ball and beam system
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Proyecto Final Sistemas Lineales: Sistema Viga-Esfera
Juan José Quiroz Omaña
25 de junio de 2015
Resumen
This work contains an analysis of linear systems theory of beam ball system. The concepts of state
space, balanced realizations, controllability, observability are used. Also feedback control of estimated
states is performed.
1. Introducción
El sistema viga esfera consiste en balancear una esfera sobre una viga, controlando la posición de laprimera mediante la inclinación de la segunda. Es un sistema clásico en los laboratorios de control y estárelacionado con problemas como la estabilización de un avión por ejemplo.(Wang, 2007) El sistema tiene dosgrados de libertad. El sistema es no lineal, y en lazo abierto inestable. Para pequeñas variaciones en el ángulode inclinación de la viga, es posible linealizar el sistema.
2. Modelo matemático
El sistema consiste en una esfera que puede moverse sobre una viga de acuerdo a la inclinación de lamisma. La viga posee una canaleta que restringe el movimiento de la esfera. En la �gura 1 se observa elesquema del sistema, donde P denota la posición de la esfera, y θ representa la posición angular de la viga.Éstas son las coordenadas generalizadas.(Colón and Andrade, 2013)
Figura 1: Sistema Viga-Esfera
1
El Lagrangiano del sistema está de�nido por(Shankar and Harmon, 1986):
L = K − U (1)
Donde K y U denotan la energía cinética y potencial respectivamente.La energía cinética de la viga es
K1 =1
2Jθ2 (2)
Donde J y θes el momento de inercia y la velocidad angular de la viga.La energía cinética de la esfera es
K2 =1
2Jbθ2b +
1
2mv2b (3)
Donde Jb , θb,vb y m representan el momento de inercia, la velocidad angular, la velocidad lineal y lamasa de la esfera respectivamente.
Figura 2: Velocidad lineal y angular de la esfera
De la �gura 2 puede observarse que
θb =P
r(4)
La velocidad en función de las coordenadas generalizadas está dada por
v2b = x2 + y2 (5)
x = pcosθ (6)
x = pcosθ − pθsenθ (7)
y = sinθ (8)
y = psinθ + pθcosθ (9)
Reemplazando (7) y (9) en (5)v2b = p2 + p2θ2 (10)
Reemplazando (4) y (10) en (3) y agregando (2)
2
K =1
2
(Jbr2
+m
)P 2 +
1
2mp2θ2 +
1
2Jθ2 (11)
La energía potencial del sistema esta dada por
U = mgpsenθ (12)
Reemplazando (11) y (12) en (1) se obtiene el Lagrangiano y esta dado por
L =1
2
(Jbr2
+m
)P 2 +
1
2
(mp2 + J
)θ2 −mgpsenθ (13)
La primera ecuación de Euler-Lagrange esta dada por
d
dt
(∂L
∂P
)− ∂L
∂P= 0 (14)
se tiene (Jbr2
+m
)P +mgsenθ −mpθ2 = 0 (15)
La segunda ecuación de Euler-Lagrange esta dada por
d
dt
(∂L
∂θ
)− ∂L
∂θ= τ (16)
Donde τ es el torque aplicado a la viga.(mp2 + J
)θ + 2mPP θ +mgPcosθ = τ (17)
3. Representación en el espacio de estados
Se de�ne el vector de estados
x =
x1x2x3x4
=
P
Pθ
θ
Se reescriben las ecuaciones (15) y (17)
x =
x1x2x3x4
=
x2
mx1x24−mgsinx3(Jbr2
+m)
x4τ−mgx1cosx3−2mx1x2x4
(mx21+J)
= f(x, τ)
3
4. Linealización en un punto de operación
El punto de operación es de�nido en el punto de equilibrio, en el cual la posición de la esfera es constante,y el ángulo de inclinación de la barra es cero. También se de�ne una entrada para mantener dicho equilibro(Colón and Andrade, 2013). Así, respectivamente
x0 =
x01x02x03x04
=
P0
000
uτ = mgP0
Realizando la matriz Jacobiana con respecto a las variables de estado y evaluandola en el punto deoperación resulta la matriz A(Keshmiri and Jahromi, 2012).
A =∂f
∂x(x0, τ0) =
0 1 0 00 0 −mg
Jbr2
+m0
0 0 0 1−mg
mP 20 +J
0 0 0
Realizando la matriz Jacobiana con respecto a la entrada τ y evaluandola en el punto de operación uτ
resulta la matriz B(Keshmiri and Jahromi, 2012)
B =∂f
∂τ(x0, τ0) =
0001
mP 20 +J
La salida del sistema es la posición de la esfera, así la matriz C es de�nida como
C =[
1 0 0 0]
Con los siguientes datos(Colón and Andrade, 2013)m = 0,11kgr = 0,015mg = 9,81ms2J = 19e− 3 kb ·m2
Jb = 9,99e− 6 kg ·m2
P0 = 0Se tiene el sistema lineal en espacio de estados
x =
0 1 0 00 0 −7 00 0 0 1
−57,31 0 0 0
x+
000
52,63
u
y =[
1 0 0 0]x
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5. Controlabilidad y Observabilidad
La matriz de controlabilidad está dada por [B A*B A*A*B A*A*A*B]
ctrb =
0 0 0 −3680 0 −368,79 00 52,63 0 0
52,63 0 0 0
Es de rango completo y su determinante es 376760000. El sistema es por tanto controlable y su matrizestá lejos de la singularidad, es decir, tiene un buen condicionamiento.
El grammiano de controlabilidad con�rma un buen condicionamiento , teniendo autovalores grandes; entremás grandes sean sus autovalores menor será la energía mínima para llevar un estado a otro.
Wc = 1 · 1017
−0,020 0 0,003 0
0 0,023 0 −1,2960,003 0 −0,185 0
0 −1,296 0 0,191
eig(Wc) = 1 · 1017
−1,2−0,185−0,0221,406
Acontinuación se presenta el análisis de observabilidad para los casos en que se mide únicamente un estadopor vez.
C=[1 0 0 0] C=[0 1 0 0] C=[0 0 1 0] C=[0 0 0 1]
R 4 4 4 4dG 6.48e+50 1.17e+50 2.83e+54 4.86e+59cG 26.33 15.36 29.59 14.66
eigW
{−7,3e121,7e13ι
}{
−7,3e12−1,7e13ι
}{
−3,53e111,32e12ι
}{
−3,53e11−1,32e12ι
}
{1,5e142,3e14ι
}{
1,5e14−2,3e14ι
}{
−8,13e123,79e13ι
}{
−8,13e12−3,79e13ι
}
{−6,83e131,38e14ι
}{
−6,83e13−1,38e14ι
}{
−3,12e121,04e13ι
}{
−3,12e12−1,04e13ι
}
{1,05e151,96e15ι
}{
1,05e15−1,96e15ι
}{
−7,82e133,03e14ι
}{
−7,82e13−3,03e14ι
}
Cuadro 1: Datos de las matrices y los gramianos de observabilidad.
En la tabla 1 se aprecia información sobre las matrices y grammianos de observabilidad. R denota el rangode la matriz de observabilidad, dG denota el determinante del gramiano de observabilidad, cG denota lafunción cond de matlab aplicada al gramiano de observabilidad, que mide el condicionamiento de una matriz,entre más cerca a la unidad es mejor invertible, �nalmente, eigW denota los autovalores del grammiano deobservabilidad.
Se observa, que en todos los casos, el sistema es observable y en general con �buena calidad� de observación.
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6. Respuesta en lazo abierto
La matriz A tiene autovalores
eig(A) =
−4,47 + 0ι0 + 4,47ι0 − 4,47ι4,47 + 0ι
Puede notarse que tiene un autovalor real positivo. Claramente el sistema es inestable.
Figura 3: Respuesta en lazo abierto
En la �gura 3 se observa la respuesta del sistema linealizado en lazo abierto. Como se esperaba, es inestable.Para esta simulación se usó una entrada cero y se colocó una condicion incial en el ángulo de inclinación dela barra.
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7. Control por realimentación de estados
Figura 4: Diagrama de bloques del control por realimentación de estados
En la �gura 4 se muestra el esquema de bloques usado en simulink. El diseño del control por estadosrealimentados fué hecho en base a las ecuaciones 8.3 presentadas en el libro de estudio del curso (Chi-Tsong-Chen, 1999).
x = (A−BK)x+Br
K = place(A,B,[−2 −3 −4 −5
])
K =[−1,41 −0,41 1,34 0,26
]
Cuadro 2: Respuesta al escalón unitario del sistema con realimentación de estados.
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8. Estimador asintótico de orden completo
Figura 5: Diagrama de bloques del control por realimentación de estados con observador de completo
En la �gura 5 se observa el diagrama de bloques del control con observador de orden completo. El procesode diseño se realizó mediante la ecuación 8.40 del libro del curso (Chi-Tsong-Chen, 1999). Se eligieron polos5 veces más rápidos que los polos del sistema (Ogata, 2003).
˙˙x = (A− IC)x+Bu+ 1y
I = place(A′, C ′, [ −25 −26 −27 −28 ])′
˙x =
−106 1 0 0−4211 0 −7 010604 0 0 170128 0 0 0
ˆ
x+
000
52,63
u+
10642111060470186
y
Figura 6: Comparación entre el estado medido y estimado.
8
9. Función de transferencia
La función de transferencia del sistema linealizado está dada por Chi-Tsong-Chen (1999)
G(s) = C (sI −A)−1B +D
G(s) =−368,8
s4 − 8,882 · 10−16s3 + 2,84 · 10−14s2 − 2,84 · 10−14s− 401,6
Esta es la función de transferencia del sistema linealizado. Sus gramianos de controlabilidad y observabi-lidad son
Wc =
−2,26 · 1015 1,5 3,33 · 1014 23
1,5 2,33 · 1015 −20 −1,29 · 1017
3,33 · 1014 −20 −1,85 · 1016 −2223 −1,29 · 1017 −22 1,91 · 1016
Wo =(1013
)·
−1,41 1,80 0,38 −0,37−1,80 0,05 0,37 −0,020,38 −0,37 −0,17 0,220,37 −0,02 −0,22 0,006
y sus determinantes son
det(Wc) = −6,99 · 1065
det(Wo) = 6,48 · 1050
claramente, aunque sus determinantes no están cerca de la singularidad, se aprecia que el sistema no estábalanceado, es decir, no es igual de controlable a observable.
9.1. Realización Balanceada y Reducida
Se calcula una realización balanceada mediante la función balreal de Matlab.
[sysb, g] = balreal(sys)
la cual retorna la nueva realización balanceada y los valores singulares de Hankel
x =
3,04 · 10−16 5,01 2,43 0
−4 3,044 · 10−16 1,92 · 10−15 00 0 4,47 00 0 0 −4,47
x+
2,35−0,301,26−1,01
u
y =[
9,99 · 10−16 −1,146 −1,09 −1,01]x
g =
infinfinf
0,1148
9
Se puede puede apreciar que el último valor singular es despreciable con respecto a los otros tres. Entonces,es posible reducir el sistema.
sysr = modred(sysb, [4],′ del′)
Gr = tf(sysr)
Gr =−1,028s2 + 9,202s− 61,79
s3 − 4,447s2 + 20,04 − 89,71
Cuadro 3: Respuesta escalón unitario de los tres modelos.
10. Regulación y seguimiento
Para que el sistema pueda seguir una referencia constante se incorporó una ganancia anticipativa (feedfo-ward gain). Esto es posible siempre y cuando gf no tenga ceros en s=0. Donde gf es la función de transferenciageneral del sistema.(Chi-Tsong-Chen, 1999)
gf=pβ1s
3 + β2s2 + β3s+ β4
s4 + α1s3 + α2s2 + α3s+ α4
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Figura 7: Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado con ganancia anticipativa
La función de transferencia del sistema con la realimentación de estados está dada por
gf =−368,8
s4 + 14s3 + 71s2 + 154s+ 120
Para una referencia constante, ( con frecuencia cero) se requiere una ganancia unitaria.
1 = gf (0) = pβ4α4
En la �gura 7 se observa el diagrama del sistema con la ganancia anticipativa.
Figura 8: Posición de la esfera para una referencia de 4cm y -4cm
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11. Simulaciones
Figura 9: Respuesta del sistema linealizado a una referencia cuadrada y con perturbación
Figura 10: Respuesta del sistema NO lineal a una referencia cuadrada y con perturbación
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Figura 11: Respuesta del sistema linealizado sin perturbaciones y con ruido en la medición de x1
Figura 12: Respuesta del sistema No lineal sin perturbaciones y con ruido en la medición de x1
12. Trabajos Futuros
Diseñar un sistema de control de seguimiento robusto y de rechazo de disturbios.
Simular la dinámica del sistema en V-REP
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13. Conclusiones
Se implementó en Matlab/Simulink el modelo no lineal y el linealizado, con control por realimentaciónde estados, observador de orden completo y ganancia anticipativa para seguimiento y regulación.
El modelo lineal es ideal para el uso de técnicas de control más sencillas, pero dicho modelo sólorepresenta al modelo general en un punto de operación.
El observador de estados permite estimar todos los estados siempre que el sistema sea observable. Sinembargo, con un pequeño ruido que tenga la variable medida, afecta considerablemente la estimación.
Referencias
Chi-Tsong-Chen (1999). LINEAR SYSTEM THEORY AND DESIGN (Third ed.). New York.
Colón, D. and Y. S. Andrade (2013). Modeling , Control and Implementation of a Ball and Beam System.
Keshmiri, M. and A. Jahromi (2012). Modeling and Control of Ball and Beam System Using Model Basedand Non-Model Based Control Approaches. . . . Intelligent Systems 5 (1), 14�35.
Ogata, K. (2003). Ingeniería de control moderna.
Shankar, K. S. and T. L. Harmon (1986). Introduction to Robotics. IEEE Expert 1 (2).
Wang, W. (2007). Control of a Ball and Beam System.
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