analisis cuantitativo para la toma de decisiones - bierman, harold(author)

Octava edición
Warren H. Hausman
México, D.F.
Universidad Pontificia de Comillas
McGRAW-HILL
MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID • NUEVA YORK PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SÃO PAULO

ANÁLISIS CUANTITATIVO PARA LA TOMA DE DECISIONES
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 1988, respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE MÉXICO, S.A. de C.V. UNA DIVISIÓN DE THE McGRAW-HILL COMPANIES, INC.
Cedro N° 512, Col Atlampa 06450 México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN 970-10-1690-4 (ISBN 0-256-08267-7 octava edición. Publicado por Richard D. Irwin, Inc.)
Traducido y adaptado de la octava edición en inglés de Quantitative Analysis for Business Decisions Copyright © MCMXCI, by Richard D. Irwin, Inc.
Primera impresión, por Addison Wesley, 1994
1234567890 L.I.-97 9086543217
Impreso en México Printed in México
Esta obra se terminó de imprimir en Mayo de 1997 en Litográfica Ingramex Centeno Núm. 162-1 Col. Granjas Esmeralda Delegación Iztapalapa C.P. 09810 México, D.F.
Se tiraron 4650 ejemplares
Prefacio
En esta octava edición de Análisis cuantitativo para la toma de decisiones, intentamos hacer cambios que sean consistentes con el objetivo que se describió en el prefacio de la primera edición: que el material sea comprensible para los lectores que no tengan amplios antecedentes matemáticos. El principio de cada capítulo presenta material de introducción más amplio y además se añadieron resúmenes de los conceptos más importantes.
Así mismo, se agregaron varios problemas nuevos. Los problemas se agrupan de la manera siguiente: problemas con respuestas, problemas, problemas más difíciles y casos. Al final del libro se encuentran las respuestas al primer grupo de problemas; con esto se presenta la oportunidad de que los estudiantes tengan retroalimentación inmediata. También efectuamos varios cambios en el libro para que la presentación fuera más clara.
Agradecemos el apoyo de Joan Hausman en el rediseño de varias de las figuras y tablas.
La lista de personas que nos han ayudado es cada vez mayor. Queremos extender nuestro agradecimiento especial a los usuarios de las ediciones anteriores que se tomaron la molestia de señalar los errores que cometimos y nos ofrecieron recomendaciones para mejorar esta edición. Se agradece mucho su ayuda.
Para la octava edición reorganizamos y reescribimos gran parte del material acerca de la programación lineal. Incluimos, después del popular capítulo acerca de la formulación de programas para la programación lineal, un capítulo nuevo que abarca la solución gráfica, la solución por computador, la interpretación de precios duales y el análisis de sensibilidad, todo ello con base en el método gráfico y en la interpretación de soluciones por computador. El método símplex se analiza en un capítulo aparte, que puede omitirse, si así se desea, sin menoscabar el conocimiento de las ventajas que presenta la programación lineal para la admi- nistración de empresas.
También modificamos considerablemente el capítulo acerca de la teoría de colas, añadiendo modelos de tiempos de servicio generales y deterministas y haciendo hincapié en los conceptos para la dirección. Agregamos un apéndice al
v
vi Prefacio
capítulo dedicado a la simulación, donde se muestra cómo llevar a cabo una simulación de Montecarlo en una hoja de cálculo. Eliminamos el capítulo acerca de la estadística clásica y agregamos un breve análisis de los diagramas de influencia, el análisis conjunto y la "maldición del ganador" en distintas partes del texto. Así mismo, combinamos dos de los capítulos anteriores —los relacionados con la teoría de la decisión y la modificación de probabilidades— para formar un capítulo integral.
Aunque ya no se considera que Lawrence Fouraker y Robert Jaedicke sean autores del libro, reconocemos que gran parte del material representa sus palabras y sus ideas.
Harold Bierman, Jr. Charles P. Bonini Warren H. Hausman

Queremos agradecer a los siguientes revisores sus valiosas recomendaciones en las ediciones más recientes. Apreciamos sus contribuciones.
Thomas Bolán, University of Illinois Linda Salchenberger, hoyóla University Mary Rolfes, Mankato State University George Vlahos, University of Dayton Peter Ellis, Utah State University Mike Middleton, University of San Francisco Steve Achtenhagen, San José State University G. John Miltenburg, McMaster University Mark Walker, State University of New York—Stonybrook Tim Ireland, Oklahoma State University W. E. Pinney, University of Texas Prem S. Mann, California State University — Fullerton
vii
Extracto del prefacio de la primera edición
La administración de una empresa moderna es una tarea de enorme complejidad. Cada vez es mayor la tendencia a utilizar técnicas y modelos cuantitativos como medio potencial para resolver muchos de los problemas que surgen en la empresa. El propósito de este libro es describir una muestra representativa de los modelos y sus técnicas cuantitativas relacionadas. Esperamos que el libro sirva como base para un curso... que sirva como eslabón entre los cursos matemáticos y los cursos de administración aplicada.
Este libro es una introducción a la aplicación de las matemáticas en los problemas empresariales; no se trata de una introducción a las matemáticas aplicadas. Hemos resumido, de manera un poco burda y simplista desde el punto de vista de un matemático, algunas de las herramientas matemáticas que se emplean. Nuestro propósito es presentar al lector nuestra notación y algunas relaciones básicas, más que enseñarle matemáticas.
Hemos intentado minimizar la cantidad de formación matemática necesaria para leer el libro. . . Los lectores que no tengan conocimiento formal de estos temas no deberán pensar que el libro está fuera de sus posibilidades.
Este libro pretende considerar técnicas que se relacionan con problemas difí- ciles y complejos; por esto, aunque tratamos de usar el medio de exposición más sencillo, evitando las demostraciones y gran parte del rigor característico de estos tratamientos, permanece la esencia de las técnicas. Estas propiedades sólo se pueden comprender si se aplican con paciencia durante un periodo prolongado.
Harold Bierman, Jr. Lawrence E. Fouraker Robert K. Jaedicke

1
2
Decisiones empresariales, 3
Decisiones e incertidumbre, 8
Clasificación de modelos, 9
Problemas sencillos
Problemas complejos
Problemas dinámicos Sistemas de apoyo para las decisiones, 11 Bibliografía, 12 Problemas con respuestas, 12 Problemas, 13 Problemas más difíciles, 13
Introducción a la construcción de modelos, 15
Introducción, 15
ix
Políticas y restricciones Medidas de rendimiento
Variables intermedias El modelo y la relación entre variables, 17 Ejemplo: Modelo de un aserradero, 18
Relaciones: Diagrama de influencia
Relaciones físicas
Relaciones financieras Análisis con el modelo, 22 Implantación del modelo en un computador, 23
Fórmulas para otros trimestres Ejemplos de análisis con el modelo, 27
Análisis de sensibilidad Ejemplo: Modelo New York Tunes, 33 Apéndice: Valor actual y futuro del dinero, 34 Bibliografía, 35 Problemas con respuestas, 35 Problemas, 36 Problemas más difíciles, 37 Caso 2-6: Super Spuds, Inc., 38 Caso 2-7: Chase Manufacturing, 40 Caso 2-8: Gotham City Times, 45
PARTE II Análisis de decisiones, 49
3 Conceptos básicos de probabilidad, 51
Probabilidades objetivas y subjetivas, 51
Enunciados básicos de la probabilidad, 53
Sucesos mutuamente excluyentes, 53
Modificación de probabilidades, 62
Sumas de variables aleatorias Constante multiplicada por una variable aleatoria Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria
Proceso de Bernoulli y distribución binotnial, 70 Distribución de probabilidad binomial, 72 Función de probabilidad binomial, 73 Bibliografía, 76 Problemas con respuestas, 76 Problemas, 78 Problemas más difíciles, 82
4 Toma de decisiones en condiciones de incertidumbre: Modificación de probabilidades, 85
Valor condicional, 85
Utilidad esperada, 91
Valor esperado de la información perfecta, 93
Análisis de sensibilidad de las probabilidades subjetivas, 94
Árboles de decisión, 96
Diagrama de influencia
Análisis del problema de decisión

Caso 4-47: Planta de montaje de automóviles, 136
Caso 4-48: Telco, 137
El problema de decisión, 141 Criterios de decisión, 142
Igualmente probable Maximax
Dominación
Producto de variables aleatorias independientes, 153 Conclusión, 155 Bibliografía, 156 Problemas con respuestas, 156 Problemas, 157 Problemas más difíciles, 160
6 La utilidad como base para la toma de decisiones, 162
Utilidad, 163
Hipótesis psicológicas, 165
Cambio de escala Obtención de una función de utilidad para el dinero, 169
La forma de las funciones de utilidad
Costrucción de una función de utilidad Utilización de funciones de utilidad, 173
Equivalentes ciertos
Primas de riesgo
Funciones de utilidad y preferencia por el riesgo, 177 Funciones de utilidad multiatributo, 180
Atributos no comparables: Dominación
Bibliografía, 190
Distribución de probabilidad normal y valor de la información, 196
Distribuciones de probabilidad, 196
La distribución de probabilidad normal, 201
Colas a la izquierda y a la derecha, 203
La variable normal estandarizada y tablas de probabilidad normal, 204
Probabilidades a priori normales y el valor de la información, 206
Bibliografía, 213
Distribuciones de probabilidad, 220 Modificación de la distribución a priori, 223
Modificación de la desviación estándar Distribución normal a posteriori y toma de decisiones, 226 Decisión de muestrear, 227
Situación inicial
Distribución esperada a posteriori Valor esperado de la información de la muestra

Juegos, 244
Estrategias mixtas, 248
Solución gráfica, 249
Solución algebraica, 252
Solución de programación lineal Evaluación de la estrategia minimax, 254 Juegos con suma distinta de cero, 255 Resultados inciertos, 256 Oferta competitiva: Maldición del ganador, 256 Conclusiones, 257 Bibliografía, 258 Problemas con respuestas, 258 Problemas, 259 Problemas más difíciles, 260
PARTE III Programación matemática, 263
10 Introducción a la programación lineal, 265
Formulación de problemas de programación lineal, 267 Ejemplo 1: Problema de mezcla de productos Ejemplo 2: Problema de transporte Ejemplo 3: Problema de mezcla Ejemplo 4: Problema de programación de actividades Ejemplo 5: Modelo integrado de planificación corporativa
El arte de formular modelos de programación lineal, 278
Limitaciones de la programación lineal, 281
Bibliografía, 282
Caso 10-29: Tienda de departamentos Racy's, 299
Caso 10-30: Daguscahonda Mines Company, 300

Solución gráfica, 302
Precios duales
Intervalos de variación del término independiente, 313 Análisis de sensibilidad: Evaluación de nuevos productos, 315 Análisis de sensibilidad: Coeficientes de la función objetivo, 316 Minimización, 318 Método algebraico, 320 Solución por computador de problemas de programación lineal, 324
Programación lineal en paquetes de hoja de cálculo Programación paramétrica, 326
Apéndice: Interpretación de resultados de LINDO, 333 Bibliografía, 337 Problemas con respuestas, 337 Problemas, 338 Problemas más difíciles, 344
12 Programación lineal: Método símplex , 351
Formulación algebraica, 351
Método símplex, 352
Tabla del símplex
Tercera solución
Degeneración
Análisis de sensibilidad, 373 Interpretación económica de los valores C j - Z j
Intervalos del término independiente
Cambios en los precios
Adición de nuevos productos
Intervalos del término independiente

Bibliografía, 394
Problema de transporte, 404
Evaluación de rutas alternativas
Soluciones por computador
Interpretaciones económicas, 410
Cambios en costos de envío
Ventajas de la ubicación Objetivos múltiples y programación por metas, 412
Método 1: Un sólo objetivo con otros como restricciones
Método 2: Definición de compensaciones entre objetivos Método 3: Programación por metas Método 4: Programación por prioridades
Apéndice: Problema de transporte expresado en forma convencional de programación lineal, 419
Bibliografía, 420
14 Programación entera y procedimientos de ramificación y acotamiento, 429
Formulación de problemas de programación entera, 431
Problema de cargo fijo
Restricciones mutuamente excluyentes Ejemplos de formulaciones enteras, 433
Problema de presupuesto de capital Problema de expansión de capacidad
xvi
Índice general xvii
Tamaño y ubicación de fábricas Solución de problemas de programación entera, 439 Algoritmo de ramificación y acotamiento Árbol de posibilidades de solución
Solución del ejemplo por ramificación y acotamiento
Discusión
Bibliografía, 459
Caso 14-26: Rodney Development Company, 472
PARTE IV Modelos deterministas y probabilísticos, 475
15 Control de inventarios con demanda constante, 477
Análisis ABC, 478
Realización de un análisis ABC
Advertencias con respecto al análisis ABC Cantidad económica de pedido con demanda conocida, 481
Sensibilidad de los costos ante errores en Q
Descuentos por volumen, 485
Pedidos permanentes
Hipótesis de flujo continuo de un producto, 487 Sistemas de inventario justo a tiempo, 488
Rotación de inventarios

16 Control de inventarios con reorden y demanda incierta, 497
Modelo de costo de escasez, 500
Hipótesis, 500
Modelo, 500
Punto óptimo de pedido: método marginal, 501
Cálculo de la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega (σ M ) Costo total esperado Modelo de nivel de servicio, 507 Otras mediciones de la escasez Sistemas justo a tiempo
Apéndice: Determinación del punto óptimo de pedido y tamaño del pedido, 509
Bibliografía, 512
17 Control de inventarios con incertidumbre y sin reorden, 517
Método marginal, 518
Uso de una distribución continua de probabilidad, 522
Costos relevantes Bibliografía, 525 Problemas con respuestas, 526 Problemas, 526 Problemas más difíciles, 528
18 Colas de espera: Teoría de col as, 532
Experiencia y colas Modelos matemáticos de colas, 533 Modelo de colas con un solo punto de servicio, 535 Comportamiento del sistema de colas, 539 Tiempos generales de servicio: Modelo M/G/l, 540 Tiempos constantes de servicio: Modelo M/D/l, 541
El papel de la variabilidad

Apéndice 2: Obtención de la fórmula básica de colas, 552
Bibliografía, 554
19 Simulación, 559
Simulación probabilística, 560
Simulación y computadores Simulación y control de inventarios, 565 Análisis de riesgo, 567 Simulación con distribuciones continuas de probabilidad, 572
Método gráfico Generación de variables aleatorias por computador
Simulación de sistemas complejos, 574
Apéndice 1: Método algebraico para generar variables aleatorias, 576 Apéndice 2: Simulación de Montecarlo en hojas de cálculo, 577 Bibliografía, 587 Problemas con respuestas, 587 Problemas, 588 Problemas más difíciles, 589
20 PERT: Técnica de evaluación y revisión de programas, 592
Requisitos de información
Diagrama de red Ruta crítica, 594
Algoritmo para la ruta crítica
Holgura y ruta crítica
Caso II: Tiempos de actividad inciertos, 603

Análisis a corto plazo Análisis de estado estacionario
Cálculo de probabilidades de estado estacionario, 622 Características de un proceso de Markov, 624 Comportamiento en estado estacionario de un proceso de Markov de dos
estados, 625 Utilización de los procesos de Markov en problemas de decisión, 626 Solución de estado estacionario para problemas mayores, 630 Bibliografía, 633 Problemas con respuestas, 633 Problemas, 634 Problemas más difíciles, 635
22 Programación dinámica, 639
Conceptos básicos, 640 Formalización de la técnica de programación dinámica, 642 Principio de optimalidad, 643 Formulación y solución de problemas de programación dinámica, 654 Programación dinámica en condiciones de incertidumbre, 655 Apéndice: Uso de programación dinámica en procesos de Markov, 659
Bibliografía, 663 Problemas con respuestas, 663 Problemas, 665 Problemas más difíciles, 669
Apéndice de tablas, 673
Tabla A: Función de distribución normal estandarizada, 673 Tabla B: Función de pérdida de la distribución normal estandarizada, 674 Tabla C: Distribución binomial acumulada, 675
Solución de problemas seleccionados, 693
Índice, 748
Introducción al análisis cuantitativo
Este libro trata sobre la toma de decisiones en la empresa, proceso por medio del cual la gerencia, al enfrentarse a un problema, selecciona un curso de acción específico o "solución", de un conjunto de alternativas. Puesto que por lo general hay incertidumbre con respecto al futuro, no es posible estar seguro de las consecuencias de la decisión que se tome, y tampoco se puede asegurar que la decisión que se elija produzca los mejores resultados. Además, el problema puede ser muy complejo, ya sea porque existan muchas alternativas por considerar o un gran número de factores que deben tomarse en cuenta.
El libro presenta un método general para que puedan utilizarlo los directivos cuando se enfrenten a problemas de decisión, así como herramientas cuantitativas específicas para tipos particulares de problemas.
Decisiones empresariales
El director de una empresa quiere escoger la acción más efectiva para alcanzar las metas de la organización. Al juzgar la eficacia de las distintas decisiones posibles, hay que utilizar algún criterio o medida del rendimiento. La medida más común del rendimiento es la unidad monetaria, pero en los capítulos siguientes se verá que para ciertas decisiones estas unidades no son adecuadas para determinar las ventajas relativas de distintos cursos de acción.
El proceso general que se presenta a continuación es común para todos los tipos de situaciones de toma de decisiones:
1. Establecer el criterio que se usará. Por ejemplo, en una situación sencilla, el criterio puede ser elegir la acción que maximice los beneficios.
2. Seleccionar un conjunto de alternativas para considerarlas.
CAPÍTULO
Ejemplo
3. Determinar el modelo que se usará y los valores de los parámetros del proce so. Por ejemplo, se podría decidir que una expresión adecuada de los gastos totales sería:
Gastos totales = a + b(unidades vendidas)
Los parámetros son a y b y será necesario determinar sus valores para poder utilizar el modelo.
a = Costo fijo para el periodo o proyecto b = Costo variable (marginal) por unidad
4. Determinar cuál de las alternativas optimiza (es decir, produce el mejor valor para) el criterio que se estableció en el paso 1.
Se pueden vender al gobierno 1000 unidades de un producto, al precio de 50 dólares por unidad. ¿Deberá aceptarse el pedido? La empresa tiene exceso de capacidad.
1. Se usará el criterio de maximización de beneficios. 2. Las alternativas son (a) aceptar el pedido o (b) rechazar el pedido. De acuerdo
con el criterio de beneficios, se aceptará el pedido si aumenta el beneficio o se rechazará si no lo aumenta.
3. Hay que saber cuáles son los gastos marginales o adicionales de la producción de 1000 unidades. El modelo de gastos que se aplica es:
E = a + 1000b
Suponga que se tendrán que comprar troqueles especiales con costo de 5000 dólares (a es igual a 5000 dólares) y que los costos variables para producir una unidad son de 30 dólares (b es igual a 30 dólares). Los gastos relevantes totales para satisfacer el pedido son de 35 000 dólares (equivalente a 5000 dólares más 30 000 dólares).
4. Al comparar los ingresos (50 000 dólares) y los gastos (35 000 dólares), se obtiene que debe aceptarse el pedido. El beneficio aumentará 15 000 dólares si "se acepta", en comparación con la alternativa "se rechaza".
En el ejemplo anterior se aplicaron conocimientos básicos y técnicas de cálculo sencillas. Sin embargo, al tratar con problemas más complejos, se pueden requerir otras herramientas de análisis cuantitativo, como el cálculo, la probabilidad, la estadística y la programación (lineal, entera y dinámica).
En seguida consideraremos algunos aspectos relativos a la elaboración de modelos.
Abstracción y simplificación

Capítulo 1 Introducción al análisis cuantitativo 5
ción empírica. Además, cada acción potencial inicia una cadena de causa, efecto e interacción que, como es lógico, nunca termina.
Considere el problema de construir un edificio. Se podría utilizar una cantidad enorme de tiempo para recopilar información de los factores relacionados con la situación: por ejemplo, la ubicación precisa y las características físicas del edificio; un estudio detallado de las condiciones climáticas de los lugares posibles y la influencia que tendrían en los costos de construcción; las fuentes de financia- ción que se usarían y sus costos. El decisor puede optar por considerar específi- camente y con detalle todos los usos alternativos posibles de los fondos en este periodo y los subsecuentes. Si el decisor adopta la estrategia de recopilar todos los hechos antes de actuar, nunca se emprenderá la acción. La mente no puede considerar todos los aspectos de un problema empírico. Hay que omitir algunos de los atributos del problema para poder tomar una decisión. El decisor debe determinar cuáles son los factores más relevantes para el problema. La abstracción y la simplificación son pasos necesarios para resolver cualquier problema huma- no. Nuestro objetivo es mejorar la toma de decisiones, no ofrecer un pretexto para no tomar una decisión.
Construcción de modelos
Una vez que el decisor selecciona los factores decisivos, o variables, de la situación empírica, éstos se combinan de manera lógica para que formen un modelo del problema real. Un modelo es una representación simplificada de una situación empírica. De manera ideal, elimina la complejidad abrumante de un fenómeno natural y resalta el comportamiento básico del mismo a través de unas cuantas variables que se relacionan de manera sencilla. Si es más sencillo el modelo, es mejor para la persona que toma la decisión, siempre y cuando el modelo sea un símil razonablemente confiable del problema empírico. Las ventajas de contar con un modelo sencillo son:
1. Reduce la cantidad de tiempo y esfuerzo. 2. El decisor puede comprenderlo rápidamente. 3. Si es necesario, el modelo se puede modificar de manera rápida y efectiva.
El objetivo del decisor no es construir un modelo que sea lo más parecido posible a la realidad. Se requeriría demasiado tiempo para construir este modelo y a final de cuentas podría quedar fuera de los límites de la comprensión. En cambio, se busca el modelo más sencillo que pronostique los resultados con precisión razonable y que sea consistente con la acción efectiva.
Soluciones

6 Parte I Modelos y toma de decisiones
acciones o decisiones en estas conclusiones. Si es correcta la lógica utilizada para obtener las conclusiones a partir de las variables abstraídas, y si se abstrajeron las variables relevantes, entonces la solución del modelo servirá eficazmente para el problema empírico. En nuestro ejemplo, se podría decidir que una tasa de interés del 15% mide el costo de oportunidad anual del dinero de la empresa. Así, la empresa puede decidir acerca de la construcción del edificio por medio del cálculo del valor neto actual de los flujos de efectivo y no considerar con detalle las alternativas de inversión.
Errores
Dos errores importantes que ocurren al usar modelos para la toma de decisiones son la exclusión de variables importantes y las equivocaciones al definir las relaciones entre variables. Por ejemplo, en el problema relacionado con el contrato con el gobierno, suponga que se puede esperar una pérdida del 40% en la producción, por causa de especificaciones de producto muy rigurosas. Si existiera este factor y se omitiera del análisis, el modelo no representaría de manera adecuada la situación para una decisión (se obtendría la decisión equivocada).
Técnicas para la construcción de modelos
Los modelos se pueden representar de varias maneras. En el caso de problemas sencillos y repetitivos, todo el proceso de toma de decisiones puede ocurrir en la mente del decisor, quizás de manera informal e intuitiva. Todos los días caminamos, comemos y abrimos puertas sin necesidad de modelos formales. Si el problema es menos común o más complejo, pensamos un poco más acerca de él.
La técnica apropiada para describir y relacionar las variables seleccionadas depende en gran medida de la naturaleza de las variables. Si se pueden medir de alguna forma, y sobre todo si se les puede dar una representación cuantitativa, hay fuertes razones para usar una representación matemática del modelo. En primer lugar, las matemáticas poseen una disciplina rigurosa que asegura un procedimiento ordenado por parte del investigador; hay que ser específicos con respecto a las variables que se seleccionaron y a las relaciones que supuestamente existen entre ellas. En segundo lugar, las matemáticas son una técnica poderosa para relacionar variables y obtener conclusiones lógicas a partir de determinadas premisas. Al combinar las matemáticas con los computadores modernos, se pueden manejar problemas que requieren modelos de gran complejidad y es más sencillo el proceso de toma de decisiones cuando puede aplicarse el análisis cuantitativo.

tativo, ciencia de la decisión, ciencia de la dirección o investigación de operaciones. Por supuesto, la representación cuantitativa y la resolución de problemas empresariales son mucho más antiguas que estas etiquetas, como lo demuestra la práctica de la contabilidad. No obstante, el análisis cuantitativo se ha extendido a otra áreas de las operaciones de la empresa y se ha establecido como una manera eficaz de atacar ciertos problemas de decisiones empresariales. Los directores actuales tienen que conocer estas técnicas y estos modelos tan bien como conocen los informes de contabilidad.
Hay que hacer una advertencia: los ejecutivos de una empresa nunca deberán ser prisioneros de un modelo cuantitativo ni aceptar automáticamente sus conclusiones como si fueran la decisión correcta. La conclusión que se obtiene de un modelo contiene cierto grado de error, debido al proceso de abstracción. Es cuestión de juicio determinar cuándo es tan grande el error que hay que modificar la conclusión antes de aceptarla como solución. La cuantificación es un auxiliar del juicio empresarial, no un sustituto. Al considerar el análisis cuantitativo de problemas empresariales, es deseable usar el mismo grado de escepticismo constructivo que se aplica a otros procesos de toma de decisiones.
Factores cualitativos. Muchas decisiones empresariales, en particular las más importantes, comprenden algunas variables que son de naturaleza cualitativa, más que cuantitativa. Por ejemplo, las decisiones importantes pueden afectar la moral o el liderazgo en una organización, o pueden alterar el empleo, las acciones positivas, la contaminación u otras áreas de responsabilidad social. Muchos de estos factores no pueden expresarse en términos monetarios; entonces, ¿cómo considera el decisor estas variables cualitativas?
Primero, hay dos actitudes externas que deben evitarse. Una es omitir los factores cualitativos, con el argumento de que los factores que no pueden medirse no son importantes. El otro extremo sería afirmar que los modelos cuantitativos no tienen valor, ya que sólo los factores cualitativos son importantes.
Un método más sensato es aceptar la idea de que el modelo cuantitativo puede tratar de manera eficaz los aspectos mensurables del problema de decisión, y que el decisor también deberá contar con un modelo intuitivo que considere las variables cualitativas. El director deberá hallar un equilibrio adecuado entre los factores cualitativos y los cuantitativos.
RESUMEN Al tomar decisiones empresariales se debe establecer el criterio para la toma de decisiones, seleccionar las alternativas, determinar un modelo y evaluar las alternativas con base en el modelo para seleccionar la mejor.

Decisiones e incertidumbre
Las decisiones empresariales ocurren en dos contextos esencialmente distintos: en condiciones que se aproximan a la certidumbre y, lo más común, en condiciones de incertidumbre. El análisis cuantitativo que apoya la toma de decisiones en condiciones de certidumbre generalmente se refiere a la maximización de un objetivo (por ejemplo, el beneficio o la producción) sujeto a restricciones (por ejemplo, la capacidad productiva).
En el ejemplo del principio del capítulo se compararon las alternativas "aceptar el pedido" y "rechazar el pedido" para un contrato con el gobierno por 1000 unidades. Ésta fue una decisión en condiciones de certidumbre. Se compararon las dos alternativas y, como el beneficio era 15 000 dólares mayor al aceptar el pedido, se eligió esta alternativa.
Suponga, que se modifica ligeramente la situación anterior. Se venderá el producto a 50 dólares por unidad y, como antes, los gastos de producción de X unidades son:
Pero ahora hay incertidumbre acerca del nivel real de las ventas. Las ventas pueden ser de 100 unidades, de 250 o de 1000, pero no se sabe con seguri- dad cuál será el nivel que se alcance. Las dos alternativas son: (1) lanzar el producto al mercado y aceptar los beneficios o las pérdidas que surjan, o (2) rechazar el proyecto y no obtener beneficios. Suponga que hay que aplicar los 5000 dólares de costos fijos antes de conocer la demanda real, pero que se pueden producir unidades después de conocer la demanda (no hay problemas de inventario).
La figura 1-1 ilustra un árbol de decisión para este problema. Las alternativas (lanzar al mercado o no hacerlo) se representan como ramas que parten del nudo (o nodo) cuadrado; y los sucesos inciertos (niveles de ventas), como ramas que parten del nudo circular. La figura 1-1 también contiene los beneficios o las pérdidas que se obtienen de cada nivel de ventas posible y que se calculan como sigue:
Ventas Ingresos
(ingresos - gastos)
100 5 000 8 000 -3 000 250 12 500 12 500 0
1000 50 000 35 000 15 000

de 100 unidades, hay que rechazar el proyecto y evitar una pérdida de 3000 dó- lares. Si las ventas fueran de 250 unidades, no importaría la alternativa que se eligiera, ya que los beneficios de ambas decisiones son de cero dólares.
Cuando se desconoce el estado real de la situación, el decisor tiene que actuar con información imperfecta. Hay varios procedimientos de toma de decisiones que tienen que ver con la información imperfecta; se analizarán algunas de las técnicas más útiles más adelante en este libro. Estas técnicas comprenden tanto el uso de probabilidades para representar el juicio acerca de la posibilidad de ocurrencia de los sucesos como los procedimientos para determinar el valor de obtener más información antes de actuar.
Clasificación de modelos
En el libro se analizarán varios tipos de modelos de decisión, los cuales se clasifican en la figura 1-2. Los modelos se clasifican como ciertos si se supone que se conocen los factores principales, y como inciertos si se desconocen algunos factores.
Problemas sencillos
Al construir el modelo para el análisis hay que simplificar todos los problemas. Si con esto se obtiene un número pequeño de factores o variables, y relativamente

Figura 1-2 Tipos de modelos
El problema de decisión es:
Sencillo
Complejo
Dinámico
Cierto Modelos de caso Análisis de decisiones
(árboles de decisión)
Simulación
Programación dinámica
pocas alternativas, se dice que el modelo es sencillo. Los modelos sencillos pueden ser muy útiles, incluso para problemas de decisión importantes.
Un caso o modelo de situación es un modelo de un problema de decisión que se analiza ensayando una serie de casos (posibles resultados o situaciones) con diversas alternativas o distintas hipótesis. Este modelo no se diseña para encontrar en forma directa la "mejor" solución. Más bien, el director usa el modelo en un proceso por tanteo. La mayoría de los demás tipos de modelos que aparecen en la figura 1-2 son modelos de optimización, donde se usan procedimientos matemáticos para encontrar la solución óptima. Los modelos de caso se describen en el capítulo 2.
Los modelos de análisis de decisiones incorporan la aplicación de probabilidades para tomar decisiones en condiciones inciertas. Con frecuencia comprenden el uso de árboles de decisión similares al de la figura 1-1. La parte II del libro presenta estos modelos.
Problemas complejos
Muchos problemas de decisión implican gran número de factores o de variables importantes, o pueden considerar muchas alternativas. Por ejemplo, una empresa puede tener varias plantas que producen bienes para envío a cientos de clientes. El problema de decisión de la programación de actividades de las plantas y la determinación de cuáles plantas proveerán a qué clientes, para minimizar el costo, comprende cientos de variables y restricciones y puede tener millones de soluciones posibles.
Los modelos de programación lineal y entera son las técnicas que más se usan para resolver los problemas empresariales grandes y complejos de este tipo.
problemas de decisión
Estos modelos utilizan técnicas matemáticas para encontrar el valor máximo (o mínimo) de un objetivo, sujeto a un conjunto de restricciones. Estas técnicas se analizan en la parte III del libro.
La simulación es una técnica para modelizar sistemas grandes y complejos que presentan incertidumbre. Se designa un modelo para que sea una réplica del comportamiento del sistema. Los modelos de simulación generalmente se analizan con el método de caso por caso (en vez del método de optimización). El capítulo 19 presenta los modelos de simulación.
Problemas dinámicos
Los problemas dinámicos de decisión comprenden un tipo de complejidad especial: una secuencia de decisiones relacionadas que se presentan en varios periodos. La parte IV del libro incluye varios de estos tipos de modelos: modelos de inventarios para determinar cuándo pedir inventario y cuántas existencias se deben almacenar; modelos PERT o de ruta crítica para la programación de proyectos; modelos de colas para problemas que implican colas de espera; y la programación dinámica y los procesos de Markov, para problemas dinámicos más generales.
Sistemas de apoyo para las decisiones
Un sistema de apoyo para las decisiones, o DSS (decision support system), es un sistema de computación integrado, diseñado para auxiliar en la toma de decisiones para la dirección. Un DSS generalmente incluye un modelo de algunos de los tipos que se describen en este libro y el computador lleva a cabo los cálculos necesarios para resolver el modelo. No obstante, un DSS es algo más que un modelo, ya que por lo general comprende una base de datos que se puede usar para proporcionar información directamente al gerente (o al modelo). En otros casos, un DSS incluye gráficos u otros informes que puede comprender el usuario con facilidad. Así mismo, el DSS incorpora la tecnología de computación para que sea fácil efectuar el análisis necesario para el problema de decisión o para consultar la información requerida a la base de datos.
Este libro no se orienta hacia el desarrollo de las herramientas de computación necesarias para construir un DSS. No obstante, los modelos son una parte importante del DSS y la comprensión de los modelos que se describen en este libro representa un paso importante para construir un DSS. A lo largo del libro haremos referencia a software de computación y presentaremos ejemplos de su aplicación para ciertos modelos. Este software puede ser parte de un DSS.

También se pueden clasificar los modelos de decisiones como sencillos (hay pocas variables de importancia), complejos (hay muchas) o dinámicos (las decisiones se relacionan entre sí en el tiempo). En el libro se describen varios tipos de modelos que corresponden a estas categorías.
Los sistemas de computación de apoyo para las decisiones (DSS) muchas veces incluyen, como uno de los componentes principales, un modelo de decisión del tipo que se presenta en este libro.
Bibliografía
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Wagner, H. M., Principles of Operations Research, segunda edición, Englewood Cliffs, N.J., Prenti- ce Hall, 1975.
Problemas con respuestas
1-1.
1-2.
Remítase al ejemplo del contrato guberna- mental de este capítulo. Suponga que existe una pérdida del 40% en la producción por causa de las especificaciones más rigurosas para el producto. a. ¿Cuántas unidades tendrían que entrar al
proceso de producción para obtener 1000 unidades "buenas"?
b. ¿Cuál es el costo total para obtener 1000 unidades "buenas"?
c. ¿Debe aceptarse el contrato? ¿Por qué? La compañía de aparatos domésticos XYZ pretende sustituir un engranaje metálico con uno de plástico. El engranaje de plástico aho- rrará 50 centavos por unidad, pero se requiere un gasto de 20 000 dólares para elaborar
un molde especial para la producción del engranaje. El molde especial durará un año y las ventas anuales son de 80 000 unidades. a. ¿Deberá la compañía hacer el cambio al
engranaje de plástico? ¿Por qué? b. Suponga ahora que el engranaje de plásti-

Problemas
1-3. La determinación del precio de un producto es una decisión empresarial muy importante. ¿Cuáles son los elementos de incertidumbre que existen en la decisión de cambiar el precio de un producto?
1-4. ¿En qué sentido existen "oponentes" cuando se establece el precio de un producto?
1-5. Una familia quiere realizar un día de campo. ¿En qué forma es un oponente la naturaleza? ¿Es razonable usar probabilidades para describir los distintos estados de la naturaleza?
1-6. Con frecuencia se describe a la maximiza- ción de beneficios como el criterio principal que debe aplicarse en la toma de decisiones empresariales. Si usted fuera el gerente de una empresa, ¿qué otros criterios usaría para tomar sus decisiones?
1-7. La compañía Crude Oil considera la posibilidad de perforar para buscar petróleo en un te- rreno que alquila. ¿Es razonable especificar una probabilidad de encontrar petróleo?
1-8. Piense en una decisión empresarial o personal con la que esté familiarizado. Describa esta decisión en función de: a. Las alternativas disponibles.
b. El criterio que usaría para seleccionar una de las alternativas.
c. Las variables importantes que deberán in- tegrarse a un modelo que le ayude a tomar esta decisión. ¿Hasta qué punto se pueden cuantificar estas variables?
d. ¿Hasta qué punto puede cuantificar las relaciones entre las variables propuestas en (c)?
1-9. Una filosofía de dirección es "disparar primero, preguntar después". Otra filosofía lleva a "parálisis por análisis". ¿Cuál escoge usted?
1-10. Un modelo posible para los gastos totales es:
donde:
T = Costos totales a = Costos fijos b = Costos variables X = Número de unidades
Analice lo adecuado de este modelo para pre- decir el costo total relacionado con una pro- ducción determinada.
Problemas más difíciles
1-11. Un ejecutivo debe tomar una decisión acerca del precio para un producto nuevo. El objetivo es maximizar el beneficio, y las alternativas son precios posibles desde dos dólares por unidad hasta diez dólares por unidad. A continuación se describe el modelo que se usará. Sea:
x = Número de unidades producidas (y vendidas)
C(x) = Costo total para producir x unidades p = Precio que se cobrará
NP = Beneficio neto total (por maximizar)
Relación de costo: C(x) = 800+1.25*
Relación de ventas: x = -100 + 2 000/p Beneficio: NP = p·x - C(x)
a. Comente acerca del modelo que escogió el gerente, en términos de lo razonable de las relaciones, las variables que se incluye ron (y las que se excluyeron) y el valor del modelo.
b. Encuentre por tanteo una solución aproximada para el modelo (es decir, pruebe distintos precios entre dos y diez dólares y trate de encontrar un precio que genere buenos beneficios).

de este dispositivo (incluyendo todos los costos) es de 800 000 dólares por año, que no po- drá recuperarse de las líneas aéreas. El dispositivo reducirá el número esperado de accidentes por año en el aeropuerto, de 1.8 a 1.7.
Los vuelos que llegan al aeropuerto trans- portan en promedio 40 personas (incluyendo la tripulación) y el avión tiene valor de reven- ta de dos millones de dólares. a. Si se rechaza el dispositivo, ¿cuál es el va-
lor implícito que se asigna a la vida de las personas que viajan en el avión?
b. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el dispositivo?
1-13. El gerente de producto de una fábrica de ce- reales intenta determinar el presupuesto para publicidad del año entrante. Cuenta con la siguiente información: el precio de venta es de cinco dólares por caja; el costo variable de manufactura es de dos dólares por caja; los costos fijos para producir el cereal ascienden a 100 000 dólares por año. El gerente ha esti- mado la siguiente relación entre las ventas del cereal (que se llama X y se mide en miles de cajas) y los dólares que se gastan en publicidad (a lo que se denomina Z y se mide en miles de dólares):
a. Formule un modelo para los beneficios netos del cereal. Es decir, identifique todas las variables y relaciones necesarias para determinar los beneficios.
b. Encuentre, por tanteo, una solución óptima aproximada del modelo (o sea, pruebe algunos valores entre cero y 100 000 dóla- res para la publicidad y encuentre una bue- na solución para los beneficios).
1-14. Una compañía de computadores pretende introducir un producto nuevo, el modelo B. Al- gunas de sus ventas serían a costa del modelo A, uno de los productos de mayor venta de la compañía. La situación económica es la que sigue:
M Modelo B
$500 $300
$1500 $1000
Ya se incurrió en los costos fijos del modelo A, pero no en los del modelo B. Las ventas actuales del modelo A son de 500 000 unidades por año. La introducción del modelo B daría lugar a la venta de 600 000 unidades de B por año, pero las ventas de A se reducirían a 300 000 unidades. La vida restante de ambos productos es de un año; después de este lapso, serán obsoletos. Por esto resulta apropiado un análisis de un año. a. Formule un modelo para decidir si debe in-
troducirse o no el modelo B en este mo- mento. ¿Qué decisión recomendaría?
b. Suponga que no se hubiera introducido antes el modelo A (y que aún no se hubiera incurrido en su costo fijo). Formule un modelo para esta situación y decida cuáles son los productos que deben introducirse.

al mayoreo
Introducción
En el capítulo 1 se presentaron los conceptos básicos de la toma de decisiones y el papel que representa un modelo en dicho proceso. El propósito de este capítulo es entrar en mayor detalle y explicar lo que es un modelo y cómo pueden los directores usar y construir cierto tipo de modelos, los modelos de caso. En secciones posteriores del libro se verán otros tipos: modelos para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre, modelos de optimización y modelos dinámicos.
Conceptos del modelo básico
Como se explicó en el capítulo 1, un modelo es una simplificación de un problema de decisión empresarial. Esta simplificación se logra incluyendo sólo los elementos de importancia y excluyendo los aspectos que no sean esenciales. Un buen ejemplo de un modelo es un mapa de carreteras, ya que excluye la mayoría de los detalles de los terrenos, edificios, etc., para mostrar claramente los caminos. Es muy útil por ser simple. Si se incluyeran todos los detalles de la realidad, no sería tan útil, ya que pasaríamos mucho tiempo tratando de separar los caminos de otros detalles.
Así, el primer paso en la construcción de un modelo es elegir los factores o las variables que el decisor considera importantes. Estos factores se pueden clasificar en cinco categorías:
Variables de decisión. Variables exógenas. Políticas y restricciones.
CAPÍTULO
Medidas del rendimiento. Variables intermedias
Variables de decisión
Las variables de decisión son aquellas que están bajo el control del decisor y representan alternativas para el director. Considere el caso de un gerente de mercadotecnia que decide acerca de la introducción de un producto nuevo. El gerente puede elegir entre introducir o no el producto; el gerente también puede elegir el precio de venta del producto y la cantidad que se invertirá en publicidad. Éstas son las elecciones más importantes; por lo tanto, son las variables de decisión.
El gerente también puede tomar algunas decisiones menores, como el color del producto, los detalles del contenido de la publicidad, cómo se le informará a la fuerza de ventas sobre el producto, etcétera. El gerente podría excluir del modelo estos factores menos importantes, para que el análisis sea más sencillo.
Variables exógenas
Las variables exógenas o externas son aquellas que tienen importancia para el problema de decisión pero están bajo el control de factores ajenos al decisor. Por lo general, las variables exógenas son las condiciones económicas, las acciones de los competidores, el precio de las materias primas y otros factores similares. En el caso del gerente de mercadotecnia que considera la introducción de un producto nuevo, la reacción de los clientes (cuánto comprarán) es ciertamente una variable exógena importante. Otras variables exógenas son el costo de las materias primas y otros elementos necesarios para fabricar el producto.
Políticas y restricciones
Con frecuencia el decisor tiene que operar con ciertas restricciones impuestas por las políticas de la compañía, con cuestiones legales y con limitaciones físicas. Por ejemplo, la capacidad disponible de la planta puede estar limitada, lo cual puede restringir las ventas posibles. Una política de la compañía puede especificar que se adquieran los materiales de ciertos proveedores o que se mantengan ciertos niveles de calidad.

Medidas de rendimiento
Al tomar una decisión, los gerentes tienen metas u objetivos que tratan de alcanzar. Los criterios o medidas de rendimiento son expresiones cuantitativas de estos objetivos. Por ejemplo, para el gerente de mercadotecnia que toma la decisión de introducir un producto nuevo, una de las medidas de rendimiento sería el nivel de los beneficios. Otras medidas podrían ser la cuota de mercado y el rendimiento sobre inversiones.
Variables intermedias
Con frecuencia se necesitan otras muchas variables para incluir todos los factores importantes para el problema de decisión. Muchas veces son variables contables relativas a los factores de costo o ingresos y que se usan para relacionar las variables de decisión y las exógenas con las medidas de rendimiento. Son variables intermedias, en el sentido de que se encuentran entre las otras variables. En el ejemplo de la decisión de un producto nuevo, una variable intermedia sería el nivel de los ingresos totales (precio por cantidad de venta); los componentes de los costos de manufactura y ventas serían otras variables intermedias.
El modelo y la relación entre variables
La figura 2-1 muestra cómo se relacionan las distintas categorías de variables. El modelo se encuentra en la parte central y las variables de decisión, las variables
Figura 2-1 Entradas y salidas del modelo

exógenas, las políticas y las restricciones son entradas al modelo, mientras que las salidas son las medidas de rendimiento. En sí, el modelo representa el conjunto de todas las relaciones entre variables. La definición de estas relaciones es el segundo paso importante en la construcción de un modelo (el primer paso, como se mencionó antes, es la definición de las variables importantes).
Algunas relaciones son definiciones contables. Por ejemplo, los beneficios son los ingresos menos los gastos, una sencilla regla de contabilidad. Otras relaciones dependen de límites físicos, como la determinación de la cantidad de producto que puede producirse a partir de un lote de materias primas. Algunas relaciones son de juicio, que representan el conocimiento del gerente acerca de la relación entre factores. Un ejemplo de este tipo de relación es el juicio del gerente con respecto a la reacción de los clientes ante un cambio en el precio.
El modelo es el conjunto de todas estas relaciones. Es algo así como una "caja negra" que transforma las variables de decisión en medidas de rendimiento para un conjunto específico de variables exógenas, políticas y restricciones.
Ejemplo: Modelo de un aserradero
Es difícil comprender estos conceptos de manera abstracta. Por esto, presentamos un ejemplo de un aserradero que corta los troncos para fabricar tablas, las cuales vende a clientes mayoristas. Aunque el ejemplo se basa en un hecho real,1 se ha simplificado un poco para destacar los aspectos principales. General- mente el modelo real que se use para tomar una decisión empresarial será más complejo.
Suponga que los directores del aserradero hacen sus planes para el próximo año y se enfrentan a dos decisiones: una relativa a la capacidad de la planta y otra acerca de la tarifa laboral. La decisión de capacidad de la planta implica decidir si la empresa debe ampliar el aserradero, cuánto y cuándo. Supongamos que si deciden ampliarlo ahora, entonces la capacidad adicional se puede añadir en cualquier trimestre del año entrante.
La segunda decisión tiene que ver con las negociaciones que comenzarán con el sindicato de trabajadores de la compañía. La compañía y el sindicato tienen que acordar una tarifa de pago para el próximo año; por supuesto, se trata de una decisión conjunta, el resultado del proceso de negociación.
La compañía ha preparado pronósticos de los precios de la madera que venderá el próximo año, así como proyecciones de la cantidad que podría vender (o sea, una estimación de la demanda). La compañía tiene una política de producir por pedido, de manera que no se conserva inventario de madera. En otras palabras, la compañía no puede vender más de lo que puede producir en un periodo. También se han efectuado pronósticos para el precio de los troncos, materia prima para la obtención de madera.

Tabla 2-1 Factores importantes en el modelo de un aserradero
Variables de decisión
TARIFA LABORAL. Salario promedio de los empleados del aserradero (dólares por hora). CAPACIDAD ADICIONAL. Cantidad de capacidad (capacidad MPC o miles de pies cuadrados de madera) que se añade en cada trimestre.
Medida de rendimiento
BENEFICIOS. Beneficios netos que se obtienen cada trimestre y al año por la operación del aserradero (M$ p miles de dólares).
Variables exógenas
PRECIO DE LA MADERA. Precio de venta de la madera en cada trimestre (dólares por MPC). DEMANDA. Demanda de la madera cada trimestre (MPC). COSTO DE TRONCOS. Costo de compra de los troncos (dólares por MPT, dólares por miles de pies de tabla). PRODUCTIVIDAD LABORAL. Producción (MPC) por hora de trabajo.
Restricciones y políticas
No hay inventarios de madera. La producción se programa para igualar las ventas. El análisis se hará por trimestres.
Variables intermedias
INGRESOS. Ingresos por la venta de madera (M$ por trimestre;. GASTOS OPERATIVOS (DE EXPLOTACIÓN). Gastos que se relacionan directamente con la producción de la
madera (gastos por suministros, materias primas y fuerza de trabajo; M$ por trimestre). GASTOS DE SUMINISTROS. Gasto para la adquisición de suministros (M$ por trimestre). GASTOS DE MATERIAS PRIMAS. Costo de las materias primas (troncos; M$ por trimestre). GASTOS LABORALES. Costo de la fuerza de trabajo (M$ por trimestre). TRONCOS REQUERIDOS. Cantidad de troncos que se necesitan para la producción (MPT por trimestre). HORAS DE TRABAJO. Cantidad de horas de trabajo que se requieren para la producción (horas por trimestre). PRODUCCIÓN DE MADERA. Cantidad de madera que se produce (MPC por trimestre). CAPACIDAD. Capacidad productiva real del aserradero (MPC por trimestre). OTROS GASTOS. Total de los demás gastos, que incluyen gastos de ventas, fijos y de equipo (M$ por trimestre). GASTOS DE VENTAS. Gastos para vender la madera (M$ por trimestre). GASTOS FIJOS. Gastos fijos (M$ por trimestre). GASTOS DE EQUIPO. Costo del alquiler del equipo (M$ por trimestre).
Para producir la madera, la compañía incurre en gastos laborales, de suministros y, por supuesto, de materias primas (troncos). Hay otros gastos que se relacionan con las ventas. La compañía alquila su equipo de producción y paga por el alquiler. También hay otros costos fijos (adicionales) en cada periodo.

La lista de variables de la tabla 2-1 puede parecer enorme, pero al analizarla con detenimiento se verá que es bastante sencilla. Aunque se ha simplificado el ejemplo, es necesario que tenga la complejidad suficiente para ilustrar el uso de un modelo.
Relaciones: Diagrama de influencia
Ahora hay que definir las relaciones entre las variables. En ocasiones es útil dibujar un diagrama que muestre cómo se relacionan las variables o influyen en otras. Por ejemplo, la figura 2-2 es uno de estos diagramas, llamado diagrama de influencia. Las líneas con flechas indican qué variables se relacionan con otras. No es indispensable construir el diagrama, pero muchas veces sirve para comprender el modelo.
Observe que hay dos líneas punteadas en la figura 2-2. La única variable por encima de la línea superior es la medida del rendimiento, BENEFICIOS. Los cuadros que aparecen debajo de la línea inferior contienen las variables de decisión y las exógenas, las entradas para el modelo. Las variables y las relaciones de la parte media integran el modelo.

Capítulo 2 Introducción a la construcción de modelos 21
Ahora se puede comenzar a definir las relaciones entre variables. Comen- zaremos por las relaciones físicas (las que incluyen variables físicas, no mo- netarias).
Relaciones físicas
CAPACIDAD = 9200 + CAPACIDAD ADICIONAL
La capacidad inicial del aserradero es de 9200 MPC por trimestre. A esto se le añade cualquier capacidad adicional que se alquile.
PRODUCCION DE MADERA = MÍNIMO (CAPACIDAD, DEMANDA)
Recuerde que la producción de madera en cualquier trimestre debe ser igual a las ventas, algo que se requiere por la política de no tener inventarios. Si la demanda es mayor que la capacidad, la empresa producirá (y venderá) hasta el límite de su capacidad. Es decir, en este caso la producción está limitada por la capacidad. Por otra parte, si la demanda es menor que la capacidad, entonces será la demanda la que limite la producción (y las ventas). Así, el límite de la producción es el valor menor (o mínimo) de la capacidad y la demanda.
TRONCOS REQUERIDOS = . 52 * PRODUCCION DE MADERA
Esta relación establece que se requieren 0.52 MPT de troncos por cada MPC de madera que se produzca. La cifra 0.52 es una constante que depende de la eficiencia para producir madera a partir de las materias primas, los troncos. El asterisco * significa "multiplicado por"; es un símbolo normal que se usa en programas de computación y que se usará como tal en este capítulo.
Aquí es necesaria una pausa para explicar las constantes. Al construir un modelo, hay valores numéricos, como el coeficiente 0.52 anterior, que se estiman a partir de los costos u otros datos de la empresa. Aunque se les puede considerar como variables exógenas, tienen menor importancia y se supone en cambio que son constantes. Se espera que permanezcan fijas (constantes) durante los análisis del modelo.
HORAS DE TRABAJO = PRODUCCION DE MADERA/PRODUCTIVIDAD LABORAL
El total de horas requeridas para el trabajo depende de la producción de madera y de la productividad de la fuerza de trabajo.
Relaciones financieras

RESUMEN
algunos casos se requiere la división entre 1000 para hacer la conversión a miles de dólares.
BENEFICIOS = INGRESOS - GASTOS OPERATIVOS - OTROS GASTOS
INGRESOS = (PRODUCCIÓN DE MADERA * PRECIO DE LA MADERA) /1000
COSTO OPERATIVO =GASTOS DE MATERIALES + GASTOS DE MATERIAS
PRIMAS + GASTOS DE FUERZA DE TRABAJO
OTROS GASTOS = GASTOS DE VENTAS + GASTOS DE EQUIPO
+ GASTOS FIJOS
GASTOS DE FUERZA DE TRABAJO = (TARIFA LABORAL * HORAS DE TRABAJO)
/1000
COSTO DE TRONCOS) /1000
GASTOS DE SUMINISTROS = (28 * PRODUCCIÓN DE MADERA) /1000
Cada MPC de madera utiliza 28 dólares en suministros durante el proceso de producción. La cifra de 28 dólares es otra constante del modelo.
GASTOS DE VENTAS = .10 * INGRESOS
Los gastos de ventas son del 10% del ingreso por ventas. GASTOS FIJOS = 20
Los gastos fijos son de 20 000 dólares por trimestre.
GASTOS DE EQUIPO = (11 * CAPACIDAD) /1000
Recuerde que se alquila el equipo del aserradero. Las cuotas del alquiler son de 11 dólares trimestrales por MPC de capacidad instalada.
La construcción de modelos implica simplificar primero el problema de decisión, seleccionando para el estudio sólo las variables más importantes. Estas variables incluyen variables de decisión (las que están bajo el control del decisor), variables exógenas, medidas del rendimiento, políticas o restricciones, y variables intermedias. El segundo paso de la construcción del modelo es identificar las relaciones entre las variables; es decir, determinar cómo dependen entre sí las variables. El modelo es, en sí mismo, el conjunto de todas estas relaciones.
Análisis con el modelo
Ya está completo el modelo para el aserradero y ahora pasamos a la utilización del modelo por la dirección. El primer paso es hacer estimaciones de las variables exógenas. Supongamos que se preparan las estimaciones de la tabla 2-2.

Tabla 2-2 Estimaciones para las variables exógenas
Primer Segundo Tercer Cuarto
Variable Unidad trimestre trimestre trimestre trimestre Precio de la madera $/MPC 125 125 130 130
Demanda de madera MPC 10 000 10 800 8000 10 000 Costo de troncos $/MPT 75 75 75 80 Productividad laboral MPC/hora 0.4 0.4 0.4 0.4
la manera en que los errores de estas estimaciones afectan a las operaciones del aserradero.
Las variables de decisión son la CAPACIDAD ADICIONAL que se añadirá y la TARIFA LABORAL que se negocie con el sindicato. Suponga que se toma como base que no se harán adiciones a la capacidad y que la tarifa es la misma del año pasado, nueve dólares por hora.
Esto nos permite completar los cálculos para el modelo, que se presentan en la tabla 2-3. Observe que en el caso base se obtienen beneficios de 387 000 dólares para el año.
Ahora hay que hacer una pausa y examinar con cuidado la tabla 2-3. Estu- die las cifras, con base en las relaciones anteriores. Como ejemplo, los TRON- COS REQUERIDOS en el primer trimestre son 4784, que se calcula como 0.52 * PRODUCCIÓN DE MADERA, una de las relaciones físicas que se describieron antes. Observe que la producción de madera está limitada por la capacidad en el primero, segundo y cuarto trimestres, y por la demanda en el tercero.
Implantación del modelo en un computador
Por supuesto, se pueden hacer a mano los cálculos de la tabla 2-3, lo que tardaría de 20 a 30 minutos si no se cometen errores aritméticos. Esto sería adecuado si sólo se examinara un caso o una situación. Sin embargo, queremos examinar una serie de casos, por lo que es mejor desarrollar una versión del modelo en un computador. Hay varias maneras de hacerlo. Se podría escribir el modelo en un lenguaje de computación de propósito general, como BASIC, FORTRAN o Pascal; podría programarse en un lenguaje de planificación financiera como IFPS o EMPIRE, diseñados especialmente para este tipo de problemas; o se podría implantar en un programa de hoja de cálculo, como Lotus 1-2-3, Excel o Quattro, que existen para los computadores personales. Usaremos este procedimiento, ya que los programas de hoja de cálculo son muy comunes, fáciles de usar e ideales para el análisis de este tipo de problemas.

letras,2 iniciando con A. Una celda (o casilla) es la intersección de una fila y una columna, y se indica con la designación de la columna y la fila. Por ejemplo, la celda B3 es la celda de la columna B y la fila 3.
Una celda puede contener información alfanumérica como la etiqueta "Varia- bles de decisión"; puede contener un número, como 9.00 para la tarifa laboral; y también puede contener una fórmula. Las fórmulas incluyen como variables las designaciones de las celdas; por ejemplo, si la celda D3 contiene la siguiente fórmula:
esto indicaría que se sumaría el contenido de las celdas B3 y C3 y se almacenaría el resultado en la celda D3.
La tabla 2-4 muestra las fórmulas de hoja de cálculo para el primer periodo (trimestre) del modelo. La primera columna de la tabla 2-4, la columna A, contiene sólo las etiquetas de las variables del modelo. La segunda columna contiene las unidades de medida, que también son información alfabética. Las primeras filas de la columna C contienen valores numéricos para las variables de deci- sión y las variables exógenas. Las fórmulas están en la columna C, a partir de la fila 14.
La primera fórmula, en la celda C14, es:
Figura 2-3 Formato de una hoja de cálculo

Tabla 2-4 Fórmulas que se registran en la hoja de cálculo
Como C4 contiene la CAPACIDAD ADICIONAL, esta fórmula calcula la capacidad real como la capacidad inicial de 9200 MPC más cualquier adición. En la hoja de cálculo, es el equivalente de la relación:
CAPACIDAD = 9200 + CAPACIDAD ADICIONAL
que se obtuvo en la página 21. De manera parecida, el contenido de la celda C5 es:
@MIN(C9,C14)
Esto equivale a la relación:
PRODUCCION DE MADERA = M ÍNIMO (DEMANDA, CAPACIDAD)

para mínimo, ©MAX para máximo, @SUM para total, etcétera). Revise ahora las otras fórmulas de la tabla 2-4 para asegurarse de que las
comprende.
Fórmulas para otros trimestres
Las fórmulas de los otros trimestres del año son semejantes, excepto que estarían en las columnas D, E y F de la hoja de cálculo. En el programa de hoja de cálculo existe un procedimiento que permite copiar o duplicar las fórmulas a otras columnas cuando son similares, como sucede en este caso.3 Los totales del año son las sumas de los elementos de los cuatro trimestres.
En esta sección no se pretende efectuar un estudio detallado de los paquetes de hoja de cálculo, pues tienen más características que las que podríamos presentar aquí. Más bien, nuestro propósito es demostrar cómo se puede establecer un modelo de caso en formato de hoja de cálculo.
El análisis con la hoja de cálculo es bastante sencillo. Sólo hay que cambiar una o más de las variables de decisión o de las exógenas y en la pantalla del computador aparecerán los resultados casi de inmediato. También se puede modificar el modelo, cambiando las relaciones o añadiendo nuevas variables, o prolongando el modelo por más periodos. Algunos paquetes de hoja de cálculo tienen la capacidad de crear tablas de resultados y elaborar distintos tipos de gráficos con los resultados.
Ejemplos de análisis con el modelo
En el capítulo 1, al igual que al inicio de éste, describimos como modelo de caso el tipo de modelo que hemos construido. Este nombre proviene del tipo de análisis, que implica la revisión con el modelo de varios casos o situaciones. Cada caso utiliza distintas hipótesis acerca de las variables del modelo. A continuación presentamos algunos ejemplos de cómo podrían examinar los directores del aserradero algunos de estos casos y así utilizar el modelo que se desarrolló para responder algunas preguntas de dirección y conocer un poco más acerca de los problemas de decisión que se presentan.
3 La celda C14 es la única excepción a esta afirmación de que se pueden copiar las fórmulas a otras columnas. La celda D14 debe ser (C14 + D4); o sea, CAPACIDAD (en el segundo periodo) - CAPACIDAD (en el primer

Recuerde que la dirección del aserradero tendrá negociaciones con el sindicato para establecer la tarifa laboral para el año entrante. Los directores podrían utilizar el modelo para analizar el efecto que tienen distintas tarifas en la rentabilidad. La tarifa actual es de nueve dólares por hora; en el modelo se podría registrar un aumento a 10 dólares (cambiando los valores en la fila denominada "Tarifa laboral" en la tabla 2-3). Con esto se obtienen beneficios de 298 000 dólares en el año, una reducción de 89 000 dólares. Una pregunta más interesante es: "¿Cuánto puede aumentar la tarifa laboral antes de que deje de ser rentable el aserradero?". En el modelo se usan ocho valores diferentes para TARIFA LABO- RAL, primero con nueve dólares por hora, luego diez, hasta llegar a 16 dólares por hora. La figura 2-4 muestra un gráfico de los resultados. Como se puede ver, el punto de equilibrio (donde el beneficio es cero) ocurre entre 13 y 14 dólares por hora, aproximadamente en 13.35 dólares.
Suponga que, como parte de las negociaciones, la gerencia pide al sindicato que cambie algunas de las reglas de trabajo para aumentar la productividad de los trabajadores. Suponga que estos cambios aumentarían la PRODUCTIVIDAD LABORAL de 0.4 MPC por hora a 0.5 MPC por hora. Si el sindicato estuviera de acuerdo en modificar estas reglas de trabajo a cambio de un aumento a once dólares por hora en la tarifa, ¿cuál sería el efecto combinado? Esta situación se presenta en la tabla 2-5, que es igual a la tabla 2-3 excepto por estos dos cambios (TARIFALABORAL es 11 y PRODUCTIVIDAD LABORAL es 0.5). Como se

Tabla 2-6 Resultados de la capacidad adicional agregada al caso base en el primer trimestre
Capacidad adicional
1000 405 2000 374 3000 330
puede observar, hay un aumento neto en el beneficio anual (de 387 000 a 405 000 dólares).
Otra decisión se relaciona con la adición de capacidad al aserradero. Se puede partir del caso base y añadir distintas capacidades en el primer trimestre. La tabla 2-6 presenta los resultados de cuatro casos, cada uno con diferente capacidad adicional. A partir de estos resultados parece que lo mejor sería agregar cerca de 1000 MPC, aunque las diferencias no son muy grandes.
La dirección también podría preguntar cómo cambiaría esta decisión de capacidad si no fueran correctos los pronósticos de la demanda de madera. En otras palabras, ¿es sensible esta decisión de capacidad con respecto a la demanda? Para verlo, supongamos que el patrón de la demanda es el mismo durante los cuatro trimestres (alto en el segundo trimestre, bajo en el tercero), pero que se considera un caso en el que la demanda total real es la mitad (50%) del pronóstico, en otro caso es 60% del pronóstico, etc., hasta 150% de lo pronosticado. En 100%, el pronóstico y lo real son iguales. Consideremos también la instalación de 1000, 2000 o 3000 MPC de capacidad adicional. Para esto hay que introducir gran número de combinaciones en el modelo y registrar los resultados; de hecho, algunos programas de hoja de cálculo tienen procedimientos para efectuar este tipo de análisis en unos cuantos pasos. El gráfico de los resultados apa- rece en la figura 2-5 (incluso algunas hojas de cálculo pueden generar gráficos como éste).
Antes de comentar los resultados de este análisis, hay que señalar que, por lo general, las inversiones en nueva capacidad se evaluarían en un periodo prolongado. Nosotros hemos restringido el modelo a un año para que sea sencillo y, por esto, se limitan las conclusiones que se presentan a continuación.

Figura 2-5 Efecto de los errores en las estimaciones de la demanda y de las adiciones en capacidad
mucho mayor o mucho menor que el pronóstico, entonces la decisión de capacidad es crítica, pues hay grandes diferencias entre la mejor alternativa y la peor. Por ejemplo, en la figura 2-5, la diferencia entre la línea inferior y la superior, en los puntos del 70% y del 130%, es de más de 100 000 dólares.
El análisis no le dice a la dirección cuál es la decisión que hay que tomar, sólo indica si existe o no un problema. Si hay mucha incertidumbre acerca de la precisión de los pronósticos, la dirección puede usar técnicas de análisis de decisión como las que se describen en el capítulo 4.

Como se puede ver en las tablas 2-4 y 2-5, esta información está disponible y la dirección la puede considerar al tomar sus decisiones.
Análisis de sensibilidad
El análisis anterior es un ejemplo del análisis "qué pasa si..." o de sensibilidad. Este tipo de análisis indica lo que sucede si se hace un cambio a una de las variables exógenas o de decisión. El objetivo es ver el efecto en la medida de rendimiento (beneficio), o sea, la sensibilidad del beneficio ante los cambios. Este método permite que los directores comprendan mejor el problema al que se enfrentan. En vez de producir "la respuesta", sirven para apreciar mejor la situación.
Se puede desarrollar aún más el análisis si se contempla la sensibilidad del beneficio con respecto a cada una de las variables exógenas. Esto se hace considerando casos en los que cada una de las variables esté 10% por encima y 10% por debajo de los valores del caso base. Las variables se alteran una por una, con las demás en sus valores base. Los resultados se muestran en la figura 2-6, en lo que se denomina diagrama de araña por su parecido a una telaraña.
La inclinación de una línea en el diagrama de araña indica la sensibilidad del beneficio ante los cambios en la variable. Observe que la línea del precio de la

madera es muy inclinada; esto significa que incluso los cambios pequeños en el precio tienen gran efecto en la rentabilidad. Por ejemplo, una reducción del 10% reduce a cero el beneficio. Por otra parte, es más modesto el efecto de los cambios en la demanda, en especial el de sus aumentos (en estos casos la producción está limitada por la capacidad). Una vez más, observe que son análisis uno por uno y que suponen que todos los demás factores están en los niveles del caso base. Se pueden usar cambios distintos al 10%, si se desea.
Ejemplo: Modelo New York Times
La figura 2-7 es un esquema del modelo que se desarrolló para el periódico New York Times.4 Las variables exógenas, como el empleo, los precios y el producto nacional bruto, se usan para pronosticar los niveles de anuncios por tipo (por ejemplo, anuncios de automóviles, de tiendas de departamentos, etcétera) y la circulación de las ediciones diarias y dominicales por zona geográfica. Los volúmenes de anuncios y circulación se convierten en volúmenes para diversos departamentos operativos de la sala de composición y la sala de imprenta, y en necesidades de papel y tinta. Así mismo, se estiman los volúmenes de distribución
4 Leonard Foreman," The New York Times Newspaper Planning Model", en Corporate Planning Models, Thomas H. Naylor, editor, Reading, Mass., Addison-Wesley Publishing, 1979.
Figura 2-7 Modelo New York Times

RESUMEN
y correo. Las estimaciones de costos, que incluyen un margen para la inflación, se combinan con las estimaciones de volumen para producir estimaciones de los costos variables. También se incluyen los costos fijos y los ingresos, y se combinan para establecer un pronóstico de ingresos.
El modelo real contiene cerca de 400 ecuaciones y proporciona estimaciones detalladas de los ingresos y de los costos. El modelo ha estado en funcionamiento durante varios años y está integrado a los procesos de elaboración de presupuestos y planificación de The New York Times. El modelo se ha usado para analizar nuevos productos, como ediciones regionales especiales, y para planificar las operaciones generales.
Un modelo es un conjunto de relaciones entre variables. Este capítulo presentó un tipo de modelo llamado modelo de caso. El método de análisis consiste en probar varios ejemplos o casos distintos. Específicamente, el análisis de sensibilidad examina el efecto que tienen los cambios de las variables de decisión y exógenas en las medidas del rendimiento (por ejemplo, el beneficio). El objetivo del análisis de sensibilidad es aumentar el conocimiento que tiene el decisor acerca del problema y del efecto de distintas hipótesis.
APÉNDICE Valor actual y futuro del dinero
Los modelos de caso del tipo que se describen en este capítulo con frecuencia comprenden flujos de efectivo durante varios años. Por ejemplo, la mayoría de las inversiones cuantiosas de capital generan flujos de efectivo que duran varios años. El periodo en que se recibe el dinero es un aspecto importante de su valor. Usted no debe ser indiferente ante la opción de recibir 1000 dólares ahora o mil dólares en cinco años;

analisis cuantitativo para la toma de decisiones - bierman, harold(author)

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