدام أي من الشكلني التاليني يف متثيل بوابة . (Logic Inverter) العاكس املنطقي

(Equivalence)عملية التكافؤ 2-2

يرمز هلا بعالمة التساوي و ،مساوياً للدخل يف هذه العملية يكون اخلرجAx =

وجدول الصواب للعملية هوx A 0 0 1 1

:، و يتم متثيلها بالشكل التايل(Buffer)البوابة اليت تقوم بإجراء هذه العملية تسمى العازل

A

A

x

x

A x



4

ANDعملية 2-3، و يكون اخلرج يكون مساوياً 1فقط إذا كانت مجيع متغريات الدخل مساوية 1يف هذه العملية يكون اخلرج مساوياً

بأي من الطرق التاليةو يرمز هلذه العملية . 0إذا كان أي متغري من متغريات الدخل مساوياً 0

ABxBAx

BANDAx

=⋅=

=

)األخرية هي األكثر استخداماًالطريقة (

مبدخلني ANDب لبوابة اجدول الصو يلي فيما

x B A 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

و القاعدة العامة يف .، فأنه توجد أربعة احتماالت للدخلBو Aالحظ أنه نظراً لوجود متغريين للدخل هنا مها

فإن عدد احتماالت الدخل، أي عدد أسطر جدول Nجداول الصواب هي أنه إذا كان عدد متغريات الدخل هو .N2الصواب، هو

التايليرمز هلا بالشكل و، ANDبوابة ملية هيالبوابة املنطقية اليت تقوم بإجراء هذه الع

AB x

مبدخلني ANDبوابة (2-Input AND Gate)



5

مثالً . أكثر من مدخلني ANDقد يكون لبوابة

:1 تدريب .بثالثة مداخل ANDلبوابة (Truth Table)جدول الصواب قم بإنشاء

ORعملية 2-4

إذا 0، و يكون اخلرج يكون مساوياً 1إذا كان أي من متغريات الدخل مساوياً 1اخلرج مساوياً يف هذه العملية يكون و يرمز هلذه العملية بأي من الطريقتني التاليتني. 0كانت مجيع متغريات الدخل مساوية

BAxBORAx

+==

مبدخلني ORفيما يلي جدول الصواب لبوابة

x B A 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1

، و يرمز هلا بالشكل التايلORالبوابة املنطقية اليت تقوم بإجراء هذه العملية هي بوابة

xB A

A BC

x

بثالثة مداخل ANDبوابة (3-Input AND Gate)

مبدخلني ORبوابة (2-Input OR Gate)



6

مثالً. أكثر من مدخلني ORقد يكون لبوابة

:2 تدريب .بأربعة مداخل ORلبوابة (Truth Table)جدول الصواب قم بإنشاء

NANDعملية 2-5

، و يرمز هلا بأي NOT ANDأي أا عملية ،NOTمتبوعة بعملية ANDعبارة عن عملية هي NANDعملية من الطرق التالية

BAxABx

BAx

BANDAx

BNANDAx

↑=

=

⋅=

=

=

كما هو متوقع ANDوهو عكس عملية ، NANDعملية لجدول الصواب هواجلدول التايل

x B A 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

بالشكل التايل ، و يرمز هلاNANDتقوم بإجراء هذه العملية هى بوابة املنطقية اليتالبوابة

x BACD

x A B

بأربعة مداخل ORبوابة (4-Input OR Gate)

مبدخلني NANDبوابة (2-Input NAND Gate)



7

NAND (Sufficiency of NAND)كفاية عملية ميكن إجراؤها ) NOT ،AND ،OR(هو أن العمليات املنطقية األساسية الثالث NANDاملقصود بكفاية عملية

.فقط NANDو بالتايل ميكن بناء أي دائرة منطقية بالكامل باستخدام بوابات ،NANDباستخدام بوابات مجيعاً

.NANDباستخدام بوابات الثالث إجراء العمليات املنطقية األساسيةيف اجلزء التايل سنوضح طريقة

:NOTعملية كعاكس منطقي بربط مجيع أطراف الدخل هلا يف طرف واحد NANDميكن أن نقوم باستخدام بوابة

بطرف دخل واحد، أي NANDببوابة س منطقي املستخدمة كعاك NANDو ميكن أن نرمز لبوابة

:NDAعملية متبوعة بعملية عكس منطقي NANDعملية عن طريق إجراء ANDعملية ميكن إجراء

:ORعملية ي لكل طرف من أطراف الدخلمسبوقة بعملية عكس منطق NANDعن طريق إجراء عملية ORميكن إجراء عملية

BA⋅BA⋅B

A

A A

AA

A

B

A

B BABA +=⋅



8

BABAجدول الصواب التايل يثبت أن +=⋅

BA+ BA⋅BA⋅B A B A 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1

NORعملية 2-6

، و يرمز هلا بأي من NOT OR، أي أا عملية NOTمتبوعة بعملية ORهي عبارة عن عملية NORعملية الطرق التالية

BAxBAx

BORAx

BNORAx

↓=

+=

=

=

كما هو متوقع ORهو عكس عملية ، وNORصواب لعملية جدول ال هواجلدول التايل

x B A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1

، و يرمز هلا بالشكل التايلNORالبوابة املنطقية اليت تقوم بإجراء هذه العملية هى بوابة

x AB

مبدخلني NORبوابة (2-Input NOR Gate)



9

NOR (Sufficiency of NOR)كفاية عملية ميكن إجراؤها مجيعاً ) NOT ،AND ،OR(هو أن العمليات املنطقية األساسية الثالث NORاملقصود بكفاية عملية

.فقط NOR، و بالتايل ميكن بناء أي دائرة منطقية بالكامل باستخدام بوابات NORباستخدام بوابات

.NORتايل سنوضح طريقة إجراء العمليات املنطقية األساسية الثالث باستخدام بوابات يف اجلزء ال

:NOTعملية كعاكس منطقي بربط مجيع أطراف الدخل هلا يف طرف واحد NORميكن أن نقوم باستخدام بوابة

بطرف دخل واحد، أي NORاملستخدمة كعاكس منطقي ببوابة NORو ميكن أن نرمز لبوابة

:ORعملية

متبوعة بعملية عكس منطقي NORعن طريق إجراء عملية ORميكن إجراء عملية

:ANDعملية

لدخلمسبوقة بعملية عكس منطقي لكل طرف من أطراف ا NORعن طريق إجراء عملية ANDميكن إجراء عملية

AA

AA

A B BA+

BA+

BABA ⋅=+ B

A

B

A



10

BABAجدول الصواب التايل يثبت أن ⋅=+

BA⋅ BA+BA+ B A B A 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1

.ORو بوابات ANDبأكثر من مدخلني، مثلها يف ذلك مثل بوابات NORو بوابات NANDو تتوفر بوابات

XORعملية 2-7

XOR هو اختصار لعبارةExclusive ORن الدخالن إذا كا 1حيث أن اخلرج يساوي ،ختالفعملية اال ، و تسمى و يرمز هلا بإحدى الطريقتني التاليتني. إذا كانا متشاني 0و يساوي ، خمتلفني

BAxBXORAx

⊕==

XORاجلدول التايل هو جدول الصواب لعملية

x B A 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

، و يرمز هلا بالشكل التايلXORبوابة املنطقية اليت تقوم بإجراء هذه العملية هى بوابة ال

باستخدام العمليات األساسية الثالث كالتايل XORو ميكن التعبري عن عملية BABABA +=⊕

xBA

دخلنيمب XORبوابة (2-Input XOR Gate)



11

BABABAو جدول الصواب التايل يثبت أن +=⊕

BA⊕ BABA + BA BA B A B A 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

XNOR عملية 2-8

إذا كان الدخالن متساويني، و 1، و تسمى عملية التساوي، حيث أن اخلرج يساوي XORهي معكوس عملية و يرمز هلا بإحدى الطريقتني التاليتني. إذا كانا خمتلفني 0يساوي

BAx

BXNORAx

⊕=

=

XNORاجلدول التايل هو جدول الصواب لعملية x B A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

، و يرمز هلا بالشكل التايلXNORالبوابة املنطقية اليت تقوم بإجراء هذه العملية هى بوابة

ث كالتايلباستخدام العمليات األساسية الثال XNORو ميكن التعبري عن عملية BAABBA +=⊕

:3 تدريبBAABBAقم بإنشاء جدول الصواب الذي يثبت أن +=⊕

بأكثر من XNORو بوابات أ XOR، ال تتوفر بوابات NORو NANDو ORو ANDو خبالف بوابات .مدخلني

xBA

مبدخلني XNORبوابة (2-Input XNOR Gate)



12

للبوابة املنطقية (Fan-In)تغيري عدد أطراف الدخل -3. أكرب أو أقل مما حنتاج إليه (Fan-In)من األحيان قد تتوفر لنا بوابات منطقية بعدد من أطراف الدخل يف كثري

سنوضح يف هذا اجلزء األساليب املختلفة اليت ميكننا إتباعها لتغيري عدد أطراف الدخل للبوابة املنطقية بالزيادة أو .بالنقصان

:تقليل عدد أطراف الدخل لدخل الزائد بأحد أطراف الدخل املستخدمة، مثالًيتم ذلك بربط طرف ا

مبدخلني، و ذلك بالتخلص من طرف الدخل ANDبثالثة مداخل كبوابة ANDيف احلالة األوىل استخدمنا بوابة

بأربعة مداخل ORا بوابة و يف احلالة الثانية استخدمن. الثالث غري املرغوب فيه بربطه بأحد طريف الدخل املستخدمني .مبدخلني ORكبوابة

و ANDيف طرف الدخل الزائد يف بوابات 1بوضع القيمة املنطقية التخلص من طرف الدخل الزائدكما ميكن أن يتم NAND خل الزائد يف بوابات ديف طرف ال 0، و وضع القيمة املنطقيةOR وNORًمثال ،

A B

A B

A B C

A

BA ⋅

BA +

CBA ⋅⋅

A

A B 1

A B 0 0

A B C 1

A 0 0 0

BA ⋅

BA +

CBA ⋅⋅

A



13

مبدخلني، و ذلك بالتخلص من طرف ANDبثالثة مداخل كبوابة ANDيضاً يف احلالة األوىل استخدمنا بوابة هنا أبأربعة مداخل ORو يف احلالة الثانية استخدمنا بوابة . فيه 1الدخل الثالث غري املرغوب فيه بوضع القيمة املنطقية

.ريف الدخل الزائدينيف ط 0مبدخلني، و ذلك بوضع القيمة املنطقية ORكبوابة

:زيادة عدد أطراف الدخل ، مثالُو استخدام خرج البوابة األوىل كدخل للبوابة الثانية يتم ذلك باستخدام أكثر من بوابة واحدة

الة الثانية و يف احل .بثالثة مداخل ANDكوابة ،كل منهما مبدخلني، ANDيف احلالة األوىل استخدمنا بوابيت

و يف احلالة الثالثة استخدمنا ثالثة . بأربعة مداخل OR، كل بوابة منها مبدخلني، كبوابة ORاستخدمنا ثالثة بوابات .بأربعة مداخل XOR، كل بوابة منها مبدخلني، كبوابة XORبوابات

(Logical Expression)التعبري املنطقي -4

مثل . ة من املتغريات املنطقية املرتبطة مع بعضها البعض بعمليات منطقيةالتعبري املنطقي هو عبارة عن جمموع CBAx ⋅+=

ORو ANDو NOTليات ، تربط بينها عمxو Cو Bو Aيتكون التعبري املنطقي هنا من أربعة متغريات هي .(=)و عملية التكافؤ

A B

C

CBA ⋅⋅

A B

C D

DCBA +++

A B

C D

DCBA ⊕⊕⊕



14

:(Operation Precedence)أسبقية إجراء العمليات :العمليات املنطقية األساسية الثالث بالترتيب التايل يتم إجراء

NOTعملية العكس املنطقي -1 ANDعملية -2 ORعملية -3

و Bبني AND، مث عملية اوالً Cو Bمتغريين يتم أوالً إجراء عملية العكس املنطقي لل ، مثالً،ففي التعبري أعالهC و أخرياً عملية ،OR.

.يف حالة ظهور عدة عمليات متساوية من حيث األسبقية يف التعبري املنطقي يتم إجراؤها بالترتيب من اليسار لليمنيميكن استخدام األقواس للتحكم يف ترتيب إجراء العمليات، حيث أن األقواس هلا األسبقية العليا، أي أن ما بني األقواس

مثالً إذا قمنا يف التعبري السابق بإضافة قوسني كالتايل. يتم حسابه دائماً أوالً

CBAx ⋅+= )(

هلا أسبقية AND، و ذلك على الرغم من أن عملية ANDقوسني قبل عملية املوجودة بني ال ORيتم إجراء عملية فإنهحيث يتم أوالً حساب ما بني .ما بني القوسني ORو السبب يف ذلك هو وجود عملية . ORأعلى من عملية

االنتهاء من األقواس يتم د، و بعBو Aبني OR، مث عملية Bالقوسني، فيتم إجراء عملية العكس املنطقي للمتغري .Cبني القوسني و امل AND، مث عملية Cإجراء العمليات خارجها، فيتم إجراء عملية العكس املنطقي للمتغري

(Logic Circuit)الدائرة املنطقية -5

متثيل أي تعبري منطقي بدائرة منطقية، حيث ننظر للعمليات املنطقية املوجودة بالتعبري و نقوم بربط البوابات املنطقية ميكن التعبري املنطقي ً،مثال. اليت تقوم بإجراء تلك العمليات باألسلوب املناسب

CBAx ⋅+=

املنطقية ميكن متثيله بالدائرة

A

B

C

x



15

و التعبري املنطقيCBAx ⋅+= )(

املنطقية ميكن متثيله بالدائرة

(Logic Diagram)املخطط املنطقي -6

ة باإلضاف ،متغريات اخلرج ومسميااللدائرة املنطقية و مسمياا و متغريات الدخل مبسط يوضح هو عبارة عن خمطط .إىل اسم الدائرة الدال على وظيفتها

:مثالً، كال الدائرتني املنطقيتني أعاله ميكن متثيلهما باملخطط املنطقي التايل

و نقوم باستخدام املخططات املنطقية كبديل للدائرة املنطقية املفصلة كنوع من التبسيط، و ذلك عندما ال نكون حباجة كما يف الدوائر املعقدة املكونة من عدد من الدوائر الصغرية املربوطة مع بعضها . ة للدائرة املنطقيةللتفاصيل الداخلي

.البعض، حيث نقوم بتمثيل تلك الدوائر الصغرية مبخططاا املنطقية (Truth Table) جدول الصواب -7

، إلنشاء جدول مثالً .لكل منهاج املقابل قيم اخلر عبارة عن جدول يوضح مجيع احتماالت الدخل للدائرة املنطقية و للتعبري املنطقي صواب

CBAx ⋅+=

، أي عن 3، و عددها Cو Bو Aمتغريات الدخل هي . نبدأ بتحديد عدد الصفوف و عدد األعمدة يف اجلدول823ت الدخل هو عدد احتماال أما عن األعمدة فنحتاج عموداً . جدول الصواب) صفوف(، و هو عدد أسطر =

A B

C

x

A

B

C

x اسم الدائرة



16

، كما ذكرنا من 3متغريات الدخل عددها . لكل متغري من متغريات الدخل و عموداً لكل متغري من متغريات اخلرجكما حنتاج إىل . أي حنتاج إىل أربعة أعمدة ملتغريات الدخل و متغريات اخلرج ،xقبل، و هناك متغري خرج واحد هو

، كما حنتاج عموداً C، و عموداً آخر إلجياد Bأعمدة إضافية إلجراء العمليات املنطقية، حيث حنتاج عموداً إلجياد CBإلجياد CBAأخرياً حنتاج عموداً إلجياد ، و⋅ .x، و هو يف هذه احلالة نفس عمود اخلرج +⋅

CBAx ⋅+= CB ⋅C B C B A

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

جدول الصواب للتعبري املنطقي و باملثل

CBAx ⋅+= )( هو

CBAx ⋅+= )( BA+C B C B A 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1

:مثال لدائرة املنطقية للتعبري املنطقيأكمل جدول الصواب، مث ارسم ا املخطط املنطقي، و ارسم

BACBAy += املخطط املنطقي

A

B

C

yاسم الدائرة



17

جدول الصوابBACBAx += BACBA + BA CBA B A C B A

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1

الدائرة املنطقية

:4تدريب

:املنطقية التالية لكل تعبري من التعبرياتأكمل جدول الصواب، مث ارسم الدائرة املنطقية ارسم املخطط املنطقي، و1- )( CBAx += 2- )( CABAy += 3- DCBAz += (Boolean Algebra Theorems)ظريات اجلرب البولياين ن -8

دراستنا لنظريات اجلرب البولياين هو استخدام تلك اهلدف األساسي من اجلرب البولياين هو جرب املتغريات املنطقية، و .يف تبسيط التعبريات املنطقيةالنظريات

للحصول و .(Dual Theorem)نظرية مقابلة أو مناظرة هلا اين من نظريات اجلرب البولي (Theorem)لكل نظرية :يف النظرية األصلية ألي نظرية نقوم بإجراء التبديالت التالية على النظرية املقابلة

1بـ 0استبدال أي • 0بـ 1استبدال أي • ORبعملية ANDاستبدال أي عملية • ANDبعملية ORاستبدال أي عملية •

BACBAx +=

A

B

C



18

اجلدول التايل يوضح النظريات األساسية املستخدمة يف .اول الصوابحة أي نظرية باستخدام جدوعموماً ميكن إثبات ص اجلرب البولياين

النظرية املقابلة النظرية اسم النظريةAA عكس العكس = AA =

0و 1لعمليات مع اAA

A=+=+

011

AAA

=⋅=⋅

100

AAA املتغري مع نفسه =+ AAA =⋅

+=1 املتغري مع عكسه AA 0=⋅ AA ABBA بداليةالنظرية اإل +=+ ABBA ⋅=⋅

)()( النظرية التجميعية CBACBA ++=++ )()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ CABACBA النظرية التوزيعية ⋅+⋅=+⋅ )( )()( CABACBA +⋅+=⋅+

االمتصاص أو االبتالعBABAA

ABAA

+=⋅+

=⋅+

BABAA

ABAA

⋅=+⋅

=+⋅

)(

)(

BABA (De Morgan) مورغان دي ⋅=+ BABA +=⋅

ىف تبسيط التعبريات املنطقية اينلياستخدام نظريات اجلرب البو -9 ، و ذلكالداخلة ىف بنائها املنطقية أي تقليل عدد البوابات اهلدف من تبسيط التعبري املنطقي هو تبسيط الدائرة املنطقية،

.من التبسيط أيضاً كما يعترب تقليل تفرع الدخل للبوابات املنطقية املستخدمة ىف بناء الدائرة نوعاً. لتقليل تكلفتهانذكر القارئ و. باستخدام النظرياتالتعبريات املنطقية طريقة تبسيطمن األمثلة لتوضيح اًيف هذا اجلزء عدد سنعرض

.و حل التدريبات هاإعادة حلفهم األمثلة جيداً و عملية التبسيط ب بضرورة التدرب على

:مثال ىف تبسيط التعبري املنطقي ايناستخدم نظريات اجلرب البولي

BACBAy += .بعده مث ارسم الدائرة املنطقية قبل التبسيط و

:احلل BACBAy += )()( مورغان دي BACBAy +⋅++=

)()( عكس العكس BACBAy +⋅++= BCBAy التوزيعية ⋅++= )( BCAy االبتالع +=



19

:حل آخر

BACBAy += )( التوزيعية BCBAy +⋅= )( االبتالع BCAy +⋅=

BCAy دي مورغان += BCAy عكس العكس +=

:الدائرة قبل التبسيط

:الدائرة بعد التبسيط

.فقط بوابات 4بعد التبسيط أصبحت مكونة من و ،بوابات 6الحظ أن الدائرة قبل التبسيط مكونة من

:مثال استخدم نظريات اجلرب البولياين ىف تبسيط التعبري املنطقي

CBCBAAy +++= )( .بعده مث ارسم الدائرة املنطقية قبل التبسيط و

:احلل CBCBAAy +++= )( CBCBAy بتالعاال ++=

BCBAy االبتالع ++= CBBAy اإلبدالية ++= CBy االبتالع +=

A

B

Cy

A

B

C

y



jasim

Highlight

20

الدائرة قبل التبسيط

الدائرة بعد التبسيط

:مثال تبسيط التعبري املنطقي يفاين رب البولينظريات اجل استخدم

ABCBCACBACBAy +++= :احلل

جمموع احلدود الصغرىصورة مميزة تسمى صورة يفيظهر املنطقي أن التعبريإىل ذلك نظراً و ،هلذا املثال أمهية خاصة(Sum of minterms). ملرتبطة مع بعضها البعض امن جمموعة من احلدود املنطقي يتكون التعبري و يف هذه الصورة

و احلد األصغر تظهر فيه مجيع متغريات الدخل . (minterm)باحلد األصغر منها حد يسمى كل و . ORبعمليات .و يكون بعض هذه املتغريات معكوساً و بعضها اآلخر غري معكوس، ANDمرتبطة مع بعضها البعض بعمليات

ن مها حدين يتفقان ىف كل احلدان املتشاا و .بني احلدود اات مانبحث عن التش اتالتعبريهذا النوع من تبسيطل CBAمثالً، يف التعبري أعاله احلد األول .اآلخر بدون عكس يف و عدا متغري واحد يظهر ىف أحدمها معكوساً شيء

الذي يظهر يف احلد األول معكوساً و يف احلد Cدا املتغري ، حيث يتفق احلدان يف كل شيء عCBAيشبه احلد الثاين ، حيث يتفقان يف كل شيء عدا ABCو الرابع BCAو بنفس الطريقة يتشابه احلدان الثالث . الثاين بدون عكس

.يف احلد الثالث معكوساً و يف احلد الرابع بدون عكسالذي يظهر Aاملتغري

ABCBCACBACBAy +++=

. جيوز أن يكون يف أكثر من متغريالحظ أن اإلختالف ما بني احلدين املتشاني جيب أن يكون يف متغري واحد فقط و ال

A

B

C

y

yB

C



21

د واحد هو عبارة عن العامل املشترك ما بني بعد إجياد التشاات ما بني احلدود نقوم جبمع كل حدين متشاني يف ح .احلدين، أما املتغري املختلف فيتم اختصاره

ABCBCACBACBAy +++= )()( يف كل حدين متشاني بإخراج العامل املشترك AABCCCBAy +++=

)1()1( املتغري مع عكسهجبمع BCBAy += BCBAy 1العمليات مع ب +=

، و لكن BCAيشبه احلد الثالث CBAالحظ يف املثال السابق وجود تشابه إضايف بني احلدود، حيث أن احلد الثاين

.مل نكن يف حاجة الستخدام هذا التشابه يف عملية التبسيط

:مثال املنطقي تبسيط التعبري يف ايننظريات اجلرب البولي استخدم

CBACBACBACBACBAy ++++= :احلل

.التعبري هنا يف صورة جمموع احلدود الصغرى، لذلك نبحث عن التشاات ما بني احلدود .د الثالث يشبه احلد األولاحل، و احلد األول يشبه احلد الثاين، و احلد الرابع يشبه احلد اخلامس

CBACBACBACBACBAy ++++=

يف مثل . وجود مشكلة تتمثل يف أن احلد األول يتشابه يف نفس الوقت مع كل من احلدين الثاين و الثالث نالحظ هناحبيث يتم مجعه مع كال احلدين الثاين و ) مستخدمني نظرية املتغري مع نفسه(هذه احلاالت نقوم بتكرار احلد األول

.الثالث CBACBACBACBACBAy ++++= CBACBACBACBACBACBAy ر احلد األولاكربت +++++= BACABAy مع كل حدين متشانيجب ++= CABABAy النظرية اإلبداليةب ++= CABy مع احلدين املتشانيجب +=



22

:مثال تبسيط التعبري املنطقي يف ايننظريات اجلرب البولياستخدم

CABCBACBACBAy +++= :احللحظ أن ما أسفل خط العكس املنطقي اخلارجي هو عبارة عن تعبري يف صورة جمموع احلدود الصغرى، لذلك نبحث نال

.عن التشاات ما بني احلدودCABCBACBACBAy +++=

CABCBACBACBAy +++= BACBy جبمع كل حدين متشاني +=

)()( بنظرية دي مورغان BACBy ⋅= )()( بنظرية دي مورغان BACBy +⋅+=

:مثال

تبسيط التعبري املنطقي ولياين يفنظريات اجلرب الباستخدم ABCCABBCAy ++=

:احللنالحظ أن ما أسفل خط العكس املنطقي اخلارجي هو عبارة عن تعبري يف صورة جمموع احلدود الصغرى، لذلك نبحث

.اات ما بني احلدودعن التش

ABCCABBCAy ++=

ABCCABBCAy ++= ABCCABABCBCAy بتكرار احلد الثالث +++=

ABBCy جبمع كل حدين متشاني += )( بأخذ العامل املشترك ACBy += )( بنظرية دي مورغان ACBy ++= ACBy بنظرية دي مورغان +=



23

:5تدريب لتعبريات املنطقية التاليةاكل من تبسيط استخدم نظريات اجلرب البولياين يف

-1 yxwxxwyzxxyzxA +++++= -2 yxyxxyyxB ))(( +++= -3 ))(( yzzxxyyxyxC ++++=

اخلالصة

حيث تعرفنا . بعض املهارات األساسية اليت سنحتاج إليها يف دراستنا لبقية املقرر تعلمنا يف هذه الوحدةعزيزي الدارس، على العمليات املنطقية املختلفة و البوابات اليت تقوم بإجراء تلك العمليات، و تعلمنا كيفية كتابة التعبريات املنطقية و

.ر املنطقيةئفية إنشاء جداول الصواب و بناء الدواالتعامل معها و القيام بتبسيطها باستخدام النظريات، كما تعلمنا كي

حملة مسبقة عن الوحدة التاليةة، مث كتابة ئرر املنطقية، ابتداءاً من حتديد مواصفات الدائتصميم الدوايف سنتناول اخلطوات املتبعة يف الوحدة التالية

رة املنطقية، إما باستخدام ئ، وختاماً بناء الداات املنطقيةسيط تلك التعبريرة يف الصورة املناسبة، فتبئالتعبريات املنطقية للدا ).NORأو NAND(، أو باستخدام نوع واحد من البوابات ORو ANDو NOTالبوابات األساسية الثالث

إجابات التدريبات

:1تدريب

CBAx ⋅⋅= C B A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1



24

:2تدريب DCBAx +++=D C B A

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

:3تدريب

BA⊕ BAAB + BA AB B A B A 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1

:4تدريب املخطط املنطقي -1

A

B

C

x



25

جدول الصواب

)( CBAx +=)( CBA +CB +B C B A 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1

دائرة املنطقيةال

املخطط املنطقي -2


)( CABAy +=CA+ BA C A C B A 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1

A

B

C

x

A

B

C

y



26

الدائرة املنطقية

املخطط املنطقي -3


DCBAy += DCBA + DC BA D B D C B A 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

A

B

C

y

A

B

Cz

D



27

:5تدريب 1- yxA += 2- 0=B 3- zyxxyC +=

املراجع املصادر وFredrick J. Hill & Gerald R. Peterson, “Introduction to Switching Theory & Logical Design”, Third Edition, John Wiley & Sons, 1981



basics of boolean algebra

Documents