artmetica 6° i.doc

8/18/2019 Artmetica 6° I.doc

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1

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

IDEA DE CONJUNTO: Todos

tenemos la idea de los que es un

conjunto, es una colección,

agrupación, asociación, reunión

de objetos de cualquier

naturaleza.

Estos objetos pueden ser

números, letras, días de la

semana, países, personas, etc. A

estos objetos, en general se les

conoce como “Elementos del

conjunto”.

EJEMPLO:

! El conjunto "ormado por los

números menores que #

$! El conjunto "ormado por las

%ocales

3) El conjunto "ormado por los

pro"esores del &' grado de la

(.E.). “*A+ A-*T(+”.

REPRESENTACIÓN DE

CONJUNTOS

os conjuntos se nombran con

una letra ma/úscula / est0n

"ormados por elementos.

os 1onjuntos se pueden

representar por medio de

diagramas de 2enn o entre

lla%es.

EJEMPLOS

! 3epresentar el conjunto

"ormado por los números

menores que #.

4iagrama de 2E++

Entre lla%es

{ }9;8;7;6;5;4;3;2;1;0= A

$! 3epresentar el conjunto

"ormado por las %ocales.

4(A3A5A 4E 2E++

Entre lla%es

{ }uoiea B ,,,,=

TEORIA DE

CONJUNTOS

A


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2

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

.0.4

.8.6

.2 .1

.5

.3 .7.9

DETERMINACIÓN DE

CONJUNTOS:

POR EXTENSIÓN: -n conjunto

est0 determinado o de6nido pore7tensión cuando se enumeran o

nombran todos sus elementos

que lo "orman.

EJEMPLOS:

{ }9;7;5;3;1= P

{ }amor L ,,,=

5 8 {abril, ma/o, 9. marzo}

POR COMPRENSIÓN: -n

conjunto est0 determinado o

de6nido por comprensión cuando

se da una propiedad que

caracteriza a todos los elementos

del conjunto.EE5);*

)8


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3

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

.1

A ⊂ @ 1 ⊄

A ⊂ *e puede leer de %arias

maneras

“A esta incluida en ”

“A esta contenido en ”

“A es subconjunto en ”“A es parte de ”

CONJUNTOS IGUALES: *e

dice que dos conjuntos son

iguales si tienen los mismos

elementos.

*i A 8 entonces A ⊂ / ⊂ A

EJEMPLOS

! A 8 C@ D@

8 @ C@ D

A / tienen los mismos

elementos

A 8

$! E 8 < #@ @ $=

F 8 < 7>7 ∈ +@ 7 G C=

E 8 F

CONJUNTOS DISJUNTOS:

*i no tienen ningún elemento encomún. *e denota: A H

A 8 {I, i, j} 8 {p, q, r}

A / son disjuntos

+ota: a intercepción de $

conjuntos disjuntos es el %acío∅ .

CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto Finito.J *i se puede

contar todos sus elementos.

EJEMPLO:! A 8 < 7 ∈ +> G 7 G K=

A 8 & ⇒1onjunto

-nitario.

$! 8 < 7 ∈ + > 7 G #=

8 < #, , $, C, D, , &, K, L,

M=

C! 18 < lunes, martes,

miBrcoles,

ue%es, %iernes, s0bado,

domingo=

Conjunto Infnito.J *i no se

pueden contar todos sus

elementos.

EJEMPLOS:

! 4 8 < 7 ∈ + > 7 es par =

4 8 < $@ D@ &@ L@. . . =

$! E 87 es múltiplo de =

E 8 < #@ @ #@ @ $#@. . . =

$! F 8


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4

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

Conjunto Va!o.J El conjunto

%acío no tiene elementos / se

pueden representar de dos

maneras: φ 8 1onjunto 2acío

< = 8 1onjunto 2acío

+ota: El símbolo φ es una letra

griega que se lee: “"Ii”.

EJEMPLOS:

! A 8 < 7 ∈ + > G 7 G & =


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5

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

.5

Conjunto

Pot"nia.J Es

el conjunto

de todos los

#u$

onjunto#

de un

conjunto

dado, si el

conjunto

dado es “A”,

el conjunto

potencia de

“A” se denota

por )NA! / se

lee: “) de A”.

*i A 8 {a, b,

c} ⇒ +O de

elementos

del conjunto

potencia A 8

$n, n 8 C

entonces $C 8

L sub

conjuntos

Ejemplos:

! A 8


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6

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

c! R 8

< Abril,

Agosto =

R 8

d! ( 8 < a, l,

g, e, b, r =

( 8

e! 8 < $$@

$D@ $&@ $L@ C#

=

8

&.;bser%a el

diagrama /

escribe los

símbolos: ∈, ∉ , ⊂ , o ⊄

, según

corresponda

.

a! p A

g! % -

m! s

b! r A

I! 1 n!

c!1

i! u 1

?! t -

d! t 1

j! 1 -

o! A -

e! t

! r 1

p! % -

"!A 1

l! A

q! s A

'. En cada

uno Ialla su

conjunto

potencia

a! A 8 < 7

∈ +, 7 G =

) N A ! 8

b! 8

< p, q , r =

)N ! 8

c! 1 8

< $7 > 7 ∈+, 7 G

=

) N 1 ! 8

d! 48 < 7>7

Es

consonante

de la

palabra

(a() =

)N 4!8

e! E 8 7

Es

%ocal

de la

palabra

amor=

) N E ! 8

NIVEL I

. 4etermina

r el

número de

elementos

del

1onjunto

A 8 < C7JC >

7 ∈ + ∧ #

G 7 G D =

a! b!

$ c! C

d! D e!

$. *e tiene el

conjunto:

A 8 < 7 $S

7 > 7 ∈ + ∧ $

G 7 G & =

.q

.s

. .! ."

.#

.$

B

.%

.&

A

C

U


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7

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

Rallar la

suma de los

elementos

del

1onjunto A

a! b! &$

c! &D d! &&

e! &L

C. Rallar “ a

S b “,

si el

conjunt

o ) es

unitario

)8< ND a J

C ! @ $ @ N

Cb S

C ! =

a! # b!

c! $ d! C

e!D

D. 4ecir si las

proposicio

nes son

%erdadera

s o "alsas.

E 8 < a,

e, < i = =

(. a ∈ E ((.< i = ∈ E

(((. < i = ⊂ E

a! 222 b!

F2F c! 22F

d! FFF

e! 2F2

. +os dan

las tres

relaciones @

(. φ

((. <φ = ((( < # =

)odemos

a6rmar que :

a! 2acío,

-nitario,

-nitario

b! 2acío,

%acío,

%acío

c! -nitario

,unitario

,

unitario

d! 2acío,

-nitario

, 2acío

e! -nitario

, %acío,

%acío.

&. *e tienen

los siguientes

conjuntos :

5 8


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8

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

c! A / 1

d! *ólo 1

e! os tres

M. *i A 8 < b,

c, d, e =

cuantos

elementos

tiene )N A !

a! L b!

& c! D

d! C$

e!&D

#. *i ) NA !

8 &D

1uantos

elementos

tiene el

conjunto A

a! L b!

& c! K

d! e! M

*. E#+i$",o#

","("nto# -" a-aonjunto:A 8 etras

del nombre

1anto 3e/

A 8

{99999

99999

99999.

}

8

)ro%incia deima

8

{99999

99999

99999.

}

1 8+úmeros

naturales

menores

que L

1 8

{99999

9999999999.

}

4 8

+úmeros

pares

menores

que D4 8

{99999

99999

9999.}

E 8

+úmeros

pares

ma/ores

que & pero

menores

que K

E 8

{99999

99999

99999.

}

F 8

+úmeros de

$ ci"ras queterminan en

C / que son

menores

que D

F 8

{99999

9999999999.

}

8

+úmeros de

C ci"ras

menores

que /cu/a suma

de las ci"ras

de las

decenas /

unidades es

K

8{99999

Vamos a

practicar


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9

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

99999

99999}

. E#+i$"

"n ,o#"#/aio#,i$+"# ",#!($o,o

∈

o∉

#"01no++"#/on-a2t"ni"n-o"nu"nta

,o#onjunto#C2 D2 E2 F2G -" ,a/+"0untaant"+io+:a! & 99 b! 991c! CD 9.. d!

LC 9.. Fe! K 9994 "!$ 99 Fg! L 99..E I!C 9.. Fi! 9991 j!# 99 4

%. La##i0ui"nt"#af+(aion"# #"+"f"+"n a,o#onjunto#-" ,a/+"0unta

* 3Cu),"##on4"+-a-"+

a# 5ua,"##on6a,#a#7Co,oa V

o F #"01no++"#/on-a:

a! t ∈ A

N !

b! DC ∉

N !

c! $ ∈ AN !

d! # ∈ 4

N

!

e! & ∈ 1

N !

"! LC ∉ FN !

&. O$#"+4a,o#-ia0+a(a# 5"#+i$",o#","("nto# -" a-aonjunto:

S 8{99999999999}

T 8{99999999999}

P 8{99999999999}

9 8{99999999999}

R 8{999999

99999}

A 8{99999999999}

9 8{99999999999}

R 8{99999999999}

A 8{99999999999}

8{999999

99999}

C 8{99999999999}

'. En a-aa#o-i$uja un-ia0+a(a/a+a ,o#onjunto#-a-o#:a! 5 8{#@ @ K}

+ 8 {L@@ #@ }

3 8 {$@&@ L@ M}

b! ) 8 {$@D@ &@ K}

U8 {C@D@ L@ }

3 8 {@$@ &@ L@ M}

;. D"t"+(ina+ /o+o(/+"n#i


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10

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

#onjunto#:

A 8{

=>=

∈ N ∧ ?= ? *%

}

A 8{

@@@@@@@@@@.}

8{

=>= "#

/,an"ta -",#i#t"(a #o,a+}

8{

@@@@@@@@@@.}

C 8 {* 'B **}

C 8{

@@@@@@@@@@.}

D 8{

/inta2nia2 #anta(a+ia}

D 8{

@@@@@@@@@@.}

*. O$#"+4a",

-ia0+a(a5+"#/on-":

a! V1u0les sonloselemen

tos delconjunto )W

b! V1u0les sonloselementos delconjunto UW

c! V1u0les sonloselementos delconjunto 3W

d! V1u0les sonlos queperten

ecen a) / 3W

. O$#"+4a",-ia0+a(aant"+io+5o(/,"taon

∈

<∉

a! C 99 3b!

$ 99. )

c! 99 Ud!

C 99. U

e! $ 993 "! 9. 3

g! C 99 )I!

99. 3

i! 99 3

j! D99. U

%. Si A 8{

a2 $2 2-2 "

}

8{

/22 +2 #

}

C 8{

*2 2 %2 '}

In-iau),"#-" ,a#

#i0ui"nt"#af+(aion"# #on4"+-a-"+a# o6a,#a#:

a! a ∈ A N!

b! ; ∈ 1 N!

c! F ∈ a N!

d! i ∈ 1 N!

e! ) ∈ N!

"! D ∉ 1 N!

g! A ∉ b N

!

I! {$} ∈ 1N!

&. O$#"+4a",-ia0+a(a5-"t"+(in

a /o+"=t"n#i


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11

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

a! R 8 {7>7∈ + ∧ # G7 Q $#}

b! ( 8 {7>7∈ + ∧ $ ≤7 ≤ &}

c! 8 {7>7es impar∧ C G 7G $}

d! X 8 {7>7∈ +, 7 80

3 ∧ 7 GD}

;. D"t"+(ina+ /o+o(/+"n#i


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12

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

&. D 8{

=∈

N>=≤

*K}

'. E 8{

=∈

N>=≤

'}

;. F 8{

=∈

N>*%≤

=≤

*&}

B. G 8 {= ∈N>=

∧

=≤

'}

. 8{

5∈

N i(/a+> = 8 5

∧

;? ; 5

? *}

. I 8{

=∈

Ni(/a+>*' ?=≤

&'}

*K. J 8{

=∈

N>≤

=≤

*&}

**. 8 {= ∈N>%

≤

=≤

&}

*. L 8{

=∈

N>≤

=≤

= "#

(1,ti/,o-"

}

*%. M 8{

=Q *>=

∈

N∧

= ? ;}

*&. N 8{

=>="# ,"t+a -",a

/a,a$+a,o+ito

}

II. Ma+a4"+-a-"+o V o6a,#o F#"01n

o++"#/on-a

*. A 8{

* %}

∧

8{

% &

' ;}

∈ A N!

∈ A N!

& ∈ N!

C ∈ N!

C ∈ A N!

∉ N!

$ ∉ N!

D ∈ A N!

C ∈ A ∩ N !

$ ∈ A ∩

N !


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13

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

III. Ma+a4"+-a-"+o V o6a,#o F#"01n

o++"#/on-a:

*. A 8{

* %}

∧

8{

* %&}

A ⊂ N!

∅ ⊂ N!

⊄ A N!

{ }⊂ N!

{@$ }⊂ AN !

. A 8{

B &}

∧

8{{

*}

% & B

}

A ⊂ N !

⊂ N !

⊄ AN !

{ }⊂ N !

{{ }}⊂ N

!

IV. O$#"+4a2+"#u",4a5 -i0a #i

#ononjunto#i0ua,"#:

*. A 8{

=>="# ,"t+a -",a /a,a$+a

/",i0+o#o

}

8{

=>="# ,"t+a -",a /a,a$+a

/",i0+o#

}

. A 8{

=>="# ,"t+a -",a /a,a$+a

na+anja

}

8{

=>="# ,"t+a -",a /a,a$+a

ana+anja-o

}

V. O$#"+4a2+"#u",4a5 -i0a3Cu)nto#","("nto# ti"n"7

*. A 8{

=∈

N>* ? =≤

&}

8{

n>n8 = * *

≤

=≤

'}

%. Si A 8{

=∈

N> ? =≤

'}

8{

=∈

N>' ? =≤

}

a,,a+:n

PA]

Q n

P]

&. Si C 8{

%=> =∈

N∧

≤

= ? ;}

D 8{=Q>= ∈ N ∧&≤

=≤

;}

a,,a+:n

PC]

Q n

PD]

VI. S"01n",-ia0+a(a:*

Enu"nt+a to-a#,a#

in,u#ion"#/o#i$,"#

Enu"nt+

a to-a#,a#in,u#ion"#/o#i$,"#

INTERSECCIÓN DECONJUNTOS . aintersecciónde dosconjuntos, esotro conjunto"ormado porlos elementos

quepertenecen aesos dosconjuntos a la%ez.

∩ ⇒

(ntersección

En cadadiagrama, la

OPERACIONES CON


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14

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

parte

sombreada

representa la

(ntersección

de los

conjuntos

EJEMPLOS :

J ;bser%

a el

diagra

ma /

e7presa

por

e7tensi

ón cada

conjunt

o .

A 8 < @ $@

C@ D@ @ =

8 < @ $@

&@ K @ L@ =

1 8 < @ @

&@ K@ M@ =

A ∩ 8 < ,$ =

A ∩ 1 8 < ,

=

∩ 1 8 < ,

&, K =

A ∩ ∩ 1 8

< =

$! *i ) 8

< a@ b@ c@

d@ e@ " =

U 8 < d@

e@ "@ g@

I =

Ralla ) ∩ U

/ representamediante

diagrama de

2enn

RESOLUCIÓ

N

) ∩ U 8

7

es letra de

la palabra

Vi+1 =

Rallar A ∩

RESOLUCIÓ

N

. Da-o#

,o#

Conjunto

# :

1 8 < 7 ∈ + >

7 ≤ #, Y es

par =

4 8 < 7 ∈

+ > 7 G ,

Y es múltiplo

de D=

Rallar 1 ∩ 4

RESOLUCIÓN

A ∩ B C ∩ D ' D

E ∩ ( ' φ

E (P

R

A

B

D

C

C%*&"%s D+s*&"%s

P∩∩R

P

Ø F E =∩

YO LO PUEDO HACER YO LO PUEDO HACER


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15

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

%. Da-o# ,o#

onjun

to#:

3 8 < 7 ∈

+ > 7 Q

$ =

* 8 < 7 ∈

+ > 7 es

di%isor de L =

RAA3 :

3 ∩ *

RESOLUCIO

N

&. S" ti"n"

,o#

#i0ui"nt"

#

onjunto#

A 8 < $7

S C > 7 ∈ +

∧ 7 G

D = 8

< C7 > 7 ∈

+ ∧ 7≤

=

Rallar : A ∩

RESOLUCIO

N

. 4ados los

conjuntos

A8< 7∈ + >

7 ≤ , 7

es impar =

8 C G 7

G $ =

+ 8 < 7∈ +

> $ ≤ 7 ≤

C =

V 1u0ntos

elementos

tiene el

1onjunto

5 ∩ +W

a! & b!

K c! L

d! M e!

#

C. 3 8 < 7> 7

es di%isor de

L =

* 8 < 7>7

es múltiplo

de C =

RAA3 3

∩ *

a! < @ C @

& =

b! < @ C@

& @ M =

c! < C @ &@

M@ L =

d! < C @ M@

L =

e! < @ $@

C@ &@

L =

D. 4ados los

conjunt

os

A 8 < C7 >

7 ∈ + ∧

≤ 7 G =

8< 7 S $ >

7 ∈ + ∧ $ G

7 G K =

RAA3 :A∩


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16

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

B

a! < C @ D

@ @ &

=

b! < &@

K @ L =

c!

< C =

d!

< & =

e! φ

. 4ados los

1onjuntos

) 8 < 7 >

7∈ + > 7

es par =

U 8 < 7 >

7∈ + > 7es impar =

RAA3: )

∩ U

a! )

b! U

c! φ

d! < φ =e! < # =

&. 4ado los

1onjuntos:

A 8 < 7 ∈

+ > 7 Q &=

8< 7 ∈ +

> 7 es

di%isor de

$# =RAA3 :

A∩

a! < @

@ $# =

b! < @ #

@ @

$# =

c! < @ @

@

$# =

d! < #@

$# =

e! < @ #

@ =

K. 4ado los

siguientes

conjuntos

A 8 < C7S

> 7∈ + >

7G =

8 < 2 x >

7∈ + > 7 ≤

D =

RAA3 :n NA∩!

a! b!

$ c! C

d! D e!

L. 4ado los

conjuntos :

4 8 < 7∈

+ > G

7 G $ =

E 8 < 7∈ +> L ≤ 7

G $K =

RAA3 :

n N 4∩E !

a! $ b!

C c! Dd! e!&

M. *i ) 8

< 7∈ + > $

≤ 7 G L =

U 8

< 7∈ + >D G 7 G

M =

3 8 < C

@ @ K@

M =

RAA3 :)∩U∩3

a! < C @

@ K =

b! < @ &@

K@ L =

c! < &@

L =

d! < @ K

=

e! < C @

@ K @

M =

#. *i A8


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17

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

c! D

1

d! $ , D

e! , $.

D

UNIÓN DE

CONJUNTO

S . a unión

de dos

conjuntos es

otro conjunto

"ormado por

todos los

elementos

que

pertenecen a

dicIos

conjuntos.

U ⇒ -+(;+

En cada

diagrama , la

parte

sombreada

representa la

-nión de los

conjuntos

A

1

4

A -

1 - 4

E - F

EE5);* :

. 4ado los

siguientes

conjuntos :

A 8 < C@ @

K@ =

8 < @ K@

M@ =

1 8 < K@

M@ =

4 8 < $@ D@

& =

Ralla /

constru/e un

4iagrama

para cada

caso :

a! A - 8

< C@ @ K@

M =

4iagrama:

A

b! - 1 8

< @ K@

M =

- 1 8

4iagrama:

c! A - 4 8 <

$@ C@ D@ @

&@ K =

4iagrama:

A

4

A - 4

. 4ado los

conjuntos

.5

.7.3 .9

C

.5

.7 .9

.3

.5 .72.

. 4 .6

A

resolver

nuestros

ejercicios



18/240

18

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

A 8 < $7 S

C 7∈ +

7 G =

8 < 7$

>7∈ + ∧

7 ≤ C=

Rallar A -

RESOLUCI

Ó

$. os

conjuntos

A /

tienen

elementosen común@

se sabe

que n N A !

8$

n N b! 8

/ n NA

∩ ! 8 &,-E; n

NA ∩ !

Es igual a :

RESOLUCIÓ

N

C. 4ados los

conjuntos

A 8 < 7∈ +

> $ ≤

7G#@ Es

múltiplo

de

$ =

8 < 7∈

+ > 7 es

di%isor de

$ =

Rallar: n

NA - !

RESOLUCI

ÓN

D. Rallar

la 3eunión

de los

siguientes

conjuntos

/

representa

rlo

gr06came

nte

A 8 < 7∈ + >

7 ≤ D =

8 < 7∈ + >

7$

8 M =1 8 < 7∈ + >

7 J 8 D =

RESOLUCIO

N

. 4el

siguiente

diagrama

V1uantoselementos

tienen el

conjunto

N A ∩

! - 1W

RESOLUCIO

N

. 4ado los

conjuntos :

A8 Y ≤ M,

Y es impar=

8< 7∈

+ > ≤ 7 G

=

Rallar : A -

a!


19/240

19

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

d!


20/240

20

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

se sabe

nNA!8L

n N ! 8C

/ n NA∩ !8 M, luego:

nNA - !

es igual a :

a! $# b!

$ c!$$

d !$C

e!$D&. 4el

siguient

e

4iagra

ma

V 1u0ntos

elementos

tiene el

1onjunto

:NA∩ ! -

1 W

L. *ean los

conjuntos: A

8$ ≤ 7 G $@ 7es

múltiplode C}

U 8 {7 ∈ +>$# ≤ 7 G C$@ 7es

múltiplode &}

Rallar ) ∪ U:

. Da-o# ,o#

a! D

b!

c! &

d! K

e! L

Lo

estamos

logrando


21/240

21

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

o

nj

u

n

t

o

#:

A 8 {7 ∈ +> 7G K} 8 {7 ∈ +> 7≤ 7 G M}1 8 {7 ∈ +>7 8 $#}

Rallar A ∪ ∪ 1:

%. En a-aa#oHa,,o ,o#","("nto# -",

onjuntoint"+#"i7

es la letra dela palabra

puerto}

8 {7>7es la letra dela palabra

pintura}

E 8 { 7 ∈+> L G 7 ≤$}

4 8 { 7 ∈+> & ≤ 7 G$$}

&. Da-o# ,o#onjunto#:

A 8 {* % & ' ;

}

8{

% &' ; B

}

C 8{

%&}

D 8{

B }

a,,a ,a-i6"+"nia 50+afa:a A $ A A C- C A" C D6 D C

'. D" ,o# &Ka,u(no#-", * ao 'ti"n"n

,i$+o -"A+it(tia2 * ti"n"n,i$+o -"

G"o("t+!a5 ' noti"n"nnin0uno-" "#to#,i$+o#.3Cu)nto#a,u(no#ti"n"n#o,a("nt",i$+o -"A+it(tia7

;. D" %&a,u(no#"nt+"4i#ta-o# ;ono"nA+"ui/a5 Puno no

ono"nnin0una-" "#ta#iu-a-"#.*; noono"nPuno.

DIFERENCI

A DE

CONJUNTO

S a

di"erencia de

dos conjuntos

NAZ ! es

otro conjunto"ormado por

todos los

elementos

del conjunto

A que no

pertenecen al

1onjunto .

A Z ⇒

A 4i"erencia

En cada

diagrama la

parte

sombreada

representa la

di"erencia de

conjuntos.

EE5);* :

. *ean os

conjuntos :


22/240

22

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

A 8


23/240

23

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

$ 4ado los

conjunt

os

A 8

< @ $@ C@ D@

=

8

< @ C@ @ K@

M=

RAA3

A∆ [

3AF(1A3

RESOLUCIÓ

N

A∆ 8 NA Z

! - N Z A !A∆ 8 < $@ D

= - < K, M=

A∆ 8 < $@

D@ K@ M=

DIAGRAMA

C. ;bser%a el

4iagrama /

e7presa por

e7tensión

cada

1onjunto .

. ;bser%a el

diagrama

/ e7presa

por

e7tensión

cada

conjunto :

RESOLUCIÓ

N

$. 4ado los

conjuntos :

A 8 < $@

D@ &@ L=

8< D@

&@ L@ M=

1 8 < D@

&@ #=

Ralla /

constru/e un

diagrama

para cada

caso :

a! A Z 8

b! Z 1 8

c! 1 J A

8

C. ;bser%a el

4iagrama

/ e7presa

por

e7tensión

cada

conjunto :

RESOLUCIO

N

P' , /, +, %,& ' , , %,

P ' /, +, &

P' ,

P∆' /, +, &, ,

M'

'

M '

M'

P'

'

P '

P'

P∆'

N



24/240

24

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

D. 4ado

los

conjunt

os:

A8

7 G # ∧

7 es

impar=

8 < @

K@ M@

=

Rallar /

representa

con un

4iagrama

A∆

RESOLUCIÓ

N

COMPLEMENTO DE

UN

CONJUNTO

Es lo que le

"alta al

conjunto para

ser igual al

conjunto

-ni%ersal

N - ! . * i e l

1onjunto A

U ⊂ , su

complemento

se denota porA\ , tambiBn

se usan las

notaciones:

Ac A A

U c ==

*(5](1A5E

+TE:

{ x x AU AU c ∈=−=

4iagrama de

2E++

-

*i A ⊂ , el

complemento

de A respecto

al conjunto ,

se representa

por C A B

{ x B x x C A

B∉∧∈= >

A

AU C A

U −=


25/240

25

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

EJEMPLO

!

*ea:-8


26/240

26

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

d! C A

Be!

C A

A"! C

F

B

2. 4ados losconjuntos:+ 8 -A 8 {C7>7∈ + , 7 ^C} 8 {$7 JC>7 ∈ +, $G 7 G K}1 8 {7 ∈ +>7 es di%isorde G #}Ralla loselementos /gra6ca lossiguientesconjuntos:

a! NA J !\b! A\ Z \

c! 1\ ∩ \

C. 4ados losconjuntos:) 8 {C@ @ K@M}@ U 8 {@$@ D@ &@ L} ∧ 38 {C@ D@ K@ L@

M@ #}Rallar: N) ∪ U!∆ 3

4. En eldiagramaque semuestrasombreala regiónquecorresponde alconjunto:NA ∩ !\ :

. )lanteadosconjuntos

/determinasudi"erenciasimBtrica /sucomplemento:

. 4ados losconjuntos:) 8 {7>7 ∈+ $ G 7 ^L}

U 8 {$7>7∈ +@ ^ 7G }

3 8 {7 esdígito par}

* 8 {7 esdígitoimpar}

T 8 {#@ @$@ 99. @#}

Ralla /representa:

a! ) ∆ Ub! U ∆ A

c! 3 ∆ *d! * ∆ 3

e! ) ∆ )"! N3 ∆

*! ∆ )

$. 4ados losconjuntos:- 8 {#@ $@D@ &@ L}A8 {D@ L}

8 {$@ &}

Rallar: NA\∩ ! ∪ N\∩ A!

C. 4ado elconjuntouni%ersal:

- 8 {@ $@C@ D@ @ &@ K@

L@ M@ #}3 8 {@ C@

@ K@ M} ∧* 8 {$@ C@

D}

Rallar N3 J*!


27/240

27

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

D. 1onsidera

losconjuntos:A 8 {7>7 ∈+ ∧ K ^ 7G $}

8 {7>7 ∈+ ∧ 7 ^#}

a! 1ompletaeldiagrama

b! *i elconjuntore"erenciales +escribepore7tensión:

• \• NA ∪ !\• NA ∩ !\

.*i -

8 { }10


28/240

28

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

c! < @

C@ @

K@ M=

d! < C@ @

K@ M=

e! < C@ D@

@ &=

$. 4ado los

conjuntos

:

1 8

{ }92


29/240

29

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

Rallar A

∆

a!


30/240

30

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

RESOLUCIÓ

N DE

PROLEMA

S CONCONJUNTO

S

Algunos

problemas

que se

resuel%en

mediantesumas /

restas, son

mejor

comprendido

s si usamos

gr06cos /

conjuntos.EE5);* :

! En un

grupo de

ni?os K#

comen

manzanas,L# comen

peras / #

comen

peras /

manzanas,

V1u0ntos

son los

ni?os del

rupoW

RESOLUCIO

N

uego : a

suma de las

partes es

igual al total.

+'4e ni?os

del grupo8

NK# Z

#!S#SNL#J

#!

8 $# S # S

C#

8 ##

$.4e un

grupo de

##

jó%enes, &

estudian, D

trabajan /

$ estudian

/ trabajan,

V1u0ntos no

estudian ni

trabajanW

RESOLUCIÓ

N

uego :asuma de las

partes es

igual al total.

D# S

$ S $#S Y

8 ##

L S Y

8 ##

Y 8

## Z

L

Y 8

3)TA . Ra/

jó%enes que

no estudian

ni trabajan.

C.En una

escuela de

#

alumnos,

D#

estudian

ingles, #

estudian

"rancBs e

inglBs / ##

no estudian"rancBs ni

inglBs

V1u0ntos

estudian

sólo

"rancBsW

RESOLUCIÓ

N

+o estudianni trabajan


31/240

31

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

uego :

D##S# S Y

S ## 8 #

Y S# 8

#

Y 8

#J #

Y 8 #

3)TA . El +'

de alumnos

que estudian

sólo "rancBs

son #

D.4e L

estudiantes

encuestado

s: &

practican

Fútbol, $M

tenis / D no

practican

ninguno de

estos

deportes

V1u0ntos

practican

"útbol /

tambiBn

Tenis W

RESOLUCIO

N

uego:

N & Z Y! S Y

S N $M Z Y!

SD 8 L

&JY S

Y S $M Z Y SD 8 L

MD Z Y 8L

MDJ

L

8 Y

C

8 Y

3)TA .

)ractican

ambos

deportes C

estudiantes.

. E

n un aula K

alumnos

estudian

0lgebra /

geometría,

de los

cuales a D

les gusta

sólo el curso

de

geometría,

a

alumnos les

gustan

ambos

cursos / a

no les gusta

ninguno de

los cursos.

VA cu0ntos

alumnos le

gusta sólo

0lgebraW

RESOLUCI



32/240

32

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

&. E

ntre

personas

que

consumen

Ielados se

obser%aron

las

siguientes

pre"erencias

: K$

consumen

Ielados de

úcuma , M&

consumen

Ielados de

"resa / &

no

consumen

ninguno de

estos

sabores

V1u0ntos

consumen

sólo Ielados

de

úcuma W

RESOLUCI

ON

K. E

n un grupo

de

jó%enes, D#

estudian

aritmBtica,

$C

3azonamien

to

5atem0tico

/ los dos

cursos.

V1u0ntos no

estudian

ninguno de

los dos

cursosW

RESOLUCIO

N

L. 4

e C#

alumnos L

practican

"útbol / &

0squet.

V1u0ntos

practican

los dos

deportesW

RESOLUCIO

N

M. E

n el mes de

abril, Elena

durante $#

días toma

jugo en el

desa/uno /

# días

toma jugo /

lecIe.

V1u0ntos

días toma

solamente

lecIeW

RESOLUCIO

N

. A los

alumnos

del O a?o

9. Tienen

ma/or

inclinación

por:

- a L les

gusta

ot0nica

/

AritmBtic

a.

- a & no

les gusta

nada

- a $# les

gusta

AritmBtic

a

- a & les

gusta

ot0nica

V1u0ntos

alumnos

Ia/ en el

aulaW

$. En una

encuesta

de #


33/240

33

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

alumnos

sobre la

pre"erenci

a por los

cursos de

AritmBtica

/ Algebra,

se

obtu%ieron

los

siguientes

resultados:

-

pre6ere

n

AritmBti

ca

- #

pre6ere

n

Algebra

- $# no

pre6ere

n

ningun

o de

estos

cursos

C. 4e un

grupo de

los

alumnos:

C# pre6eren

enguaje

D# pre6eren

AritmBtica

pre6eren

otros

cursos

V1u0ntos

pre6eren

AritmBtica

/

enguajeW

D. 4e #

estudiante

s

encuestad

os:

$# practican

solo "útbol

$ practican

"útbol /

natación

- # no

practica

n

ningun

o de

estos

deporte

s

V1u0ntos

practican

solo "útbol

/ cu0ntos

sólo

nataciónW

a! C$ / $#

b!

$ / L

c! L / D

d!

$ ó D

e! C# / $

. En una

e%aluación

de ##

alumnos,

&

aprobaron

AritmBtica,

$

aprobaron

AritmBtica

/

eometría

/

aprobaron

sólo

eometría

. V1u0ntos

no

aprobaron

ningunos

de los

cursos

mencionad

osW

a! #

b!

c! $#

d! $

e! C#

&. En una

encuesta

realizada a

$# )adres

de Familia:

D# leen

solamente

el diario a

3epública,

leen

solamente

el diario el

;jo, $ no

leen

ninguno

de estos

diarios.

V1u0ntos

no leen el

diario el

;joW


34/240

34

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

a! $

b! &L

c! DL

d! $#

e! CL

K. 4e C##

alumnos

que

salieron al

recreo: M#

bebieron

1ola

(nglesa,

bebieron

(sac Xola,

#

bebieron

ambas

bebidas.

V1u0ntos

alumnos

bebieron

sólo uno

de estas

bebidasW

a! C#

b!

c!

$#

d! K#

e!

+inguno

L. En una

encuesta

en el

mercado

sobre el

consumo

de pollo /

carne se

encontró

que de los

###

encuestad

os:

- $## no

consume

n

ninguno

de estros

producto

s

- ## no

consume

n pollo

- # no

consume

n carne

V1u0ntos

consumen

pollo /

carneW

M. )lantea #$

problemas

/

resuBl%elo

s

. 4e $

pro"esores

, L

ense?an

to. rado

/ K en &to.

rado

V1u0ntos

ense?an

en los dos

gradosW

a! $

b!

c! D

d! C

e!

$! uan en el

mes de

unio

consume

ca"B por

$# días, tB

/ ca"B por

L días.

V1u0ntos

días

consume

solamente

tBW

a! L

b!M

c! #

d! L

e!

$

C! 4e los

alumnos

de un

aula, #

tienen

libro de

5atem0tic

a / de

5atem0tic

a /

comunicac

ión

integral,


35/240

35

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

V1u0ntos

tienen un

sólo libroW

a! C

b! D

c! $

d! D#

e! $#

D! 3ocío

consume

en el mes

de ma/o:

L días

mantequill

a / K días

mantequill

a /

mermelad

a

V1u0ntos

días

consume

mermelad

aW

a! $#

b! C

c! K

d! M

e!

! -n club

tiene DL

socios, de

los cuales

CK

practican

ajedrez /

$MC tenis

de mes

V1uantos

practican

los dos

deportesW

a! &#

b! $D

c! $

d! DL

e!

L#

&! A una

pe?a

criolla

asistieron

MD

personas

de las

cuales: D#

sólo

cantan, C#

sólo bailan

/ # no

cantan ni

bailan.

V1u0ntos

cantan /

bailanW

a! #

b!

c! $

d! C

e!

D

K! En una

encuesta

IecIa a

$##

alumnos

sobre sus

pre"erenci

as por los

cursos de

AritmBtica

/ 0lgebra

se obtu%o

que : K#

alumnos

pre6eren

aritmBtica,

#

alumnos

pre6eren

0lgebra ,

$#

alumnos

no

pre6eren

ninguno

de estos

dos

cursos.

V1u0ntos

pre6eren

solamente

0lgebraW

a! ##

b!

# c!

$#

d!

e! C#

L! En un aula

de &to

grado Ia/

DL

alumnos:

$& gustan

del cine /

$L del

deporte. *i

$ gustan

de cine /

deporte


36/240

36

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

V1u0ntos

alumnos

no gustan

de

ninguna

de las

acti%idade

sW

a! &

b! $

c! D

d! &

e!

M! 4e ##

personas

L#

consumen

la bebida

* / K la

bebida X,

si &C

consumen

las dos

bebidas

Vcu0ntos

consumen

la bebida

*W

a! $

b! M$

c! K

d! CM

e!

#! 4e un

grupo de

DL

personas a

$D les

gusta el

Ielado de

%ainilla, a

$ de

cIocolate

/ aL

ninguno

de los dos

sabores VA

cuantos

les gusta

los dos

saboresW

a! D

b! D#

c! L

d!

e! &

. 4ados los

conjuntos:

A 8 {7 ∈

+> C


37/240

37

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

a! b!

& c! K

d! L

. 4e L#

alumnos

que

rindieron

e7amen

de

aritmBtica

/ 0lgebra

CK

aprobaron

AritmBtica,

D#

aprobaron

_lgebra /

no

aprobaron

estos dos

cursos.

V1u0ntos

aprobaron

ambos

cursosW

a! L

b! #

c! D

d! $

e!

L

&. 4ados los

conjuntos:

5 8 {$7J>

7 ∈ + ∧ $ ≤ 7

7 ∈ + ∧ # <

7 7 ≤ }

8{7 ∈

+> D


38/240

38

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

#. *e

realiza una

encuesta a

#

madres de

"amilia, de

las cuales

a L# les

gusta la

costura, a

M les

gusta la

repostería

/ a D la

costura /

la

repostería.

VA cuantas

madres de

"amilia no

les gusta

ninguno

de los dos

o6ciosW

a! #

b! $#

c! C#

d! D#

e! #

P+o$,"(a#

u" #"

+"#u",4"

on %

onjunto#:

P+o$,"(a *:En el colegio

“*an Agustín”

se Ia

e%aluado a

###

alumnos en

lasasignaturas

de lenguaje,

matem0ticas

/ biología,

obteniBndose

los siguientes

resultados:a! &L#

alumnos

aprobaron

lenguaje

b! C$#

alumnos

aprobaronbiología

c! D##

alumnos

aprobaron

sólo

lenguaje.

d! #alumnos

aprobaron

lenguaje /

biología

pero no

matem0tic

a

e! K#

alumnos

aprobaron

biología /

matem0tic

a pero no

lenguaje.

"! D#

alumnos

aprobaron

biología,

lenguaje /

matem0tic

a.

*i todos los

alumnos

aprobaron

por lo menos

uno de estos

cursos:

V1u0ntos

aprobaron

sólo biologíaW

V1u0ntos

aprobaron

sólo lenguaje

/

matem0ticaW

V1u0ntos

aprobaron

sólo

matem0ticaW

R"#o,ui


39/240

39

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

la

intersecció

n de los

tres

conjuntos!

. 4onde:

8

alumn

os

que

aprob

aron

lengu

aje.

8

alumn

osque

aprob

aron

biolog

ía.

5 8

alumn

os

que

aprob

aron

mate

m0tic

a.

e! K#

alumn

os

aprob

aron

biolog

ía /

mate

m0tica pero

no

lengu

aje, o

sea

que

estosK#

alumn

os son

eleme

ntos

comu

nesde los

que

aprob

aron

solam

ente

biolog

ía /

mate

m0tic

a

Nest0n

en la

inters

ección

e7clus

i%a de

ambo

s

conju

ntos,

%er el

diagra

ma! .

d! #

aprobaron

lenguaje /

biología

pero no

matem0tic

a,

entonces

estos #

alumnos

pertenece

n sólo a la

intersecció

n de los

que

aprobaron

lenguaje /

biología

N%er el

diagrama!.

c! D##

aprobaron

sólo

lenguaje.

Estos

alumnos

son

elementos


40/240

40

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

que

pertenece

n al

conjunto

e7clusi%o

de los que

aprobaron

enguaje

N%er

diagrama!

b! C$#

aprobaron

biología,

sea:

7 8 `

alumnos

que

aprobaron

solo

biología.

4el

gr06co:

# S D# S

K# S 7 8

C$#

$

S

7 8

C$#

7 8 C$#

Z $

7

8

&

#

R

/

t

a.

N` de

alumnos

que

aprobaron

sólo

biología!.

a! &L#

aprobaron

lenguaje

sea:

/ 8 `

alumnos

que

aprobaron

sólo

lenguaje /

matem0tic

a.

4el

gr06co:

D## S #S D# S /

8 &L#

D

M# S

/ 8

&L#

/

8

&

L

#

Z

D

M

#

/ 8

M#

3pta

.

N` de

alumnos

que

aprobaron

sólo

enguaje /

5atem0tic

a!.

Fina,("n

t"2 como

Ia/ ###

alumnos /

todos

aprobaron

por lo

menos uno

de estos

tres cursos

Nesto

quiere

decir que

en el

diagrama,

"uera de

estos tres

conjuntos

no Ia/

elemento!,

podemos


41/240

41

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

Iallar

cu0ntos

alumnos

aprobaron

sólo

matem0tic

a, de la

siguiente

manera:

*ea z 8 `

alumnos

que

aprobaron

sólo

matem0tic

a:

4el

gr06co:D##S#SD#SM

#SSK#Sz8

###

M# S

z 8

###

z 8

### J

M#

z 8 M#

N` de

alumnos que

aprobaron

sólo

matem0tica!.

P+o$,"(a :

*e

encuestaron

a L# amas

de casa sobre

sus

pre"erencia

por los

canales de

tele%isión A,

/ 1

obteniendo

los siguientes

resultados:

# %en el

canal A

$# %en el

canal

C# %en el

canal 1

&& %en los

canales A / 1

KL %en los

canales A /

M# %en los

canales / 1

$ %en los

tres canales

3esponder a

las siguientes

preguntas:

i! V1u0ntas

amas de

casa no

%en

ninguno

de estos

canalesW

ii! V1u0ntas

amas de

casa %en

solamente

el canal AW

iii! V1u0ntas

amas de

casa %en

solamente

el canal W

i%! V1u0ntas

amas de

casa %en

solamente

el canal 1W

%! V1u0ntas

amas de

casa %en

solamente

uno de

estos

canalesW

%i! V1u0ntas

amas de

casa %en

el canal A

pero no el

W

%ii! V1u0

ntas amas

de casa

%en el

canal

pero no el

1W

%iii! V1u0

ntas amas

de casa

%en

solamente

dos

canalesW

i7! V1u0ntas

amas de

casa %en

por lo

menos dos

canalesW

7! V1u0ntas

amas de

casa %en

el canal A


42/240

42

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

o el canal

pero no

el canal 1W

R"#o,ui


43/240

43

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

$)

%en sólo uno

de estos tres

canales

8 L S

D S $&

8 DL

%i!

%en A pero no

8 L S D

8 C$

%ii!

%en el canal pero no el 1

8 $& S

D

8 C#

%iii!

2en

solamente

dos canales

8 D S $& SCL

8 KL

i7!

2en por lo

menos doscanales

8 D S $& S

C L S $ 8

C#

7!

2en el canal

A o pero no

el 1

8 L S $& S

D

8 DL

P+o$,"(a %:

En una

batalla donde

inter%inieron

## Iombres

D$ "ueron

Ieridos en la

cabeza, DC en

el brazo, C$

en la pierna,

en la

cabeza /

brazo, L en el

brazo / la

pierna, & en

la pierna / en

la cabeza

V1u0ntos

"ueron

Ieridos en la

cabeza,

pierna /

brazo a la

%ezW

R"#o,ui


44/240

44

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

En este caso

en que se

desconoce la

intersección de

los tres

conjuntos,

con%iene

aplicar lo

siguiente:

n N1! S nN! S nN )!

Jn N1 ∩ ! J nN

)! J nN )∩ 1! S n N1∩ ∩ )! 8 total

D$ S DC S C$

Z Z L Z & S

7 8 ##

M

LS

7

8

#

#

Problem

as

P+o$,"(a *.

4e

deportistas

se obser%a

que $D de

ellos

practican

"útbol, $&

practican

b0squet / $

practican

%ole/@ C

practican

"útbol /b0squet@ #

practican

b0squet /

%ole/, M

practican

"útbol / %ole/.

*i & practicanlos tres

deportes.

V1u0ntos no

practican

ninguno de

estos

deportesW

a! b!

$ c!

C

d! # e!

P+o$,"(a .

En una

encuesta

realizada a

un grupo de

##

estudiantes

de un

instituto de

idiomas se

obtu%o el

siguiente

resultado:

$L estudian

espa?ol@

C# estudian

alem0n@

D$ estudian

"rancBs

L estudian

espa?ol /

alem0n

# estudian

espa?ol /

"rancBs@

estudian

alem0n /

"rancBs

C estudian los

tres

idiomas

V1u0ntos

estudiantes

toman el

"rancBs como

único idioma

de estudioW

a! $# b!

C# c!

C

d! C$ e!

$L

P+o$,"(a %.

4e un

grupo de M

personas se

obser%a lo

siguiente:

L personas

leen sólo

el

“1omercio

”@

& personas

leen sólo la

“3epública”

$# personas

leen sólo el

“E7preso”

K personas

leen el

R"u"+-a u":n N1! se lee: “número deIombres que "ueron Ieridos

' 2R!".


45/240

45

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

“1omercio” /

“3epública”

L personas

leen el

“1omercio /

el “E7preso”.

C personas

leen la

“3epública, el

“E7preso” /

el 1omercio.

$ personas

no leen

ninguno de

estos diarios.

V1u0ntas

personas leen

el “E7preso”W

a! $ b!

$L c!

$M

d! $# e!

$D

P+o$,"(a &.

4e un

grupo de

estudiantes

que lle%an

por lo menos

uno de los

tres cursos

que se

indican se

sabe que:

K# estudian

inglBs,

D# estudian

química,

D# estudian

matem0tica,

estudian

matem0tica /

química

$# estudian

matem0tica e

inglBs

$ estudian

inglBs /

química

estudian los

tres cursos.

V1u0ntos son

los alumnos

en totalW

a! ##

b! L#

c!L

d! M# e!

M

P+o$,"(a '.

-na

encuesta

realizada

entre L$

madres de

"amilia arrojó

el siguiente

resultado:

DC saben

costura@ DK

saben

repostería@ L

saben tejido,

M saben

costura /

repostería@ $L

saben

costura /

tejido@ C#

saben

repostería /

tejido@

saben las tres

ocupaciones.

V1u0ntas

amas de casa

saben sólo

una de las

tres

especialidade

sW

a! $ b!

$K c!

$M

d! C# e!

C

P+o$,"(a ;.

4e L

lectores de

re%istas:

DK leen la

re%ista “A”

C leen la

re%ista “”

& leen la

re%ista “1”

leen la

re%ista “A” /

“”

C leen las

re%istas “”

/ “1”

leen las

re%istas “A”,

“” / “1

K leen las

re%istas “A” /

“1

V1u0ntos

leen la

re%ista A pero

no la re%ista

W

a! $# b!

C# c!

CK

d! C$ e!

$

P+o$,"(a B

En un


46/240

46

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

campeonato

atlBtico

interescolar

participaron

$L personas

entre público

/ atletas.

Todos los

atletas

recibieron

medallas

distribuidas

de la

siguiente

manera:

M reciben

medalla de

oro

reciben

medalla de

plata

C# reciben

medalla de

bronce

D# reciben

medalla de

oro / plata

$ reciben

medalla de

plata /

bronce

& reciben

medalla de

oro / bronce

$# reciben las

tres medallas

VUuB

cantidad de

personas

estu%ieron

como

espectadores

W

a! ##

b!

c!

#

d! #

e! $#

P+o$,"(a

4e D##

alumnos, se

sabe con

certeza que:

# estudian

5atem0tica

$D# estudian

eogra"ía

M# estudian

iteratura

L# estudian

5atem0tica /

eogra"ía

## estudian

/ eogra"ía /

iteratura

# estudian

5atem0tica /

iteratura

D# estudian

los tres

cursos

V1u0ntos

alumnos

estudian por

lo menos dos

de los cursos

mencionados

W

a! C#

b! D#

c!

#

d!

e! K#

P+o$,"(a

4e CL

estudiantes

que

des6laron en

un batallón:

L usaban

anteojos

M lle%aban

saco

$# usaban

corbata

M usaban

anteojos /

saco

K usaban

saco /

corbata

K usaban

anteojos /

corbata

V1u0ntos

estudiantes

usaban

anteojos,

saco /

corbataW

a! b!

$ c!

C

d! D e!

P+o$,"(a

*K En una

encuesta

realizada a

$M

tele%identes:

CK %en el

canal D

CD %en el

canal

$ %en el

canal $


47/240

47

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

$ %en los

canales D /

K %en los

canales / $

%en los

canales D / $

D# %en otros

canales

V1u0ntos

tele%identes

%en los

canales D, /

$W

a! b!

K c!

L

d! $# e!

#

as

siguientes

preguntas se

re6eren al

siguiente

problema:

P+o$,"(a :

Entre #

personas que

consumen

Iamburguesa

s se

obser%aron

las siguientes

pre"erencias

en cuanto al

consumo de

las salsas de

ma/onesa,

etcIup /

mostaza:

L# consumen

ma/onesa@

K# consumen

etcIup,

M# consumen

mostaza,

# consumen

ma/onesa /

etcIup,

C consumen

etcIup /

mostaza

D# consumen

ma/onesa /

mostaza

C# consumen

las tres salsas

P+o$,"(a

** V1u0ntas

personas no

consumen

ninguna de

estas salsasW

a! b!

& c!

K

d! L e!

#

P+o$,"(a

* V1u0ntas

personas

consumen

solamente

etcIupW

a! # b!

$# c!

K#

d! e!

D

P+o$,"(a

*% V1u0ntas

personas

consumen

solamente

mostazaW

a! M# b!

D c!

C#

d! D# e!

C

P+o$,"(a

*& V1u0ntas

personas

consumen

solo una de

estas tres

salsasW

a! b!

K# c!

L#

d! M# e!

##

P+o$,"(a

*' V1u0ntas

personas

consumen

mostaza pero

no etcIupW

a! b!

D c!

#

d! K# e!

C#

P+o$,"(a

*; V1u0ntas

personas

consumen

ma/onesa /

etcIup pero

no mostazaW

a! b!

$ c!

L

d! $# e!

#


48/240

48

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

P+o$,"(a

*BV1u0ntas

personas

consumen

etcIup o

mostaza pero

no

ma/onesa W

a! # b!

c!

&

d! e!

K#

P+o$,"(a

* V1u0ntas

personas

consumen

e7actamente

dos salsasW

a! $# b!

C# c!

C

d! $ e!

D#

P+o$,"(a

* V1u0ntas

personas

consumen

por lo menos

dos salsasW

a! K# b!

& c!

L#

d! D# e!

#

P+o$,"(a

K V1u0ntas

personas no

consumen ni

ma/onesa, ni

etcIupW

a! D b!

# c!

d! e!

&

P+o$,"(a

* V1u0ntas

personas no

consumen

ma/onesaW

a! & b!

c!

#

d! K# e!

K

P+o$,"(a

V1u0ntas

personas no

consumen

mostazaW

a! b!

K# c!

D

d! L e!

L#

C,a4" -"

+"#/u"#t

a

.A

&.4

.A

&.4

$.

K.1

$.4

K.1

C.1

L.1

C.

L.1

D.E

M.4

D.1

M.

.

#.E

.A

$#.$.4

$$.A

EL!C!"AC!O#E$LO

LO%RA$"E


49/240

49

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

PAR

ORDENAD

O : 4os

objetos o

cosas dadasen cierto

orden "orman

un par

ordenado.

Así :

N a . b !

)rimera

*egunda

1omponente

3ecuerda :

N a @ b ! ≠ N

b @ a !

PRODUCT

O

CARTESIA

NO:*e llama

producto

cartesiano de

dos conjuntos

A / / s e

escribe A 7 ,

al conjunto

de todos los

pares

ordenados

posibles de

modo que la

primera

componente

pertenezca al

conjunto A /

la segunda

componente

pertenezca al1onjunto .

EE5);* :

! *i A 8


50/240

50

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

4iagramas:

RESOLUCIÓ

N

1748


51/240

51

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

C. ;bser%a los

siguientes

productos :

E 7 F 8 N

a@ $ !, N a @

C! , Na@ D!

N b@ $!, N b@

C!, N b@ D!=

Enumera los

elementos

del conjunto

E / los

elementos

del 1onjunto

F

RESOLUCIO

N

D. 4ado el

4iagrama de 4oble entrada.

4etermina

por e7tensión

los

1onjuntos A

/ .

RESOLUCIO

N

. En cada

caso Ialla el

%alor de “Y”

si

los pares

ordenados

son iguales:

a! *i N 7 S

C@ L ! 8

N K @ 7

S D !

b! *i N M @

7 Z C !

8 N 7 S

D @ $ !

. *i A 8


52/240

52

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

D. *i F 7

8N@!,

N@$!,N$@$!,

N$@!

)odemos

a6rmar que:

a! F 8

b! F ≠

c! F ∩ 8 φ

d! F 8 < =

e! 8 < $ =. *i ) 8


53/240

53

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

a! b! $

c! C d! D

e!

M.

*abiendo

que N Y S

D @K!8N L@

K !

El 2alor de :

Y$ J & es :

a! # b! $

c! D d!&

e! L

#. *i N m S

D @ L ! 8

N @ n Z $ !,

Iallar

“mSn”

a! # b!

c! $ d! C

e! D

SISTEMA

DE

NUMERACI

ÓNDECIMAL :

En el sistema

de

+umeración

4ecimal se

utilizan sólo

diez símbolos

para

representar

cualquier

número,

estos

símbolos

llamados

dígitos son :

#@ @ $@ C@

D@ @ &@ K@

L@ M.

Este sistema

se denomina

decimal o de

base diez

porque

siempre se

"orman

grupos #

así:

-+(4A4E* :*on

elementos sin

agrupar

4E1E+A* :*

on grupos de

# unidades

1E+TE+A* :

*on grupos

de #

4ecenas

-. 5(A3 :

*on grupos

de #

1entenas

4. 5(A3 :

*on grupos

de # -.

5illar

1. 5(A3 :

*on grupos

de # 4.

5illar

;bser%a las

siguientes

equi%alencias

:

- 8

-nidad

4 8 # -

1 8 # 4

8 ## -

-m 8 # 1

8 ### -

SISTEMAS DENUMERACIÓN

"u

puedes &


54/240

54

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

4m 8 #

-m 8 #

### -

1m 8 #

4m 8 ##

### -

-5 8 #

1m 8 ###

### -

45 8 #

-5 8 #

### ###-

15 8 #

45 8 ##

### ### -

TALERO DE

VALOR

POSICIONAL

5(;+E* 5(A3E*

15 45 -5 1m

1 E + T E + A 4

E 5 ( . . ; +

4 E 1 E + A 4

E 5 ( . . ; +

- + ( 4 A 4 4

E 5 ( . . ; +

1 E + T E + A 4

E 5 ( . . A 3

;bser%a

cómo

podemos

descomponerde distintas

"ormas un

mismo

número.

VALOR DE

POSICIÓN

DESCOMP

OSICIÓN

POLINIMICA

Va,o+ -"

Po#ii


55/240

55

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

8

M7#C SD7#$

S7#S&

ESCRITUR

A

LECTURA

DE UNNUMERO

a! Al escribir

un número

+atural,

"ormamos

grupos de

tres

dígitos a

partir de la

derecIa

Iacia la

izquierda.

b! a lectura

se Iace de

izquierda a

derecIa.

EJEMPL

O

-

m

5 ( . 1

4

-

i l l o n e s1

m

5

4

m

5

-

m

5

5 i l

$ # # # $

*e lee:

5il $##

illones $

mil CLD

millones

D&mil &C$

unidades.

. Escribe en

el

parBntesis

la letra

que

correspon

da.

a! D 4 N

! D# ###

b! D 4m N

! D# ###

### ###

###

c! D -5 N

! D## ###### ###

d! D1m5 N

! D#

e! D 4 N

! D ###

###

$. Esc

ribe el

número de

unidades

que

corresponde

en cada

caso:

a! & 4m

8

b! L 15

8

c! -m5

8

d! K 1

8

e! 1m

8

C. Escribe la

descomposi

ción

polínimica

de cada

número.

a! & DL

8

b! C #L

$C& 8

c! ###

### ## 8

d! D &L

C$ 8

e! $ ##C

D## 8

D. Esc

ribe el

número que

corresponde

a cada

4escomposi

ción:



56/240

56

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

a! -5 S

D4 S

1m 8

b! C S

15 m

SD- 8

c! K1m S

45 S

L1 8

d! 1m5

SC

SL45

S&458

e! D-m5

S1m

SL45

SC48

. 1o

mpleta el

cuadro con

el +úmero o

lectura que

corresponda

.

NUMERO$& ### D#

Treinta / ocIo millones

setenta mil cuatro#C C## ##

Tres illones cinco mil

doscientos ocIo #C& $L*etenta / ocIo 5illones

treinta / dos milC D# C

$##4oce illones 4oscientos

cuatro mil ##C ##K;cIo millones -n mil dos

### ###1uatrocientos treinta /

cinco mil#K ### ##K

illones $#K mil #

millones$C ## ##

. a

escritura

correcta

de un

millón dos

es:

a! $##

###

b! $#$

###

c! ###

#$#

d! ###

##$

e! ###

$##

$. 4ado el

número CK

LM$V1u0l

es el %alor

de

posición

del dígito

KW

a! K 4

b! K -

c! K -5

d! K 45

e! K 1

C. *i tienes

$&45 @

K4@ #-m@

L- V1u0l

es el

númeroW

a! $& K#

b! $& KL

c! $K#

#KL

d! $

#KL

e! $K#

K#L

D. Escribe el

número C

MM# ##

a! Tres

millones

no%ecie

ntos

no%enta

/ uno

b!Tres mil

no%enta /

uno

c!Tres

millones

no%ecientos

no%enta mil

uno

d!Tres mil

no%ecientos uno

e! Tres mil

millones

no%ecientos uno.

. 4ora Ia

escrito: L

7 #C S L


57/240

57

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

7 #

V1u0l es el

númeroW

a! L L##

b! L #L#

c! L ##L

d! L L#L

e! L LL#

&. Tengo ##

-m

V1u0ntas

decenas

de millar

tengoW

a! # 4m

b! ## 4m

c! 4m

d! # 1m

e! ## 1m

K. a

producción

de una

ladrillera

es er día

$ millares

, $do día,

$

decenas /

el Cer día

$#

centenas V

1uantos

ladrillos Ia

producido

en TotalW

a! $# ##

b! $ ##

c! $ ##

d! $# ##

e! #$ ##

L. *( cambio

el M por el

& en el

número

M#&, Ven

cuanto Ia

%ariadoW

a! C

-nidad

es

b! C##

-nidad

es

c! C#

-nidad

es

d! C#&

-nidad

es

e! C

-nidad

es

M. *i cambio

el K por el

L en el

número

K#. VEn

1uanto a

%ariadoW

a!

-nidad

b! #

-nidad

es

c! ##

-nidad

es

d! #

-nidad

es

e! ###

-nidad

es

#. 4a

do la

e7presión

D 7 #

S C 7 #$ S

$ 7#'

a! D##

#C#

b! D##

C#$

c! DC$

###

d! D#C

$##

e! D#C

#$#

Ya terminaste'


58/240

58

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

Al

representar

los números

naturales en

la rectanumBrica

podemos

establecer

relaciones de

orden.

# $ C

D & K

L M. ∞

(U-(E34A

4E3E1RA

• -n número

es ("no+

u" otro si

est0

ubicado a

la

iui"+-a

de Bl en la

recta

numBrica

N“G” se lee

menor que

!

EE5);

! C G K ⇒

“ C es

menor que

K ”

$! C$ G D# ⇒

“ C$ es

menor que

D# ”

• -n número

es ma/or

que otro si

estaubicado a

la derecIa

de Bl en la

recta

numBrica N

“ Q ” se

lee ma/or

que !

Ejemplo

! L Q C ⇒

”L es

ma/or que

C”

$! $G $# ⇒

“$ es

ma/or que

$#”

• *i

dos

números

naturales

tienen

di"erente

número de

ci"ras, es

menor

aquel que

tiene

menos

ci"ras.

EE5);*

! $C G

$

$ 1i"ras

C 1i"ras

$! DLC G

$#C

C 1i"ras

1i"ras

• *i dos

números

tienen la

misma

cantidad

de ci"ras,

se

empieza a

comparar

sucesi%am

ente

desde las

correspon

dientes

ordenes

superiores

. Rasta el

orden de

las

unidades.

Ejemplos

! $ C $ $ C

K ⇒ $C$G $CK

RELACION DE

ORDEN

2 7


59/240

59

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

iguales

iguales

$! L C & $

C Q L C D

$ C

APROXIMA

CIÓN DE

UN

NUMERO

NATURAL

! V1ómo

apro7ima

mos un

número a

la -""na

()#

/+


60/240

60

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

apro7i

ma a &

###

c! C C L

*e

apro7i

ma a D

###

! Escribe en

cada caso

el signo Q,

G ó 8

según

correspon

da.

a! $ DM

$K& .........

.....$

DM $K&

b! $# L#L

D................. $#

LL# D

c! LC $

K$D..........

....... LC

$ K$D

d! D KD&

$C& .........

........ D

KD& C$&

e! K $#D

K& .........

........ K

$#D &K

"!K-5SC1m

S&-m

S$19.9K

C#& $##

g! 45SL&1

mS&-mS$

19.# L$#

##C

I! &-5S$1

mS4m9

M-5SL4m

S&-m

i!&45

SD1SL499 9. &

### DL#

j!L# #D&

#KC

9999.

L# #&D

KC#

$! -tiliza

todas las

ci"ras /

escribe el

número

menor ,

luego el

numero

ma/or.

CIFRAS

MENORD, , C

C, D, , LK, $, D, , && , M, C, L, $, # , D, C, D ,

, M

C! Apro7ima

los

números

al orden

de las

decenas.

LD se

Apro7ima

A :

C&K se

Apro7ima

A :

&$ se

Apro7ima

A :

CL se

Apro7ima

A :

KD&M se

Apro7ima

A :

D! Apro7ima

los

números

al orden

de las

1entenas.

KL se

Apro7ima

A :

M$D se

Apro7ima

A:

CL se

Apro7ima

A :

$ KDse

Apro7ima

A :

M LD& se

Apro7ima

A

! En la tabla

se

muestra la

super6cie



61/240

61

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

del

territorio

peruano /

los )aíses

limítro"es

a Bl.

Apro7ima

a la

1entena

de 5illar

m0s

pró7imo.

)A(* A3EA

Xm)E3- $L

$&;(2(A #ML

L3A*( L DK

D#C1R(E K& &$M1;;5(A D

KDLE1-A4;3 $K$ #DD

Uti,ian-o", ("no+ti"(/o/o#i$,"-"#a++o,,a,o#

#i0ui"nt"#"j"+iio#:

*. 3C


62/240

62

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

b! CD CL$9999CD D$$

c! $ &C$DM9999$ &D$D

d! MD M$KM&999$CL LMC#L

&. Co(/a+a5 "#+i$"V o F "na-a/+o/o#ii


63/240

63

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

&. E=/+"#a#i($


64/240

64

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

sistema

decimal

METODO I:

DESCOMPOSICIÓN

POLINÓMI

CA

$DKN L !

8 $ 7 L$ S

D7L SK

8 $7 &D S C$

SK

8 $L

S C$

SK

8 &K

METODO II

RUFFINI :

$DK N L !8

&K

EE5); $:E7presar C #

$ DN K !

METODO (:

4escomposici

ón )olinómica

C# $ D N K ! 8C

.KD S # .KCS

$.K$ S.KS D

8

K C$

METODO

II: RUFFINI

C #

$

D

K $

DK #DC

KC#L

C

$

DM

#DD

KC$

C# $D N K !

8 KC$

-o CASO:

D" a#" *K a

a#" nEl

procedimient

o que se

sigue es

di%isiones

sucesi%as.

EE5); E7presar C&

en base L

C

& 8 DD N L !

EE5); $

3epresenta

DC$ en el

sistema

Uuinario

D

C $ 8 C $ $N !

%"+ CASO :D" a#" n a

a#" (

En este caso,

primero se

pasa a base

decimal /

luego a la

base

deseada.

ro

$do

Ejemplo :

E7presar $KD

NM! en base

! $KD N M !

ase #

$KD N M ! 8 $

7 MCSK 7 M$ S

D 7 M S

8 $ # & $

Bs/ )

Bs/ 10) Bs/)


65/240

65

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

$do! $ # & $

ase

$ K

D N M !

8 C # $

$ $ N !

EE5); $:

EY)3E*A3:

$CND! A A*E

N L !

ro! $C ND!

ase N#!

$C ND! 8

$ 7 D$ S 7 D

S C

8

CM

$do! CM

ase N L !

$ CN D ! 8 D C N L !

(.3ealiza las

siguientes

con%ersione

s

! D C

A A*E N M !

D! $ & D A

A*E

N K !

! $ D L N

M ! A

A*E

N # !

&! C D $ N

& ! A

A*E

N # !

K! $ C N D

! A

A*E N L

!

L! K N

L ! A

A*E N

!

((. En cada

caso Ialla

el %alor

numBrico

de cada

ci"ra

desconoci

da.

!

14)5 =ab

$!

15)3 =abc

C!

( )7135)9 =ab

D!

( )5413)4 =abcd

!

( )5413)4 =abcd



66/240

66

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

&! *i

33)53 =n

, Rallar

“n”

*. R"a,ia,a##i0ui"nt"#on4"+#ion"#a/,ian-otu#onoi(i"nto#:

a! $K abase

b! D abase &

c! $C abase &

d! D abase M

. E=/+"#a"n ",#i#t"(a-"i(a,

a! D&NK!

b! $##$ND!

c! C $D#N!

d! CLNM!

%. R"a,ia,a##i0ui"nt"#

on4"+#ion"#:

a! ##N$! abase C

b! $D#N!a baseC

c! K#LNM! abase &

d! $C#ND!a baseL

*. R"a,ia"n tuua-"+no,a##i0ui"nt"#on4"+#ion"#:

a! D abaseD

b! $D aba

seK

c! KM& abase&

d! CL abase$

. E=/+"#a",

#i#t"(a-"i(a,

a! D$CN&!

b! $$NC!

c! $N!

d! C$NK!

%. Con4"+ti+-" una$a#" na ,a $a#"(

a! D##

#CN!

abaseM

b!

#N$!

abase

c! $#KNL!abase&

d! #NK! ab

as


67/240

67

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

eD

&. Si

Ma+i",a/"#a B;0 "n$a#" 3Cu)nto/"#a "n$a#" *K7

'. a,,a+ ",4a,o+ -"n2 #i*Kn 8%&B

;. a,,a+ ",4a,o+ -"n #i:*%n 8%*'

B. a,,a+ ",4a,o+ -"n #i:K%n 8'';

. a,,a+ ",4a,o+ -"n #i:

'K*n 8;'

. a,,a+ ",4a,o+ -"aQ$ #i:

)7)9 baab =

*K. a,,a+", 4a,o+-" aQ$#i:

* 897 abbaab +=

*. 3Cu)nto#

n1("+o#

"nt"+o#

Ha5

"nt+":

&&*' 5

*;*7

/ta

:

*&

. Si

KKK%

8 abc .

a,,a+ E

8 a% Q $

Q

/ta

:

%%

%. Si:

)4)5 baaabb =

: a . $

(!ni(o#.

a,,a+:

babbaa +++

&. Si: ab

+"/+"#"nta

", (a5o+

n1("+o -"

,o#

#i0ui"nt"#

#i#t"(a#

nu(+io#:

*K&

*K% &*'

E=/+"#a+

ab "n %

R

/ta

:

*

K


68/240

68

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

. *i

)7)61 mnmn +=

Rallar E 8

Nmn S nm

S mn!m

a! #

b! &$c! M##

d! L$K

e! LCK

$. *i

)8)9 ==mnpabc

Rallar: [$NaSbSc!SC

NmSnSp!]m J

a! $C##

b! $#

c! &$D

d! $$#e! #

C. -n número

de $ ci"ras

de base

al

con%ertirse en base

M se

representa

r0 por las

dos ci"ras

pero

dispuestas

en orden

in%erso.

4icIo

número en

el sistema

decimal

es: Nci"ras

mínimas!

a!

b! C

c! &

d! M

e! C

D. *i:nm

mn

+8

Rallar: E 8

Nmnm ++

!n

4ar como

respuesta

la suma de

ci"ras de

E:

a! #

b!

c! $

d! C

e! D

. *i se

cumple

que:

)8)9 yz xy xyz ++

8 &MCRallar E 8

N7! N/! J z

a! $#

b! &

c! M

d! $K

e! C

&. *i:

1)11 )4aa =+

Rallar: a$

a! $

b! D

c! &d! L

e! #

K. *i:

))8 1106 nabc =

Rallar: a S

b

a!

b! C

c!

d! K

e! M

L. *i:

mncbcabc =++ )2)3)4

Adem0s a

≠ b ≠ c

Rallar: mS n

a!

b! M

c! K

d!

e! C

M. *i:

)9) 1cmaba c =

1alcular el

%alor de

“b”

sabiendoque m Q

a! $

b! D

c! &

d! L

e! #


69/240

69

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

#. *i

:

)3)6 1abcabc =

Rallar: a Sb

a! D

b! $

c!

d! #

e!

*. Si:

cabbcaabc ++

8 *BB;a,,a+ E

8

3 11+++ cba

a! $b! C

c! Dd!

e! &

. a,,a+ E

8 nQ*

&

Sa$i"n-o

u":

*nQ* 8

%*;

a!

b! &&c! KKd! LL

e! MM

%. a,,a+ ",

4a,o+ -"

a "n:

aa 2575 )8 =

a! Kb! c! C

d! $e!

&. a,,a+ E

8 %Y Q

'YQ* Q a%

Sa$i"n-o

u":

)4)3 10 aaaa =

a! $b! C$

c!Cd! D#

e! D$

'. a,,a+ ,a

#u(a -"

,o#

n1("+o#

-" ,a

6o+(a:

)9)1 −aa

"#:

a! CCLb! CKL

c!D##d! DL&

e! #&

;. Si ,o#

#i0ui"nt"

#

n1("+o#);)4 2;;101 c cbb

"#t)n

$i"n

+"/+"#"nt

a-o#2

a,u,a+:

a Q $Q a! C

b! Dc!

d! &e! K

B. Si:

[ ]) 13 caab n −=

. Ca,u,a+

n #i "#

i(/a+

a! $b! Cc!

d! Ke! M

. Si: aQ*

a*% 8

=5&

-"t"+(in

a+ ",

4a,o+ -"

a

a! #b! c! $

d! Ce! D

. a,,a+ (

Q n Q /Si: *%;(

Q

pmn n p 441333 )) =+

a! Db! Dc! $D

d! CD

e! DD

*K. Si ab

8B aQ$

a,,a+: R

8 ab Q

%2 a2 $

()=i(o#

a! K#Cb! K#&c! K#L&

d! K#M&e! K#&


70/240

70

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

. *i

( ) ( )7230)605 −= aa

a! K b! $c!C d! D

e!

'. Rallar “n”

si :

$C N n ! S DN n ! 8 D$ N n !

a! b!

D c!C

d! $ e! K

;. Rallar “n”si #$ Nn! 8

$CDNK!

a!#

b! c!$

d!C

e! D

B. Rallar el

2alor de “

Y” si

( )5231)123 =n

. Rallar YC

si

2252)8 ⋅= X XXXX

a!CDCb!$

c!$& d!&D

e!+A

. Rallar: E 8

N n S !$ J

D sabiendoque

$ NnS! 8 C

N & !

a! KK b! &&

c! d! DD e!

CC

*K.

4e la

siguiente

e7presión .

Rallar El

%alor de “ n”

N n !

8 CD N n !

S $C N n !

**.

Rallar

3153 aaa E +

++=

*abiendo

que

( )41)3 aaaaa =

a! $ b!$$ c!C$

d! D$ e!

$

*.

Rallar E 8 N n

S ! N n ! .*i se

cumple la

igualdad.:

&DN n ! 8

K N nS!

a! K$ b!

&$ c!$d! D$ e!

C$

*%. Ralla : 5

8 110 −n

@ sabiendo

Uue:

&DN

n S$ ! 8 D N !

a! C b!

c! K d! M

e!

D. VUue

signo debe

usar para

que la

relación

sea

correctaW

# K

# -m

S K& 4

a! < b!

8 c! >

d! n.a.

. 1ompara

los

siguientes

números /

escribe ó 8

según


71/240

71

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

correspon

da:

a! $C $ DM

K&$

99.. $C

$ MD

K&$

b! #C #C# D#$

##K 99

#C #C#

D$# ##K

c! D KD& $C&99.. D

KD& C$&

&. E7presar

la

descompo

sición de

#C #DL

M#

a! -5 S C-m

S D1m

S L-m

S M1 4

b! -5 S C-m

S D4 SL1 S

M1m S

4

c! -5 S C-m

S D4m

S L- S

M4 4

d! -5 S C-mS D4m

S L-m

S M4

K. 1ompleta

el %alor en

los

casilleros

para que

K7# S

7 # S

D7# S M

represente

la "orma

desarrollada

del número

D# #KM

L. Escribe el

número

que

correspon

de a: “Tres

mil

%eintiocIo

millones

cuarenta /

cinco mil”

a! C $L#

D##

##

b! C #$L

#D

###

c! C #$L

###

D#

d! C $L#

###

D#

M. El número

K $C

##& #L

se lee:

.................

.................

.................

.................

.................

.................

#.

*i C$NL! 8 ab,

Ialla “a S

b”

a! M b!

# c!

d! $

.

*i &DNn! 8 D&,

Iallar el

%alor de

“n”

a! & b! K

c! L

d! M

$.

E7presar “5”

en el

sistema

decimal, si

se cumple

que:

5 8

C$ND! S

$NL!

C.

Xie dice el

costo de

mi camisa

es ##N!.

V1uanto


72/240

72

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

es el costo

en el

sistema

decimalW

a! *> $$

b! *> $C

c! *> $D

d! *> $

ADICION.J

Es la

operación

que Iace

corresponder

a dos

números

naturales

llamados

sumandos ,

un único

número

tambiBn

natural,

llamado

suma.

a S b 8 c

*uma

*umandos

EE5);* :

! CDML S

$C&D8 L&$

*-5A

*umandos

$! D & C

C $ D $

*umandos

Q C $ &

C L C D

*uma

PROPIEDA

DES DE LA

ADICION

! CLAUSU

RA : a

suma de

dos

números

naturales

siempre es

un +umero

+atural.

( )+⇒∈Ν∈ ba N yba

EE5); :

CK S $ 8 &$

@ &$ Ν∈

$! CONMU

TATIVA:

El orden

de los

sumandos

no altera

la suma.

a

S b 8 b

S a

EE5); : $K

S C 8 C S$K

L# 8 L#

C! ASOCIA

TIVA :*i

seagrupan

dos o m0s

sumandos

de

di"erentes

"ormas, la

suma total

no %aria.

a S

N b S c! 8 Na

S b! S c

EE5);* : N

S $ ! S C 8

S N $SC !

C S C 8

S

&

8 &

D! ADITIVA

MONOT

ONIA : *i

a ambos

miembros

de una

igualdad

se le suma

un mismo

número,

se obtiene

OPERACIONES

CON NUMEROS


73/240

73

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

D+//+otra

igualdad.

*i a S b 8 c

⇒ a S b S n

8 c S n

EE5); :

*i C S D 8

K⇒ N C S

D ! S C 8

K S C

K S C

8 K SC

$#

8

$#

! ELEMEN

TO

NEUTRO. a

Adición de

un número

con el cero

da por

resultado

el mismonúmero.

a S # 8 #

S a 8 a

EE5);:

C S # 8 C

SUSTRACC

IÓN : a

sustracción

entre dosnúmeros

naturales a /

b

Na ≥ b! / se

e7presa como

a Z b / que

consiste enIallar un

número

natural 4

llamado

4i"erencia, tal

que a 8 4Sd

EE5);* :

4i"erencia

! $ D & L J L

M8 & #

M

5inuendo

*ustraendo

$! D C M

5inuendo

J C C &

*ustraendo

# # C

4i"erencia

OPERACIO

NES

COMINADAS : 4ebe

e"ectuarse de

izquierda a

derecIa.

EE5);

K$ ZCK S

& J

DD 8

K

CS

& J

DD

J

DD

K

EE5); $


74/240

74

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

APLICACIONESPRZCTICAS CON LASUMA DIFERENCIA

Ej(:

# S & 8 &

2

416+8 #

+úmero ma/or

# Z & 8 D

2

416 −8 &

+úmero menor

Es decir

dadas las

sumas N*! /

la di"erencia

N4! de dos

números

naturales a /

b donde a Q

b.

a 82

DS +, el

# ma/or “a”es igual a lasemisuma de / 4

b 82 DS − , el

# menor “b”

es igual a lasemidi"erencia de / 4

P+o$,"(a#:

. a

di"erencia

de las

edades de

5aritza /

1armen es

a?os. *i

la menor

de ellas

tiene

a?os.

V1u0l es la

edad de la

ma/orW

a!

b!&

c! K

d! L

e! M

$. El ma/orde dos

Iermanos

tiene K

a?os de

edad. *i el

ma/or

e7cede almenor en

a?os

VUuB edad

tiene el

menorW

a! #

b!

c! $

d! D

e! +.A.

PRZCTICA

*. R"#u",4""#ta#o/"+aion"# -"),u,o"6"tu)n-o,a#("nta,("nt" -"

iui"+-aa-"+"Ha

a! $# SC## ZK# SD# 8CL# ZD# S

C# ZL# 8D# ZL# SC$# S# 8&C# ZK# SCK# ZL# 8K#

JL# SC# SM# 8

b! DL# SM# S Z # S

C# 8K$# SD# Z L#Z $# SL# 8C# ZM# S K#Z L# SD# 8D# Z S L#S C##S D$#8&$# ZL# S #Z D## SCL# 8

. D"#u$+"

("-iant"", ),u,o("nta, ",t+(inou" 6a,ta:

a! M S8

# L# J

8

C J

CK# 8 $L# S

$K 8 L## D# S

8 LK

b! C$# SS

D# 8 ### $K# SCC# S 8C##


75/240

75

EDUCAR-PERU

MATEMÁTICA

LL# JJ L#8

## D J

J 8

# MM J J D8

C##

%. Co(/,"ta,a##i0ui"nt"#"=/+"#ion"#o,oan-o ,o##i0no# Q< #"01no++"#/on-a:

K&MD#

## 8$##

D#C#L# 8#

M$D#M# 8

K#LM

CM

# 8

##L$

C$DK# 8

LDK$&

8##

&. R"#u",4""6"tuan

-o/+i("+o,a#o/"+aion"#in-ia-a#"nt+"/a+nt"#i#:

a! $M# ZNK# J$#! 8N$M# JK#! Z$# 8

b! KL# JND# JCC#! 8NKL# J

D#! ZCC# 8

c! NCD# SL#! ZD# 8CD# SNL# JD#! 8

d! N&$# S

CL#! ZC# 8&$# SNCL# JC#!

'. Si0u"/+atian-o:a! D$# Z

NC## S$# S#! 8

D$# ZC## S $#S # 8

b! ND$# Z

C##! SN$# S#! 8D$# ZNC## S$#! S# 8

c! LK# ZC ZC## Z# 8NLK# JC! ZNC## J#!

:) LK# ZNC SC## Z#! 8

LK# ZNC JC#! Z# 8

;. Co(/,"ta",n1("+ou" 6a,ta"n

artmetica 6° i.doc

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