an introduction to credibility theory

7/28/2019 An Introduction to Credibility Theory

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1 9 4R E P O R T

A N I N T R O D U C T I O N T O C R E D I B I L I T Y T H E O R YB Y

L . H . L O N G L E Y - C O O K

l . P R E F A C EC r e d i b i l i t y T h e o r y i s o n e o f t h e c o r n e r s t o n e s o f a c t u a r i a l s c i e n c e a s a p -

p l i e d t o c a s u a l t y a n d p r o p e r t y i n s u r a n c e . A l t h o u g h t h e l i t e r a t u r e o f th ist h e o r y i s e x t e n s i v e , t h e r e i s n o e l e m e n t a r y i n t r o d u c t i o n a t p r e s e n t a v a i l a b l e .N e a r l y a l l t h e n u m e r o u s p a p e r s 1 b e a r i n g o n c r e d i b il it y t h e o r y w h i c h h a v e a p -p e a r e d i n t h e P r o c e e d i n g s o f t h e C a s u a l t y A c t u a r i a l S o c i e t y a r e d i f fi cu l t t of o l lo w w i t h o u t a k n o w l e d g e o f t h e s u b je c t a n d m a n y o f t h e m a r e v e r y lo n ga n d i n v o lv e f a ir ly a b s tr u s e m a t h e m a t ic s . A t t h e r e q u e s t o f t h e E d u c a t i o n a lC o m m i t t e e o f t h e S o c i e t y , t h e a u t h o r h a s p r e p a r e d t h i s i n t r o d u c t i o n t o p r o -v i d e a c t u a r i e s a n d o t h e r s i n t e r e s t e d i n c r e d i b i l i t y t h e o r y w i t h a f r a m e w o r ki n t o w h i c h t h e y c a n f it t h e s e p a p e r s s o t h a t th e y c a n b e t t e r a p p r e c i a t e t h e la r g eb o d y o f r e s e a r c h w h i c h h a s b e e n c a r r i e d o u t in th is fi el d. T h e a u t h o r h a s t ri e dt o k e e p m a t h e m a t i c s t o a m i n i m u m a n d h a s c o n c e n t r a t e d o n p r i n c i p l e s r a t h e rt h a n d e t ai ls . I t m u s t b e s t re s s e d t h a t t h is is m e r e l y a n i n t r o d u c t i o n t o th e s u b -j e c t a n d i t i s o n l y b y s t u d y i n g t h e m a n y o r i g i n a l p a p e r s t h a t a f u l l c o m p r e -h e n s i o n o f t h e s u b j e c t c a n b e o b t a i n e d .

2 . M E A N I N G O F C R E D I B IL I T YT i le b a s i s / o r t h e se c r e d i b i l i t y / o r m u l a s h a s b e e n a p r o / o t t n dm y s t e r y t o m o s t p e o p l e w h o h a v e c o m e i tr to c o tr ta c t w i t ht h e m .

- - A r t h u r L . B a i le y eT h e w o r d c r e d i b i l i t y w a s o r i g i n a l l y i n t r o d u c e d i n t o a c t u a r i a l s c i e n c e a s am e a s u r e o f t h e c r e d e n c e t h a t t h e a c t u a r y b e l i e v e s s h o u l d b e a t t a c h e d t o ap a r t i c u la r b o d y o f e x p e r i e n c e f o r r a te m a k i n g p u r p o s e s . T h u s w e s a y t ha tt h e l o s s e x p e r i e n c e u n d e r a n e w c la s s o f i n s u r a n c e is "s ti ll t o o s m a l l t o b ec r e d i b l e " , i m p l y i n g t h a t t h e e x p e r i e n c e w h i c h w i l l d e v e l o p i n t h e f u t u r e m a yw e l l b e v e r y d i f f e r e n t f r o m t h a t s o f a r c o l le c t e d , a n d a ls o i m p l y i n g t h a t w eh a v e m o r e c o n f i d e n c e i n o u r p r i o r k n o w l e d g e b a s e d o n o t h e r d a t a s u c h a sc u r r e n t r a te s f o r s im i l a r c l as s e s . A g a i n , t h e s t a t e m e n t t h a t t h e p r i v a t e p a s-

s e n g e r a u t o m o b i l e l i a b i l i t y e x p e r i e n c e i n P e n n s y l v a n i a i s " f u l l y c r e d i b l e f o rr a t e m a k i n g " , i m p l i e s t h a t t h e e x p e r i e n c e , a f t e r a d j u s t m e n t b y t r e n d f a c t o r s ,is adeq ua t e t o e s t ab l ish t he ov e ra l l r a t e l eve l i n t he s t a t e w i t hou t r e fe ren ce t op r e v i o u s r a t e s o r d a t a o r t o e x p e r i e n c e i n o t h e r s t a t e s .I n m a n y c a s e s a b o d y o f d a t a is to o s m a ll t o b e f u ll y c r e d i b l e b u t la r g e1 S ee A p p e n d i x A .'-' C r e d i b il i ty P r o c e d u r e s - - C A S X X X V I I , p . 7 ( 1 9 5 0 )


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CREDIBILH'YTHEORY 195e n o u g h t o h a v e s o m e c r e d i b i l it y . A s c a le o f c r e d i b i l i ty h a s b e e n e s t a b l i sh e dw h i c h g i v e s 0 c r e d i b i li t y to d a t a t o o s m a l l to b e a n y u s e f o r r a t e m a k i n g a n d1 c r e d i b i li t y t o d a t a w h i c h a r e f u l ly c r e d i b l e . C r e d i b i l i t y t h e o r y i s c o n c e r n e dw i t h e s t a b l i s h i n g m e a s u r e s o f c r e d i b i l it y a n d s t a n d a r d s o f f ul l c r e d i b i li t y .

A r t h u r L . B a i l e y ~ h a s p o i n t e d o u t t he s p e c ia l r e c o g n it io n g i v e n t o p r i o rk n o w l e d g e i n c r e d i b i l i t y t h e o r y" A t p r e s e n t , p r a c ti c a ll y a l l m e t h o d s o f s ta t is ti c al e s t i m a t i o n a p p e a r -i n g i n t e x t b o o k s o n s t a t i s t i c a l m e t h o d s o r t a u g h t i n A m e r i c a n u n i v e r s i t i e sa r e b a s e d o n a n e q u i v a l e n t t o th e a s s u m p t i o n t h a t a n y a n d a ll c o l l a te r a li n f o r m a t i o n o r a p r i o r i k n o w l e d g e is w o r t h le s s . . . . I t a p p e a r s t o b e o n lyi n t h e a c t u a r i a l f i e l d t h a t t h e r e h a s b e e n a n o r g a n i z e d r e v o l t a g a i n s t d i s -c a r d i n g a l l p r i o r k n o w l e d g e w h e n a n e s t i n a a t e i s t o b e m a d e u s i n g n e w l ya c q u i r e d d a t a . "

A s a c o r o l l a r y o f th e r e c o g n i t io n o f p r i o r k n o w l e d g e , t h e a m o u n t o f c r e d i -b i l i t y t o b e a t t a c h e d t o a g i v e n b o d y o f d a t a i s n o t e n t i r e l y a n i n t r i n s i c p r o p -e r t y o f t h e d a t a . F o r e x a m p l e , t h e r e is a l w a y s s ta t e d o r i m p l i e d in a n y m e a s -u r e o f c r e d i b i l i ty t h e p u r p o s e t o w h i c h d a t a a r e t o b e u s e d . T h u s c e r t a i nd a t a o b t a i n e d f r o m t h e r e p o r t s o f F i re M a r s h a l l s i n t h e S ta t e o f O r e g o nm a y h a v e a h i g h c r e d i b i li t y f o r e s t a b l is h i n g t h e v a r i a t i o n s o f f ir e r a t e s b y p r o -t e c t io n g r a d i n g in th a t s ta t e . T h e s a m e d a t a w ill h a v e a l o w e r c r e d ib i l it yw h e n a p p l i e d t o e s t a b l is h i n g t h e v a r i a t i o n o f f ir e ra t e s b y p r o t e c t i o n g r a d i n gi n t h e s t a t e s o f P e n n s y l v a n i a o r N e w Y o r k .T h e t e r m c r e d i b i li ty h a s b e e n e x t e n d e d t o r e p r e s e n t t h e w e i g h t t o b e g i v e nto c e r ta i n d a t a in v a r io u s e x p e r i e n c e ra t in g f o r m u l a e . M u c h c o n f u s io n h a sr e s u l t e d f r o m a s s u m i n g t h a t t h e c r e d i b i l i t y o f d a t a u s e d i n a n e x p e r i e n c er a t i n g p l a n i s t h e s a m e a s t h e c r e d i b i l i t y o f t h e s a m e d a t a i f i t w e r e t o b eu s ed f o r s o m e o t h e r p u r p o s e s u c h a s i n d e p e n d e n t r a te m a k i n g .H e n c e , w e s e e t h a t c r e d i b i l i t y i s n o t a s i m p l e p r o p e r t y o f d a t a w h i c h c a nb e c a l c u l a t e d b y s o m e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a a s c a n th e s t a n d a r d d e v i a t i o no r o t h e r m e a s u r e s o f t he e f fe c t o f c h a n c e v a r i a t i o n o n a b o d y o f s ta t is ti c ald a t a . W h i l e c re d i b i l i ty a n d s t a t is t ic a l v a r i a n c e a r e r e l a t e d , t h e f o r m e r ism e a n i n g f u l o n l y a g a in s t a s ta t e d o r im p l i e d b a c k g r o u n d o f t h e p u r p o s e f o rw h i c h t h e d a t a a r e t o b e u s e d a n d a c o n s i d e r a t i o n o f t h e v a l u e o f t h e p r i o rk n o w l e d g e a v a i l a b l e .

3 . THE NEED FOR A MATHEMATICAL MODELT i l e c a l c a l u s o f p r o b a b i l i t y i s a f a s c i n a t i n g s u b j e c t , a n d o n ew h i c h i s d e s t i n e d t o p l a y a l a r g e p a r t i n a c t u a r ia l s c i e n c e ;a n d a d a y m a y c o m e w h e n i t c a n tr u ly b e sa i d o / t h e a c t u a r yt h a t I re h a s / lt s e d t o g e t h e r tire t h e o r i e s o f f i n a n c e a n d p r o b -a b i l i t y . --E. W. Phillips~

T h e a p p l i c a t i o n o f m a t h e m a t i c s t o s c i e n c e f o l l o w s a f a i r l y s t a n d a r d p a t -t er n . F i r s t c e r ta i n " l a w s " a r e e s t a b li s h e d u su a l l y b y a c o m b i n a t i o n o f c a r e -f ul r e s e a r c h a n d g e n e r a l re a s o n i n g . F r o m t h e s e l aw s a m a t h e m a t i c a l m o d e lis c o n s t r u c t e d a n d is t e s t e d a g a i n s t a c t u a l i ty . T h e m o d e l i s t h e n u s e d f o rf u r t h e r r e s e a r c h a n d a s a m e a n s o f f o r e c a s t i o g w h a t w ill o c c u r i n d e s i g n a t e da Biometry of the Measurement of Mort alit y--priv ate ly published, p. 5 (1935)


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196 CREDIBILITY "Iq-IEORYs p e c i a l c i r c u m s t a n c e s , i n t h e " e x a c t " s c i e n c e s t h e m o d e l s a r e v e r y c l o s e t or e a l i ty ; in t h e le s s e x a c t s c i e n c e s t h e m o d e l s a r e o n l y a p p r o x i m a t e . S i n c e t h em o d e l f o l lo w s d i r e c t ly f r o m t h e la w s b y t h e a p p l i c a t io n o f p u r e m a t h e m a t i c s , i tis c o n v e n i e n t t o u s e t h e t e r m m o d e l fo r b o t h t h e la w s t h e m s e l v e s a n d t he m a t h e -m a t i c a l d e v e l o p m e n t t h e r e f r o m .T h u s i n d y n a m i c s t h e l a w s a r e u s u a l l y N e w t o n ' s l a w s o f m o t i o n a n d t h em o d e l d e d u c e d t h e r e f r o m a l l o w s , f o r e x a m p l e , t h e a c c u r a t e p r e d i c t i o n o fa n e c l i p s e o f t h e s u n m a n y y e a r s h e n c e . T h i s m o d e l is a l m o s t , b u t no t c o m -p l e t e l y , exac t .I n t h e a c t u a r i a l s c i e n c e o f l i f e i n s u r a n c e t h e o r i g i n a l l a w w a s a r a t e o fm o r t a l it y w h i c h d e p e n d e d u p o n t he a g e a n d s e x o f t h e li fe b u t w a s i n d e p e n d e n to f a n y o t h e r v a r i a b le . T h e a c t u a l r a te s o f m o r t a li ty w o u l d d e p e n d u p o n t h eb o d y o f li ve s u n d e r r e v i e w b u t f o r a n y i n d i v id u a l p r o b l e m t h e la w w a s a s -s u m e d t o h o ld . T h e m o d e l d e v e l o p e d f r o m th is la w w a s t h e m o r t a li ty ta b l ea n d t h e w h o l e t h e o r y o f li fe c o n t i n g e n c i e s , w i t h o u t w h i c h i t w o u l d n o t b ep o s s i b l e t o t r a n s a c t l i fe i n s u r a n c e a s w e u n d e r s t a n d i t t o d a y , is b a s e d t h e r e o n .T h e m o d e l w a s l a te r d e v e l o p e d t o al lo w f o r s e l ec ti o n a n d f u r t h e r d e v e l o p m e n t sw e r e r e q u i r e d t o d e a l w i t h s p e c i a l p r o b l e m s s u c h a s i m p a i r e d l i v e s a n d o p -t io n s . H o w e v e r f o r m u c h a c t u a r i a l w o r k i n t h e li fe i n s u r a n c e f i e ld t h e o ri g i -na l m od e l is s ti ll t he bas i s o f a l l c a l cu l a t i ons . I t w as e a r l y r ea l i ze d 4 t ha t t her a t e o f m o r t a l i t y r e p r e s e n t e d t h e a v e r a g e m o r t a l i t y o f a l l l i v e s i n t h e g r o u po n l y , b u t i t w a s r a r e l y i f e v e r n e c e s s a r y t o r e f l e c t t h i s i n t h e a c t u a r i a l w o r ko f li fe i n s u r a n c e a n d n e a r l y a ll l if e i n s u r a n c e c a l c u l a t i o n s c a n b e m a d e o na s s u m p t i o n t h a t t h e r a te o f m o r t a l i t y a p p l i e s t o e a c h in d i v i d u a l l if e.I n o t h e r f ie ld s o f i n s u r a n c e t h e d e v e l o p m e n t o f s u i ta b l e m o d e l s h as b e e nd i f f i c u l t a n d t h e a p p l i c a t i o n s o f t h e m o d e l s n e a r l y a l w a y s r e q u i r e n o t o n l yt h e u s e o f a v e r a g e v a l u e s , b u t a c o n s i d e r a t i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h ev a r i a t io n s f r o m t h e a v e r a g e . I n t h e U n i t e d S t at es th e d e v e l o p m e n t o f t h e s em o d e l s a n d t h e ir a p p l i c a ti o n t o p r a c t ic a l p r o b l e m s h a v e b e e n a s s o c ia t e d m a i n l yw i t h r a t e m a k i n g a n d c r e d i b i l i ty . W h i l e t h e w o r d c r e d i b i l i ty w a s o r i g i n a ll yi n t r o d u c e d t o i n d i c a t e t h e c r e d e n c e t h a t t h e a c t u a r y b e l i e v e s s h o u l d b e a t -t a c h e d t o a p a r t ic u l a r b o d y o f e x p e r i e n c e f o r r a t e m a k i n g p u r p o s e s , th e u s eo f t h e t e r m h a s b e e n e x t e n d e d t o m a n y r a t e m a k i n g t e c h n i q u e s a s s o c i a t e dw i t h t h is g e n e r a l id e a . O n t h e c o n t i n e n t o f E u r o p e , th e d e v e l o p m e n t a n d a p -p l ic a t io n s o f t h e se m o d e l s h a v e b e e n r e f e r r e d t o a s th e T h e o r y o f R i s k a n dt h e m a i n a p p l i c a t i o n h a s b e e n t h e s t u d y o f t h e e f f e ct s o f c h a n c e v a r i a t io n o nt h e s u rp l u s o f a n i n s u r a n c e c o m p a n y .

4 . S T A T I S T I C S F O R I N S U R A N C E R A T E M A K I N GW e w h o s e r v e o u r L a d y C a s t ta l ty ,S h o u l d b e o / a l l m e n f ir st ,M o s t r e so l at el y to h o p e / o r t he b es t,M o s t w i s e l y p r e p a r e ] o r t h e w o r s t .

- - C l a r e n c e W . H o b b s ~B e f o r e w e c a n b e g i n t o c o n s t r u c t a m o d e l a p p r o p r i a t e f o r t h e s t u d y o f

4 O n t h e I m p r o v e m e n t o f L i f e C o n t i n g e n c y C a l c u l a t i o n - - E . J . F a r r e n . J o u r n a l o f t h e I n -s t i t u t e o f A c t u a r i e s , V o l . 5 , p . 1 8 5 ( 1 8 5 5 )5 T h e L a d y C a s u a l t y a n d H e r S e r v i t o r s - - C A S X X V I , p. 16 8 ( 1 9 35 )


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CREDIBILITY THEORY 197p r o b l e m s o f c a s u a l t y a n d p r o p e r t y i n s u r a n c e w e m u s t u n d e r s t a n d c l e a r l y t h ep u r p o s e f o r w h i c h t h e m o d e l i s p r i m a r i l y i n t e n d e d a n d c e r t a i n o f t h e c h a r a c -t e r is t ic s o f th i s b r a n c h o f i n s u r a n c e . I t is i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t c a s u a l t yi n s u r a n c e i s a c o n t r a c t o f i n d e m n i t y a n d h e n c e t h e a m o u n t p a y a b l e i n c a s e o fa l o s s m u s t b e d e t e r m i n e d b y th e i n d i v i d u al c i r c u m s t a n c e s o f e a c h c a s e a n dm a y d e p e n d u p o n a l e g a l a c t i o n a n d a j u r y v e r d i c t . F o r th i s r e a s o n l o ss e x -p e r i e n c e will n e v e r b e s t a b l e f o r a n y l e n g t h o f t i m e a n d r a t e r e v i s i o n s a ref r e q u e n t . W e a re c o n c e r n e d w it h a n a ly z i n g t h e p as t, m a i n ly t o e n a b l e u s t od e v e l o p p r e m i u m r a t e s f o r t h e f u t u r e .I t is a p p r o p r i a t e h e r e t o q u o t e s o m e r e m a r k s o f A r t h u r L . B a i l e y~, thea c t u a r y w h o h a s c o n t r ib u t e d m o r e t h a n a n y o n e e ls e to o u r k n o w l e d g e o fc r e d i b il it y , o n t h e d i f f e r e n c e in p h i l o s o p h y o f th e c a s u a l t y a c t u a r y a n d t hes ta t i s t i c ian in the m or e usua l f i elds o f s t a t i s ti ca l s tudy .

"F i r s t , t h e r e is t h e b e l i e f o f c a s u a l t y u n d e r w r i t e r s t h a t t h e y a r e n o td e v o i d o f k n o w l e d g e b e f o r e th e y h a v e a c q u i r e d a n y s ta ti st ic s . T h i s b e -l ie f is p r o b a b l y h e l d b y o p e r a t i n g p e r s o n n e l i n a l l b u s i n e ss e s . W h e n an e w f o r m o f i n s u r a n c e i s i n i t i a t e d o r a n e w c l a s s i f i c a t i o n o r t e r r i t o r ye s t ab l is h e d , t h e r e m a y b e a c o n s i d e r a b l e v a r i e t y i n t h e o p i n i o n s o f i n-d i v i d u a l u n d e r wr i t e r s a s t o wh a t t h e r a t e s h o u l d b e ; b u t t h e c o n s e n s u so f o p i n i o n i n v a ri a b ly p r o d u c e s a r at e. T h i s r a t e s o o n b e c o m e s e m b e d d e di n t h e m i n d s o f t h e u n d e r w r i t e r s a s t h e ' r i g h t ' r a t e . L a t e r , w h e n s t a t i s -t ic s as t o t h e a c t u a l l o s s e s u n d e r t h e n e w c o v e r a g e , c l a s s if i c a t io n o r t e r -r i t o r y , f i n a l l y a r e a c q u i r e d , t h e p r o b l e m i s n o t 'wh a t s h o u l d t h e r a t eh a v e b e e n ? ' b u t ' h o w m u c h s h o u l d t h e e x i s t i n g r a t e b e c h a n g e d a s ar e su l t o f th e f a c t s o b s e r v e d ? ' I n r e v is i on s o f r a t e s f o r r e g u l a r c o v e r a g e s ,c lasses and t e r r i to r i e s , th i s i s a lways the ques t ion .

" T h e s t a t i s t i c a l m e t h o d s , d e v e l o p e d b y t h e m a t h e m a t i c i a n s a n d a v a i l -a b l e i n t h e s t a n d a r d t e x t b o o k s o n s t a t i s t i c a l p r o c e d u r e s , d e a l wi t h t h ee v a l u a t io n o f t h e i n d i c a t io n s o f a g r o u p o f o b s e r v a t i o n s , b u t u n d e r t h et a c i t o r i m p l i c i t a s s u m p t i o n t h a t n o k n o w l e d g e e x i s t e d p r i o r t o t h e m a k -i ng o f th o s e p a r t i c u l a r o b s e r v a t i o n s . T h e c r e d i b i l i ty p r o c e d u r e s , u s e d i nt h e r e v i s i o n s o f c a s u a l t y r a t e s , h a v e b e e n d e v e l o p e d b y c a s u a l t y a c t u a r i e st o g i v e c o n s i s t e n t w e i g h t i n g s t o a d d i t i o n a l k n o w l e d g e i n i t s c o m b i n a t i o nw i t h a l r e a d y e x i s t i n g k n o w l e d g e ." A s e c o n d b e l ie f o f c a s u a l ty a c t u a r ie s i s t h a t t h e y a r e in a c o n t i n u i n gb u s i n es s . A l s o t h a t a m o r e o r l e ss wi d e s p r e a d o f r is k s is b e i n g t a k e na t a n y t im e . T h e r a t e m a k e r in s u c h a n o r g a n i z a t i o n a s t h e N a t i o n a lB u r e a u o f C a s u a l t y U n d e r w r i t e r s l i t e r a l l y h a s t h o u s a n d s o f r a t e s t o b er e v is e d at r e l a t iv e l y f r e q u e n t i n t er v a ls . B e i n g c a ll e d u p o n t o m a k e al a rg e n u m b e r o f e s t i m a t e s , t h e c a s u a l t y s t a ti s t ic i a n s c a n r e l i n q u i s h t h ec o n d i t i o n , u s u a l l y i m p o s e d b y o t h e r s t a t i s t i c i a n s , t h a t e a c h e s t i m a t e b e

u n b i a s e d . I n i ts p l a c e th e y m a y i m p o s e t h e l e ss r e s t r i c ti v e c o n d i t i o nt h a t a p a r t i c u l a r g r o u p o f e s t im a t e s b e u n b i a s e d i n t h e a g g r e g a te . T h i sp e r m i t s t h e m t o m a k e a m a t e r i a l r e d u c t i o n i n t h e e r r o r v a r i a n c e s b e l o ww h a t c o u l d b e o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e u s u a l l y t a u g h t a n d p r e s e n t e dm e t h o d s o f s ta t is ti c al e s t i m a t i o n . I t p r o d u c e s a n o t h e r t y p e o f c r ed i -b i li ty f o r m u l a w h i c h a p p e a r s t o b e u n i q u e , t o c a s u a l t y i n s u r a n c e .GD iscussion by A rthur L. B ailey, Journal of the A merican Teachers of Insurance, V ol.17, p. 24 (1950)


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198 CREDIBILITY THEORY" T h e t h i rd p e c u l i a r it y is t h a t c a s u a l t y u n d e r w r i t e r s c o n s i d e r e a c h i n -s u r e d t o d i f fe r f r o m a ll o t h e r i n su r e d s. F o r e x a m p l e , e a c h a u t o m o b i l ed r i v e r is a s s u m e d t o h a v e h a b i t s a n d e c c e n t r ic i t ie s u n l ik e a n y o t h e r ;e a c h f le e t o f t r u c k s is a s s u m e d t o tr a v e l r o u t e s a n d e n g a g e i n o p e r a t i o n s

w h i c h m a k e i t s h a z a r d s d i f f e r e n t f r o m a l l o t h e r s , e v e n t h o s e e n g a g e d i nt h e s a m e i n d u s t r y in th e s a m e te r r it o r y . T h e p r o p r i e t y o f t h is a s s u m p -t i o n h a s b e e n v e r i f i e d i n s o m a n y i n s t a n c e s t h a t t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e nr is k s h as b e c o m e a b a si c c o n c e p t o r a x io m . E x p e r i e n c e r a t in g p l an sa r e u s e d i n a l m o s t a l l l i n e s o f c a s u a l t y i n s u r a n c e t o m e a s u r e t h e p e c u -l i a r i t i e s o f i nd i v i dua l r i s k s ." D e s p i t e t h is u n i q u e n e s s o f t h e ' i n h e r e n t h a z a r d ' o f d i ff e re n t in s u r e d s,e a c h a n d a ll o f th e m a r e s u b j e c t t o th e v a g a r i e s o f c h a n c e a n d t h e r a n -d o m e r r o r s o f c la s s if ic a ti o n a n d m e a s u r e m e n t c o m m o n t o a ll st at is ti cs .S t a t i s t i c a l m e t h o d s g e n e r a l l y t a u g h t a n d p u b l i s h e d i n t e x t b o o k s d e a l w i t hp o p u l a t i o n s f o r w h i c h t h e e n t i re v a r i a t io n i s p r o d u c e d b y th e v a g a r i e s o fc h a n c e o r t h e r a n d o m e r r o rs o f m e a s u r e m e n t . P o p u l a t i o n s in c a s u a lt yi n s u r an c e , h o w e v e r , c o n s is t o f i n d i v id u a l s h a v i n g a v a r i a t io n o f e x p e c -t a t io n s o t h e r t h a n t h a t d u e t o th e s e t w o i te m s . T h e i r in h e r e n t h a z a r d sm u s t b e a s s u m e d t o d if f er e v e n i f it is i m p o s s i b l e t o p o s t u l a t e o r t op r e c i se l y m e a s u r e t h e d if fe r e nc e s . T h i s d e a li n g w i th h e t e r o g e n e o u s p o p u -l a t i o n s p r o d u c e s s o m e v e r y i n t e r e s t i n g r e s u l t s w h i c h m o s t s t a t i s t i c i a n sw o u l d s n e e r a t as ' i m p o s s i b l e ' , b u t w h i ch a r e , n e v e r t h e l e ss , w h o l l ys o u n d a n d j u s t i f i a b l e . "W h i le t h e a b o v e r e m a r k s b y A r t h u r L . B a i le y a r e s p e ci fi c al ly d i r e c t c d t oc a s u a l t y i n s u r a n c e , s i m i l a r c o n s i d e r a t i o n s a p p l y t o p r o p e r t y i n s u ra n c e .

5. DISTRIBUTION OF NUMBER OF LO SS ES -- TH E FIRST MODEL

In the early history o/ navigation, we find it taken ahnostas the basis o[ the science that the compass needle pointedin a [i.red direction, and that such a direction was due north.The utility o/ so simple an assumption in early days canscarcely be overrated. -- E. J . Farren~T h e s c i e n t i s t d o e s n o t n e e d t o i n v o k e E i n s t e i n ' s r e l a t i v i t y t h e o r y f o r e a c hs i m p l e c a l c u l a t io n o n m o v i n g b o d i e s . I n m o s t c a s e s t h e l a w s o f m o t i o n d e -v e l o p e d b y N e w t o n a r e s u ff ic ie n t f o r hi s p u r p o s e . N o r n e e d t h e a c t u a r y a s -s u m e a c o m p l e x m o d e l w h e n a s i m p l e m o d e l w ill s u ff ic e . I n m o s t ty p e s o fc a s u a l t y a n d p r o p e r t y in s u ra n c e , m o r e t h a n on e lo s s ( a c c i d e n t ) c a n o c c u ri n a y e a r . I n o u r f i rs t m o d e l it w i ll b e a s s u m e d t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f a na c c i d e n t i n a n y p e r i o d o f ti m e is t h e s a m e f o r e a c h i n d i v i d u a l e x p o s u r e ( p e r -s o n , a u t o m o b i l e , e t c . ) a n d t h a t i t is p r o p o r t i o n a l t o th e l e n g t h o f t h e t im e

e x p o s e d . F u r t h e r , i t w ill b e a s s u m e d t h a t w e a r e e i t h e r c o n c e r n e d w i th s t u d y -i n g th e n u m b e r o f a c c i d e n t s a n d n o t t he a m o u n t s o f l os s o r , a lt e r n a t iv e l y ,t h a t t h e a m o u n t o f lo s s f o r e a c h a c c i d e n t is t h e s a m e .I f t h e n u m b e r o f e x p o s u r e s o v e r a p e r i o d o f o n e y e a r i s n a n d t h e p r o b a b l en u m b e r o f a c c i d e n t s i n a n y p e r i o d d t is n q d t , t h e n t h e m o s t p r o b a b l e to t a ln u m b e r o f a c c i d e n t s in th e y e a r i s n q a n d t he a v e r a g e n u m b e r o f a c c i d e n t st o a n y o n e i n d i v id u a l is q . I t is n e c e s s a r y t o d e t e r m i n e t h e p r o b a b i l i t y t h a ta n i n d i v i d u a l h a s e x a c t l y n o n e , o n e , t w o , e t c . , a c c i d e n t s i n t h e y e a r a n d


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CREDIBILITY THEORY 199t h a t t h e t o t a l n u m b e r o f a c c i d e n t s i s w i th i n k p e r c e n t o f t h e m o s t p r o b a b l en q . T h e s o l u t i o n o f t h is p r o b l e m w ill b e f o u n d in m o s t t e x t b o o k s o n s t a ti s ti c ss i nce t h i s i s t he w e l l - know n Poisson Distribution a n d i s d e v e l o p e d i n A p p e n -d i x B . T h e r e s u l t s a r e a s f o l l o w s :

T h e c h a n c e o f e x a c t l y r a c c i d e n t s o u t o f n i n d i v i d u a l s i s(nq) re 'n' l

r !I n th e c a s e o f a si n gl e i n d i v i d u a l t h is b e c o m e s

qre-,,r !

T h e m e a n n u m b e r o f a c c i d e n t s is n q a n d t h e v a r i a n c e is a l so n q .F u r t h e r , t h e p r o b a b i l i t y P t h a t t h e n u m b e r o f a c c i d e n t s w ill b e w i t h i n 1 0 0 k % o f t he e x p e c t e d n q is e q u a l t o kv-/ -,

:2P ~ 2 e d t0

w h e n n is l a r g e a n d k is n o t l a rg e . ( S e e A p p e n d i x B ) .T h i s f o r m u l a is u s e d t o e s t a b l is h s t a n d a r d s o f f ul l c r e d i b i l it y .

6. NUMBER OF CLAIMS REQUIRED FOR FULL CREDIBILITYA dependable p .r e pr em i. m is one for which the probabilityis high, that it does not differ ]rom the true p.re premiumby more than an arbitrary limit. --Albert H. Mowbray;

W h e n t h e a c t u a r y s a y s c e r t a i n d a t a a r e f u ll y c r e d i b l e , h e is n o t i m p l y i n gt h a t , i f i t w e r e p o s s i b l e t o c o l l e c t a n o t h e r b o d y o f d a t a o f t h e s a m e s i z e u n d e ri d e n t i c a l c o n d i t i o n s t h e r e s u l t w o u l d b e f o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s i d e n t i c a l ,b u t r a t h e r t h a t th e v o l u m e o f d a t a i s a d e q u a t e f o r ra t e m a k i n g w i t h o u t r e f -e r e n c e t o o t h e r e x p e r i e n c e d a t a a n d w i t h o u t r e f e r e n c e t o t h e p r e m i u m r a t e sp r e v i o u s l y c h a r g e d . W h i le i t m a y b e o f s o m e i n te r es t to k n o w w h a t v o l u m e o fd a t a i s r e q u i r e d t o m e e t t h e f o r m e r t e s t , i t w i l l n o r m a l l y b e s o l a r g e t h a t i tc o u l d n e v e r b e a v a i l a b le , a n d h e n c e t h e e n q u i r y is a c a d e m i c . I n s u r a n c e d a t aa r e u n l i k e d a t a a v a i l a b l e i n b i o m e t r i c a n d s i m i l a r s t u d i e s w h e r e p r a c t i c a l l ya n y v o l u m e o f d a t a d e s i r e d c a n b e c o l le c t e d i f w e g o to t h e n e c e s s a r y t r o u b l ea n d e x p e n s e . N o r m a l l y w e a re c o n c e r n e d w i th t h e w h o l e o f t he d a t a f o r ap a r t i c u l a r c l a s si f ic a t io n a n d n o f u r t h e r i d e n t i c a l d a t a a r e a v a i l a b l e . I t is o n l yw h e n t h e d a t a f o r a s in g l e in s u r a n c e c o m p a n y a r e b e i n g s t u d ie d t h a t a l a r g e rv o l u m e o f d a t a , t h a t o f a l l s im i l a r ly o p e r a t e d c o m p a n i e s , m a y b e a v a i l a b le .E v e n i n t h is c a s e it is i m p o r t a n t to s tr e s s t h e w o r d s " s i m i l a r l y o p e r a t e d " . I n How Extensive a Payroll Exposure is Necessary to Give a Dependa ble Pure Prernil~m?CAS I, p. 24 (1914)


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20 0 CREDIBILITY THEORY

m a n y l i n e s o f b u s i n e s s t h e e x p e r i e n c e o f s t o c k a n d m u t u a l c o m p a n i e s a r e n o tt h e s a m e n o r t h a t o f d i r e c t w r i t e r s a n d a g e n c y c o m p a n i e s a n d a c o m b i n a t i o no f t h e e x p e r i e n c e o f d i f f e r e n t l y o p e r a t e d c o m p a n i e s w i l l n o t p r o d u c e g r e a t e rc r ed i b i l i t y f o r e s t ab l i sh i ng t he ov e r - a l l ra t e l eve l . H ow ev er , i t m ay we l l p r o -duce g r ea t e r c r ed i b i l i t y f o r e s t ab l i s h i ng r a t e d i f f e r en t i a l s f o r c l a s s i f i ca t i ons u b - g r o u p s .O u r f ir st m o d e l c a n b e u s e d t o e s t a b li sh t h e n u m b e r o f c l a i m s r e q u i r e dt o r e d u c e t o n e g l i g i b l e p r o p o r t i o n s t h e p r o b a b l e d e p a r t u r e f r o m t h e n u m b e ro b s e r v e d w h i c h c o u l d b e a t tr i b u t e d t o c h a n c e v a r ia t io n . O n t h e b a sis o f th ef o r m u l a s e t o u t a t t h e e n d o f t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , u s i n g p u b l i s h e d s t a t i s -t ic a l ta b l e s, w e e s t ab l is h t h e n u m b e r o f c l a i m s n e c e s s a r y to m e e t s o m e t y p i-c a l v a l u e s o f P ( t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e n u m b e r o f a c c i d e n t s w i l l b e w i t h i n 1 0 0 k % o f t h e e x p e c t e d n u m b e r o f a c c i d e n t s ) a n d k a s f o ll o w s :

MaximmnDeparture~rolnexpected (k)

Probability o[ meeting test (P)99% 95% 90%

Number o] claims required2 1 /~ % 1 0 ,6 2 3 6 , 1 4 7 4 , 3 2 65 % 2 , 6 5 6 1 , 5 3 7 1 , 0 8 27 % 1 ,1 80 6 8 3 4 811 0 % 6 6 4 3 8 4 2 7 1

T h e fi gu re c o r r e s p o n d i n g to P e q u a l s 9 0 % ; a n d k e q u a l s 5 % , n a m e l y 1 ,0 8 2,is f r e q u e n t l y u s e d a s a n a c c e p t e d s t a n d a r d o f c r e d i b i l it y .[ t w i l l r e a d i l y b e a p p r e c i a t e d t h a t w h e n a m o r e r e a l i s t i c m o d e l i s u s e da n d a l l o w a n c e is m a d e f o r th e v a r i a t i o n in I~he a m o u n t o f c la i m f r o m a c c i d e n tt o a c c i d e n t , t h e v o l u m e o f d a t a r e q u i r e d t o m e e t f u ll c r e d i b i l i ty f o r , sa y ,p u r e p r e m i u m s , w ill b e h i g h e r. ( T h e d e v e l o p m e n t o f t he re l a ti o n s h i p s o ft h e c r e d i b i l i t y f o r C l a i m F r e q u e n c i e s , C l a i m C o s t s , P u r e P r e m i u m s a n dT r e n d s is se t f o r t h in A p p e n d i x C . ) H o w e v e r , si nc e t he c h o i c e o f P a n d ka r e i n a n y c a s e a r b i t r a r y , w e c a n j u s t i f y t h e u s e f o r P u r e P r e m i u m s o f t h es t a n d a r d a l r e a d y e s t a b l i sh e d f o r lo s s f r e q u e n c y b y a s u i t a b le v a r i a t io n int h e v a lu e s c h o s e n f o r th e s e fa c t o r s . F u r t h e r , i n p r a c t i c e , t h e s e l e c t io n o ft o o h i g h a s t a n d a r d f o r f ul l c r e d i b i l i ty w o u l d c o n s i d e r a b l y d e l a y t h e r e s p o n s eo f p r e m i u m s t o c h a n g e d a c c i d e n t c o n d i t i o n s a n d m i g h t w e l l l e a d t o o v e r -a ll in a d e q u a c y o f p r e m i u m l e v e ls . T h e s t a n d a r d o f f u ll c r e d i b i l it y is n o t n o r -r e a ll y i m p o r t a n t in i ts e lf , b u t i s i m p o r t a n t a s a m e a n s o f i n t r o d u c i n g c o n -s i s t e n c y i n t h e r a t e m a k i n g p r o c e d u r e a n d e s t a b l i s h i n g p r o p e r r e l a t i o n s h i p sa s r e s p e c t s r e l i a b i l i t y b e t w e e n d i f f e r e n t v o l u m e s o f e x p e r i e n c e .W h i le t h e n u m b e r o f c l a im s is t h e m o s t a p p r o p r i a t e m e a s u r e f o r es ta b -l is h i ng c r ed i b i l i t y , it is no t a l way s t he m os t p r ac t i ca l one a nd i t is o f t enn e c e s s a r y t o u s e p r e m i u m s in s t ea d . A s t a n d a r d o f $ 5 , 0 0 0 , 0 0 0 o f p r e m i u m so r s o m e s i m i l a r f i g u r e f o r f u l l c r e d i b i l i t y h a s b e e n c u s t o m a r y i n f i r e i n s u r a n c ea l t h o u g h t h e v o l u m e sh o u l d v a r y a c c o r d i n g t o th e a v e r a g e s iz e o f l os s. Al a r g e r v o l u m e is th e o r e t i c a l l y n e c e s s a r y f o r in d u s t r i a l t h a n f o r h a b i t a ti o n a lr isks.T h e e a r li e st p a p e r in th e P r o c e e d i n g s o f t h e C a s u a l t y A c t u a r i a l S o c ie t yo n t h e s t a n d a r d f o r f u l l c r e d i b i l i t y w a s p r e s e n t e d b y A l b e r t H . M o w b r a y i n


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CREDIBILITYTHEORY 2011 9 1 4 * a n d t h e m o s t u s e f u l g e n e r a l r e f e r e n c e t o t h e s u b j e c t w i ll b e f o u n d i na p a p e r b y F r a n c i s S . P e r r y m a n L

7 . P A R T I A L C R E D I B I L I T Y - - R A T E R E V IS IO N SHow much weight the indications o[ specific volumes o]data are to be given in the casualty business has continuedto be a matter o/individual judgment. - - A r th u r L . Ba iley 2

I f w e h a v e a c e r ta i n l o ss f r e q u e n c y b a s e d o n p a s t e x p e r i e n c e a n d a n e ws e t o f d a t a w h i c h is n o t l a rg e e n o u g h t o p r o v i d e f u ll c re d i b il it y , o n t h e b as i sw e h a v e a c c e p t e d f o r t h e ty p e o f b u si n e s s u n d e r d i s c u s s io n , h o w s h o u l d t h et w o s et s o f i n f o r m a t i o n b e c o m b i n e d f o r f u t u r e r a t e m a k i n g ? O b v i o u s l y w es h o u l d b e w r o n g t o d i s c a rd t h e n e w d a t a b e c a u s e it is n o t f u ll y c r e d i b l e , n o rs h o u l d w e i g n o re t h e o ld r a te w h i c h m a y b e b a s e d o n a v a s t v o l u m e o f d a t a .C l e a r l y s o m e c o m b i n a t i o n o f t h e tw o is r e q u i r e d . I t is t e m p t i n g t o p r o c e e da s f o ll o w s . T h e p r o b a b i l i t y o f a c l a i m i n t h e o l d d a t a is P 0 ~ l o / E 0 w h e r e10 is t h e n u m b e r o f c l a im s a n d E 0 th e e x p o s u r e u n i ts i n t h e o l d d a t a . T h ep r o b a b i l i t y o f a c l a i m i n t h e n e w d a t a i s P l = I , / E , w h e r e 11 a n d E l a r e t h ec l ai m s a n d e x p o s u r e u n it s in t h e n e w d a ta . C o m b i n i n g t h e d a t a f r o m t h e t w os o u r c e s w e h a v e a s t he b e s t e s t i m a t e o f t h e t r u e p r o b a b i l i t y

lo -q- 11P - - E o - t - E 1T h e r e a r e a n u m b e r o f r e a s o n s w h y t hi s p r o c e d u r e is n o t p r a c t ic a l . W er a re l y k n o w t h e p r ec i se b a s i s o f Po. I t m a y b e b a s e d o n a c e r ta i n n u m b e r o fc l a i m s a n d e x p o s u r e u n it s. I t m a y b e a d j u s t e d t o r e fl ec t in p a r t s o m e p r e v i -o u s e x p e r i e n c e , o r it m a y r e fl ec t in f o r m e d j u d g m e n t . F u r t h e r i t m a y b e p a r -t ia ll y o b s o l e t e b e c a u s e o f t r e n d s w h i c h h a v e o c c u r r e d i n t h e i n t e r v a l s i n c et h e d a t a w e r e c o l l e ct e d . I t m u s t a l s o b e n o t e d t h a t a f o r m u l a o f t h is f o r md o e s n o t p r o d u c e p = p , if P l h a s fu ll c r e d ib i li ty . A n o t h e r a p p r o a c h i s t h e r e -f o r e n e c e s s a r y .I f w e h a v e a s u f fi ci en t v o l u m e o f d a t a f o r p , t o m e e t o u r r e q u i r e m e n t o ff u l l c r e d i b i l i t y t h e n p a P 1

A g a i n i f t h e v o l u m e o f d a t a is s o s m a l l a s to b e m e a n i n g l e s s it is p r o b a b l yw i s e t o a s s u m e P = P oF o r a ll o t h e r v o l u m e s o f d a t a , p m u s t lie b e t w e e n P0 o r p , . E x p r e s s e d m a t h e -m a t i c a l l y t h i s m e a n s P = P o ( i - Z ) --[- p , Zo r

P = P o + Z ( p , - - p o )w h e r e Z l ie s b e t w e e n 0 a n d I . ] t w i ll b e n o t e d t h a t i f t h e d a t a h a v e f u l lc r e d i b i l i ty Z ~ 1 a n d i f t h e d a t a h a v e n o c r e d i b i l i t y Z z O . T h e v a l u e o f Zi s c a l l e d t h e c r e d i b i l i t y a s s i g n e d t o t h e n e w d a t a .W h a t v a l u e o f Z, c r e d ib i li t y , s h o u l d b e a s s i g n e d t o a v o l u m e o f n e w d a t al es s t h a n t h a t t o w h i c h f u ll c r e d i b i l i t y i s a s s i g n e d ? T o g e t s o m e i n s i g h t i n t osSo m e No tes o n Cr ed ib i l i t y - -CA S X I X, p . 6 5 ( 1 9 3 2 )


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202 CREDIBILITY THEORYt h i s l ~ r o b l e m w e w i l l f i r s t t u r n t o t h e a p p r o a c h s u g g e s t e d a t t h e b e g i n n i n go f t h i s s e c ti o n . T h e e x p r e s s i o n f o r p t h e r e d e v e l o p e d m a y b e w r i t te n

E,~p,, -]- E ~p ,P = E ,, + E ,( E , + E , ) p ~ -b E , ( p , - - p . )

- - E , , + E ~E~= P o + E ~ q - E , ( p l - - p o )

V a r i o u s a s s u m p t i o n s c a n b e m a d e a s to th e r e l a t io n s h i p o f E o t o t h e v a l u eo f E , r e q u i r e d f o r f u ll c r e d ib i li ty . H o w e v e r , w h a t e v e r a s s u m p t i o n s w e m a k ew e s h a l l g e t a s o m e w h a t s i m i l a r c u r v e w h i c h s h o u l d g i v e u s i n si g h t i n t o t h et r u e s h a p e o f th e C r e d i b i l i t y c u r v e . I f w e a s s u m e E l i s e q u a l t o t w i c e Eow h e n E , h a s a v o l u m e c o r r e s p o n d i n g t o o u r c r i te r io n o f f u ll c r e d ib i li ty w ege t t he f o l l ow i ng r e s u l t s .

V o l u m e o f n e w d at aa s a p er cen ta g e o [ In d ica ted Co lu m n (2 )d a ta fo r fu l l c r ed ib i l i ty Cr ed ib i l i t y mu l t ip l i edE J 2 E o E , / ( E o q - E , ) b y 1 .51 0 0 % .67 1 . 0 09 0 % . 64 .9 68 0 % .6 2 .9 27 0 % .5 8 .8 76 0 % .5 5 .8 25 0 % . 5 0 . 754 0 % .4 4 .6 73 O % . 3 8 . 5 62 0 % . 29 .4 31 0 % . 17 .2 5O % 0 0

T h e f i n a l c o l u m n i s t h e s u g g e s t e d s c a l e o f c r e d i b i l i t y o b t a i n e d b y i n c r e a s i n ga l l t h e i n d i c a t e d c r e d i b i l i t i e s i n t h e s a m e p r o p o r t i o n s o a s t o m a k e t h e i n d i -c a t e d c r e d i b i l it y 1 .0 0 f o r t h e v o l u m e o f d a t a w e h a v e a g r e e d w il l c o r r e s p o n dw i th f u ll c re d ib i li ty . O t h e r a s s u m p t i o n s c a n b e m a d e c o n c e r n i n g t he r e la -t i o n s h i p o f E 1 t o E 0. I f w e a s s u m e f u l l c r e d i b i li ty c o r r e s p o n d s t o a l o w e rm u l t ip l e o f E0 t h e c u r v e b e c o m e s m o r e n e a r ly a s t ra i g h t li ne . I f w e a s s u m ef u l l c r e d i b i l i t y c o r r e s p o n d s t o a h i g h e r m u l t i p l e o f E o t h e c u r v e b e c o m e sl es s s t e e p a t i ts u p p e r e n d a n d s t e e p e r a t it s l o w e r e n d . I t w ill b e n o t e dt h a t t h e " i n d i c a t e d c r e d i b i l i t y " t a k e s t h e f o r mnZ - - - -n q - k

w h e n n i s t h e n u m b e r o f l o ss e s o r s o m e o t h e r m e a s u r e o f t h e v o l u m e o fd a t a a n d k is a c o n s t a n t . T h i s is a f o r m o r i g i n a l ly s u g g e s t e d b y A l b e r t W .W h i tn e y F o r a n o t h e r a p p r o a c h t o t he p r o b l e m w e c a n ta k e a q u o ta t io n f r o m a~,The Th eory of Experience Ra ting- -CA S IV, p. 274 (1918)


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C R E D I B I L I T Y T H E O R Y 2 0. 3

p a p e r b y F r a n c i s S . P e r r y m a n s. " T h e r e a s o n s p r o m p t i n g t h e u se o f t h isd o n o t a p p e a r v e r y e x p li c it ly in c a s u a l t y a c t u a r i a l l i te r a t u r e , b u t i t s e e m s t ob e b a s e d o n t h e r u l e u se d i n ' c o m b i n a t i o n o f o b s e r v a t i o n s ' ( in s u c h s c ie n c e sa s a s t r o n o m y , e n g i n e e r i n g ) t h a t t h e b e s t w e i g h t t o b e a s s i g n e d a n o b s e r v a -t i o n i s t h e r e c i p r o c a l o f i t s s t a n d a r d d e v i a t i o n : a c c o r d i n g t o t h i s t h e r e l a t i v ew e i g h ts o f t w o e x p e r i e n c e s , o n e ( e x p o s u r e n ) e n t it le d t o 1 0 0 % c r e d ib i li tyna n d o t h e r ( e x p o s u r e T ) w o u l d b e in th e r a ti o s o f t h e r e c ip r o c a l s o f t h e ir

\ / n ~ r 1s t a n d a r d d e v i a t i o n s o r a s ~ t o c r t h a t i s 1 t o _ "\ / r" T h e r u l e s e e m s p l a u s ib l e a n d p r a c t ic a l . I t is t o b e n o t e d , h o w e v e r , t h a tt h e p r i n c i p l e s u p o n w h i c h i t w a s d e r i v e d f o r u s e in o t h e r b r a n c h e s o f s c i e n c e

a r e n o t e s p e c i a l l y a p p l i c a b l e t o c a s u a l t y r a t e m a k i n g . "V a l u e s o b t a i n e d b y t h is m e t h o d a r e v e r y s i m i la r t o t h o se d e v e l o p e d int h e p r e v i o u s a p p r o a c h a s th e f o l l o w i n g ta b l e , b a s e d o n 1 0 0 0 c l a i m s f o r f ullc red i b i l i t y , show s .GR AP HICA L REPRESENTAT.ON OF CREDIBILITY CURVES

C UR VE A I ~ C U RV E B n + S O0 X 1.5

1 .0A ~ B

N

ow

0 . 9

O .B

0 . 7

0 . 6

0 . 5

0 . 4

0 . 3

0 .2

0 . I

//i /

fJ

I 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 I 0 0 0

N O . O F C L A I M S


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204 C R E D I B I L I T Y T H E O R YC r e d i b i l i t y

\ / n nNo. of Claims \ / - i ~ n + 500 X 1.51000 1.00 1.00900 .95 .968O0 .89 .92700 .84 .87600 .77 .82500 .71 .75400 .63 .673OO .55 .56200 .45 .43100 .32 .250 0 0

The \/~ approach is the one most generally used at the present time.When we come to consider a less simple mathematical model and takenote of the distribution of losses by size, we shall find that the distributionof credibility by volume of business will not necessarily follow the simple

C n rule. ~Another approach to credibility which has been tried in fire insurance isto measure credibility by the average annual variance of the ratio of in-curred losses to earned premiums from the five year average. 1 The lossratio should be first adjusted for trend, as indicated by the all classifications'loss ratios, and also for rate revisions; but even without these adjustments,a good idea of credibility can be obtained by noting the amount of stabilityin loss ratios from year to year.In addition to the papers referred to above the problem of partial credi-bility has been studied extensively by Art hur L. Bailey ~, ,o, ,.~

8 . S T A B I L I T Y IN R A T E R E V I S I O N S

A r a t e - l e v e l d e t e r m i n a t i o n t tp o n s ta t i s ic a l ] o u n d a t i o n s isa l w a y s a c o m p r o m i s e b e t w e e n t h e t w o c o n f li c ti n g c o n s id e r a -tiotls o[ responsivettess to recent experience indications ands t a b i l i t y s u f f i c i e n t t o a v o i d ] r e q t t e n t a n d t t n d n e d i s t u r b a n c e si n t he f i eh l . --T. O. Carlson and L. H. Longley-Cook14We must always remember insurance is a business and rates and premiumsare more than mere statistical developments. They determine the actual sums

lORobert L. Hurley, A Credibility Framework for Gauging Fire Classification Experi-ence--CAS XLI, p. 161 (1954)11Experience Credibility Formula--Middle Department Association of Fire Under-writers (1949)~'-'Sampling Theory in Casualty Insurance--CAS XXIX, p. 50 (1942) and CAS XXX,p. 31 (1943).~3A Generalized Theory of Credibility--CAS XXXII, p. 13 (1945)z.~ Multiple Line Insurance--Michelbacher p. 98, McGraw-Hill (1957)


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CREDIBILITY THEORY 205o f m o n e y p a y a b l e f o r i n s u ra n c e c o v e r a g e a n d t h e s e s u m s m a y b e c o n si d e ra b l e .W h i le i t is e s s e n t i a l t h a t p r e m i u m r a t e s c o r r e c t l y f o ll o w o v e r a l l t r e n d s , y e a rt o y e a r f l u c tu a t i o n s in r a te s c a n p r o v e m o s t u n f o r t u n a t e . S u c h f l u c tu a t io n s n o to n l y c a s t d o u b t i n t h e m i n d o f t h e p u b l i c a n d o f r e g u l a t o r y a u t h o r i t i e s o n t h ec o r r e c tn e s s o f th e ra t e m a k i n g p r o c e d u r e , b u t m a y h a v e a n u m b e r o f s id ee f fe c t s, s u c h a s le a d i n g t o t h e c a n c e l l a t i o n a n d r e w r i t in g o f a n u m b e r o f p o l i -c i e s p r i o r t o e x p i r a t i o n .

T h e m e t h o d o f e s t a b l i s h i n g p a r t i a l c r e d i b i l i t y i n S e c t i o n 7 , w h i l e h a v i n ga r e a s o n a b l e p l a u s i b i l i t y a n d t h e s a n c t i o n o f l o n g p r a c t i c a l u s e , i s o p e n t oq u i t e s e r i o u s c r i ti c is m . W h e r e t h e v o l u m e o f c u r r e n t d a t a is s m a l l , t h e v o l -u m e o f p a s t d a t a o n w h i c h t h e o l d r a t e s w e r e b a s e d w i l l a l m o s t i n v a r i a b l yb e s m a l l a l s o a n d h e n c e t h e r e la t iv e w e i g h t s t o b e g i v e n t o o l d a n d n e w d a t as h o u l d b e m u c h t h e s a m e w h a t e v e r t h e v o l u m e o f d a t a . I f w e a r e c o n c e r n e dw i t h r e v i s i n g a r a t e f o r s o m e s p e c i a l c l a s s o f i n s u r a n c e w h i c h i s i n n o w a yr e l a t e d t o a n y o t h e r c l a s s , t h e p a r t i a l c r e d i b i l i t i e s d e v e l o p e d i n t h e p r e v i o u ss e c ti o n a r e p r o b a b l y t o o s m a l l a n d h i g h e r c r e d i b il i ty f a c t o r s a r e a l m o s t c e r -t a i n l y d e s i r a b l e . H o w e v e r , s u c h c a s e s r a r e l y o c c u r i n p r a c t i c e a n d , a s w es h a l l s e e in t h e n e x t s e c t io n , i n d iv i d u a l r a t e s a r e n o r m a l l y p a r t o f a p a t t e r no f r a t e s w h i c h c a n n o t b e i g n o r e d a t a r a t e r e v i si o n . I t is m a i n l y f o r th i sr e a s o n t h a t t h e s y s t e m o f p a r t i a l c r e d i b i l i t i e s h a s p r o v e d s a t i s f a c t o r y i n p r a c -t ice .

T h e a c t u a r y w i l l n o r m a l l y s e e k , b y s u i t a b l e g r o u p i n g , t o e s t a b l i s h a b o d yo f a s s o c i a t e d d a t a w h i c h is su f fi c ie n t ly l ar g e t o b e f u ll y c r e d i b l e f o r d e t e r m i n -in g t h e o v e r a l l ra t e le v e l. T h u s h e w ill g r o u p t o g e t h e r all p r i v a t e p a s s e n g e ra u t o m o b i l e l i a b i l i t y i n s u r a n c e i n t h e S t a t e o f P e n n s y l v a n i a , a l l f i r e i n s u r a n c ei n C a l i f o r n i a , a l l p e r s o n a l p r o p e r t y f l o a t e r b u s i n e s s n a t i o n w i d e , e t c . S u b -g r o u p s w i t h i n t h e se b r o a d g r o u p s w ill n o t n o r m a l l y b e fu l ly c r e d i b l e a n d t h ep a r t i a l c r e d i b i l i t y t e c h n i q u e s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w i l l b e u s e df o r r a t e r e v i si o n s . T h e i n d i c a t e d r a t e r e v i s i o n s s o d e v e l o p e d w ill u s u a l l y b ea d j u s t e d b y r u l e o r b y j u d g m e n t t o a v o i d m a j o r v a r i a t io n s in i n d i v i d u a l r a te s .U n l e s s t h e o v e r a l l d a t a i n d i c a t e a m a j o r c h a n g e in r a t e le v e l s, i t is o f t e n t h er u l e t o l i m i t i n d i v i d u a l r e v i s i o n s t o i n c r e a s e s o r d e c r e a s e s o f 2 5 % .

9 . R AT E R E L AT I VI T I E SIn the several papers in our Proceedings and in the Trans-actions o] the Actuarial Society o/ America dealing withcompensation premium or rate making, the starting pointhas been a classification pare premium derived by the well-known formula, rr = L/P . It has been generally recognizedthat it will be impossible to determine the pare premit~ntsin this way for each classification, attd that some process o/association mttst be resorted to in order to develop premiums]or those classifications where the data is insufficient.

- -A /b er t H. Mowbray ~5W h e n w e c o m e to c o n s i d e r t h e r e v is io n o f a n y i m p o r t a n t b o d y o f r a t e ss u c h a s F i r e i n s u ra n c e i n N e w Y o r k o r A u t o m o b i l e L i a b i li ty i n s u r a n c e i n

~SThe Determination of Pure Premium s for M inor C lassifications on w hic h the Experi-ence Data is Insufficient for Direct Estimate--CAS II, p. 124 (1915)


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206 CREDIBILITY THEORYP e n n s y l v a n i a , w e n o r m a l l y h a v e a v o l u m e o f d a t a w h i c h i s f u ll y c r e d i b le f o rt h e p u r p o s e o f d e t e r m i n i n g th e o v e r al l r a t e l e v el w h i c h is r e q u i re d . H o w e v e r ,e a c h o f t h e s e m a j o r c l a s s e s i n c l u d e s a v e r y l a r g e n u m b e r o f s u b c l a s s e s a n dt h e r e w i ll n e v e r b e s u m c i e n t d a t a t o p r o v i d e c r e d i b le r a t e r e v i si o n s f o r e a c hi n d iv i d u a l r a t e. M o s t r a t i n g s y s t e m s c o n t a i n p a t t e r n s o f a s s o c i a t i o n b e t w e e nv a r i o u s r a t e s to w h i c h t h e t e r m " r a t e r e l a ti v i ti e s " i s a p p l i e d . T h u s , f o r e a c hs u b - t e r r i t o r y o f a n i n d i v i d u a l s t a t e , t h e r e w i l l b e a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h el i ab i l i t y r a t e s f o r va r i ous d r i ve r c l a s s i f i ca t i ons w h i ch w i l l f o l l ow a de f i n i t ep a t t e r n . T h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e se p a t t e r n s i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n tp a r t s o f ra t e m a k i n g . I n , f o r e x a m p l e , th e c o m p l e x p r o b l e m o f s c h e du l er a t e d f i r e i n s u r a n c e r i s k s , t h e v a r i o u s r e l a t i v i t i e s d e p e n d i n g u p o n t y p e s o fc o n s t r u c t i o n a r e b a s e d a l m o s t e n ti re l y u p o n e n g i n e e r i n g j u d g m e n t ; in l e ssc o m p l e x r a t i n g p l a n s , t h e a s s u m p t i o n i s m a d e t h a t t h e r a t e s i n o n e c l a s s i f i -c a t i o n a r e r e l a t e d b y s o m e s i m p l e r u l e t o t h e c o r r e s p o n d i n g r a t e s i n a n o t h e rc l a ss if ic a ti o n . T h e r u le , w h i c h m a y b e b a s e d o n j u d g m e n t a l o n e o r m a y b ed e r i v e d b y s o m e s p e c i a l s t u d y , w i ll u s u a l l y t a k e t h e f o r m o f a p e r c e n t a g e o rc o n s t a n t d i f fe r e nt ia l b u t m o r e c o m p l e x r u le s a r e o c c a s i o n a l ly us e d. T om a k e t h i s m e t h o d c l e a r l e t u s s u p p o s e t h a t t h e r a t e s f o r a c e r t a i n t y p e o fi n s u r a n c e w i t h i n a c e r t a i n s t a t e h a v e t h r e e t y p e s o f c l a s s if i c a ti o n : ( 1 ) t e r -r it o r ia l , ( 2 ) t y p e o f i n s u r e d , ( 3 ) d e g r e e o f i n h e r e n t h a z a r d . I f t h e r e a r ef iv e b r e a k d o w n s in e a c h c l a s s i f i c a t i o n - - f i v e t e rr i to r i e s , f iv e t y p e s o f i n s u r e d ,e t c . - - t h e r e w ill b e 5 X 5 X 5 -~ 1 25 s u b g r o u p s o f t h e d a t a , n o o n e o fw h i c h c o u l d b e in d i v i d u a ll y c re d i b le . I f h o w e v e r w e a s s u m e t h a t th e c h a n g ei n r a t e s b e t w e e n t e r r i t o r i e s r a i s e s o r l o w e r s a l l r a t e s i n e q u a l p r o p o r t i o n , t h e nb y g r o u p i n g a l l d a t a b y t e r r i t o r y o n l y w i t h t h e n e c e s s a r y a d j u s t m e n t s t o r e -f l ec t d i f f e r ences i n d i s t r i bu t i on by t he o t he r c l a s s i f i ca t i ons w e can e s t ab l i s ht e r r i t o r i a l d if f e re n t i a ls w i t h a r e a s o n a b l e d e g r e e o f c r e d i b i li t y . B y r e g r o u p -i n g th e d a t a in o t h e r w a y s , o t h e r c l a s si f ic a t io n d i f f e re n t i a ls c a n b e e st a b l i sh e d .W e m a y l ik e n o u r s t a ti st ic s t o a la r g e c r u m b l y l o a f c a k e , w h i c h w e m a y c u ti n s lic e s t o o b t a i n e a s il y e d i b le h e l p i ng s . T h e m e t h o d o f s li c in g m a y b e c h o s e nin d if f e re n t w a y s - - a c r o s s t h e c a k e , le n g t h w i se d o w n t h e c a k e , o r e v e n i nh o r i z o n t a l s l i c e s - - b u t o n l y o n e m e t h o d o f s l i c i n g m a y b e u s e d a t a t i m e .I f w e t r y t o s l ic e th e c a k e m o r e t h a n o n e w a y a t a t im e , w e s h a ll b e l e f t w i t ha u s e l e s s c o l l e c t i o n o f c r u m b s .I t h a s b e e n p o i n t e d o u t e a r l ie r t h a t t h e c o m b i n a t i o n o f s to c k a n d m u t u a ld a t a w ill n o t n o r m a l l y p r o v i d e a m o r e c r e d i b l e e s t im a t e o f t h e o v e r a l l r a t el e v e l b e c a u s e t h e e x p e r i e n c e o f t h e t w o g r o u p s m a y b e f u n d a m e n t a l l y d i f f e r -e n t ; h o w e v e r , s u c h a c o m b i n a t i o n a n d o t h e r s i m i l a r c o m b i n a t i o n s w ill u s u a ll yp r o v i d e m o r e c r e d i b i l i t y i n e s t a b l i s h i n g r a t e r e l a t i v i t i e s b e t w e e n s u b c l a s s e s .R e c e n t l y R o b e r t A . B a i le y a n d L e R o y J . S i m o n 'G h a v e s u g g es te d t h a tw i t h m o d e r n e l e c t r o n i c c o m p u t o r s i t s h o u l d b e p o s s i b l e t o d e t e r m i n e c l a s s i -f i ca t i on r a t e r e l a t i v i t i e s i n a s i ng l e p r ocedu r e g i v i ng t he co r r ec t c r ed i b i l i t yw e i g h t t o e a c h s u b d i v i si o n o f th e d a t a . T h i s d e v e l o p m e n t w o u l d b e a v a l u a b l ea d v a n c e i n r a t e m a k i n g t e c h n i q u e s if w e c o u l d i n t ro d u c e i n t o th e i n p u t n o to n l y t h e t o t a l d a t a b u t a l s o c e r t a i n j u d g m e n t r u l e s w h i c h w o u l d i n s u r e a no r de r l y pa t t e r n i n t he r a t e ~ e l a t i v i t i e s .I t w i l l b e n o t e d t h a t i n r a t e r e v i s i o n s w e t r y t o a v o i d a s m u c h a s p o s s i b l et h e u s e o f d a t a w i t h o n l y p a r t i a l c r e d i b i l i t y a n d t h u s k e e p t h e r a t e s a s r e -1CTwo Studies in Automobile Ra tem akin g--C A S X LV II, p. 1 (1960)


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CREDIBILITYTHEORY 207s p o n s i v e a s p o s s i b l e to t h e la t e s t d a t a . W h e r e t h i s is n o t p o s s i b l e , w e m u s tu s e c r e d i b i l i ty t e c h n i q u e s a n d j u d g m e n t t o m a i n t a i n a st a b l e r a t e s t r u c t u r e .

1 0 . D I S TR I B U TI O N O F L OS SE S B Y S I Z E - - T H E S E CO N D M O D E LA s t h e p a r e p r e m i u n l is t h e a c c i d e n t f r e q u e n c y m u l t i p l i e db y t h e a v e r a g e c l a in l c o s t , w e m t t s t s e e h o w p o s s i b l e v a r i-a t i o n s i n th e a v e r a g e c l a i m c o s t a f f ec t t h e p u r e p r e m i u t na n d h o w w e m u s t m o d i / y o u r c r ed i b i l i t y r e q u i r e m e n t s a c -c o r d i n g l y . - - F r a n c i s S . P e r r y m a n s

A r t h u r L . B a i l ey " -' in a d i s cu s s i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n o f l o s s e s b y s iz e wr i t e s ," T h e v a r i o u s d i s tr i b u ti o n s o f c l a im s b y s iz e o f c l a i m a r e u n i f o r m int h a t t h e y a l l e x h i b i t a c o n c e n t r a t i o n o f f r e q u e n c y a t t h e l o w a m o u n t s

w i t h a t a p e r i n g o f f o f t h e fr e q u e n c i e s u p t o a n d i n c l u d i n g v e r y h i g ha m o u n t s . T h i s p r o d u c e s a s k e w n e s s f a r i n e x c e s s o f t h a t u s u a l l y e n c o u n t -e r e d in t h e s tu d y o f fr e q u e n c y d i s tr ib u t i o n s. T h e o n l y ty p e o f f re q u e n c yd i s t r i b u t i o n w h i c h h a s b e e n f o u n d t o fit t h e s e d i s t ri b u t i o n s o f c l a i m s b ys iz e is t h e N o r m a l L o g a r i t h m i c D i s tr i b u ti o n . T e s t s o f t h e g o o d n e s s o f fito f t h is t y p e o f d i s t r ib u t i o n h a v e i n d i c a t e d t h a t , e x c e p t f o r t h e c o n c e n -t r a t io n o f c l a im s a t s u c h r o u n d - f i g u r e s v a l u e s a s $ 5 0 , $ 1 0 0 , $ 5 0 0 a n d$ 1 , 0 0 0 , t h e d e p a r t u r e s o f t h e a c tu a l d is t ri b u t io n s f r o m t h e N o r m a l L o g a -r i t h m i c a r e n o t g r e a t e r t h a n w o u l d f r e q u e n t l y o c c u r i n s a m p l e s o f t h es i z e t e s t e d . "I t m a y b e e x p l a i n e d t h a t t h e N o r m a l L o g a r i t h m i c o r L o g - n o r m a l d i s t r i b u -t io n i m p l i e s th a t , i f a c u r v e is p l o tt e d o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e l o g a r i t h m so f t h e a m o u n t s o f i n d i v id u a l c l a i m s , a n o r m a l c u r v e w ill r e s u lt . A r t h u r L .B a i l e y i n t h e s a m e c o n t e x t g o e s o n t o s t a t e ,

" T h e o n l y c o n d i t i o n n e c e s s a r y t o p r o d u c e a N o r m a l L o g a r i t h m i c D i s -t r ib u t i o n is th a t t h e a m o u n t o f an o b s e r v e d v a l u e b e th e p r o d u c t o f al a rg e n u m b e r o f f ac t o r s, e a c h o f w h i c h is i n d e p e n d e n t o f t he s iz e o fa n y o t h e r f a c t o r . R e f l e c t i o n a s t o t h e c o n d i t i o n s e n t e r i n g i n t o t h e d e t e r -m i n a t i o n o f t h e a m o u n t o f a c l a i m s e t t l e m e n t i n c a s u a l t y i n s u r a n c e , t h ev a r i a t i o n s i n t h e s e r i o u s n e s s o f a c c i d e n t s f o r w h i c h c l a i m s a r e m a d e , a n da l l o f t h e f a c t o r s e v e n t u a l l y r e c o g n i z e d i n m a k i n g t h e f i n a l s e t t l e m e n tm a k e s i t a p p a r e n t t h a t t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n i s a t l e a s t a p p r o x i m a t e din t h e d a t a w i t h w h i c h w e a r e c o n c e r n e d . W h e n t h i s c o n d i t i o n i s m e t ,t h e l o g a r i t h m s o f t h e o b s e r v a t i o n s b e c o m e t h e s u m o f a l a r g e n u m b e ro f i n d e p e n d e n t e l e m e n t s , w h i c h i s t h e o n l y c o n d i t i o n n e c e s s a r y t o r e -s u l t i n a N o r m a l D i s t ri b u t i o n . T h u s , w e s h a ll e x p e c t to f in d th e l o g a -r i t h m s o f t h e c l a i m a m o u n t s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d . "T h e g e n e r a l i z e d N o r m a l L o g a r i t h m ! c D i s t r i b u t io n p r o v i d e s a n a d d i ti o n a l

d e g r e e o f f r e e d o m i n f i t t i n g t o a c t u a l c o n d i t i o n s b y a d d i n g o r s u b t r a c t i n g ac o n s t a n t a m o u n t t o e a c h l o s s b e f o r e t a k i n g t h e l o g a r i t h m a n d f i t t i n g t h e c u r v ein t h e m a n n e r d e s c r i b e d . A r t h u r L . B a i l ey u s e s th i s d i s t r i b u t i o n in m u c h o fh is w o r k . R o b e r t A . B a i l e y 1: h a s f o u n d i n d i c a t i o n s t h a t t h e l o g - n o r m a l d i3 -t r i b u t i o n i s a p p r o x i m a t e a l s o t o f i r e i n s u r a n c e .I n o u r s e c o n d m o d e l w e a s s u m e t h a t th e p r o b a b i l i t y o f a c c i d e n t i n a n yl r E x p e r i e n ce R a t i n g R e a s s e s s e d - - C A S X L V I I I , ( 1 9 6 1 )


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208 CREDIBILITY THEORYp e r i o d o f t i m e i s t h e s a m e f o r e a c h i n d i v i d u a l e x p o s u r e a n d t h a t i t i s p r o -p o r t i o n a l t o t h e t i m e e x p o s e d a s i n o u r f i r s t m o d e l ; b u t i n s t e a d o f a s s u m i n gt h a t th e a m o u n t o f e a c h l os s is th e s a m e , w e a ss u m e t h a t t h e a m o u n t o f e a c hlo ss is d i s tr i b u t e d b y s o m e f r e q u e n c y c u r v e w h i c h m a y b e e x p r e s s e d a s al o g - n o r m a l c u r v e o r s o m e o t h e r a p p r o p r i a t e c u r ve . T h e e f fe c t o f t his a s-s u m p t i o n is to i n c r e a s e c o n s i d e r a b l y t h e n u m b e r o f c l a i m s r e q u i r e d f o r f ul lc r e d i b i l i t y o f p u r e p r e m i u m s a n d o t h e r f u n c t i o n s i n v o l v e d i n r a t e m a k i n g .T h e m a t h e m a t i c a l d e v e l o p m e n t o f t h e s e c re d i b il it y s t a n d a r d s is s et o u t i nA p p e n d i x C . A s a l r e a d y e x p l a i n e d , th i s d o e s n o t a l t e r t h e s t a n d a r d s o f fu l lc r e d i b i l i ty u s e d i n p r a c t i c e , b u t i t is i m p o r t a n t , f o r e x a m p l e , i n s h o w i n g t h a ta t r e n d f a c t o r b a s e d o n t w o a v e r ag e s o f e q u a l v o l u m e r e q u i r e s t w ic e as m a n yc l a im s i n e a c h a v e r a g e t o p r o d u c e t h e s a m e l e v el ot~ c r e d i b i l i ty .W i t h m o d e l s o f t h i s n a t u r e , w e c a n a p p r o a c h m o r e c o m p l e x p r o b l e m s o fr e l a t i v e c r e d i b i l i t i e s s u c h a s t h e c r e d i b i l i t y r e q u i r e m e n t s f o r v a r i o u s t y p e s o ff ir e i n s u r a n c e c l a ss if ic a t io n s . R o b e r t L . H u r l e y I d e v e l o p s a t a b l e o f c r e d i b il i-t ie s f o r D w e l li n g s, M e r c a n t i l e C o n t e n t s a n d M a n u f a c t u r i n g f ir e i n s u r a n c er i s k s w h i c h s p e c i f i e s t h e f o l l o w i n g v o l u m e s o f p r e m i u m f o r f u l l c r e d i b i l i t y :

D w e l li n g s $ 2 , 0 0 0 , 0 0 0M e r c a n t i l e C o n t e n t s 1 6 , 0 0 0 , 0 0 0M a n u f a c t u r i n g 6 0 , 0 0 0 , 0 0 0T h e i m p o r t a n c e o f t h e s e f ig u r e s l ie s n o t i n th e i r a b s o l u t e a m o u n t s , b u t ins h o w i n g h o w m u c h m o r e r e a d i l y d w e l l i n g e x p e r i e n c e a c q u i r e s f u l l c r e d i b i l t y

t h a n d o e s t h e e x p e r i e n c e o f c o m m e r c i a l r is k s.T h e d e v e l o p m e n t o f t h e b a s i c f o r m u l a e f o r t h e d i s t r i b u t i o n o f i n s u r a n c es t a t i s t i c s d u e t o c h a n c e f l u c t u a t i o n s o n l y , w h e n w e h a v e a s k e w d i s t r i b u t i o no f l o s s e s b y s i z e c o m b i n e d w i t h a d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f l o s s e s a c c o r d -i ng t o t h e P o i s s o n f o r m u l a , h a s b e e n w o r k e d o u t in d e t ai l b y A r t h u r L . B a i l e y '-'.l] . CREDIBILITY AND EXPERIE NCE RATING PLANS

T h e p r o b l e m o f e x p e r i e n c e r a t i n g a r is e s o u t o f t h e n e c e s s i ty ,] r o m t h e s t a n d p o i n t o f e q u i t y t o t h e i n d i v i d u a l r i sk , o / s tr i k -i n g a b a l a n c e b e t w e e n c l a s s - e x p e r ie n c e o n t h e o n e h a n d a n dr i s k e x p e r i e n c e o n t h e o t h e r . - -Al be r t W. Whi tney o

E x p e r i e n c e r a ti n g p la n s , w h i c h f ir st d e v e l o p e d in th e r a t i n g o f W o r k m e n ' sC o m p e n s a t i o n R i s k s, a r e a s o ld a s th e C a s u a l t y A c t u a r i a l S o c i e t y i ts e lf a n da r e a n i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n o f a c t u a r i a l t h e o r y t o i n s u r a n c e r a t e m a k i n g .S u c h p l a n s a r e u s e d i n p r a c t i c a l l y a l l b r a n c h e s o f c a s u a l t y i n s u r a n c e a n d h a v er e c e n t ly b e e n u s e d fo r v a r i o u s t y p e s o f p r o p e r t y c o v e r a g e .A r t h u r L . Ba i l ey 1-~ ha s po i n t ed ou t t h a t t he r e a r e t w o k i nds o f c r ed i b i l i ty ;t h e o n e w e h a v e s o f a r d i s c u s s e d f o r r a t e r e v i s i o n s a n d t h e o n e u s e d i n e x -pe r i e nce r a t i ng p l ans . H e ca l ls t he f ir st t he " l im i t ed f l uc t u a t i on c r ed i b i l i t y"a n d t h e o t h e r t h e " g r e a t e s t a c c u r a c y c r e d ib i li ty " . W h i le t h e p u r p o s e o f t h ef o r m u l a e u s e d in t h e se t w o a p p l i c a t io n s o f c re d i b i li ty a r e n o t t h e s a m e , it isd i ff icu l t t o ac cep t s uch a s i m pl e de f i n i t i on i n e i t he r cas e . W hi l e li m i t ingf l uc t ua t i ons is i mp or t a n t i n r a t e rev i s i ons , r e s po ns i ven es s t o t r ends is ev enm o r e i m p o r t a n t a n d h i g h e r s t a n d a r d s f o r f u ll c r e d ib i li ty w o u l d b e u s e d i f w ew e r e c o n c e r n e d o n l y w i t h r a t e st ab i li ty . E x p e r i e n c e r a t i n g p la n s a r e s ov a r i e d t h a t o n e c a n n o t h e l p c o n c l u d i n g t h a t c o m p e t i t i v e e x p e d i e n c y h a s


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CREDIBILITY THEORY 20 9

p l a y e d a n i m p o r t a n t p a r t i n t h e i r d e s i g n a n d t h e r e i s s o m e d o u b t t h a t t h em a j o r i t y o f f o r m u l a e g i ve s u f f ic i en t c r e d i b i l it y t o t h e i n d i v i d u a l e x p e r ie . n c e toj u s t i f y t h e a p p e l l a t i o n " m o s t a c c u r a t e " .E x p e r i e n c e r a ti n g p l a n s p r o v i d e a n a d j u s t m e n t i n m a n u a l r a te s to r e fl ec tt h e e x p e r i e n c e o f th e i n d iv i d u a l r is k ; in t h e m o s t u s u a l f o r m o f p l a n t h ep r e m i u m c h a r g e d i s i n t h e f o r m

M a n u a l P r e m i u m x l - - Z + Z - -~w h e r e A a n d E a r e t h e a c t u a l a n d e x p e c t e d l o ss e s a n d Z is t h e c r e d i b i l it yf a c t o r . I t w i ll b e n o t e d th a t w h e n Z = 0 th e m a n u a l p r e m i u m is c h a r g e d ;w h e n Z = 1 t h e m a n u a l p r e m i u m i s a d i u s t e d i n t h e r a t i o o f t h e a c t u a l e x p e r i -e n c e o f t h e r i s k t o e x p e c t e d e x p e r i e n c e o f t h e r i s k u n d e r t h e m a n u a l p r e m i u mp l a n . I n t h e l a t te r c a s e th e r i s k is s a id t o b e s e l f -r a t e d . T h e f o r m u l a e a c tu -a l l y u s e d i n e x p e r i e n c e r a t i n g p l a n s a r e n o t s o s i m p l e a s t h i s b e c a u s e t h e yn o r m a l l y c o n t a i n a d j u s t m e n t s t o r e d u c e t h e e f f e c t o f i n d i v i d u a l la r g e l o ss e s.

A r t h u r L . B a i l e y ~ d e s c r i b e s t h e s e a d j u s t m e n t s a s fo l l o w s :" I n a d d i t i o n t o t h e r e la t iv e l y s i m p le c o n c e p t t h a t m o r e c o n s i d e r a t i o n o rw e i g h t s h o u l d b e g i v e n t o a g r e a t e r v o l u m e o f o b s e r v a t i o n a l d a t a , t h ec a s u a l ty a c t u a r i e s h a v e d e v i s e d c re d i b il it y p r o c e d u r e s t o g iv e m o r e w e i g h tto t h e f r e q u e n t o c c u r r e n c e o f s m a l l lo s s es t h a n t o t h e o c c a s i o n a l o r f o r -t u it o u s o c c u r r e n c e o f l ar g e lo s s es o f t h e s a m e t o t a l a m o u n t . ( I t s h o u ld

b e n o t e d t h a t n e g a ti v e l os se s c a n n o t o c c u r . ) F o r e x a m p l e , t h e r a t e m a k -in g p r o c e d u r e f o r w o r k m e n ' s c o m p e n s a t i o n i n s u r a n c e s e p a r a te s t h e a c tu a ll o ss e s i n t o ' S e r i o u s ' , ' N o n - S e r i o u s ' a n d " ' M e d i c a l ' l o ss e s a n d u s e s t h r e ed i f f e r i n g s c h e d u l e s o f c r e d i b i l i t y f o r t h e t h r e e c o m p o n e n t s o f t h e t o t a llo s s. S e v e r a l e x p e r i e n c e r a t i n g p l a n s g iv e a g r e a t e r s c h e d u l e o f c r e d i -b i l i t y t o t he f i r s t G do l l a r s o f each l o s s t han i s g i ven t o t he excess o fa n y lo s s o v e r G d o l l a rs . T h e ' M u l t i- S p l it E x p e r i e n c e R a t i n g P l a n ' f o rw o r k m e n ' s c o m p e n s a t i o n i n s u r a n c e c a r r i e s t h i s e v e n f u r t h e r b y p r o v i d -in g , i n e f f e c t , a s e p a r a t e s c h e d u l e o f c r e d i b i li ti e s f o r e a c h i n t e r v a l o fG d o l l a rs o f w h i c h a lo s s is c o m p o s e d " .A d i s c u s s io n o f t h e d e t ai ls o f v a r i o u s e x p e r i e n c e r a ti n g p l a n s w o u l d b eo u t o f p l a c e in t h i s o u t l i n e , b u t R o b e r t A . B a i l e y ~7 h a s s e t d o w n t h e f o l lo w -i n g c r i t e r i a f o r s u c h p l a n s :

I . E a c h d o l l a r o f lo s s, o r a b s e n c e t h e r e o f , s h o u l d c o n t r i b u t e t o t h e r is k ' sa d j us t ed r a te a n a m o u n t e q u i v a l e n t to t h e a m o u n t o f in f o r m a t i o n it p r o -v i d e s r e g a r d i n g t h e f u t u r e l o s s e s o f t h e s a m e r i s k f o r t h e s a m e a m o u n to f e x p o s u r e .A n u m b e r o f o t h e r c r i te r i a a re i m p o s e d w h i c h a r e in th e n a t u r e o fl im i t a ti o n s o n t h is f u n d a m e n t a l c r i te r i o n . T h e y a r e :I I . T h e r is k 's p r e m i u m s h o u l d n o t f lu c t u a te w i d e l y f r o m y e a r to y e a r. I fit f l u c t u a te s t o o w i d e ly , t h e p u r p o s e o f i n s u r a n c e is d e f e a t e d .

1 1 1 . O n e d o l l a r o f a c t u a l l o s s s h o u l d n o t i n c r e a s e t h e a d j u s t e d l o s s e s b y m o r et h a n o n e d o l l a r . . O t h e r w i s e t h e i n s u r e d m i g h t f i n d i t t o h i s a d v a n t a g e t op a y h is o w n lo s se s . ( T h e t e r m " a d j u s t e d l o s s e s" m e a n s t h e w e i g h t e da v e r a g e o f t h e a c t u a l a n d e x p e c t e d l o s s e s w h i c h i s u s e d t o d e t e r m i n e t h ea d j u s t e d r a t e f o r t h e r i s k . )


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210 CREDIBILITYTHEORYI V . T h e e x p e r i e n c e r a t i n g p l a n s h o u l d n o t b e t o o e x p e n s i v e t o a d m i n i st e r .

I t i s a l s o d e s i r a b l e t o q u o t e t h e c o n d i t i o n s w h i c h t h e c r e d i b i l i t y Z s h o u l ds a t is f y a s f o r m u l a t e d b y F r a n c i s S . P e r r y m a n 's .( i ) T h e c r e d i b i l i t y s h o u l d b e n o t l e s s t h a n z e r o a n d n o t g r e a t e r t h a n u n i t y .(ii) T h e c r e d i b il i ty s h o u l d i n c r e a s e ( o r m o r e s t ri c tl y s p e a k i n g n o t d e c r e a s e )a s t he s i ze o f t he r i s k i nc r eas es .

( ii i) A s t h e s iz e o f t h e r i sk i n c r e a s e s t h e p e r c e n t a g e c h a r g e f o r a n y l o ss o fg i v e n s i z e s h o u l d d e c r e a s e .T h e E d u c a t i o n a l C o m m i t t e e o f t h e C a s u a l ty A c t u a r i a l S o c i e ty is p r e p a r i n ga s t u d e n t s ' g u i d e t o E x p e r i e n c e R a t i n g w h i c h w i l l p r o v i d e a f u l l e r i n t r o d u c -t i o n t o t h i s i m p o r t a n t f i e l d .

12. VARIATIONS IN INHERENT LOSS FREQUENCY--THE THIRD MODEL

It is recognized that individual risks within a classificationare not alike and that there exist inherent differences . . .These differences are o] such a nature that it is difficult tolabel them definitely and they cannot be associated with con-ditions measltreable in advance. - -Paul Dorwei le r TMI n o r d e r t o e s t a b l i s h r a t i n g p l a n s d a t a a r e c l a s s i f i e d i n t o a l a r g e n u m b e ro f b r e a k d o w n s . F o r e x a m p l e in p r i v a te p a s s e n g e r a u t o m o b i l e i n su r a n c e,t h e r e a r e c l a s s if i c a t io n s b y s t a t e , t e r r i t o r y w i t h in t h e s t a te , t y p e o f a u t o -m o b i l e , u s e o f a u t o m o b i l e , a g e o f a u t o m o b i l e a n d a g e a n d s e x o f d r i v e r.R a t e s a r e e s t a b l i s h e d f o r e a c h c o m b i n a t i o n o f t h e s e c la s si fi c at io n s ; a n d i nt h e m o d e l s w e h a v e s o f a r d e v e l o p e d , w e a s s u m e t h a t t h e p r o b a b i l i ty o f a c -c i d e n t is t h e s a m e f o r a ll e x p o s u r e s i n a n y s in g le c o m b i n a t i o n o f c l a s s if i c a -t io n s . T h e p r o b a b i l i t y o f a c c i d e n t ( a ll o t h e r f a c t o r s b e in g e q u a l ) w ill n o tv a r y b y a m a r k e d j u m p a s w e p r o c e e d o v e r t he b o u n d a r y l in e f ro m o n e t e r -r i t o r y t o a n o t h e r b u t w ill v a r y c o n t i n u o u s l y a s w e m o v e a c r o s s t h e s t at e.

P r a c t i c a l n e c e s s i t y c a l l s f o r t h e u s e o f a l i m i t e d n u m b e r o f c l a s s i f i c a t i o n sw h i c h a r e c h o s e n o n a j u d g m e n t b a s i s t o p r o v i d e g r o u p s o f r e a s o n a b l e h o m o -g e n e i t y , b u t i t i s c l e a r t h a t t h e r e m u s t b e v a r i a t i o n i n t h e t r u e p r o b a b i l i t yw i t h i n a s in g l e c l a s s if i c a t io n g r o u p . H o w e v e r , th e r e i s e v e r y r e a s o n t o b e -l ie v e th a t t h e r e is c o n s i d e r a b l y m o r e h e t e r o g e n e i t y i n e a c h g r o u p t h a n t h a ts u g g e s t e d b y t h e a b o v e a r g u m e n t . T h e c r it e ri a u s e d to d e t e r m i n e cl a ss if ic a -t io n s a r e n o t t he o n l y p o s si b le o n e s . F o r e x a m p l e m i l e a g e , h o r s e p o w e r ,o c c u p a t i o n a n d m a n y o t h e r c l a s s i f i c a t i o n s a r e p o s s i b l e i n a u t o m o b i l e i n -s u r a n c e . T h e r e c a n b e n o q u e s t io n t h a t i n m o s t c a s e s a n a c tu a l c l a ss if ic a ti o nw i ll e m b r a c e q u i te a w i d e d i s t r i b u t i o n o f p r o b a b i l i t i e s o f a c c i d e n t . F o r t h isr e a s o n w e a s s u m e i n o u r t h i r d m o d e l t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f a c c i d e n t w i t h i na c l a s s i f i c a t i o n i s n o t f i x e d b u t i s d i s t r i b u t e d o v e r a r a n g e d e f i n e d b y s o m ef r e q u e n c y c u r v e .I t i s u s u a l t o a s s u m e t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f p r o b a b i l i t i e s o f a c c i d e n tw i t h i n t h e c l a s s i f i c a t i o n f o l l o w a P e a r s o n T y p e I i l c u r v e b e c a u s e t h i s i s aas Experience Rating Cred ibil i t ies--CAS XX IV, p. 60 (1937)19Presidential Address--CAS XXI, p. l (1934)


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CREDIBILITYTHEORY 211s k e w f o r m a n d b e c a u s e i t l e a d s t o a c o n v e n i e n t l y s i m p l e e q u a t i o n f o r f i t t i n g .I t is f u r t h e r a s s u m e d t h a t t h e p r o b a b i l i t y fo r a g i v e n i n d iv i d u a l r e m a i n sc o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e e x p e r i e n c e p e r i o d . T h e r e s u l t o f t h is is t o r e-p l a c e t h e P o i s s o n D i s t r i b u t i o n b y t h e N e g a t i v e B i n o m i a l D i s t r i b u t i o n i n t h emodel.X0 , o l, ~2 I t i s som et im es poss ib le to ex pe r im en t wi th th i s mo re ac cu ra tem o d e l a n d t o a v o i d , a t l e a s t i n p r e l i m i n a r y s t u d i e s , t h e r a t h e r e x t e n s i v e a r i t h -m e t i c o f t h e n e g a t i v e b i n o m i a l d i s t r i b u t i o n , b y s u b s t i t u t i n g a t h r e e - p o i n t o rf i v e - p o in t p r o b a b i li t y d i s t ri b u t io n . 2~ T h u s w e m a y a s s u m e Vz t h e e x p o s u r e sh a v e a p r o b a b i l i t y o f a c c id e n t w i th in o n e y e a r o f . 1 0 ; 1.,4 a p r o b a b i l i t y o f.05 a n d a p r o b a b i l i t y o f . 1 5. A s k e w d i s t r i b u t io n c a n , o f c o u r s e , b e u s e d .Wh i l e t h i s m e th o d i s o f t e n h e lp f u l i n p r e l im in a r y s t u d i e s , i t m a y , w h e n u s e db y t h e i n e x p e r i e n c e d , s u g g e s t m i s l e a d in g r e s u l t s .I n t e s ti n g c e rt a i n a c t u a l a u t o m o b i l e e x p e r i e n c e a g a in s t t h e m o d e l , u s i n gt h e n e g a t i v e b i n o m i a l d i s t r ib u t i o n , e x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n a c t u a l a n dth e o r e t i c a l d i s t r i b u t i o n s w a s o b s e r v e d . ~-'~ T h i s m o d e l h a s b e e n f o u n d t o b ep a r t i c u l a r l y h e lp f u l i n t h e f i e l d o f m e r i t r a t i n g d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n .

13. M E R I T R A T I N GIn writing private passenger atttomobile liability insurancethere has ahvays been a need ]or underwriters to select thegood business attd turn down the poor because the rateclassification system has n e v e r been per]ect.

- - R o b e r t A . B a i le y ~-5I n t h e t h i r d m o d e l d e s c r i b e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , w e h a v e a s s u m e dth a t w i th in e a c h c l a s s i f i c a t i o n t h e r e i s q u i t e a w id e r a n g e o f v a r i a t i o n i n t h ep r o b a b i l i t y o f lo s s; w e h a v e a ls o a s s u m e d t h a t th e p r o b a b i l i t y r e m a i n s c o n -s t a n t f o r a g iv e n in d iv id u a l . T h i s s u g g e s t s a n e w f o r m o f c la s s i fi c a ti o n w h ic hd e p e n d s o n t h e l o s s h i s t o r y o f t h e i n d i v i d u a l a n d v a r i e s t h e c l a s s i f i c a t i o na c c o r d i n g t o t h e p e r i o d e l a p s e d s i n c e t h e l a s t l o s s o r t o t h e n u m b e r o f l o s s e sin a r e c e n t p e r i o d o f t im e . I t i s n o t d i f f ic u l t t o s h o w th a t , o n t h e b a s is o ft h e m o d e l , s i g n i f ic a n t l y d i ff e r e n t c l a ss r a t e s w ill d e v e lo p f o r r is k s c la s s if i ed

in t h i s m a n n e r . V a r i a t i o n o f ra t e s a c c o r d in g t o l o ss h i s t o r y is u s e d in p r i -v a t e p a s s e n g e r a u t o m o b i l e , h o m e o w n e r s a n d o t h e r l i n e s o f i n s u r a n c e a n dis c a l l e d m e r i t r a t in g . S u c h ra t i n g is u s u a ll y a s s o c i a t e d w i th o th e r f o r m so f c la s si fi c at io n s . S o m e t i m e s m e r i t r a ti n g i s d e t e r m i n e d n o t o n l y b y a c tu a ll o s s h i s t o r y , b u t a l s o b y a c o m b i n a t i o n o f l o s s h i s t o r y a n d o f s o m e d a t ac lo s e ly c o r r e l a t e d t o t h e p o t e n t i a l l o s s e x p e r i e n c e s u c h a s tr a ff ic v io l a t i o nr e c o r d s . I t is n e c e s s a r y , o f c o u r s e , t o t e s t t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f th e m o d e l'-"~ Le ste r B . D r o p k i n , S o m e C o n s i d e r a t i o n s o n A u t o m o b i l e R a t i n g S y s t e m s U t i l i z i n g I n-d i v id u a l D r iv i n g R e c o r d s - - C A S X L V I , p . 16 5 ( ! 9 5 9 )2 1 L e R o y J . S i m o n , T h e N e g a t iv e B i n o m i a l a n d P o i s so n D i s t r ib u t i o n s C o m p a r e d - -C A S X L V I I , p . 2 0 ( 1 9 6 0 )2 - C h a rl es C . H e w i t t, J r. , T h e N e g a t i v e B i n o m i a l A p p l i e d t o t h e C a n a d i a n M e r i t R a t i n gP l a n f o r In d i v id u a l A u t o m o b i l e R i s k s - - C A S X L V I I , p . 55 ( 1 9 6 0 )2 a T h i s a p p r o a c h is s i m i l a r t o th e n - a g e s m e t h o d o f a p p r o x i m a t e v a l u a t i o n i n li fe i n s u r-a n c e .2~ L e R o y J . S i m o n , F i t t i n g N e g a t i v e B i n o m i a l D i s t ri b u t i o n s b y t h e M e t h o d o f M a x i m u mL i k e l i h o o d - - C A S X L V I I I , ( 1 9 6 1 )e5 A n y R o o m L e f t f o r S k i m m i n g th e C r e a m ? - - C A S X L V I I , p . 3 0 ( 1 9 6 0 )


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212 CREDmlLI1Y THEORYa g a i n s t th e a c t u a l d e v e l o p m e n t o f e x p e r i e n c e u n d e r a m e r i t r a t i n g p la n a n dt h i s t e s t h a s p r o v e d s a t i s f a c t o r y .

C o n s i d e r a b l e m i s u n d e r s t a n d i n g e x is ts a b o u t t h e p ri n c ip l e s o f m e r i t ra t -i n g 2~ b e c a u s e o f f a i l u r e t o r e a l i z e t h a t m e r i t r a t i n g is a s y s t e m o f c l a s s if i c a -t io n t o w h i c h t h e n o r m a l c r e d i bi l i ty c r i t e r io n s f o r r a t e m a k i n g a p p l y . Am e r i t r a t e d r i s k i s o n e o f a la r g e c l a s s o f s i m i l a r r i s k s al l o f w h i c h m e e t c e r -t a i n c la s s i f ic a t i o n s t a n d a r d s i n c l u d i n g o n e d e f i n e d i n t e r m s o f p a s t l o s s e x -p e r ie n c e . N o r m a l r a te m a k i n g m e t h o d s c a n b e u s e d t o d e v e l o p th e c o r r e c tr a t e r e l a t i v it i e s u n d e r s u c h a p l a n . S u c h r e la t i v i ti e s a r e c a l l e d m e r i t c r e d i t sa n d d e b i t s .

R o b e r t A . B a i l e y ~" in t he p a p e r f r o m w h i c h t h e q u o t a t i o n a t t h e h e a d o ft hi s s e c t io n is t a k e n d i s c u ss e s s o m e o f t h e i m p a c t o f m e r i t r a t in g u p o n e x i s t-i n g c l a s s if i c a ti o n p l a n s . A p o i n t n o t t o u c h e d u p o n is t h a t s i n c e t h e d i s tr i b u -t i o n o f l os s f r e q u e n c y w i t h in t h e s e p a r a t e t e r r it o r i a l a n d o t h e r c l a s s if i c at i o n sis n o t u n i f o r m , t h e i n t r o d u c t i o n o f m e r i t r a t i n g , p a r t i c u l a r l y i f t h e c r e d i t sa n d d e b i t s a r e l a r g e , m a y w e l l l e a d t o a r e d u c t i o n i n t h e ra t e d i f fe r e n t i a l s r e -q

an introduction to credibility theory

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