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AULA IT- MOMENTO ANGULAR EM
MECENICA QUINTIC A
Come
samosapartin data aula um estado sistema -
tico do momento angular em mecoinicaquiantica I MQ ) .
Este i um assunta entrancement important , ayiosresultsdos scio amplamente una dos em voiriosdominiesda Fi si ca : ma classification do respects ato -
mice,
molecular e nuclear,
no spin de particularelementals
, no magnetism ,etc . . .
Jet stake
mosqueo memento angular desem pen ha
important papel ma mecianica classica; o memento
angular total de um sistema isola do i uma cons -
tante de movimento.
As proprietordes Ioissicas do
momento angular deum ter suis equivalents em
MQ,
mas tram bin bra fendmemos em M Q reliance -
& fisioa do momento angular que mio possum
analogies Icissicos leg . spin ) .
Denotaremos o momento angular orbital ( que pros sui
anatogo claim co ) por Te o momento angular intrinsic
( spin ) de uma particular por 5.
Usa remos I para
de motor o momento angular total de um determinate
sistema .
^ Re tacos de cornuta ciao
Para obiter as observoiveis Lx, Ly e Lz associates em
MQ com as components do momento angular Le
de uma particular seem spin ( spin - o ),
no 'ssimples -
mentpromo remos as fun gins classsicas a opera dores
que age on no espace de Hilbert.
Ou seja , para a
component Lx do operator momento angular I
Lx = y pz - 2- Py
e de forma geralI = I x F
on de as opera doses de posigiao e momentum satisfazem
[ Xi, pj ] = it sij .
As sin.
names determiner I Li, Lj ] come cyando por
[ Lx, Ly ] = I ypz - zpy , Zpx - Xpz ]
= [ ypz , zpx ] - I ypz , xpz ] - [ Zpy ,2- Px ] t [ Zpy , xpz ]
- -= O =D
= y Tpz ,2-Tpx - [ xpz , Zpy ] = - it ypx - x I pz ,
2- Jpy= - it ypx t it xp y = it ( xp ,
- ypx ) = it Lz-
L z
Catches and logos mostra m que as components do
momento angular I d even satisfazer
[ Li, Lj ] = it Eijk Lk
On de E izz = Ez iz = E 231= I
,E 213 = E 321 = E 132 = - I
e E ijk Sij = O .
2 GeneralizationsOs ties opera dores associates ias components do
momento angular Ioissico
satisfy- u ma relocate
de cornuta .cat que ,mais radiant
,mostra remos tu
origen was proprietordes geometries das rotagois
no espa.co tridimensional. Adotaremos a partin de
agora um ponto de visita mais genal de fini n do
Momento angular I como qual quoi conjunto de
this observiaveis Jx, Jy e JI que satisfazem
[ Ji,
Jj ] = it Eijk Jk .
Into dvzimosentao o operator hermitian
J'
= Jx'
t Jy'
t Jz'
que rats fray I nai fi car de exercicio mortar )
I 52,
I ] -- o
Vamos pennon numa particular seem spin mm
potencial central . Como were mos,
as tri's components
do memento angular E da particular comutam com o
hamiltonians H,
been come L' cornuta com H
.Porin
as components de E new cornuta m entire ri,
de forma
que podemos construe in autostradas simultaneous de
H,
L2 e uma das components de I ( e.g .Lz )
.
Esta situac.ae i igualmentevoilida para o caso
genal I.
Assia,
mono objetivo agora e- determiner
as auto vetoes que vivo simultaneous in J2 e Jz .
Para is so,
i convenient intro dugin as opera dores
Wao hermit anos
Jt = Jx t i
Jy
J - = Jx - i
Jy
e moi- los no lugar de Jx e Jy .
Vamos agora determiner as relaxes de cornuta ai
para os operadores Jt e J - :
[ Jz,
Jt ] = [ Jz,
Jx t i
Jy ] = I Jz,
Jx ] t i I Tz , Ty ]
= it
Jy t i C - ith Jx = hi ( i
Jy t Jx ) = hi
Jt
I Jz ,J - ] = I Jz
,J x - i
Jy ) = [ Jz,
Jx ] - i I Jz, Jy ]
= it
Ty - i f - i ) t
Jx =- t ( J x - i
Jy ) = - hi J -
[ Jt,
I ] = [ Jx ti
Ty,
Jx - i
Ty ] = - i I Jx, Jy ] ti I J
y ,Jx ]
= - i r i th J z t i f - i ) A
J z = 2 t Jz
I J ? Jt ] = [ J'
,J - ] = I 52
,Jz ] = O
Os pro duties Jt J- e J
- Jt Scio dados por
Jt J - = ( Jx t i
Jy ) ( Jx - i
Ty ) = Jx'
- i
Jx Ty t i
Jy Jx t Ty'
= Jx 't Ty
2- i I Jx
, Ty ] = Jx'
t Jy'
t ti
Jz
J-
J t = f J x - i
Jy ) f Jx t i
Ty ) = Jx 't Jy
't i
I Jx, Ty ]
= 5×2 t Ty2
- k
Jz
Jt J - = Jx'
t Jy'
t hi
Jz
J- Jt = Jit Ty
2- A
Jz+
Tt J-
t J - Jt = 2 ( Jx 't Ty'
t JI - JI )-
J2
J2 = I ( Jt J -t J - Jt ) t JI .
3 Automatons e auto vetoes de Tz e J '
Vamos su por
J2 la,
b > = a I a,
b >
Jz I a,
b > = b la,
b >
Veja mos o significand fi si co de Jt .
Jz ( J ± la , D) = ( JI Jz t[ Jz,
J ± ] ) la,
b )
= ( b JI It Jt ) la ,b ) = ( b th ) ( J ± la ,
b > )
ou sipa , se atrium Jt men auto estado de Jz thermos
um outro auto estado de Jz, porin com auto valor
modificado f t ) de una unida de de t .
Joi one atuormos mm auto ertado de J'
nada
acontea,
i. e.
,.
- O-
J ' ( Jt la, D) = f Jt J't I J
'
,Jt ] ) la , b) = a ( J± la , b) )
Podemos escrever
JI la ,b) = C± la
,b It >
on de c ± semi determined a partin de con dicots de
normalizer.cat apropriadcs aos auto estados do momento
angular .
• Auto values de Tze J '
Como J '= Jx 't Ty 't JI e- a soma do modulo
are quadrado de opera dores hermitic nos.
entcio
< 4152143 = (415×214)+54155/43 t Ctl It' 14 ) so .
A scrim a 3 b'
. Gto sign f ca que hairier um
memento que Jt la,bmcix ) = O
que implica que J -Jt la
,bmoix ) = O
Mas J- Jt = Jit Ty
'- A
Jz = J'
- JI - t
Jz.
Portanto
( J2 - JI - b- Jz ) la,
bmcix > = O
a - bZmcix- t b mais = O
,una veg que la
,bmcix ) to .
a = b mais ( bma ; tt )
De mancino ancilogaJ . la ,
b min > = O i. Jt J - la ,
b min > = O
Jt J - = J2
- JE t t
Iz
( J2 - JE th Jt ) la,b min > = ( a - Emin th b min ) la
,b min ) -
- O
: a = b min ( b min- hi )
Assia, podemos inferior que
bmix t t b ma-
x - a --
o ⇒ b mais = - Is tIaFETA'
b min = that Eta
bmcix t b win = O ⇒ bmoix = - b min
:.
- b wax f b S b mail
Alcangaremos bmcix por s cassius aplicagois de Jt
a la,
b min ) .Entao bmoix = b min tnh com he IN
bmoix - b min = n t ⇒bmoix - f - bma
-
x ) = ht
⇒ bma
-
×= hat .
Por convene,ai ,trabalhamos
com j = I , portanto j i inturo on semi - inter ro .
Assim,
a = bmcixlbmax th ) = jt l j t + th )
a =hi 2
j f j t I )
Definimos m tal queb =mt
,de forma que
se j for inter.ro,
todos as valores de m tram bein revoir .
Joi se j for semi - interim,
entao todos as valores de m
tambim serious .Os valores permit dos de m para um
dado j ro-ro
- b ma-
x f b f t bmcix ⇒ - j t f m t f tjt
- j s m s j
Portanto, agora e- convenient esuever as equators
de automatons para J'
e Jz come
J2 I j ,
m > = j I j ti ) hi I j ,m >
Jz I j ,m > = m hi I j ,
m )
com j > o intro on semi . inter ro e - j s m s t j
⇒ m = - j ,- j ti
,. . .
, j - I, j .
Na proxima aula determinate mos os bets normal -
zados
,a representative matricide dos opera dores de
momento angular .
etc . . .