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Automi Cellulari
Automi Cellulari multistatoGliders, domini e filtriI cataloghi di Crutchfield
Parte IV
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Def. Di AC unidimensionale
La configurazione st di un AC unidimensionale, al tempo t, è un array unidimesionale di N celle (o siti)
Al tempo t, ogni cella si trova nello stato
stiA={0,1,…,k-1} per i=0,1,…,N-1
cosicché st AN
t i= st
i-r,…, sti,… st
i+r è il vicinato dell’ i-esima cella
è la funzione di transizione (aggiornamento) locale:
St+1i = (t
i)
L’operatore di aggiornamento globale
: AN ->AN
applica in parallelo a tutti i vicinati dell’AC determinandone l’evoluzione temporale
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AC multistato
Un AC unidimensionale multistato è un AC in cui
k>2
Ad esempio, per k=3 stiA={0,1,2}, cioè:
2 0 1 112 02 11 0 2 02 1 21 02 1
Nel grafico precedente abbiamo segnato in bianco le celle nello stato 0, in blu le celle nello stato 1 e in rosso le celle nello stato 2
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Lo spazio delle regole per un AC multistato
In un AC unidimensionale con k stati e raggio r (d=2r+1) esistono:
kd intorni distinti)(kd
k regole di transizione
Se k=3 ed r=1 (d=3), esistono:
kd=33=27 intorni distinti2733 )(3)(k 3d
k regole di transizione
Poiché gli intorni distinti sono 27, le regole di transizione saranno stringhe di 27 caratteri (0,1 o 2); ad esempio
102111112101110002200011000
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Esempio k=3 r=1 (parte 1)Regola 102111112101110002200011000, Passo 0 -> 299
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Esempio k=3 r=1 (parte 2)Regola 102111112101110002200011000, Passo 300 -> 599
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Esempio k=3 r=1 (parte 3)Regola 102111112101110002200011000, Passo 600 -> 899
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Esempio k=3 r=1 (parte 4)Regola 102111112101110002200011000, Passo 900 -> 1199
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Un altro esempio k=3 r=1 Regola 102121212200202100220210100, Passo 0 -> 299
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Un esempio k=4, r=1Regola 1013231201202212131323130011202022131233113330112211032020300030
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Un altro esempio k=4, r=1Regola 3322130201332211220233100001222133002230111121113310032120131113
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I Glider (Alianti)
Un glider è una “struttura periodica” che è in grado di “muoversi”, con una certa “velocità”, nello spazio cellulare
Il nome glider (aliante) deriva, probabilmente, dal Gioco della Vita
Il moto dei glider all’interno dello spazio cellulare può dar luogo a collisioni tra i glider stessi o tra glider ed altre strutture stabili o periodiche
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Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 1)
Passo 0 Passo 1
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Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 2)
Passo 2 Passo 3
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Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 3)
Passo 4
Al passo 4 ritroviamo, “shiftata” verso Nord-Ovest, la stessa struttura del passo 0
Siamo, dunque, in presenza di un glider di periodo 4 (poiché si ripete dopo 4 passi)
La sua velocità verticale è:
vy=-1/4 (celle/passi di calcolo)
La sua velocità orizzontale è:
vx=-1/4 (celle/passi di calcolo)
y
xo
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La velocità della luce negli AC
Come abbiamo visto, ogni glider è caratterizzato da un periodo e da una velocità
Mentre in AC arbitrariamente complessi si possono teoricamente costruire strutture di periodo arbitrariamente grandi, la velocità non può superare un valore massimo (la velocità della luce) dipendente dalla forma del vicinato
Nel Gioco della Vita, poiché il vicinato di una cella è costituito dalle 8 celle adiacenti la cella centrale (più la cella centrale stessa),
vx1 e vy1
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Altri Glider di Life
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Una collisione (parte 1)
Passo 0 Passo 8 Passo 9 Passo 10
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Una collisione (parte 2)
Passo 11 Passo 12 Passo 13 Passo 23
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Una collisione (parte 3)
Passo 26
Passo 27
Passo 28
Passo 29
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Domini regolari
Nel Gioco della Vita i glider si muovono nello spazio cellulare su uno sfondo uniforme costituito da celle nello stato quiescente 0
In generale, comunque, esistono glider che si muovono su sfondi non uniformi ma “regolari” chiamati domini o domini regolari
I domini regolari possono essere individuati osservando la dinamica spazio temporale dell’AC
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Il dominio regolare di ECA 54
ECA 54 è un AC complesso (classe IV di Wolfram)
Le strutture più complesse si muovono sull’unico sfondo (dominio) regolare, 54, di ECA 54
Dominio regolare di ECA 54
54 si ripete con periodicità e shift 2
54 = {0001* sulla riga i, 1110* sulla riga
i+1}
ii+1
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Filtri
Una volta individuati, i domini regolari possono essere “cancellati” per osservare meglio la dinamica di “particelle” più complesse come i glider
Crutchfield & Hanson hanno costruito un particolare filtro per ECA 54 (Crutchfield & Hanson, “Computational Mechanics of CA. An Example”, 1995)
Questo avviene tramite apposite procedure, i filtri
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ECA 54 “filtrato”
ECA 54 prima e dopo il filtraggio di Crutchfield & Hanson
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ParticelleIl filtraggio del dominio regolare ha permesso di individuare quattro tipi di particelle (…glider), le particelle , , +e -
Le particelle possono essere anche interpretate come “muri”, cioè elementi di separazione, tra domini distinti o tra pezzi di uno stesso dominio
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Interazioni tra le particelle (parte 1)
Il filtraggio del dominio consente lo studio delle interazioni tra le particelle , , +e -
-
-
+
+
-+
-
+
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Interazioni tra le particelle (parte 2)
-
+
+ -
+ -
- +
+ -
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La tabella delle interazioni
Gli effetti delle collisioni tra le particelle possono essere sintetizzate tramite una tabella
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I cataloghi (Crutchfield 1995)
Un catalogo è una sorta di riassunto delle caratteristiche salienti di un Automa Cellulare
Esso contiene di solito:
•Informazioni sui domini regolari
•Informazioni sulle particelle
•Informazioni sulle interazioni tra le particelle
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Il catalogo di ECA 54