analisa nmrik

8/8/2019 analisa nmrik.

1/6

Analisa Numerik

Teknik Sipil

1 PENDAHULUAN

1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah

Dalam matematika, dikenal adanya fungsi transenden (fungsi eksponen, logaritma nat-

ural, invers dan sebagainya), fungsi trigonometri dan fungsi-fungsi lainnya yang bukanmerupakan fungsi aljabar biasa. Contoh dari fungsi aljabar adalah sebagai berikut

f(x) = 2x 1, g(x) = 3x 2x3 + 2x2 x + 1 , dan lain-lain

Program komputer tidak mengenal fungsi-fungsi ini. Kalaupun ada, itu hanyalah suatu

proses aproksimasi saja. Oleh karena itu, dalam subbab ini akan dipelajari cara kerja

komputer untuk mengaproksimasi fungsi-fungsi tersebut.

Ide dasar dari aproksimasi tersebut adalah bahwa fungsi tersebut dihampiri oleh suatu

deret tak hingga sebagai berikut

f(x) =

n=0

an(x c)n = a0 + a1(x c) + a2(x c)2 + + an(x c)n +

Masalahnya sekarang adalah apakah a1, a2,...,an,...? Untuk mencarinya turunkan dulu

fungsi f(x) terhadap x, sebagai berikut

f(x) = a1 + 1.2.a2(x c) + 1.3.a3(x c)2 + 1.4.a4(x c)3 + f(x) = 1.2.a2 + 1.2.3.a3(x c) + 1.3.4.a4(x c)2 +

f(x) = 1.2.3.a3 + 1.2.3.4.a4(x c) + Secara umum untuk turunan ken diperoleh

f(n)(x) = n!an + penjumlahan dengan faktor (x - c)

Tentu saja seluruh persamaan ini berlaku pada x = c, sehingga dapat dituliskan

f(n)(c) = n!an + 0

Dengan demikian diperoleh apa yang kita cari

an =f(n)

n!untuk setiap n = 0, 1,

1


2/6

Definisi

Deret Taylor yang dibangkitkan oleh fungsi f(x) pada titik x = c adalah

f(x) = f(c) + f(c)(x c)

1!+ f(c)

(x c)22!

+ + f(n)(c) (x c)n

n!+

=

n=0

f(n)

(c

)

(x

c)n

n! (1)

Secara khusus jika c = 0, maka deret di atas disebut sebagai deret MacLaurin

f(x) = f(0) + f(0)x

1!+ f(0)

x2

2!+ + f(n)(0) x

n

n!+

=

n=0

f(n)(0)xn

n!(2)

Contoh: Tentukan deret Taylor di sekitar x = 0 untuk fungsi f(x) = ex.

Solusi: Fungsi f(x) = ex

mempunyai turunan f(n)

(x) = ex

untuk n = 1, 2,.... Untukx = 0, maka nilai f(n)(0) = 1, sehingga deret Taylor untuk fungsi f(x) = ex di sekitar

x = 0 adalah

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ + x

n

n!+

Tugas Mandiri Tentukan representasi deret Taylor untuk masing-masing fungsi berikut

di tiap titik yang diberikan!

1. f(x) = sin x, c = 0

2. f(x) = cos x, c = 0

3. f(x) = ln(1 + x), c = 0

4. g(x) = ecosx, c = 0

Dalam praktik komputasi, adalah tidak mungkin untuk mensubstitusikan seluruh ben-

tuk tak terhingga deret Taylor. Biasanya deret tersebut dipotong sampai bentuk kensehingga menghasilkan sejumlah error yang bentuknya dapat ditulis sebagai berikut.

Teorema Taylor untuk f(x)

f(x) =n

k=0

f(k)(c)(x c)k

k!+ En+1

dengan

En+1 = f(n+1)()

(x c)(n+1)(n + 1)!

adalah titik di antara x dan c

Contoh: Deret Taylor untuk f(x) = ex telah diberikan pada contoh sebelumnya. Menu-

rut Teorema Taylor dapat dituliskan sebagai berikut

ex =n

k=0

xk

k!+

e

(n + 1)!xn+1

2


3/6

Gambar di atas adalah grafik fungsi f(x) = ex dengan hampiran deret Taylor untuk

n = 2 dan n = 4. Berikan analisisnya! Hitunglah nilai e1 dengan dua hampiran tersebut.

Bagaimana dengan nilai e8. Apa yang terjadi? Berikan analisisnya.

Teorema Taylor untuk f(x + h)

f(x + h) =n

k=0

f(k)(x)(h)k

k!+ En+1

dengan

En+1 = f(n+1)()

(h)(n+1)

(n + 1)! adalah titik di antara x dan x + h

Contoh: Ekspansikan

1 + h dalam bentuk h lalu hitung nilai

1.00001 dan

0.99999.

Gunakan n = 2.

Solusi: Ambil f(x) =

x, maka untuk n = 2, perlu dihitung sampai turunan ketiga.

f(x) =1

2

x, f(x) = 1

4x3/2, f(x) =

3

8x5/2

Gunakan teorema Taylor di atas untuk x = 1.

1 + h = 1 +

1

2h 1

8h2 +

1

16h35/2 (3)

Tugas Mandiri

1. Tentukan deret Taylor untuk menyatakan sin4

+ h

dan hitung nilai dari sin(45.0005o)

dengan mengunakan n = 3.

2. Tentukan 4 suku pertama yang tak nol Deret MacLaurin dari f(x) = sin x + cos x

dan g(x) = sin x cos x. Kemudian hitung f(0.001) dan g(0.0006)

3


4/6

1.2 Representasi Bilangan dalam Berbagai Bilangan Dasar

Bilangan yang kita gunakan sehari-hari adalah bilangan dengan basis 10 atau yang bi-

asa disebu bilangan desimal. Bilangan -bilangan yang terdapat dalam basis 10 adalah

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Komputer biasanya tidak menggunakan basis 10 untuk melakukan

komputasi dan penyimpanan sehingga diperlukan cara untuk mengkonversi dari bilangan

desimal ke basis yang dikenal komputer, antara lain basis 2 (biner), basis 8 (oktal) dan

basis 16 (heksadesimal).

Bilangan dalam basis 2 adalah 0 dan 1. Bilangan dalam basis 8 adalah 0,1,2,3,4,5,6,7.

Sedangkan bilangan dalam basis 16 adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E, dan F.

Bilangan 37294 dalam bilangan desimal dapat ditulis sebagai

37294 = 4 100 + 9 101 + 2 102 + 7 103 + 3 104

Secara umum:

anan1 a1a0 = a0 100 + a1 101 + + an1 10n1 + an 10n

Sebaliknya untuk bilangan pecahan

0, 7215 =7

10+

2

102+

1

103+

5

104

Secara umum:

0, b1b2b3... = b1 101 + b2 102 + ...

Sehingga anan1 a1a0, b1b2b3... =n

k=0 a

k10k

+

n

k=1 b

k10k

Konversi dari Bilangan basis ke Bilangan Desimal dan sebaliknya

1. (21467)8 = ( )10

(21467)8 = 7 80 + 6 81 + 4 82 + 1 83 + 2 84= 7 + 8(6 + 8(4 + 8(1 + 8(2)))) = 9015

2. (0.36207)8 = ( )10(0.36207)8 = 3 81 + 6 82 + 2 83 + 0 84 + 7 85

= 85(7 + 2 82 + 6 83 + 3 84)= 85(7 + 82(2 + 8(6 + 8(3)))) = 0.47286987...

Sebaliknya untuk mengubah bilangan basis desimal ke basis , perhatikan terlebih dahulu

bentuk - bentuk berikut. Misalkan N adalah bilangan desimal yang dapat dinyatakan

sebagai bilangan dalam basis sebagai berikut.

N = (cmcm1 c1c0) = c0 + (c1 + (c2 + ... + (cm)...))

4


5/6

Akan dicari c1, c2,...,cm. Bagi kedua ruas persamaan dengan diperoleh sisa c0 dan hasil

baginya c1 + (c2 + ... + (cm)...). Bagi lagi hasil bagi ini dengan dan seterusnya.

Contoh: Konversikan bilangan 3781 ke bilangan biner dengan cara di atas.

Solusi:

2)3781 .

2)1890 1 = c0

2)945 0 = c1

2)472 1 = c2

2)236 0 = c3

2)118 0 = c4

2)59 0 = c5

2)29 1 = c6

2)14 1 = c7

2)7 0 = c8

2)3 1 = c9

2)1 1 = c10

0 1 = c11

Sehingga (3781) = (111 011 000 101)2. Periksalah kebenaran dari proses konversi ini!.

Contoh: Konversikan bilangan berikut ke bilangan biner 0.372 = (. . .)2

0.372

2

0.744

2

1.488

2

0.976

21.952

2

1.904

2

1.808

dst

Jadi, 0.372 = (0.010 111 . . .)2Untuk melakukan konversi dari basis 8 menjadi basis 2 atau sebaliknya, dapat di-

lakukan dengan cara mudah, yaitu kelompokkan tiga digit pada basis 2 menjadi 1 digit

5


6/6

pada basis 8 seperti pada tabel berikut ini

biner 000 001 010 011 100 101 110 111oktal 0 1 2 3 4 5 6 7

(2576.35546875)10 = (. . .)8 = (. . .)2

8 |25768 |322 08 |40 28 |5 0

0 5

0.35546875

8

2.84375000

8

6.75000000

8

6

Jadi, (2576.35546875)10 = (5020.266)8 = (101 000 010 000.010 110 110)2

Pada basis 16, digit yang digunakan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, A, B, C, D, dan E.Hubungan basis 16 dengan basis 2 adalah

biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111heksadesimal 0 1 2 3 4 5 6 7

biner 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111heksadesimal 8 9 A B C D E F

(10 1011 1010 1101)2 = (2BAD)16

1. (110 111 001.101 011 101)2 = (. . .)8 = (. . .)10 = (. . .)16

2. (110 011.111 010 110 110 1)2 = (. . .)8 = (. . .)10 = (. . .)16

3. (. . .)2 = (. . .)8 = (51.694)10 = (. . .)16

6

analisa nmrik

Documents