tringulacion 1
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Universidad Privada Antenor OrregoFacultad de Ingeniería
Escuela Profesional de Ingeniería de Civil
ASESOR: Ing Mg. ANAXIMANDRO VELÁSQUEZ DÍAZ
TRUJILLO – PERU2012
TRIANGULACIÓN
TODA TRIANGULACIÓN ES UNA RED DE APOYO, DEL LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO, QUE SE ENCUENTRA FORMADA POR UNA SERIE DE TRIÁNGULOS EN LAS CUALES UNO O MAS LADOS DE CADA TRIANGULO ,LOS SON ADYACENTES DE OTROS TRIÁNGULOS
TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA
Es aquella que no se tiene en cuenta, la curvatura terrestre, tanto
en la medición de lados como en la medición de los ángulos
Es aquella que no se tiene en cuenta, la curvatura terrestre, tanto
en la medición de lados como en la medición de los ángulos
TRIANGULACION
8
8
2020 A E
NM
D
M radiación
ANTECEDENTES
-T. Pequeño:
PLANTEAMIENTO DE UNA TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA
PLANTEAMIENTO DE UNA TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA
E3
E2
E1
B)
)2(180 ni
0Px
)2(180 ne 0Py
A) Poligonal cerrada
- T. Mediano:- T. Gran Extensión:
H
F
D
BC
A
E
La triangulación resulta ventajosa en las regiones accidentadas y montañosos, ya que de otro lado de la medición seria lenta , con dificultades
En terrenos de gran extensión.
La triangulación resulta ventajosa en las regiones accidentadas y montañosos, ya que de otro lado de la medición seria lenta , con dificultades
En terrenos de gran extensión.
TIPOS
A:400 – 625 Km2 (área)Topográfico
No se considera la C.T. (curvatura de la tierra)
A :+625 km2
GeodésicoSi se considera curvatura de la tierra
CD ,BC ,AB
C B, A, e
2, 1, i
BASE A
A
B
C
61
23
45
310
33 32Base de comprobación
ELEMENTOS DE UNA TRIANGULACIÓN
Vértices A, B, C, D
Lados
De los lados de la triangulación se escoge el lado que ofrece mayores ventajas para medirlo
- Obstrucciones- Poca pendiente
Ángulos Ángulos
BASE DE LA TRIANGULACIÓN BASE DE LA TRIANGULACIÓN
Es el lado de la triangulación cuya medición de su longitud a ha sido obtenido directamente en el campo.
Existe dos tipos de base:
La inicio de la triangulación (base de la triangulación)La base de comprobación (base de cierre)
Es el lado de la triangulación cuya medición de su longitud a ha sido obtenido directamente en el campo.
Existe dos tipos de base:
La inicio de la triangulación (base de la triangulación)La base de comprobación (base de cierre)
¿QUÉ FIGURAS GENERAN TRIÁNGULOS?
A B
C D
Cuadrilátero
A
B
C
D
E
F
Polígono de punto central ABCDE(F)
CANAL
Río
C. Triángulos:
A
BC
D
E
F
G
H
I
J
C. De cuadrilátero:
A
B
C
Radiación
Poligonacia
Triangulación
SIMBOLOS
ELECCIÓN DE LA CADENA PAR UNA TRIANGULACIÓNELECCIÓN DE LA CADENA PAR UNA TRIANGULACIÓN
Si bien en la practica no siempre es posible seguir o mantener una cadena de un solo tipo de figura par elección de la cadena que mejor conviene tomar , tendrá en cuenta los siguientes aspectos.
La triangulación formada por una cadena de triángulos , es de las mas sencillas , por cuanto que no requiere la medida de un elevado numero de ángulos , pero en cambio requiere la medida e bases de comprobación , muchas veces es muy cercanas unas a otras si se quiere llegar a una buena precisión
La triangulación por una cadena de cuadriláteros requiere un mayor número de visuales pero brinda un mejor control de levantamiento principalmente en lo que a precisión se refiere.
Triangulación formada por una cadena de polígonos con unto central requiere un gran número de visuales y con las cadenas de cuadriláteros son las adecuadas para levantamientos de gran precisión
Si bien en la practica no siempre es posible seguir o mantener una cadena de un solo tipo de figura par elección de la cadena que mejor conviene tomar , tendrá en cuenta los siguientes aspectos.
La triangulación formada por una cadena de triángulos , es de las mas sencillas , por cuanto que no requiere la medida de un elevado numero de ángulos , pero en cambio requiere la medida e bases de comprobación , muchas veces es muy cercanas unas a otras si se quiere llegar a una buena precisión
La triangulación por una cadena de cuadriláteros requiere un mayor número de visuales pero brinda un mejor control de levantamiento principalmente en lo que a precisión se refiere.
Triangulación formada por una cadena de polígonos con unto central requiere un gran número de visuales y con las cadenas de cuadriláteros son las adecuadas para levantamientos de gran precisión
TRABAJO DE CAMPO COMPRENDETRABAJO DE CAMPO COMPRENDE
Reconocimiento del terreno
Ubicación de vértices y selección d ubicación para la base.
Medición de la base de la triangulación.
Medición de los ángulos de la triangulación.
Medición de azimut de la base.
Reconocimiento del terreno
Ubicación de vértices y selección d ubicación para la base.
Medición de la base de la triangulación.
Medición de los ángulos de la triangulación.
Medición de azimut de la base.
TRABAJO DE GABINETE COMPRENDECalculo de longitud y precisión de la triangulación
Compensación de figuras
Calculo de la resistencia de la figura y selección del mejor camino de calculo
Calculo de azimut y rumbos del mejor camino del cálculo
Cálculos de lado de la triangulación
Cálculos de proyecciones de los lados
Calculo de coordenadas
Clasificación general de la triangulación ejecutada
Dibujo de la triangulación
EL PERSONAL NECESARIO PARA LA MEDICIÓN PUEDE SER:
EL PERSONAL NECESARIO PARA LA MEDICIÓN PUEDE SER:
Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones de mediciones
Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara las marcas
Un registrador de las temperaturas de medición
Un libretista
Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones de mediciones
Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara las marcas
Un registrador de las temperaturas de medición
Un libretista
EL EQUIPO NECESARIO ES : EL EQUIPO NECESARIO ES :
Teodolito con respectivo trípode
Wincha de acero
Termómetro
Tencionometro
Jalones
Nivel ingeniero con respectivo trípode y mira
Teodolito con respectivo trípode
Wincha de acero
Termómetro
Tencionometro
Jalones
Nivel ingeniero con respectivo trípode y mira
UN MODELO PAR LLEVAR EL REGISTRO DE LA MEDICIÓN
PROPIAMENTE DICHA:
UN MODELO PAR LLEVAR EL REGISTRO DE LA MEDICIÓN
PROPIAMENTE DICHA: DESCRIPCIÓN PRIMERA MEDICIÓN
Tramo Apoyos Desnivel Longitud n T ªC P kg
CALCULO DE LA LONGITUD Y PRECISION DE UNA BASE DE TRIANGULACION
Los datos de medición deberán estar exentos de toda posibilidad de errores groseros o equivocaciones vulgares.
Los errores sistemáticos en una medición con wincha de acero son: error por dilatación de la wincha, error por catenaria, error por falta de horizontalidad, error por deformaciones por tención y error por calibramiento de la wincha y que se compara con un patrón que generalmente es una wincha o hilo invar.
A cada uno de estos tipos de errores sistemáticos, corresponde su corrección, siendo:
•C. por Temperatura
•C. por Catenaria
•C. por Horizontalidad
•C. por Tensión
•C. por Calibramiento
Corrección por temperatura:
= K L (T -
)
: Corrección por temperatura.
K : Coeficiente de dilatación de la wincha.
L : longitud del terreno medio.
T : Temperatura del ambiente en el instante de la
medición.
: Temperatura de calibramiento
Corrección por catenaria:
= (
Cc : Corrección por catenaria
L: Longitud del terreno medio
W : Peso lineal de la wincha
L : longitud entre apoyos
P : Tensión de medición
Corrección por horizontalidad:
= -
: Corrección por horizontalidad
h : Desnivel entre estacas de apoyo
l : Longitud entre apoyos.
-
Generalmente se toma el primer termino de la formula anteriormente escrita, ya que para desniveles pequeños a partir del segundo término, la serie va tomando valores cada vez más pequeños.
El signo de la corrección por falta de horizontalidad a aplicarse a toda medición, siempre es negativo, sea el desnivel positivo o no.
Corrección por tensión:
=
: Corrección por tensión
L : Longitud del tramo medio
P : Tensión por medición
: Tensión de calibramiento
S : Sección recta de la wincha
E : Modulo de elasticidad del acero
Corrección por calibramiento:
Luego de haber efectuado las correcciones anteriores, las winchas deben ser calibradas con una wincha patrón invar., y se determinara su verdadera magnitud.
K= 0.000012m/ºC =12x : Coeficiente de dilatación
= 20ºC : Temperatura de calibramiento.
W: 15.6gr./m= 0.0156kg./m : Peso lineal de la wincha = 5Kg : Tensión de calibramiento
S: 0.02c: Sección recta de la wincha
Kg/c E : 2.1 * : Módulo de elasticidad del acero.
Se ha realizado la medición de la base de triangulación AB. Las características de la wincha sonSe ha realizado la medición de la base de triangulación AB. Las características de la wincha son
Longitud medida: 367.197m.
Corrección sistemática: -9.7-39.6-29.3+23.0 = -55.6mm
Longitud corregida: 367.197-0.056
Longitud corregida: 367.141 mt.
Resolver:
1. ¿Se pide calcular la longitud medida en el campo?
2. ¿Calcular la corrección sistemática?
3. ¿Calcular la longitud medida corregida?
Resolver:
1. ¿Se pide calcular la longitud medida en el campo?
2. ¿Calcular la corrección sistemática?
3. ¿Calcular la longitud medida corregida?
SOLUCIÓN:
a) Long. Medida en el campo:367.197
b) Corrección sistemática(Cs)
Cs= ∑Ct+∑Ch+∑Cp
Cs= -9.7-39.6-29.3+23=-55.6mm= -0.0556m
c) Longitud medida corregida.
L mc= 367.197-0.0556=367.1414
La precisión de una triangulación depende del cuidado con que se haya medido la base y de la precisión en la lectura de los ángulos.
Los ángulos de cada triángulo deben sumar 180º ; debido a pequeños errores inevitables durante el proceso de medición esto no se logra exactamente y es así que se presenta un pequeño error en cada triangulo (cierre en ángulo).
α
β
µ
º180
PRECISIÓN DE LA BASE DE TRIANGULACIÓN
VALOR MÁS PROBABLE DE LA BASE:
Para igualdad de condiciones de medición está dado por la fórmula:
n: número de mediciones
n
nnnnM n
........321
ERRORES
ERRORES RESIDUALES O DESVIACIONALES:
Es la diferencia entre los valores de las mediciones y la medida aritmética, así:
V1 = n1 – M ; V3 = n3 – M
V2 = n2 – M ; Vn = nn – M
MEDIA DE LOS ERRORES:
Es la media aritmética de los errores residuales, sin tener en cuenta su signo:
n
vT
ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE UNA MEDICIÓN:
Está dado por la expresión:
1
2
n
vn
ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE LA MEDIA ARITMÉTICA:
Está dado por la expresión:
1
2
nn
veM
ERROR MÁXIMO ADMISIBLE:
Denominado también error tenible, está dado por la expresión:
nmáx ee 5.2
ERROR PROBABLE:Se calculará por:
: Error medio cuadrático
probable de una base cualquiera
: Error medio cuadrático probable de una media aritmética
mpm ee 6745.0
MpM ee 6745.0
ERROR RELATIVO:Existen diversos criterios en cuanto a la
fórmula específica a utilizar, así:
A fin de despejar posibles confusiones, se especifica la fórmula usada.
M
ee
M
ee
Me
eMc
e pMr
pmr
Mr
mr ,,,
COMPENSACIÓN DE FIGURAS DE UNA TRIANGULACIÓN
Antes de procederse al calculo de los lados de la red , los ángulo deben ser compensados por ecuaciones geométricas y trigonométricas y que son del tipo de figura que forma. Toda compensación, se realiza a los valores de los ángulos compensados por ecuación de vértice siempre y cuando los errores en cada triángulo , sean menores a los máximo admisible.
ECUACIONES DE ANGULO En toda figura geométrica cerrada, el número de ecuaciones de ángulo que deben cumplir los ángulos de la misma es.
CA= n° - L + 1 CA= n° - L + 1 CA = Número de Ecuaciones de ángulo.n° = Número de ángulos medidos L = Números de líneas o lados
3
12
32 1
8
45 6
7
(41)+(42)+(43)+(44) =360° (I) (1)+(2)+(41)=180 (II)(3)+(4)+(42)=180 (III)(5)+(6)+(43)=180 (IV)(7)+(8)+(44)=180° (V)
(41)+(42)+(43)+(44) =360° (I) (1)+(2)+(41)=180 (II)(3)+(4)+(42)=180 (III)(5)+(6)+(43)=180 (IV)(7)+(8)+(44)=180° (V)
1).- (1)+(2)+(3)=180°1).- (1)+(2)+(3)=180°
4142
4344
CASO DEL TRIANGULO:CA=3-3+1=1
Siendo la ecuación:Siendo la ecuación:
CASO DE UN POLÍGONO CON PUTO CENTRAL:
CA=8-6+1=3
Siendo la s ecuaciones:Siendo la s ecuaciones:
a).- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 7 + 8 =360° (I)
b).- 1 + 2 = 5 + 6 (II)
c).- 3 + 4 = 7 + 8 (III)
a).- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 7 + 8 =360° (I)
b).- 1 + 2 = 5 + 6 (II)
c).- 3 + 4 = 7 + 8 (III)
CASO DEL CUADRILATERO:
Siendo la s ecuaciones:Siendo la s ecuaciones:
ECUACIÓN DE CONDICIÓN DE LADOECUACIÓN DE CONDICIÓN DE LADO
CL= L – 2S + 3 CL= L – 2S + 3
CL = Número de Ecuaciones de ángulo.L = Números de líneas o lados S = Número de estaciones o vértices
Log sen(1)+log sen(3)+log sen(5)+log sen(7)-log sen(2)-Log sen(4)-log sen(6)-log sen(8) = 0
En toda figura geométrica cerrada ,e l número de ecuaciones de condición de lado que deben cumplirse los ángulos de la misma , es:En toda figura geométrica cerrada ,e l número de ecuaciones de condición de lado que deben cumplirse los ángulos de la misma , es:
3
12
32 1
8
45 6
7
4142
4344
CASO DEL TRIANGULO:
Cl=3-6+3
CASO DE UN POLÍGONO CON PUTO CENTRAL:
CL=6-8+3
Siendo la ecuación:Siendo la ecuación:
Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0
CASO DEL CUADRILATERO:
Siendo la ecuación:Siendo la ecuación:
Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0
Habiéndose medido los ángulo de la triangulación de la figura , si los ángulos compensados por ecuaciones de vértice son los que se indican , ejecutar la compensación de los ángulos por el método de las aproximaciones.
Habiéndose medido los ángulo de la triangulación de la figura , si los ángulos compensados por ecuaciones de vértice son los que se indican , ejecutar la compensación de los ángulos por el método de las aproximaciones.
ÁNGULOS DEL CUADRILATEROS AB C D
1)1) 45º12’10” 45º12’10”
2)2) 37º51’08”37º51’08”
3)3) 51º04’06”51º04’06”
4)4) 45º52’50”45º52’50”
5)5) 36º19’21”36º19’21”
6)6) 46º44’05”46º44’05”
7)7) 47º50’20”47º50’20”
8)8) 49º06’24”49º06’24”
ÁNGULOS DEL POLIGONO C D E F (G)
1)33º43’58’’2)36º40’10’’3)49º23’08’’4)41º28’04’’5)55º17’38’’6)56º00’03’’7)42º11’57’’8)45º15’26’’
41)109º35’57’’42)89º8’50’’43)68º42’6’’
44)92º32’51’’
1)33º43’58’’2)36º40’10’’3)49º23’08’’4)41º28’04’’5)55º17’38’’6)56º00’03’’7)42º11’57’’8)45º15’26’’
41)109º35’57’’42)89º8’50’’43)68º42’6’’
44)92º32’51’’
ÁNGULOS DEL TRIANGULO E F G
1)62º27’15’’2)57º31’42’’3)60º0’48’’
1)62º27’15’’2)57º31’42’’3)60º0’48’’
COMPENSACIÓN POR ECUACIONES DE ÁNGULOCOMPENSACIÓN POR ECUACIONES DE ÁNGULO
•Se compensa los ángulos del cuadrilátero de modo que su suma de todas ellos de el valor 360º .La compensación total se reparte por igual entre los ocho ángulos de la figura , en caso que la división no fuera exacta , se toma valores lo mas aproximadamente posibles
•Con los valore compensados por el paso anterior , se encuentra la diferencia entre las sumas de los ángulos: (1)+(2) y (5)+(6) , dividiéndola luego entre (4) , que será la corrección para cada uno de estos ángulos , siendo positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numérico y negativa para los ángulos cuya suma fue mayor
•Con lo valores de los ángulos (3), (4) y (7),(8) , se procede de manera similar al paso anterior
•Se calculan los valores de los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.
•Se compensa los ángulos del cuadrilátero de modo que su suma de todas ellos de el valor 360º .La compensación total se reparte por igual entre los ocho ángulos de la figura , en caso que la división no fuera exacta , se toma valores lo mas aproximadamente posibles
•Con los valore compensados por el paso anterior , se encuentra la diferencia entre las sumas de los ángulos: (1)+(2) y (5)+(6) , dividiéndola luego entre (4) , que será la corrección para cada uno de estos ángulos , siendo positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numérico y negativa para los ángulos cuya suma fue mayor
•Con lo valores de los ángulos (3), (4) y (7),(8) , se procede de manera similar al paso anterior
•Se calculan los valores de los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.
CUADRO DE CALCULO PAR EL EJEMPLO CUADRO DE CALCULO PAR EL EJEMPLO
ANGULOS VALOR CI Áng.CORREGIDO
CII CIII Áng. COMPENSADO
1 45º12’10” -3” 45º12’07” +2” 45º12’09”
2 37º51’08” -3” 37º51’05” +2” 37º51’07”
3 51º04’06” -3” 51º04’03” -3” 51º04’00”
4 45º52’50” -3” 45º52’47” -3” 45º52’44”
5 36º19’21” -3” 36º19’18” -2” 36º19’16”
6 46º44’05” -3” 46º44’02” -2” 46º44’00”
7 47º50’20” -3” 47º50’17” +3” 47º50’20”
8 49º06’24” -3” 49º06’21” +3” 49º06’24”
360º00’24” -24” 360º00’00” 0 0 360º00’00”
CondicionesCondiciones
1)1) + 45º12’07” + 45º12’07” II II
2)2) 37º51’0537º51’05” ”
87°03’87°03’12”
5) +36º19’18” 5) +36º19’18” 6)6) 46º44’0246º44’02” ”
87°03’87°03’20”
20-12=8 =8 8/4=2”8/4=2”
3) + 51º04’03” 3) + 51º04’03” III III
4) 4) 45º52’4745º52’47” ” 96°56’96°56’50”
7) +47º50’17” 7) +47º50’17” 8) 8) 49º06’2149º06’21” ” 96º56’96º56’38” 50-38=12 50-38=12 12/4=3”12/4=3”
COMPENSACION POR ECUACIÓN DE LADOCOMPENSACION POR ECUACIÓN DE LADO
•Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulo se calcula los valores de los logaritmos senos de los ángulos , obteniéndose luego la suma de ellos , de acuerdo a la condición de lado
• Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada
• Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1”para los valores de los ángulos.
•La corrección se obtienen por división del valor de la diferencia de las sumas de logaritmo seno , entre el valor de la suma de las diferencias tabulares , siendo positiva para los ángulos cuya suman de logaritmos seno fue menor siendo negativa apara los ángulos cuya suma de logarítmica fue mayor
•Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulo se calcula los valores de los logaritmos senos de los ángulos , obteniéndose luego la suma de ellos , de acuerdo a la condición de lado
• Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada
• Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1”para los valores de los ángulos.
•La corrección se obtienen por división del valor de la diferencia de las sumas de logaritmo seno , entre el valor de la suma de las diferencias tabulares , siendo positiva para los ángulos cuya suman de logaritmos seno fue menor siendo negativa apara los ángulos cuya suma de logarítmica fue mayor
VALOR VALOR DE DE
AN. AN. COMPCOMP
LOG SEN D’’ C IV
ANG.COMP.+ -
11 45º12’09” T.851015
2.08
+13+13””
45º12’22”
22 37º51’07” T.787902
2.70
-13”-13” 37º51’54”
33 51º04’00” T.890911
1.70
+13+13””
51º04’13”
44 45º52’44” T.856046
2.03
-13”-13” 45º52’31”
55 36º19’16” T.869971
2.87
+13+13””
36º19’29”
66 46º44’00” T.862234
1.98
-13”-13” 46º44’47”
77 47º50’20” T.869971
1.90
+13+13””
47º50’33”
88 49º06’24” T.878481
1.82
-13”-13” 49º06’11”
360º00’00” T.384445
T.384663
17.82
360º00’00”
CUADRO DE CALCULO PAR EL EJEMPLO CUADRO DE CALCULO PAR EL EJEMPLO
Logsen(45°12’09”)= -0.148985 + 1 =0.851015 Logsen(45°12’09”)= -0.148985 + 1 =0.851015
=T.851015=T.851015 T.384T.384663663 – T.384 – T.384445 445 = 218= 218
D” =D” =Diferencia Tabular de Logsen con Diferencia Tabular de Logsen con aproximación al segundoaproximación al segundo
logsen(45°13’)= -0.148879 +1 logsen(45°13’)= -0.148879 +1 =T.85=T.8511211121
logsen(45°12’)= -0.149004 +1= logsen(45°12’)= -0.149004 +1= T.85T.8509960996
125/60125/60
D”= 2.08D”= 2.08
logsen(37°51’)logsen(37°51’)
logsen(37°52’)logsen(37°52’)
C IV = 218 /17.08 =12.76 C IV = 218 /17.08 =12.76 13”13”
-
logsen(51°04’) logsen(46°44’)logsen(51°05’) logsen(46°45’)
1º PASO POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS
41 : 109º35’57” +4” = 109º36’01”41 : 109º35’57” +4” = 109º36’01”
42 : 89º08’50” +4” = 89º08’54”42 : 89º08’50” +4” = 89º08’54”
43 : 68º42’06” +4” = 68º42’10”43 : 68º42’06” +4” = 68º42’10”
44 : 92º32’51” +4” = 92º32’5544 : 92º32’51” +4” = 92º32’55””
359º59’44” +16” = 360º00’00”359º59’44” +16” = 360º00’00”
1) 33º43’58”
2) 36º40’10”
41) 109º36’01” 180º00’09”
3) 49º23’08”
4) 41º28’04”
42) 89º08’54” 180º00’06”
5) 55º17’38”
6) 56º00’03”
43) 68º42’10” 179º59’51”
7) 42º11’57”
8) 45º15’26”
44) 92º32’55” 180º00’18”
C. TOTAL = - 9” C. TOTAL = - 6” C. TOTAL = + 9” C. TOTAL = - 18”
2º PASO : POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS
Corrección Total en cada /Triang.
Corrección central 1er
Tanteo.
Compensación 1er tanteo.
Correcciones finales por
ecuación de ángulos.
T1 - 9” 41) -3” 41) +2” 41) -1” 1: -4” 2: -4”
T2 - 6” 42) -2” 42) +2” 42) 0 3: -3” 4: -3”
T3 +9” 43) +3” 43) +2” 43) +5” 5: +2” 6: +2”
T4 -18” 44) -6” 44) +2” 44) -4” 7: -7” 8: -7”
-8”/4 = -2” +8” 0
3º PASO : POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS
-Corrección Central 1er Tanteo : :
T1/3 = -9”/3 = -3”T1/3 = -9”/3 = -3”
T2/3 = -6”/3 = -2” T2/3 = -6”/3 = -2”
-Compensación al 1er tanteo
Es opuesto al signo obtenido en la corrección Es opuesto al signo obtenido en la corrección
central del 1er tanteo; para que ambos sumen 0central del 1er tanteo; para que ambos sumen 0
-2” -2” +2”+2”
-Correcciones Finales
41: -1” ( -3”+2”)41: -1” ( -3”+2”)
42: 0 (-2”+ 2”)42: 0 (-2”+ 2”)
43:+5” (+3”+2”)43:+5” (+3”+2”)
44: -4” (-6”+2” )44: -4” (-6”+2” )
VALOR VALOR LOG SEN D’’ C IV
ANG.COMP.+ -
11 33°43’54” T.744531
3.15
+10+10””
33°44’04”
22 36°40’06” T.776107
2.82
-10”-10” 36°39’56”
33 49°23’05” T.880298
1.80
+10+10””
49°23’15”
44 41°28’01” T.820981
2.38
-10”-10” 41°27’51”
55 55°17’40” T.914919
1.47
+10+10””
55°17’50”
66 56°00’05” T.918581
1.42
-10”-10” 55°59’55”
77 42°11’50” T.827165
2.33
+10+10””
42°12’00”
88 45°15’19” T.851411
2.08
-10”-10” 45°15’09”
T.366913
T.367080
17.45
360º00’00”
7080-6913 = 167 Correc.=167/17.45 = 9.57” 10”
COMPENSACION DE TRIANGULOS
Suma de ángulos internos de un triangulo = 180º
1) 62º27’15” + 5” = 62º27’20”
2) 57º31’42” + 5” = 57º31’47”
3) 60º00’48” + 5 ” = 60º00’53”
179º59’45” 15” = 180º00’00” 179º59’45” 15” = 180º00’00”
15/5 = +5”
No posee compensación de ecuación de lados
.
Cuanto menos es la resistencia, la figura es de mejor precisión.
La formula para calcular la resistencia de la figura:
Donde:
R: Resistencia de figura.
D: N° de nuevas direcciones observadas en la figura.
C: N° Total de ecuaciones de condiciones.
C = CA + CL
CA = n – L +1
CL = L – 2S +3
dA: Diferencia tabular del logaritmo seno 1’’ al ángulo opuesto al lado conocido,
expresados en unidades del 6to. Orden decimal.
dB: Diferencia tabular del logaritmo del seno 1’’ del ángulo opuesto al lado por conocer, expresados en unidades del 6to. Orden decimal.
El factor ∑ (d2A + dA dB + d2
B) sirve para realizar la selección del mejor camino de calculo de la Ac.
Ejemplo:
•CALCULO DEL FACTOR : D – C / D Donde:
D = (Nro. De lados – 1) * 2C = CA + CL → CA = n – L +1CL = L – 2S +3
•CUADRILATERO:D = (6 – 1) * 2 = 10 C = CA : 12 – 8 + 1 = 3CL = 3 +1 = 4 D – C = 10 – 4 = 0.6
D 10
•POLIGONO:D = (8 – 1) * 2 = 14 C = CA : 12 – 8 + 1 = 5CL = 1 D – C = 14 – 6 = 0.57
D 14C = 6 = 5 + 1 = 6
•CALCULO DEL FACTOR : D – C / D Donde:
D = (Nro. De lados – 1) * 2C = CA + CL → CA = n – L +1CL = L – 2S +3
•CUADRILATERO:D = (6 – 1) * 2 = 10 C = CA : 12 – 8 + 1 = 3CL = 3 +1 = 4 D – C = 10 – 4 = 0.6
D 10
•POLIGONO:D = (8 – 1) * 2 = 14 C = CA : 12 – 8 + 1 = 5CL = 1 D – C = 14 – 6 = 0.57
D 14C = 6 = 5 + 1 = 6
TRIANGULO:
D = (3 – 1) * 2 = 4 C = CA : 3 – 3 + 1 = 1
CL = 0 D – C = 4 – 1 = 0.75
D 4
C = 1
TRIANGULO TOTAL:
D = (15 – 1) * 2 = 28 D – C = 28 –1 1 = 0.61
D 28
C = 4 + 6 = 11
CALCULO DEL FACTOR:
∑ (d2A + dA dB + d2
B)
CAMINO I
(d2(4) + d(4) d(2+3) + d2
(2+3))
(d2(6+7) + d(6+7) d(8) + d2
(8))
(d245°53’ + d45°53’ d88°55’ + d2
88°55’) = (2.03)2 + (2.03)(0.03) +(0.03)2 =4.18
(d294°34’ + d94°34’ d49°06’ + d2
49°06’) = (-0.17)2 - (0.17)(1.82) + (1.82)2= 3.03
CAMINO II
(d247°51’ + d47°51’ d94°19’ + d2
94°19’) = (1.90)2 - (1.90)(-0.15) + (-0.15)2 = 3.35
(d282°12’ + d82°12’ d51°04’ + d2
51°04’) = (0.26)2 - (0.26)(1.70) +(1.70)2 = 3.44
CAMINO III
∑ = 23.83
CAMINO IV
∑ = 32.80
El mejor camino de calculo del cuadrilátero ABCD será el camino II
El camino IV es el peor
PARA EL POLIGONO DE PUNTO CENTRAL.
CAMINO I
PARA EL POLIGONO DE PUNTO CENTRAL.
CAMINO I
∑ = 25.16
CAMINO II
El mejor camino del calculo es el camino II
∑ = 25.04
PARA EL TRIANGULO:
CAMINO I
= 4.04
= 4.88
CAMINO II
TRIANGULACION TOTAL:
(d2A + dA dB + d2
B)MIN = 6.79 + 25.04 +4.04 = 35.87
(d2A + dA dB + d2
B)MAX =32.80 + 25.16 + 4.88 = 62.84
TRIANGULACION TOTAL:
(d2A + dA dB + d2
B)MIN = 6.79 + 25.04 +4.04 = 35.87
(d2A + dA dB + d2
B)MAX =32.80 + 25.16 + 4.88 = 62.84
El mejor camino es el camino I
LA RESISTENCIA DE LA FIGURA:
•CUADRILATERO ABCDRMIN = 0.60 * 6.79 = 4.1RMAX = 0.60 * 32.8 = 19.7
•POLIGONO CDEFRMIN = 0.57 * 25.04 = 14.3RMAX = 0.57 * 25.16 = 14.3
•TRIANGULO EFHRMIN = 0.75 * 4.04 = 3.0
RMAX = 0.75 * 4.08 = 3.7
•TRIANGULACION TOTALRMIN = 0.61 * 35.87 = 21.5
RMAX = 0.60 * 62.84 = 38.3
El mejor camino de calculo será AB – AD; DC; DG; GF; FE; EG; EH
LA RESISTENCIA DE LA FIGURA:
•CUADRILATERO ABCDRMIN = 0.60 * 6.79 = 4.1RMAX = 0.60 * 32.8 = 19.7
•POLIGONO CDEFRMIN = 0.57 * 25.04 = 14.3RMAX = 0.57 * 25.16 = 14.3
•TRIANGULO EFHRMIN = 0.75 * 4.04 = 3.0
RMAX = 0.75 * 4.08 = 3.7
•TRIANGULACION TOTALRMIN = 0.61 * 35.87 = 21.5
RMAX = 0.60 * 62.84 = 38.3
El mejor camino de calculo será AB – AD; DC; DG; GF; FE; EG; EH
AZIMUT Y RUMBO
La dirección de los alineamientos en topografía se dan en función del
ángulo que se forma con el meridiano de referencia y puede
ser de dos tipos: azimut o rumbos.
AZIMUT
Es el ángulo horizontal medido en el sentido de las manecillas del reloj a partir del extremo superior de un meridiano, conocido comúnmente como NORTE, hasta el alineamiento respectivo. Su valor puede estar entre 0 y 360° en el sistema sexagesimal.
RUMBO
Es el ángulo horizontal con respecto al meridiano de referencia, medido con la línea de los extremos norte (N), sur (S), este (E) u oeste (W), según la orientación que tenga dicho alineamiento. Se expresa como un ángulo entre 0 a 90°, indicando el cuadrante en el cual se encuentra situado.
Contrazimut de un AlineamientoContrazimut de un AlineamientoEl contrazimut de un alineamiento es el azimut observado desde el otro extremo del mismo. En la Figura se ilustran un caso posible que se pueden presentar. Como se puede deducir, el contrazimut de un lineamiento se puede calcular por la siguiente expresión:Contrazimut de un alineamiento = Azimut del alineamiento ± 180°.Se aplica el signo (+) si el azimut del alineamiento es menor a 180° y el signo (-) si el azimut es igual o mayor de 180°.
Contrarumbo o rumbo inverso de un alineamientoContrarumbo o rumbo inverso de un alineamientoEl contrarumbo de un alineamiento es el rumbo de ese alineamiento medido en sentido contrario. En la Figura se ilustra un caso posible. Se deduce fácilmente que el contrarumbo de un lineamiento, tiene el mismo valor numérico que su rumbo, pero cuadrante opuesto. Son cuadrantes opuestos el NW con el SE.
Valor del Azimut Valor del Rumbo
Az° = 0° = 360° Norte (N)
0° < Az° <90° N Az° E
Az° = 90° Este (E)
90° < Az° < 180 S (180-Az°) E
Az° = 180° Sur (S)
180°< Az° < 270° S (Az°-180) W
Az° = 270° Oeste (W)
270 < Az° < 360° N (360-Az°) W
CONVERSIÓN DE AZIMUT A RUMBOS
CALCULO DEL AZIMUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CALCULO DEL AZIMUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO DE LA TRIANGULACIONCÁLCULO DE LA TRIANGULACION
Ejemplo:
Calcular los azimut y rombos del mejor camino de cálculo para la triangulación de la Figura, si el azimut del lado AB = 103°20’14’’:
Azimut:
Z AB = 103°20’14’’
Rumbo:
R AB = 180° – Z AB
R AB = 180° – 103°20’14’’
R AB = S 76°39’46’’ E
Con los valores de los ángulos corregidos por ecuaciones de condición de ángulo y lado y según el mejor camino de cálculo para la triangulación, se procede al cálculo de los azimut y rumbos de dicho camino.
RESISTENCIA DE FIGURASRESISTENCIA DE FIGURAS
Azimut:Z AB = 103°20’14’’
Rumbo:R AB = 180° – Z AB R AB = 180° – 103°20’14’’R AB = S 76°39’46’’ E
90° < Az° < 180° S (180°-Az°) E
Azimut:Z AD = ZAB - (2)Z AD = 103°20’14’’ -
37°50’54’’Z AD = 65°29’20’’
Rumbo:R AB = Z AB R AB = N 65°29’20’’ E
0° < Az° < 90° N (Az°) E
270 < Az° < 360° N (360-Az°) W
Azimut:Z DC = 180° + Z AD + (6)Z DC = 180° + 65°29’20’’ +
46°43’47’’Z DC = 292°13’07’’
Rumbo:R DC = 360° – Z DC R DC = 360° – 292°13’07’’R DC = N 67°46’53’’W
Azimut:Z DG = 180° + Z AD + (6) + (1)
Z DG = 180° + 65°29’20’’ + 46°43’47’’
+ 33°44’03’’Z DG = 325°57’10’’
Rumbo:R DG = 360° – Z DG R DG = 360° – 325°57’10’’ R DG = N 34°02’50’’W
Azimut:Z GF = Z DG - 180° - (44)Z GF = 325°57’10’’ - 180° -
92°32’51’’Z GF = 53°24’19’’
Rumbo:R GF = Z GF R GF = N 53°24’19’’E
0° < Az° < 90° N (Az°) E
Azimut:Z FE = Z GF + 180° + (6)Z FE = 53°24’19’’ + 180° +
55°59’56’’Z FE= 289°24’15’’
Rumbo:R FE = 360 - Z FE R FE = 360° - 289°24’15’’R FE = N 70°35’45’’W
270 < Az° < 360° N (360-Az°) W
Azimut:Z EH = Z GF - 180° - (2)Z EH = 289°24’15’’ - 180° -
57°31’47’’Z EH = 51°52’28’’
Rumbo:R EH = Z EH R EH = N 51°52’28’’ E
0° < Az° < 90° N (Az°) E
MEJOR CAMINO DE CALCULO
H
E F
C D
A B
G
2
6’
44
1
6
2’
(2) = 37050’54”(6) = 46043’47”(1) = 33044’03”(44) = 92032’51”(6’) = 55059’56”(2’) = 57031’47”
Z AB = 103020’14”- R AB= S 76039’46” E (2) = 37050’54”
Z AD = 65029’20”+ R AD= N 67029’20” E 1800
245029’20”+ (6) = 46043’47”
Z DC = 292013’07”+ R DC= N 67046’53” O (1) = 33044’03”
Z DG= 329057’10”- R DG= N 34002’50” O 1800
145057’10”- (44) = 92032’51”
Z GF = 53024’19” + R GF= N 53024’ 19” E 1800 253024’19”+ (6) = 55059’56”
Z FE = 289024’15”- R FE= N 70035’45” O 1800 109024’15”- (2) = 57031’47”
Z EH = 51052’28” R EH= N 51052’ 28” E
103o20’14”
37o50’54”
46043’47”
33044’03”
92032’51”
57031’ 47”
H
E F
G55
0 59’5
6”
NE
O
SN
N
N
N
N
E
EE
E
E
S
S
S
S S
O
O
O
OO
D
C
A B
Se realiza:Px = lado * sen R
Se realiza:Px = lado * sen R
Py = lado * cos R
180 ≤ z ≤ 270
R = z – 180
R = 180 – z
EJEMPLO:
LADO LONGITUD RUMBO Proyección X Proyección Y
AB 356.503 S 76º39’46’’ E 346.888 -82.239AD 479.555 N 65º29’20’’E -436.338 198.953DC 376.538 N 67º46’53’’O -348.579 142.385DG 238.678 N 34º02’50’’O 133.630 197.763GF 252.359 N 53º24’19’’E 202.612 150.444FE 285.992 N 70º35’45’’O -269.753 95.017EH 292.766 N 51º52’28’’E 230.307 180.750
LONGITUD RUMBO
356.538 S 76º39’46’’ E
PROCEDIMIENTO:
mPY
msenPX
AB
AB
239.82''46'39º76cos503.356
888.346''46'39º76503.356
A
B
Py
Px
Py356.503
76°39’46”
N
EO
S
mPY
msenPX
AD
AD
953.198''20'29º65cos555.479
338.436''20'29º65555.479
N
S
O E
CF
65°2
9’20
”
LONGITUD RUMBO
479.555 N 65°29’20” E
mPY
msenPX
DC
DC
385.142''53'46º67cos538.376
579.348''53'46º67538.376
N
S
DC
E
67°46’53”
O
LONGITUD RUMBO
376.538 N 67°46’53” O
S
=(34°02’50”)
O E
N
Px
Y
Y
XX
mPY
msenPX
DG
DG
763.197''50'02º34cos678.238
630.133''50'02º34678.238
LONGITUD RUMBO
238.678 N 34°02’50” O
mPY
msenPX
GF
GF
444.150''19'24º53cos359.252
612.202''19'24º53359.252
N
S
O E
CF
53°2
4’19
”
LONGITUD RUMBO
252.359 N 53°24’19” E
N
S
EO
FE EH
mPY
msenPX
FE
FE
95.017''45'35º70cos992.285
-269.753''45'35º70992.285
mPY
msenPX
EH
EH
180.750''28'52º51cos766.292
230.307''28'52º51766.292
LONGITUD RUMBO
285.992 N 70°35’45” O
LONGITUD RUMBO
292.766 N 51°52’28” E
LADO LONGITUD RUMBO Proyección X Proyección Y
AB 356.503 S 76º39’46’’ E + 346.888 - 82.234
AD 479.555 N 65º29’20’’E - 259.128 + 423.578
DC 376.538 N 67º46’53’’O + 348.579 - 142.385
DG 238.678 N 34º02’50’’O - 133.630 + 197.763
GF 252.359 N 53º24’19’’E + 202.612 + 150.444
FE 285.992 N 70º35’45’’O - 269.753 + 95.017
EH 292.766 N 51º52’28’’E + 230.307 + 180.750
RESULTADOS:
CALCULO DE COORDENADAS DE
UNA TRIANGULACIÓN
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
SE LLAMA COORDENADAS GEOGRÁFICAS A LAS LÍNEAS IMAGINARIAS QUE CRUZAN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA EN DIRECCIÓN HORIZONTAL Y VERTICAL. EL ECUADOR, MERIDIANOS Y PARALELOS FORMAN LA RED DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS QUE SE UTILIZAN EN PLANOS, MAPAS, GLOBOS TERRESTRES PARA DETERMINAR LOS DISTINTOS PUNTOS DE LA TIERRA Y LA DISTANCIA QUE MIDEN ENTRE ELLOS.
a)LONGITUD: ES LA DISTANCIA DE ARCO QUE SE MIDE A PARTIR DEL MERIDIANO DE GREENWISH Y PUEDE SER ESTE U OESTE MÁXIMO 180°.
b)LATITUD: ES LA DISTANCIA DE ARCO QUE MIDE A PARTIR DEL PLANO DEL ECUADOR Y PUEDE SER NORTE O SUR MÁXIMO 90°.
LATITUD
LONGITUD ECUADOR
MERIDIANO DE GREENWISH
MERIDIANO
LATITUD
LONGITUD
El mejor camino del calculo será: AB – AD; DC; DG; GF; FE; EH
H
E
C
A
F
D
B
G
Calculo de azimut y rumbos del mejor camino de calculo de la triangulación:
ZAB = 103º20’14’’ RAB = S 76º39’46’’ E
ZAB = 103º20’14’’ RAB = S 76º39’46’’ E
(2) = 37º50’54’’
ZAD = 65º29’20’’ RAD = N 65º29’20’’ E
180º
245º29’20’’
(6) 46º43’47’’
ZDC = 292º13’07’’ RDC = N 67º46’53’’ O
(1) = 46º43’47’’
ZDG = 325º57’10’’ RDG = N 34º02’50’’ O
180º00’00’’
145º57’10’’
ZDG = 145º57’10’’ - RDG = N 34º02’50’’ O
(44) 92º32’51’’
ZGF = 53º24’19’’ + RGF = N 53º24’19’’ E
180º00’00’’
233º24’19’’
(6) 55º59’56’’
ZFE = 289º24’15’’- RFE = N 70º35’45’’ O
180º00’00’’
109º24’15’’
(2) 57º31’47’’
ZEH = 51º52’28’’ REH = N 51º52’28’’ E
Cálculo de la longitud de los lados del mejor camino de cálculo. Se realiza la ley de los senos:
292.766m3ºSen60º00º50ºSen62º27º2
285.998 GH
285.998m9ºSen55º17º46ºSen68º42º0
252.359FE
252.359m9ºSen42º11º50ºSen45º15º0
238.678GF
238.678m00ºSen109º36º7ºSen36º39º5
376.538DG
376.538m0ºSen82º12º03ºSen51º04º1
479.535DC
479.555m3ºSen47º50º33ºSen94º18º3
356.503AD
356.503AB
CALCULO DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACIÓN
Se realiza:
Px = lado x Sen R
Py = lado x Cos R
RPy
Px
CALCULO DE LAS PROYECCIONES DE LA AC
Lado Lado Long. Long. Rumbo lado Rumbo lado PxPx PyPy
ABAB 356.503356.503 S 76º39’46’’ E S 76º39’46’’ E +346.888+346.888 -82.298-82.298
ADAD 479.555479.555 N 65º29’20’’ EN 65º29’20’’ E +436.338+436.338 +198.953+198.953
DCDC 376.538376.538 N 67º46’53’’ ON 67º46’53’’ O -348.579-348.579 +142.385+142.385
DGDG 238.678238.678 N 34º02’50’’ ON 34º02’50’’ O -133.630-133.630 +197.763+197.763
GFGF 252.359252.359 N 53º24’19’’ EN 53º24’19’’ E +202.612+202.612 +150.444+150.444
FEFE 285.992285.992 N 70º35’45’’ ON 70º35’45’’ O -269.612-269.612 +95.017+95.017
EHEH 292.766292.766 N 51º52’28’’ EN 51º52’28’’ E +230.307+230.307 +180.750+180.750
CALCULO DE COORDENADAS DE LOS VÉRTICES DE LA AC
Vértice Vértice Abscisas Abscisas Coordenadas Coordenadas
AA 8134.6018134.601346.888346.888
7267.924-7267.924-82.23982.239
BBAA
8481.4898481.489+8134.601+8134.601
436.338436.338
7185.6857185.6857267.924+7267.924+
198.953198.953
DD 8570.939-8570.939-348.579348.579
7466.877+7466.877+142.385142.385
CCDD
8222.3608222.3608570.939-8570.939-133.630133.630
7609.2627609.2627466.877+7466.877+
197.763197.763
GG 8437.309+8437.309+202.612202.612
7664.640+7664.640+150.444150.444
FF 8639.921-8639.921-269.753269.753
7815.084+7815.084+95.01795.017
EE 8370.1688370.168230.307230.307
7910.1017910.101180.750180.750
HH 8600.4758600.475 8090.8518090.851
DIBUJO DE LA TRIANGULACION
1.-SELECCIONE LA ESCALA ADECUADA DE DIBUJO PARA LA TRIANGULACIÓN
La selección de la escala de un plano o mapa depende del propósito, tamaño y de la precisión exigida del dibujo
terminado, las dimensiones estándares de las hojas, y el tipo y la cantidad de símbolos topográficos a utilizar.
La escala de expresa de dos maneras :1. Por una relación o fracción representativa,
como por ejemplo: 1: 2000 ó 1/2000.
2. Gráficamente, consiste en dibujar la escala grafica en una línea sobre el plano, subdividida en distancias que correspondan a determinado numero de unidades en el terreno.
las escalas graficas serán sujetas a error pues el papel se alarga o encoge con los cambios de temperatura y humedad, por tanto, es conveniente indicar ambas escalas.
ESCALA GRAFICA
2.-2.- Trace Trace correctamente correctamente el sistema de el sistema de coordenadascoordenadas
Para trazar las coordenadas, la Para trazar las coordenadas, la hoja del plano se extiende hoja del plano se extiende
precisamente sobre una retícula precisamente sobre una retícula de cuadrados unitarios de de cuadrados unitarios de
tamaño apropiados ,dependiendo tamaño apropiados ,dependiendo de la escala pueden representar de la escala pueden representar 100,200,300,400 , etc. metros el 100,200,300,400 , etc. metros el trazo se realiza con una punta de trazo se realiza con una punta de
trazo fino ejemplo.trazo fino ejemplo.
Existen dos tipos de coordenadas:
Coordenadas relativas: que son las coordenadas dadas arbitrariamente y que pueden ser de distinta denominación
tanto para x como para y
Coordenadas geográficas: Coordenadas geográficas:
que son las coordenadas dadas por que son las coordenadas dadas por un sistema electrónico o satelital un sistema electrónico o satelital
tales como los GPS donde se puede tales como los GPS donde se puede ubicar las coordenadas con precisión ubicar las coordenadas con precisión
en el globo terrestreen el globo terrestre
3.-3.- no es necesario no es necesario ejecutar el trazado de ejecutar el trazado de toda la cuadricula del toda la cuadricula del
sistema de coordenadas, sistema de coordenadas, basta que se señalen las basta que se señalen las
intersecciones de la intersecciones de la cuadricula mediante cuadricula mediante
pequeños cruces pequeños cruces
4.-Enumere correctamente los valores del sistema de
coordenadas, tal numeración solo debe realizarse en la parte
perimétrica de la lamina de dibujo
5.- Se ubica las estaciones con el
valor de las coordenadas y o
proyecciones
6.- empleo de la simbología
especifica para cada caso
7.-Toda lamina debe llevar indicado tanto la escala numérica
como la escala grafica, las mismas que deben
encontrarse juntas
