tringulacion 1

Universidad Privada Antenor OrregoFacultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería de Civil

ASESOR: Ing Mg. ANAXIMANDRO VELÁSQUEZ DÍAZ

TRUJILLO – PERU2012

TRIANGULACIÓN

TODA TRIANGULACIÓN ES UNA RED DE APOYO, DEL LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO, QUE SE ENCUENTRA FORMADA POR UNA SERIE DE TRIÁNGULOS EN LAS CUALES UNO O MAS LADOS DE CADA TRIANGULO ,LOS SON ADYACENTES DE OTROS TRIÁNGULOS

TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA

Es aquella que no se tiene en cuenta, la curvatura terrestre, tanto

en la medición de lados como en la medición de los ángulos

Es aquella que no se tiene en cuenta, la curvatura terrestre, tanto

en la medición de lados como en la medición de los ángulos

TRIANGULACION

8

8

2020 A E

NM

D

M radiación

ANTECEDENTES

-T. Pequeño:

PLANTEAMIENTO DE UNA TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA

PLANTEAMIENTO DE UNA TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA

E3

E2

E1

B)

)2(180 ni

0Px

)2(180 ne 0Py

A) Poligonal cerrada

- T. Mediano:- T. Gran Extensión:

H

F

D

BC

A

E

La triangulación resulta ventajosa en las regiones accidentadas y montañosos, ya que de otro lado de la medición seria lenta , con dificultades

En terrenos de gran extensión.

La triangulación resulta ventajosa en las regiones accidentadas y montañosos, ya que de otro lado de la medición seria lenta , con dificultades

En terrenos de gran extensión.

TIPOS

A:400 – 625 Km2 (área)Topográfico

No se considera la C.T. (curvatura de la tierra)

A :+625 km2

GeodésicoSi se considera curvatura de la tierra

CD ,BC ,AB

C B, A, e

2, 1, i

BASE A

A

B

C

61

23

45

310

33 32Base de comprobación

ELEMENTOS DE UNA TRIANGULACIÓN

Vértices A, B, C, D

Lados

De los lados de la triangulación se escoge el lado que ofrece mayores ventajas para medirlo

- Obstrucciones- Poca pendiente

Ángulos Ángulos

BASE DE LA TRIANGULACIÓN BASE DE LA TRIANGULACIÓN

Es el lado de la triangulación cuya medición de su longitud a ha sido obtenido directamente en el campo.

Existe dos tipos de base:

La inicio de la triangulación (base de la triangulación)La base de comprobación (base de cierre)

Es el lado de la triangulación cuya medición de su longitud a ha sido obtenido directamente en el campo.

Existe dos tipos de base:

La inicio de la triangulación (base de la triangulación)La base de comprobación (base de cierre)

¿QUÉ FIGURAS GENERAN TRIÁNGULOS?

A B

C D

Cuadrilátero

A

B

C

D

E

F

Polígono de punto central ABCDE(F)

CANAL

Río

C. Triángulos:

A

BC

D

E

F

G

H

I

J

C. De cuadrilátero:

A

B

C

Radiación

Poligonacia

Triangulación

SIMBOLOS

ELECCIÓN DE LA CADENA PAR UNA TRIANGULACIÓNELECCIÓN DE LA CADENA PAR UNA TRIANGULACIÓN

Si bien en la practica no siempre es posible seguir o mantener una cadena de un solo tipo de figura par elección de la cadena que mejor conviene tomar , tendrá en cuenta los siguientes aspectos.

La triangulación formada por una cadena de triángulos , es de las mas sencillas , por cuanto que no requiere la medida de un elevado numero de ángulos , pero en cambio requiere la medida e bases de comprobación , muchas veces es muy cercanas unas a otras si se quiere llegar a una buena precisión

La triangulación por una cadena de cuadriláteros requiere un mayor número de visuales pero brinda un mejor control de levantamiento principalmente en lo que a precisión se refiere.

Triangulación formada por una cadena de polígonos con unto central requiere un gran número de visuales y con las cadenas de cuadriláteros son las adecuadas para levantamientos de gran precisión

Si bien en la practica no siempre es posible seguir o mantener una cadena de un solo tipo de figura par elección de la cadena que mejor conviene tomar , tendrá en cuenta los siguientes aspectos.

La triangulación formada por una cadena de triángulos , es de las mas sencillas , por cuanto que no requiere la medida de un elevado numero de ángulos , pero en cambio requiere la medida e bases de comprobación , muchas veces es muy cercanas unas a otras si se quiere llegar a una buena precisión

La triangulación por una cadena de cuadriláteros requiere un mayor número de visuales pero brinda un mejor control de levantamiento principalmente en lo que a precisión se refiere.

Triangulación formada por una cadena de polígonos con unto central requiere un gran número de visuales y con las cadenas de cuadriláteros son las adecuadas para levantamientos de gran precisión

TRABAJO DE CAMPO COMPRENDETRABAJO DE CAMPO COMPRENDE

Reconocimiento del terreno

Ubicación de vértices y selección d ubicación para la base.

Medición de la base de la triangulación.

Medición de los ángulos de la triangulación.

Medición de azimut de la base.

Reconocimiento del terreno

Ubicación de vértices y selección d ubicación para la base.

Medición de la base de la triangulación.

Medición de los ángulos de la triangulación.

Medición de azimut de la base.

TRABAJO DE GABINETE COMPRENDECalculo de longitud y precisión de la triangulación

Compensación de figuras

Calculo de la resistencia de la figura y selección del mejor camino de calculo

Calculo de azimut y rumbos del mejor camino del cálculo

Cálculos de lado de la triangulación

Cálculos de proyecciones de los lados

Calculo de coordenadas

Clasificación general de la triangulación ejecutada

Dibujo de la triangulación

EL PERSONAL NECESARIO PARA LA MEDICIÓN PUEDE SER:

EL PERSONAL NECESARIO PARA LA MEDICIÓN PUEDE SER:

Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones de mediciones

Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara las marcas

Un registrador de las temperaturas de medición

Un libretista

Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones de mediciones

Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara las marcas

Un registrador de las temperaturas de medición

Un libretista

EL EQUIPO NECESARIO ES : EL EQUIPO NECESARIO ES :

Teodolito con respectivo trípode

Wincha de acero

Termómetro

Tencionometro

Jalones

Nivel ingeniero con respectivo trípode y mira

Teodolito con respectivo trípode

Wincha de acero

Termómetro

Tencionometro

Jalones

Nivel ingeniero con respectivo trípode y mira

UN MODELO PAR LLEVAR EL REGISTRO DE LA MEDICIÓN

PROPIAMENTE DICHA:

UN MODELO PAR LLEVAR EL REGISTRO DE LA MEDICIÓN

PROPIAMENTE DICHA: DESCRIPCIÓN PRIMERA MEDICIÓN

Tramo Apoyos Desnivel Longitud n T ªC P kg

CALCULO DE LA LONGITUD Y PRECISION DE UNA BASE DE TRIANGULACION

Los datos de medición deberán estar exentos de toda posibilidad de errores groseros o equivocaciones vulgares.

Los errores sistemáticos en una medición con wincha de acero son: error por dilatación de la wincha, error por catenaria, error por falta de horizontalidad, error por deformaciones por tención y error por calibramiento de la wincha y que se compara con un patrón que generalmente es una wincha o hilo invar.

A cada uno de estos tipos de errores sistemáticos, corresponde su corrección, siendo:

•C. por Temperatura

•C. por Catenaria

•C. por Horizontalidad

•C. por Tensión

•C. por Calibramiento

Corrección por temperatura:

= K L (T -

)

: Corrección por temperatura.

K : Coeficiente de dilatación de la wincha.

L : longitud del terreno medio.

T : Temperatura del ambiente en el instante de la

medición.

: Temperatura de calibramiento

Corrección por catenaria:

= (

Cc : Corrección por catenaria

L: Longitud del terreno medio

W : Peso lineal de la wincha

L : longitud entre apoyos

P : Tensión de medición

Corrección por horizontalidad:

= -

: Corrección por horizontalidad

h : Desnivel entre estacas de apoyo

l : Longitud entre apoyos.

-

Generalmente se toma el primer termino de la formula anteriormente escrita, ya que para desniveles pequeños a partir del segundo término, la serie va tomando valores cada vez más pequeños.

El signo de la corrección por falta de horizontalidad a aplicarse a toda medición, siempre es negativo, sea el desnivel positivo o no.

Corrección por tensión:

=

: Corrección por tensión

L : Longitud del tramo medio

P : Tensión por medición

: Tensión de calibramiento

S : Sección recta de la wincha

E : Modulo de elasticidad del acero

Corrección por calibramiento:

Luego de haber efectuado las correcciones anteriores, las winchas deben ser calibradas con una wincha patrón invar., y se determinara su verdadera magnitud.

K= 0.000012m/ºC =12x : Coeficiente de dilatación

= 20ºC : Temperatura de calibramiento.

W: 15.6gr./m= 0.0156kg./m : Peso lineal de la wincha = 5Kg : Tensión de calibramiento

S: 0.02c: Sección recta de la wincha

Kg/c E : 2.1 * : Módulo de elasticidad del acero.

Se ha realizado la medición de la base de triangulación AB. Las características de la wincha sonSe ha realizado la medición de la base de triangulación AB. Las características de la wincha son

Longitud medida: 367.197m.

Corrección sistemática: -9.7-39.6-29.3+23.0 = -55.6mm

Longitud corregida: 367.197-0.056

Longitud corregida: 367.141 mt.

Resolver:

1. ¿Se pide calcular la longitud medida en el campo?

2. ¿Calcular la corrección sistemática?

3. ¿Calcular la longitud medida corregida?

Resolver:

1. ¿Se pide calcular la longitud medida en el campo?

2. ¿Calcular la corrección sistemática?

3. ¿Calcular la longitud medida corregida?

SOLUCIÓN:

a) Long. Medida en el campo:367.197

b) Corrección sistemática(Cs)

Cs= ∑Ct+∑Ch+∑Cp

Cs= -9.7-39.6-29.3+23=-55.6mm= -0.0556m

c) Longitud medida corregida.

L mc= 367.197-0.0556=367.1414

La precisión de una triangulación depende del cuidado con que se haya medido la base y de la precisión en la lectura de los ángulos.

Los ángulos de cada triángulo deben sumar 180º ; debido a pequeños errores inevitables durante el proceso de medición esto no se logra exactamente y es así que se presenta un pequeño error en cada triangulo (cierre en ángulo).

α

β

µ

º180

PRECISIÓN DE LA BASE DE TRIANGULACIÓN

VALOR MÁS PROBABLE DE LA BASE:

Para igualdad de condiciones de medición está dado por la fórmula:

n: número de mediciones

n

nnnnM n

........321

ERRORES

ERRORES RESIDUALES O DESVIACIONALES:

Es la diferencia entre los valores de las mediciones y la medida aritmética, así:

V1 = n1 – M ; V3 = n3 – M

V2 = n2 – M ; Vn = nn – M

MEDIA DE LOS ERRORES:

Es la media aritmética de los errores residuales, sin tener en cuenta su signo:

n

vT

ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE UNA MEDICIÓN:

Está dado por la expresión:

1

2

n

vn

ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE LA MEDIA ARITMÉTICA:

Está dado por la expresión:

1

2

nn

veM

ERROR MÁXIMO ADMISIBLE:

Denominado también error tenible, está dado por la expresión:

nmáx ee 5.2

ERROR PROBABLE:Se calculará por:

: Error medio cuadrático

probable de una base cualquiera

: Error medio cuadrático probable de una media aritmética

mpm ee 6745.0

MpM ee 6745.0

ERROR RELATIVO:Existen diversos criterios en cuanto a la

fórmula específica a utilizar, así:

A fin de despejar posibles confusiones, se especifica la fórmula usada.

M

ee

M

ee

Me

eMc

e pMr

pmr

Mr

mr ,,,

COMPENSACIÓN DE FIGURAS DE UNA TRIANGULACIÓN

Antes de procederse al calculo de los lados de la red , los ángulo deben ser compensados por ecuaciones geométricas y trigonométricas y que son del tipo de figura que forma. Toda compensación, se realiza a los valores de los ángulos compensados por ecuación de vértice siempre y cuando los errores en cada triángulo , sean menores a los máximo admisible.

ECUACIONES DE ANGULO En toda figura geométrica cerrada, el número de ecuaciones de ángulo que deben cumplir los ángulos de la misma es.

CA= n° - L + 1 CA= n° - L + 1 CA = Número de Ecuaciones de ángulo.n° = Número de ángulos medidos L = Números de líneas o lados

3

12

32 1

8

45 6

7

(41)+(42)+(43)+(44) =360° (I) (1)+(2)+(41)=180 (II)(3)+(4)+(42)=180 (III)(5)+(6)+(43)=180 (IV)(7)+(8)+(44)=180° (V)

(41)+(42)+(43)+(44) =360° (I) (1)+(2)+(41)=180 (II)(3)+(4)+(42)=180 (III)(5)+(6)+(43)=180 (IV)(7)+(8)+(44)=180° (V)

1).- (1)+(2)+(3)=180°1).- (1)+(2)+(3)=180°

4142

4344

CASO DEL TRIANGULO:CA=3-3+1=1

Siendo la ecuación:Siendo la ecuación:

CASO DE UN POLÍGONO CON PUTO CENTRAL:

CA=8-6+1=3

Siendo la s ecuaciones:Siendo la s ecuaciones:

a).- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 7 + 8 =360° (I)

b).- 1 + 2 = 5 + 6 (II)

c).- 3 + 4 = 7 + 8 (III)

a).- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 7 + 8 =360° (I)

b).- 1 + 2 = 5 + 6 (II)

c).- 3 + 4 = 7 + 8 (III)

CASO DEL CUADRILATERO:

Siendo la s ecuaciones:Siendo la s ecuaciones:

ECUACIÓN DE CONDICIÓN DE LADOECUACIÓN DE CONDICIÓN DE LADO

CL= L – 2S + 3 CL= L – 2S + 3

CL = Número de Ecuaciones de ángulo.L = Números de líneas o lados S = Número de estaciones o vértices

Log sen(1)+log sen(3)+log sen(5)+log sen(7)-log sen(2)-Log sen(4)-log sen(6)-log sen(8) = 0

En toda figura geométrica cerrada ,e l número de ecuaciones de condición de lado que deben cumplirse los ángulos de la misma , es:En toda figura geométrica cerrada ,e l número de ecuaciones de condición de lado que deben cumplirse los ángulos de la misma , es:

3

12

32 1

8

45 6

7

4142

4344

CASO DEL TRIANGULO:

Cl=3-6+3

CASO DE UN POLÍGONO CON PUTO CENTRAL:

CL=6-8+3

Siendo la ecuación:Siendo la ecuación:

Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0

CASO DEL CUADRILATERO:

Siendo la ecuación:Siendo la ecuación:

Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0

Habiéndose medido los ángulo de la triangulación de la figura , si los ángulos compensados por ecuaciones de vértice son los que se indican , ejecutar la compensación de los ángulos por el método de las aproximaciones.

Habiéndose medido los ángulo de la triangulación de la figura , si los ángulos compensados por ecuaciones de vértice son los que se indican , ejecutar la compensación de los ángulos por el método de las aproximaciones.

ÁNGULOS DEL CUADRILATEROS AB C D

1)1) 45º12’10” 45º12’10”

2)2) 37º51’08”37º51’08”

3)3) 51º04’06”51º04’06”

4)4) 45º52’50”45º52’50”

5)5) 36º19’21”36º19’21”

6)6) 46º44’05”46º44’05”

7)7) 47º50’20”47º50’20”

8)8) 49º06’24”49º06’24”

ÁNGULOS DEL POLIGONO C D E F (G)

1)33º43’58’’2)36º40’10’’3)49º23’08’’4)41º28’04’’5)55º17’38’’6)56º00’03’’7)42º11’57’’8)45º15’26’’

41)109º35’57’’42)89º8’50’’43)68º42’6’’

44)92º32’51’’

1)33º43’58’’2)36º40’10’’3)49º23’08’’4)41º28’04’’5)55º17’38’’6)56º00’03’’7)42º11’57’’8)45º15’26’’

41)109º35’57’’42)89º8’50’’43)68º42’6’’

44)92º32’51’’

ÁNGULOS DEL TRIANGULO E F G

1)62º27’15’’2)57º31’42’’3)60º0’48’’

1)62º27’15’’2)57º31’42’’3)60º0’48’’

COMPENSACIÓN POR ECUACIONES DE ÁNGULOCOMPENSACIÓN POR ECUACIONES DE ÁNGULO

•Se compensa los ángulos del cuadrilátero de modo que su suma de todas ellos de el valor 360º .La compensación total se reparte por igual entre los ocho ángulos de la figura , en caso que la división no fuera exacta , se toma valores lo mas aproximadamente posibles

•Con los valore compensados por el paso anterior , se encuentra la diferencia entre las sumas de los ángulos: (1)+(2) y (5)+(6) , dividiéndola luego entre (4) , que será la corrección para cada uno de estos ángulos , siendo positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numérico y negativa para los ángulos cuya suma fue mayor

•Con lo valores de los ángulos (3), (4) y (7),(8) , se procede de manera similar al paso anterior

•Se calculan los valores de los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.

•Se compensa los ángulos del cuadrilátero de modo que su suma de todas ellos de el valor 360º .La compensación total se reparte por igual entre los ocho ángulos de la figura , en caso que la división no fuera exacta , se toma valores lo mas aproximadamente posibles

•Con los valore compensados por el paso anterior , se encuentra la diferencia entre las sumas de los ángulos: (1)+(2) y (5)+(6) , dividiéndola luego entre (4) , que será la corrección para cada uno de estos ángulos , siendo positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numérico y negativa para los ángulos cuya suma fue mayor

•Con lo valores de los ángulos (3), (4) y (7),(8) , se procede de manera similar al paso anterior

•Se calculan los valores de los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.

CUADRO DE CALCULO PAR EL EJEMPLO CUADRO DE CALCULO PAR EL EJEMPLO

ANGULOS VALOR CI Áng.CORREGIDO

CII CIII Áng. COMPENSADO

1 45º12’10” -3” 45º12’07” +2” 45º12’09”

2 37º51’08” -3” 37º51’05” +2” 37º51’07”

3 51º04’06” -3” 51º04’03” -3” 51º04’00”

4 45º52’50” -3” 45º52’47” -3” 45º52’44”

5 36º19’21” -3” 36º19’18” -2” 36º19’16”

6 46º44’05” -3” 46º44’02” -2” 46º44’00”

7 47º50’20” -3” 47º50’17” +3” 47º50’20”

8 49º06’24” -3” 49º06’21” +3” 49º06’24”

360º00’24” -24” 360º00’00” 0 0 360º00’00”

CondicionesCondiciones

1)1) + 45º12’07” + 45º12’07” II II

2)2) 37º51’0537º51’05” ”

87°03’87°03’12”

5) +36º19’18” 5) +36º19’18” 6)6) 46º44’0246º44’02” ”

87°03’87°03’20”

20-12=8 =8 8/4=2”8/4=2”

3) + 51º04’03” 3) + 51º04’03” III III

4) 4) 45º52’4745º52’47” ” 96°56’96°56’50”

7) +47º50’17” 7) +47º50’17” 8) 8) 49º06’2149º06’21” ” 96º56’96º56’38” 50-38=12 50-38=12 12/4=3”12/4=3”

COMPENSACION POR ECUACIÓN DE LADOCOMPENSACION POR ECUACIÓN DE LADO

•Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulo se calcula los valores de los logaritmos senos de los ángulos , obteniéndose luego la suma de ellos , de acuerdo a la condición de lado

• Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada

• Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1”para los valores de los ángulos.

•La corrección se obtienen por división del valor de la diferencia de las sumas de logaritmo seno , entre el valor de la suma de las diferencias tabulares , siendo positiva para los ángulos cuya suman de logaritmos seno fue menor siendo negativa apara los ángulos cuya suma de logarítmica fue mayor

•Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulo se calcula los valores de los logaritmos senos de los ángulos , obteniéndose luego la suma de ellos , de acuerdo a la condición de lado

• Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada

• Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1”para los valores de los ángulos.

•La corrección se obtienen por división del valor de la diferencia de las sumas de logaritmo seno , entre el valor de la suma de las diferencias tabulares , siendo positiva para los ángulos cuya suman de logaritmos seno fue menor siendo negativa apara los ángulos cuya suma de logarítmica fue mayor

VALOR VALOR DE DE

AN. AN. COMPCOMP

LOG SEN D’’ C IV

ANG.COMP.+ -

11 45º12’09” T.851015

2.08

+13+13””

45º12’22”

22 37º51’07” T.787902

2.70

-13”-13” 37º51’54”

33 51º04’00” T.890911

1.70

+13+13””

51º04’13”

44 45º52’44” T.856046

2.03

-13”-13” 45º52’31”

55 36º19’16” T.869971

2.87

+13+13””

36º19’29”

66 46º44’00” T.862234

1.98

-13”-13” 46º44’47”

77 47º50’20” T.869971

1.90

+13+13””

47º50’33”

88 49º06’24” T.878481

1.82

-13”-13” 49º06’11”

360º00’00” T.384445

T.384663

17.82

360º00’00”

CUADRO DE CALCULO PAR EL EJEMPLO CUADRO DE CALCULO PAR EL EJEMPLO

Logsen(45°12’09”)= -0.148985 + 1 =0.851015 Logsen(45°12’09”)= -0.148985 + 1 =0.851015

=T.851015=T.851015 T.384T.384663663 – T.384 – T.384445 445 = 218= 218

D” =D” =Diferencia Tabular de Logsen con Diferencia Tabular de Logsen con aproximación al segundoaproximación al segundo

logsen(45°13’)= -0.148879 +1 logsen(45°13’)= -0.148879 +1 =T.85=T.8511211121

logsen(45°12’)= -0.149004 +1= logsen(45°12’)= -0.149004 +1= T.85T.8509960996

125/60125/60

D”= 2.08D”= 2.08

logsen(37°51’)logsen(37°51’)

logsen(37°52’)logsen(37°52’)

C IV = 218 /17.08 =12.76 C IV = 218 /17.08 =12.76 13”13”

-

logsen(51°04’) logsen(46°44’)logsen(51°05’) logsen(46°45’)

1º PASO POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS

41 : 109º35’57” +4” = 109º36’01”41 : 109º35’57” +4” = 109º36’01”

42 : 89º08’50” +4” = 89º08’54”42 : 89º08’50” +4” = 89º08’54”

43 : 68º42’06” +4” = 68º42’10”43 : 68º42’06” +4” = 68º42’10”

44 : 92º32’51” +4” = 92º32’5544 : 92º32’51” +4” = 92º32’55””

359º59’44” +16” = 360º00’00”359º59’44” +16” = 360º00’00”

1) 33º43’58”

2) 36º40’10”

41) 109º36’01” 180º00’09”

3) 49º23’08”

4) 41º28’04”

42) 89º08’54” 180º00’06”

5) 55º17’38”

6) 56º00’03”

43) 68º42’10” 179º59’51”

7) 42º11’57”

8) 45º15’26”

44) 92º32’55” 180º00’18”

C. TOTAL = - 9” C. TOTAL = - 6” C. TOTAL = + 9” C. TOTAL = - 18”

2º PASO : POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS

Corrección Total en cada /Triang.

Corrección central 1er

Tanteo.

Compensación 1er tanteo.

Correcciones finales por

ecuación de ángulos.

T1 - 9” 41) -3” 41) +2” 41) -1” 1: -4” 2: -4”

T2 - 6” 42) -2” 42) +2” 42) 0 3: -3” 4: -3”

T3 +9” 43) +3” 43) +2” 43) +5” 5: +2” 6: +2”

T4 -18” 44) -6” 44) +2” 44) -4” 7: -7” 8: -7”

-8”/4 = -2” +8” 0

3º PASO : POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS

-Corrección Central 1er Tanteo : :

T1/3 = -9”/3 = -3”T1/3 = -9”/3 = -3”

T2/3 = -6”/3 = -2” T2/3 = -6”/3 = -2”

-Compensación al 1er tanteo

Es opuesto al signo obtenido en la corrección Es opuesto al signo obtenido en la corrección

central del 1er tanteo; para que ambos sumen 0central del 1er tanteo; para que ambos sumen 0

-2” -2” +2”+2”

-Correcciones Finales

41: -1” ( -3”+2”)41: -1” ( -3”+2”)

42: 0 (-2”+ 2”)42: 0 (-2”+ 2”)

43:+5” (+3”+2”)43:+5” (+3”+2”)

44: -4” (-6”+2” )44: -4” (-6”+2” )

VALOR VALOR LOG SEN D’’ C IV

ANG.COMP.+ -

11 33°43’54” T.744531

3.15

+10+10””

33°44’04”

22 36°40’06” T.776107

2.82

-10”-10” 36°39’56”

33 49°23’05” T.880298

1.80

+10+10””

49°23’15”

44 41°28’01” T.820981

2.38

-10”-10” 41°27’51”

55 55°17’40” T.914919

1.47

+10+10””

55°17’50”

66 56°00’05” T.918581

1.42

-10”-10” 55°59’55”

77 42°11’50” T.827165

2.33

+10+10””

42°12’00”

88 45°15’19” T.851411

2.08

-10”-10” 45°15’09”

T.366913

T.367080

17.45

360º00’00”

7080-6913 = 167 Correc.=167/17.45 = 9.57” 10”

COMPENSACION DE TRIANGULOS

Suma de ángulos internos de un triangulo = 180º

1) 62º27’15” + 5” = 62º27’20”

2) 57º31’42” + 5” = 57º31’47”

3) 60º00’48” + 5 ” = 60º00’53”

179º59’45” 15” = 180º00’00” 179º59’45” 15” = 180º00’00”

15/5 = +5”

No posee compensación de ecuación de lados

.

Cuanto menos es la resistencia, la figura es de mejor precisión.

La formula para calcular la resistencia de la figura:

Donde:

R: Resistencia de figura.

D: N° de nuevas direcciones observadas en la figura.

C: N° Total de ecuaciones de condiciones.

C = CA + CL

CA = n – L +1

CL = L – 2S +3

dA: Diferencia tabular del logaritmo seno 1’’ al ángulo opuesto al lado conocido,

expresados en unidades del 6to. Orden decimal.

dB: Diferencia tabular del logaritmo del seno 1’’ del ángulo opuesto al lado por conocer, expresados en unidades del 6to. Orden decimal.

El factor ∑ (d2A + dA dB + d2

B) sirve para realizar la selección del mejor camino de calculo de la Ac.

Ejemplo:

•CALCULO DEL FACTOR : D – C / D Donde:

D = (Nro. De lados – 1) * 2C = CA + CL → CA = n – L +1CL = L – 2S +3

•CUADRILATERO:D = (6 – 1) * 2 = 10 C = CA : 12 – 8 + 1 = 3CL = 3 +1 = 4 D – C = 10 – 4 = 0.6

D 10

•POLIGONO:D = (8 – 1) * 2 = 14 C = CA : 12 – 8 + 1 = 5CL = 1 D – C = 14 – 6 = 0.57

D 14C = 6 = 5 + 1 = 6

•CALCULO DEL FACTOR : D – C / D Donde:

D = (Nro. De lados – 1) * 2C = CA + CL → CA = n – L +1CL = L – 2S +3

•CUADRILATERO:D = (6 – 1) * 2 = 10 C = CA : 12 – 8 + 1 = 3CL = 3 +1 = 4 D – C = 10 – 4 = 0.6

D 10

•POLIGONO:D = (8 – 1) * 2 = 14 C = CA : 12 – 8 + 1 = 5CL = 1 D – C = 14 – 6 = 0.57

D 14C = 6 = 5 + 1 = 6

TRIANGULO:

D = (3 – 1) * 2 = 4 C = CA : 3 – 3 + 1 = 1

CL = 0 D – C = 4 – 1 = 0.75

D 4

C = 1

TRIANGULO TOTAL:

D = (15 – 1) * 2 = 28 D – C = 28 –1 1 = 0.61

D 28

C = 4 + 6 = 11

CALCULO DEL FACTOR:

∑ (d2A + dA dB + d2

B)

CAMINO I

(d2(4) + d(4) d(2+3) + d2

(2+3))

(d2(6+7) + d(6+7) d(8) + d2

(8))

(d245°53’ + d45°53’ d88°55’ + d2

88°55’) = (2.03)2 + (2.03)(0.03) +(0.03)2 =4.18

(d294°34’ + d94°34’ d49°06’ + d2

49°06’) = (-0.17)2 - (0.17)(1.82) + (1.82)2= 3.03

CAMINO II

(d247°51’ + d47°51’ d94°19’ + d2

94°19’) = (1.90)2 - (1.90)(-0.15) + (-0.15)2 = 3.35

(d282°12’ + d82°12’ d51°04’ + d2

51°04’) = (0.26)2 - (0.26)(1.70) +(1.70)2 = 3.44

CAMINO III

 ∑ = 23.83

CAMINO IV

∑ = 32.80

El mejor camino de calculo del cuadrilátero ABCD será el camino II

El camino IV es el peor

PARA EL POLIGONO DE PUNTO CENTRAL.

CAMINO I

PARA EL POLIGONO DE PUNTO CENTRAL.

CAMINO I

∑ = 25.16

CAMINO II

El mejor camino del calculo es el camino II

∑ = 25.04

PARA EL TRIANGULO:

CAMINO I

= 4.04

= 4.88

CAMINO II

TRIANGULACION TOTAL:

(d2A + dA dB + d2

B)MIN = 6.79 + 25.04 +4.04 = 35.87

(d2A + dA dB + d2

B)MAX =32.80 + 25.16 + 4.88 = 62.84

TRIANGULACION TOTAL:

(d2A + dA dB + d2

B)MIN = 6.79 + 25.04 +4.04 = 35.87

(d2A + dA dB + d2

B)MAX =32.80 + 25.16 + 4.88 = 62.84

El mejor camino es el camino I

LA RESISTENCIA DE LA FIGURA:

•CUADRILATERO ABCDRMIN = 0.60 * 6.79 = 4.1RMAX = 0.60 * 32.8 = 19.7

•POLIGONO CDEFRMIN = 0.57 * 25.04 = 14.3RMAX = 0.57 * 25.16 = 14.3

•TRIANGULO EFHRMIN = 0.75 * 4.04 = 3.0

RMAX = 0.75 * 4.08 = 3.7

•TRIANGULACION TOTALRMIN = 0.61 * 35.87 = 21.5

RMAX = 0.60 * 62.84 = 38.3

El mejor camino de calculo será AB – AD; DC; DG; GF; FE; EG; EH

LA RESISTENCIA DE LA FIGURA:

•CUADRILATERO ABCDRMIN = 0.60 * 6.79 = 4.1RMAX = 0.60 * 32.8 = 19.7

•POLIGONO CDEFRMIN = 0.57 * 25.04 = 14.3RMAX = 0.57 * 25.16 = 14.3

•TRIANGULO EFHRMIN = 0.75 * 4.04 = 3.0

RMAX = 0.75 * 4.08 = 3.7

•TRIANGULACION TOTALRMIN = 0.61 * 35.87 = 21.5

RMAX = 0.60 * 62.84 = 38.3

El mejor camino de calculo será AB – AD; DC; DG; GF; FE; EG; EH

AZIMUT Y RUMBO

La dirección de los alineamientos en topografía se dan en función del

ángulo que se forma con el meridiano de referencia y puede

ser de dos tipos: azimut o rumbos.

AZIMUT

Es el ángulo horizontal medido en el sentido de las manecillas del reloj a partir del extremo superior de un meridiano, conocido comúnmente como NORTE, hasta el alineamiento respectivo. Su valor puede estar entre 0 y 360° en el sistema sexagesimal.

RUMBO

Es el ángulo horizontal con respecto al meridiano de referencia, medido con la línea de los extremos norte (N), sur (S), este (E) u oeste (W), según la orientación que tenga dicho alineamiento. Se expresa como un ángulo entre 0 a 90°, indicando el cuadrante en el cual se encuentra situado.

Contrazimut de un AlineamientoContrazimut de un AlineamientoEl contrazimut de un alineamiento es el azimut observado desde el otro extremo del mismo. En la Figura se ilustran un caso posible que se pueden presentar. Como se puede deducir, el contrazimut de un lineamiento se puede calcular por la siguiente expresión:Contrazimut de un alineamiento = Azimut del alineamiento ± 180°.Se aplica el signo (+) si el azimut del alineamiento es menor a 180° y el signo (-) si el azimut es igual o mayor de 180°.

Contrarumbo o rumbo inverso de un alineamientoContrarumbo o rumbo inverso de un alineamientoEl contrarumbo de un alineamiento es el rumbo de ese alineamiento medido en sentido contrario. En la Figura se ilustra un caso posible. Se deduce fácilmente que el contrarumbo de un lineamiento, tiene el mismo valor numérico que su rumbo, pero cuadrante opuesto. Son cuadrantes opuestos el NW con el SE.

Valor del Azimut Valor del Rumbo

Az° = 0° = 360° Norte (N)

0° < Az° <90° N Az° E

Az° = 90° Este (E)

90° < Az° < 180 S (180-Az°) E

Az° = 180° Sur (S)

180°< Az° < 270° S (Az°-180) W

Az° = 270° Oeste (W)

270 < Az° < 360° N (360-Az°) W

CONVERSIÓN DE AZIMUT A RUMBOS

CALCULO DEL AZIMUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CALCULO DEL AZIMUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO DE LA TRIANGULACIONCÁLCULO DE LA TRIANGULACION

Ejemplo:

Calcular los azimut y rombos del mejor camino de cálculo para la triangulación de la Figura, si el azimut del lado AB = 103°20’14’’:

Azimut:

Z AB = 103°20’14’’

Rumbo:

R AB = 180° – Z AB

R AB = 180° – 103°20’14’’

R AB = S 76°39’46’’ E

Con los valores de los ángulos corregidos por ecuaciones de condición de ángulo y lado y según el mejor camino de cálculo para la triangulación, se procede al cálculo de los azimut y rumbos de dicho camino.

RESISTENCIA DE FIGURASRESISTENCIA DE FIGURAS

Azimut:Z AB = 103°20’14’’

Rumbo:R AB = 180° – Z AB R AB = 180° – 103°20’14’’R AB = S 76°39’46’’ E

90° < Az° < 180° S (180°-Az°) E

Azimut:Z AD = ZAB - (2)Z AD = 103°20’14’’ -

37°50’54’’Z AD = 65°29’20’’

Rumbo:R AB = Z AB R AB = N 65°29’20’’ E

0° < Az° < 90° N (Az°) E

270 < Az° < 360° N (360-Az°) W

Azimut:Z DC = 180° + Z AD + (6)Z DC = 180° + 65°29’20’’ +

46°43’47’’Z DC = 292°13’07’’

Rumbo:R DC = 360° – Z DC R DC = 360° – 292°13’07’’R DC = N 67°46’53’’W

Azimut:Z DG = 180° + Z AD + (6) + (1)

Z DG = 180° + 65°29’20’’ + 46°43’47’’

+ 33°44’03’’Z DG = 325°57’10’’

Rumbo:R DG = 360° – Z DG R DG = 360° – 325°57’10’’ R DG = N 34°02’50’’W

Azimut:Z GF = Z DG - 180° - (44)Z GF = 325°57’10’’ - 180° -

92°32’51’’Z GF = 53°24’19’’

Rumbo:R GF = Z GF R GF = N 53°24’19’’E

0° < Az° < 90° N (Az°) E

Azimut:Z FE = Z GF + 180° + (6)Z FE = 53°24’19’’ + 180° +

55°59’56’’Z FE= 289°24’15’’

Rumbo:R FE = 360 - Z FE R FE = 360° - 289°24’15’’R FE = N 70°35’45’’W

270 < Az° < 360° N (360-Az°) W

Azimut:Z EH = Z GF - 180° - (2)Z EH = 289°24’15’’ - 180° -

57°31’47’’Z EH = 51°52’28’’

Rumbo:R EH = Z EH R EH = N 51°52’28’’ E

0° < Az° < 90° N (Az°) E

MEJOR CAMINO DE CALCULO

H

E F

C D

A B

G

2

6’

44

1

6

2’

(2) = 37050’54”(6) = 46043’47”(1) = 33044’03”(44) = 92032’51”(6’) = 55059’56”(2’) = 57031’47”

Z AB = 103020’14”- R AB= S 76039’46” E (2) = 37050’54”

Z AD = 65029’20”+ R AD= N 67029’20” E 1800

245029’20”+ (6) = 46043’47”

Z DC = 292013’07”+ R DC= N 67046’53” O (1) = 33044’03”

Z DG= 329057’10”- R DG= N 34002’50” O 1800

145057’10”- (44) = 92032’51”

Z GF = 53024’19” + R GF= N 53024’ 19” E 1800 253024’19”+ (6) = 55059’56”

Z FE = 289024’15”- R FE= N 70035’45” O 1800 109024’15”- (2) = 57031’47”

Z EH = 51052’28” R EH= N 51052’ 28” E

103o20’14”

37o50’54”

46043’47”

33044’03”

92032’51”

57031’ 47”

H

E F

G55

0 59’5

6”

NE

O

SN

N

N

N

N

E

EE

E

E

S

S

S

S S

O

O

O

OO

D

C

A B

Se realiza:Px = lado * sen R

Se realiza:Px = lado * sen R

Py = lado * cos R

180 ≤ z ≤ 270

R = z – 180

R = 180 – z

EJEMPLO:

LADO LONGITUD RUMBO Proyección X Proyección Y

AB 356.503 S 76º39’46’’ E 346.888 -82.239AD 479.555 N 65º29’20’’E -436.338 198.953DC 376.538 N 67º46’53’’O -348.579 142.385DG 238.678 N 34º02’50’’O 133.630 197.763GF 252.359 N 53º24’19’’E 202.612 150.444FE 285.992 N 70º35’45’’O -269.753 95.017EH 292.766 N 51º52’28’’E 230.307 180.750

LONGITUD RUMBO

356.538 S 76º39’46’’ E

PROCEDIMIENTO:

mPY

msenPX

AB

AB

239.82''46'39º76cos503.356

888.346''46'39º76503.356

A

B

Py

Px

Py356.503

76°39’46”

N

EO

S

mPY

msenPX

AD

AD

953.198''20'29º65cos555.479

338.436''20'29º65555.479

N

S

O E

CF

65°2

9’20

”

LONGITUD RUMBO

479.555 N 65°29’20” E

mPY

msenPX

DC

DC

385.142''53'46º67cos538.376

579.348''53'46º67538.376

N

S

DC

E

67°46’53”

O

LONGITUD RUMBO

376.538 N 67°46’53” O

S

=(34°02’50”)

O E

N

Px

Y

Y

XX

mPY

msenPX

DG

DG

763.197''50'02º34cos678.238

630.133''50'02º34678.238

LONGITUD RUMBO

238.678 N 34°02’50” O

mPY

msenPX

GF

GF

444.150''19'24º53cos359.252

612.202''19'24º53359.252

N

S

O E

CF

53°2

4’19

”

LONGITUD RUMBO

252.359 N 53°24’19” E

N

S

EO

FE EH

mPY

msenPX

FE

FE

95.017''45'35º70cos992.285

-269.753''45'35º70992.285

mPY

msenPX

EH

EH

180.750''28'52º51cos766.292

230.307''28'52º51766.292

LONGITUD RUMBO

285.992 N 70°35’45” O

LONGITUD RUMBO

292.766 N 51°52’28” E

LADO LONGITUD RUMBO Proyección X Proyección Y

AB 356.503 S 76º39’46’’ E + 346.888 - 82.234

AD 479.555 N 65º29’20’’E - 259.128 + 423.578

DC 376.538 N 67º46’53’’O + 348.579 - 142.385

DG 238.678 N 34º02’50’’O - 133.630 + 197.763

GF 252.359 N 53º24’19’’E + 202.612 + 150.444

FE 285.992 N 70º35’45’’O - 269.753 + 95.017

EH 292.766 N 51º52’28’’E + 230.307 + 180.750

RESULTADOS:

CALCULO DE COORDENADAS DE

UNA TRIANGULACIÓN

COORDENADAS GEOGRÁFICAS

SE LLAMA COORDENADAS GEOGRÁFICAS A LAS LÍNEAS IMAGINARIAS QUE CRUZAN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA EN DIRECCIÓN HORIZONTAL Y VERTICAL. EL ECUADOR, MERIDIANOS Y PARALELOS FORMAN LA RED DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS QUE SE UTILIZAN EN PLANOS, MAPAS, GLOBOS TERRESTRES PARA DETERMINAR LOS DISTINTOS PUNTOS DE LA TIERRA Y LA DISTANCIA QUE MIDEN ENTRE ELLOS.

a)LONGITUD: ES LA DISTANCIA DE ARCO QUE SE MIDE A PARTIR DEL MERIDIANO DE GREENWISH Y PUEDE SER ESTE U OESTE MÁXIMO 180°.

b)LATITUD: ES LA DISTANCIA DE ARCO QUE MIDE A PARTIR DEL PLANO DEL ECUADOR Y PUEDE SER NORTE O SUR MÁXIMO 90°.

LATITUD

LONGITUD ECUADOR

MERIDIANO DE GREENWISH

MERIDIANO

LATITUD

LONGITUD

El mejor camino del calculo será: AB – AD; DC; DG; GF; FE; EH

H

E

C

A

F

D

B

G

Calculo de azimut y rumbos del mejor camino de calculo de la triangulación:

ZAB = 103º20’14’’ RAB = S 76º39’46’’ E

ZAB = 103º20’14’’ RAB = S 76º39’46’’ E

(2) = 37º50’54’’

ZAD = 65º29’20’’ RAD = N 65º29’20’’ E

180º

245º29’20’’

(6) 46º43’47’’

ZDC = 292º13’07’’ RDC = N 67º46’53’’ O

(1) = 46º43’47’’

ZDG = 325º57’10’’ RDG = N 34º02’50’’ O

180º00’00’’

145º57’10’’

ZDG = 145º57’10’’ - RDG = N 34º02’50’’ O

(44) 92º32’51’’

ZGF = 53º24’19’’ + RGF = N 53º24’19’’ E

180º00’00’’

233º24’19’’

(6) 55º59’56’’

ZFE = 289º24’15’’- RFE = N 70º35’45’’ O

180º00’00’’

109º24’15’’

(2) 57º31’47’’

ZEH = 51º52’28’’ REH = N 51º52’28’’ E

Cálculo de la longitud de los lados del mejor camino de cálculo. Se realiza la ley de los senos:

292.766m3ºSen60º00º50ºSen62º27º2

285.998 GH

285.998m9ºSen55º17º46ºSen68º42º0

252.359FE

252.359m9ºSen42º11º50ºSen45º15º0

238.678GF

238.678m00ºSen109º36º7ºSen36º39º5

376.538DG

376.538m0ºSen82º12º03ºSen51º04º1

479.535DC

479.555m3ºSen47º50º33ºSen94º18º3

356.503AD

356.503AB

CALCULO DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACIÓN

Se realiza:

Px = lado x Sen R

Py = lado x Cos R

RPy

Px

CALCULO DE LAS PROYECCIONES DE LA AC

Lado Lado Long. Long. Rumbo lado Rumbo lado PxPx PyPy

ABAB 356.503356.503 S 76º39’46’’ E S 76º39’46’’ E +346.888+346.888 -82.298-82.298

ADAD 479.555479.555 N 65º29’20’’ EN 65º29’20’’ E +436.338+436.338 +198.953+198.953

DCDC 376.538376.538 N 67º46’53’’ ON 67º46’53’’ O -348.579-348.579 +142.385+142.385

DGDG 238.678238.678 N 34º02’50’’ ON 34º02’50’’ O -133.630-133.630 +197.763+197.763

GFGF 252.359252.359 N 53º24’19’’ EN 53º24’19’’ E +202.612+202.612 +150.444+150.444

FEFE 285.992285.992 N 70º35’45’’ ON 70º35’45’’ O -269.612-269.612 +95.017+95.017

EHEH 292.766292.766 N 51º52’28’’ EN 51º52’28’’ E +230.307+230.307 +180.750+180.750

CALCULO DE COORDENADAS DE LOS VÉRTICES DE LA AC

Vértice Vértice Abscisas Abscisas Coordenadas Coordenadas

AA 8134.6018134.601346.888346.888

7267.924-7267.924-82.23982.239

BBAA

8481.4898481.489+8134.601+8134.601

436.338436.338

7185.6857185.6857267.924+7267.924+

198.953198.953

DD 8570.939-8570.939-348.579348.579

7466.877+7466.877+142.385142.385

CCDD

8222.3608222.3608570.939-8570.939-133.630133.630

7609.2627609.2627466.877+7466.877+

197.763197.763

GG 8437.309+8437.309+202.612202.612

7664.640+7664.640+150.444150.444

FF 8639.921-8639.921-269.753269.753

7815.084+7815.084+95.01795.017

EE 8370.1688370.168230.307230.307

7910.1017910.101180.750180.750

HH 8600.4758600.475 8090.8518090.851

DIBUJO DE LA TRIANGULACION

1.-SELECCIONE LA ESCALA ADECUADA DE DIBUJO PARA LA TRIANGULACIÓN

La selección de la escala de un plano o mapa depende del propósito, tamaño y de la precisión exigida del dibujo

terminado, las dimensiones estándares de las hojas, y el tipo y la cantidad de símbolos topográficos a utilizar.

La escala de expresa de dos maneras :1. Por una relación o fracción representativa,

como por ejemplo: 1: 2000 ó 1/2000.

2. Gráficamente, consiste en dibujar la escala grafica en una línea sobre el plano, subdividida en distancias que correspondan a determinado numero de unidades en el terreno.

las escalas graficas serán sujetas a error pues el papel se alarga o encoge con los cambios de temperatura y humedad, por tanto, es conveniente indicar ambas escalas.

ESCALA GRAFICA

2.-2.- Trace Trace correctamente correctamente el sistema de el sistema de coordenadascoordenadas

Para trazar las coordenadas, la Para trazar las coordenadas, la hoja del plano se extiende hoja del plano se extiende

precisamente sobre una retícula precisamente sobre una retícula de cuadrados unitarios de de cuadrados unitarios de

tamaño apropiados ,dependiendo tamaño apropiados ,dependiendo de la escala pueden representar de la escala pueden representar 100,200,300,400 , etc. metros el 100,200,300,400 , etc. metros el trazo se realiza con una punta de trazo se realiza con una punta de

trazo fino ejemplo.trazo fino ejemplo.

Existen dos tipos de coordenadas:

Coordenadas relativas: que son las coordenadas dadas arbitrariamente y que pueden ser de distinta denominación

tanto para x como para y

Coordenadas geográficas: Coordenadas geográficas:

que son las coordenadas dadas por que son las coordenadas dadas por un sistema electrónico o satelital un sistema electrónico o satelital

tales como los GPS donde se puede tales como los GPS donde se puede ubicar las coordenadas con precisión ubicar las coordenadas con precisión

en el globo terrestreen el globo terrestre

3.-3.- no es necesario no es necesario ejecutar el trazado de ejecutar el trazado de toda la cuadricula del toda la cuadricula del

sistema de coordenadas, sistema de coordenadas, basta que se señalen las basta que se señalen las

intersecciones de la intersecciones de la cuadricula mediante cuadricula mediante

pequeños cruces pequeños cruces

4.-Enumere correctamente los valores del sistema de

coordenadas, tal numeración solo debe realizarse en la parte

perimétrica de la lamina de dibujo

5.- Se ubica las estaciones con el

valor de las coordenadas y o

proyecciones

6.- empleo de la simbología

especifica para cada caso

7.-Toda lamina debe llevar indicado tanto la escala numérica

como la escala grafica, las mismas que deben

encontrarse juntas