transport dans les semiconducteurs

TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURSEmmanuel Rosencher

A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de Boltzmann C- Éléments de théorie du scattering

- phonons- impuretés

D- Effet HALLE: Electrons chauds

électrons chauds et vitesse de saturationavalanche

F: Les équations des semiconducteursG: Application:

la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/n

Tkvm232

e21 =r

0v ≠r

Tkvm232

e21 ≈r

sm10v 5therm /≈

Scattering (diffusion) et transport dans les gaz (1)

Scattering (diffusion) et transport dans les gaz (2)

Hyphothèse: les électrons prennent de l’énergie au champ électrique et la cède par collision au bout d’un temps τ dit temps de relaxation.

vmqF dtd

=−= ε

vqnJ rr−=

Proportionnalité entre le courant et le champ électrique:

Proportionnalité entre la vitesse de dérive électronique et le champ électrique:

εµ rreqnJ =

εσ eJ =r

Loi d’OhmConductivité électronique e

eτσ =

ee qn µσ =

ετ rrem

qv −=

εµ rrev −=

m/s V/mem

τµ =mobilité m2 /V.s

Le problème de DRUDE

Libre parcours moyen: τλ v= ετλ r2mqe

≈100000≈ 10Libre parcours moyen (nm)*

0.210Distance,entre atome (nm)

SC BTGaz

Origine quantique:les électrons ne sont pas diffusés par le potentiel périodique du cristal

Paul Drude1896

* Silicium dopé à 1012 cm-3 à 4K pour un champ de 100 V/cm (µ ≈ 106 cm V/s)

Scattering et transport dans les semiconducteurs (1)

[ ] kEEv dtd

gdtd rrrrr

hh∇∇=∇=

kF dtd r

= Mécanique quantique du solide

g ∇=rr

h Approximation du paquet d’onde

Le paquet d’onde électronique se comporte comme une particule de masse mc. Toute l’interaction entre l’électron et le potentiel périodique complexe du cristal est prise en compte par la masse effective mc → Résolution du problème de Drude

εrr r

gdtd v −== E2dk

Scattering et transport dans les semiconducteurs (2)

εrr qvm gdtd

c −=Le champ électrique provoque un mouvement d’ensemble.Lorsque le champ est coupé, le gaz retourne à l’équilibre avecun temps caractéristique eτ

A l’état stationnaire: ετ rrce

gv −=ce

eτµ =mobilité

εσ eJ =r

Loi d’Ohmc

eτσ =

ee qn µσ =

sVm108sVcm8000 212e ././ −×==µ

0c m0670m .=Exemple: GaAs ps30e .≈τ

ετrrr qvvm g

ec −=+

TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS

A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de Boltzmann*

C- Éléments de théorie du scattering- phonons- impuretés

* Hors programme

( )zkf

Probabilité pour qu’un paquet électronique soit en r avec le nombre d’onde k à l’instant t: ( )trkf ,, rr

Fonction de distribution

dttrkfdttrkf

ttrkf ),,(),,(),,(

rrrrrr −+

∂∂ =Évolution de f:

Probabilité pour qu’un paquet électronique soit en r avec le nombre d’onde k à l’instant t: ( )trkf ,, rr

Les électrons au temps t + dt étaient en rk rr, dtk F

rr− dtvr g

rr −et au temps t

−−=+ tdtvrdtkfdttrkf g

q ,,,, rrrrrrh ε

rcollisions

( )colltk

ffrfvtrkf∂∂

∂∂ +∇−∇−=

rrrrrrrh

ε),,(

( ) fvfrtrkf rgkq

t ∇−∇−=∂∂ rrrrrrr

h ε),,(

( )colltk

ffrfvf∂∂

∂∂ =∇+∇+

rrrrrh

Diffusion Dérive

( ) ( ) ( ) ( )tkrfkkStkrfkkSfkcollt ,,',','

rrrrrrrr→∑ −→=∂

∂Terme collisionnel:

Transitionquantique

Équation de Boltzmann: une des équations fondamentales de la Physique

( ) ( )( )3

2kdtkrftrn

rrrr∫= ,,,Densité de porteurs

( ) ( ) ( )( )3

g tkrfkvqtrjπ

rrrrr∫= ,,,Courant particulaire

( ) ( ) ( ) ( )( )32

k3dtrn

1 tkrfkEtrEπ

rrrr∫= ,,, ,Énergie

L. Boltzmann1890

Approximation du temps de relaxation

( ) ( )( )( )kE

trkeqftrkf

collt f rrrvr

,,,, −∂∂ −≈

Le fonction de distribution revient à l’équilibre avec un temps caractéristique. Une des relations les plus mystérieuses de la Physique: propriété d’émergence. Il n’existe aucun démonstration de cette relation qui conduit à l’irréversibilité temporelle, à la dissipation,…

( ) ( ) ( ) eqkq

eqrgEeqff

rg frfvfrfv ∇+∇≈−=∇+∇− rrrrrrrrrr

hh εε τ

Boltzmann +état stationnaire+ développement d’ordre 1

( ) ( )

∇+∇−= eqk

qeqrgeq ffkvEff

rrrrh ετ

( ) ( ) [ ]eqEeqrgeq fqfkvEff ∂∂+∇−= ετ rrr

( ) eqEgeqEkeqk fkvfEf ∂∂

∂∂ =∇=∇ rh

Courants de diffusion et de conduction

( ) ( ) ( )( )3

g tkrfkvqtrjπ

rrrrr∫= ,,,

( ) ( ) [ ]eqEeqrgeq fqfkvEff ∂∂+∇−= ετ rrr

kTEeq ef /−∝ ( ) kkv

cmgrr h=et

( ) εµ rr nqnDqtrj r +∇−=,

qkTD µ=

nDqj rdiff ∇−=rr

εµ rrqnjdiff =

Courant de diffusion:

Courant de conduction:

conddiff jjjrrr

Relation d’Einstein

( ) ( ) ( )( )3

keqEeqr

2g fqfkvqtrj

rrrr∫ +∇−= ∂

Signes des courants de diffusion et de conduction

Loi de Fick:

Courants de diffusion

nDenej reee ∇+=rrr

pDepej rttt ∇−=rrr

tetot jjjrrr

Courants de conductionx

nD ree ∇−=ϕ nDeej reeed ∇+=−= ϕ,électrons

pD rtt ∇−=ϕ pDeej rtttd ∇−=+= ϕ,trouse+

électrons ( )εµegecond nevnej −−=−=e−

trous ( )εµegecond nevnej ++=+=e+

A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de BoltzmannC- Éléments de théorie du scattering

Scattering par les phonons

Vibrations dues à la température

2325c Tm

1e //∝µ

µ300 K

cm2/V.smc

800000.014InSb

80000.067GaAs

14500.3Si

Mobilités de Si en fonction de T

Nd <1012 cm-3

Nd <1013 cm-3

Nd = 1.7 1016 cm-3

Nd = 1.7 1017 cm-3

compression extension

Scattering par les impuretés

Relations de Rutherford: Plus l’énergie et faible plus la déviation est importante

//∝µ

Influence de la température

( ) ( ) ( )( )'''' / kEkEkekkkS2

Lrre2 D2

rrrrrrh

−=→ − δπ

Règle d’Or de Fermi et potentiel de Yukawa

Courant électriqueChamp électrique

Effet Hall (1)

Fréquence cyclotron

( )2cx

τε +

τωτε +

E.H. Hall1879

( ) gm

ggdtd vBvqvm rrrrr

τε ** −×+=

Force de Lorentz

m* = masse effective (+mc, -mv)

( )( )

zgxygydtd

zgyxgxdtd

vBvqvm

−+−=

0mmTB11

c 1081/*

)(.=ω

Fréquences optiques

A l’état stationnaire:

0y =ε

Effet Hall (2)

yHallV ε=

Si jy =0, il se construit une tension qui contrecarrele mouvement des charges

( )( ) gy

=+ xxmq

gxv εµετ ==*

zgxy jBv −=−=ε

Tension de Hall

xx nqj εµ=

BjHallzx

yR −==ε

1- La mesure de εy en fonction de jx permet de connaître n

2- La mesure de εx en fonction de jx permet de connaître µ

3- La mesure du signe de RHall permet de connaître le typede charge

Effet Hall quantique

Klaus von Klitzing(Nobel 1985)

Électrons chauds

cstzFqcm22k2

=+− h

( )εεαµ 2e −

( )zkf

Régime ohmique

Non ohmique

Vitesse de saturation

gc21 vm Ω=h

0c m0670m .=

meV36op =Ωh

Pour GaAs

scm102v 7g /≈

ΩhPhonons

opE Ω=∆ h

opE Ω=∆ h µm10L .=

ps1≈τ !!!!Temps de transit

Transfert de vallée et résistance différentielle négative

champs ε

εµ11gv =

εµ22gv =

1τµ =

2τµ =

GaAs, InP, ZnSe,…

R( ) VVVIR a −= co

tension

courant pic

courant vallée

Diodes Gunnde

nsité

scm710cm310

−≈=τ GHz100f >

G M Dunn (a) and M J Kearney

Applications:- radar anticollision- radar militaire- imagerie millimétrique

MODELE PHYSIQUE DE L’AVALANCHE:Modèle de l’électron chanceux (W. Shockley)

Énergie

opΩh Émission d’un phonon optique

électron chanceux Ionisation par impact

Ei énergie nécessaire pour une ionisation par impact

gi E51E .≈

λi libre parcours moyen avant ionisation par impact

Processus poissonnien: opieprobaλλ /−

ε = 40 V/µm

α ≈ 10 µm-1

nombre de paires é-t créées dans une ZCE

e α W = e10 !!!105 10610-1

α n (cm

Electric field (V/cm)

λop = 10 nm

Ei = 1.8 eV

Eop = 36 meV

iλεα

Ω≈h

Coefficient d’ionizationpar impact (cm-1)

t RGjn −=∇−∂∂ rr

t RGjp −=∇+∂∂ rr

nDeFnej nnn ∇+=rrr

pDeFpej ppp ∇−=rrr

reFεε

ρ=∇rr

( )( )

enrn 0

( )( )

eprp 0

φ−=

−=∇φ

Équations de continuité nG

nϕ∇r

Poisson

Potentiel

la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/nmasse effective de conduction

Potentiel interne (1)

diffusion

Réponse: Jusqu’à ce que le potentiel chimique soit constant !

FnEFpE

dopé n dopé p

Russel Ohl1940

dopé n

2in npn =

dopé p

2ip nnp =

Question: Jusqu’où?

Potentiel interne (2)

« Il se construit spontanément une barrière de potentiel interne dont l’amplitude contrecarreexactement la diffusion d’où aussi le terme de potentiel de diffusion, en d’autres termes, telle que le niveau de Fermi soit constant dans la structure »

)EE()EE(EV vFpFncg −−−−=∆

g lnkTlnkTEV∆

−=AD

vcNNNN

g lnkTEV∆

Principe du calcul

( )sc0

xqdxd F

εερ=

( )xEdxd −=φ

Électrostatiqueφ

( )xρ

Hypothèse de la zone dépeuplée(thermodynamique)

( ) ( )xqExE cc φ−=

Courbure de bande

nd− pd

mi)( )

Potentiel auto-induit et relation d’Einstein

On suppose l’équilibre thermodynamique ( ) kTq

enxn 0

εφ nnnDqj kTeD2q

kTeD2q

eed −===,

−= ekT

qetot Dnqj

Or aucun courant ne circule (on ne peut extraire de l’énergie)!

Les deux courants s’annulent mutuellement

eD µ=

µ300 Kcm2/V.s

D300 Kcm2/s

20700.014InSb

2070.067GaAs

370.3Si

« Il se construit spontanément une barrière de potentiel interne dont l’amplitude contrecarreexactement la diffusion d’où aussi le terme de potentiel de diffusion, en d’autres termes, telle que le niveau de Fermi soit constant dans la structure »

0n ( )xn

( ) kTxqe /φ

εµ nqj eecond +=,

La longueur de diffusion

tRGjn −=∇−∂

∂ rr. ( ) sn n0nquetelG =

nR τ−=

nxq1 j −

∂∂ −=

nDqj xnn ∂∂=

xn =+ −

∂∂

nnDn DL τ=DnLxs0 ennn /−=−

durée de vie des porteurs minoritaires

0t =∂∂ état stationnaire

SILICIUM

Jonction p/n en direct:Injection de porteurs minoritaires

2i0p eNNnn // ∆−==

D eeN∆−

0p en=

+≈ − 1eenxn DnLxkT

DnL0pnnDq

n enDqI ≈≈=

s eII ≈

DnL0pnnDq

Jonction p/n en inverse:Courant de saturation ou de fuite0Va =

i0p N/nn =

0x =0n ≈

( )dnL/x0p e1nn −−≈

n nDqI ≈≈=

sII ≈

DnL0pnnDq

Courant de saturation

Caractéristique courant-tension

Tension inverse

−= 1eII kT

W. Shockley

Tension directe

Auger ImpuretésRecombinaison radiative

Durée de vie des porteurs minoritaires

msrad ≈τ Dépend de la puretédu matériau

msnsradnon →≈τ

nsrad ≈τ

GaAs, InP Si, Ge

nsradnon ≈τ

HgCdTe, InSb,..

∝Courant de fuite:

Détecteur photovoltaïque

++zone de charge d’espace zone de diffusion

p++ SiO2

métal semi-transparent

Exemple 1: Cellule solaire en silicium

Ensoleillement maximal : 1000 W/m2

Rendement quantique : 15 %

0 1 2 3 4 5eV

1×107

2×107

3×107

4×107

Wêm 2.µm

Spectre solaire

Rendement de conversiondans Si

Courant maximal : 150 W/m2

Exemple 2: les détecteurs infrarouge Hgx Cd1-x Te

3 – 5 µmsoit

0.25 - 0.40 eV

8 – 12 µmsoit

0.10 - 0.15 eV

12108642Longueur d'onde (µm)

Transparence sur 5 km

Détection infrarouge et température de fonctionnement

photonI

kTgEn e

/∝τ

kT2gEs eI

/−∝

Caméra infrarouge avec son cryogénérateur miniature Température (K)Fl

d’é

HgCdTeλ =5µm

300200100

Flux du corps noir

44/44Niveau de carburant

Image d’un avion furtif en infrarouge

Mauvaise vascularisation d’une main

Imageurs infrarouges

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