Aplicacion de modelos termohidrodinamicos delubricacion para cojinetes de maquinas rotativas:

analisis de flujos laminares y turbulentos

J. Durany, J. Pereira–Perez, F. Varas

Dep. de Matematica Aplicada II, Universidad de Vigo. 36310-Vigo (Spain)

{durany, pereira, curro}@dma.uvigo.es

Resumen

La aplicacion industrial que se presenta trata de analizar las condicionesde operacion de cojinetes radiales y axiales que soportan maquinas rotativasde propulsion de barcos, con la dificultad adicional que comporta la pequenaviscosidad del agua marina como fluido lubricante. Este efecto origina numerosde Reynolds muy grandes que conducen a influencias de las fuerzas inercialesy a la aparicion de la turbulencia. Para tenerlo en cuenta , se propone unamodificacion del clasico modelo de lubricacion de Reynolds, siguiendo las ideasde Constantinescu- Galetuse [1], que definen la viscosidad turbulenta en cadapunto de la pelıcula lubricante en base al flujo dominante de Couette prome-diando las velocidades.

Para la resolucion numerica del modelo, donde intervienen problemas defrontera libre o movil (cavitacion) y terminos no lineales de generacion termica,se proponen metodos de elementos finitos y volumenes finitos para las discretiza-ciones espaciales de los subproblemas, combinados con distintos algoritmos paratratar las no linealidades.Seccion en el CEDYA 2011: MAI Modelizacion y Aplicaciones a la Industria

1 Introduccion

En la modelizacion de problemas de lubricacion hidrodinamica de cojinetesmecanicos es habitual considerar fluidos isotermos. Sin embargo, cuando eldispositivo trabaja con altas velocidades de rotacion y cargas considerables, laenergıa disipada por efectos termicos es muy importante y produce aumentosde temperatura que disminuyen la viscosidad del lubricante. En algunos traba-jos previos (ver Durany–Pereira–Varas [2], [3] y [4]) los autores han presentadomodelos termohidrodinamicos para el fluido lubricante, incluyendo el intercam-bio termico con el eje y el cojinete y, en caso de regımenes transitorios, el analisisde la estabilidad dinamica del par.

En concreto, el modelo matematico consiste en un sistema de ecuacionesen derivadas parciales no lineales evolutivas, donde interviene el problema defrontera movil de la ecuacion de Reynolds con un modelo de cavitacion de Elrod-Adams para calcular la presion del fuido lubricante, la ecuacion de la energıapara la temperatura del fluido y unas ecuaciones de conduccion termica en el ejey en el cojinete. El acoplamiento de las ecuaciones viene dado por la variacion

de la viscosidad en funcion de la temperatura en la ecuacion del flujo y por lainfluencia del campo de velocidades en la ecuacion de la energıa. Ademas, elintercambio termico del fluido con el dispositivo se formula con condiciones decontorno en las paredes de contacto con eje y cojinete.

Ası, la resolucion numerica del problema hidrodinamico se realiza mediantediscretizaciones de elementos finitos combinadas con tecnicas upwind para losterminos convectivos y con un algoritmo de dualidad para la no linealidad queorigina el problema de frontera movil. La solucion de la ecuacion de la energıa enel fluido lubricante se obtiene mediante un esquema de volumenes finitos de tipocell-vertex de orden dos. En caso de ser necesario la resolucion de la ecuacionde conduccion termica en el cojinete, se utiliza un metodo de elementos decontorno P1 y tecnicas de reciprocidad dual temporal. Finalmente, se resuelveun modelo termico simplificado en el eje, que se considera isotermo debido a lasaltas velocidades de rotacion.

Sin embargo, en algunas simulaciones numericas efectuadas en casos realesde cojinetes axiales y radiales utilizando como fluido lubricante agua marinase pueden cuestionar los resultados con el modelo laminar, ya que estan apare-ciendo numeros de Reynolds muy grandes. En efecto, a partir de un valorcrıtico del numero de Reynolds, la solucion laminar se desestabiliza y apare-cen las estructuras asociadas al flujo turbulento. Por ello, en este trabajo seintroducen modelos que permiten tratar la presencia de la turbulencia en loscojinetes, incluyendo terminos de inercia (no lineales), que pueden ser impor-tantes con numeros grandes de Reynolds. Con todo ello, se pretende analizarel comportamiento de los cojinetes (presiones, temperaturas, capacidades decarga, excentricidades, espesores mınimos de pelıcula, etc.) mediante simula-ciones numericas y comparar las soluciones que se obtienen con flujos en regimenlaminar y flujo turbulento.

Para la organizacion del trabajo, se comienza recordando los modelos ter-mohidrodinamicos laminares para cojinetes axiales y radiales, se continua conlos modelos hidrodinamicos turbulentos y con inercia, y se finaliza con los resul-tados numericos comparativos para un acoplamiento real de un cojinete axial yotro radial operando simultaneamente en la maquina rotativa.

2 Modelo termohidrodinamico laminar para co-jinete axial

En este apartado se recuerdan las ecuaciones clasicas que intervienen en unmodelo hidrodinamico laminar para los patines de un cojinete axial (ver [5],entre otros). La ecuacion de Reynolds en el plano (x, z) viene dada por:

∂

∂x

(ρG

∂p

∂x

)+

∂

∂z

(ρG

∂p

∂z

)=

∂

∂x

(ρu2

(h− I2

J2

))+

∂

∂z

(ρw2

(h− I2

J2

)),

(1)siendo p la presion, ρ la densidad del fluido, G el coeficiente de flujo (dependientede la viscosidad), (u2, w2) las componentes de la velocidad de giro del cojinete, h

Figure 1: Patın adimensionalizado del cojinete axial.

la funcion espesor de la pelıcula lubricante e J2, I2 dos funciones que dependende la viscosidad y estan definidos mas adelante en (11), (12), respectivamente.

Para simplificar los calculos se realiza la adimensionalizacion del problemaen uno de los patines (ver figura 1). Las formulas para esta adimensionalizacionson:

x = Rix (2)z = Riz (3)y = h y (4)

µ = µ0µ (5)h = C h (6)

p = µ0ω

(Ri

C

)2

p (7)

u = ωRiu (8)w = ωRiw (9)

donde Ri representa el radio interno del patın, C el desnivel o rebaje del patın yh la altura de la pelıcula segun la geometrıa de la norma ISO-12131 (ver figura2). Ademas, µ0 es la viscosidad del fluido en la ranura de alimentacion, que seutilizara de referencia, (u, w) las componentes de la velocidad del fluido y ω lavelocidad angular de rotacion del cojinete.

Teniendo en cuenta que la definicion del coeficiente de flujo viene dado por:

G =∫ h

0

y

(y − I2

J2

)1µ

dy, (10)

donde:

J2 =∫ h

0

1µ

dy =∫ 1

0

1µ0µ

hdy =h

µ0

1µ

=Ch

µ0

1µ

, (11)

I2 =∫ h

0

y

µdy =

∫ 1

0

hy

µ0µhdy =

h2

µ0

12µ

=C2h2

µ0

12µ

, (12)

Figure 2: Geometrıa patın norma ISO-12131. 1- Superficie de la cuna, 2- Super-ficie rotante, 3- Superficie soporte, 4- Ranura de alimentacion, 5- Patın siguiente.

(ya que la viscosidad se toma constante en altura), entonces sustituyendo en Glas expresiones anteriores se tiene:

G =∫ 1

0

Chy

(Chy − Ch

12

)1

µ0µChdy =

C3h3

µ0µ

∫ 1

0

y

(y − 1

2

)dy, (13)

y resolviendo la ultima integral se obtiene:

G =C3h3

µ0µ

[y3

3− y2

4

]1

0

=C3 h3

µ0 µ

112

. (14)

Aplicando estos cambios en la ecuacion (1) se tiene:

∂

∂x

(h3

12µ

∂p

∂x

)+

∂

∂z

(h3

12µ

∂p

∂z

)=

∂

∂x

(u2

h

2

)+

∂

∂z

(w2

h

2

). (15)

La ecuacion (15) se completa con las condiciones de contorno en la fronteradel dominio.

La adimensionalizacion para las componentes de la velocidad esta dada por:

u = −h2 ∂p

∂x

(I2

J2J − I

)+ u2

J

J2, (16)

w = −h2 ∂p

∂z

(I2

J2J − I

)+ w2

J

J2, (17)

donde J , I son integrales iguales a J2, I2, respectivamente, pero con lımites deintegracion entre cero y un valor y.

En cuanto al problema termico en el fluido, se parte de la ecuacion de laenergıa adimensionalizada (ver [2]):

Pe

(u

∂Tf

∂x+ w

∂Tf

∂z

)=

1h2

(∂2Tf

∂x2+

∂2Tf

∂z2

)+ Nd

µ

h2

[(∂u

∂y

)2

+(

∂w

∂y

)2]

,

(18)donde Pe, el numero de Peclet, y Nd, un parametro adimensional asociado a ladisipacion viscosa, estan definidos por:

Pe =ωC2[ρfcfϑ + ρaca(1− ϑ)]

[kfϑ + ka(1− ϑ)]; Nd =

ϑµ0ω2Ri

2

[kfϑ + ka(1− ϑ)]T0, (19)

siendo ρf , cf , kf , ρa, ca, ka la densidad, el calor especıfico y la conductividad delfluido y el gas, respectivamente, T0 la temperatura de referencia y ϑ una variablede concentracion del fluido en tanto por uno que se toma igual a uno cuandono se considera el fenomeno de la cavitacion. La ecuacion (18) se completa conla condicion Dirichlet en la frontera de alimentacion (temperatura conocida).

Respecto al termino de generacion del segundo miembro de (18), que de-pende del gradiente en altura de las velocidades, se realiza un promedio con-siderando la temperatura homogenea en la coordenada altura y, por tanto, laviscosidad µ constante. De este modo, la expresion de la componente circunfer-encial de la velocidad (16) se escribe:

u = − h2

2µ

∂p

∂x

(y − y2

)+ u2y (20)

donde el valor de y varıa entre 0 y 1. Derivando la expresion con respecto a y:

∂u

∂y= − h2

2µ

∂p

∂x(1− 2y) + u2, (21)

y elevando al cuadrado, finalmente se promedia en la forma:⟨(

∂u

∂y

)2⟩

=43

(h2

2µ

∂p

∂x

)2

+ u22. (22)

De forma analoga se obtiene la expresion para(

∂w

∂y

)2

.

3 Modelo termohidrodinamico laminar para co-jinete radial

En esta seccion se recuerda el modelo termohidrodinamico clasico en el analisisde la lubricacion de cojinetes radiales (ver [5], entre otros).

La ecuacion de Reynolds en el dominio (x, z) ∈ [0, 2πRa]× [0, L], siendo Ra

y L el radio y la longitud axial del eje, viene dada por:

∂

∂x

(ρG

∂p

∂x

)+ η2 ∂

∂z

(ρG

∂p

∂z

)=

∂

∂x

(ρu

(h− I2

J2

)), (23)

Figure 3: Representacion en 3D del cojinete con varias ranuras de alimentacion

siendo p la presion, ρ la densidad, η = L/Ra, G un coeficiente de flujo dadoen (10) (dependiente de la viscosidad), u la velocidad lineal de movimiento deleje, h la funcion espesor de la pelıcula lubricante y J2, I2 dos funciones quedependen de la viscosidad dadas en (11), (12), respectivamente.

Se realiza la adimensionalizacion del problema utilizando los cambios:

x = Raθ (24)

z =L

Raz (25)

µ = µ0µ (26)h = C h (27)

p = µ0ω

(Ra

C

)2

p (28)

u = ωRau (29)w = ωRaw (30)

donde Rc representa el radio exterior de la llanta, C = Rc−Ra la diferencia deradios entre la parte fija y la parte movil, y h el espesor adimensionalizado dela pelıcula lubricante (ver figura 3):

h = 1 + ε cos(θ), (31)

donde ε es el coeficiente de excentricidad. Ademas, µ0 es la viscosidad delfluido en la ranura de alimentacion, que se utilizara de referencia, (u,w) lascomponentes de la velocidad y ω la velocidad angular de rotacion del cojinete.

Teniendo en cuenta que la definicion del coeficiente de flujo viene dado por(10), con J2 e I2 definidas en (11), (12), entonces sustituyendo en G, se tiene:

G =∫ 1

0

Chy

(Chy − Ch

12

)1

µ0µChdy =

C3h3

µ0µ

∫ 1

0

y

(y − 1

2

)dy, (32)

y resolviendo la ultima integral se obtiene:

G =C3h3

µ0µ

[y3

3− y2

4

]1

0

=C3 h3

µ0 µ

112

. (33)

Aplicando estos cambios a la ecuacion (23) se establece la forma adimen-sionalizada de la ecuacion de Reynolds para el cojinete radial:

∂

∂θ

(h3

12µ

∂p

∂θ

)+

∂

∂z

(h3

12µ

∂p

∂z

)=

∂

∂θ

(h

2

). (34)

La ecuacion (34) se completa con las condiciones de contorno en la fronteradel dominio.

Las componentes adimensionalizadas de la velocidad estan dadas por:

u = −h2 ∂p

∂θ

(I2

J2J − I

)+

J

J2, (35)

w = −h2 ∂p

∂z

(I2

J2J − I

), (36)

donde I , J , I2, J2, estan dadas por:

I =∫ y

0

ξ

µdξ, (37)

J =∫ y

0

dξ

µ, (38)

y los valores de I2, J2 son los correspondientes a I , J cuando y = 1:

I2 =∫ 1

0

ξ

µdξ, (39)

J2 =∫ 1

0

dξ

µ. (40)

En cuanto al problema termico en el fluido, se considera que las temperaturasque se alcanzan no son lo suficientemente grandes para tener en cuenta losflujos termicos desde la pelıcula de lubricante hacia el eje o el cojinete. Estasimplificacion evita resolver de modo acoplado los problemas termicos en los dos

dispositivos y se limita el estudio a la ecuacion de la energıa adimensionalizadaen el fluido (ver [2]):

Pe

(u

∂Tf

∂θ+ w

∂Tf

∂z

)=

1h2

(∂2Tf

∂θ2+

∂2Tf

∂z2

)+ Nd

µ

h2

[(∂u

∂y

)2

+(

∂w

∂y

)2]

,

(41)donde Tf es la temperatura adimensionalizada en la forma Tf = T0 Tf , con T0

una temperatura de referencia. Ademas, Pe, es el numero de Peclet, y Nd, unparametro adimensional asociado a la disipacion viscosa, y estan definidos enausencia de cavitacion por las expresiones:

Pe =ωC2ρfcf

kf; Nd =

µ0ω2Ra

2

kfT0, (42)

siendo ρf , cf , kf la densidad, el calor especıfico y la conductividad del fluido.Esta ecuacion (41) se completa con la condicion Dirichlet en las parte de la fron-tera por donde entra fluido (temperatura conocida) o bien imponiendo condi-ciones al flujo termico.

Respecto al termino de generacion del segundo miembro de (41), que de-pende del gradiente en altura de las velocidades, se realiza un promedio con-siderando la temperatura homogenea en la coordenada altura y, por tanto, laviscosidad µ constante en altura. De este modo, la expresion de la componentecircunferencial de la velocidad (35) se escribe:

u = − h2

2µ

∂p

∂θ

(y − y2

)+ y (43)

donde el valor de y varıa entre 0 y 1. Derivando la expresion con respecto a y:

∂u

∂y= − h2

2µ

∂p

∂θ(1− 2y) + 1, (44)

y elevando al cuadrado, finalmente se promedia en la forma:⟨(

∂u

∂y

)2⟩

=43

(h2

2µ

∂p

∂θ

)2

+ 1. (45)

De forma analoga se obtiene la expresion para(

∂w

∂y

)2

:

⟨(∂w

∂y

)2⟩

=43

(h2

2µ

∂p

∂z

)2

. (46)

4 Modelo hidrodinamico con inercia y turbulen-cia

El modelo hidrodinamico que se propone se obtiene a partir del planteamientode Kosasih-Tieu [6] e incluye los efectos que puede tener la inercia del fluido

sobre el comportamiento del cojinete axial. Se utilizan en este caso coordenadascilındricas por ser el modo mas directo para aplicar el modelo de turbulenciade Constantinescu-Galetuse [1] al caso del cojinete axial. El modelo con turbu-lencia e inercia queda planteado segun la siguiente ecuacion:

∂

∂θ

(h3Gθ

r

∂p

∂θ

)+

∂

∂r

(rh3Gr

∂p

∂r

)=

∂

∂θ

(Uh

2

)− ∂

∂θ

(h2GθρIθ

)− ∂

∂r

(rh2GrρIr

).

(47)Para adimensionalizar la ecuacion se utilizan las siguientes transformaciones:

U = ω r u (48)

Uθ = ω R uθ (49)

Ur = ω R ur (50)

h = C h (51)

r = R r (52)

p = µ0ω

(R

C

)2

p (53)

Irr = Irrω2RC , (54)

Ir = Irω2RC (55)

de modo que cada uno de los terminos de (47) se escribe en la forma:

∂

∂θ

(h3

rGθ

∂p

∂θ

)=

∂

∂θ

(C3h3

Rr

Gθ

µ0µ0ω

(R

C

)2∂p

∂θ

)= ωRC

∂

∂θ

(h3

rGθ

∂p

∂θ

)

(56)∂

∂r

(r h3 Gr

∂p

∂r

)=

1R

∂

∂r

(Rr C3h3 Gr

µ0µ0ω

R

C2

∂p

∂r

)= ωRC

∂

∂r

(r h3 Gr

∂p

∂r

)

(57)U

2∂h

∂θ= ωRC

u

2∂h

∂θ(58)

∂

∂θ

(h2GθρIθ

)=

∂

∂θ

(C2

µ0h2Gθρω2RCIθ

)= ωRC

Re∗︷ ︸︸ ︷[ρωRC

µ0

] (C

R

)∂

∂θ

(h2Gθ Iθ

)

(59)

∂

∂r

(rh2GrρIr

)=

C2

µ0

∂

∂r

(rh2Grρω2RCIr

)= ωRC

Re∗︷ ︸︸ ︷[ρωRC

µ0

](C

R

)∂

∂r

(rh2Gr Ir

)

(60)

y, eliminando el factor ωRC en todos los terminos, se obtiene finalmente laecuacion de Reynolds adimensionalizada:

∂

∂θ

(h3

rGθ

∂p

∂θ

)+

∂

∂r

(r h3 Gr

∂p

∂r

)=

=r

2∂h

∂θ−Re∗

(C

R

)∂

∂θ

(h2Gθ Iθ

)−Re∗(

C

R

)∂

∂r

(rh2Gr Ir

), (61)

donde Re∗ =ρωRC

µ0es el numero de Reynolds basado en C (el numero de

Reynolds basado en h serıa Re =ρωRh

µ0, con el espesor h incognita tambien

del problema y, en todo caso, variable). Los coeficientes Gθ y Gr pueden corre-sponder tanto al caso laminar como al turbulento, segun el valor del numero deReynolds basado en h en la seccion vertical considerada. En este sentido, masadelante se muestran las expresiones de dichos coeficientes en el caso turbulento(para el caso laminar coinciden con los presentados en las secciones previascorrespondientes).

Para resolver la ecuacion hidrodinamica (61) es preciso analizar los dosterminos adicionales que aparecen en el segundo miembro con respecto a laecuacion clasica de Reynolds. El calculo de terminos Iθ, Ir (ver (71), (72))requiere el conocimiento tanto del perfil de velocidades del fluido en el interiorcomo la ley de pared. En este sentido, Constantinescu-Galetuse [1] y Kosasih-Tieu [6] (y otras referencias que siguen estos trabajos) recurren a relaciones en-tre las velocidades medias en la seccion y los momentos utilizando coeficientesexperimentales (α, β, γ):

Iθθ = αU2θ h + βU2h− γUθUh (62)

Iθr = α′UθUrh− γ′UrUh (63)Irr = α′′U2

r h , (64)

En realidad estas expresiones estan considerando que los momentos verificanIij ∼ UiUj , es decir, que son proporcionales al producto de las velocidades me-dias en las direcciones consideradas. En el caso de aceptar como validas estasrelaciones, se puede entonces obtener un sistema de ecuaciones adimensional-izado para la presion, velocidades medias y momentos:

∂

∂θ

(h3

rGθ

∂p

∂θ

)+

∂

∂r

(r h3 Gr

∂p

∂r

)=

=r

2∂h

∂θ−R∗e

(C

R

)∂

∂θ

(h2Gθ Iθ

)−R∗e

(C

R

)∂

∂r

(rh2Gr Ir

), (65)

uθ =r

2− h2Gθ

1r

∂p

∂θ−R∗e

(C

R

)hGθ Iθ , (66)

ur = −h2Gr∂p

∂r−R∗e

(C

R

)hGr Ir , (67)

Iθθ = αh u2θ + βhr2 − γ uθ rh , (68)

Iθr = α′ uθ urh− γ′ ur rh , (69)Irr = α′′h u2

r , (70)

Iθ =(

1r

∂Iθθ

∂θ+

∂Iθr

∂r+

Iθr

r

), (71)

Ir =(

1r

∂Iθr

∂θ+

∂Irr

∂r− Iθθ

r

), (72)

que diferentes autores optan por resolver de modo iterativo, considerando quelas correcciones correspondientes a la inercia en la ecuacion de Reynolds sonpequenas. Esto es, se realiza un bucle con los pasos siguientes:

1. Inicializacion de Iθ e Ir a cero.

2. Resolucion de la ecuacion de Reynolds para obtener pi.

3. Calculo de las velocidades (uiθ, uj

r).

4. Calculo de los momentos Iiθθ, Ii

θr, Iirr, Ii

θ y Iir aplicando las formulas

correspondientes.

5. Si el cambio en presion verifica que |pi−pi−1|/pi−1 es mayor que el criteriode parada se vuelve al paso 2, en caso contrario la resolucion ha terminado.

Cuando el flujo es laminar, los coeficientes de viscosidad Gθ y Gr que inter-vienen en (65) tienen expresiones analıticas que los relacionan con la viscosidady el perfil de velocidades en la seccion. En el caso de flujo en regimen turbulentola viscosidad es variable en la seccion y el perfil de velocidad es mas difıcil dedeterminar, existiendo varios modelos que van desde los que determinan el perfilde velocidades a aquellos que emplean relaciones experimentales. Por ejemplo,el modelo de Boussinesq pertenece al primer grupo y desarrolla un perfil develocidades proponiendo una formula para la variacion de la viscosidad con ladistancia a las paredes.

Un modelo mas sencillo se utiliza en Constantinescu-Galetuse [1] y en Kosasih-Tieu [6], donde se relacionan los coeficientes Gθ y Gr con el numero de Reynoldsen la seccion. Este modelo se caracteriza por no hacer una transicion suave entrela capa lımite laminar adyacente a las paredes del conducto y la zona centralplenamente turbulenta. En la zona laminar se considera un comportamientode viscosidad constante mientras que en la zona turbulenta la viscosidad varıaproporcionalmente al cuadrado de la distancia a la pared y al gradiente de ve-locidad relativa a la misma. Las formulas de los coeficientes de la ecuacion deReynolds ası obtenidos han sido corregidas a partir de resultados experimen-tales. Ası, para regımenes turbulentos donde el rango del numero de Reynoldsverifica: 103 < Re < 105, estos autores proponen las formulas:

Gθ =1

(12 + 0.0136Re0.9)µ, (73)

Gr =1

(12 + 0.0043Re0.96)µ, (74)

que pueden ser utilizadas en la ecuacion (65), ya que los numeros de Reynoldspara los datos de los cojinetes lubricados con agua marina estan dentro de eserango (aproximadamente Re = 2.2 × 104).

5 Resolucion numerica y resultados

Para la resolucion numerica de los modelos, tanto en regimen laminar comoturbulento, se utilizan los mismos metodos expuestos en [2], [3] y [4]. Esto es,principalmente metodos de elementos finitos de Lagrange P1 (lineales en cadaelemento de la malla) y metodos de caracterısticas para el tratamiento de losterminos convectivos en los problemas hidrodinamicos y metodo de volumenesfinitos para la ecuacion termica del fluido.

Los datos que se van a utilizar para comparar los resultados del regimenlaminar con el turbulento e inclusion de inercias se pueden ver en la tabla 1, paralos patines de un cojinete axial, y en la tabla 2, para el cojinete circunferencial.

Sımbolo Valor Sımbolo ValorRe 219 mm ρf 1025 kg/m3

Ri 166, 5 mm cf 4000 J/(kg K)ωmax 1315 rpm kf 0.6 W/(m K)Fmax 4.5 kN T0 273K (0oC)Tref 35oC µ0 0.00188 Pa sC 0.1mm β 0.0236

Table 1: Datos cojinete axial.

Sımbolo Valor Sımbolo ValorRa 170 mm ρf 1025 kg/m3

C 0.83mm cf 4000 J/(kg K)L 34 mm µ0 0.00188 Pa s

Fmax 250N T0 273K (0oC)ωmax 1315 rpm kf 0.6 W/(m K)Talim 308K (35oC) β 0.0236 K−1

Table 2: Datos cojinete radial.

En el caso del patın, se utiliza el mecanizado radial y circunferencial conC = 0.1mm (en algunos ejemplos se ha utilizado C = 0.2mm) constante entoda la geometrıa hasta llegar a la zona lisa de mınimo espesor, que ocupa el20% de la longitud del patın. Se utilizan 10 patines en el cojinete con ranurasde separacion de 10mm y profundidad de 3mm.

En el caso del cojinete radial, se utilizan 8 ranuras de alimentacion (verfigura 4) de 9,5mm de anchura y 3mm de profundidad.

Figure 4: Representacion de la distribucion de las ranuras en el cojinete radial.

El coeficiente de rugosidad del material utilizado en los dos cojinetes es0.001.

5.1 Resultados con flujo laminar y flujo turbulento

En las figuras 5, 6 se pueden observar las diferencias de los resultados de sus-tentacion para el patın del cojinete axial en el regimen laminar y en el turbulento(incluyendo la inercia en algun caso). Es evidente que se aprecia una mejor sus-tentacion en el caso turbulento. Esto era esperable, puesto que la sustentacionaumenta con la viscosidad y la turbulencia produce un aumento de la viscosi-dad efectiva. En el grafico de la derecha de la figura 6 se ha representado lavariacion porcentual de la sustentacion en funcion de hmin al considerar losefectos de inercia. Se comprueba que los efectos son poco importantes.

En las figuras 7 y 8 se presentan la presion laminar y turbulenta en el patınpara diferentes condiciones de contorno. En las figuras 9 y 10 se incluyen ademaslos efectos inerciales. Claramente, las diferencias de presiones vienen dadas porel regimen turbulento mientras que los efectos inerciales se manifiestan pocoimportantes.

Analogamente, en la figura 11, se puede observar las diferencias en los re-sultados en el caso del cojinete radial segun el regimen del flujo . De nuevo, seobtienen mejores resultados para el regimen turbulento.

5.2 Resultados con flujo laminar y flujo turbulento parael acoplamiento de los cojinetes axial y radial

En este apartado se presenta el modelo hidrodinamico para los dos cojinetesoperando simultaneamente (ver figura 12). Teniendo en cuenta que los efectos

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

2

103

104

105

Influencia de la turbulencia =1315rpm, C=1.d 4, T=35ºC

hmin ( m)

Carg

a (

N)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

2

103

104

105

Influencia de la turbulencia =1315rpm, C=2.d 4, T=35ºC

hmin ( m)

Carg

a (

N)

Laminar

Turbulento

4500N

Laminar

Turbulento

4500N

Figure 5: Influencia de la turbulencia en la carga soportada para dos valores deC en el cojinete axial (en funcion del espesor mınimo).

10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

2

103

104

105

Influencia de turbulencia e inercia =1315rpm, C=1.d 4, T=35ºC

hmin ( m)

Carg

a (

N)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5Cambio de carga al añadir inercia (100% = sin inercia)

% d

e c

am

bio

hmin ( m)

Laminar

Turbulenta

Turbulenta+inercia

Carga (4.500N)

Figure 6: Influencia de la turbulencia e inercia en la carga soportada por elcojinete axial (en funcion del espesor mınimo).

11

2

0.51.5

3

2

1.5

2.5

3

3.5

2.5

0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Presión patín 4500N, 1315rpmCondiciones Dirichlet en 4 fronterasLínea contínua = presión laminarLínea a trazos = presión turbulenta

Figure 7: Presiones en regimen laminar y turbulento para el patın del cojineteaxial, con condiciones de contorno Dirichlet.

1

0.2

0.8

0.5

2

1.2

0.2

1.6

0.2

1.5

0.2

1

2.5

2

1.4

0.20.2

1.8

2.2

0.2

2.2

0.20.20.20.20.2

0.20.2

0.60.20.2

0.20.20.20.2

0.4

0.20.20.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Patín 4500N, 1315rpmCondiciones Dirichlet+NeumannLínea contínua = presión laminarLínea a trazos = presión turbulenta

Figure 8: Presiones en regimen laminar y turbulento para el patın del cojineteaxial, con condiciones de contorno mixtas Dirichlet-Neumann.

11

22

3

3

0.5

2.52.5

1.51.5

0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Presión con Turbulencia, patín4500N, 1315rpmCondición Dirichlet en las 4fronterasLínea contínua = sin inerciaLínea trazos = con inercia

Figure 9: Presiones en regimen laminar y turbulento con inercia para el patındel cojinete axial, con condiciones de contorno Dirichlet.

termicos calculados en los ejemplos previos no eran muy importantes, no seincluyen los modelos termicos con turbulencia y se analizan los dispositivos paravarias temperaturas constantes del fluido lubricante (aunque algunos valores deesas temperaturas para el agua marina sean excesivamente elevados).

En el acoplamiento de los dos cojinetes en la llanta se produce la circulacionde cierta cantidad de fluido desde la salida hacia la entrada pasando por elentrehierro de la llanta. Esto significa que existe una presion no nula en elborde exterior del cojinete axial que modifica las condiciones de contorno enlos patines. El agua circula desde el entrehierro hacia el cojinete circunferencialpasando por los canales entre los patines y el espacio libre entre patines y apoyo.En la zona de la llanta que existe entre los dos cojinetes se forma un canal en elque se considerara que el fluido presenta una presion homogenea que tendra queser determinada. Finalmente el agua pasa a traves del cojinete circunferencialpor las ranuras y el espacio libre entre las pistas y las paredes (ver el esquemaen la figura 12).

Se presentan ahora algunas consideraciones e ideas principales del procedi-mento de calculo para la resolucion conjunta de los dos cojinetes:

• Presion en el entrehierro. Como no se conoce exactamente este valor sepropone realizar los calculos para dos valores extremos: uno muy grande,por ejemplo: Pe = F

(π Rc2)

, donde F es el empuje ejercido por la maquina(4500N en este caso) y Rc es el radio libre de la llanta por la que fluye elagua impulsada (se ha tomado 150mm) y otro valor de Pe muy pequeno.

0.6111.4

1.4

0.20.2

1.8

0.20.2

1.8

0.8

0.20.20.2

0.8

1.2

2

0.2

1.6

0.20.2

1.2

2

1.6

2.2

0.2

2.2

0.20.20.20.20.20.20.2

0.20.20.20.20.40.40.20.20.20.20.20.2

0.20.2

0.6

0.20.20.20.20.20.2

0.20.2

0.20.2

0.20.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Patín 4500N, 1315rpmCond. Dirichlet+NeumanPresión con turbulenciaLínea continua = sin inerciaLínea a trazos = con inercia

Figure 10: Presiones en regimen laminar y turbulento con inercia para el patındel cojinete axial, con condiciones de contorno mixtas Dirichlet-Neumann.

0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10

50

100

150

200

250

300

Excentricidad

Carg

a (

N)

Efecto de la turbulencia en el problema circunferencial isotermo (L/D=0.2)

LAMINAR

TURBULENTO

CARGA

Figure 11: Influencia de la turbulencia en la carga soportada para el cojineteradial (en funcion de la excentricidad).

Figure 12: Cojinete axial y radial de la maquina rotativa.

• La presion intermedia, Pi, en el espacio entre el cojinete axial y el cojineteradial es desconocida. Para obtenerla se realiza un bucle iterativo, quese describe a continuacion, donde esta presion se va actualizando a cadaiteracion hasta que el caudal que pasa a traves el cojinete axial coincidecon el caudal que pasa a traves del cojinete radial (ver figura 12).

• La presion en la zona de entrada de la llanta (exterior del cojinete radial)se toma igual a cero, ya que no hay cavitacion y hay que fijar una presionde referencia (ver figura 12).

• Para el calculo de los flujos a traves de las ranuras entre pistas o patines delos cojinetes axial o radial debidos a la diferencia de presion se ha empleadoun modelo de flujo en conducto cerrado y se han aplicado las formulasde Moody (ver Anexo A). Esto supone una simplificacion adicional delprocedimiento de calculo, por lo que el valor de los caudales es matizable.

Procedimiento de calculo:La resolucion del problema de los dos cojinetes acoplados se realiza mediante

un procedimiento iterativo que consta de los siguientes pasos:

1. Se inicializa el valor de Pi a Pe/2.

2. Se resuelve el problema hidrodinamico en un patın con las condicionesde contorno siguientes: en el borde exterior P = Pe, en el borde interior

qq

q

q

qq

q

a4

1 3

2

a

3

q a

Pe

Pi

Figure 13: Caudales en el cojinete axial.

Pi

P=0

q 4

q 3q 1

q 2

q 3

q c

q c q c

Figure 14: Caudales en el cojinete radial.

P = Pi y en los canales entre los patines, una presion que varıa lineal-mente entre esos dos valores. Conocida la presion se calcula el campo develocidades del fluido en los patines.

3. Se resuelve el problema hidrodinamico en las diferentes pistas del cojinetecircunferencial con las condiciones de contorno siguientes: P = Pi en lafrontera superior, P = 0 en la frontera inferior y una presion que varıalinealmente entre una y otra en las fronteras correspondientes a los canalesentre pistas. Conocida la presion se calcula el campo de velocidades enlas pistas.

4. Para el cojinete axial: se calcula el flujo de agua (qa) a traves de un canaldel cojinete axial (ver Anexo A) debido a la diferencia de presion Pe−Pi.A esa cantidad se le suma el flujo de agua que sale de los patines haciala zona intermedia y se determina el flujo qa + ∆qa en una ranura delcojinete axial, en la forma: qa +∆qa = qa + q2−q4

2 , donde qa se obtiene enlas formulas del Anexo A, q2 es el flujo de salida desde el patın hacia lazona intermedia interior y q4 es el flujo de salida desde el patın hacia lazona intermedia exterior (ver figura 13). Adicionalmente se ha supuestoque la diferencia de flujos de salida del patın q2 − q4 parte va a la zonaintermedia y parte a las ranuras. El caudal total neto que pasa desde elexterior del patın hacia la zona intermedia Qa es la suma de los caudalesen todas las ranuras.

5. Para el cojinete radial: se calcula el flujo de agua (qc) a traves de uncanal entre las pistas (ver Anexo A) debido a la diferencia de presionesPi − 0. A esa cantidad se le suma el promedio de flujos de salida de lapista siguiendo el mismo criterio del caso axial y se determina ası el flujoqc+∆qc en la ranura del cojinete circunferencial (ver figura 14). El caudaltotal neto que pasa desde la zona intermedia hacia la zona de entrada Qc

es la suma de los caudales en todos los canales del cojinete radial.

6. Como el flujo que pasa del cojinete axial al circunferencial qa + ∆qa debeigualar al que sale del cojinete circunferencial hacia la boca de la llantaqc + ∆qc, se comparan los valores calculados y si el valor de |qa + ∆qa −qc + ∆qc|/qa + ∆qa esta por encima de un criterio de parada establecido,se corrige el valor estimado de Pi segun el siguiente esquema:

En la primera iteracion:

• Si Qc < Qa entonces Pi = (Pe + Pi)/2 y el intervalo de busqueda es(a, b) = (Pe/2, Pe).

• Si Qc > Qa entonces Pi = Pi/2 y el intervalo de busqueda es (a, b) =(0, Pe/2).

En las siguientes iteraciones:

• Si Qc < Qa entonces (a, b) = (Pi, Pb).

10 15 20 25 30 352.52

2.54

2.56

2.58

2.6

2.62

2.64

2.66

Temperatura (ºC)

Cau

dal (

l/seg

)

Problema acoplado con T homogénea (Caudal vs. Temperatura) para C=0.1mm

LaminarTurbulento

Figure 15: Caudales a diferentes temperaturas para el regimen laminar (azul)y turbulento (verde). Caso C = 0.1mm.

• Si Qc > Qa entonces (a, b) = (Pa, Pi).

• Pi = (Pa + Pb)/2

y se retorna al paso 2.

En las figuras 15, 16, 17, 18, 19 y 20 se pueden observar, los caudales,los espesores mınimos para el cojinete axial y la excentricidad para el cojineteradial, en los casos de dos valores de C (C = 0.1mm y C = 0.2mm), interpolandolos valores obtenidos para las temperaturas del agua de 10, 20, 30 y 35oC.Ademas, en la figura 21 se muestra la casi linealidad de los caudales con respectoa la holgura C.

En las figuras 22 y 23 se muestran los perfiles de presiones para los patinesdel cojinete axial y la presion para el cojinete radial, respectivamente. Laspresiones negativas que se observan en la zona de salida del fluido en el cojineteradial se corresponen con zonas por debajo de la presion de referencia.

6 Conclusiones

Algunas conclusiones preliminares que se pueden deducir son las siguientes:Sobre la comparacion del regimen turbulento y el regimen laminar:

• Los caudales en litros por segundo que circulan por los cojinetes axial yradial son similares utilizando cualquiera de los dos modelos (laminar o

10 15 20 25 30 352.85

2.9

2.95

3

3.05

3.1

3.15

3.2

3.25

3.3

3.35

Temperatura (ºC)

Cau

dal (

l/seg

)

Problema acoplado con T homogénea (Caudal vs. Temperatura) para C=0.2mm

LaminarTurbulento

Figure 16: Caudales a diferentes temperaturas para el regimen laminar (azul)y turbulento (verde). Caso C = 0.2mm.

10 15 20 25 30 3540

45

50

55

60

65

70

Temperatura (ºC)

hm

in (

m)

Problema acoplado con T homogénea (hmin

vs. Temperatura) para C=0.1mm

Laminar

Turbulento

Figure 17: Espesor mınimo para patines del cojinete axial a diferentes temper-aturas en el regimen laminar (azul) y turbulento (verde).Caso C = 0.1mm.

10 15 20 25 30 3540

45

50

55

60

65

70

75

80

Temperatura (ºC)

hm

in (

m)

Problema acoplado con T homogénea (hmin

vs. Temperatura) para C=0.2mm

Laminar

Turbulento

Figure 18: Espesor mınimo para patines del cojinete axial a diferentes temper-aturas en el regimen laminar (azul) y turbulento (verde). Caso C = 0.2mm.

10 15 20 25 30 350.85

0.86

0.87

0.88

0.89

0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

Temperatura (ºC)

Excentr

idid

ad (

)

Problema acoplado con T homogénea ( vs. Temperatura) para C=0.1mm

Laminar

Turbulento

Figure 19: Excentricidades a diferentes temperaturas para el cojinete radial enel regimen laminar (azul) y turbulento (verde).Caso C = 0.1mm.

10 15 20 25 30 350.85

0.86

0.87

0.88

0.89

0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

Temperatura (ºC)

Excentr

idid

ad (

)

Problema acoplado con T homogénea ( vs. Temperatura) para C=0.2mm

Laminar

Turbulento

Figure 20: Excentricidades a diferentes temperaturas para el cojinete radial enel regimen laminar (azul) y turbulento (verde).Caso C = 0.2mm.

0 0.05 0.1 0.15 0.22.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

C (mm)

Cau

dal (

l/seg

)

Caudales a T homogénea vs. salto de patín (C), llanta ISO con turbulencia

T=10ºCT=35ºC

Figure 21: Caudales para diferentes casos de C y dos temperaturas extremas.

22

4

4

4

6

8

10

12

14

16

18

Presiones en un patín, caso acoplado (MPa)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Figure 22: Presion en los patines del cojinete axial.

10

5

0

0

5

10

15

Presiones en el circunferencial, caso acoplado (MPa)

Angulo

Anchura

1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Figure 23: Presion en el cojinete radial.

turbulento). En cualquier caso, hay que considerar que se trata de valoresestimativos, ya que se han utilizado algunas simplificaciones en el calculode los flujos que no se corresponden totalmente con la realidad.

• Con el modelo turbulento los valores de espesor mınimo pronosticadospara los patines son menos crıticos que en el caso laminar.

• Con el modelo turbulento los valores de las excentricidades pronosticadasen el cojinete radial son menos crıticas que en el caso laminar.

• El modelo con regimen turbulento pronostica una mayor capacidad decarga que el modelo laminar.

• Dentro del modelo turbulento, los efectos de las fuerzas inerciales no pare-cen muy importantes, tanto en el caso de considerar todas las inerciascomo en el caso de considerar solo la centrıfuga.

Sobre las condiciones de operacion de los cojinetes acoplados:

• La baja viscosidad del agua marina conduce a condiciones de operacioncrıticas con cualquiera de los modelos, laminar o turbulento, (espesoresde pelıcula excesivamente reducido para los patines y excentricidades muygrandes en el cojinete radial).

• Los efectos termicos en las condiciones de operacion no son despreciablespero tampoco parecen ser muy significantes.

• El codigo numerico desarrollado se muestra como una buena herramientapara analizar rapidamente la influencia de algunos parametros en el diseno(numero de patines y su tamano, numero de ranuras y su tamano, cambiosen la geometrıa de la llanta, etc.) para condiciones extremas de velocidad,temperatura, carga, etc.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el Proyecto de InvestigacionMTM2010-21135-C02-02 del Ministerio de Ciencia e Innovacion de Espana yfondos FEDER (EU).

Anexo A. Calculo del flujo en una ranura.

La determinacion del caudal que fluye por las ranuras que existen en los cojinetesse realizo aplicando los metodos convencionales del calculo de flujo en conductoscerrados segun los pasos:

1. Calculo de la altura de perdida de carga ∆h =∆p

ρg, donde ∆p es la

diferencia de presion entre los extremos de la ranura, ρ la densidad delfluido y g la gravedad.

2. Calculo del diametro hidraulico de la ranura Dh = S/P , como seccion dela ranura dividida por su perımetro.

3. Estimacion del factor de perdidas (f) en la ranura a partir de la formula:

1√f

= −2log( εr

3.7

), (75)

que corresponde a un flujo totalmente turbulento, donde εr es la rugosidadde las paredes:

f =[

0.5log(3.7)− log εr

]2

(76)

4. Calculo del caudal Q en la ranura mediante la formula:

Q =

√∆h gπ2D5

h

8fL, (77)

donde L es la longitud de la ranura.

5. Calculo del numero de Reynolds:

Re =4Qρ

πDhµ(78)

6. Calculo del nuevo factor de perdidas aplicando la formula de Moody:

f ′ = 0.001375

1 +

(200εr +

106

Re

)13

(79)

7. Si el valor de |f − f ′|/f es inferior a un criterio de parada establecido setermina el proceso, en caso contrario se vuelve al paso 4.

Bibliography

[1] V.N. Constantinescu, S. Galetuse. Operating characteristics of journal bearings inturbulent inertial flow. J. Lubrication Tech., 104 (1982), 173-179.

[2] J. Durany, J. Pereira–Perez, F. Varas. A cell-vertex finite volume method for thermo-hydrodynamic problems in lubrication theory. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg.,195 (2006), 5949-5961.

[3] J. Durany, J. Pereira–Perez, and F. Varas, Numerical solution of steady and transientproblems in thermohydrodynamic lubrication using a combination of finite element,finite volume and boundary element methods. Finite Elem. Anal. Des., 44 (2008),686-695.

[4] J. Durany, J. Pereira–Perez, F. Varas. Dynamical stability of journal–bearing devicesthrough numerical simulation of thermohydrodynamic models. Tribol. Int., 43 (2010),1703-1718.

[5] J. Frene, D. Nicolas, B. Degueurce, D. Berthe, M. Godet. Lubrification hydrodynamique,Eyrolles, Paris, 1990.

[6] P.B. Kosasih, K. Tieu. An analysis of sector-shaped bearings operating in the transitionregime. Wear, 160 (1993), 291-299.