STANFORD ENCYCLOPEDIA OF PHILOSOPHY

ARTHUR PRIOR. By Jack Copeland1.

Arthur Prior (1914-1969) fue un pionero en lógica intensional en un tiempo en el que los conceptos de modalidad e intensión estaban bajo sospecha. Fundó la lógica del tiempo y fue el principal teórico del movimiento para aplicar la sintaxis modal a la formalización de una amplia variedad de fenómenos. Prior y Carew Meredith divisaron una versión de la semántica de mundos posibles antes de que Kripke publicara su primer artículo en esta dirección. Un iconoclasta y un innovador ingenioso, inspiró muchos de los primeros trabajos en lógica intensional.

TRABAJO EN LÓGICA TEMPORAL

El más significativo logro de Prior fue, indudablemente, la invención y desarrollo de la lógica temporal. Su primera mención de una lógica que hace distinciones temporales se encuentra en el penúltimo capítulo de The Craft of Formal Logic (1951). Siguiendo a von Wright en lógica deóntica, advirtió que hay otras clases de predicados modales que pueden colocarse junto a los ordinarios o modos “aléticos” de necesidad y posibilidad. Prior se refiere a estas modalidades no-aléticas como “cuasi-modales”. Después, apunta que Peter of Spain clasificó las distinciones adverbiales de tiempo como modos: “Que podría haber allí una lógica modal de las distinciones temporales ha sido sugerido en la actualidad por el profesor Findlay”. (p. 750).

El artículo de Findlay “Time: A treatment of Some Puzzles” apareció en el Australasian Journal of Psycology and Philosophy en 1941. Prior se dio cuenta de esto como resultado de su aparición en la colección de Flew Essays on Logic and Language de 1951, que llegó a Nueva Zelanda justo cuando Prior estaba escribiendo los capítulos finales de The Craft. La sugerencia a la que Prior se refiere es apenas un comentario “nuestras convenciones con respecto a los tiempos están bien hechas, de modo que contamos, prácticamente, con materiales en ellos para un cálculo formal”, escribió Findlay. Y en una nota a pie de página:

El cálculo de los tiempos debe ser incluido en el desarrollo moderno de la lógica modal. Éste incluye proposiciones tan obvias como

x presente (x presente) presentex futuro (x futuro) presente (x presente) futuro;

además de,

(x).(x pasado) futuro; esto es, todos los sucesos pasados, presentes y futuros serán pasado.

El primer artículo de Prior en lógica temporal, “Three-Valued Logic and Future Contingents”, apareció en the Philosophical Quaterly de 1953. En 1949, aprendió del estudio de Geach de Julius Weinberg Nocolaus of Autrecourt: A Study in Fourteenth Century Thought que para los escolásticos una expresión como “Sócrates está sentado” es completa en el sentido de ser verificable, verdad unas veces, falsa en otras. Prior sacó a la luz esta idea -prevaleciente incluso hoy en día- que tal expresión es incompleta hasta que damos un tiempo de referencia y que no podemos hablar del valor de verdad

1 1ª publicación el 7 de octubre de 1996. Última modificación el 29 de Noviembre de 1999. Traducción de Manuel González Riquelme.

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de la expresión como alterado por el paso del tiempo. Éste fue un descubrimiento crucial: la idea que las proposiciones que se comportan como sujetos de inflexiones temporales están vinculadas a un tiempo que las hace verdaderas unas veces y falsa en otras, fue central para su filosofía. En un resumen de la madurez de sus ideas sobre realismo temporal compuesto hace sólo dos décadas escribió: “Ciertamente hay verdades inmutables pero también son mutables y es un pena que la lógica ignore esto y deje… a los ‘dialécticos’ comparativamente, informales, el estudio de los aspectos de la realidad más ‘dinámicos’”1.

El estudio de Geach remitió a Prior a las fuentes y encontró que el ejemplo de “Sócrates está sentado” no está sólo en los escolásticos sino en Aristóteles. No obstante, descubrió que Aristóteles habla de unas proposiciones sobre el futuro –a saber, aquellas sobre los sucesos que no están ya determinados- como no siendo ni verdaderas ni falsas cuando son expresadas sobre la base un hecho no definido con el que podemos estar de acuerdo o no. Prior cita el argumento de Aristóteles en la creencia de que existen tales sucesos: si no fuera el caso “no sería necesario deliberar o cuestionar, en la suposición de que si adoptamos un cierto curso de acción, algún resultado podría seguirse, mientras que si no, el resultado no se seguiría (Prior 1953: 232-3; Aristóteles, De interpretatione, ch. 9). Esto atrajo a Prior, una vez más al calvinista Barthian pero ahora del lado del indeterminismo y de la libertad. No había duda que el interés de Prior en lógica temporal estaba ligada a su creencia en una libertad real2.

Treinta años antes, inspirado por los mismos pasajes de Aristóteles, £ukasiewicz ideó un cálculo trivalente cuyo tercer valor ½, fue adjuntado a las proposiciones referidas a los futuros contingentes (£ukasiewicz, 1920, 1930). El artículo de Prior de 1953 “Three Valued Logic and Future Contingents” es una exposición y defensa del sistema de £ukasiewicz (que leyó en el libro de Lewis y Langford Symbolic Logic y en el monográfico de Jordan The Development of Mathematical Logic and Logical Positivism in Poland between the Two Wars). Prior pensó, en esta fase que las proposiciones temporales podrían ser trivalentes y que las proposiciones atemporales bivalentes (ver 1967: 16): “En resumen, la lógica trivalente parece darnos una nueva precisión en nuestro manejo de las sentencias temporales (como opuestas, fundamentalmente, a las proposiciones atemporales de los sistemas comunes); podemos decir que £ukasiewicz hizo para el capítulo de Aristóteles sobre 'futuros contingentes' lo que él hizo para la teoría del silogismo de Aristóteles" (Prior 1953: 325).

No obstante, el sistema de £ukasiewicz está lejos de ser el “cálculo temporal” que Findlay había insinuado. El sistema contiene representaciones sintácticas explícitas de las modalidades aléticas, pero no hay representaciones sintácticas del tiempo. En cualquier caso, la adición simple de otro valor de verdad es apenas el medio por el cual Prior hace justicia a su idea de que las proposiciones dotadas de inflexiones temporales pueden cambiar el valor de verdad con el paso del tiempo: “Sócrates está sentado” puede ser verdadera unas veces y falsa otras y el tercer valor de verdad no ayuda a representar este cambio. Unos meses antes, Prior advirtió que el uso, fuera de lugar, de la sintaxis modal fue todo lo que se requirió para la representación del rasgo dinámico

1 A. N. Prior, “A Statement of Temporal Realism”, publicado por primera vez en Jack Copeland (1996: 45-46, esp. 46).2 A. N. Prior, “Some Free Thinking About Time”, publicado por primera vez en Jack Copeland (1996: 47-51).

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de las proposiciones temporales. Fue una cuestión de adoptar, seriamente, la idea discutida en The Craft: la temporalidad es una especie de modalidad.

En 1953 Prior leyó el trabajo del lógico megárico Diodoro Cronos en el libro Logia Stoic de Benson Mates. Prior escribió después de Diodoro que “parece haber sido un antiguo griego W. V. Quine, quién consideró a la lógica de Aristóteles de la posibilidad y necesidad con escepticismo, pero ofreció, no obstante, un sentido inocuo que quizás podía ser adjuntado a las palabras modales” (1967: 16). Diodoro definió lo posible como lo que es o será verdadero: de acuerdo con Diodoro, lo que actualmente sucede es todo lo que pude suceder. Prior encontró esta definición determinista incómoda y se fijó la tarea de localizar una falacia en el argumento que Diodoro usó para apoyarlo, es el llamado Argumento Maestro: “La pretensión del Argumento Maestro, como lo entiendo yo, fue refutar la idea aristotélica que mientras está más allá del poder de hombres o dioses afectar el pasado, hay alternativas futuras entre las que es posible elegir. En contra de esto, Diodoro mantuvo que lo posible es, simplemente, lo que es o será verdadero” (1962b: 138; ver además, 1967: 33).

La consideración del Argumento Maestro se unió a tres de los grandes intereses de Prior: indeterminismo, lógica modal y lógica temporal. En el curso de estas reflexiones sobre el argumento la nota a pie de página de Findlay le obsesionó de repente. Mary Prior recuerda: “me despertó una noche, sentado en mi cama y leyéndome la nota del artículo de John Findlay sobre el tiempo y diciendo que él pensó una forma de formalizar la lógica temporal”. Sus primeras exploraciones de este cálculo apareció en su artículo “Diodoran Modalities” (terminado al principio de 1954 y publicado en 1955)1. En éste, escribió: “propongo hacer algo diferente, esto es, emplear las variables proposicionales ordinarias 'p', 'q', 'r', etc., por 'proposiciones' en el sentido diodorano [es decir, proposiciones que ‘quizás sean verdadera unas veces y falsas otras’] y usar ciertos operadores que adoptarán tales proposiciones como argumentos y que forman funciones de tales proposiciones como valores. Usaremos 'Fp' por 'será el caso que p'". (Prior, 1955b: 205).

Los axiomas y reglas del cálculo que Prior presenta en este artículo deben mucho a la axiomatización de von Wright del sistema modal de Lewis S4 (von Wirght 1951a, app. II). Von Wright obtiene el S4 añadiendo los siguientes axiomas y reglas al cálculo proposicional clásico (Lp es definida como ¬M¬p):

W1 pMpW2 M(pq) (Mp)(Mq)W3 MMpMpRE si , es una tesis, tal que M MRL si es una tesis, tal es L

Si sustituimos el operador F por M en los axiomas, de W1 se deriva una falsedad, en cambio, parecen bastante obvios para W2 y W3. El resultado de sustituir F en RE le da un buen sentido. Con respecto a RL, introdujo el prefijo G a través de una definición paralela a la definición de L de von Wright, esto es, Gp = ¬F¬p; G, se lee como “será siempre el caso que”. Por tanto, su cálculo de 1953-4 de los tiempos fue el sistema producido por la adición del análogo-F de W2, W3 y RE, y el análogo-G de RL al cálculo proposicional clásico. (Prior observa que un operador P quizás pueda ser

1 “Diodoran” es el término de Prior, “diodorean” es el de Mates. En 1958, Prior empleó este último.

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introducido para “ha sido el caso que p”, pero no dispuso de ningún axioma o reglas para el mismo). Mostró que si, siguiendo a Diodoro, Mp es definido como pFp, los axiomas trimodales de von Wright y las dos reglas son derivables en su cálculo.

En una artículo de inigualable reconstrucción filosófica, Prior expresa la conclusión del Argumento Maestro, que lo que no es ni será verdadero no es posible como (¬p&¬Fp)¬Mp y lo deriva, en su cálculo, de las premisas de Diodoro, Pp¬M¬p y ¬Mq(L(pq)¬Mp), juntos con las dos “amplias asunciones sobre el tiempo, probablemente adoptadas para garantizarlas por Diodoro y sus principales oponentes”: pHFp y (¬p&¬Fp)P¬Fp. De forma que el Argumento Maestro es válido. La falacia, señala Prior, la encontramos en la segunda “gran asunción” (¬p&¬Fp)P¬Fp (que dice: cuando nada es ni será, ha sido el caso que no sería). Esto no es cierto si p se refiere a futuros contingentes (y, por tanto, tiene el valor de verdad ½, o “indeterminado”). Donde p es indeterminado, ambos Fp y ¬Fp son indeterminados, de forma que el consecuente de la fórmula en disputa, P¬Fp es falso. ¬p debe ser además indeterminada (ya que si la negación de p fuera determinada, p no podría ser indeterminada). Por tanto, el antecedente de dicha fórmula ¬p&¬Fp es indeterminado, dado que los dos miembros de la conjunción son indeterminados. De acuerdo con la tabla de verdad de £ukasiewicz, un condicional indicativo con un consecuente falso y un antecedente indeterminado no es verdadero sino indeterminado. 1 ½ 0 1 1 ½ 0½ 1 1 ½ 0 1 1 1

Por tanto, Prior es capaz de “negar que las proposiciones de la forma [(¬p&¬Fp)P¬Fp] son en todos los casos verdaderas”.

El razonamiento de Prior es persuasivo sólo si uno acepta la tabla de verdad de £ukasiewicz. ¿No hay condicionales indicativos con consecuente falso y antecedente indeterminado verdaderos? Por ejemplo, supongamos Fp “me suicidaré” y pongamos que Fp es indeterminado (dado que no está todavía decidido). Por tanto, PFp es falso: no ha sido dado todavía ningún tiempo en el cual Fp es verdadero. Parece difícil, incluso, revelar el valor de verdad del condicional indicativo “Si Fp entonces PFp” (difícil, dado que en todo caso, la sucesión temporal es transitiva y los instantes precisos como el primero no están bajo nuestra consideración). La dificultad es que en la forma condicional, una sentencia que es actualmente tiene un valor indeterminado, Fp es supuesta verdadera. Si Fp es ahora verdad entonces el presente se encuentra en un instante en el que la verdad futura de p es determinada. A menos que el momento de la expresión sea el primer momento de este instante, hay momentos pasados en los que Fp es verdad, de forma que la expresión PFp es ahora cierta, de igual modo. De modo que, dada un asunción apropiada para estos momentos, que para las actuales intenciones es elegida ad libitum (por ejemplo, será suficiente asumir que tales instantes son intervalos abiertos en un tiempo lineal continuo), es el caso que si Fp es verdad entonces PFp es verdad. La pretensión que el condicional “si Fp entonces PFp” es indeterminada simplemente porque su antecedente lo sea (y su consecuente falso) no puede sostenerse en el presente ya que lo que el razonamiento de arriba muestra es que (bajo esta consideración) la combinación antecedente verdadero, consecuente falso no se sigue.

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En el fondo, lo que esto indica, es que la equivalencia bivalente entre ¬pq y pq no se puede extender al caso trivalente. ¬pq quizás sea indeterminado e, incluso como en el ejemplo, quizás no haya ninguna razón para retener el valor verdad de pq. La idea de £ukasiewicz que a las proposiciones sobre futuro se les puede asignar un tercer valor de verdad no es tan sencilla como parece. El mismo Prior, vio, después que “La técnica veritativo-funcional parece, simplemente, fuera de lugar” en lo que respecta a las proposiciones indeterminadas” (1967: 135). Fue el tratamiento de la conjunción lo que, particularmente, preocupó a Prior. De acuerdo con £ukasiewicz la tabla de valor de verdad, p&q es indeterminada donde p y q son ambos indeterminados incluso, como Prior observa, si q es la negación de una proposición indeterminada p, entonces p&q no es indeterminada aunque sus dos constituyentes lo sean. La proposición “habrá y no habrá una batalla naval mañana” es, según Prior, “plenamente falsa”.

El Argumento Maestro en relación al determinismo continuó ejercitando a Prior el resto de su vida y algunos de las más útiles y, matemáticamente, interesantes partes de su trabajo fueron inspiradas por sus pensamientos sobre el mismo. Para elegir un ejemplo, el cálculo que Prior desarrolló en respuesta a la idea que el Argumento Maestro falla si el tiempo es concebido como ramificado en el futuro se tornó útil para describir y verificar la conducta de un sistema de procesamiento simultáneo y distribuido1.

El cálculo temporal que Prior produjo en “Diodoran Modalitities” fue casi completo. Salvo en un aspecto, no había axiomas y reglas para el operador de pasado P y, en otro aspecto, el cálculo de dos axiomas FFpFp y F(pq) (Fp)(Fq) fue elegido de forma fortuita, por la transformación de ciertos axiomas de un cálculo designado para un diferente propósito. Prior, a su debido tiempo, preparó la expansión de su cálculo. Trabajó rápido y en Agosto de 1954 presentó un sistema más sofisticado en su Presentación Presidencial del Segundo Congreso de Filosofía de Nueva Zelanda desarrollado en Wellington. (Prior también organizó el Primer Congreso en Chrischurch el año anterior).

Su primer paso fue añadir dos axiomas de futuro GpFp y FpFFp. El primero es el análogo temporal de LpMp, una tesis cuya derivación envuelve el axioma de von Wright W1 (que es falso desde una interpretación lógica-temporal). El segundo axioma es la inversa de uno de los axiomas originales. Prior observa que es sugerido por “las comunes nociones sobre el tiempo”. Lo siguiente fue una simplificación que hizo de una demostración reciente de Sobocinski consistente en que el sistema M más débil de von Wright es equivalente al sistema T de Feys: tomando G como indefinido y definiendo F como ¬G¬, fue capaz de sustituir el axioma difícil de manejar F(pq) (Fp)(Fq) por G(pq)(GpGq) (Sobocinski, 1953).

El cálculo de lo “porvenir” puede ser transformado en un cálculo de lo “pretérito” sustituyendo F por P y G por H (“siempre ha sido el caso que”) por medio de los axiomas, reglas y definiciones. (Charles Hamblin fue el último en describir este proceso en su reverso como produciendo una “imagen especular” repentina). Como los sistemas aléticos, los dos cálculos son monomodales. Esto es, cada uno contiene sólo un operador indefinido. Prior buscó un “completo cálculo temporal completo en F y en P: un sistema lógico bimodal (por ejemplo, un sistema lógico con dos operadores indefinidos). Para

1 Ver Dov Gabbay and Ian Hodkinson, “Temporal Logic in the Context of Databases” en Jack Copeland (69-88) y Rita Rodríguez and Frank Anger, “Prior’ s Temporal Legacy in Computer Science”, en Jack Copeland (1996: 89-109).

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obtener el sistema bimodal no fue suficiente unir los axiomas de futuro y sus reglas con sus imágenes especulares, ya que los dos operadores podrían quedar independientes uno de otro. Se requirieron algunos axiomas interactivos, “leyes que establecen interacciones entre pasado y futuro”. Prior eligió pGPp y pHFp. Encontró la primera de las tesis en el Tractatus of Praedestinatione de William de Ockham y la segunda fue una de las fórmulas empleadas por él mismo en la reconstrucción del Argumento Maestro. Por tanto, Prior construyó el primer sistema multimodal1.

Prior honró a Findlay por haber facilitado una de las proposiciones expuestas en su nota a pie de página como el primer teorema de su cálculo temporal: todos los sucesos, pasados, presentes y futuros, serán pasado. En la notación lógico-temporal (pPpFp)FPp, una fórmula a la que Prior, posteriormente, se referirá como la ley de Findlay. (Prior describe la simbolización sugerida por el propio Findlay de la proposición (x).(x past) future, como “desafortunada”, dado que “la fórmula sugiere que Todo lo que será, ha sido el caso (fuente de permanentes falsedades)” (Prior 1967: 9).)

En “Diodoran Modalities” Prior se satisfizo con describir FFpFp como “suficientemente obvia”. Por el tiempo del congreso de Wellington, su pensamiento evolucionó considerablemente. En una sorprendentemente sección original de un artículo notoriamente original, inició lo que llamó el Cálculo-l (con posterioridad, prefirió el término ‘Cálculo-U”). En el Cálculo-l, las proposiciones de los cálculos temporales son tratadas como predicados que expresan propiedades de fechas, las últimas representadas por variables como nombres x, y, z. La concatenación “px”, se lee como “p en x”. “l” es una relación binaria que toma fechas como argumentos y se lee “después que”. Usando una fecha arbitraria z para representar el tiempo de expresión, Fp es equiparada con x(lxz&px) (‘p en un tiempo después que z’), y Pp con x(lzx&px) (‘p en un tiempo antes que z’). Gp y Hp son equiparados con los cuantificadores universales x(lxz&px) y x(lzx&px), respectivamente. La idea principal de Prior fue que condiciones análogas del cálculo temporal podían ser derivadas en el cálculo-l por medio de la imposición de varias condiciones a la relación l. (Este es, claro está, exactamente, el movimiento que Meredith y él experimentaron dos años después de idear la semántica de mundos para la lógica modal).

Prior descubrió que FFpFp y su imagen especular requiere para su derivación la condición lxy(lyzlxz), afirmando que la relación antes-después es transitiva. FpFFp y su imagen especular requiere la condición lxzy(lxylyz), afirmando que ‘entre dos fechas hay una tercera’. GpFp se refiere a la existencia de una fecha ulterior de la dada, xlxz (mutatis mutandi para su imagen especular). Prior señaló que ninguna de las condiciones se requieren para la derivación en el cálculo-l de los dos axiomas interactivos pGPp y pHFp, ni para los axiomas G(pq)(GpGq) y H(pq)(HpHq): para estas fórmulas, la maquinaria estándar de la lógica veritativo-funcional y cuantificacional es suficiente para su derivación (ésta aplica además las dos reglas del cálculo). Fueron estas últimas fórmulas que Lemmon, posteriormente, adoptó como axiomas para su sistema mínimo de lógica temporal Kt, un sistema que no hace ninguna atribución a las propiedades contingentes antes-después2.

1 Cf. Kit Fine and Gerhard Schurz, “Transfer Theorems for Multimodal Logics” en Jack Copeland (1996: 169-213). Como ellos explican, la lógica multimodal tiene importantes aplicaciones en la teoría de programas.2 Cf. Jack Copeland, “Tree Formulations of Tense Logic, en Jack Copeland (1996: 53-67).

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Prior cierra esta sección con una advertencia en contra de considerar esta interpretación del cálculo temporal dentro del cálculo-l como ‘una explicación metafísica de lo que podemos significar por es, ha sido y será’: el cálculo-l no es una ‘fundamentación metafísica’. Su razón es que F(Sócrates está sentado) significa “Es ahora el caso que será que Sócrates está sentado) y no hay ninguna forma de representar el indéxico ‘ahora’ en el cálculo-l (la variable libre z es ‘un completo engaño’). Y continua: “si no hay ninguna “interpretación” de nuestro cálculo de forma metafísica, probablemente, necesitará ser de otro modo; esto es, el cálculo podría ser mostrado como una construcción lógica fuera del cálculo-PF antes que al contrario”. Esta idea de la primacía del cálculo temporal sobre el cálculo-l –o, como posteriormente, puntualizó, de las series-A de McTaggart sobre las series-B se tornó un principio distintivo de su filosofía1. La tesis de Prior es incluso más radical en su aplicación a la lógica modal: el lenguaje de los mundos posibles tiene que ser interpretado en términos de un lenguaje con operadores modales y no –como popularmente se entiende- al revés. Estas cuestiones formar el tema de su último libro Worlds, Times and Selves (editado por Kit Fine).

El texto de la presentación de Wellington no fue presentado hasta 1958 (en la publicación Franciscan Studies, bajo el título “The Syntax of Time-Distinctions”). Fue en 1956, durante las conferencias John Locke y su siguiente libro Time and Modality (publicado en 1957) en el que Prior publicó sus descubrimientos en lógica modal y temporal ante una gran audiencia. Un número de lógicos –en particular, Thomas, Geach, Lemmon, Meredith y Kripke- mostraron un interés inmediato por la lógica modal de Prior, concretamente, su Sistema Diodorano y su Sistema Q, una lógica polivalente que admite la existencia de hechos contingentes. Menos atención inmediata tuvo su lógica temporal. La bibliografía del tiempo en el volumen de 1968 de Prior Papers on Time and Tense revela que hasta 1965 las publicaciones en este campo fueron las de Prior o reseñas de su trabajo (principalmente de Time and Modality). Mas poco a poco fue cobrando velocidad.

En el congreso de lógica modal y polivalente celebrado en Helsinki en 1962 (el primer encuentro de Prior con Kripke), Hintikka propuso una interpretación de su semántica de mundos posibles sosteniendo que “si no deseamos equiparar nuestra lógica con la física antigua, somos, indudablemente, sabios si no requerimos más que una relación alternativa (en este caso, podría denominarse “relación de futureidad”) efectuando una ordenación lineal” (Hintikka, 1963: 76). (Prior, claro está, relacionó, felizmente, su cálculo-l de 1954 a la “física antigua”). No pudo pensar demasiado en la idea del tiempo dominante en la física del siglo XX2. Un alumno de von Wright, Hintikka fue estimulado por la última propuesta de las amplias aplicaciones en lógica modal y apreció la posibilidad de aplicación de las nociones modales al estudio de la lógica del tiempo antes de la lectura del sofisticado trabajo de Prior en Time and Modality (que estudió en 1958). Hintikka fue quizás el primero en acentuar la importancia de una aproximación semántica a los tiempos. En los primeros sesenta, Hintikka viajó regularmente entre Helsinki y California. Sus ideas sobre los tiempos influyó en numerosos lógicos que trabajaban en California, concretamente en Dana Scott.

1 Cf. Richard Sylvan, op. cit. y Rom Harré, “There is No Time like Present”, en Jack Copeland (1996: 389-409).2 Como pone de manifiesto en el segundo de los dos ensayos “Two Essays on Temporal Realism”, concretamente “Some Thinking About Time”, op. cit.

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Además, en 1962 Scott dio unas conferencias sobre lógica temporal en Amsterdam1. Entre su audiencia se encontraba Hans Kamp, por entonces un estudiante universitario. El trabajo de Scott en lógica temporal fue un aspecto de su estudio de la semántica del lenguaje natural en estrecha colaboración con Richard Montague. Scott fue consciente del trabajo de Prior y en su comprensión del tiempo estuvo también influida por Reichenbach, quien fue una poderosa figura en la UCLA hasta su muerte en 19532. (Prior fue crítico con el análisis de Reichenbach de los tiempos y lo describió como siendo un estorbo en lugar de una ayuda en lugar de la lógica temporal3). La lógica temporal de Scott difirió también en cuanto al estilo de la de Prior. Scott estableció la completitud y la decidibilidad de varias axiomatizaciones de las lógicas temporales. Además, mostró que el predicado temporal de los reales no es axiomatizable. Su trabajo en lógica temporal es citado ampliamente pero permanece inédito. Prior se enteró de los trabajos de Scott en una carta de Lemmon fechada en enero de 1964 (Lemmon dejó Oxford en 1963 por Claremont, cerca de los Ángeles. Scott estaba entonces en Stanford).

En 1965, Prior visitó California por varios meses, como Flint Professor de Filosofía en UCLA. Al comienzo Prior se encontró entre un grupo de entusiastas de la lógica temporal. Poco después de la visita escribió: “Supongo que California es el lugar más maduro en lógica del mundo y ahora que la lógica temporal es cursada tan amplia y fuertemente allí, sus duros comienzos pueden considerarse pasados”. (1967, p. vi). Cuando Prior llegó a UCLA, Nino Cocchiarella acababa de completar su tesis doctoral en lógica cuantificacional modal y temporal bajo la supervisión de Montague (“Tense and Modal Logic: A Study in Topology of Temporal reference”). El mayor interés en filosofía del tiempo se derivó, inicialmente, del trabajo de Reichenbach sobre el espacio y el tiempo pero fue su conocimiento de Time and Modality lo que le atrajo para la investigación en lógica temporal. (Sólo después conoció el trabajo de Scott). La visita de Prior coincidió con la llegada de Hans Kamp a la UCLA como estudiante licenciado. Kamp asistió a las conferencias de Prior en lógica temporal en su primer semestre y se mostró profundamente interesado en esta materia. Estas conferencias llevaron indirectamente al lugar de la tesis doctoral de Kamp, escrita bajo la supervisión de Montague y titulada “On Tense Logic and Theory of Order” (1968). En el trabajo de Kamp el desarrollo de la lógica temporal alcanzó un nuevo nivel en cuanto a sofisticación formal. Segerberg, también llegó a California para estudiar bajo la supervisión de Scott en Stanford. (Segerberg mostró interés en lógica temporal en Finlandia en 1964 durante una serie de seminarios de verano dados por von Wright, quien persiguió, independientemente, una lógica temporal derivada de su estudio de la lógica de la acción que, con posterioridad, resultó ser equivalente a un sistema que Prior discutió en Time and Modality (1957: 23-4; ver Segerberg 1967, 1989b; von Wright 1965; Clifford 1966). En diciembre de 1965, Scott pronunció sus famosas conferencias en la Sociedad Humeana de Stanford titulaladas “The Logic of Tenses”. Muchos de los apuntes de Scott sobre sus conferencias han circulado siempre entre los lógicos temporales. Cuatro días después el propio Prior se dirigió a la Sociedad Humeana, una vez más, en lógica temporal. Fue en esta fecunda atmósfera en la que Prior completó el manuscrito de su libro Past, Present and Future, que permanece hasta el día de hoy como una de las más importantes referencias en este campo.

1 El recuerdo de la fecha es de Kamp.2 Ver Jack Copeland “Tree Formulations of Tense Logic”, op. cit.3 Prior (1967: 13). Reichenbach (1948).

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Los años 1965-7 vieron la publicación del trabajos en lógica temporal de Aqvist, Bull, Clifford, Cocchiarella, Garson, Geach, Hamblin, Luce, Makinson, Rescher, Segerberg, von Wright –y, claro está, Prior. En menos de una década la invención de Prior se convirtió en una rama, internacionalmente, solicitada de la lógica.

Prior siempre creyó que su lógica temporal podría un día servir de utilidad a otras disciplinas (posiblemente en física matemática). Cuando llegó la demanda exterior para la lógica temporal fue del campo de la lógica computacional. Una primera influencia recayó en Pnuelli, quién empleó la lógica temporal en el razonamiento formal de los programas concurrentes1. (Un programa concurrente es aquél que rige la conducta de un número de procesadores, en paralelo). Pnuelli es, a veces, erróneamente acreditado como habiendo dado lugar a la lógica temporal pero, de hecho, aprendió esto del volumen clásico Temporal Logic de Rescher y Urquhart de 19712. Este libro está dedicado a Prior y es una elegante introducción a su trabajo.

Prior no se habría sorprendido al ser consciente de cuán útil es la lógica temporal para la lógica computacional. Él mismo mostró algo de interés en computación, concretamente, la teoría elemental de circuitos booleana en sus conferencias de estudiante pero un número de lógicos con quiénes estuvo en contacto fue más profundamente involucrado (por ejemplo, Dov Gabbay y Danna Scott). A través de otros, Prior conoció algo de su potencial. Escribió “hay ganancias prácticas que deben ser tenidas en cuenta, por ejemplo en la representación de la demora temporal en los circuitos computacionales3”. En Pasado, Presente y Futuro señaló, en relación con la lógica del tiempo discreto, que su utilidad “no podía depender de ninguna asunción metafísica de que el tiempo es discreto. [Las lógicas del tiempo discreto] son aplicables a campos limitados del discurso en que lo que nos concierne es sólo lo que sucede en la próxima secuencia de estados, esto es, en los resultados de un computador digital4”. Otros lógicos del grupo que von Wright y él iniciaron se encuentran en aplicaciones computacionales, por ejemplo, en lógica epistémica en Inteligencia Artificial e Ingeniería de conocimiento de base y en la lógica de acción en teorías de programas.

Es llamativo que dos de las mayores fuerzas en la génesis de las tecnologías del software fueran un amor por los antiguos y los lógicos medievales y una preocupación por hallar un lugar conceptual para la libertad y la decisión humanas. Sólo los que conocen la pequeña historia de las ideas no encontrarán ninguna incongruencia aquí. Ojalá que los que ahora controlan y administran la financiación de los recursos universitarios fueran menos inconscientes de los sentidos oblicuos en los que unas ideas se derivan de otras.

TRABAJO EN LÓGICA MODAL

El propio interés de Prior en la lógica modal se deriva principalmente de su estudio de los antiguos. Sus escritos más tempranos en lógica modal, el penúltimo capítulo de The Craft of Formal Logic (completado en 1951) es en gran parte histórico, con discusiones sobre Aristóteles, Peter of Spain, John Wallis, The Port Royal Logic, la Logick de Isaac 1 A. Pnuelli (1977), “The Temporal Logic of Programs”. Proceedings of de Eighteen Annual Symposium of Foundations of Computer Sicence, New York. Institute of Electrical and Electronics Enginers.2 ØhrstrØm y Hasle (1995: 344).3 A. N. Prior, “A Statement of Temporal Realism”, op. cit., en Jack Copeland (1996: 46).4 Prior (1967: 67).

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Watt, Hume y Mill respecto de la necesidad natural, de Morgan, Whately, Aldrich. Una de sus conclusiones es que “es todo lo que se dijo… sobre la idea… que quizás usemos recursos desarrollados en el estudio de la cantidad para arrojar luz sobre la modalidad y viceversa”. (p. 747). Una de las características más llamativas en filosofía fue la idea que la cuantificación sobre posibles mundos e instantes debía ser interpretada en términos de modalidad y tiempo que constituyen nociones básicas –una punto que se mantuvo en tándem con la creencia de que el estudio de tales cuantificaciones podría iluminar, completamente, el estudio de la modalidad y el tiempo (como en su propio cálculo-U, descrito abajo). El capítulo contiene comparaciones breves de las notaciones simbólicas de £ukasiewicz, Feys y Lewis, pero Prior hace poco uso de los símbolos que describe. En un momento, explica que la notación simbólica puede ser usada como ventaja para clarificar la diferencia entre “todo suceso tiene algo que es F para él” y “hay algo que es F para todo”. Probablemente, Prior está empezando a apreciar el poder del nuevo simbolismo para expresar la sutil distinción demandada por su tema.

Al comienzo de 1951, Prior lee a von Wright (1951b) el artículo “Deontic Logic” y el penúltimo capítulo de The Craft que contiene un discusión detallada de este tópico. La influencia de von Wright es bastante patente en el artículo que Prior lee en Agosto del mismo año en la Conferencia de la Sociedad Australiana de Filosofía en Sydney titulado “The Ethical Copula”. Aquí, discute y defiende el paralelismo establecido por von Wright en Lógica Deóntica entre palabras morales y modales. Sin duda, Prior encuentra en la lógica deóntica una conexión importante entre su interés manifiesto en ética y su rápido giro en lógica modal.

La lectura de Prior de von Wright le refuerza en la idea que el tiene a través de Peter of Spain, Isaac Watts y la Port Royal Logic, una idea que fue de una importancia considerable para su trabajo futuro. Lo que von Wright llama “modalidades aléticas” –necesidad, posibilidad, imposibilidad y contingencia- son miembros de un grupo extendido de conceptos que incluyen modos epistémicos (“es sabido que”, “es sabido que es falso que”, etc…), modos doxáticos (por ejemplo, “se cree que”) y los modos deónticos (“está permitido que”, y “es obligatorio que”). En The Craft, Prior enumera los modos “está escrito que” y “se ha dicho que” de Watt, destacando que “podríamos pensar en muchos otros” (p. 749). Después von Wright llamó la atención de los que quizás puedan llamarse los modos agentivos: “el agente da lugar a”, “el agente considera verdadero que”, de igual modo (von Wright 1963). Prior introduce el término colectivo “cuasi-modales” para los modos no-aléticos (p. 749) y advierte, acertadamente que “hay un indicio de un enorme campo aquí”. Con posterioridad, se refiere a sus propios operadores temporales como “cuasi-modales” (ver Prior 1968: 138). Por el momento, escribió Formal Logic y defendió el estudio de “la forma modal general ‘es que p”…. como una forma proposicional distinta” observando que “este campo no ha sido muy cultivado” (1955a: 218). Prior y von Wright abonaron el campo, tan investigado en la actualidad, de la lógica intensional, como es llamada en la que la sintaxis y posteriormente la semántica, prepararon el estudio de las modalidades aléticas como son utilizadas en un amplio rango de conceptos cuasi-modales. La lógica deóntica de Von Wright y la lógica temporal de Prior fueron las primeras en este campo. Otras han sido la lógica de la acción y la lógica de los modos agentivos.

Prior se convenció que ningún análisis metalingüístico satisfactorio podría ser dado para las sentencias de la forma “es que p”. En Formal Logic escribió “es evidente, por ejemplo que no hablo sobre la sentencia ‘Sócrates está muerto’ cuando digo ‘quisiera

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que Sócrates estuviera muerto’” (1955a: 219). En Time and Modality, reitera el punto que está en conexión con los tiempos “el profesor Carnap está volando a la luna… es, obviamente, una sentencia sobre el profesor Carnap y, obviamente, no una sentencia sobre la sentencia ‘el profesor Carnap está volando a la luna’” (1957: 8). ¿En qué consiste el valor semántico de una expresión reemplazando p en una sentencia de la forma modal general “es que p”? Ciertamente, no es un valor de verdad, como es el caso del extensional cálculo proposicional estándar, pues sustituir una expresión diferente con el mismo valor de verdad en la sentencia de la forma “es que p” puede alterar el valor de verdad de la última expresión. La respuesta de Prior –en un sentido equivale al rechazo de la cuestión- es que las funciones modales adoptan proposiciones como argumentos, pero tales proposiciones son construcciones lógicas. Todas las sentencias que contienen la palabra “proposición”, incluidas las sentencias como “un operador modal expresa una función desde las proposiciones a los valores de verdad”- significa más o menos que las sentencias no contienen ni esta palabra ni una equivalente. En esencia, la idea de Prior es que hay allí un contexto intensional no intensiones1. Los últimos seis años en la vida de Prior trabajó en un libro que pretendía dar una expresión sistemática de sus ideas sobre las proposiciones. El manuscrito completo, que Prior tituló “Objects of Thought”, fue publicado póstumamente en 1971.

De los cuatro artículos que marcaron el comienzo explosivo de la carrera de Prior como lógico formal en 1952, dos conciernen a la lógica modal. “Modality De Dicto and Modality De Re” es una discusión de esta distinción tal y como aparece en Aristóteles, Ockham y Peter of Spain junto a una comparación de estas primeras ideas con aquellos de von Wright en An Essay on Modal Logic. En “In What Sense is Modal Logic Many-Valued?”, propone una interpretación de las matrices de cuatro valores de £ukasiewicz para la lógica modal. Este artículo marca el comienzo del estudio de Prior del trabajo de £ukasiewicz en modalidad. Poco después lee a £ukasiewicz, ampliamente –incluso material en polaco-, del cual dijo “los símbolos son tan iluminadores que el hecho de que el texto sea tan incomprensible no importa mucho”. En el prefacio a Time and Modality, escribió: “mientras difiero, radicalmente, del profesor £ukasiewicz en relación a la lógica modal, mi deuda con él, será puesta de manifiesto en casi todas las páginas”.

Las detalladas contribuciones de Prior al desarrollo de la lógica modal son ingentes. Al menos, en un aspecto, su trabajo no es recibido con el reconocimiento que se merece. Prior y su colaborador Carew Meredith inventaron los elementos principales de la semántica de mundos posibles para la lógica modal proposicional muchos años antes de Kripke, incluyendo la importante relación binaria que abre el camino a las diferentes extensiones de los sistemas de modelos. (Meredith fue un lector en Matemáticas en el Trinity Collage Dublín, cuyo interés en lógica fue estimulado por la llegada de £ukasiewicz a Dublín poco después de la guerra.

La invención es prefigurada en el penúltimo capítulo de The Craft (completado en 1951).

Dada la similaridad en el comportamiento de los signos de modalidad y los signos de cantidad, podemos decir varias cosas. Quizás, por ejemplo, sea que los signos de la modalidad actúan como cuantificadores ordinarios sobre un tema particular, a saber, como posibles descripciones de estado… No podría ser acertado describir las teorías de esta clase como ‘reduciendo la modalidad a la cantidad’. Ellas podrían reducir las distinciones modales a distinciones de

1 Ver Mark Richard, “Propositional Quantification”, en Jack Copeland (1996: 437-460).

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cantidad, pero las variables que los cuantificadores adjuntan retienen algo de su modal significación –significan ‘posibilidades’, ‘casualidades’, ‘descripciones de estado posibles’, ‘posibles combinaciones de valores de verdad”, de igual modo. (pp. 736-7).

Como fuentes para esta idea Prior cita a John Wallis (un lógico del siglo diecisiete) y la explicación de las proposiciones lógicamente necesarias e imposibles dadas por Wittgenstein en el Tractatus (p. 737). De forma interesante, menciona a Carnap sólo en una nota a pie de página. Dice, simplemente: “el profesor Carnap tiene una definición similar de necesidad lógica en términos de lo que llama ‘descripciones de estado’”(ibid.). Prior defiende esta explicación de la modalidad en contra de varias alternativas, por ejemplo, la explicación andersoniana, de acuerdo con la cual “toda mesa aquí es necesariamente marrón” significa “hay una propiedad que toda mesa posee de hecho aquí y es cierto que todo aquello que la posea es, de hecho, marrón”. (John Anderson, profesor de la Universidad de Sydney, fue una figura clave para el desarrollo de la filosofía en Australia).

En 1956, Prior redactó junto con Meredith lo que posteriormente será descrito (1962b: 40) como la “lógica de la accesibilidad del mundo” en un artículo titulado “Interpretations of Different Modal Logics in the ‘Property Calculus’” (Meredith y Prior: 1996). Lleva la atribución “C.A.M., Agosto de 1956; grabado y ampliado por A.N.P.” Prior menciona este artículo en Past, Present and Future (Prior 1967: 42-5) y en su artículo de 1962 “Posible Worlds” y “Tense-Logic and the Continuity of Time”. Este artículo es uno de los primeros en emplear una relación binaria entre posibles descripciones de estado con el fin de distinguir entre S5 y los sistemas más débiles. El artículo de Carnap de 1946 sólo se refiere al S5 y no contiene tal relación.

El cálculo de propiedades es, esencialmente, una variación del cálculo-l de Prior del año 1954 en los que las proposiciones modales-temporales son tratadas como predicados que expresan propiedades de datos. En la versión modal del cálculo, las sentencias de lógica modal son tratadas como si expresaran propiedades de ciertos objetos a, b, c, etc. Los objetos están vinculados por una relación binaria U, (Prior y Meredith no facilitan ninguna explicación de qué tipo es la fórmula ‘Uab’). A continuación, se dan las definiciones de necesidad L y posibilidad M (‘pa’ indica que le objeto a tiene la propiedad expresada en la sentencia p):

(Lp)a=b(Uabpb)(Mp)a=b(Uabpb).

El cálculo consiste en la teoría de la cuantificación ordinaria facilitada por estas definiciones, junto a una serie de axiomas que rigen la relación U y las siguientes cláusulas:

(¬p)a = ¬(pa)(pq)a = (pa)(qa)

esto implica que una proposición modal A es considerada un teorema del calculo si y sólo si Aa es probable para un objeto a arbitrariamente elegido.

Los axiomas para U son seleccionados de una lista que contiene (entre otros):

1. Uaa (U es reflexiva)

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2. Uab(UbcUac) (U es transitiva)3. UabUba (U es simétrica).

El axioma 2 está además presente en el cálculo-l. Prior y Meredith establecen que el principio de distribución L(pq)(LpLq) es un teorema en ausencia de axiomas especiales para U; tal que Lpp es un teorema si el axioma 1 es impuesto; el axioma 2 proporciona el principio de S4 LpLLp; y el axioma 2 junto con el axioma 3 proporciona el principio de S5 MLpLp. (Su aproximación pertenece a la teoría de la argumentación en su orientación básica y no da ningún resultado en cuanto a su completitud). En 1962b y 1962a , Prior extiende la aproximación a los sistemas entre S4 y S5 y los sistemas independientes de S4 entre T y S5.

Como vemos, la idea que las variables de cuantificación del cálculo deben extenderse sobre las posibles descripciones de estado o mundos posibles está presente en The Craft. En 1960, Geach sugirió a Prior que la relación U sea interpretada como relación de accesibilidad entre mundos. Prior nos dijo que Geach puso en marcha la noción de “alcance” de un mundo por otro en términos de lo que Prior describe como “el salto a una dimensión de un vehículo ideado por la ciencia ficción” (Prior 1962a: 36; ver, además, 1962b: 140). Con esta interpretación de U, el cálculo de propiedades puede ser visto como tratando (Lp)a –o “Necesariamente-p en el mundo a” –como abreviatura de “p es verdad en todos los mundos accesibles a a”. A través de las diferentes asunciones sobre “saltos entre mundos”, diferentes versiones de la lógica de la necesidad y la posibilidad se obtienen. (Lemmon, en un borrador de un material pensado para el libro proyectado junto a Danna Scott “Intensional Logic”, erróneamente acreditado a Geach, con la idea de que la relación binaria “sea, intuitivamente, pensada como una relación entre posibles mundos”. En una carta a scott, escrita después de la muerte de Lemmon en 1966, Prior advirtió: “La contribución de Geach no fue la interpretación de [U] como una relación entre mundos (Dios sabe cuando ésta comenzó) sino la interpretación de [U] como una relación de accesibilidad”. La carta es citada por Segerberg en su introducción a Lemmon (1977). Cuando Prior dice “Dios conoce cuando esto comenzó”, presumiblemente, se refiera a la idea que los “objetos” del cálculo son considerados como mundos posibles. Prior pensó correctamente que la historia de esta idea es un enredo. Su prioridad es asignada a menudo a Leibniz pero los escolásticos retrotrajeron la idea de Duns Scoto a William of Ockham. (Knuuttila, 1993).

Parece que la relación binaria aparece por primera vez en Jónsson y Tarski (1951), “Boolean Algebras with Operators”. En su teorema 3.14 establece que toda álgebra cerrada es isomórfica con un sistema algebraico formado por una relación fija, reflexiva y transitiva entre sus elementos; su teorema 3.5 considera además una condición simétrica. En perspectiva, estos teoremas (que tienen que ver explícitamente con álgebras) pueden ser considerados, en efecto, como un tratamiento de todos los axiomas y propiedades de toda la lógica modal así como de sus relaciones de accesibilidad. Con respecto a este artículo, Saul Kripke ha destacado:

Fueron conscientes que había que hacer una lógica modal, podían tener el problema de la completitud para muchos de los sistemas modales proposicionales envueltos y para algunos potentes teoremas. Matemáticamente, no hicieron esto sino que se presentó como un álgebra sin mencionar la semántica, la lógica modal o los mundos posibles supuestos sólo como cuantificadores. Cuando presenté mi artículo en la conferencia de Finlandia en 1962, enfaticé la

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importancia del mismo. Tarski estuvo presente y dijo que ¡fue incapaz de ver ninguna conexión con lo que estaba haciendo!

Durante los siguientes ocho años, la relación binaria fue reinventada por un número de lógicos. Prior, en su presentación a la conferencia de Wellington de 1954 parece haber sido el primero en usar la relación binaria en un explícito contexto modal-temporal. Otros lugares fueron una presentación por Montague de una conferencia en la UCLA en 1945, el propio cálculo de Prior y Meredith de 1956 y Kanger (1957), Hintikka (1957b, 1961) y Kripke (1959a, 1959b, 1963b). Kripke se mostró cordial con los resultados de Kanger que implicaban una relación binaria, al tiempo que él obtenía sus propios resultados. El mismo Kanger leyó el artículo de 1951 de Jonsson y Tarski y descubrió sus resultados como idéntico al de éllos1.

Fue a través de la lectura del artículo de Prior “Modality and Quantification en S5” de 1956 lo que llevó a Kripke a interesarse por la lógica modal. Por aquel entonces, era un escolar, trabajando en lógica en completo aislamiento en Omaha, Nebraska. En 1958, leyó Time and Modality y fue impresionado por el paralelismo establecido por Prior entre las modalidades aléticas y las temporales. (Casi, al mismo tiempo, Prior leyó el primer artículo de Kripke “A Completeness Theorem in Modal Logic” en la referencia de The Journal of Symbolic Logic). Kripke sospechó que fue su lectura de Time and Modality lo que primero le interesó en el problema del tratamiento de las variables implicadas (un constante dominio es llevado a cabo en “A Completeness Theorem in Modal Logic”). Kripke trabajó en la idea de Prior que las variables implicadas quizás llevaran a huecos en los valores de verdad incluso al nivel de la lógica proposicional, aunque no siguió esta línea en su material publicado (ver Kripke 1959b, 1963a). (De esta idea surgió el sistema Q de Prior). Kripke piensa que es probable que fue el trabajo de Prior en las matrices polivalentes en Time and Modality lo que le dio la idea que un modelo de posibles mundos podía convertirse en una matriz polivalente (una idea desarrollada en 1963b).

Kripke escribió a Prior (el 3 de septiembre de 1958) subrayando un error en Time and Modality: contrariamente a la pretensión de Prior, la matriz diodoriana (1957: 23) no es característica de S4. En su última carta, concede una característica a la matriz de S4, la idea que un universo indeterminista ramifica al futuro. Kripke escribe:

En un sistema indeterminado, quizás no deberíamos considerar el tiempo como una serie lineal, como usted ha hecho. En el presente, hay muchas posibilidades que pueden darse –y para cada instante, se dan muchas posibilidades para el siguiente. Por tanto, la forma adopta la forma no de una secuencia lineal sino de un “árbol”.

Esto es, esencialmente, nada más que una interpretación temporal de la semántica relacional de Kripke para la matriz S4 como él mismo indica en su carta. Prior quedó sorprendido por la carta y la envió a Ivo Thomas y John Lemmon2. No fue hasta 1962 que Prior y Kripke se conocieron en una conferencia importante sobre lógica modal y polivalente en Helsinki.

VIDA DE PRIOR

1 Kanger (1957: 39). Para más información ver Jack Copeland “The Genesis of Posible Worlds Semantics” Journal of Philosophical Logic, vol. 31 (2002), pp. 99-137, éste contiene una información más extensa de la anticipación Prior-Meredith de la semántica de mundos posibles.2 Kripke escribió de nuevo el 13 de octubre de 1958. Estas cartas son discutidas en Øhrstrom y Hasle (1993, 1995).

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En 1932, a los 18, Arthur Prior abandonó su casa natal en Masterton al norte de la isla de Nueva Zelanda e ingresó en la Universidad de Otago. Hijo de doctor, sus intenciones eran estudiar medicina. Pronto fue seducido por la filosofía, para la que ganó un BA en 1935. Fue John Findlay, entonces profesor de filosofía en Otago, quién introdujo a Prior en la lógica. Un contemporáneo de Gilbert Ryle y William Kneale, el propio Findlay estudió en Graz y en Oxford; su influyente libro Meinong´s Theory of Objects fue publicado durante el segundo año de Prior en Otago. Bajo la dirección de Findlay, Prior maduró con el texto clásico de W. E. Johnson y estudió los moralistas británicos del siglo dieciocho. Fue Findlay quien primeramente despertó el interés de Prior por la historia de la lógica. En 1949, Prior le escribió: “Debo a su enseñanzas, directa o indirectamente, casi todo lo que sé de Lógica o Ética” y, posteriormente, le describirá, generosamente, como “el padre fundador de la moderna lógica temporal”. (Prior, 1949, p. xi; 1967: 1).

La tesis MA de Prior en la que criticó las aproximaciones formalista y subjetivista a la lógica fue premiada, en segundo lugar, por un examinador externo. Afortunadamente, Findlay conoció a un lógico incipiente cuando lo vio y aseguró a Prior como un asistente de lector en Otago. Durante 1937, Prior asistió a cursos de lógica, ética y teoría de la probabilidad. En diciembre de aquel año apareció su primer artículo señalando que una nación es una construcción lógica de individuos, aparecido en el Australasian Journal of Psycology and Philosophy.

En este punto, Prior abandonó, temporalmente, su carrera académica y anduvo durante tres años en plan bohemio por Gran Bretaña y Europa. Regresó a Nueva Zelanda al final de 1940 y salió de las Fuerzas Aéreas en 1945, consiguió una vacante de lector en Canterbury University College en Christchurch. Por ahora, escribió tres nuevos artículos en el Australasian Journal of Psychology and Philosophy (“Can Religión be Discussed?”, “The Meaning of Good” y “The Subject of Ethics”) y por una recomendación firme de Findlay, obtuvo su primer trabajo en 1946. (La vacante de Prior fue creada por la ausencia de Popper de Nueva Zelanda. Prior y Popper no fueron nunca colegas. Aparte de alguna asistencia a las lecturas de la Asociación de los Partidarios de Popper en 1943 no hubo ningún contacto entre los dos).

En Canterbury, Prior fue dejado a sus propios recursos como él se consideró “el único filósofo del lugar”. Llevó la responsabilidad de proporcionarse un currículo amplio y equilibrado, después de nueve años de sequía filosófica. La única manera de hacer frente al aislamiento fue leer todo lo que pudo. En lógica, comenzó por volver a W. E. Johnson. El siguiente fue Studies and Exercises in Formal Logic de J. N. Keynes, entonces fijó su atención en los Principia Matemática. Aprendió mucho sobre la historia de la lógica desde Peirce a quien encontró “magnífico”. Un importante descubrimiento de 1950 fue Précis de logique mathématique de Bochénski. Prior quedó fascinado por la “clara notación simbólica” de £ukasiewicz frente a la notación más usual de Peano-Rusell1 que había seguido con anterioridad. Pronto siguieron Aristotle´s Syllogistic de £ukasiewicz y la Introduction to Logic de Tarski. Prior fue consciente de los polacos que la precisión formal es posible en filosofía y esto le reconfortó. El resultado de las lecturas de Prior para el currículum de filosofía en Canterbury fue que sus estudiantes aprendieron lógica aristotélica y medieval usando la notación polaca,

1 En la notación libre de paréntesis de £ukasiewicz Cpq se escribe por “si p entonces q”, Kpq por “p y q”, Apq, por “o p o q”, Epq por “si y sólo si p entonces q”, Np por “no p”.

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con el libro de Bochénski como manual. “A pesar de su lenguaje difícil, lo descubrí como libro de texto de primera clase para acompañar las lecturas de los estudiantes neozelandeses” (1952: 35).

Una exuberante, de apariencia agradable e incansable vitalidad. Prior es un excelente profesor. No tiene trazas de pomposidad o pretensión. Sus estudiantes aprecian la amistosa bienvenida cuando son recibidos en su casa, sin mencionar su actitud relajada hacia la parafernalia administrativa. En aquellos días, Canterbury University College era un lugar muy anticuado y formal, Prior fue una brisa fresca para sus estudiantes. En un entorno donde la chaqueta y la corbata eran la norma, incluso en el asfixiante verano neocelandés, Prior daba clase en pantalones cortos de color caqui y sandalias romanas. Jim Wilson recuerda la amistosa informalidad de Prior en sus primeros años de clases:

La extraña precisión de un reloj le era ajena, llegaba a menudo tarde a sus clases (nadie más como él a este respecto –fue tan igualitario). Casi siempre, tenía una pinta, escaso de pelo, engominado verticalmente, en bicicleta cuando el tiempo se le echaba encima. A parte de esto, su cartera podría llevar… una berza, un manojo de zanahorias, una hogaza de pan con mantequilla, una botella de leche… hasta que, siempre en el fondo, aparecía el libro que buscaba. De vuelta a la bolsa, el resto de provisiones, podría mirarnos, disculparse por el retraso si fue más de lo habitual y preguntar “bien, ¿por dónde nos quedamos la última vez? Alguien de la primera fila podría consultar sus notas –Arthur podría no haber tenido ninguna- y decir “estábamos con tal y cual”. “¡Ah!, sí, gracias”, Arthur respondería y acto seguido caería dentro de una exposición improvisada en relación con las clases anteriores y estructurada maravillosamente, clara, incluso, si la acaba de pensar con nosotros. Por supuesto, nosotros podríamos interrumpirle y preguntar dudas en cualquier momento, sin afectar para nada el conjunto y la dirección de sus pensamientos.

Poco después de su descubrimiento de Précis de logique mahématique, Prior escribió a Bochénski en Friburgo y después a £ukasiewicz en Dublín. Se emocionó al recibir respuestas. “Estamos muy aislados, siendo pocos y dispersos”, escribió Bochénski.“Es un placer oír a un colega de tan lejos estar interesado en los mismos problemas en los que usted está trabajando y que encuentra que los pequeños escritos pueden ser de utilidad”. Por tanto, comenzó la profusa correspondencia de Prior con lógicos de todo el mundo. Fue un remedio para que su aislamiento se redujera. En 1951 se encontró y entabló amistad con John Mackie y Jack Smart, en una conferencia en Sydney. Fue la primera experiencia de estar en una reunión numerosa de filósofos y su esposa Mary describe la conferencia como su “entrada al ancho mundo”. El mismo año, George Hughes fue nombrado para la Victoria University de Wellington. Prior y Hughes hablaban hasta el alba. Prior fue afortunado en contar con numerosos excelentes alumnos durante sus primeros años, entre los que estaban Jonathan Bennett, Ronald Butler y (poco después) Robert Bull. Para Prior fue un oasis en el desierto. En 1952 consiguió un asistente de lector, Sandy Anderson. Al año siguiente, la facultad de filosofía consiguió un departamento y Prior fue nombrado profesor.

El año 1949 vio la publicación del primer libro de Prior, un delgado pero potente volumen titulado Logic and the Basis of Ethics. Fue publicado por Clarendon Press y pronto alcanzó importancia en Oxford. A Austin le gustó y Ryle aprobó de Prior “su completa carencia de neutralidad”. En la introducción, Prior explica que por “lógica de la ética” “no entiende un especial tipo de lógica, ni una especial rama de la lógica sino una aplicación de la misma”. El libro constituye un examen vigoroso de los argumentos a cada lado del debate naturalista y antinaturalista.

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Logic and the Basis of Ethics no contiene ningún simbolismo y la frase de Prior “la lógica de la ética” es menos que un grito de guerra. Los pocos conceptos técnicos que introduce pertenecen a la lógica silogística. No fue hasta 1952 que Prior comenzó a publicar artículos de lógica simbólica –cuatro de ellos, repentinamente, el mismo año. A la edad inusualmente tardía de 38, Prior se convierte en un lógico formal. Escribió estos artículos mientras completaba lo que estaba destinado a ser su segundo libro The Craft of Formal Logic1. Éste se inició en 1949 como un diccionario de lógica formal pero con el asesoramiento de Clarendon Press, Prior pronto cambió a un formato más ortodoxo. Su interés lógico viró mientras escribía The Craft. A los dieciséis capítulos de la lógica de las categorías, hipotéticos, términos y relaciones sumó uno de lógica modal y otro del método axiomático. Prior terminó el manuscrito en Diciembre de 1951 y lo envió a Clarendon Press; catorce meses después escribieron que estaban de acuerdo con publicar el libro si Prior lo acortaba y daba más énfasis a la lógica moderna. Emprendió los cambios, pero acabó por escribir un libro diferente. Éste fue, finalmente, publicado en 1955 con el título de Formal Logic; hubo una segunda edición en 1962. Las partes de The Craft que no fueron absorbidas en su trabajo posterior fueron publicadas póstumamente bajo el título The Doctrine of Propositions and Terms.

Embebido por la notación polaca y el método axiomático, Formal Logic tipificó la madurez del trabajo de Prior. Enseñó, entusiásticamente, sin esfuerzo que allí estuvo su vida –vida fascinante- antes del aquí y ahora de la lógica. Lo que Prior escribió una vez de £ukasiewicz no es menos verdadero de él mismo: “habiéndose distinguido como un lógico matemático al estilo moderno, al mismo tiempo, se interesó por la historia de la materia… contribuyendo ambos aspectos al uso de técnicas modernas para producir más claramente lo que los antiguos quisieron decir, así como para aprender de los mismos los útiles mecanismos lógicos que los modernos han, en líneas generales, olvidado”. (Prior, 1952: 37).

Después de Findlay, £ukasiewicz fue la más grande influencia en el desarrollo de Prior como lógico. El artículo de Prior de 1952 “£ukasiewicz´s Symbolic Logic” es uno de los primeros que hace extensivo el uso del simbolismo. (Discute el libro de £ukasiewicz Aristotle´s Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic (publicado en 1951) y dos artículos, “The Shortest Axiom of the Implicational Calculus of Propositions” y “On Variable Functions of the Propositional Argument’s). Prior parece haber aprendido primero del trabajo de £ukasiewicz a través de los escritos de Bochénski (Bochénski fue un alumno de £ukasiewicz). £ukasiewicz ha tramado un tratamiento axiomático de la reducción aristotélica de las formas imperfectas de la silogística a la figura primera que Prior encuentra en el libro de Bochénski Precis de logique mathématique (publicado en 1949). Éste sedujo a Prior. Lo adoptó para sus estudiantes a través de sus derivaciones ya en 1951 y resume el sistema de £ukasiewicz al final del capítulo de The Craft. A través de este capítulo hace extensivo el uso de la notación simbólica de £ukasiewicz. Fue el tratamiento axiomático de la lógica tradicional de £ukasiewicz que trajo a Prior el poder del método simbólico moderno. No obstante, fue probablemente sus lecturas de £ukasiewicz las que le hicieron ver claro la importancia fundamental de la lógica proposicional. “Parece que Aristóteles no sospechó la existencia de otro sistema de lógica junto a su teoría del silogismo”, £ukasiewicz escribió “incluso, usó intuitivamente las leyes de la lógica proposicional …” (1951: 49). (La axiomatización de £ukasiewicz de la silogística incorpora su propia formalización tri-axiomática de la lógica proposicional (£ukasiewicz 1951: 80)). En su estudio, Prior cita con aprobación

1 La MS de The Craft of Formal Logic está depositado en la Bodleian Library de Oxford.

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la afirmación de £ukasiewicz que “la lógica de los estoicos, los inventores de la antigua forma del cálculo proposicional, fue mucho más importante que el silogismo de Aristóteles” (Lukasieweicz 1951: 131). En The Craft la lógica proposicional es apenas mencionada hasta el final del capítulo, mientras que la Formal Logic comienza con una introducción minuciosa a la materia. En la página 3 de Formal Logic Prior afirma que la lógica de las proposiciones es “básica, y el resto de la lógica se construye encima”. El interés de Prior en las bases económicas para las implicaciones lógicas, inicialmente, deriva del estudio de Peirce, fue estimulado por el artículo de £ukasiewicz “The Shortest Axiom of the Implicational Calculus of Propositions” y los capítulos de Formal Logic representan el trabajo de £ukasiewicz en esta área.

En 1954 Gilber Ryle visitó Nueva Zelanda. Llevó a Prior una invitación para visitar Oxford y pronunciar las Conferencias John Locke. Prior arregló sus cosas en Canterbury y llegó a Oxford al comienzo de 1956. Rápidamente, un pequeño grupo comenzó a formarse en torno suyo: Ivo Thomas, John Lemmon, Peter Geach (de estos encuentros con Prior surgió la primera introducción a la lógica modal de Lemmon). Hughes resume las noticias que llegan a casa de él: “este colono salvaje acaba de llegar a Oxford y comienza a reunir en torno suyo los mejores lógicos y organiza un montón de grupos para trabajar en lógica”. Prior equipa su pequeño piso alquilado con una pizarra de juguete y mantuvo abierta su casa. Los lunes, durante los trimestres Hilary y Trinity, da conferencias sobre lógica modal, su gran pasión, y sobre lógica temporal, su invención. Las conferencias fueron publicadas al año siguiente bajo el título de Time and Modality.

Al terminar el verano, después de las Conferencias John Locke, Prior organiza un coloquio lógico en Oxford. En el Reino Unido en los 50, la lógica estaba muy pasada de moda y los lógicos estaban aislados y algo desmoralizados. Como Prior escribió poco después del coloquio, “Hay lógicos de Inglaterra e Irlanda; pero se debe admitir que están algo dispersos y hasta donde puedo decir, nunca han estado tan cerca como hasta ahora” (Prior, 1956: 186). El coloquio de Prior reunió a Lemmon, Thomas, Geach, Kneale, Lewy, Smiley, Bennett, Lejewski, Faris, Nidditch, Carew Meredith, David Meredith y algunos más. Fue un evento singular y el coloquio se convirtió en un encuentro regular. Por medio de las Conferencias John Locke, el coloquio y los numerosos visitantes llegados al país, Prior ayudó a revitalizar la lógica británica. El grupo compartía similaridades entre el grupo de investigadores que hubo en Varsovia antes de 1939.

Quizás el corazón de Prior haya sufrido duro de regreso a Nueva Zelanda. Después de trece meses de confraternización lógica a gran escala, la vida en Canterbury debe haberle parecido con escasas perspectivas. Estaba rendido con entusiasmo por la causa de la lógica y lanzó de nuevo una correspondencia masiva pero no le satisfizo suficientemente. Prior entristeció. Cuando la oferta llegó, nuevamente, de la Universidad de Manchester. Prior abandonó Nueva Zelanda en Diciembre de 1958.

Estuvo en Manchester siete años. En 1966, Anthony Kenny le recomendó para una beca de investigación en Balliol. Esto supuso una rebaja en estatus y salario, sin mencionar el aumento en las horas de docencia, pero Prior no dudo. Su año sabático en Oxford fue de los más felices. “Esta es la buena vida”, le comentó a George Hughes una vez se estableció en Balliol. Estaba integrado. Pronto ganó una reputación como el mejor de

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los profesores en Oxford –aunque, a veces, sus estudiantes se sorprendían por estudiar a los moralistas del siglo XVIII en lugar de libros de actualidad.

Justo antes de su partida de Manchester, Prior dijo a Tom Richards, un visitante neocelandés, que iba a ir a Oxford con una misión. El propio trabajo de Prior era una fusión ejemplar de filosofía y lógica y fue a Oxford con la intención de interesar a los lógicos matemáticos en filosofía y a los filósofos en lógica matemática. Era una buena oportunidad y Prior no reservó energía en predicar su mensaje

La lógica formal y la filosofía en general tienen que imbricarse una con otra más de lo que hemos supuesto. No quiero subestimar el trabajo de quienes han explorado las propiedades del cálculo simbólico sin ninguna preocupación sobre lo que puede ser usado para significar… No quiero subestimar lo que los filósofos han hecho en el sentido de explorar la lógica intricada y embebida en el discurso común, incluso cuando no derivamos o buscamos derivar nada parecido a un cálculo desde éste… pero estas actividades son o pueden ser, relacionadas unas con otras como la teoría y la observación lo están en la ciencia física; debo confesar que anhelo teorías bien construidas que mucha de la filosofía contemporánea dista de satisfacer. (Prior, 1957, p. vii).

Prior no vivió para disfrutar de la entente cordial entre la filosofía y la lógica que el ayudó a crear. Su salud empezó a fallarle durante su segundo año en Balliol. Se le encontró una angina de pecho y un reumatismo polimiálgico. Durante el otoño de 1969 el reumatismo creció a velocidad constante. Estuvo todo este tiempo sabático en la Universidad de Oslo. El daño no le quitó el entusiasmo por el trabajo. Cumplidamente daba sus seminarios semanales y empleaba el resto del tiempo en pensar cómo cosas tan elementales como colocarse un abrigo podían doler tanto. Su anfitrión le concertó una cita con un reumatólogo quién le prescribió cortisona. En una carta escrita pocos días después y poco antes de su ataque cardíaco, Prior se describió como uno de los milagros de la moderna medicina. “He dormido bien… andando, subido y bajado escaleras… puedo estar sobre una rodilla y poner un calcetín sobre otro (por primera vez en meses)…me han curado, me encuentro bien”.

REFERENCIAS

BELNAP, N. (1991), "Befote Refraining: Concepts for Agency", Erkennis, 34: 137-69.

---------and PERLOFF, M. (1988), "Seeing to it That: A Canonical Form for Agentives", Theoria, 54: 175-99.

BOCHÉNSKI, I. M. (1948), Précis de logique mathématique (Bussum, Pays-Bas: Kroonder).

CLIFFORD, J. (1966), "Tense Logic and The Logic of Change", Logique et Analyse, no. 34: 219-30.

COPELAND, JACK (1996), Logic and Reality. Essays on the Legacy of Arthur Prior, en Jack Copeland (ed.) (Oxford: Oxford Clarendon Press).CREESWELL, M., and CROSSLEY, J. N. (eds.) (1989), "Prior Postscrip".

Unpublished.CURRY. H. B., and FEYS, R. (1958), Combinatory Logic (Amsterdam: North-

Holland).FINDLAY, J. N. (1933), Meinong's Theory of Objects (Oxford: Clarendon Press).---------(1941), "Time: A Treatment of Some Puzzles", Australasian Journal of

Psychology and Philosophy, 19: 216-35.FLEW, A. (ed.) (1951), Essays on Logic and Language (Oxford: Blackwell).GEACH, P. (1970), "Arthur Prior: A Personal Impression", Theoria, 36: 186-8.

19

GIRARD, J. Y. (1987), "Linear Logic", Theoretical Computer Science, 50: 1-102.---------(1988), "Geometry of Interaction". Unpublished.HINTIKKA, K. J. J. (1955), "Form and Content in Quantificational Theory",

Acta Philosophica Fennica, fasc. VIII, pp. 77-55.---------(1957a), "Modality as Referential Multiplicity", Ajatus, 20: 49-64.---------(1957b) Quantifiers in Deontic Logic, Societas Scientarum Fennica

Commentationes Humanarum Litterarum, 23/4 (Helsinki).---------(1958) "Review of Time and Modality", Philosophical Review, 67: 401-4.---------(1961) "Modality and Quantification", Theoria, 27: 119-28.---------(1963) "The Modes of Modality", Acta Philosophica Fennica, fasc. XVI, pp. 65-

81.---------(1969) "Review of Two Papers by Kanger", The Journal of Symbolic Logic, 34:

305-6.HUGHES, G. E. (1971), "Arthur Prior (1914-1969)", Australasian Journal of

Philosophy, 49: 241-43.JOHNSON, W. E. (1921-4), Logic, i-iii (Cambridge: Cabridge Universiy Press).JÓNSSON, B., and TARSKI, A (1951), "Boolean Algebras with Operators", American

Journal of Mathematics, 73: 891-939.JORDAN, A. A. (1945), The Debelopment of Mathematical Logic and Logical

Positivism in Poland between the Two Wars (Oxford: Oxford University Press).KANGER, S. (1957), Probability in Logic (Stockholm: Almqvist & Wiksell).---------(1962), "Review of Prior's 'The Syntax of Time-Distinctions'", The Journal of

Symbolic Logic, 27: 114-15.KENNY, A. (1970), "Arthur Norman Prior", Proceedings of the British Academy, 56:

321-49.KETONEN, J., and WEYHRAUCH, R. (1984), "A Decidable Fragment of Predicate

Calculus", Theoretical Computer Science, 32: 297-307.KEYNES, J. N. (19O6), Studies and Exercises in Formal Logic (London: Macmillan).KNUUTTILA, S (1993), Modalities in Medieval Philosophy (London: Routledge).KRIPKE, S. A. (1959a), "A Completeness Theorem in Modal Logic", The Journal of

Symbolic Logic, 24: 1-14.----------(1959b), "Semantical Analysis of Modal Logic" (Abstract), The Journal of

Symbolic Logic, 24: 323-4.----------(1963a), "Semantical Considerations on Modal Logic", Acta Philosophica Fennica, fasc, XVI, pp. 83-94.----------(1963b), "Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal Propositional

Calculi", Zeitschr. f, math. Logik und Grundlagen d. Math., 9: 67-96.LEMMON, E. J. (1977) "An Introduction to Modal Logic: The 'Lemmon Notes'", ed. K.

Segerberg, American Philosophical Quarterly, Monograph No. 11.LEWIS, C. I. and LANGFORD, C. H. (1932), Symbolic Logic (London: Century).LEWIS, D. K. (1986), On the Plurality of Worlds (Oxdord: Blackwell).ŁUKASIEWICZ, J. (1920), "On Three-Valued Logic, Ruch Filozoficzny, 5: 170-1.

English trans. in L. Borkowski (ed.) Jan Łukasiewicz: Selected Works (Amsterdam: North-Holland, 1970).

----------(1930), "Philosophical Remarks on Many-Valued Systems of Propositional Logic", Comptes Rendus des Séances de la Société des Sicences et des Lettres de Varsovie, 23: 51-77. English trans. in L. Borkowski (ed.) Jan Łukasiewicz: Selected Works (Amsterdam: North-Holland, 1970).

----------(1948), "The Shortest Axiom of the Implicational Calculus of Propositions" Proceedings of the Royal Irish Academy, 52: 25-33.

----------(1951), Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic (Oxford Clarendon Press).

MATES, B. (1953) Stoic Logic (Berkeley: University of California Press).MELLOR, D. H. (1981) Real Time (Cambridge: Cambridge University Press).MEREDITH, D. (1977), "In Memorian: Carew Arthur Meredith (1904-1976)", Notre

20

Dame Journal of Formal Logic, 18: 513-16.MEREDITH, C. A., PRIOR A. N, (1996) “Interpretations of Different Modal Logics in

the ‘Property Calculus’”, en Copeland (1996: 133).ØHRSTRØM, P. and HASLE, P. (1993), "A. N. Prior's Rediscovery of Tense Logic",

Erkennis, 39: 23-50.----------(1995) Temporal Logic: From Ancient Ideas to Artificial Intelligence

(Dordrecht: Kluwer).PLANTINGA, A. (1983), "On Existentialism", Philosophical Studies, 44: 1-20.PRIOR, A. N, (1949), Logic and the Basis of Ethics, (Oxford: Clarendon Press; 2nd edn.

1956)1.----------(1952), "Łukasiewicz's Symbolic Logic", Australasian Journal of Philosophy,

30: 121-30.----------(1953), "Three-Valued and Future Contingents", Philosophical Quarterly, 3:

317-26.----------(1955a), Formal Logic, (Oxford: Clarendon Press; 2nd rev. edn. 1962).----------(1955b), "Diodoran Modalities", Philosophical Quarterly, 5: 205-13. (Cf.

1958).----------(1955c), "Many-Valued and Modal Systems: An Intuitive Approach",

Philosophical Review, 64: 626-30.----------(1956), "Logicians at Play; or, Syll. Simp. and Hilbert", Australasian Journal of

Philosophy, 34: 182-92.----------(1957), Time and Modality, being the John Locke Lectures for 1955-1956

delivered in the University of Oxford (Oxford: Oxford University Press).----------(1958), "Diodorus and Modal Logic: A Correction", Philosophical Quarterly,

8: 226-30.----------(1962a), "Possible Worlds", Philosophical Quarterly, 12: 36-43.----------(1962b), "Tense Logic and the Continuity of Time", Studia Logica, 13: 133-48.----------(1967), Past, Present and Future, (Oxford: Clarendon Press).----------(1968), Papers on Time and Tense (Oxford: Clarendon Press).REICHENBACH, H. (1948), Elements of Symbolic Logic (New York: Macmillan).SEGERBERG, K. (1967), "On the Logic of 'To-morrw'", Theoria, 33: 45-52.----------(1989a), "Getting Started: Beginnings in the Logic of Action", Atti del

Convegno Internazionale di Storia della Logica, Le teorie delle modalità; San Gimignano 5-8 dicembre 1987 (CLUEB: Bologna).

----------(1989b) "Von Wright's Tense Logic", in P. A. Schilpp and L. E. Hhan (eds.), The Philosophy of Georg Henrik von Wright (La Salle, III.: Open Court, 1989).

SOBOCINSKI, B. (1953), "Note on a Modal System of Feys-von Wright", Journal of Computing Systems, 1: 171-8.

TARSKI, A. (1941), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences (New York: Oxford University Press).

THOMAS, I. (1968), "In Memorian: Edward John Lemmon (1930-1966), Notre Dame Journal of Formal Logic, 9:1-3.

----------(1971) "In Memoriam: A. N. Prior (1914-1969)", Notre Dame Journal of Formal Logic.

VON WRIGHT, G. H. (1951a), An Essay of Modal Logic (Amsterdam: North-Holland).----------(1951b), "Deontic Logic", Mind, 60: 1-15.----------(1963), Norm and Action (London: Routledge & Kegan Paul).----------(1965), "And Next", Acta Philosophica Fennica, fasc. XVIII, pp. 293-304.WATTS, I. (1726), Logick; or, The Right Use of Reason in the Enquiry after Truth, 2nd

edn. (London: John Clark &Richard Hett).WEINBERG, J. (1948), Nicolaus of Autricourt: A Study in Fourteenth Century Thought

(New York: Greenwood Press).

1 Para una bibliografía completa de Arthur Prior, ver Jack Copeland (1996: 519-532).

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